Как найти меньший угол данного треугольника

Свойства сторон и углов треугольника

Рассматриваются три точки, не лежащие на одной прямой, и три отрезка, соединяющие эти точки.

Треугольником называют часть плоскости, ограниченную этими отрезками, отрезки называют сторонами треугольника , а концы отрезков – вершинами треугольника .

Длины сторон треугольника удовлетворяют неравенству треугольника : длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон.

a неравенству треугольника : длина любой стороны треугольника больше модуля разности длин двух других сторон.

Сумма углов треугольника равна 180°

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

Величина большего угла треугольника не может быть меньшей, чем 60°.

,

где α – больший угол треугольника.

Величина меньшего угла треугольника не может быть большей, чем 60°.

,

где β – меньший угол треугольника.

,

Фигура	Рисунок	Формулировка
Треугольник
Большая сторона треугольника		Против большей стороны треугольника лежит больший угол
Больший угол треугольника	Против большего угла треугольника лежит большая сторона
Меньшая сторона треугольника		Против меньшей стороны треугольника лежит меньший угол
Меньший угол треугольника	Против меньшего угла треугольника лежит меньшая сторона
Длины сторон треугольника
Углы треугольника
Внешний угол треугольника
Больший угол треугольника
Меньший угол треугольника
Теорема косинусов
Теорема синусов

Рассматриваются три точки, не лежащие на одной прямой, и три отрезка, соединяющие эти точки.

Определение . Треугольником называют часть плоскости, ограниченную этими отрезками, отрезки называют сторонами треугольника , а концы отрезков – вершинами треугольника .

Длины сторон треугольника удовлетворяют неравенству треугольника : длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон.

a неравенству треугольника : длина любой стороны треугольника больше модуля разности длин двух других сторон.

Сумма углов треугольника равна 180°

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

Величина большего угла треугольника не может быть меньшей, чем 60°.

,

где α – больший угол треугольника.

Величина меньшего угла треугольника не может быть большей, чем 60°.

,

где β – меньший угол треугольника.

,

Треугольник
Большая сторона треугольника
	Против большей стороны треугольника лежит больший угол
Больший угол треугольника
	Против большего угла треугольника лежит большая сторона
Меньшая сторона треугольника
	Против меньшей стороны треугольника лежит меньший угол
Меньший угол треугольника
	Против меньшего угла треугольника лежит меньшая сторона
Длины сторон треугольника
Углы треугольника
Внешний угол треугольника
Больший угол треугольника
Меньший угол треугольника
Теорема косинусов
Теорема синусов

Треугольник

Рассматриваются три точки, не лежащие на одной прямой, и три отрезка, соединяющие эти точки.

Определение . Треугольником называют часть плоскости, ограниченную этими отрезками, отрезки называют сторонами треугольника , а концы отрезков – вершинами треугольника .

Большая сторона треугольника

Свойство большей стороны треугольника:

Против большей стороны треугольника лежит больший угол

Больший угол треугольника

Свойство большего угла треугольника:

Против большего угла треугольника лежит большая сторона

Меньшая сторона треугольника

Свойство меньшей стороны треугольника:

Против меньшей стороны треугольника лежит меньший угол

Меньший угол треугольника

Свойство меньшего угла треугольника:

Против меньшего угла треугольника лежит меньшая сторона

Длины сторон треугольника

Длины сторон треугольника удовлетворяют неравенству треугольника : длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон.

a неравенству треугольника : длина любой стороны треугольника больше модуля разности длин двух других сторон.

Углы треугольника

Свойство углов треугольника:

Сумма углов треугольника равна 180°

Внешний угол треугольника

Свойство внешнего угла треугольника:

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

Больший угол треугольника

Свойство большего угла треугольника:

Величина большего угла треугольника не может быть меньшей, чем 60°.

,

где α – больший угол треугольника.

Меньший угол треугольника

Свойство меньшего угла треугольника:

Величина меньшего угла треугольника не может быть большей, чем 60°.

,

где β – меньший угол треугольника.

Теорема косинусов

Теорема синусов

Свойство меньшего угла треугольника:

,

Как найти меньший угол данного треугольника?

В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла = 39гр. Как найти меньший угол данного треугольника?

Пусть ABC — треугольник, и угол B — ппрямой.
Пусть BL — высота, проведенная из вершины прямого угла B,
BM — бисектриса, проведенная из угла B, при этом на стороне АС
точки находятся в таком порядке: A, L, M, C
Начертите такой треугольник, чтобы было понятнее.

Имеем — угол ABM = 45. угол MBC = 45 ( так как BM — биссектриса угла ABC)
Угол LBM = 39 гр (по условию)

Поэтому угол LBC = угол LBM + угол MBC = 39 гр + 45 гр = 84 гр
Но в прямоугольном треугольнике LBC сумма
угол LBC + угол BCL = 90 гр
Но угол LBC = 84 гр, следовательо угол BCL = 6 гр
Угол BCL — есть угол BCA нашего треугольника ABC

Угол LBA = угол MBA — угол LBM = 45 гр — 39 гр =6 гр
Но в прямоугольном треугольнике LBA сумма
угол LBA + угол BAL = 90 гр
Но угол LBA = 6 гр, следовательо угол BAL = 84 гр
Угол BAL — есть угол BAC нашего треугольника ABC

Итак, углы заданного треугольника ABC
угол BCA = 6 гр, угол BAC = 84 гр
Наименьший угол BCA = 6 гр.

Как найти углы прямоугольного треугольника

Онлайн калькулятор

Чтобы найти острые углы прямоугольного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):

• для угла α:
  • угол β
  • длины катетов a и b
  • длину гипотенузы (с) и длину одного из катетов
• для угла β:
  • угол α
  • длины катетов a и b
  • длину гипотенузы (с) и длину одного из катетов

Введите их в соответствующие поля и получите результат.

Найти угол α зная угол β и наоборот

Формула

Найти углы прямоугольного треугольника зная катеты

Катет a =
Катет b =

Чему равны острые углы (α и β) прямоугольного треугольника если известны оба катета (a и b)?

Формулы

Пример

Для примера определим чему равны углы α и β в градусах если катет a = 5 см, а катет b = 2 см:

Найти углы прямоугольного треугольника по катету и гипотенузе

Гипотенуза c =
Катет =

Чему равны острые углы (α и β) прямоугольного треугольника если известны гипотенуза c и один из катетов (a или b)?

автор вопроса выбрал этот ответ лучшим

23
Июл 2013

Категория: 01 Геометрия

01. Прямоугольный треугольник. Вычисление углов и длин

2013-07-23
2022-09-11

Автор: egeMax |

Нет комментариев

Для вас несколько заданий — в условии дан прямоугольный треугольник. В условии говорится о вычислении углов между высотой и биссектрисой, медианой и биссектрисой, высотой и медианой проведёнными из прямого угла.

Это группа заданий входит в состав ЕГЭ по математике. Задачи несложные, требуется знание теоремы о сумме углов треугольника, свойств равнобедренного треугольника и немного логики. Да! Есть один нюанс — задачи, в  которых говорится о медиане проведённой к гипотенузе необходимо знать одно свойство, теорию можно посмотреть здесь. Приступим!

Один острый угол прямоугольного треугольника в 4 раза больше другого.  Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах.

Обозначим меньший острый угол прямоугольного треугольника через x. Тогда больший острый угол данного  треугольника будет равен 4х.

По свойству прямоугольного треугольника сумма его острых углов равна 90^о. Отсюда получаем уравнение  х + 4х = 90^о.

Вычисляем, получим 5х = 90^о,  х = 18^о.

Следовательно больший угол будет равен 18^о ∙ 4 = 72^о

Ответ: 72

Острый угол прямоугольного треугольника равен 32^о. Найдите острый угол, образованный биссектрисами этого и прямого углов треугольника. Ответ дайте в градусах.

Нам необходимо найти угол COD. По условию известно, что CE и AD  — это  биссектрисы (делят углы пополам). Это означает, что угол CAD равен 32^о, а угол ACO равен 45^о. По теореме о сумме углов треугольника мы можем найти угол AOC, и далее угол COD. Итак, известно, что сумма углов треугольника равна 180^о, следовательно

Углы AOC и COD  смежные, то есть их сумма равна 180^о. Таким образом, искомый угол (острый угол между данными биссектрисами) равен 61 градусу.

Ответ: 61

*Если в подобных задачах вы сразу не видите ход решения, то ищите те элементы, которые можно найти исходя из условия в первую очередь. А далее уже используйте найденные значения.

Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.

В условии нам не даны ни какие величины, кроме того, что угол С прямой. Это говорит  о том, что их необходимо ввести, то есть в данном случае мы можем обозначить угол через переменную,  а далее использовать свойства прямоугольного треугольника и теорему о сумме углов.

Обозначим угол CAD как х. Тогда угол CBA будет равен 90^о – х.

Рассмотрим треугольник AOB:

Можем найти угол AOB:

Значит острый угол между биссектрисами будет равен 45^о, так является смежным углу 135^о.

Как видите, не всегда нужны численные величины в условии. Достаточно знать свойства, включить логику и задача будет решена.

Ответ: 45

В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла, равен 21^о. Найдите меньший угол данного треугольника. Ответ дайте в градусах. 

Сразу отметим, что в треугольнике CDH нам известны два угла. Используя теорему о сумме углов треугольника мы можем найти угол CDH. То есть:

Теперь мы можем найти угол В в треугольнике CDВ. Так как CD биссектриса, то угол BCD равен 45^о, угол CDB мы нашли.

Значит угол В равен 180^о–45^о–69^о=66^о. По свойству прямоугольного треугольника: сумма острых углов в нём равна 90 градусов.

Следовательно  другой острый угол будет равен 24^о.

Ответ: 24

Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника, проведенными из вершины прямого угла, равен 14^о. Найдите меньший угол этого треугольника. Ответ дайте в градусах. 

Нам дан угол MCD равный 14^о. Так же нам известен угол DCB, он равен 45^о, так как CD биссектриса. Можем найти угол MCB: 14^о + 45^о = 59^о.

Как уже сказано, медиана в прямоугольном треугольнике проведённая из прямого угла к гипотенузе равна её половине. То есть, она разбивает прямоугольный треугольник на два равнобедренных треугольника, в данном случае AMC и BMC. Известно, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть угол MBC равен углу BCM. Таким образом,

То есть, меньший угол равен 31^о.

Ответ: 31

Один острый угол прямоугольного треугольника на 32^о  больше другого. Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

В треугольнике АВС угол С равен 90^о, СН  — высота, угол А равен 34^о. Найдите угол ВСН. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

В треугольнике ABC CD  — медиана, угол ACB равен 90^о, угол В равен 58^о. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

Острые углы прямоугольного треугольника равны 29^о  и 61^о. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

Острые углы прямоугольного треугольника равны 24^о и 66^о. Найдите угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла, равен 40^о. Найдите больший из острых углов этого треугольника. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

Острые углы прямоугольного треугольника равны 24^о и 66^о. Найдите угол между биссектрисой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

Какие общие рекомендации можно дать?

1. Используйте теорему о сумме углов треугольника. Это одна из основных теорем, связанных с треугольниками, её нужно всегда помнить.

2. Нужно чётко помнить, что такое медиана, биссектриса, высота (не перепутать).

3. Запомните свойство медианы  в прямоугольном треугольнике.

4. В задачах, где в условии не даны численные величины углов, обозначайте их переменной(ыми) и далее используйте известные вам свойства.

5. Если не видите каким путём строить решение, и сразу не можете увидеть логическую цепочку рассуждений, то исходя из данных в условии ищите то, что возможно найти. Получив новые величины, также смотрите, что вы можете найти при их использовании.

На этом всё. Успеха Вам!

С уважением, Александр

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах. 

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте. 

Как быстро и эффективно исправить почерк?  Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.