Как найти меридиану математика

Была ли эта статья полезной?

Помимо моды, среднего арифметического и размаха ряда чисел существует также такое понятие, как медиана. Ее используют для того, чтобы охарактеризовать какой-либо числовой ряд. Медианой называют среднее число в представленном ряду, то есть то, которое будет стоять в его середине.

Медиана — это число, стоящее посередине упорядоченного по возрастанию ряда чисел (в случае, если количество чисел нечетное), или же полусумма двух стоящих в середине чисел (если количество чисел в ряду четное).

На письме медиану обозначают как $Me$.

Стоит отметить, что медиана и среднее арифметическое — это не одно и то же. В первом случае мы будем брать число из середины ряда, а во втором — среднее значение.

Рассмотрим на примере. Нам дан определенный числовой ряд, состоящий из $13$ значений:

$$-3, 0, 0, 0, 3, 4, textcolor{blue}{8}, 8, 8, 8, 12, 15, 100$$

В данном ряду все числа расставлены по возрастанию, поэтому из $13$ позиций нам нужно найти ту, которая будет стоять в центре ряда. Ей станет позиция под номером $7$. Если мы посмотрим на числовой ряд, то можем увидеть, что на седьмом месте стоит число $textcolor{blue}{8}$. Таким образом, мы нашли медиану данного числового ряда, а в ответе можем записать, что $Me=8$.

Алгоритм нахождения медианы

Искать медиану в числовом ряде достаточно просто, для этого достаточно всего лишь придерживаться определенного алгоритма:

1. Первым шагом будет нужно упорядочить числовой набор, выписав все числа последовательно в порядке возрастания.
2. Затем, чтобы было удобнее находить медиану, следует поочередно зачеркивать одновременно самое большое и самое маленькое числа, то есть одно значение из начала числового ряда, а другое — из его конца. Это нужно делать до тех пор, пока в середине не останется одно (если ряд имеет нечетное количество чисел) или два (если ряд имеет четного количества чисел) значения.
3. При условии, что в центре остается одно число, его и считают медианой, поэтому в таком случае задача уже будет решена.
4. Если же в середине осталось два числа, то нужно найти их полусумму. Полученное значение и будет являться медианой числового ряда.

Попробуем применить данный алгоритм на примере. У нас имеется следующий ряд чисел:

$$19, 7, 21, 2, 15, 5$$

Прежде всего запишем все числа в порядке возрастания друг за другом:

$$2, 5, 7, 15, 19, 21$$

Теперь начнем убирать самое большое и самое маленькое значения. Сначала зачеркиваем числа $21$ и $2$, затем $19$ и $5$. Мы видим, что в середине осталось два числа, так как числовой ряд состоял из четного количества чисел.

$$textcolor{red}{2}, textcolor{red}{5}, 7, 15, textcolor{red}{19}, textcolor{red}{21}$$

Чтобы найти медиану, нам нужно сложить числа $7$ и $15$, после чего разделить их на два. Получается такой пример:

$$frac{7+15}{2}=frac{22}{2}=11$$

Значение $11$ и будет являться искомой медианой, поэтому в ответе мы можем записать, что $Me=11$.

Медиана равна половине гипотенузы прямоугольного треугольника!

Почему??? При чём тут прямой угол?

Давай смотреть внимательно. Только не на треугольник, а на … прямоугольник.

Ты заметил, что наш треугольник ( displaystyle ABC) – ровно половина этого прямоугольника?

Проведём диагональ ( displaystyle BD):

Помнишь ли ты, что диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам?

Если не помнишь, загляни в тему «Параллелограмм, прямоугольник, ромб…»

Но одна из диагоналей – ( displaystyle AC) – наша гипотенуза! Значит, точка пересечения диагоналей – середина гипотенузы ( displaystyle Delta ABC).

Она называлась у нас ( displaystyle M).

Значит, половина второй диагонали – наша медиана ( displaystyle BM). Диагонали равны, их половинки, конечно же, тоже. Вот и получим ( displaystyle BM=MA=MC)

Медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Более того, так бывает только в прямоугольном треугольнике!

Если медиана равна половине стороны, то треугольник прямоугольный, и эта медиана проведена к гипотенузе.

Доказывать это утверждение мы не будем, а чтобы в него поверить, подумай сам: разве бывает какой-нибудь другой параллелограмм с равными диагоналями, кроме прямоугольника?

Нет, конечно! Ну вот, значит, и медиана может равняться половине стороны только в прямоугольном треугольнике.

Решение задач на свойства медианы в прямоугольном треугольнике

Давай посмотрим, как это свойство помогает решать задачи.

Найти ( displaystyle AB), если ( displaystyle AB=2CN).

Рисуем:

Сразу вспоминаем, это если ( displaystyle CN=frac{AB}{2}), то ( displaystyle angle ACB=90{}^circ )!

Ура! Можно применить теорему Пифагора!

Видишь, как здорово? Если бы мы не знали, что медиана равна половине стороны только в прямоугольном треугольнике, мы никак не могли бы решить эту задачу. А теперь можем!

Применяем теорему Пифагора:

( A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}})

( A{{B}^{2}}={{5}^{2}}+{{12}^{2}}=169)

Ответ: ( AB=13)

А в следующей задаче пусть у нас будет не одна, а целых три медианы! Как же они себя ведут?

Запомни очень важный факт:

Три медианы в треугольнике (любом!) пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении ( 2:1), считая от вершины.

Сложно? Смотри на рисунок:

Медианы ( displaystyle AM), ( displaystyle BN) и ( displaystyle CK) пересекаются в одной точке.

Запомни:

• ( displaystyle AO) – вдвое больше, чем ( displaystyle OM);
• ( displaystyle BO) – вдвое больше, чем ( displaystyle ON);
• ( displaystyle CO) – вдвое больше, чем ( displaystyle OK).

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении ( displaystyle 2:1 ), считая от вершины.

Что бы это такое значило? Посмотри на рисунок. На самом деле утверждений в этой теореме целых два. Ты это заметил?

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке.

2. Точкой пересечения медианы делятся в отношении ( displaystyle 2:1 ), считая от вершины.

Давай попробуем разгадать секрет этой теоремы, то есть доказать ее.

Доказательство теоремы о трех медианах треугольника

Сначала проведем не все три, а только две медианы. Они-то уж точно пересекутся, правда? Обозначим точку их пресечения буквой ( displaystyle E).

Соединим точки ( displaystyle N) и ( displaystyle K). Что получилось?

Конечно, ( displaystyle NK) – средняя линяя ( displaystyle triangle ABC). Ты помнишь, что это значит?

• ( displaystyle NK) параллельна ( displaystyle AC);
• ( displaystyle NK=frac{AC}{2}).

А теперь проведем ещё одну среднюю линию: отметим середину ( displaystyle AE) – поставим точку ( displaystyle F), отметим середину ( displaystyle EC) — поставим точку ( displaystyle G).

Теперь ( displaystyle FG) – средняя линия ( displaystyle triangle AEC). То есть:

• ( displaystyle FG) параллельна ( displaystyle AC);
• ( displaystyle FG=frac{AC}{2}).

Заметил совпадения? И ( displaystyle NK) , и ( displaystyle FG) – параллельны ( displaystyle AC). И ( displaystyle NK=frac{AC}{2}), и ( displaystyle FG=frac{AC}{2}).

Что из этого следует?

• ( displaystyle NK) параллельна ( displaystyle FG);
• ( displaystyle NK=FG)

Посмотри теперь на четырехугольник ( displaystyle NKGF). У какого четырехугольника противоположные стороны (( displaystyle NK) и ( displaystyle FG)) параллельны и равны?

Конечно же, только у параллелограмма!

Значит, ( displaystyle NKGF) – параллелограмм. Ну и что?

А давай вспомним свойства параллелограмма. Например, что тебе известно про диагонали параллелограмма? Правильно, они делятся точкой пересечения пополам.

Снова смотрим на рисунок.

Получилось что:

Бонусы: Вебинары из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике по треугольникам

Лучше всего смотреть это видео с ручкой и тетрадкой в руках. То есть ставьте видео на паузу и решайте задачи самостоятельно.

Помните, понимать и уметь решать — это два, совершенно разных навыка. Очень часто вы понимаете как решить задачу, но не можете это сделать. Или допускаете ошибки, или просто теряетесь и не можете найти ход решения.

Как с этим справиться?

Нужно решать много задач. Другого способа нет. Вы должны совершить свои ошибки, чтобы научиться их не допускать.

ЕГЭ №6 Равнобедренный треугольник, произвольный треугольник

В этом видео мы вспомним все свойства равнобедренных треугольников и научимся их применять в задачах из ЕГЭ. Очень часто все «проблемы» с решением задач на равнобедренный треугольник решаются построением высоты. Также мы научимся решать и «обычные» треугольники.

ЕГЭ №6 Прямоугольный треугольник, теорема Пифагора, тригонометрия

ЕГЭ №16. Подобие треугольников. Задачи н доказательство

Это одна из самых сложных задачи в профильном ЕГЭ. Полные 3 балла за эту задачу получают менее 1% выпускников!

Основная сложность – построение доказательств. Баллы здесь снимают за любой пропущенный шаг доказательства. Например, нам часто кажется очевидным, что треугольники на рисунке подобны и мы забываем указать, по какому признаку. И за это нам снимут баллы.

В этом видео вы научитесь применять подобие треугольников для доказательств, указывать признаки подобия и доказывать каждое умозаключение.

Вы научитесь правильно записывать решение задачи, сокращать записи чтобы не тратить время на выписывание всех своих мыслей или полных названий теорем.

Вы научитесь также применять подобие треугольников не только для доказательств, а и для расчётных задач.