Найти медиану треугольника по координатам вершин
Как найти медиану если даны координаты вершин треугольника?
Чтобы найти медиану треугольника по координатам его вершин, применим формулы координат середины отрезка и формулу расстояния между точками.
Рассмотрим нахождение медианы на конкретном примере.
Дано: ΔABC,
A(-11;12), B(3;8), C(-1;6),
AF — медиана.
Найти: AF
Решение:
1) Так как AF — медиана треугольника ABC, то F — середина BC.
По формулам координат середины отрезка:
Итак, F(1;7).
2) По формуле расстояния между точками
Ответ: 13.
Найти медиану треугольника по координатам вершин
Как найти медиану если даны координаты вершин треугольника?
Чтобы найти медиану треугольника по координатам его вершин, применим формулы координат середины отрезка и формулу расстояния между точками.
Рассмотрим нахождение медианы на конкретном примере.
Дано: ΔABC,
1) Так как AF — медиана треугольника ABC, то F — середина BC.
Вектор и треугольник и медиана
Медиана треугольника
Определение . Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны (рис 1).
Поскольку в каждом треугольнике имеется три вершины, то в каждом треугольнике можно провести три медианы.
На рисунке 1 медианой является отрезок BD .
Утверждение 1 . Медиана треугольника делит его на два треугольника равной площади ( равновеликих треугольника).
Доказательство . Проведем из вершины B треугольника ABC медиану BD и высоту BE (рис. 2),
и заметим, что (см. раздел нашего справочника «Площадь треугольника»)
Поскольку отрезок BD является медианой, то
что и требовалось доказать.
Утверждение 2 . Точка пересечения двух любых медиан треугольника делит каждую из этих медиан в отношении 2 : 1 , считая от вершины треугольника.
Доказательство . Рассмотрим две любых медианы треугольника, например, медианы AD и CE , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 3).
Обозначим середины отрезков AO и CO буквами F и G соответственно (рис. 4).
Теперь рассмотрим четырёхугольник FEDG (рис. 5).
Сторона ED этого четырёхугольника является средней линией в треугольнике ABC . Следовательно,
Сторона FG четырёхугольника FEDG является средней линией в треугольнике AOC . Следовательно,
Отсюда вытекает, что точка O делит каждую из медиан AD и CE в отношении 2 : 1 , считая от вершины треугольника.
Следствие . Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Доказательство . Рассмотрим медиану AD треугольника ABC и точку O , которая делит эту медиану в отношении 2 : 1 , считая от вершины A (рис.7).
Поскольку точка, делящая отрезок в заданном отношении, является единственной, то и другие медианы треугольника будут проходить через эту точку, что и требовалось доказать.
Определение . Точку пересечения медиан треугольника называют центроидом треугольника.
Утверждение 3 . Медианы треугольника делят треугольник на 6 равновеликих треугольников (рис. 8).
Доказательство . Докажем, что площадь каждого из шести треугольников, на которые медианы разбивают треугольник ABC , равна площади треугольника ABC. Для этого рассмотрим, например, треугольник AOF и опустим из вершины A перпендикуляр AK на прямую BF (рис. 9).
Свойство вектора медианы треугольника
Медиана треугольника
Определение . Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны (рис 1).
Поскольку в каждом треугольнике имеется три вершины, то в каждом треугольнике можно провести три медианы.
На рисунке 1 медианой является отрезок BD .
Утверждение 1 . Медиана треугольника делит его на два треугольника равной площади ( равновеликих треугольника).
Доказательство . Проведем из вершины B треугольника ABC медиану BD и высоту BE (рис. 2),
и заметим, что (см. раздел нашего справочника «Площадь треугольника»)
Поскольку отрезок BD является медианой, то
что и требовалось доказать.
Утверждение 2 . Точка пересечения двух любых медиан треугольника делит каждую из этих медиан в отношении 2 : 1 , считая от вершины треугольника.
Доказательство . Рассмотрим две любых медианы треугольника, например, медианы AD и CE , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 3).
Обозначим середины отрезков AO и CO буквами F и G соответственно (рис. 4).
Теперь рассмотрим четырёхугольник FEDG (рис. 5).
Сторона ED этого четырёхугольника является средней линией в треугольнике ABC . Следовательно,
Сторона FG четырёхугольника FEDG является средней линией в треугольнике AOC . Следовательно,
Отсюда вытекает, что точка O делит каждую из медиан AD и CE в отношении 2 : 1 , считая от вершины треугольника.
Следствие . Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Доказательство . Рассмотрим медиану AD треугольника ABC и точку O , которая делит эту медиану в отношении 2 : 1 , считая от вершины A (рис.7).
Поскольку точка, делящая отрезок в заданном отношении, является единственной, то и другие медианы треугольника будут проходить через эту точку, что и требовалось доказать.
Определение . Точку пересечения медиан треугольника называют центроидом треугольника.
Утверждение 3 . Медианы треугольника делят треугольник на 6 равновеликих треугольников (рис. 8).
Доказательство . Докажем, что площадь каждого из шести треугольников, на которые медианы разбивают треугольник ABC , равна площади треугольника ABC. Для этого рассмотрим, например, треугольник AOF и опустим из вершины A перпендикуляр AK на прямую BF (рис. 9).
Медиана угла
Определение медианы
Медиана треугольника — это отрезок, который соединяет вершину треугольника с
серединой противоположной стороны. Медиана делит противолежащую сторону пополам.
Основание медианы — это точка пересечения медианы со стороной треугольника.
На рисунке 1 изображены три медианы, делящие каждая свою противолежащую
сторону пополам. Медианы BF, AH, CE соответственно делят пополам свои
противолежащие стороны AC, CB, AB.
Определение и свойства медианы треугольника
В данной статье мы рассмотрим определение медианы треугольника, перечислим ее свойства, а также разберем примеры решения задач для закрепления теоретического материала.
Определение медианы треугольника
Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой стороны, расположенной напротив данной вершины.
Основание медианы – точка пересечения медианы со стороной треугольника, другими словами, середина этой стороны (точка F).
Свойства медианы
Свойство 1 (основное)
Т.к. в треугольнике три вершины и три стороны, то и медиан, соответственно, тоже три. Все они пересекаются в одной точке (O), которая называется центроидом или центром тяжести треугольника.
В точке пересечения медиан каждая из них делится в отношении 2:1, считая от вершины. Т.е.:
Свойство 2
Медиана делит треугольник на 2 равновеликих (равных по площади) треугольника.
Свойство 3
Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.
Свойство 4
Наименьшая медиана соответствует большей стороне треугольника, и наоборот.
- AC – самая длинная сторона, следовательно, медиана BF – самая короткая.
- AB – самая короткая сторона, следовательно, медиана CD – самая длинная.
Свойство 5
Допустим, известны все стороны треугольника (примем их за a, b и c).
Длину медианы ma, проведенную к стороне a, можно найти по формуле:
Примеры задач
Задание 1
Площадь одной из фигур, образованной в результате пересечения трех медиан в треугольнике, равняется 5 см 2 . Найдите площадь треугольника.
Решение
Согласно свойству 3, рассмотренному выше, в результате пересечения трех медиан образуются 6 треугольников, равных по площади. Следовательно:
S△ = 5 см 2 ⋅ 6 = 30 см 2 .
Задание 2
Стороны треугольника равны 6, 8 и 10 см. Найдите медиану, проведенную к стороне с длиной 6 см.
Решение
Воспользуемся формулой, приведенной в свойстве 5:
Применение векторов к решению задач
Этот видеоурок доступен по абонементу
У вас уже есть абонемент? Войти
На данном уроке мы рассмотрим применение векторов для решения различных геометрических задач, вспомним и докажем некоторые геометрические факты.
Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Векторы и координаты»
Решить треугольник Онлайн по координатам
1) длины и уравнения сторон, медиан, средних линий, высот, серединных перпендикуляров, биссектрис;
2) система линейных неравенств, определяющих треугольник;
2) уравнения прямых, проходящих через вершины параллельно противолежащим сторонам;
3) внутренние углы по теореме косинусов;
4) площадь треугольника;
5) точка пересечения медиан (центроид) и точки пересечения медиан со сторонами;
10) параметры вписанной и описанной окружностей и их уравнения.
Внимание! Этот сервис не работает в браузере IE (Internet Explorer).
Запишите координаты вершин треугольника и нажмите кнопку.
Пример 1:
Построить треугольник, вершины которого находятся в точках А (2; 4), В (-3; 2), С (-3; -4). Найти:
1) уравнения сторон треугольника АВС;
2) координаты точки пересечения медиан;
3) длину и уравнение высоты, опущенной из вершины А;
4) площадь треугольника.
Решение от преподавателя:
Уравнение, прямой проходящей через две точки
1) Уравнения сторон треугольника АВС
2) Координаты точки пересечения медиан
Медиана – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Координаты т. E как середины отрезка ВС.
Уравнение АЕ
Координаты т. К как середины отрезка АВ.
Уравнение СК
3) Длина и уравнение высоты, опущенной из вершины А
Расстояние от точки до прямой
Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно другой прямой
Уравнение AN
4) Площадь треугольника
Длина ВС
Пример 2:
Решение от преподавателя:
Пример 3:
По координатам вершин треугольника ABC найти:
- периметр треугольника;
- уравнения сторон AB и BC;
- уравнение высоты AD; угол ABC;
- площадь треугольника.
Сделать чертеж.
А(1; 2); В (–1; 2); С(3; 0).
Решение от преподавателя:
Пример 4:
Даны координаты вершин треугольникаА, В, С.
Требуется найти:
1) уравнение и длину стороны ВС;
2) уравнение и длину высоты, проведённой из вершиныА;
3) уравнение медианы, проведённой из вершиныА;
4) площадь треугольника.
Сделать чертёж.
А(4;-3), B(-2;-1), C(3;-2).
Решение от преподавателя:
Пример 5:
Решение от преподавателя:
1)
2)
3) Находим координаты точки М – середины стороны ВС:
Определяем длину медианы АМ:
4) Составляем уравнение медианы – прямой АМ:
5) Если ВН – высота, проведенная из вершины В к стороне АС, то, поскольку ВН проходит через точку В перпендикулярно вектору , то составляем уравнение высоты по формуле , где (a,b) – координаты вектора перпендикулярного искомой прямой, – координаты точки, принадлежащей этой прямой. Находим координаты вектора АС:
и подставляем в формулу, ,
6) Длину высоты ВН находим как расстояние от точки В до прямой АС:
7) Площадь треугольника АВС:
Находим угол ВАС треугольника:
9) Составляем уравнение прямой, проходящей через т.А параллельно ВС:
Ответ:
Пример 6:
Решение от преподавателя:
- Уравнение прямой
Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1) и A2(x2; y2), представляется уравнениями:
Уравнение прямой AB
Каноническое уравнение прямой:
или
или
y = -3/7x + 16/7 или 7y + 3x — 16 = 0 - Обозначим середину стороны AB буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.
M(3;1)
Уравнение медианы CM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана CМ проходит через точки C(-8;2) и М(3;1), поэтому:
Каноническое уравнение прямой:
или
или
y = -1/11x + 14/11 или 11y + x — 14 = 0 - Уравнение высоты через вершину C
Прямая, проходящая через точку N0(x0;y0) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:
Найдем уравнение высоты через вершину C
y = 7/3x + 62/3 или 3y -7x — 62 = 0 - уравнение параллельной прямой AB, проходящей через точку (-8,2)
Уравнение прямой AB: y = -3/7x + 16/7
Уравнение KN параллельно AB находится по формуле:
y — y0 = k(x — x0)
Подставляя x0 = -8, k = -3/7, y0 = 2 получим:
y-2 = -3/7(x-(-8))
или
y = -3/7x — 10/7 или 7y + 3x +10 = 0
Пример 7:
Даны координаты вершин треугольника: A(1,1), B(4,13), C(10,5).
Решение от преподавателя:
4) Уравнение высоты через вершину C
Прямая, проходящая через точку N0(x0;y0) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:
Найдем уравнение высоты через вершину C
y = -1/4x + 15/2 или 4y +x -30 = 0
Данное уравнение можно найти и другим способом. Для этого найдем угловой коэффициент k1 прямой AB.
Уравнение AB: y = 4x -3, т.е. k1 = 4
Найдем угловой коэффициент k перпендикуляра из условия перпендикулярности двух прямых: k1*k = -1.
Подставляя вместо k1 угловой коэффициент данной прямой, получим:
4k = -1, откуда k = -1/4
Так как перпендикуляр проходит через точку C(10,5) и имеет k = -1/4,то будем искать его уравнение в виде: y-y0 = k(x-x0).
Подставляя x0 = 10, k = -1/4, y0 = 5 получим:
y-5 = -1/4(x-10)
или
y = -1/4x + 15/2 или 4y + x — 30 = 0
Найдем точку пересечения с прямой AB:
Имеем систему из двух уравнений:
y -4x +3 = 0
4y + x — 30 = 0
Из первого уравнения выражаем y и подставим во второе уравнение.
Получаем:
x = 42/17
y = 117/17
D(42/17;117/17)
Длина высоты треугольника, проведенной из вершины C
Расстояние d от точки M1(x1;y1) до прямой Ax + By + С = 0 равно абсолютному значению величины:
Найдем расстояние между точкой C(10;5) и прямой AB (y -4x +3 = 0)
5,7) Уравнение медианы треугольника
Обозначим середину стороны BC буквой Е. Тогда координаты точки Е найдем по формулам деления отрезка пополам.
Е(7;9)
Уравнение медианы AЕ найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки A(1;1) иЕ(7;9), поэтому:
Каноническое уравнение прямой:
или
или
y = 4/3x -1/3 или 3y -4x +1 = 0
Найдем длину медианы.
Расстояние между двумя точками выражается через координаты формулой:
6) CD—диаметр окружности. Центр окружности точка О лежит в середине отрезка CD
Уравнение окружности (x-x0)2+(y-y0)2=r2
(x-106/17)2+(y-101/17)2=256/17
Уравнение прямой, параллельной CD, проходящей через точку A
Так как прямая проходит через точку А(1,1) и имеет k = -1/4, ( так как уравнение CD:y = -1/4x + 15/2 или 4y + x — 30 = 0 ),
то будем искать уравнение в виде: y-y0 = k(x-x0).
Подставляя x0 = 1, k = -1/4, y0 = 1получим:
y-1 = -1/4(x-1)
или
y = -1/4x + ¼+1 или 4y + x — 5 = 0
Пример 8:
Решение от преподавателя:
Точка D – середина стороны АВ , ее координаты равны полусумме координат А и В. Получим D(1, -1)
Пример 9:
Даны координаты вершин треугольника АВС: А (3,-2), В (-5,-4), С (-1,6).
Найдите: 1) уравнения сторон треугольника АВ, ВС и АС;
2) периметр (сумму длин) треугольника;
3) уравнение высоты СН;
4) расстояние d от точки С до прямой АВ;
5) сделайте чертеж.
Решение от преподавателя:
Решение.
1) уравнения сторон треугольника АВ, ВС и АС
Уравнение, прямой проходящей через две точки
2) периметр (сумму длин) треугольника
Расстояние между двумя точками
3) уравнение высоты СН
Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно другой прямой
4) расстояние d от точки С до прямой АВ
Расстояние от точки до прямой
Пример 10:
Даны вершины A (x1; y1), B (x2; y2), C (x3; y3) треугольника.
Найти: 1) уравнение стороны AB;
2) уравнение медианы, проведенной из вершины C;
3) уравнение высоты, проведенной из вершины C ;
4) уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне AB .
A (6; 0), B (2; − 6), C (−3; −9).
Решение от преподавателя:
Пример 11:
Решение от преподавателя:
Пример 12:
Дан треугольник с координатами вершин найти:
а) длину стороны AB;
б) косинус угла ABC;
в) площадь треугольника ABC (через векторное произведение);
Решение от преподавателя:
Пример 13:
Решение от преподавателя:
Даны координаты вершин треугольника: A(6,0), B(2,-6), C(-3,-9).
1) Уравнение прямой
Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1) и A2(x2; y2), представляется уравнениями:
Уравнение прямой AB
Каноническое уравнение прямой:
или
или
y = 3/2x -9 или 2y -3x +18 = 0
2) Уравнение медианы треугольника
Обозначим середину стороны AB буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.
M(4;-3)
Уравнение медианы CM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана CМ проходит через точки C(-3;-9) и М(4;-3), поэтому:
Каноническое уравнение прямой:
или
или
y = 6/7x -45/7 или 7y -6x +45 = 0
3) Уравнение высоты через вершину C
Прямая, проходящая через точку N0(x0;y0) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:
Найдем уравнение высоты через вершину C
y = -2/3x -11 или 3y +2x + 33 = 0
4) Уравнение прямой, параллельной AB, проходящей через С(-3,-9)
Уравнение прямой AB: 2y -3x +18 = 0
Уравнение СN параллельно AB находится по формуле:
Или 2y -3x +9 = 0
Пример 14:
Даны вершины треугольника А(8,1), В(0,3), С(-2,-3). Напишите уравнения стороны AB, медианы AD, высоты BE.
Решение от преподавателя:
Даны координаты вершин треугольника: A(8,1), B(0,3), C(-2,-3).
1) Уравнение прямой (АВ)
Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1) и A2(x2; y2), представляется уравнениями:
Уравнение прямой AB
или
или
4y + x — 12 = 0
2)Уравнение медианы (АD)
Обозначим середину стороны BC буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.
M(-1;0)
Уравнение медианы AM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана AМ проходит через точки A(8;1) и М(-1;0), поэтому:
или
или
y = 1/9x + 1/9 или 9y -x — 1 = 0
3) Уравнение высоты через вершину B
Найдем уравнение высоты через вершину B
Для этого найдем угловой коэффициент k1 прямой AC.
Уравнение прямой AC
уравнение прямой, проходящей через 2 точки:
или
или
y = 2/5x -11/5 т.е. k1 = 2/5
Найдем угловой коэффициент k перпендикуляра из условия перпендикулярности двух прямых: k1*k = -1.
Подставляя вместо k1 угловой коэффициент данной прямой, получим:
2/5k = -1, откуда k = -5/2
Так как перпендикуляр проходит через точку B(0,3) и имеет k = -5/2,то будем искать его уравнение в виде: y-y0 = k(x-x0).
Подставляя x0 = 0, k = -5/2, y0 = 3 получим:
y-3 = -5/2(x-0)
или
y = -5/2x + 3 или 2y + 5x — 6 = 0 — уравнение (ВЕ)
Пример 15:
Дан треугольник АВС. Найти:
а) величину угла А;
б) уравнение стороны АС;
в) уравнение высоты и медианы, опущенных из вершины В.
Сделать чертеж.
А(-1,2); В(1,3); С(3,-4).
Решение от преподавателя:
Пример 16:
Треугольник задан вершинами А(-6; -2); В(4; 8); С(2; -8). Найти:
а) уравнение прямой BN, параллельной стороне АС;
б) уравнение медианы CD;
в) уравнение высоты АЕ;
Решение от преподавателя:
а) уравнение прямой BN, параллельной стороне АС;
Уравнение прямой AC:
Каноническое уравнение прямой:
или
или
y = -3/4x -13/2 или 4y + 3x +26 = 0
Уравнение BN параллельно AC находится по формуле:
y — y0 = k(x — x0)
Подставляя x0 = 4, k = -3/4, y0 = 8 получим:
y-8 = -3/4(x-4)
или
y = -3/4x + 11 или 4y + 3x — 44 = 0
б) уравнение медианы CD;
Обозначим середину стороны AB буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.
M(-1;3)
Уравнение медианы CM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана CМ проходит через точки C(2;-8) и М(-1;3), поэтому:
Каноническое уравнение прямой:
или
или
y = -11/3x -2/3 или 3y + 11x +2 = 0
в) уравнение высоты АЕ;
Прямая, проходящая через точку Е0(x0;y0) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:
Найдем уравнение высоты через вершину A
y = -1/8x — 11/4 или 8y +x + 22 = 0
Пример 17:
A(1, 2), В(5, 8), С(11, 3).
Решение от преподавателя:
Пример 18:
В ∆ABC вершины имеют координаты точки А (-3;4), точки В (-4;-3), точки С (8;1).
Составить уравнения стороны (AB), высоты (ВК) и медианы (CМ).
Решение от преподавателя:
Уравнение прямой AB
Каноническое уравнение прямой:
или
или
x +4 = 0 или x = -4
Уравнение прямой AC
Каноническое уравнение прямой:
или
или
y = -1/4x + 3 или 4y + x — 12 = 0
Найдем уравнение высоты через вершину B
y = 4x + 13 или y -4x — 13 = 0
Уравнение медианы CM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана CМ проходит через точки C(8;1) и М(-4;1/2), поэтому:
Каноническое уравнение прямой:
или
или
y = 1/24x + 2/3 или 24y -x — 16 = 0
Пример 19:
Дан треугольник ABC с координатами вершин A(-5;-3; 2), B(-2;-6;-3) и C(-2; 2;-1).
Найти:
а) длину стороны АВ;
б) косинус угла ABC;
в) площадь треугольника АВС (через векторное произведение).
Решение от преподавателя:
Решить треугольник Онлайн по координатам
Данный онлайн-сервис вычисляет (показываются промежуточные расчёты) следующие параметры треугольника:
1) длины и уравнения сторон, медиан, средних линий, высот, серединных перпендикуляров, биссектрис;
2) система линейных неравенств, определяющих треугольник;
2) уравнения прямых, проходящих через вершины параллельно противолежащим сторонам;
3) внутренние углы по теореме косинусов;
4) площадь треугольника;
5) точка пересечения медиан (центроид) и точки пересечения медиан со сторонами;
10) параметры вписанной и описанной окружностей и их уравнения.
Внимание! Этот сервис не работает в браузере IE (Internet Explorer).
Запишите координаты вершин треугольника и нажмите кнопку.
Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
Ответ:
Пошаговое объяснение:
D(x;y), x=2+6/2=4, y=5-3/2=1, D(4;1), D- середина отрезка АС, уравнение прямой ах+ву+с=0, подставим в это ур-е координаты точки В и затем точки D, -6а-4в+с=0 и 4а+в+с=0, в=-4а-с, подставим в 1-е ур-е, -6а-4(-4а-с)+с=0, -6а+16а+4с+с=0, 10а+5с=0, а=-1/2 с, подставим в=-4а-с=-4*(-1/2 с)-с=2с-с, в=с, полученные а и в подставим в ур-е прямой, получим: -1/2сх+су+с=0, поделим на «с», -1/2х+у+1=0, х-2у-2=0