Как найти медиану выборки значений случайной величины - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Мода и медиана случайной величины.
Квантиль уровня случайной величины

Краткая теория
Примеры решения задач

Краткая теория

Кроме
математического ожидания и дисперсии, в теории вероятностей применяется еще ряд
числовых характеристик, отражающих те или иные особенности распределения.

Мода непрерывной и дискретной случайной величины

Модой
случайной величины называется ее наиболее вероятное значение, для которого
вероятность

или плотность вероятности

достигает максимума.

В
частности, наивероятнейшее значение числа успехов в схеме Бернулли – это мода
биномиального распределения.

Если
вероятность или плотность вероятности достигает максимума не в одной, а в
нескольких точках, распределение называется полимодальным.

Полимодальное распределение

Медиана непрерывной и дискретной случайной величины

Медианой случайной величины

называют число

, такое, что

То есть вероятность того, что
случайная величина

примет
значение, меньшее медианы

или больше ее,
одна и та же и равна

Для дискретной случайной величины

это число может
не совпадать ни с одним из значений

. Поэтому медиану дискретной случайной величины
определяют как любое число

, лежащее между двумя соседними возможными значениями

такими, что

Для непрерывной случайной величины,
геометрически, вертикальная прямая

, проходящая через точку с абсциссой, равной

, делит площадь фигуры под кривой распределения на две
равные части.

Медиана на графике плотности вероятности непрерывной
случайной величины

Очевидно, что в точке

функция распределения непрерывной случайной
величины равна

, то есть

Медиана на графике функции распределения непрерывной
случайной величины

Квантили и процентные точки случайной величины

Наряду с отмеченными выше числовыми
характеристиками для описания случайной величины используется понятие квантилей
и процентных точек.

Квантилем уровня

(или

– квантилем)
называется такое значение

случайной
величины, при котором функция ее распределения принимает значение, равное

, то есть:

Некоторые квантили получили особое
называние. Очевидно, что введенная выше медиана случайной величины есть
квантиль уровня 0,5, то есть

. Квантили

получили
название соответственно верхнего и нижнего квантилей. Также в литературе
встречаются термины: децили (под которыми понимают квантили

) и процентили (квантили

С понятием квантиля тесно связано
понятие процентной точки. Под

точкой
подразумевается квантиль

, то есть такое значение случайной величины

, при котором

Смежные темы решебника:

Структурные средние в статистике — мода, медиана, квантиль, дециль
Дискретная случайная величина
Непрерывная случайная величина

Примеры решения задач

Пример 1

Найти
моду, медиану, квантиль

и 40%-ну точку случайной величины

c плотностью распределения:

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Исследуем
функцию на наибольшее и наименьшее значение на отрезке

Производная:

Производная
не обращается в нуль.

Значения
на концах отрезка:

Следовательно,
мода:

Медиану

найдем из условия:

В нашем
случае получаем:

Значение

принадлежит отрезку

,
следовательно, искомая медиана:

Квантиль

найдем из уравнения:

Значение

принадлежит отрезку

,
следовательно, искомый квантиль:

Найдем
40%-ную точку случайной величины

, или квантиль

из уравнения:

Значение

принадлежит отрезку

,
следовательно, искомая точка:

Ответ:

Пример 2

Найти
моду, медиану, квантиль

случайной величины

, заданной функцией
распределения:

Решение

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Найдем
плотность распределения:

Исследуем
функцию на наибольшее и наименьшее значение на отрезке

Производная:

Значения
функции

в стационарных точках и на концах отрезка:

Распределение
полимодальное:

Медиану

найдем из уравнения:

Итак,
медиана:

Квантиль

найдем из уравнения:

Итак:

Ответ:

Краткая теория
Примеры решения задач

Источник

Найти моду, медиану, дисперсию и другие характеристики учат в курсе теории вероятностей для анализа статистического распределения выборки. Если Вы имеете заготовленные формулы или методичку, то само по себе вычисления числовых характеристик статистических выборок не является сложным. Однако на контрольных, индивидуальных заданиях, а еще для заочников все всегда выглядит сложнее, чем есть на самом деле. Ниже приведены решения которые многие вещи из вероятности сделают для Вас простыми и понятными. Главное не спешите и в подобных примерах поступайте по аналогии.

Индивидуальное задание 1
Вариант 8

Задача 1. Составить статистическое распределение выборки, записать эмпирическую функцию распределения и вычислить такие числовые характеристики:

выборочное среднее;
выборочную дисперсию;
подправленную дисперсию;
выборочное среднее квадратичное отклонение;
подправленное среднее квадратичное отклонение;
размах выборки;
медиану;
моде;
квантильное отклонения;
коэффициент вариации;
коэффициент асимметрии;
эксцесс для выборки:

Выборка задана следующими значениями
4, 9, 7, 4, 7, 5, 6, 3, 4, 5, 7, 2, 3, 8, 5, 6, 7, 4, 3, 4.
Решение: Записываем выборку в виде вариационного ряда (в порядке возрастания):
2; 3; 3; 3; 4; 4; 4; 4; 4; 5; 5; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 7; 8; 9.
Запишем статистическое распределение выборки в виде дискретного статистического распределения частот:

Значение эмпирической функции распределения определяем по формуле

где n_x количество элементов выборки меньше х. Используя таблицу, а также учитывая, что объем выборки n=1+3+5+3+2+4+1+1=20, запишем эмпирическую функцию распределения:

Далее вычислим числовые характеристики статистического распределения выборки.

1. Выборочное среднее вычисляем по формуле

2. Выборочную дисперсию вычисляем по формуле

3. Подправленную дисперсию находим по формуле

4. Выборочное среднее квадратичное отклонение вычисляем по формуле

5. Подправленное среднее квадратичное отклонение находим по формуле

6. Размах выборки вычисляем как разность между наибольшим и наименьшим значениями вариант, то есть:

7. Медиану вычисляют по формулам:
если число n — четное;
если число n — нечетное.
Здесь берем индексы в x[i] согласно нумерации вариант в вариационном ряду.
В нашем случае п=20, поэтому

8. Мода — это варианта которая в вариационном ряду случается чаще всего, то есть

9. Квантильное отклонение найдем по формуле

половины разницы – третьего и – первого квантилей.
Сами же квантили получаем искусственной разбивкой вариационного ряда на 4 равные части. В нашем случае

10. Коэффициент вариации вычисляем по формуле

11. Коэффициент асимметрии находим по формуле

Здесь m³ центральный эмпирический момент 3-го порядка,

Отсюда коэффициент асимметрии равен 0,3

12. Эксцессом статистического распределения выборки называется число которое находят по формуле:

В числителе имеем центральный эмпирический момент 4-го порядка

Момент и среднее квадратичное отклонение подставляем в формулу и определяем эксцесс

По тому как все доступно и понятно на практике выглядит делаем вывод, что найти моду, медиану и дисперсию должен уметь каждый студент, который изучает теорию вероятностей.

Готовые решения по теории вероятностей

Следующая статья — Определение уравнения прямой регрессии и интервала доверия

Источник

Загрузить PDF

Среднее значение, медиана и мода — значения, которые часто используются в статистике и математике. Эти значения найти довольно легко, но их легко и перепутать. Мы расскажем, что они из себя представляют и как их найти.

1

Сложите все числа, которые вам даны. Допустим, вам даны числа 2, 3 и 4. Сложим их: 2 + 3 + 4 = 9.
2

Сосчитайте количество чисел. У нас есть три цифры.
3

Разделите сумму чисел на их количество. Берем 9, делим на 3. 9/3 = 3. Среднее значение в данном случае равно 3. Помните, что не всегда получается целое число.

Реклама

1

Запишите все числа, которые вам даны, в порядке возрастания. Например, нам даны числа: 4, 2, 8, 1, 15. Запишите их от меньшего к большему, вот так: 1, 2, 4, 8, 15.
2
Найдите два средних числа. Мы расскажем, как это сделать, если у вас имеется четное количество чисел, и как это сделать, если количество чисел нечетное:
- Если у вас нечетное количество чисел, вычеркните левое крайнее число, затем правое крайнее число и так далее. Один оставшийся номер и будет искомой медианой. Если вам дан ряд чисел 4, 7, 8, 11, 21, тогда 8 — медиана, так как 8 стоит посередине.
- Если у вас четное количество чисел, вычеркните по одному числу с каждой стороны, пока у вас не останется два числа посередине. Сложите их и разделите на два. Это и есть значение медианы. Если вам дан ряд чисел 1, 2, 5, 3, 7, 10, то два средних числа — это 5 и 3. Сложим 5 и 3, получим 8, разделим на два, получим 4. Это и есть медиана.
Реклама

1

Запишите все числа в ряд. Например, вам даны числа 2, 4, 5, 5, 4 и 5. Запишите их в порядке возрастания.
2

Найдите число, которое чаще всего встречается. В данном случае это 5. Если два числа встречаются одинаково часто, то этот ряд двухвершинный или бимодальный, а если больше — то мультимодальный.

Реклама

Советы

Вам будет легче найти моду и медиану, если вы запишете числа в порядке возрастания.

Об этой статье

Эту страницу просматривали 356 549 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Мода
и медиана –
особого рода средние, которые используются
для изучения структуры вариационного
ряда. Их иногда называют структурными
средними, в отличие от рассмотренных
ранее степенных средних.

Мода
– это величина признака (варианта),
которая чаще всего встречается в данной
совокупности, т.е. имеет наибольшую
частоту.

Мода
имеет большое практическое применение
и в ряде случаев только мода может дать
характеристику общественных явлений.

Медиана
– это варианта, которая находится в
середине упорядоченного вариационного
ряда.

Медиана
показывает количественную границу
значения варьирующего признака, которой
достигла половина единиц совокупности.
Применение медианы наряду со средней
или вместо нее целесообразно при наличии
в вариационном ряду открытых интервалов,
т.к. для вычисления медианы не требуется
условное установление границ отрытых
интервалов, и поэтому отсутствие сведений
о них не влияет на точность вычисления
медианы.

Медиану
применяют также тогда, когда показатели,
которые нужно использовать в качестве
весов, неизвестны. Медиану применяют
вместо средней арифметической при
статистических методах контроля качества
продукции. Сумма абсолютных отклонений
варианты от медианы меньше, чем от любого
другого числа.

Рассмотрим
расчет моды и медианы в дискретном
вариационном ряду:

Стаж, лет, X	Число рабочих, чел, f	Накопленные частоты
1	2	2
3	4	6
4	5	(11)
8	4	15
10	1	16
ИТОГО:	16	—

Определить моду и медиану.

Мода
Мо =
4 года, так как этому значению соответствует
наибольшая частота f
= 5.

Т.е.
наибольшее число рабочих имеют стаж 4
года.

Для
того, чтобы вычислить медиану, найдем
предварительно половину суммы частот.
Если сумма частот является числом
нечетным, то мы сначала прибавляем к
этой сумме единицу, а затем делим пополам:

Ме=16/2=8

Медианой
будет восьмая по счету варианта.

Для
того, чтобы найти, какая варианта будет
восьмой по номеру, будем накапливать
частоты до тех пор, пока не получим сумму
частот, равную или превышающую половину
суммы всех частот. Соответствующая
варианта и будет медианой.

Ме
= 4 года.

Т.е.
половина рабочих имеет стаж меньше
четырех лет, половина больше.

Если
сумма накопленных частот против одной
варианты равна половине сумме частот,
то медиана определяется как средняя
арифметическая этой варианты и
последующей.

Вычисление
моды и медианы в интервальном вариационном
ряду

Мода
в интервальном вариационном ряду
вычисляется по формуле

где Х_М0— начальная
граница модального интервала,

hм₀
– величина модального интервала,

fм₀,
fм_0-1,
fм₀₊₁– частота
соответственно модального интервала,
предшествующего модальному и последующего.

Модальным
называется такой интервал, которому
соответствует наибольшая частота.

Пример
1

Группы по стажу	Число рабочих, чел	Накопленные частоты
1	2	3
До 2	4	4
2-4	23	27
4-6	20	47
6-8	35	82
8-10	11	93
свыше 10	7	100
ИТОГО:	100	—