|
Есть 10 мешков, полные монет. В девяти из них — все монеты из чистого золота, а в одном мешке — все монеты фальшивые. Известно, что фальшивая монета весит на один грамм меньше золотой. Как при помощи только одного взвешивания на циферблатных весах определить, в каком из мешков находятся фальшивые монеты?
Во первых нужно пронумеровать мешки от 1 до 10, и из каждого мешка взять столько монет, сколько соответствует его номеру, из первого 1-ну, из второго 2-ве и т.д. из десятого 10 всего 55 штук. Если бы все монеты были настоящими, их вес был бы 110 грамм (при условии что настоящая весит 2 грамма, а фальшивка 1 грамм). на сколько грамм меньше будут весить мешок(вместо 110 грамм) можно определить фальшивый мешок. если на грамм ,то 1-й мешок, если на 5 грамм, то 5-й мешок и т.д. система выбрала этот ответ лучшим
Татьяна100 6 лет назад Я больше практик, чем теоретик, поэтому если бы сама попала в такую ситуацию, то обходилась бы вообще без весов. Ведь если следовать математическому методу и из каждого мешка брать по 1, 2, 3 монеты и т.д., то общее количество монет будет 55. Весы в условиях задачи — циферблатные, т.е. никаких двух чаш там нет — можно только узнать точный вес. А ведь взвешивать можно только ОДИН раз (может весы после этого сразу ломаются или батарейки садятся — не знаю), но если вы даже высчитали, что фальшивки например в 9 мешке, то как вы ПОТОМ из этих 55 монет найдете эти 9 фальшивых уже без взвешивания? Поэтому я бы расставила эти мешочки в ряд по объему (на взгляд) — от маленького к большому. Потом в самом маленьком и пересчитала монеты, запомнила цифру. Далее в каждом мешке оставила бы столько же монет — остальные лежали бы кучкой рядом с этим мешочком. Когда в каждом мешочке оказалось бы по одинаковому количеству монет, определить самый легкий было бы не трудно — ведь каждая сотня монет, это уже разница в 100 грамм, а тысяча — уже килограмм. Конечно, долго пересчитывать, но золото требует терпения.
fatalex 8 лет назад Вообще, в этой задаче не хватает данных Какие весы используются ( с одной чашей или с двумя ) ? Если весы двухчашечные и при этом показывают разницу в граммах, то… нумеруем мешки, как предложил Владимир и выкладываем на левую чашу 1 монету из первого мешка, 2 из второго, 3 из третьего, 4 из четвертого и 5 из пятого. На правую чашу 1 монету из шестого мешка, 2 из седьмого, 3 из восьмого, 4 из девятого и 5 из десятого. Если легче левая чаша весов, то разница в весе укажет количество фальшивых монет на весах и номер мешка с фальшивыми монетами, а если легче правая чаша, то номер мешка с фальшивками равен разнице веса монет плюс 5. Так, если правая чаша легче на 4 грамма, то фальшивки в 4 плюс 5 = 9-том мешке. Если же весы с одной чашей, то нужно еще знать массу фальшивой или настоящей монеты. Допустим настоящая весит 5.2 грамма. Выкладываем на весы монеты так, как предложил Владимир. Если бы все монеты были настоящими, то на весах была бы масса 55 * 5.2 = 286 грамм, но т.к. в одном мешке монеты легче, то и весы в итоге покажут меньшую массу, а отличие полученной массы монет от эталонных 286 грамм укажет нам на номер мешка с фальшивыми монетами. Допустим фальшивки в 7 мешке. Значит на весах окажется 7 фальшивых монет и 48 настоящих. Масса монет на весах составит 5.2 * 48 плюс 4.2 * 7 = 249.6 плюс 29.4 = 279 грамм. Проверяем: 286 — 279 = 7 Фальшивки в 7-ом мешке и на весах их 7 штук. Пы.Сы. пишу «плюс» прописью потому, что значок плюс со смартфона, с которого я пишу ответ, почему-то отображается здесь в виде пробела
Колючка 555 3 года назад Видела как то я эту задачу, только монеты были серебряными и весили 5 грамм, а фальшивые 4 грамма. От этих цифр давайте и отталкиваться. Из первого мешка берем 1 монету, из 2 две и так далее. Всего 55 монет. Их вес должен быть 275 грамм, если бы все были золотыми. А так как в одном из мешков фальшивка, то и вес будет меньше. Если на весах 270 грамм, то фальшивые монеты в 5 мешке. Также и другие мешки можно вычислить.
Galina7v7 7 лет назад Главное — определить отличие в общем весе монет от эталонного.и на сколько граммов.Все мешки нумеруются.и из каждого берется столько монет-какой номер мешка.Монет будет 55.(1+2+3+4+5+…9+10=55)Пусть настоящие монеты весят по 2 г.а фальшивые по 1 г.Правильный вес должен быть =110 г.Но он будет отличаться на 1.2.3…10 г.И вот сколько г.не будет хватать.под тем номером и будет мешок с фальшивыми монетами.
Даксплячи Учлинзайх 7 лет назад Тут уже давали вариант что из первого мешка одну монету берем, из второго две и т.д. Хотя можно конечно и попроще задачку решить Главное что бы в мешках было одинаковое количество монет Взвесьте мешки — мешок с фальшивыми монетами будет весить меньше, чем остальные мешки Но это только в том случае, если в мешках одинаковое количество монет Ну и разумеется должны быть хорошие весы
МарияСС 6 лет назад Нам необходимо сначала разделить мешки на 2 части по 5 мешков, далее (из каждой части) взять из первого мешка одну монету, из второго — 2 и так далее. Всего мы возьмем 30 монет. Часть из них фальшивая и весит на один грамм меньше. Нам необходимо определить сколько точно монет фальшивых, тогда мы сможем выяснить номер мешка, в котором находятся поддельные монеты. Нужны для этого нам чашечные весы. На сколько граммов одна кучка монет будет легче другой, такой и порядковый номер мешка из той части, в которой оказались более легкие монеты.
Korobok 10 лет назад Насчёт немцев — не знал, это любопытно. Что же до задачи, то, думаю, Владимир решил правильно, но лишь наполовину. Принцип тот же, только мешки надо разделить поровну, по 5 штук и кучки монет от каждой партии разложить на разные чаши весов. Количество делений ( граммов ), на которые отклонится стрелка от нуля, и укажет на искомый мешок.
Трифон Ли 10 лет назад В детстве читал эту задачу. О ней такая история. Во время 2 мировой немцы разбросали над Англией листовки с этой задачей. Цемцы посчитали, что нанесли этим ущерб английской экономике, т.к. на решение казалось бы простой задачи люди потратили уйму рабочего времени. Если бы цемцы не были такими наивными они тогда еще изобрели комп.
chela 10 лет назад Нумеруем мешки. Из мешков в последовательности берем 1,2,3 … 10 монет. Всего будет 55 монет. Взвешиваем их и получаем вес, например m и разделим его на 55. Получим целое число и дробь. Теперь запишем (1-дробь)*55=№ нужного нам мешка. Для решения этой задачи нужны очень точные весы, желательно аптечные.
Максим Костенко 10 лет назад А на кой ляд тут вообще весы? Каждая фальшивая монета весит на грамм меньше. В мешке с фальшивыми монетами их тысячи. Мешок с фальшивыми монетами будет на килограммы легче. Знаете ответ? |
I.
Мотивационно-ориентировочная часть
Давайте представим, что мы попали
на Дикий Запад. В маленьком американском городке орудует банда грабителей.
Все мы будем сыщиками и наша задача – найти и обезвредить преступников. Мы
сумеем это сделать, если правильно выполним все задания. Шериф городка узнал,
что готовится ограбление банка, значит, его надо охранять. Для охраны
помещения квадратной формы шериф позвал четырех охранников. Шериф решил
поставить у
каждой стены банка по одному охраннику, но сначала подошло только 2
охранника. Как они должны встать?
Затем подошел еще один охранник. Как теперь встанут три охранника?
И,
наконец, пришел четвертый охранник. Какова теперь будет расстановка
охранников?
Потом осторожный шериф решил еще более усилить охрану так, чтобы у каждой
стены было по два охранника, но новых охранников он решил не звать. Как он
должен расставить охрану?
Молодцы, вы очень помогли шерифу, хорошо справились с задачами. В чем
заключалось их решение?
То есть для решения задачи, сводящейся к ответу на вопрос «как
сделать что-либо?», достаточно предъявить конкретную конструкцию,
соответствующую требованиям задачи.
Бандиты, ничего не подозревая о такой усиленной охране, ворвались в
банк и были арестованы. Причем, Билла арестовали раньше Гарри, Джона – позже
Гарри, Джека – раньше Билла, а Тома – позже Джона. Известно, что главаря
банды арестовали раньше всех. Кто же главарь? Напишите имена арестованных по
порядку.
(Задание выполняется поэтапно, то есть исследуется каждая фраза
предложения).
Кто же главарь банды?
Кого арестовали позже всех?
Кто был арестован позже Гарри?
Итак, банда во главе с Джеком арестована. На допросе они рассказали
шерифу, где спрятаны награбленные ими сокровища, там был проведен тщательный
обыск. У бандитов изъяли 4 крупных драгоценных камня: красного и зеленого
цветов, причем красных камней было больше, чем зеленых. Сколько камней
каждого цвета было у бандитов?
Круглый золотой браслет бандиты успели распилить на 3 части. Сколько
было сделано распилов?
Почему получились разные ответы? Какой из них все-таки правильный?
В чем же была ошибка у тех, кто сказал два распила?
Слиток золота весит полкилограмма и еще полслитка. Сколько весит
целый слиток?
На столе лежали серебряные кольца: два слева, одно справа; два
справа, одно слева; одно в центре и два с краю. Сколько было колец?
У бандитов было три золотых пластины. Одну из них они разрезали
пополам. Сколько пластин у них изъяли?
А еще у них было 3 серебряных круглых браслета. Один из них распилили
пополам, то есть сделали два разреза. Сколько браслетов стало?
Опять получились разные ответы. Давайте выясним, почему и какой
правильный.
У бандитов изъяли два одинаковых по весу кольца: одно золотое, другое
серебряное. Какое из них стоит дороже?
Еще у них нашли пару старинных часов. В начале обыска они показывали
5 часов, а через полчаса одни показывали полшестого, а другие – без
пятнадцати шесть. Какие часы испорчены?
Молодцы, это была задача на внимание. Также у бандитов нашли
бриллианты. В одной кучке было пять бриллиантов. Когда один бриллиант
переложили во вторую кучку, в них стало бриллиантов поровну. Сколько камней
было во второй кучке первоначально?
У бандитов нашли три старинные монеты. Известно, что одна из них
фальшивая – она легче настоящих. Как найти фальшивую монету с помощью
взвешивания на чашечных весах без гирь. Чашечные весы – это просто две
чашечки, подвешенные на палочке или лежащие на основании. Главное свойство
таких весов: они всего лишь определяют, какой из лежащих на чашках предметов
тяжелее, но не определяют, на сколько тяжелее, и не измеряют вес предмета.
Что мы можем наблюдать?
За сколько взвешиваний мы нашли фальшивую монету?
Придумайте название этой задаче.
Задачи на «фальшивые монеты». Так называется целый блок задач.
Сегодняшнее занятие мы посвятим рассмотрению таких задач. Попробуйте
сформулировать цель и тему занятия.
II.
Содержательная часть
Хорошо, перейдем к решению следующей задачи.
Задача. Найдите фальшивую монету из 9,если известно, что она легче
настоящей.
 |
|||||
 |
|
||||
Есть ли другие способы решения?
Как эту задачу свести к предыдущей?
Итак, мы нашли два способа решения задачи. Сравните их. За сколько
взвешиваний мы нашли фальшивую монету, решая задачу первым способом?
То есть в общем случае три. При решении таких
задач нельзя ограничиваться рассмотрением лучшего случая, а надо
рассматривать все возможные случаи.
Сколько взвешиваний нам потребовалось при втором способе решения?
Поэтому первое решение более рациональное. Оформлять будем следующим
образом:
А Б В
Каждую кучку монет обозначим А, Б и В. Пусть
на весы положены кучки А и Б. Будем обозначать это действие так: А,
Б. Следующий шаг и возможные случаи будем обозначать стрелкой. Чтобы
различать монеты каждой группы будем ставить номер с индексом, 
например: 1А, 1Б, 2В
и т. д. Если чаши весов в равновесии будем писать знак равенства (=). Если
груз тяжелее, то знак >, к примеру, запись А>Б означает, что кучка А
тяжелее кучки Б.
А, Б
А=Б А<Б А>Б
1В, 2В 1А,
2А 1Б, 2Б
1В=2В 1В <2В 1В
>2В … …
3В 1В 2В
Оформлять решение, конечно, следует самым
рациональным способом. Но очень часто в условии задач «на фальшивые монеты»
сразу указано наименьшее из возможных число взвешиваний, необходимых для
решения, как, например, в следующей задаче.
Задача. Требуется за три взвешивания на чашечных весах без гирь
найти среди 6 монет одну фальшивую, при этом неизвестно, тяжелее она настоящей
или легче, но известно, что она имеет другую массу.
Обозначим монеты на перетянувшей чаши А и Б, а на второй через В и Г.
Напомним, что монеты А и Б могут быть либо настоящими, либо более тяжелыми,
чем настоящие, а монеты В и Г – либо настоящими, либо более легкими, чем
настоящие.
Сравните эту задачу с предыдущими?
Какие, на ваш взгляд, более сложные?
Почему?
Нужно было показать на рисунке (или описать словами) расположение
охраны.
Сначала, согласно первой фразе текста, появляется последовательность
имен: Билл, Гарри. Затем, Билл, Гарри, Джон. Третья фраза дает
последовательность: Джек, Билл, Гарри, Джон. Наконец, последняя фраза:
Джек, Билл, Гарри, Джон и Том.
Джек – главарь банды.
Тома.
Джон и Том.
3 красных и 1 зеленый.
2.
3.
Правильный ответ – 3
распила.
Они спутали круг с отрезком: чтобы разделить на 3 части
отрезок нужно 2 распила, а круг – 3.
1 кг, так как полслитка весит 0,5
кг.
Было три кольца.
Изъяли 4 пластины.
2.
4.
Правильный ответ – 2 браслета, так как после распила третьего
браслета просто не стало. А пластина даже после распила осталась пластиной.
Золотое, так как золото стоит дороже серебра.
Вторые, так как через полчаса они стали показывать 45 минут, то есть
ушли вперед на 15 минут.
3 бриллианта.
Поместим на каждую чашку по монете.
1. Если одна чашка весов выше другой, значит, монета на ней легче и,
следовательно, она является фальшивой.
2. Если обе чашки весов стоят ровно, то есть вес этих двух монет
одинаков, поэтому ни одна из них не может быть фальшивой.
Вывод: фальшивой является оставшаяся монета, та, которую не клали на
весы.
За одно.
Задача на «фальшивые монеты», на взвешивание и т. д.
Цель занятия: научиться решать задачи на «фальшивые монеты».
Тема занятия: Задачи на «фальшивые монеты».
Можно разложить монеты на 3 кучки: 4, 4 и 1 монета. Положим первые 4
монеты на одну чашу, другие на вторую.
1.
Если чаши весов
находятся в равновесии, то фальшивая отложенная монета.
2.
Если одна чаша выше
другой, значит, на ней фальшивая, более легкая, монета (одна из четырех).
Разделим их еще на 2 кучки по 2 монеты в каждой и опять положим на весы.
Остаться в равновесии чаши не могут, так как на одной находится фальшивая
монета. Две монеты на перетянувшей чаше настоящие. На другой еще одним
взвешиванием найдем фальшивую.
Разделим монеты на 3 кучки по 3 монеты. Положим на первую чашу весов
одну кучку, на вторую – другую.
Если чаши остались в равновесии, то фальшивая монета среди оставшихся
трех. Если одна чаша выше другой, то фальшивая монета среди трех, находящихся
на ней. Теперь нужно найти фальшивую монету из трех, а это делать мы уже
умеем (предыдущая задача).
За одно взвешивание в лучшем случае, за три в худшем.
В любом случае два взвешивания.
Также, как и в предыдущих задачах, поделим монеты на три кучки по две
монеты. Две из них положим на чаши весов: если весы в равновесии, то
фальшивая монета среди двух отложенных. Сравним каждую из отложенных монет с
настоящей (еще два
взвешивания), найдем фальшивую и определим, легче или тяжелее она,
чем настоящая. Если одна из чашек перетянет, то фальшивая среди монет на
весах, а отложены настоящие монеты. Положим теперь на левую чашу весов А и В,
а на другую – монету Б и одну хорошую монету из отложенных. Если весы в
равновесии, то монета Г – фальшивая, она легче настоящей. Если перетянула
левая чаша, то фальшивая она тяжелее настоящей. Если перетянет правая
чаша, то возможны два случая: фальшивая и более легкая монета В, или
фальшивая и более тяжелая монета Б. Оставшимся третьем взвешиванием сравним В
с хорошей монетой. В случае равновесия Б – фальшивая. Если хорошая монета
перетянет, то фальшивая В.
Уважаемые читатели!
У газеты-вкладки “В мир
информатики” появился свой электронный адрес: vmi@1september.ru.
Эта задача была опубликована в 119-м
номере нашей газеты (“Информатика” № 1/2009).
Напомним условие.
Имеются 6 мешков с монетами. В
некоторых из них все монеты фальшивые (они на 1
грамм легче настоящих). За одно взвешивание на
чашечных весах, имеющих указатель разности весов
на чашках, определить, в каких мешках монеты
фальшивые, если известно, что фальшивые монеты не
во всех мешках.
Решение
Положим на левую чашку весов одну
монету из первого мешка, две — из второго,
четыре — из третьего, восемь — из
четвертого и 16 — из пятого. На правой чашке
разместим 31 монету из шестого мешка. Можем
записать общий вес всех монет на левой чашке:
1m1 + 2m2 + 4m3 + 8m4
+ 16m5
(1)
и на правой: 31m6,
где m1, m2, …, m6 —
вес одной монеты соответственно из первого,
второго, …, шестого мешка.
Если бы фальшивых монет не было ни в
одном из мешков, то весы были бы в равновесии
(указатель разности весов на чашках показывал бы
— 0).
Если перевесила правая чашка, то на ней
фальшивых монет нет. А в каких мешках они?
Если бы фальшивые монеты были бы,
например, во втором мешке, то указатель показывал
бы значение 2, если в третьем — значение 4, если во
втором и третьем — значение 6 (2 + 4) и т.п.
Далее обратим внимание на то, что
формула (1) похожа на так называемую
“развернутую” форму записи числа в двоичной
системе счисления2, а значения указателя
соответствуют весомости того разряда записи, где
фигурирует вес фальшивых монет. Для анализа
составим табличку:
Проанализировав ее, можно увидеть, что
номера мешков с фальшивыми монетами
определяются по двоичной записи разности весов
на чашках.
А если перевесила левая чашка весов?
Как найти номера мешков с фальшивыми монетами по
разности весов на чашках в этом случае? Ответ на
этот вопрос предлагаем найти читателям.
2 Развернутой записью, например,
десятичного числа 2063 является 2 · 1000 + 0 · 100 + 6 · 10 + 3
· 1, или 2 · 103 + 0 · 102 + 6 · 101 +
+ 3 · 100; числа 110110, записанного в двоичной
системе счисления, — 1 · 25 + 1 · 24 + 0 · 23
+ 1 · 22 + 1 · 21 +
+ 0 · 20, или в десятичном виде: 1 · 32 + 1 · 164
+ 0 · 8 +
+ 1 · 4 + 1 · 2 + 0 · 1.
Десять мешков
Имеется 10 мешков монет. В одном мешке все монеты фальшивые.
Подлинная монета весит 10 грамм, а Фальшивая монета весит 9 грамм. Как при помощи одного взвешивания на весах с делениями определить мешок с фальшивыми монетами?
Решение
Для начала надо пронумеровать все мешки от 1 до 10, далее необходимо взять из каждого мешка столько монет, сколько составляет его порядковый номер (от 1 до 10). Если бы все монеты были настоящие, то куча монет бы весила 550 грамм (1 + 2 + 3 … + 10) * 10 = 550. Если мешок с фальшивыми монетами имеет номер N (N = от 1 до 10), то взятые из мешков монеты будут весить на N граммов меньше, следовательно, взятая куча монет будет весить меньше на N грамм. Т.е. на сколько грамм куча по весу отличается от 550 грамм, такой по счету мешок содержит фальшивые монеты.
Восемь мешков
У вас имеется 8 мешков с монетами, по 48 монет в каждом. В пяти мешках настоящие монеты, а в остальных – фальшивые. Фальшивые монеты на 1 грамм легче настоящих. С помощью одного взвешивания на точных весах определите все мешки с фальшивыми монетами, используя минимальное количество монет.
Решение
Из первого мешка монет доставать не надо (0), из второго мешка необходимо достать одну монету (1), из третьего две (2), четвёртого – четыре (4), пятого – семь (7), шестого – тринадцать (13), седьмого – двадцать четыре (24), восьмого – сорок четыре (44). Каждые три «кучки» монет, взятые вместе, уникальны в том плане, что дают определённый точный вес, позволяющий определить мешки с фальшивыми монетами (всего используется 95 монет). Если все монеты в предложенном решении были бы настоящими, то их суммарный вес был бы 95 у.е. (0+1+2+4+7+13+24+44). Сравните показание весов с тем, которое было бы в идеале, если бы все монеты были бы настоящими. Полученная разница (число условных единиц) укажет на номера мешков с фальшивыми монетами. Например, если разница составит 21, то фальшивые монеты во втором, пятом и шестом мешках, т.к. именно из них мы взяли 21 монету (1+7+13).
Новогодние шары
На новогодней ёлке висят три пары шаров: два белых, два голубых и два красных. Внешне шары одинаковые. Однако в каждой паре есть один лёгкий и один тяжёлый шар. Все лёгкие шары весят между собой одинаково, и так же все тяжёлые шары. С помощью двух взвешиваний на чашечных весах определите все лёгкие и все тяжёлые шары.
Решение
Положите один красный и один белый шар на левую чашу весов, а на правую чашу один синий и второй белый шар. Если достигнуто равновесие, то очевидно, что на каждой чаше есть один тяжёлый и один лёгкий шар. Поэтому достаточно сравнить два белых шара, чтобы узнать ответ на интересующий нас вопрос. Однако если после первого взвешивания равновесие не достигнуто, то на той стороне, что тяжелее, лежит тяжёлый белый шар. Следующим логическим шагом будет сравнение веса уже взвешенного красного шара и еще не взвешенного синего шара. После этого Вам будет ясно, какие шары лёгкие, а какие тяжёлые.
Девять мешков
Имеется девять мешков: восемь с песком и один с золотом. Мешок с золотом немного тяжелее. Вам даётся два взвешивания на чашечных весах, чтобы найти мешок с золотом.
Решение
Разделите девять мешков на три группы по три мешка каждая. Взвесьте две группы. Таким образом, Вы узнаете, в какой из групп мешок с золотом. Теперь выберите 2 мешка из той группы, где точно есть мешок с золотом, и взвесьте их.
27 теннисных мячей
Имеется 27 теннисных мячей. 26 весят одинаково, а 27-й немного тяжелее. Какое минимальное количество взвешиваний на чашечных весах гарантирует нахождение тяжёлого мячика?
Решение
Достаточно воспользоваться весами три раза. Разделите 27 мячей на 3 группы, по 9 мячей в каждой. Сравните две группы – тяжелый мячик окажется в той группе, которая перевесит. Если весы достигли равновесия, то тяжёлый мячик в третьей группе. Таким образом, мы определим группу из 9 мячиков, один из которых искомый. Поделите эту группу на 3 подгруппы, по три мячика в каждой. Аналогично первому шагу сравните вес двух любых подгрупп. Теперь сравните два мячика (два из трех, среди которых точно должен быть искомый).
Расколотая гиря
Купец уронил 40-фунтовую гирю, и она раскололась на 4 неравные части. Когда эти части взвесили, то оказалось, что вес каждой из них (в фунтах) – целое число. Более того, с помощью этих частей можно было взвесить на чашечных весах любой вес (представляющий собой целое число) до 40 фунтов. Сколько весила каждая часть?
Решение
Осколки весили: 1 фунт, 3 фунта, 9 фунтов и 27 фунтов, что в сумме дает 40 фунтов.
Гвозди в мешке
В мешке 24 кг гвоздей. Каким образом можно на чашечных весах без гирь отмерить 9 кг гвоздей?
Решение
Один из вариантов: разделите 24 кг на две равные части по 12 кг, уравновесив их на чашах весов. Затем так же разделить 12 кг на две равные части по 6 кг. После этого отложить одну часть, а другую разделить таким же способом на части по 3 кг. Наконец к шестикилограммовой части добавьте эти 3 кг. В результате получится 9 кг гвоздей.