Как найти медиану выборки четной - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Загрузить PDF

Медиана — это среднее число в ряду или последовательности чисел. Когда речь идет о поиске медианы в последовательности, состоящей из нечетного количества полных чисел, процесс не представляет труда. Найти медиану в последовательности, где представлено четное количество полных чисел, будет несколько сложнее. Прочитайте нашу инструкцию, чтобы найти медиану легко и успешно.

1
Расположите числа от меньшего к большему.
- Если они перепутаны, расставьте их по порядку, начиная с меньшего и заканчивая большим.
2
Найдите число, стоящее ровно посередине. Это значит, что до медианы стоит столько же чисел, что и после медианы. Подсчитайте их, чтобы проверить.
- Перед числом 3 стоит два числа, после него — тоже два. Это значит, что 3 стоит в середине.
3

Вы закончили. Медиана в нечетном ряду чисел — это всегда одно из чисел множества. Медианой не может быть число, не входящее в числовой ряд.

Реклама

1

Расположите числа от меньшего к большему. Повторите первый шаг предыдущего метода. Четный ряд чисел будет содержать два числа ровно посередине.
2

Найдите среднее арифметическое чисел, стоящих в середине. 2 и 3 стоят в середине, поэтому надо к 2 прибавить 3 и разделить сумму на два. Формула вычисления среднего арифметического двух чисел: (сумма двух средних чисел)÷2
3

Вы закончили. Медиана ряда с четным количеством чисел не обязательно бывает одним из чисел ряда.

Реклама

Об этой статье

Эту страницу просматривали 25 442 раза.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Медиана (x̃, M; Мера центральной тенденции) – это центральное значение Выборки (Sample).

В математике медиана также представляет собой тип Среднего значения (Average), который используется для нахождения «центра». Поэтому ее еще называют мерой центральной тенденции.

Нечетное количество элементов ряда

Если в ряду нечетное количество элементов, то мы сортируем значения в возрастающем или убывающем порядке, а затем выбираем центральное.

Пример. Найдем медиану следующего ряда:

4, 17, 77, 25, 22, 23, 92, 82, 40, 24, 14, 12, 67, 23, 29

Расставив эти числа по порядку, мы получим:

4, 12, 14, 17, 22, 23, 23, 24, 25, 29, 40, 67, 77, 82, 92

Всего пятнадцать элементов, то есть 8-й будет центральным. Медианное значение этого набора чисел – 24.

Четное количество элементов ряда

Если в ряду четное количество элементов, медиана рассчитывается с помощью формулы:

$$M = frac{n + 1}{2}, где$$
$$Mspace{–}space{медиана,}$$
$$nspace{–}space{количество}space{элементов}space{в}space{выборке}$$

Пример. Найдем медиану следующего ряда:

1.79, 1.61, 2.09, 1.84, 1.96, 2.11

Выполнив подстановку, мы получим:

$$M = frac{6 + 1}{2} = 3.5$$

Центральная тенденция

Помимо медианы, выделяют еще две другие меры центральной тенденции – Среднее значение (Mean) и Мода (Mode). Среднее – это частное от суммы всех Наблюдений (Observation) к их количеству. Мода – это наиболее часто повторяющееся значение выборки.

В Науке о данных (Data Science) медиана иногда используется вместо среднего значения, когда в последовательности есть выбросы, которые могут исказить среднее. Выбросы меньше влияют на медианное значение, чем на среднее. Медиана отделяет верхнюю половину выборки, генеральной совокупности или Распределения вероятностей (Probability Distribution) от нижней.

Медиана распределения вероятностей

Медиана и NumPy

Медиану можно вычислить с помощью NumPy. Для начала импортируем все необходимые библиотеки:

import numpy as np

Создадим массив из 6 элементов и вызовем встроенный метод median():

a = [10, 7, 4, 3, 2, 1]
np.median(a)

NumPy определяет четность числа элементов массива (6) и применяет тот или иной метод расчета (согласно формуле):

3.5

Ноутбук, не требующий дополнительной настройки на момент написания статьи, можно скачать здесь.

Фото: @garciasaldana_

Источник

В статистических исследованиях довольно широко применяются средние величины. Их нахождение позволяет выявить типичное значение признака исследуемой совокупности. Например, типичный уровень доходов покупателей или возраст большинства клиентов компании. При этом вычисление, к примеру, среднего арифметического не всегда уместно.

Представим такую ситуацию: мы опросили 10 человек на предмет их уровня доходов. У 9-х доходы оказались примерно одинаковыми и составили 10 тыс. руб. Что касается 10-ого опрошенного, то оказалось, что его доход равняется 410 тыс. руб. в месяц. Если мы вычислим простое среднее арифметическое, то типичный доход будет равняться 50 тыс. руб.! Но это явно не так. В таких ситуациях более объективную и правдоподобную картину дает вычисление моды или медианы, которые относятся к структурным средним показателям.

Понятие медианы

Медиана (Me) — значение признака в исследуемом ряду величин, которое делит этот ряд на две равные части.

То есть половина (50%) всех значений в исследуемом ряду будет меньше медианы, а другая половина — больше ее. Поэтому медиану еще называют 50-й перцентиль или квантиль 0,5.

Формула для расчета медианы

Если значений немного, то медиану можно определить «на глазок». Для этого достаточно расположить все значения в порядке возрастания и найти середину.

Если число случаев четное и в центре ряда находятся два разных числа, то медианой будет среднее между ними (даже если такого значения нет в самом ряду исследуемых случаев). Например, в ряду 1 2 3 4 5 6, медианой будет 3,5.

Для нахождения медианы в более сложных случаях (по интервальным рядам) используется специальная формула:

где: M_e — медиана;

X_me — нижняя граница медианного интервала (того интервала, накопленная частота которого превышает полусумму всех частот);

i_me — величина медианного интервала;

f — частота (сколько раз в ряду встречается то или иное значение);

S_me-1 — сумма частот интервалов предшествующих медианному интервалу;

f_me — число значений в медианном интервале (его частота).

Пример вычисления медианы

Был проведен опрос среди покупателей с целью выяснить их типичный возраст. По результатам опроса было установлено, что: 25 покупателей имеют возраст до 20 лет; 32 покупателя — 20-40 лет; 18 покупателей — 40-60 лет; 15 покупателей — свыше 60 лет. Найдем медиану.

Сначала находим медианный интервал. Для этого вычисляем сумму частот: 25 + 32 + 18 + 15 = 90. Половина этой суммы — 45. Это соответствует возрастной группе 20-40 лет (т. к. полученная полусумма частот — 45, и накопленная частота 1-й группы меньше ее, а 3-ей — больше). Тогда нижняя граница медианного интервала — 20 (лет), а величина медианного интервала — 20 (40 лет за вычетом 20). Сумма частот интервалов предшествующих медианному интервалу — 25. Число значений в медианном интервале — 32 (количество покупателей в возрасте 20-40 лет).

Расчетное значение медианы — 32,5. Округив его, получим средний возраст покупателя — 33 года.

Область применения медианы

При вычислении типичного признака неоднородных рядов, имеющих «выбросы» — значения во много раз отличающиеся от других значений ряда.

Особенности медианы

Медиана обладает высокой робастностью, то есть нечувствительностью к неоднородностям и ошибкам выборки;
Сумма разностей между членами ряда выборки и медианой меньше, чем сумма этих разностей с любой другой величиной. В том числе с арифметическим средним.

Источники

Медиана // Википедия. URL: http://ru.wikipedia.org/wiki/Медиана_(статистика) (дата обращения: 23.10.2013)
Минашкин В. Г. и др. Курс лекций по теории статистики. – М.: МЭСИ, 2001.

Нашли опечатку? Помогите сделать статью лучше! Выделите орфографическую ошибку мышью и нажмите Ctrl + Enter.

Библиографическая запись для цитирования статьи по ГОСТ Р 7.0.5-2008:
Галяутдинов Р.Р. Медиана // Сайт преподавателя экономики. [2013]. URL: https://galyautdinov.ru/post/mediana (дата обращения: 25.05.2023).

Источник

Медиана

Медианой
(Me)
называется значение признака, которое
лежит в середине ранжированного ряда.
Ранжированный
ряд
– ряд, расположенный в порядке возрастания
или убывания значений признака.

В
дискретном ряду медиана находится на
основе накопленных частот. Номер медианы
равен половине суммы всех частот. Частоты
накапливаются до тех пор, пока не будет
превзойдён номер медианы. Медиана
равняется частоте, соответствующей
номеру медианы.

В
интервальном ряду сначала находится
медианный интервал. Номер медианы равен

или.
По номеру определяется интервал, которому
этот номер принадлежит. Затем медиана
определяется по формуле:

где

x_k_-1
– нижняя граница медианного интервала;

h_k
– длина медианного интервала;

F_k_-1–
накопленная частота интервала,
предшествующему медианному;

m_k–
частота медианного интервала;

P_k_-1
– накопленная частость интервала,
предшествующему медианному.

Если
требуется найти медиану в ранжированном
ряду без частот, то номер медианы можно
определить по формуле (N+1)/2,
если ряд содержит нечётное число
элементов. Затем по номеру медианы
выбирается медиана из значений признака.
Если ряд содержит четное число элементов,
то медиана вычисляется по формуле:

где

N
– число элементов в ряду.

В
интервальном ряду медиана определяется
по кумуляте. Для этого из точки на шкале
накопленных частот (частостей),
соответствующей
,
проводится прямая, параллельная оси
абсцисс до пересечения с кумулятой.
Затем на ось абсцисс опускается
перпендикуляр. Абсцисса точки пересечения
является медианой.

Пример 15.
Вычисление
медианы для дискретного вариационного
ряда

Найти
медиану для распределения сотрудников
по тарифным разрядам.

Тарифный разряд	Число сотрудников, чел	Накопленная частота
2	11	11
3	18	29
4	22	51
5	20	71
6	14	85
Итого	85

Ряд
является дискретным. Номер медианы
равен 42 или 43 (85/2). Накапливать частоты
нужно до тех пор, пока не будет превзойдён
номер медианы: 11 сотрудников имеют не
более, чем 2 разряд; 29 сотрудников имею
не более, 3 разряд; 51 сотрудник имеет не
более, чем 4 разряд. Т.е. число сотрудников
42 и 43 приходится на 4 разряд. Следовательно,
Me=4.

Пример 16.
Вычисление
медианы для интервального вариационного
ряда с равной длиной интервалов

Найти
медиану для распределения сотрудников
по возрастам.

Возрастные группы сотрудников, лет	Число сотрудников, чел	Накоплен- ные частоты	Частости	Накопленные частости
в долях	в %	в долях	в %
20 – 30	11	11	0,1294	12,94	0,1294	12,94
30 – 40	33	44	0,3882	38,82	0,5176	51,76
40 – 50	22	66	0,2588	25,88	0,7764	77,64
50 – 60	15	81	0,1765	17,65	0,9529	95,29
60 – 70	4	85	0,0471	4,71	1	100
Итого	85		1	100

Ряд
является интервальным. Номер медианы,
рассчитанный на основе накопленных
частот, равен 42 или 43 (85/2), а накопленный
на основе частостей равен 50 (100/2). На
основе накопленных частот определяется,
что числу сотрудников 42 и 43 соответствует
возрастной интервал 30 – 40. Далее находится
медиана:

Графическое
определение медианы:

Пример 17.
Вычисление
медианы ранжированного ряда с нечетным
числом интервалов

Найти
медиану для ранжированного ряда, в
котором представлены набранные баллы
участников конкурса.

Место	Фамилия	Баллы
1	Иванов	135
2	Смирнов	117
3	Петров	98
4	Сидоров	89
5	Фёдоров	64
6	Макаров	57
7	Казаков	53

В
таблице нечётное число элементов. Номер
медианы равен ((7+1)/2)=4. Этому номеру
соответствует медиана M_e
= 89 баллов.

Пример 18.
Вычисление
медианы ранжированного ряда с нечетным
числом интервалов

Найти
медиану для ранжированного ряда, в
котором представлены набранные баллы
участников конкурса.

Место	Фамилия	Баллы
1	Иванов	135
2	Смирнов	117
3	Петров	98
4	Сидоров	89
5	Фёдоров	64
6	Макаров	7

В
таблице чётное число элементов. Медиана
вычисляется по формуле:

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Как рассчитать медиану из таблицы частот (с примерами)

17 авг. 2022 г.
читать 2 мин

Вы можете найти медианное значение таблицы частот, выполнив следующие действия:

Шаг 1: Расположите все отдельные значения от наименьшего к наибольшему.

Шаг 2: Определите значение прямо в середине упорядоченного списка.

Если имеется нечетное количество значений, медианой является значение, находящееся непосредственно посередине.
Если имеется четное количество значений, медиана является средним значением двух средних значений.

В следующих примерах показано, как на практике найти медианное значение таблицы частот.

Пример 1: Медиана из таблицы частот (нечетное количество значений)

В следующей таблице частоты показано общее количество побед 17 футбольных команд в определенной лиге:

Мы можем использовать следующие шаги, чтобы найти медианное значение в этой таблице частот:

Шаг 1: Расположите все отдельные значения от наименьшего к наибольшему.

Значения: 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6

Шаг 2: Определите значение прямо в середине упорядоченного списка.

Значения: 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2 , 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6

Среднее значение равно 2 .

Пример 2: Медиана из таблицы частот (четное число значений)

В следующей таблице частот показан размер домохозяйства 20 различных домохозяйств в определенном районе:

Мы можем использовать следующие шаги, чтобы найти медианное значение в этой таблице частот:

Шаг 1: Расположите все отдельные значения от наименьшего к наибольшему.

Значения: 1, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 8

Шаг 2: Определите значение прямо в середине упорядоченного списка.

Значения: 1, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4 , 4 , 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 8

Прямо посередине расположены два значения: 4 и 4.

Таким образом, медианное значение является средним из этих двух значений: (4 + 4)/2 = 4 .

Дополнительные ресурсы

Как рассчитать среднее значение из таблицы частот
Как рассчитать моду из таблицы частот
Как оценить среднее значение и медиану гистограмм
Когда использовать среднее значение против медианы

Источник