Как найти меньшую по площади боковую грань

Как найти площадь грани параллелепипеда

Пространственная фигура под названием параллелепипед имеет несколько числовых характеристик, в том числе площадь поверхности. Чтобы ее определить, нужно найти площадь каждой грани параллелепипеда и сложить получившиеся величины.

Инструкция

Начертите параллелепипед с помощью карандаша и линейки, расположив основания горизонтально. Это классическая форма представления фигуры, с помощью которой можно наглядно показать все условия задачи. Тогда решить ее будет гораздо легче.

Посмотрите на рисунок. У параллелепипеда – шесть попарно параллельных граней. Каждая пара представляет собой равные двухмерные фигуры, которые в общем случае являются параллелограммами. Соответственно, их площади также равны. Таким образом, полная поверхность складывается из суммы трех удвоенных величин: площади верхнего или нижнего основания, фронтальной или задней грани, правой или левой грани.

Чтобы найти площадь грани параллелепипеда, нужно рассмотреть ее как отдельную фигуру с двумя измерениями, длиной и шириной. По общеизвестной формуле площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.

У прямого параллелепипеда только основания являются параллелограммами, все его боковые грани имеют форму прямоугольника. Площадь этой фигуры получается путем умножения длины на ширину, поскольку она совпадает с высотой. Кроме того, существует прямоугольный параллелепипед, все грани которого – прямоугольники.

Куб – тоже параллелепипед, который обладает уникальным свойством – равенством всех измерений и числовых характеристик граней. Площадь каждой его стороны равна квадрату длины любого ребра, а полная поверхность получается умножением этой величины на 6.

Форму параллелепипеда с прямыми углами часто можно встретить в повседневной жизни, например, при строительстве домов, создании предметов мебели, бытовой техники, детских игрушек, канцелярских принадлежностей и т.д.

Пример: найдите площадь каждой боковой грани прямого параллелепипеда, если известно, что высота равна 3 см, периметр основания – 24 см, а длина основания больше ширины на 2 см.Решение.Запишите формулу периметра параллелограмма P = 2•а + 2•b. По условию задачи b = а + 2, следовательно, P = 4•а + 4 = 24, откуда а = 5, b = 7.

Найдите площадь боковой грани фигуры со сторонами 5 и 3 см. Это прямоугольник:Sб1 = 5•3 = 15 (см²).Площадь параллельной боковой грани, по определению параллелепипеда, также равна 15 см². Осталось определить площадь другой пары граней со сторонами 7 и 3:Sб2 = 3•7 = 21 (см²).

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

План урока:

Понятие многогранника

Теорема Эйлера

Призма

Типичные задачи на призмы

Понятие многогранника

Ранее мы уже познакомились с тетраэдром и параллелепипедом. Поверхность тетраэдра состоит из 4 треугольников, а параллелепипеда – из 6 параллелограммов. Они являются частными случаями такой фигуры, как многогранник.

Надо понимать, что под многогранником понимают одновременно как поверхность, составленную из многоуг-ков, так и тот объем, который эта поверхность ограничивает. Иногда, чтобы отличать два этих понятия, используют термин «поверхность многогранника».

Каждый многоугольник, образующий поверхность многогранника, именуется гранью многогранника. При этом предполагается, что любые две соседние грани находятся в разных плос-тях.

Многоугольники, образующие поверхность многогранника, имеют свои стороны,которые именуют ребрами многогранника. Вершины же этих многоуг-ков именуют вершинами многогранников. Можно утверждать, что ребра – это отрезки, по которым пересекаются соседние грани. В свою очередь вершины – это точки, где пересекаются соседние ребра. Отрезок, соединяющий две вершины, которые не принадлежат одной грани, именуется диагональю многогранника. Важно отметить, что каждое ребро принадлежит ровно 2 граням. Вершина принадлежит как минимум трем граням, однако может принадлежать и большему их числу.

Если все точки многогранника находятся по одну сторону от любой плос-ти, проходящей через какую-либо грань многогранника, то он называется выпуклым. В противном случае, если через одну из граней проходит плос-ть, «разрезающая» многогранник на две других фигуры, многогранник именуют невыпуклым. На бытовом уровне это означает, что выпуклый многогранник можно поставить на ровную поверхность (например, стол) на любую грань. А вот у невыпуклого многогранника найдется такая грань, на которую его поставить нельзя. Покажем несколько примеров:

На рисунке у невыпуклых многогранников красным цветом показаны плос-ти, которые рассекают многогранник. На эти грани не получится «поставить» многогранник – будет мешать выступающая часть. Заметим, что в выпуклом многограннике всякая диагональ лежит внутри фигуры. А вот у невыпуклого многогранника можно соединить вершины отрезком, лежащим вне объема фигуры. Добавим, что у выпуклого многогранника каждая грань обязательно является выпуклым многоугольником.

Теорема Эйлера

У каждого многогранника можно подсчитать количество граней, вершин и ребер. Например, у тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 ребер. В свою очередь у параллелепипеда уже 6 граней, 8 вершин и 12 граней. Есть ли какая-то взаимосвязь между этими числами?

Можно заметить, что если у тетраэдра сложить число вершин и граней, а далее вычесть из суммы количество ребер, то получится число 2:

4 + 4 — 6 = 2

Если выполнить такие же действия для параллелепипеда, то снова получится двойка:

6 + 8 — 12 = 2

Оказывается, это не просто совпадение. Для любого выпуклого многогранника справедлива теорема Эйлера:

Мы не будем доказывать эту теорему, так как ее доказательство достаточно сложное. Отдельно отметим, что для невыпуклых многогранников эта теорема может и не выполняться.

Задание. Известно, что некоторый выпуклый многогранник состоит из 20 граней и имеет 30 ребер. Сколько у него вершин?

Решение. Запишем теорему Эйлера:

Задание. Поверхность выпуклого многогранника составлена из 12 пятиугольников. Сколько у такого многогранника ребер и вершин?

Решение. У многогранника будет ровно 12 граней. Попробуем подсчитать количество ребер. Так как каждая представляет собой пятиугольник, то все вместе они имеют 12•5 = 60 ребер. Однако при этом мы каждое ребро подсчитали дважды, ведь любое ребро принадлежит строго 2 граням. То есть на самом деле есть только 60:2 = 30 ребер. По теореме Эйлера легко подсчитаем и количество вершин:

Задание. Выпуклый многогранник имеет 8 граней, из них 4 – это четырехугольники, а ещё 4 – пятиугольники. Сколько у него ребер и вершин?

Решение. Как и в предыдущей задаче, снова сложим количество сторон всех граней:

Задание. Существует ли выпуклый многогранник, каждая грань которого является шестиугольником?

Предположим, что такой многогранник существует, и у него Г граней. Тогда его грани имеют в сумме 6Г сторон. Но каждая из этих сторон будет ребром ровно для 2 граней, поэтому всего будет 3Г ребер:

Теперь вспомним, что в каждой вершине сходятся не менее трех ребер. Значит, если мы посчитаем все ребра, выходящие из каждого ребра, то получим величину, не меньшую 3В. Но, так как каждое ребро проходит строго через 2 вершины, мы снова подсчитали ребра дважды. То есть количество ребер будет не меньше 3/2В, или 1,5В:

Это неравенство противоречит полученному ранее равенству Р = 3Г. Противоречие показывает, что на самом деле не может существовать выпуклый многогранник, каждая грань которого – шестиугольник, ч. т. д.

Примечание. Аналогично можно продемонстрировать, что не может существовать и выпуклый многогранник, поверхность которого состоит из многоуг-ков, каждый из которых имеет не менее 6 сторон. Другими словами, любой выпуклый многогранник имеет хотя бы одну грань, которая является треугольником, четырехугольником или пятиугольником.

Призма

Пусть в некоторой плос-ти α есть n-угольник с вершинами А₁, А₂, А₃,…, А_n. Пусть в другой плос-ти β, которая параллельна α, есть равный ему многоуг-к В₁В₂В₃…В_n, причем отрезки А₁В₁, А₂В₂, А₃В₃…, А_nВ_n параллельны друг другу:

В результате мы получили геометрическую фигуру, которую именуют призмой. Многоуг-ки А₁А₂А₃…А_n и В₁В₂В₃…В_n именуются основаниями призмы, а все остальные грани – это боковые грани призмы. Можно доказать, что боковые грани – это параллелограммы. Действительно, в четырехуг-ке А₁А₂В₂В₁ стороны А₁В₁ и А₂В₂ параллельны по условию. Также они равны по теореме 12 из этого урока. Это и значит, что А₁А₂В₂В₁ – это параллелограмм (по одному из его признаков). Тоже самое можно доказать и для остальных боковых граней. Теперь мы можем сформулировать определение призмы:

Ребра призмы, не принадлежащие основанию, именуются боковыми ребрами призмы. Ясно, что любые два соседних ребра параллельны, ведь они являются сторонами параллелограммами. Но тогда по свойству транзитивности параллельности получается, что вообще любые два боковых ребра параллельны. Если из какой-нибудь точки основания построен перпендикуляр к противоположному основанию, то он именуется высотой призмы:

Естественно, что высота перпендикулярна обоим основаниям. Возможна ситуация, когда высота падает не на основание, а на какую-нибудь точку плос-ти основания, не находящуюся внутри него. Ясно, что все высоты призмы имеют одинаковую длину независимо от того, через какие точки они проведены, ведь высота по своей сути – это расстояние между плос-тями оснований.

Особый интерес вызывают призмы, где боковые ребра и основания перпендикулярны друг другу. Такие призмы именуются прямыми. Ясно, что у них боковые грани оказываются уже не просто параллелограммами, а уже прямоуг-ками. При этом любое боковое ребро одновременно является и высотой. Все остальные призмы именуют наклонными.

Если в основании призмы находится n-угольник, то призму называют n-угольной. В частности, в основании треугольной призмы лежит треуг-к, в основании десятиугольной призмы находится десятиугольник и т. д. Наконец, в особую группу выделяют прямые призмы, основаниями которых представляют собой правильные многоуг-ки. Их так и именуют – правильные призмы.

Если сложить площадь всех граней призмы, то получится сумма, которую именуют площадью полной поверхности призмы. Обычно ее обозначают как S_полн. Если же складываются только площади боковых граней, то в сумме получается площадь боковой поверхности призмы, обозначаемая как S_бок. Если площадь основания призмы обозначить как S_осн., то справедлива будет очевидная формула:

Действительно, пусть есть прямая призма с основаниями А₁А₂…А_n и B₁B₂…B_n:

Так как ее боковые ребра перпендикулярны основаниям, то они должны быть перпендикулярны и тем ребрам, которые образуют основания. Это значит, каждая боковая грань – это прямоуг-к. При этом боковые ребра – это одновременно и высоты призмы. Тогда площадь боковых граней вычисляется так:

Отметим наконец, что параллелепипед можно считать частным случаем призмы, а прямоугольный параллелепипед – частным случаем прямой призмы.

Типичные задачи на призмы

Призмы нередко встречаются в заданиях ЕГЭ, поэтому важно уметь решать задачи, в которых используются эти фигуры.

Задание. Сколько диагоналей имеет n-угольная призма?

Решение. В любом многограннике диагональ соединяет точки, не лежащие на одной грани. Каждая вершина призмы принадлежит одному из оснований, причем в n-угольной призме каждому основанию принадлежат n вершин.

Возьмем произвольную вершину на одном из оснований и посчитаем, сколько диагоналей из нее можно провести. Если соединять ее отрезками с другими вершинами, принадлежащему тому же основанию, то получатся диагонали грани, но не диагонали призмы (зеленые линии на рисунке):

Значит, остается только провести прямые к тем вершинами, которые лежат в другом основании. Так как в другом основании находятся n вершин, то и отрезков будет ровно n. Однако три из них не будут диагоналями (показаны на рисунке синим цветом), так как будут либо являться одним из ребер призмы либо одной из диагоналей. Получается, что из вершины можно провести (n – 3) диагоналей. Так как в основании находятся n вершин, то всего можно построить n•(n– 3) диагоналей.

Ответ: n•(n – 3) диагоналей.

Задание. Длина стороны правильной треугольной призмы составляет 8 см, а ее боковое ребро имеет длину 6 см. Через сторону основания проведено сечение, которое пересекает другое основание в противолежащей вершине. Какова площадь этого сечения?

Решение. Выполним построение по условию задачи:

Здесь сечение проведено через ребро В₁С₁ и противолежащую ей вершину А. Призма правильная, поэтому ее основания ∆АВС и ∆А₁В₁С₁ – это равносторонние треуг-ки, и все их стороны равны 8 см. По определению правильная призма обязательно ещё и прямая. Тогда боковые грани – прямоуг-ки.

∆АВВ₁ – прямоугольный, с помощью теоремы Пифагора мы можем вычислить его гипотенузу АВ₁:

Аналогично можно вычислить, что и диагональ АС₁ также равна 10 см. Вообще в правильных призмах все грани – это равные друг другу прямоуг-ки, поэтому и диагонали у них одинаковы.

Длина ребра В₁С₁ составляет 8 см. Получается, нам надо вычислить площадь равнобедренного ∆АВ₁С₁ с основанием 8 см и боковыми сторонами 10 см. Это можно сделать множеством способов. Самый простой из них заключается в использовании формулы Герона. Для ее применения сначала вычислим полупериметр ∆АВ₁С₁:

Задание. В основании призмы находится равносторонний ∆АВС. Ребро АА₁ образует одинаковые углы с ребрами АС и АВ. Докажите, что ребра АА₁ и ВС перпендикулярны и что СС₁В₁В – прямоуг-к.

Решение. Выполняем построение:

По условию ∠А₁АВ и ∠А₁АС одинаковы. Проведем диагонали А₁В и А₁С. В итоге мы получим ∆А₁АВ и А₁АС. У них есть АА₁ – общая сторона, стороны АВ и АС одинаковы (ведь ∆АВС – равносторонний), а углы между ними одинаковы. Значит, ∆А₁АВ и А₁АС равны, и тогда диагонали А₁В и А₁С одинаковы.

Получается, что точка А₁ равноудалена вершин В и С. Аналогично и точка А равноудалена от В и С, ведь АВ и АС одинаковы. Это значит, что и А₁, и А лежат на серединных перпендикулярах, проведенных к отрезку ВС:

Обозначим середину ВС как Н, тогда НА₁ и НА – серединные перпендикулярны. То есть ВС⊥АН и ВС⊥А₁Н. Но это значит (по признаку перпендикулярности прямой и плос-ти), что ВС перпендикулярен всей плос-ти АНА₁. Из этого вытекает, что ВС⊥АА₁, ч. т. д.

Осталось показать, что грань СС₁В₁В – это прямоуг-к. Так как ВВ₁||АА₁, и ВС⊥АА₁, то и ВС⊥ВВ₁. Значит в параллелограмме СС₁В₁В (напомним, что в призме все боковые грани – параллелограммы) есть прямой угол. Это значит, что он является прямоуг-ком, ч. т. д.

Задание. Призма АВСА₁В₁С₁ – наклонная. Известно, что АС = АВ = 13 и ВС = 10. Боковые ребра призмы образуют с основанием АВС угол 45°. Проекция точки А₁ на плос-ть АВС совпадает с точкой пересечения медиан в ∆АВС. Какова площадь грани СС₁В₁В?

Решение. Снова выполняем построение:

Здесь О – это проекция точки А₁ и одновременно точка пересечения медиан. H– середина отрезка ВС, то есть АН – как раз одна из медиан. Заметим, что так как ∆АВС равнобедренный, и ВС – это его основание, то АН одновременно является и высотой, то есть ∠ВНА = 90°. Раз Н – середина ВС, то ВН будет вдвое короче ВС:

Напомним, точка пересечения медиан делит их в отношении 2:1, поэтому мы можем найти ОА:

Понятно, что ОА – это проекция прямой ОА на плос-ть АВС. Тогда угол между ребром АА₁ и плос-тью АВС, по условию равный 45° – это ∠ОАА₁.

Из прямоугольного ∆АОА₁ с помощью тригонометрии мы найдем длину ребра АА₁:

Теперь покажем, что грань СС₁В₁В – прямоуг-к. Ясно, что ОА₁⊥ВН, ведь ОА₁ – перпендикуляр ко всей плос-ти АВС. Но также ВН⊥АН. Значит, ВН перпендикулярен плос-ти АОА₁, и, в частности, перпендикулярен ребру АА₁. Но тогда и ВВ₁⊥ВН, ведь ВВ₁||АА₁. Значит, грань СС₁В₁В – прямоуг-к, ведь в ней есть прямой угол. Для нахождения площади прямоуг-ка надо перемножить две его смежные стороны:

Задание. Ребро при основании правильной 6-угольной призмы имеет длину 23, а боковое ребро равно 50. Вычислите площадь поверхности призмы (и полную, и боковую).

Решение.

Сначала найдем площадь и периметр основания. Формулы для правильных многоуг-ков мы уже изучали:

Здесь а – сторона шестиугольника, R и r – радиусы описанной и вписанной окружности, n– число сторон шестиугольника. Во второй формуле мы использовали известный факт, что длина стороны правильного 6-угольника совпадает с радиусом описанной около него окружности.

Далее вычисляем площадь боковой поверхности:

Добавив к этому значению удвоенную площадь поверхности основания, найдем и полную площадь призмы:

Задание. В правильной треугольной призме АВСА₁В₁С₁, у которой все ребра одинаковы и равны единице, вычислите угол между гранью АВС и сечением АСВ₁:

Решение. Вспомним, что для нахождения угла между плос-тями необходимо построить в этих плос-тях перпендикуляры к линии их пересечения, причем эти перпендикуляры должны падать на одну и ту же точку.

Пересекаются плос-ти АВС и АСВ₁ по грани АС. Заметим, что и ∆АВС, и ∆АСВ₁ – равнобедренные, причем у них общее основание АС. Действительно, АВ = ВС, так как в основании правильной призмы лежит равносторонний треуг-к, а АВ₁ = СВ₁, так как это диагонали равных граней АВВ₁А₁ и ВСС₁В₁.

Если мы отметим середину отрезка АС (например, точкой Н) и соединим ее с В и В₁, то мы получим две медианы НВ и НВ₁, которые одновременно будут и высотой. Это значит, что именно ∠ВНВ₁ и будет искомым углом между плос-тями:

Осталось найти ∠ВНВ₁. Длину ВВ₁ мы уже знаем, она составляет 1.

АН вдвое короче АС:

Теперь заметим, что ∆НВВ₁ – прямоугольный, поэтому для него можно использовать тригонометрию:

Задание. Найдите угол между прямыми А₁D и СD₁ в правильной призме, показанной на рисунке:

Все ребра этой призмы равны единице.

Решение. Сначала внимательно рассмотрим верхнее основание призмы. Так как оно представляет собой правильный многоуг-к, то вокруг него можно описать окружность. Обозначим центр этой окружности как О и проведем радиусы к вершинам:

Так как в правильном шестиуг-ке радиус описанной окружности равен стороне шестиугольника, то получается, что ∆А₁ОВ₁, ∆В₁ОС₁ и ∆С₁ОD₁ – равносторонние. Тогда ∠А₁ОВ₁, ∠B₁OC₁ и ∠С₁ОD₁ составляют по 60°. Тогда ∠А₁ОD₁ равен 180°, то есть точки А₁, О и D₁ находятся на одной прямой А₁D₁. Также заметим, что эта прямая параллельна ребру В₁С₁, ведь ∠D₁OC₁и ∠ОС₁B₁ являются накрест лежащими для этих прямых (при секущей ОС₁) и при том они одинаковы. Так как отрезки А₁О и D₁O как стороны равносторонних треуг-ков равны 1, то

Теперь вернемся к призме:

Так как А₁D₁||В₁С₁ и В₁С₁||ВС, то и А₁D₁||ВС. Это значит, что через А₁D₁ и ВС можно провести плос-ть, в которой будут лежать и интересующие нас прямые А₁В и СD₁. Для нахождения угла между ними надо рассмотреть четырехуг-к А₁D₁CB. Раз А₁D₁||ВС, то этот четырехуг-к является трапецией.

Далее найдем длину А₁В. Для этого используем ∆АВА₁:

Аналогично из ∆СDD₁ можно определить, что СD₁ имеет такую же длину. Это значит, что А₁D₁CB – равнобедренная трапеция.

Теперь рассмотрим отдельно эту трапецию, чтобы найти искомый угол:

Опустим из вершин трапеции В и С перпендикуляры на А₁D₁. В итоге получим прямоуг-к ВСРН, где

Сегодня мы более детально изучили понятие многогранника и познакомились с новой геометрической фигурой – призмой. Призма довольно часто встречается в задаче С2 на ЕГЭ. Также мы узнали о теореме Эйлера, из которой вытекают некоторые важные факты. Один из них заключается в том, что не бывает выпуклых многогранников, у которых ни одна грань не является треуг-ком, четырехуг-ком или пятиуг-ком.

Что такое диагональ куба, и как ее найти

Что такое куб, и какие диагонали он имеет

Куб (правильный многогранник или гексаэдр) представляет собой объемную фигуру, каждая грань – это квадрат, у которого, как нам известно, все стороны равны. Диагональю куба является отрезок, который проходит через центр фигуры и соединяет симметричные вершины. В правильном гексаэдре имеется 4 диагонали, и все они будут равны. Очень важно не путать диагональ самой фигуры с диагональю ее грани или квадрата, который лежит на его основании. Диагональ грани куба проходит через центр грани и соединяет противоположные вершины квадрата.

Формула, по которой можно найти диагональ куба

Диагональ правильного многогранника можно найти по очень простой формуле, которую необходимо запомнить. D=a√3, где D обозначаем диагональ куба, а – это ребро. Приведем пример задачи, где необходимо найти диагональ, если известно, что длина его ребра равна 2 см. Здесь все просто D = 2√3, даже считать ничего не надо. Во втором примере, пусть ребро куба будет равно √3 см, то тогда получаем D = √3√3=√9=3. Ответ: D равен 3 см.

Формула, по которой можно найти диагональ грани куба

Если известна диагональ грани куба

По условию задачи, нам дана только диагональ грани правильного многогранника, которая равна, предположим, √2 см, а нам необходимо найти диагональ куба. Формула решения этой задачи немного сложнее предыдущей. Если нам известно d, то мы можем найти ребро куба, исходя из нашей второй формулы d=a√2. Получаем а= d/√2= √2/√2=1см (это наше ребро). А если известна эта величина, то найти диагональ куба не составит труда: D = 1√3= √3. Вот так мы решили нашу задачку.

Если известна площадь поверхности

Следующий алгоритм решения строится на нахождении диагонали по площади поверхности куба. Предположим, что она равна 72 см 2 . Для начала найдем площадь одной грани, а всего их 6. Значит, 72 необходимо поделить на 6, получаем 12 см 2 . Это площадь одной грани. Чтобы найти ребро правильного многогранника, необходимо вспомнить формулу S=a 2 , значит a=√S. Подставляем и получаем a=√12 (ребро куба). А если мы знаем это значение, то и диагональ найти не сложно D= a√3= √12 √3 = √36 = 6. Ответ: диагональ куба равна 6 см 2 .

Если известна длина ребер куба

Бывают такие случаи, когда в задаче дана только длина всех ребер куба. Тогда необходимо это значение разделить на 12. Именно столько сторон в правильном многограннике. Например, если сумма всех ребер равна 40, то одна сторона будет равна 40/12=3,333. Вставляем в нашу первую формулу и получаем ответ!

Источник

Чему равна площадь всех граней куба

Введите пожалуйста в соответствующее поле один, любой параметр куба, который Вам известен, остальные мы вычислим и предоставим подробный расчёт с указанием всех формул, по которым быдут произведены вычисления.

Формула объёма куба

Чтобы его найти, необходимо знать размеры рёбер: высоту, ширину и длинну. по формуле, размеры граней куба необходимо перемножить три раза, то есть возвести в третью степень. Объём куба равен длине ребра ‘в кубе’ ))).

Объём можно представить в литрах или куб.см., кубических миллиметрах.

Формула площади поверхности куба

По формуле площади куба необходимо найти площадь одной стороны/грани куба, а затем умножить это значение на 6. Потому, что граней у куба как раз шесть штук ;-). Все стороны куба равны между собой по площади, а все рёбра куба равны по длинне.

Грань куба

В некоторых случаях бывает известна площадь грани куба, тогда для того, что бы найти объём куба, нужно вычислить квадратный корень из площади сторогы куба – это будет длинна ребра, и умножить длинну ребра на площадь грани – получим объём куба. Или просто возвести в третью степень длинну ребра – получим объём куба опять. Два разных пути нахождения объёма дадут один и тот же результат.

Куб — удивительная фигура. Он одинаковый со всех сторон. Любая его грань может вмиг стать основанием или боковой. И от этого ничего не изменится. А формулы для него всегда легко запоминаются. И неважно, что нужно найти – объем или площадь поверхности куба. В последнем случае даже не нужно учить что-то новое. Достаточно помнить только формулу площади квадрата.

Что такое площадь?

Эту величину принято обозначать латинской буквой S. Причем это справедливо для школьных предметов, таких как физика и математика. Измеряется она в квадратных единицах длины. Все зависит от данных в задаче величин. Это могут быть мм, см, м или км в квадрате. Причем возможны случаи, когда единицы даже не указаны. Идет речь просто о числовом выражении площади без наименования.

Так что же такое площадь? Это величина, которая является числовой характеристикой рассматриваемой фигуры или объемного тела. Она показывает размер ее поверхности, которая ограничена сторонами фигуры.

Какая фигура называется кубом?

Эта фигура является многогранником. Причем непростым. Он правильный, то есть у него все элементы равны друг другу. Будь то стороны или грани. Каждая поверхность куба представляет собой квадрат.

Другое название куба — правильный гексаэдр, если по-русски, то шестигранник. Он может быть образован из четырехугольной призмы или параллелепипеда. При соблюдении условия, когда все ребра равны и углы образуют 90 градусов.

Эта фигура настолько гармонична, что часто используется в быту. Например, первые игрушки малыша — кубики. А забава для тех, кто постарше, — кубик Рубика.

Как связан куб с другими фигурами и телами?

Если начертить сечение куба, которое проходит через три его грани, то оно будет иметь вид треугольника. По мере удаления от вершины сечение будет все больше. Настанет момент, когда пересекаться будут уже 4 грани, и фигура в сечении станет четырехугольником. Если провести сечение через центр куба так, чтобы оно было перпендикулярно его главным диагоналям, то получится правильный шестиугольник.

Внутри куба можно начертить тетраэдр (треугольную пирамиду). За вершину тетраэдра берется один из его углов. Остальные три совпадут с вершинами, которые лежат на противоположных концах ребер выбранного угла куба.

В него можно вписать октаэдр (выпуклый правильный многогранник, который похож на две соединенные пирамиды). Для этого нужно найти центры всех граней куба. Они будут вершинами октаэдра.

Возможна и обратная операция, то есть внутрь октаэдра реально вписать куб. Только теперь центры граней первого станут вершинами для второго.

Метод 1: вычисление площади куба по его ребру

Для того чтобы вычислить всю площадь поверхности куба, потребуется знание одного из его элементов. Самый простой способ решения, когда известно его ребро или, другими словами, сторона квадрата, из которого он состоит. Обычно эта величина обозначается латинской буквой «а».

Теперь нужно вспомнить формулу, по которой вычисляется площадь квадрата. Чтобы не запутаться, введено ее обозначение буквой S₁.

Для удобства лучше задать номера всем формулам. Эта будет первой.

Но это площадь только одного квадратика. Всего их шесть: 4 по бокам и 2 снизу и сверху. Тогда площадь поверхности куба вычисляется по такой формуле: S = 6 * a 2 . Ее номер 2.

Метод 2: как вычислить площадь, если известен объем тела

Этот способ сводится к тому, чтобы сосчитать длину ребра по известному объему. И потом уже воспользоваться известной формулой, которая здесь обозначена цифрой 2.

Из математического выражения для объема гексаэдра выводится то, по которому можно сосчитать длину ребра. Вот она:

Нумерация продолжается, и здесь уже цифра 3.

Теперь его можно вычислить и подставить во вторую формулу. Если действовать по нормам математики, то нужно вывести такое выражение:

Это формула площади всей поверхности куба, которой можно воспользоваться, если известен объем. Номер этой записи 4.

Метод 3: расчет площади по диагонали куба

Для того чтобы рассчитать площадь полной поверхности куба, также потребуется вывести ребро через известную диагональ. Здесь используется формула для главной диагонали гексаэдра:

Из нее легко вывести выражение для ребра куба:

Это шестая формула. После его вычисления можно снова воспользоваться формулой под вторым номером. Но лучше записать такую:

Она оказывается пронумерованной цифрой 7. Если внимательно посмотреть, то можно заметить, что последняя формула удобнее, чем поэтапный расчет.

Метод 4: как воспользоваться радиусом вписанной или описанной окружности для вычисления площади куба

Если обозначить радиус описанной около гексаэдра окружности буквой R, то площадь поверхности куба будет легко вычислить по такой формуле:

Ее порядковый номер 8. Она легко получается благодаря тому, что диаметр окружности полностью совпадает с главной диагональю.

Обозначив радиус вписанной окружности латинской буквой r, можно получить такую формулу для площади всей поверхности гексаэдра:

Несколько слов о боковой поверхности гексаэдра

Если в задаче требуется найти площадь боковой поверхности куба, то нужно воспользоваться уже описанным выше приемом. Когда уже дано ребро тела, то просто площадь квадрата нужно умножить на 4. Эта цифра появилась из-за того, что боковых граней у куба всего 4. Математическая запись этого выражения такая:

Ее номер 10. Если даны какие-то другие величины, то поступают аналогично описанным выше методам.

Примеры задач

Условие первой. Известна площадь поверхности куба. Она равна 200 см². Необходимо вычислить главную диагональ куба.

1 способ. Нужно воспользоваться формулой, которая обозначена цифрой 2. Из нее будет несложно вывести «а». Эта математическая запись будет выглядеть как квадратный корень из частного, равного S на 6. После подстановки чисел получается:

Пятая формула позволяет сразу вычислить главную диагональ куба. Для этого нужно значение ребра умножить на √3. Это просто. В ответе получается, что диагональ равна 10 см.

2 способ. На случай если забылась формула для диагонали, но помнится теорема Пифагора.

Аналогично тому, как было в первом способе, найти ребро. Потом нужно записать теорему для гипотенузы два раза: первую для треугольника на грани, вторую для того, который содержит искомую диагональ.

х² = а² + а², где х — диагональ квадрата.

d² = х² + а² = а² + а² + а² = 3 а². Из этой записи легко видно, как получается формула для диагонали. А дальше все расчеты будут, как в первом способе. Он немножко длиннее, но позволяет не запоминать формулу, а получить ее самостоятельно.

Ответ: диагональ куба равна 10 см.

Условие второй. По известной площади поверхности, которая равна 54 см 2 , вычислить объем куба.

Пользуясь формулой под вторым номером, нужно узнать значение ребра куба. То, как это делается, подробно описано в первом способе решения предыдущей задачи. Проведя все вычисления, получим, что а = 3 см.

Теперь нужно воспользоваться формулой для объема куба, в которой длина ребра возводится в третью степень. Значит, объем будет считаться так: V = 3 3 = 27 см 3 .

Ответ: объем куба равен 27 см 3 .

Условие третьей. Требуется найти ребро куба, для которого выполняется следующее условие. При увеличении ребра на 9 единиц площадь всей поверхности увеличивается на 594.

Поскольку явных чисел в задаче не дано, только разности между тем, что было, и тем, что стало, то нужно ввести дополнительные обозначения. Это несложно. Пусть искомая величина будет равна «а». Тогда увеличенное ребро куба будет равно (а + 9).

Зная это, нужно записать формулу для площади поверхности куба два раза. Первая – для начального значения ребра – совпадет с той, которая пронумерована цифрой 2. Вторая будет немного отличаться. В ней вместо «а» нужно записать сумму (а + 9). Так как в задаче идет речь о разности площадей, то нужно вычесть из большей площади меньшую:

Нужно провести преобразования. Сначала вынести за скобку 6 в левой части равенства, а потом упростить то, что останется в скобках. А именно (а + 9) 2 – а 2 . Здесь записана разность квадратов, которую можно преобразовать так: (а + 9 – а)(а + 9 + а). После упрощения выражения получается 9(2а + 9).

Теперь его нужно умножить на 6, то есть то число, что было перед скобкой, и приравнять к 594: 54(2а + 9) = 594. Это линейное уравнение с одной неизвестной. Его легко решить. Сначала нужно раскрыть скобки, а потом перенести в левую часть равенства слагаемое с неизвестной величиной, а числа — в правую. Получится уравнение: 2а = 2. Из него видно, что искомая величина равна 1.

Куб – одна из простейших трехмерных фигур. Каждому знакомы кубики льда, квадратные коробки или кристаллы соли – все они являются такими фигурами. Площадь поверхности куба – это общая площадь всех сторон на его поверхности. Все шесть его граней соразмерны, поэтому, зная длину одной из них, можно рассчитать боковую площадь и площадь поверхности любой фигуры.

Куб – это трехмерная фигура, которая имеет одинаковые размеры. Его длина, ширина и высота идентичны, а каждое ребро встречает другие края под одним углом. Поиск площади поверхности куба быстрый и удобный, поскольку он состоит из конгруэнтных или соразмерных квадратов. Итак, как только вы найдете размер одного из квадратов, вы узнаете площадь всей фигуры.

Из иллюстрации видно, что куб имеет переднюю и заднюю грань, две боковые и верхнюю с нижней стороны. Площадь любого куба будут составлять шесть конгруэнтных квадратов. Фактически, если развернуть его, можно четко увидеть шесть квадратов, которые составляют общую поверхность фигуры.

Площадь куба состоит из площади шести граней. Поскольку все они равны, достаточно знать площадь одной из них и умножить значение на 6. Площадь фигуры также находят по простой формуле: S = 6 x а², где «а» – одна из сторон куба.

• Предположим, что высота куба составляет 2 см. Поскольку его поверхность состоит из квадратов, все его края будут иметь одинаковую длину. Поэтому, исходя из размеров высоты, его длина и ширина будут составлять 2 см.
• Чтобы найти площадь одного из квадратов, вспомните базовые знания геометрии, где S = а², где а – длина одной из сторон. В нашем случае, а = 2 см, так что S = (2 см)² = 2 см х 2 см = 4 см².
• Площадь одного из квадратов поверхности составляет 4 см². Не забудьте указать свое значение в квадратных единицах.

Поскольку вся поверхность фигуры состоит из шести соразмерных квадратов, нужно умножить площадь одной стороны на 6, следуя формуле S = 6 x а². В нашем случае S = 6 х 4 см² = 24 см². Площадь трехмерной фигуры составляет 24 см².

Если вам сложно работать с дробью, конвертируйте ее в десятичную.
Например, высота куба 2 ½ см.

• S = 6 х (2½ см) ²
• S = 6 х (2,5 см) ²
• S = 6 х 6,25 см ²
• S = 37,5 см ²
• Площадь поверхности куба – 37,5 см ².

Если площадь поверхности куба известна, можно определить длину его сторон.

• Площадь куба составляет 86,64 см². Необходимо определить длину грани.
• Решение. Поскольку известна площадь поверхности, нужно считать в обратном порядке, разделив значение на 6, а затем извлечь квадратный корень.
• Сделав необходимые вычисления, получаем длину 3,8 см.

Используя калькулятор на сайте OnlineMSchool , можно быстро вычислить площадь куба. Достаточно ввести нужное значение стороны и сервис выдаст детальное пошаговое решение задания.

Итак, чтобы знать площадь куба, вычислите площадь одной из сторон, затем умножьте результат на 6, так как фигура имеет 6 равных сторон. Можно при подсчете использовать формулу S = 6а². Если задана площадь поверхности, возможно определить длину боковой части, проделав обратные шаги.

Поделиться советом: “Как найти площадь куба”

Источник

Пирамида – это многогранная фигура, в основании которой лежит многоугольник, а остальные грани представлены треугольниками с общей вершиной.

Если в основании лежит квадрат, то пирамиду называется четырехугольной, если треугольник – то треугольной. Высота пирамиды проводится из ее вершины перпендикулярно основанию. Также для расчета площади используется апофема – высота боковой грани, опущенная из ее вершины.
Формула площади боковой поверхности пирамиды представляет собой сумму площадей ее боковых граней, которые равны между собой. Однако этот способ расчета применяется очень редко. В основном площадь пирамиды рассчитывается через периметр основания и апофему:

Рассмотрим пример расчета площади боковой поверхности пирамиды.

Пусть дана пирамида с основанием ABCDE и вершиной F. AB=BC=CD=DE=EA=3 см. Апофема a = 5 см. Найти площадь боковой поверхности пирамиды.
Найдем периметр. Так как все грани основания равны, то периметр пятиугольника будет равен:
Теперь можно найти боковую площадь пирамиды:

Площадь правильной треугольной пирамиды

Правильная треугольная пирамида состоит из основания, в котором лежит правильный треугольник и трех боковых граней, которые равны по площади.
Формула площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды может быть рассчитана разными способами. Можно применить обычную формулу расчета через периметр и апофему, а можно найти площадь одной грани и умножить ее на три. Так как грань пирамиды – это треугольник, то применим формулу площади треугольника. Для нее потребуется апофема и длина основания. Рассмотрим пример расчета площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды.

Дана пирамида с апофемой a = 4 см и гранью основания b = 2 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Для начала находим площадь одной из боковых граней. В данном случае она будет:
Подставляем значения в формулу:
Так как в правильной пирамиде все боковые стороны одинаковы, то площадь боковой поверхности пирамиды будет равна сумме площадей трех граней. Соответственно:

Площадь усеченной пирамиды

Усеченной пирамидой называется многогранник, который образовывается пирамидой и ее сечением, параллельным основанию.
Формула площади боковой поверхности усеченной пирамиды очень проста. Площадь равняется произведению половины суммы периметров оснований на апофему:

Рассмотрим пример расчета площади боковой поверхности усеченной пирамиды.

Дана правильная четырехугольная пирамида. Длины основания равны b = 5 см, c = 3 см. Апофема a = 4 см. Найдите площадь боковой поверхности фигуры.
Для начала найдем периметр оснований. В большем основании он будет равен:
В меньшем основании:
Посчитаем площадь:

Таким образом, применив несложные формулы, мы нашли площадь усеченной пирамиды.