3. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть I
1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Параллелограмм и его свойства
Сумма внутренних углов любого четырехугольника равна (360^circ).
Свойства параллелограмма:
(blacktriangleright) Противоположные стороны попарно равны;
(blacktriangleright) Диагонали точкой пересечения делятся пополам;
(blacktriangleright) Противоположные углы попарно равны, а сумма соседних равна (180^circ).
Признаки параллелограмма.
Если для выпуклого четырехугольника выполнено одно из следующих условий, то это – параллелограмм:
(blacktriangleright) если противоположные стороны попарно равны;
(blacktriangleright) если две стороны равны и параллельны;
(blacktriangleright) если диагонали точкой пересечения делятся пополам;
(blacktriangleright) если противоположные углы попарно равны.
Площадь параллелограмма
Площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание, к которому проведена эта высота.
Задание
1
#1783
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Периметр параллелограмма равен (100), его большая сторона равна (32). Найдите меньшую сторону параллелограмма.
Так как у параллелограмма противоположные стороны равны, то его периметр равен удвоенной сумме его непараллельных сторон, тогда сумма большей и меньшей сторон равна (100 : 2 = 50), значит, меньшая сторона параллелограмма равна (50 — 32 = 18).
Ответ: 18
Задание
2
#1784
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Периметр параллелограмма равен (15). При этом одна сторона этого параллелограмма на (5) больше другой. Найдите меньшую сторону параллелограмма.
У параллелограмма противоположные стороны равны. Пусть (BC = AB +
5), тогда периметр параллелограмма (ABCD) равен (AB + BC + CD + AD =
AB + AB + 5 + AB + AB + 5 = 4cdot AB + 10 = 15), откуда находим (AB
= 1,25). Тогда меньшая сторона параллелограмма равна (1,25).
Ответ: 1,25
Задание
3
#273
Уровень задания: Равен ЕГЭ
В параллелограмме (ABCD): (BE) – высота, (BE = ED = 5). Площадь параллелограмма (ABCD) равна 35. Найдите длину (AE).
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, проведённую к этому основанию, тогда (35 = BE cdot AD = 5cdot(5 + AE)), откуда находим (AE = 2).
Ответ: 2
Задание
4
#1785
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Из точки (C) параллелограмма (ABCD) опустили перпендикуляр на продолжение стороны (AD) за точку (D). Этот перпендикуляр пересёк прямую (AD) в точке (E), причём (CE = DE). Найдите (angle B) параллелограмма (ABCD). Ответ дайте в градусах.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда (angle EDC = angle DCE). Так как (angle DEC = 90^{circ}), а сумма углов треугольника равна (180^{circ}), то (angle EDC =
45^{circ}), тогда (angle ADC = 180^{circ} — 45^{circ} =
135^{circ}). Так как в параллелограмме противоположные углы равны, то (angle B = angle ADC = 135^{circ}).
Ответ: 135
Задание
5
#1686
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Диагональ (BD) параллелограмма (ABCD) перпендикулярна стороне (DC) и равна (4). Найдите площадь параллелограмма (ABCD), если (AD=5).
По теореме Пифагора находим: (AB^2=AD^2 — BD^2 = 25 — 16 = 9) (Rightarrow) (AB = 3). (S_{ABCD} = 4cdot3 = 12).
Ответ: 12
Задание
6
#1685
Уровень задания: Равен ЕГЭ
В параллелограмме (ABCD): (P_{triangle AOB} = 
, (P_{triangle AOD} = 9), а сумма смежных сторон равна (7). Найдите произведение этих сторон параллелограмма (ABCD).
(P_{triangle AOB} = AO + OB + AB), (P_{triangle AOD} = AO + OD + AD), (BO = OD) (Rightarrow) (P_{triangle AOD} — P_{triangle AOB} = AD — AB = 1), но (AD + AB = 7) (Rightarrow) (AD = 4), (AB = 3) (Rightarrow) (ADcdot AB = 12).
Ответ: 12
Задание
7
#3617
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Стороны параллелограмма равны (9) и (15). Высота, опущенная на первую сторону, равна (10). Найдите высоту, опущенную на вторую сторону параллелограмма.
Площадь параллелограмма равна произведению высоты на сторону, к которой высота проведена. Следовательно, с одной стороны, площадь (S=9cdot 10), с другой стороны, (S=15cdot h), где (h) – высота, которую нужно найти.
Следовательно, [9cdot 10=15cdot hquadLeftrightarrowquad h=6]
Ответ: 6
Задачи из раздела «Геометрия на плоскости» являются обязательной частью аттестационного экзамена у выпускников средней школы. Теме «Параллелограмм и его свойства» в ЕГЭ традиционно отводится сразу несколько заданий. Они могут требовать от школьника как краткого, так и развернутого ответа с построением чертежа. Поэтому если одним из ваших слабых мест являются именно задачи на вычисление площадей параллелограмма или его сторон и углов, то вам непременно стоит повторить или вновь разобраться в материале.
Сделать это легко и эффективно вам поможет образовательный портал «Школково». Наши опытные специалисты подготовили необходимый теоретический материал, изложив его таким образом, чтобы школьники с любым уровнем подготовки смогли восполнить пробелы в знаниях и легко решить задачи ЕГЭ на вычисление площадей, сторон, углов или свойства биссектрисы параллелограмма. Найти базовую информацию вы можете в разделе «Теоретическая справка».
Чтобы успешно решить задачи ЕГЭ по теме «Параллелограмм и его свойства», предлагаем попрактиковаться в выполнении соответствующих упражнений. Большая подборка заданий представлена в блоке «Каталог». Специалисты портала «Школково» регулярно дополняют и обновляют данный раздел.
Последовательно выполнять упражнения учащиеся из Москвы и других городов могут в режиме онлайн. При необходимости любое задание можно сохранить в разделе «Избранное» и в дальнейшем вернуться к нему, чтобы обсудить с преподавателем.
Как готовиться к сочинению за 2 дня до ЕГЭ? Четко и без воды
Как готовиться к сочинению за 2 дня до ЕГЭ? Четко и без воды
Найти меньшую сторону параллелограмма, если его большая сторона равна 8, а одна из диагоналей образует со сторонами углы 30 градусов и 45 градусов. (пожалуйста решение ТОЛЬКО САМОСТОЯТЕЛЬНОЕ и максимально понятное, если можно с чертежом — то будет лучшее решение)
Светило науки — 6 ответов — 36 раз оказано помощи
если одна диагональ является высотой и равна сторонам параллелограмма, то значит треугольник, образуемый высотой и двумя сторонами параллелограмма является прямоугольным и равнобедренным. А у равнобедренного прямоугольного треугольника углы равны 90, 45 и 45 градусов, Следовательно углы параллелограмма равны 45, 135, 45 и 135 градусов.
Светило науки — 3 ответа — 0 раз оказано помощи
Строим парал-м АВСD. Пусть АВ =6 (меньшая сторона). Проводим диагональ BD. Угол ABD = 45, угол ADB = 30.
Теперь проводим высоту из угла А к BD (h=AA1). Получается 2 прямоугольных треугольника. АВА1 и ADA1.
Т.к. В=45°, тогда АВ = 6 ⇒ ВА1и АА1 по т. Пифагора = х²+х² = 6²
2х²=36
х²=18
х=3√2
Рассматриваем еще один треугольник АА1D. Его угол D=30° по условию. Отсюда ⇒AD= 2*АА1. ⇒ 3√2 * 2 = 6 √2 . Это и есть большая сторона.
Ответ : 6√2
поделиться знаниями или
запомнить страничку
- Все категории
-
экономические
43,662 -
гуманитарные
33,654 -
юридические
17,917 -
школьный раздел
611,985 -
разное
16,906
Популярное на сайте:
Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.
Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.
Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.
Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.
Найдите правильный ответ на вопрос ✅ «Стороны параллелограмма относятся как 3:2. Найдите меньшую сторону параллелограмма, если его периметр равен 30 см. …» по предмету 📘 Геометрия, а если вы сомневаетесь в правильности ответов или ответ отсутствует, то попробуйте воспользоваться умным поиском на сайте и найти ответы на похожие вопросы.
Смотреть другие ответы
Дано треугольник OBS угол B=90 градусов угол S=45 градусов OB=1008 СМ Найти SB
Ответы (1)
Дано abcd-параллелограмм, BCA=31 градусов, BAC=25 градусов
Ответы (1)
Один угол параллелограмма в 4 разОдин угол параллелограмма в 4 раза больше другого. Найдите больший угол. Ответ дайте в градусах. а больше другого. Найдите больший угол.
Ответы (1)
NK на 19 см. больше MN, MK = 81 см. Найти : MK, NK
Ответы (1)
Начертите угол AOB и лучи ОК и ОМ, проходящие между сторонами этого угла, так, чтобы угол AOB = 90, AOK = 40, MOB = 30, Найдите KOM
Ответы (1)
Главная » Геометрия » Стороны параллелограмма относятся как 3:2. Найдите меньшую сторону параллелограмма, если его периметр равен 30 см.
Параллелограммом называют четырёхугольный многоугольник, две соседние стороны которого равны и
параллельны противоположным. Помимо этого, есть ещё несколько важных условий определения фигуры как
параллелограмма:
- В месте пересечения диагонали делятся пополам, а точка, в которой пересекаются диагонали,
является одновременно центром этих двух отрезков. При этом она всегда лежит внутри фигуры. - Любая диагональ данного четырёхугольника разделяет его на одинаковые треугольники, так как
проходит из одной вершины к противоположной, то есть по центру четырёхугольника. - Сумма квадратов сторон равна сумме квадратов диагоналей.
- Углы фигуры, расположенные друг напротив друга, попарно равны. Это условие вытекает из
утверждения, что параллельные стороны фигуры равны. - Сумма двух односторонних углов равна 180°. Это условие напрямую связано с теоремой о двух
параллельных прямых и секущей. И действительно, если рассматривать две противоположные и третью
между ними стороны параллелограмма как две параллельные прямые и секущую, то можно заметить, что
углы, принадлежащие одной стороне, будут соответствовать односторонним углам, сумма которых,
согласно теореме, равна 180°.
Только при выполнении всех условий четырёхугольный многоугольник будет считаться
параллелограммом.
- Длинная сторона параллелограмма через две диагонали и
острый угол между ними - Длинная сторона параллелограмма через две диагонали и тупой
угол между ними - Короткая сторона параллелограмма через две диагонали и
острый угол между ними - Короткая сторона параллелограмма через две диагонали и
тупой угол между ними - Сторона параллелограмма через две диагонали и другую
известную сторону - Сторона параллелограмма через высоту и синус угла
- Сторона параллелограмма через площадь и высоту
Нахождение длинной стороны через две диагонали и острый угол между ними
Длинную сторону параллелограмма можно найти, зная обе диагонали и острый угол между ними, по
формуле:
a = (√(D² + d² — 2 (D * d) * cosα)) / 2
где D – длинная диагональ, d – короткая диагональ, α — острый угол между диагоналями.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Допустим, дан параллелограмм, у которого диагонали 7 и 4 см, а угол между
ними 68º. Тогда, согласно формуле, сторона будет равна: a = (√(7² + 4² — 2 (7 * 4) * cos68º)) / 2 = 3,317 см. Ответ:
3,317 см.
Нахождение короткой стороны через две диагонали и острый угол между ними
Можно вычислить и короткую сторону по формуле:
b = (√(D² + d² + 2 (D * d) * cosα)) / 2
где D – длинная диагональ, d – короткая диагональ, α — острый угол между диагоналями.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Теперь необходимо найти другую сторону параллелограмма. Данные останутся те
же, что и в прошлой задаче, но в уравнении поменяется знак, так как по отношению к углу поменялась
сторона, которую надо найти. Сторона b будет равна: b = (√(7² + 4² + 2 (7 * 4) * cos68º)) / 2 = 4.64.
Ответ: 4,64 см.
Нахождение длинной стороны через две диагонали и тупой угол между ними
Стороны параллелограмма можно найти, зная диагонали и тупой угол между ними. Для этого нужно
использовать следующую формулу:
a = (√(D² + d² + 2 (D * d) * cosβ)) / 2
где D – длинная диагональ, d – короткая диагональ, β — тупой угол между диагоналями.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Рассмотрим нахождение сторон всё того же параллелограмма с диагоналями 7 и 4
см. Однако на этот раз возьмём между диагоналями другой угол: β=112º. В таком случае для стороны a
минус меняется на плюс, а сама сторона равна: a = (√(7² + 4² + 2 (7 * 4) * cos112º)) / 2 = 3.914
Нахождение короткой стороны через две диагонали и тупой угол между ними
Аналогично можно найти и короткую сторону, зная диагонали и тупой угол между ними:
b = (√(D² + d² — 2 (D * d) * cosβ)) / 2
где D – длинная диагональ, d – короткая диагональ, β — тупой угол между диагоналями.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Для стороны b так же изменится знак в формуле, но наоборот: плюс на минус. Тогда
получается: b = (√(7² + 4² — 2 (7 * 4) * cos112)) / 2 = 4,64 см. Ответ совпал с ответом второй
задачи, все опять решено верно, а сторона в воображаемом параллелограмме действительно равна 4,64
см.
Нахождение стороны параллелограмма через диагонали и другую сторону
Как и в случае с прошлыми пунктами, существуют формула, которая позволяет найти сторону
параллелограмма с использованием диагоналей и известной стороны. Вот она:
a = √(D² + d² — 2b² / 2)
где D, d — диагонали, b — сторона.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Выводится данная формулы из первого следствия теоремы косинусов.
Пример. Используем для следующих задач другой параллелограмм. Эта фигура будет с
диагоналями 9 и 5 см и стороной 6 см. Тогда другая сторона данного параллелограмма равна: a = √(9² + 5² — 2 * 6² / 2) = 4,1 см. Ответ: 4,1 см.
Для проверки ответа можем решить обратную задачу, при которой нам не известна сторона b, но известна
сторона a = 4,1 см. По обратной формуле получается b = √(9² + 5² — 2 * 4,1² / 2) = 6 см. Ответ
совпадает с изначальными данными первой задачи. А значит и этот воображаемый параллелограмм
действительно существует.
Нахождение стороны через синус угла и высоту
Высота – это отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины фигуры на противоположную сторону. Есть
несколько интересных свойств у неё. Например, высоты, проведенные из острых углов, будут всегда
лежать вне фигуры, в то время как высоты из тупых углов всегда лежат внутри. Если из одного угла
опустить две высоты, то между ними образуется угол, равный смежному углу параллелограмма. Равными
будут те высоты, что заключены между параллельными сторонами четырёхугольника. Найти сторону
параллелограмма через эту величину достаточно просто, по формуле:
a = h / sinα
где: h — высота параллелограмма, sin α — угол.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Стоит заметить, что высота должна быть опущена не к искомой стороне, а к соседней. При этом для
формулы сойдет синус любого известного угла параллелограмма.
Пример. Найти сторону параллелограмма, если высота, опущенная на соседнюю сторону
равна 10 см, а острый угол — 30º. Решение: a=10 / 0,5 = 20 см
Нахождение стороны через площадь и высоту
Более подробно о площади и высоте параллелограмма рассказано в пунктах выше. В этом достаточно легко
вывести единственную формулу, по которой можно найти сторону. Если площадь является произведением
стороны на высоту, то сторона будет равна отношению площади к высоте:
a = S / h
где S — площадь параллелограмма, h — высота.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Причем не имеет значения, к какой стороне опущена высота: к искомой или соседней.
Пример. Найти сторону параллелограмма, если его площадь равна 20 см, а высота,
опущенная на одну из сторон — 5 см. Решение: a = 20 / 5 = 4 см.
Фигура кажется сложной для восприятия из-за того, что её нельзя постоянно наблюдать где-то в
повседневной жизни. Однако всё становится проще, если вспомнить, что есть более известные широкой
публике частные случаи параллелограмма. Их-то человек обычно наблюдает ежедневно. Это ромб,
прямоугольник и квадрат. Причем последний, хоть и наиболее известен, является и наиболее
интересным.
Ромб считается частным случаем, потому что представляет собой параллелограмм, диагонали которого в
точке пересечения образуют прямой угол. Прямоугольник является частным случаем, потому что это
параллелограмм, у которого все углы прямые. У квадрата же положение ещё интереснее, так как его
можно назвать не только частным случаем параллелограмма, но и прямоугольника, и ромба. Квадрат – это
комбо трёх предыдущих определений. Можно даже сказать, что квадрат одновременно является особенным
случаем и для параллелограмма, и для прямоугольника, и для ромба. Все его стороны равны,
противоположные стороны параллельны. Все углы являются прямыми, даже образующиеся при пересечении
диагоналей, которые к тому же делятся пополам в точке пересечения.