Как найти меньшую сторону треугольника формула

Свойства сторон и углов треугольника

Рассматриваются три точки, не лежащие на одной прямой, и три отрезка, соединяющие эти точки.

Треугольником называют часть плоскости, ограниченную этими отрезками, отрезки называют сторонами треугольника , а концы отрезков – вершинами треугольника .

Длины сторон треугольника удовлетворяют неравенству треугольника : длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон.

a неравенству треугольника : длина любой стороны треугольника больше модуля разности длин двух других сторон.

Сумма углов треугольника равна 180°

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

Величина большего угла треугольника не может быть меньшей, чем 60°.

,

где α – больший угол треугольника.

Величина меньшего угла треугольника не может быть большей, чем 60°.

,

где β – меньший угол треугольника.

,

Фигура	Рисунок	Формулировка
Треугольник
Большая сторона треугольника		Против большей стороны треугольника лежит больший угол
Больший угол треугольника	Против большего угла треугольника лежит большая сторона
Меньшая сторона треугольника		Против меньшей стороны треугольника лежит меньший угол
Меньший угол треугольника	Против меньшего угла треугольника лежит меньшая сторона
Длины сторон треугольника
Углы треугольника
Внешний угол треугольника
Больший угол треугольника
Меньший угол треугольника
Теорема косинусов
Теорема синусов

Рассматриваются три точки, не лежащие на одной прямой, и три отрезка, соединяющие эти точки.

Определение . Треугольником называют часть плоскости, ограниченную этими отрезками, отрезки называют сторонами треугольника , а концы отрезков – вершинами треугольника .

Длины сторон треугольника удовлетворяют неравенству треугольника : длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон.

a неравенству треугольника : длина любой стороны треугольника больше модуля разности длин двух других сторон.

Сумма углов треугольника равна 180°

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

Величина большего угла треугольника не может быть меньшей, чем 60°.

,

где α – больший угол треугольника.

Величина меньшего угла треугольника не может быть большей, чем 60°.

,

где β – меньший угол треугольника.

,

Треугольник
Большая сторона треугольника
	Против большей стороны треугольника лежит больший угол
Больший угол треугольника
	Против большего угла треугольника лежит большая сторона
Меньшая сторона треугольника
	Против меньшей стороны треугольника лежит меньший угол
Меньший угол треугольника
	Против меньшего угла треугольника лежит меньшая сторона
Длины сторон треугольника
Углы треугольника
Внешний угол треугольника
Больший угол треугольника
Меньший угол треугольника
Теорема косинусов
Теорема синусов

Треугольник

Рассматриваются три точки, не лежащие на одной прямой, и три отрезка, соединяющие эти точки.

Определение . Треугольником называют часть плоскости, ограниченную этими отрезками, отрезки называют сторонами треугольника , а концы отрезков – вершинами треугольника .

Большая сторона треугольника

Свойство большей стороны треугольника:

Против большей стороны треугольника лежит больший угол

Больший угол треугольника

Свойство большего угла треугольника:

Против большего угла треугольника лежит большая сторона

Меньшая сторона треугольника

Свойство меньшей стороны треугольника:

Против меньшей стороны треугольника лежит меньший угол

Меньший угол треугольника

Свойство меньшего угла треугольника:

Против меньшего угла треугольника лежит меньшая сторона

Длины сторон треугольника

Длины сторон треугольника удовлетворяют неравенству треугольника : длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон.

a неравенству треугольника : длина любой стороны треугольника больше модуля разности длин двух других сторон.

Углы треугольника

Свойство углов треугольника:

Сумма углов треугольника равна 180°

Внешний угол треугольника

Свойство внешнего угла треугольника:

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

Больший угол треугольника

Свойство большего угла треугольника:

Величина большего угла треугольника не может быть меньшей, чем 60°.

,

где α – больший угол треугольника.

Меньший угол треугольника

Свойство меньшего угла треугольника:

Величина меньшего угла треугольника не может быть большей, чем 60°.

,

где β – меньший угол треугольника.

Теорема косинусов

Теорема синусов

Свойство меньшего угла треугольника:

,

Все формулы для треугольника

1. Как найти неизвестную сторону треугольника

Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

a , b , c — стороны произвольного треугольника

α , β , γ — противоположные углы

Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( a ):

* Внимательно , при подстановке в формулу, для тупого угла ( α >90), cos α принимает отрицательное значение

Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( a):

2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

a , b — катеты

c — гипотенуза

α , β — острые углы

Формулы для катета, ( a ):

Формулы для катета, ( b ):

Формулы для гипотенузы, ( c ):

Формулы сторон по теореме Пифагора, ( a , b ):

3. Формулы сторон равнобедренного треугольника

Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

b — сторона (основание)

a — равные стороны

α — углы при основании

β — угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания), (b ):

Формулы длины равных сторон , (a):

4. Найти длину высоты треугольника

Высота— перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется — ортоцентр.

H — высота треугольника

a — сторона, основание

b, c — стороны

β , γ — углы при основании

p — полупериметр, p=(a+b+c)/2

R — радиус описанной окружности

S — площадь треугольника

Формула длины высоты через стороны, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):

Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):

Как найти сторону треугольника — в помощь школьнику

Есть несколько способов решения этой геометрической задачи. Они описаны в статье.

При помощи сторон и углов

Итак, первый способ нахождения сторон треугольника — это по нескольким сторонам и углу между ними (и аналогично с углами и одной прилежащей стороной). Данный способ подойдет для старшей школы, так как здесь используются такие понятия, как синус, косинус, квадрат числа и корень. Итак, как найти сторону треугольника, который является произвольным? Для начала нарисуем эту самую фигуру. Теперь давайте обзовем элементы нашей фигуры. Стороны будут a, b и c. Угол, находящийся напротив стороны a, у нас будет «альфа», напротив b -«бета», напротив c — «гамма».

Равнобедренный треугольник

Что такое равнобедренный треугольник? Сам по себе он имеет две одинаковые стороны и так называемое основание. Стороны-близнецы обозначим буквой a, основание — b. Стало быть, раз у треугольника есть два «бедра» одной величины, то и углы на «фундаменте» тоже будут одинаковыми. Их назовем «альфа». Для того чтобы ответить, как найти сторону равнобедренного треугольника, необходимо ввести еще одну величину — угол, образованный между равными «бедрами».
Так как он располагается напротив b, то назвать его лучше всего «бета». Здесь при поиске неизвестных сторон можно пользоваться несколькими формулами. Давайте же посмотрим, какими именно. Первые две — это те, по которым можно вычислить длину стороны основания равнобедренного треугольника. Основана она на знаниях ученика о синусах и косинусах.

Прямоугольный треугольник

Наверное, каждый школьник, который только начал изучение геометрии, знает, что такое прямоугольный треугольник. С первого взгляда в данной фигуре нет ничего особенного, сложного и непонятного. Но вот когда «теряются» данные о той или иной стороне сего геометрического объекта, начинаются проблемы. Дело все в том, что вопрос: «Как найти сторону прямоугольного треугольника?» — затрагивает не только понятия синуса и косинуса, а еще и тангенсов углов. Таким образом, вычисления становятся намного сложнее и больше. Итак, сначала обозначим два катета нарисованного прямоугольного треугольника через a и b. Углы, лежащие напротив этих сторон, как и принято было прежде, назовем «альфа» и «бета» соответственно. Нашей гипотенузой будет служить сторона c. Угол, лежащий против него, нам не понадобится — он будет прямым. Вариантов вычислений тут несколько. Первый называется классическим. Для катета a формулы выглядит как: a=c*cos»бета»=c*sin»альфа»=b*tg»альфа».

Итоги

Итак, сегодня мы разобрались, как найти сторону треугольника, и выучили много новых формул. Для того чтобы лучше их запомнить, запишите их на какую-нибудь бумажку, по которой потом будет проще учить все наизусть. Не стоит пугаться «страшных» цифр и больших вычислений. Все проще, чем кажется.

Калькулятор длин сторон треугольника онлайн умеет вычислять длину сторон 14 способами.
Калькулятор может:

1. Найти все стороны треугольника.
2. Найти все углы треугольника.
3. Найти площадь (S) и периметр (P) треугольника.
4. Найти радиус (r) вписанной окружности.
5. Найти радиус (R) описанной окружности.
6. Найти высоту (h) треугольника.

Просто введите любые имеюшиеся данные и, если их достаточно, то калькулятор сам подберет нужные формулы для вычислений и покажет подробный расчет с выводом формул.
 

Сторона треугольника (или длина сторон) может быть найдена различными методами. 
В большинстве случаев достаточно воспользоваться одной из ниже приведенных формул. Однако не редки случаи когда для нахождения искомой стороны понадобиться обратиться к дополнительным материалам или решения в два действия.

Как найти длину стороны треугольника?

Найти длину сторон треугольника очень просто на нашем онлайн калькуляторе. Так же длина может быть найдена самостоятельно по формулам. Выбор нужной формулы зависит от того какие данные известны.

Для прямоугольного треугольника:

1) Найти катет через гипотенузу и другой катет

где a и b — катеты, с — гипотенуза.

2) Найти гипотенузу по двум катетам

где a и b — катеты, с — гипотенуза.

3) Найти катет по гипотенузе и противолежащему углу

где a и b — катеты, с — гипотенуза,α° и β° — углы напротив катетов.

4) Найти гипотенузу через катет и противолежащий угол

где a и b — катеты, с — гипотенуза,α° и β°- углы напротив катетов.

Для равнобедренного треугольника:

1) Найти основание через боковые стороны и угол между ними

где a — искомое основание, b — известная боковая сторона,α° — угол между боковыми сторонами.

2) Найти основание через боковые стороны и угол при основании

где a — искомое основание,b — известная боковая сторона,β° — угол при осноавнии.

3) Найти боковые стороны по углу между ними

где b — искомая боковая сторона, a — основание,α° — угол между боковыми сторонами.

4) Найти боковые стороны по углу при основании

где b — искомая боковая сторона, a — основание,β° — угол при осноавнии.

​​​​​Для равностороннего треугольника:

1) Найти сторону через площадь

где a — искомая сторона, S — площадь треугольника.

2) Найти сторону через высоту

где a — искомая сторона,h — высота треугольника.

3) Найти сторону через радиус вписанной окружности

где a — искомая сторона,r — радиус вписанной окружности.

4) Найти сторону через радиус описанной окружности

где a — искомая сторона,R — радиус описанной окружности.

​​​​​Для произвольного треугольника:

1) Найти сторону через две известные стороны и один угол (теорема косинусов)

где a — искомая сторона, b и с — известные стороны, α° — угол напротив неизвестной стороны.

2) Найти сторону через одну известную сторону и два угла (теорема синусов)

где a — искомая сторона, b — известная сторона, α° и β° известные углы.

Скачать все формулы в формате Word

Треугольником называется фигура, которая состоит их трех точек (вершины), которые не лежат на одной
прямой и трех попарно соединяющих эти точки отрезков (стороны). Треугольники бывают остроугольными,
тупоугольными, прямоугольными, равнобедренными, равносторонними, разносторонними. С данной фигурой
связано много формул, теорем, правил. Ниже приведены формулы и примеры по нахождению стороны
треугольника.

Сторона равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

Для того чтобы найти сторону равностороннего треугольника через радиус описанной окружности
необходимо ее радиус умножить на корень квадратный из трех. Таким образом, формула будет выглядеть
следующим образом:

a = R * √3

где а — сторона треугольника, R — радиус описанной окружности.

Пример. Пусть дан равносторонний треугольник с радиусом описанной окружности 10см. Подставим в
формулу и получится: a = 10*√3 = 10 * 1,732 ≈ 17,3 см.

Сторона равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

Для нахождения стороны правильного треугольника через радиус вписанной окружности следует
использовать формулу радиуса r= a (√3 / 6). Отсюда можно вывести формулу следующим образом: a = r (6
/ √3) = r *(6√3 / √3√3) = r * (6√3 / 3). Формула будет следующая (удвоенный радиус умножить на
квадратный корень из трех):

a = 2r * √3

где а — сторона треугольника, R — радиус вписанной окружности.

Пример. Пусть дан равносторонний треугольник с радиусом вписанной окружности 23см. Подставим в
формулу и получится: a = 2 * 23 * √3 = 2 * 23 * 1,732 ≈ 79,7см.

Сторона равностороннего треугольника через высоту

Для того чтобы найти сторону равностороннего треугольника через высоту следует применить теорему
Пифагора. Сторона равностороннего треугольника a² будет равна сумме квадратов высоты и половины
основания, которое также является стороной a: a² = h² + (a/2)² ⇒ a² = h² + a²/4 ⇒ a² — a²/4
=h² ⇒ (4a² — a²) / 4 = h² ⇒ 3a²/4 = h² ⇒ a² = 4*h²/3 ⇒a = √(4h²/3). Отсюда можно вывести
формулу для нахождения стороны через высоту:

a = 2h / √3

где а — сторона, h —  высота равностороннего треугольника.

Пример. Пусть дан равносторонний треугольник с высотой 45см. Подставим в формулу и получится: a = 2 *
45 / √3 = 2 * 45 / 1,732 ≈ 51,963 см.

Сторона равностороннего треугольника через площадь

Для того чтобы найти сторону равностороннего треугольника через площадь нужно применить следующую
формулу

a = √(4S / √3)

где а — сторона, S —  площадь равностороннего треугольника.

Пример. Пусть дан равносторонний треугольник с площадью 64м². Подставим в формулу и получится: a =
√(4*64 / √3)= √(4 * 64 / 1,732) ≈ 12,157 см.

Основание равнобедренного треугольника через боковые стороны и угол между ними

Равнобедренным называется треугольник, у которого есть две равные стороны, называемые ребрами, а
третья сторона основанием. Для того чтобы найти основание нужно знать или один из углов, или высоту
треугольника, приводящаяся к основанию. Его можно вычислить по данной формуле:

a = 2b * sin (α/2)

где a — длина основания треугольника, b — длина стороны треугольника; α — это угол,
который противоположен основанию.

Пример. Если сторона a = 10 см, а ∠β = 12°, то: a = 2⋅10⋅sin 12/2 = 2⋅10⋅0,1045 =2,09 см.

Основание равнобедренного треугольника через боковые стороны и угол при основании

Угол при основании равнобедренного треугольника равен разности 90º и половины угла при его вершине и
чем больше угол при вершине равнобедренного треугольника, тем он меньше. Может быть только острым,
то есть прямым или тупым он быть не может. Если известен угол при основании и боковые стороны, то
можно найти основание равнобедренного треугольника по следующей формуле:

a = 2b + cos β

где b — боковая сторона, β — угол при основании.

Пример. Если сторона a = 10 см, а ∠β = 40°, то: a = 2⋅10⋅cos 40 = 2⋅10⋅0,766 =15.32 см.

Боковая сторона равнобедренного треугольника через основание и угол между боковыми сторонами

В равнобедренном треугольнике углы при основании (т.е. между боковыми сторонами и основанием) равны,
из чего можно сделать вывод что если углы при основании треугольника одинаковы по значению, значит
он является равнобедренным.  Это значит, что α = β.

Формула, выражающая боковую сторону равнобедренного треугольника через основание и угол боковыми
сторонами:

b = a / (2 * sin(α/2))

где d — основание равнобедренного треугольника, α — угол между боковыми сторонами.

Пример. Если сторона a = 17 см, а ∠α = 50°, то: a = 17 / 2 * sin (50/2) = 17 / 2 * sin 25 = 20.11
см.

Боковая сторона равнобедренного треугольника через основание и угол при основании

Если известно основание и угол при нем, то формула боковой стороны равнобедренного треугольника будет
выглядеть следующим образом:

b = a / 2 * cos β

где a — это основание, β — угол при основании равнобедренного треугольника.

Здесь длина боковых сторон будет равно b: AB=BC=b, длина основания a: AC=a. Для доказательства
формулы боковой стороны применяется теорема косинусов, вернее, ее следствие.

Пример. Пусть основание (a) равно 35мм, а угол β — 60º, тогда подставив в формулу получим b =
35 / 2 * 0,5=35 мм.

Катет прямоугольного треугольника через гипотенузу и острый угол

Катет прямоугольного треугольника через гипотенузу и острый угол выражается данным образом: катет,
противолежащий углу α, равен произведению гипотенузы на sin α, то есть формула будет выглядеть
следующим образом:

a = c * sin α

где c — гипотенуза, α — острый угол прямоугольного треугольника.

Пример. Пусть гипотенуза с равна 77см, а острый угол 80º, тогда подставив в формулу значения получим
следующее:  a = 77 * 0,98 = 75,8см.

Катет прямоугольного треугольника через гипотенузу и другой известный катет

Если известен один катет и гипотенузу, то можно найти другой катет. Для этого необходимо
воспользоваться формулой:

a = √(c² — b²)

где c — гипотенуза, b — катет который известен прямоугольного треугольника.

Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 5 см, а
катет b = 4 см: a = √(5² — 4)² = √(25 — 16) = √9 = 3 см

Гипотенуза прямоугольного треугольника через катет и острый угол

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны один из катетов (a или b) и противолежащий к нему
угол можно узнать по формуле:

c = a / sin(β)

где a — катет, β — острый угол прямоугольного треугольника.

Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 4 см, а
противолежащий к нему ∠β =60°: c = 4 / sin(60) = 4 / 0,87 = 8,04 см.

Гипотенуза прямоугольного треугольника через катеты

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны оба катета (стороны a и b) можно рассчитать по
формуле используя теорему Пифагора. Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов
катетов: c² = a² + b² следовательно:

c = √(a² + b²)

где c — гипотенуза, a и b — катеты.

Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 3 см, а катет
b = 4 см: c = √3² + 4² = √9 + 16 = √25 = 5 см

Сторона треугольника через две известные стороны и угол между ними

По стороне и двум углам или по двум сторонам и углу можно тоже вычислить длину стороны
треугольника:

a = b² + c² — 2bc * cos α

где a, b, c — стороны произвольного треугольника, α — угол между сторонами который
известен.

Обязательно обратите внимание что при подстановке в формулу, для тупого угла (α>90), cosα
принимает отрицательное значение.

Пример. Пусть сторона с равна 10 см, сторона b — 7, угол α — 60 градусов. Таким образом
получим подставив в формулу:
a = 7² + 10² — 2 * 7 * 10 * cos 60 = 8,89 см.

Сторона треугольника через известную сторону и два угла

Для нахождения стороны треугольника через известную сторону и два угла необходимо воспользоваться
теоремой синусов и формула будут следующая:

a = (b * sin α) / sin β

где b — сторона треугольника; β, α — углы треугольника.

Пример. Пусть сторона треугольника b равна 10, угол β  = 30º, угол α = 35º. Тогда получим подставив в
формулу следующие значения: Сторона (a) = (10 * sin 35) / sin 30   = 8.71723 мм.

Как найти сторону треугольника?

Как найти длину одной из сторон треугольника? Какие есть формулы?

Формул для нахождения стороны треугольника не так уж много, но главное не знать их — а успешно применять при решении задач, ведь далеко не каждую задачу можно решить в лоб.

Сейчас на примере я покажу, как нужно их применять.

Есть произвольный треугольник со стороной 18 см, один угол при нем равен 30 градусам, а площадь равна 36 см.кв. Нужно найти две другие стороны. Сделаем рисунок

Для решения задачи проведем к основанию (с=18см) высоту h и тем самым разделим наш треугольник на два прямоугольных.

Исходя из формулы площади, найдем высоту

S = 1/2h*c откуда h = 2S/c = 2*36/18 = 4 см

Теперь находим сторону b по синусу угла

sin = h/b (отношение противоположного катета к гипотенузе) откуда b = h/(sin 30) = 4/(1/2) = 8 см.

Мы уже знаем две стороны у угол между ними и третью сторону можно найти по формуле из теоремы косинусов, но к сожалению не всегда мы ее помним. В нашем случае ничего страшного — найдем сторону а по формуле Пифагора, но для начала нам нужно найти сторону х.

Можно по формуле Пифагора

откуда х = квадратный корень из (8*8 — 4*4), что равно 4*(кв.к3)

и находим последнюю сторону нашего треугольника

а = кв.к из (c-x)*(c-x) + h*h = кв.к из 18*18-2*18*4*(кв.к3)+4*(кв.к3)*4*(кв.к3)+4*4

здесь стоит обратить внимание, что

4*(кв.к3)*4*(кв.к3)+4*4 = 4*4*3+4*4 = 4*4*4 = 4*2*2*2 = 8*8 = b*b

2*18*4*(кв.к3) = 2*18*4*2*(кв.к3/2) = 2*18*8*(кв.к3/2) = 2*с*b*cos30 и теперь можно записать

а = кв.к из с*с — 2*с*b*cos30 + b*b Что на самом деле есть формулой нахождения стороны треугольника по теореме косинусов (мы ее только что вывели)

Теперь посчитаем и найдем сторону а = 11,772 см.

Существует целый ряд формул, с помощью которых можно найти сторону треугольника.

Рассмотрим 2 варианта:

1) Сторона треугольника через 2 других стороны и угол между ними.

Пусть a и b — известные стороны, α — угол между ними. Формула будет такой:

c = √(a² + b² — 2ab * cosα).

В треугольнике ABC сторона AB = 6 см, сторона AC = 10 см, угол меду ними = 60º.

Сторона BC = √(36 + 100 — 120 * 0,5) = √(136 — 60) = √76 = 2√19 = 8,72 см.

2) Сторона треугольника через два угла и сторону.

Здесь можно воспользоваться теоремой синусов.

Если даны углы α и β, а также сторона c, то две другие стороны можно найти по формулам:

a = c * (sinα / sinγ), где γ = 180° — α — β.

b = c * (sinβ / sinγ).

c = 10 см, α = 30°, β = 45°.

a = 10 * (0,5 / 0,96) = 5,21 см.

b = 10 * (0,7 / 0,96) = 7,29 см.

Кроме того, треугольник может быть равнобедренным или прямоугольным — в этом случае специфика нахождения длины стороны будет немного другой.

Например, для нахождения катетов или гипотенузы можно воспользоваться теоремой Пифагора.

Есть еще формулы для равнобедренного треугольника (это треугольник у которого две стороны равны и углы при оснавании также равны между собой). Для такого треугольника основание можно рассчитать по формулам:

b = 2a*sin(x/2) = a*√(2-2cosx)

Где b — длина оснавания, а — длина равных сторон, х — равные уголы при оснавании, у — угол образованный равными сторонами (лежит напротив основания).

Для того чтобы найти равные стороны равнобедренного треугольника можно использовать вот эти формулы:

a = b/(2*sin(x/2)) = b/√(2-2cosx)

Для рассчетов по этим формулам нужно знать длину хотябы одной стороны и хотябы один угол. Так как зная величину одного любого угла в равнобедренном треугольнике можно найти все остальные углы исходя из теоремы о сумме углов треугольника (сумма всех углов любого треугольника равна 180°)

Углы треугольника

Геометрическая фигура из трех отрезков, соединенных между собой тремя точками, не лежащими на одной прямой, называется треугольником. Это — многоугольник с тремя углами. Сумма всех углов треугольника равна 180°. Если известна величина двух из них, третий угол определяем вычитанием из 180° величины двух известных углов.

α = 180°-β-γ

Если известны стороны треугольника, можно рассчитать его углы, воспользовавшись теоремой косинусов. Здесь, квадрат одной стороны треугольника (а) равен сумме квадратов двух его других сторон (b,с), образующих искомый угол (α), плюс удвоенное произведение этих сторон (b,с) на косинус угла.

a 2 = b 2 + c 2 + 2abc cos (α)

Отсюда, косинус искомого угла равняется сумме квадратов смежных сторон (b, с) минус квадрат третей стороны треугольника (а), противолежащей искомому углу, и все это делится на удвоенное произведение смежных сторон:

cos (α) = (b 2 + c 2 — a 2 ) / 2bc

,
где а, b, с — стороны треугольника.
Используя теорему косинусов, определяем косинусы остальных углов. Величины углов в градусах находим по тригонометрической таблице.

Формулы треугольника

Для расчёта всех основных параметров треугольника воспользуйтесь калькулятором.

Виды треугольников

1. Остроугольный треугольник — это треугольник, в котором все три угла острые, т.е. меньше 90°.

2. Прямоугольный треугольник — это треугольник, содержащий прямой угол.

   Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами (АС и АВ), а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой (ВС).

   Свойства треугольника, применимые к любому треугольнику:

   1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.
   2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот. (В частности, все углы в равностороннем треугольнике равны.)
   3. Сумма углов треугольника равна 180° (Из двух последних свойств следует, что каждый угол в равностороннем треугольнике равен 60°).
   4. Продолжая одну из сторон треугольника (AВ), получаем внешний угол Θ.
   5. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности:
   • $$ AB BC — CA $$
   • $$ BC AB — CA $$
   • $$ CA AB — BC $$

   Признаки равенства треугольников

   Произвольные треугольники равны, если:

   Три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника (по трем сторонам).

   Две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами также равны (по двум сторонам и углу между ними).

   AB = DE и BC = EF и ∠ABC = ∠DEF;

   BC = EF и AC = DF и ∠BCA = ∠EFD;

   AB = DE и AC = DF и ∠CAB = ∠FDE;

   Три угла одного треугольника равны трем углам другого треугольника (по трем углам).

   Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, и любая сторона первого треугольника равна соответствующей стороне другого треугольника.

   AB = DE или BC = EF или AC = DF

   Прямоугольные треугольники равны, если равны:

   Гипотенуза и острый угол.

   BC = EF и ∠ABC = ∠DEF

   BC = EF и ∠BCA = ∠EFD;

   AB = DE и ∠BCA = ∠EFD

   AC = DF и ∠ABC = ∠DEF

   AB = DE и ∠ABC = ∠DEF

   AC = DF и ∠BCA = ∠EFD

   AB = DE и AC = DF

   AB = DE и BC = EF

   AC = DF и BC = EF

   Подобные треугольники

   

   Два треугольника являются подобными, если углы одного треугольника равны, углам тругого треугольника, а стороны подобны

   • ∠ABC = ∠DEF и ∠BCA = ∠EFD и ∠CAB = ∠FDE;
   • $$ = = = К_ $$

   Признаки подобия треугольников

   • Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника.
   • Две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, образованные этими сторонами, равны.
   • Три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого треугольника.

   Свойства подобных треугольников.

   • Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия (K_{подобия}) $$ over S_> = К_^2 $$
   • Отношение периметров и длин биссектрис, медиан, высот, серединных перпендикуляров равно коэффициенту подобия. т.е. в подобных треугольниках соответствующие линии (высоты, медианы, биссектрисы и т. п.) пропорциональны.

   Подобие в прямоугольных треугольниках.

   • Треугольники, образованные высотой, опущенной из прямого угла, являются подобными друг другу
   • Если прямоугольные треугольники имеют равный острый угол, то такие треугольники подобны.
   • Если два катета одного прямоугольного треугольника пропорциональны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники подобны.
   • Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника пропорциональны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники подобны.

   Площадь треугольника

   

   

   Где:	AB,BC,AC – стороны треугольника
   h – высота треугольника
   α, β, γ– углы треугольника
   P – полупериметр
   AC – основание треугольника

   Площадь произвольного треугольника

   Площадь треугольника по формуле Герона

   Площадь треугольника по углу и двум сторонам

   Площадь треугольника по двум углам и стороне

   

   Площадь прямоугольного треугольника по катетам

   Где:	AB,AC – катеты треугольника

   $$ S = * AB * AC $$

   

   Площадь равнобедренного треугольника

   Где:	AB,BC – равные стороны треугольника
   AC – основание треугольника

   $$ S = * sqrt $$

   

   Площадь равностороннего треугольника

   Где:	AB,BC,AC – равные стороны треугольника
   h – высота треугольника

   $$ S = over 4> * AB^2 $$ $$ S = > $$

   Стороны треугольника

   

   Где:	AB,BC,AC – стороны треугольника
   h – высота треугольника
   α, β, γ– углы треугольника
   P – полупериметр
   AC – основание треугольника

   Сторона треугольника по двум сторонам и углу

   Сторона треугольника по стороне и двум углам

   

   Сторона прямоугольного треугольника

   Где:	AB,AC – катеты треугольника
   BC – гипотенуза треугольника

   $$ AC = BC * cos(β) = BC * sin(α) = AB * tg(α) $$ $$ AB = BC * cos(α) = BC * sin(β) = AC * tg(β) $$ $$ BC = = $$ $$ BC = = $$

   Сторона прямоугольного треугольника по теореме Пифагора.

   

   Сторона равнобедренного треугольника

   Где:	AB,BC – равные стороны треугольника
   AC – основание треугольника

   $$ AC = 2 * AB * sin() = AB * sqrt $$ $$ AC = 2 * AB * cos(α) $$ $$ AB = = > $$ $$ AB = $$

   Высота треугольника

   Высота – это перпендикуляр, выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне или её продолжению для треугольника с тупым углом. Высоты треугольника пересекаются в одной точке

   

   Где:	AB,BC,AC – стороны треугольника
   h – высота треугольника
   P – полупериметр $$ P = $$
   α, β, γ – углы треугольника
   R — радиус описанной окружности
   S — площадь треугольника

   Высота на сторону АС, h_AC

   Высота на сторону AB, h_AB

   Высота на сторону BC, h_BC

   Формула длины высоты через сторону и угол

   Высота на сторону АС, h_AC

   Высота на сторону AB, h_AB

   Высота на сторону BC, h_BC

   Формула длины высоты через сторону и площадь

   Высота на сторону АС, h_AC

   Высота на сторону AB, h_AB

   Высота на сторону BC, h_BC

   Формула длины высоты через стороны и радиус

   Высота на сторону АС, h_AC

   Высота на сторону AB, h_AB

   Высота на сторону BC, h_BC

   Формулы высоты из прямого угла в прямоугольном треугольнике

   В прямоугольном треугольнике катеты, являются высотами. Ортоцентр — точка пересечения высот, совпадает с вершиной прямого угла.

   

   Где:	AB,AC – катеты треугольника
   BC – гипотенуза треугольника
   BD, DC – отрезки полученные от деления гипотенузы, высотой
   α, β– углы треугольника

   Формула длины высоты через гипотенузу и острые углы

   Формула длины высоты через катет и угол

   Формула длины высоты через составные отрезки гипотенузы

   Биссектрисы в треугольнике

   Биссектриса – это отрезок, который делит угол пополам из которого выходит. Точка пересечения всех трех биссектрис треугольника совпадает с центром вписанной окружности.

   

   Где:	AB,BC,AC – стороны треугольника
   AA1,BB1,CC1 — биссектрисы в треугольнике
   α, β, γ– углы треугольника
   P – полупериметр $$ P = $$

   Длина биссектрисы через две стороны и угол

   Длина биссектрисы через полупериметр и стороны

   Длина биссектрисы через три стороны

   Длина биссектрисы через стороны и отрезки, на которые делит биссектриса

   Формула длины биссектрис в прямоугольном треугольнике

   

   Где:	AB,AC – катеты треугольника
   BC – гипотенуза треугольника
   β, γ– острые углы треугольника

   Длина биссектрисы из прямого угла, через катеты.

   Длина биссектрисы из прямого угла, через гипотенузу и угол

   Длина биссектрисы через катет и угол

   Длина биссектрисы через катет и гипотенузу

   Длина биссектрисы равнобедренного треугольника

   

   Где:	AB,BC – равные стороны треугольника
   AC – основание треугольника
   α – равные углы при основании треугольника
   β – угол образованный равными сторонами треугольника

   Длина биссектрисы через стороны и угол, равнобедренного треугольника

   Длина биссектрисы через стороны, равнобедренного треугольника

   Длина биссектрисы равностороннего треугольника

   

   Где:	AB,BC,AC – равные стороны треугольника

   $$ BB_1 = over 2> $$

   Медиана в треугольнике

   Медиана – это отрезок, который выходит из вершины и делит противоположную сторону пополам. Медиана делит треугольник на два равных по площади треугольника.

   

   Где:	AB,BC,AC – стороны треугольника
   AA1,BB1,CC1 — медианы в треугольнике
   α, β, γ– углы треугольника

   Длина медианы через три стороны

   Длина медианы через две стороны и угол между ними

   Длина медианы в прямоугольном треугольнике, выходящая из прямого угла.

   

   Где:	AB,AC – катеты треугольника
   BC – гипотенуза треугольника
   AA1,BB1,CC1 — медианы в треугольнике
   β, γ– острые углы треугольника

   Длина медианы в прямоугольном треугольнике, выходящая из прямого угла, равна радиусу описанной окружности, а середина гипотенузы является центром описанной окружности

   Длина медианы через катеты

   Длина медианы через катет и острый угол

   Описанная окружность

   Радиус описанной окружности произвольного треугольника по сторонам

   

   Где:	AB,BC,AC – стороны треугольника
   P – полупериметр $$ P = $$
   R — радиус описанной окружности

   $$ R = > $$

   Радиус описанной окружности равностороннего треугольника по стороне или высоте

В геометрии первая фигура, которую школьники начинают изучать, это треугольник. Он является одним из самых распространенных и простых замкнутых объектов. Знание свойств фигуры и необходимых теорем позволяет решать разные задачи о том, как найти третью сторону треугольника на плоскости.

Фигура из шести элементов

Под геометрическим элементом полагают какой-либо объект, который имеет определенную меру и является составляющей частью некоторой фигуры. Например, для сферы основными образующими элементами являются радиус и центр.

Как известно, треугольник — это фигура, которая состоит из трех отрезков и такого же количества вершин. При этом все отрезки попарно пересекаются. Из определения фигуры следует, что ее образуют два типа элементов, общее количество которых составляет 6:

• сторона (3);
• вершина (3).

Обычно треугольник обозначают большими латинскими буквами, например, ABC, PQM и так далее. Каждая буква — это название вершины (точка пересечения двух отрезков). AB, BC и CA, которые являются длинами сторон, принято обозначать маленькими латинскими буквами по названию противоположных им вершин, то есть c, a и b, соответственно.

Дополнительные отрезки

Несмотря на всю простоту построения фигуры, она обладает большим количеством дополнительных элементов, которые ее могут определять. Среди них самыми важными являются следующие:

Медиана — отрезок, который соединяет вершину и середину противоположной стороны. Таких отрезков в треугольнике три. Все они пересекаются в одной точке, которая является центром масс фигуры. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, начиная от вершины. Каждый из трех названных отрезков делит треугольник на две аналогичных фигуры равной площади.

Биссектриса — отрезок, который отличается от медианы тем, что он делит пополам соответствующий угол.

Высота — перпендикуляр, который из вершины опускается на сторону фигуры. Его удобно использовать при вычислении площади или при определении его углов через тригонометрические выражения. Для некоторых типов треугольников высота может совпадать со стороной (катет в прямоугольной фигуре).

Радиусы вписанной и описанной окружностей. Эти замкнутые симметричные кривые можно провести для любого треугольника. Указанные радиусы однозначно определяются через стороны и углы фигуры.

Средняя линия — это соединяющий две середины сторон отрезок. Его особенность заключается в том, что он всегда параллелен третьей стороне и равен половине ее длины.

Виды треугольников

Разработана достаточно развитая классификация рассматриваемых фигур. Главными ее пунктами являются значения углов треугольника и взаимоотношение между его отрезками. Так, если в фигуре все углы острые, то она называется остроугольной. Если же один из углов больше 90 °, то треугольник полагается тупоугольным. Чаще всего в задачах рассматривают следующие виды:

Равнобедренный — две стороны имеют одинаковую длину. Как следствие, противолежащие им углы равны между собой.

Равносторонний — три отрезка равны друг другу. Поэтому все углы в таком треугольнике также равны и составляют всегда по 60 °.

Прямоугольный. Из названия следует, что он содержит один внутренний угол, который составляет 90 °. Для этого вида фигуры применима знаменитая теорема Пифагора.

Основные свойства и понятия

Треугольник является одной из самых изученных фигур в геометрии. Для него известны многие теоремы, которые с успехом используются при решении задач. Существует два основных свойства фигуры, которые следуют из характеристик евклидового пространства:

Равенство суммы трех углов 180 °, то есть A + B + C = 180 °. Этот факт доказал еще Евклид в своем знаменитом труде «Элементы». По этой причине треугольник не может содержать больше одного прямого или тупого внутреннего угла.

Если известны три отрезка a, b и c такие, что выполняется равенство a + b = c, то из них составить треугольник невозможно. Это фундаментальное свойство говорит о том, что для всякого типа рассматриваемой фигуры сумма длин ее двух любых сторон всегда больше длины третьей.

Помимо названных свойств, следует знать о треугольнике еще такое понятие, как подобие. Его суть состоит в том, что одна из рассматриваемых фигур является точной копией в миниатюре другой. Для подобных треугольников все углы равны попарно, а все три стороны относятся соответственно попарно друг к другу с одним и тем же коэффициентом подобия.

Еще одной полезной характеристикой рассматриваемой фигуры является ее качество (CT). Вычисляется оно по следующей формуле:

CT = (a + b — c)*(b + c — a)*(c + a — b)/(a*b*c).

Величина CT лежит в пределах от 0 до 1. Она показывает степень близости фигуры к равностороннему, то есть к наиболее симметричному объекту. Если CT < 0,5, то треугольник считается вырожденным (один из его углов будет тупым, причем чем меньше CT, тем больше величина этого угла), если же CT > 0,5, то фигура характеризуется, как имеющая хорошее качество.

Величина CT применяется для алгоритмов, которые разделяют какую-либо изучаемую геометрическую поверхность на сетку треугольников. Если в этой сетке генерируется много низкокачественных фигур, то будет велика ошибка аппроксимации рассматриваемой величины.

Важные теоремы

Знание теорем для рассматриваемой фигуры позволяет понять, как найти сторону, зная 2 стороны треугольника. Прежде всего применяются две базовые теоремы:

Синусов. Как известно, синус — это тригонометрическая функция, которая вводится в прямоугольном треугольнике и определяет отношение противолежащего углу катета к гипотенузе. Теорема синусов для фигуры произвольного типа устанавливает следующее математическое взаимоотношение между отрезками и углами: a/sinA = b/sinB = c/sinC. Это означает, что вычислить длину любой стороны можно, если известен еще какой-нибудь отрезок и два угла.

Косинусов. Как и синус, косинус тоже является тригонометрической функцией, которая определяет отношение катета прилежащего к гипотенузе прямоугольной фигуры. Теорему косинусов удобно записать в виде следующего математического выражения: c ² = a ² + b ² — 2*a*b*cosC. С помощью этого равенства можно найти 3 сторону треугольника по 2 сторонам известным и углу между ними.

К этим двум теоремам следует добавить еще два важных равенства, которые связаны с именами древнегреческих философов.

Первое выражение базируется на знаменитой теореме Пифагора, которая устанавливает связь между длинами двух катетов (меньшие стороны) и гипотенузы (большая сторона) в треугольнике с прямым углом. Если гипотенузу обозначить буквой c, тогда будет выполняться следующее равенство:

c ² = a ² + b ² .

Если известные любые две стороны, то для определения третьей достаточно взять под квадратный корень соответствующую сумму или разницу квадратов.

Вторая из дополнительных теорем носит название философа Аполлония Пергского. Соответствующее ей математическое выражение выглядит так:

a ² + b ² = ½*c ² + 2*Mc ² .

Здесь Mc — это медиана, проведенная к стороне c из вершины C. Это равенство также называют в математике теоремой медианы.

Примеры решения задач

После того как изучены и рассмотрены основные понятия, свойства и теоремы для различного рода треугольников, можно переходить к решению геометрических задач. Поскольку для этого требуется в большинстве случаев знать значения тригонометрических функций, рекомендуется воспользоваться либо соответствующими таблицами, либо инженерным калькулятором.

Задачи школьного курса с треугольниками, как правило, не являются сложными. Они решаются благодаря однократному применению какого-либо свойства или теоремы.

Квадрат и его диагональ

Пусть дан квадрат, сторона которого составляет 11 см. Необходимо определить половину длины его диагонали.

Эту геометрическую задачу проще всего решить, если увидеть, что две смежные стороны исходной фигуры и ее диагональ образуют прямоугольный треугольник, который к тому же является равнобедренным. Каждая из равных сторон в нем имеет длину 11 см и является катетом. Диагональ c — это гипотенуза. Применяя пифагорову теорему, можно получить следующее равенство:

c = (11 ² + 11 ² )^0,5 ≈ 15,556 см.

Поскольку половина диагонали в два раза меньше гипотенузы, то искомым ответом на задачу будет число c/2 ≈ 7,778 см.

Две высоты и угол

Дан треугольник ABC. Известно, что при вершине C угол составляет 37 °. Из вершин A и B проведены высоты к сторонам этого треугольника, их длины составляют h1 = 10 см и h2 = 8 см, соответственно. Необходимо узнать длину стороны фигуры, которая лежит против угла C.

Из условия задачи можно найти длины сторон AC и BC. Для этого следует увидеть, что каждая из высот с двумя другими сторонами треугольника образует прямоугольную фигуру. Воспользовавшись тригонометрическими равенствами, можно получить следующие результаты:

• AC = h1/sinC = 10/sin (37 °) ≈ 16,616 см;
• BC = h2/sinC = 8/sin (37 °) ≈ 13,293 см.

Против угла C лежит сторона AB, которую следует найти. Получается, что известны две стороны треугольника (AC и BC) и угол между ними. Остается применить теорему косинусов, чтобы получить ответ:

AB = (AC ² + BC ² — 2*AC*BC*cosC)^0,5 = (16,616 ² + 13,293 ² — 2* 16,616 * 13,293 *cos (37 °))^0,5 ≈ 10 см.

Полученный результат свидетельствует о том, что высота h1 совпадает со стороной AB с рассчитанной точностью, то есть исходный треугольник являлся прямоугольным.

Таким образом, для нахождения стороны треугольника, если известны две другие его стороны или иные отрезки, следует воспользоваться теоремами. Основными из них являются теорема косинусов и синусов, а также Пифагора и Аполлония.

Предыдущая

ГеометрияТеорема косинусов для треугольника — формулы, доказательство и решение задач

Следующая

ГеометрияВзаимное расположение двух плоскостей в пространстве — способы решения задач