Как найти место равновесия

Содержание:

Равновесие тел:

Представьте, что вам нужно достать книгу с верхней полки. Подставив стул, вы становитесь на него на цыпочках и… не удерживаете равновесия. А вот неваляшка всегда возвращается в вертикальное положение и никогда не теряет равновесия! Что такое равновесие и при каких условиях реальное тело (а не его модель — материальная точка) находится в равновесии?

Что такое равновесие тела

Равновесие тела — это сохранение состояния движения или состояния покоя тела с течением времени. Что значит сохранение состояния движения? Для начала определим поступательное и вращательное движения.

Центр масс тела

Если к неподвижному телу приложить некоторую силу, обычно тело начинает вращаться и одновременно двигаться поступательно. Но через некоторое время вращательное движение тела прекратится и тело будет двигаться только поступательно. Это произойдет тогда, когда линия действия силы пройдет через центр масс тела.

Центр масс тела — это точка пересечения прямых, вдоль которых направлены силы, каждая из которых вызывает только поступательное движение тела (рис. 14.1).

Если размеры тела гораздо меньше радиуса Земли, то центр масс тела совпадает с центром тяжести. Напомним: центр тяжести симметричных фигур расположен в их геометрическом центре; центр тяжести треугольника — в точке пересечения его медиан. (О некоторых методах определения центра масс вы узнаете в ходе лабораторной работы № 4.)

Момент силы M — это физическая величина, которая равна произведению модуля силы F, действующей на тело, на плечо d этой силы:

Единица момента силы в СИ — ньютонметр: .

Плечо d силы F — это наименьшее расстояние от оси вращения тела до линии, вдоль которой действует сила (рис. 14.2).

На рисунке сила поворачивает тело против хода часовой стрелки — момент такой силы принято считать положительным. Если сила поворачивает (или пытается повернуть) тело по ходу часовой стрелки, момент такой силы принято считать отрицательным. Обычно на тело действуют несколько сил, моменты которых могут быть как положительными, так и отрицательными, а могут равняться нулю.

При каких условиях тело находится в равновесии

Какие существуют виды равновесия

Виды равновесия тел

Обратите внимание! Тело, имеющее неподвижную ось вращения, будет находиться в состоянии устойчивого равновесия, если центр тяжести тела расположен ниже точки опоры или подвеса.

На практике мы часто имеем дело со случаями равновесия тел, опирающихся на несколько точек или на поверхность: человек опирается на ноги, стол и стул — на ножки, автомобиль — на колеса, дом — на фундамент и т. д. (рис. 14.3).

Тело, опирающееся на горизонтальную плоскость, находится в состоянии устойчивого равновесия, если вертикальная линия, проведенная через центр тяжести тела, проходит в границах площади опоры (рис. 14.3, 14.4, а).

Рис. 14.4. Если линия действия силы тяжести проходит в границах площади опоры, равновесие устойчивое (а), если вне площади опоры, равновесие нарушается — тело падает (б)

Очевидно: чем ниже расположен центр тяжести тела и чем больше площадь опоры тела, тем тело устойчивее. Именно поэтому фундаменты станков делают широкими и массивными, скоростные болиды имеют очень низкую посадку, человек или животное, чтобы принять устойчивое положение, расставляет и немного сгибает ноги (лапы). Чтобы увеличить площадь опоры, пожилой человек при ходьбе использует палку.

Пример решения задачи

Однородный рельс длиной l =10 м и массой 900 кг поднимают на двух параллельных тросах. Определите силы натяжения тросов, если один закреплен на конце рельса, а второй — на расстоянии a =1 м от другого конца.

Анализ физической проблемы. Выполним пояснительный рисунок, где укажем силы, действующие на рельс (силы натяжения тросов и силу тяжести ). В качестве оси вращения выберем ось, проходящую, например, через точку (эту точку можно выбрать произвольно), и укажем плечи сил:

Решение:

Запишем два условия равновесия тела:

Здесь = 0, так как — сила пытается повернуть рельс против хода часовой стрелки; — сила тяжести пытается повернуть рельс по ходу часовой стрелки.

Спроецируем первое уравнение на ось ОY, подставим выражения для моментов сил и получим систему линейных уравнений:

Найдем из второго уравнения системы: .

Найдем из первого уравнения системы: .

Проверим единицу, найдем значения искомых величин:

Анализ результатов. Первый трос действует на рельс с меньшей силой, поскольку сила приложена дальше от центра тяжести тела. Результат реален. Ответ:

Выводы:

• Равновесие тела — это сохранение состояния движения или покоя тела с течением времени. Сохранение состояния движения означает, что скорости поступательного и вращательного движений тела остаются неизменными.
• Тело будет в равновесии, если соблюдены два условия: 1) равнодействующая сил, приложенных к телу, равна нулю: ; 2) сумма моментов всех сил, действующих на тело, равна нулю: .
• Различают устойчивое, неустойчивое, безразличное равновесия тел. При устойчивом равновесии тело, незначительно отклоненное от положения равновесия, возвращается в исходное положение; при неустойчивом — еще больше отклоняется от исходного положения, при безразличном — остается в своем новом положении.

Виды равновесия тела

В механике часто возникает необходимость ответить на вопрос: в каких случаях тело может сколь угодно долго оставаться в покое, если оно находилось в покое в начальный момент? Естественно, что должны выполняться условия равновесия, рассмотренные в § 33. Но практически не во всяком положении равновесия тело, находящееся в начальный момент в покое, будет оставаться в покое и в последующие моменты времени. Дело в том, что в реальных условиях, помимо учитываемых нами сил (сила тяжести, сила реакции подвеса, опоры, силы трения и т. д.), тело испытывает и неучитываемые случайные воздействия: небольшие сотрясения, колебания воздуха и т. п. Под действием таких сил тело хотя бы немного будет отклоняться от положения равновесия, а в этом случае дальнейшее поведение тела может быть различным.

При отклонении тела от положения равновесия действующие на него силы, как правило, изменяются. Возникает отличная от нуля равнодействующая сила, которая вызывает движение тела. Если равнодействующая возвращает тело в положение равновесия, то тело все время, несмотря на толчки, будет находиться вблизи положения равновесия. Такое положение равновесия называется устойчивым.

В устойчивом равновесии находится, например, шарик на вогнутой подставке (рис. 154, а). При отклонении шарика от положения равновесия равнодействующая направлена к положению равновесия. Очевидно, что в отклоненном положении потенциальная энергия шарика увеличивается. Следовательно, можно утверждать, что устойчивое положение тела — это такое положение. при котором потенциальная энергия тела минимальна.

Если равнодействующая сила не возвращает тело в первоначальное положение равновесия, а вызывает дальнейшее отклонение от него, то такое положение равновесия называется неустойчивым. В таком положении, например, находится шарик на выпуклой подставке (рис. 154, б). При отклонении равнодействующая сила направлена от положения равновесия. При этом потенциальная энергия шарика уменьшается. Таким образом, неустойчивое положение тела характеризуется тем, что при отклонении от положения равновесия равнодействующая сил, приложенных к телу, направлена от положения равновесия, а потенциальная энергия тела уменьшается.

Если при небольших смещениях тела из первоначального положения равнодействующая всех сил, приложенных к телу, остается равной нулю, то такое положение равновесия называется безразличным. В таком положении, например, находится шарик на горизонтальной плоскости (рис. 154, в).

Рис. 154

Другим примером устойчивого и неустойчивого равновесия может быть равновесие тела, имеющего ось вращения. На рисунке 155, а изображена линейка, которая может вращаться вокруг оси, проходящей через точку О. Она находится в устойчивом равновесии, если ее центр тяжести — точка C — находится ниже точки О. При отклонении от положения равновесия (рис. I55, б) возникает момент силы тяжести, который возвращает линейку в положение равновесия. Очевидно, что в отклоненном положении потенциальная энергия линейки больше, чем в положении равновесия. Таким образом, тело, имеющее ось вращения, будет находиться в устойчивом равновесии, если центр тяжести тела находится ниже оси вращения.

Если же центр тяжести находится на вертикальной прямой, проходящей через ось вращения, расположен выше оси вращения, то равновесие неустойчивое (рис. 155, в, г). В этом случае при отклонении момент силы тяжести отклоняет тело еще дальше от первоначального положения равновесия. При этом потенциальная энергия тела уменьшается. Если же ось вращения проходит через его центр тяжести, то при любом положении момент силы тяжести равен нулю, поскольку равно нулю плечо этой силы.

Рис. 155

Рассмотрим теперь условия устойчивости тела, опирающегося не на одну точку, как в рассмотренных случаях, а на несколько точек (например, стол или блок, прислоненный к опоре, показанный на рисунке 156) или площадку (например, ящик, поставленный на горизонтальную плоскость). В этих случаях для равновесия тела необходимо, чтобы вертикаль, проведенная через центр тяжести, проходила внутри площади опоры тела, т. е. внутри контура. образованного линиями, соединяющими точки опоры, или внутри площадки, на которую опирается тело. При этом равновесие является устойчивым.

Рис. 154

Например, стол, стоящий на горизонтальном полу, находится в устойчивом равновесии (рис. 157, а). Если наклонять стол, то его центр тяжести будет подниматься (рис. 157,6). Однако момент силы тяжести относительно оси вращения будет стремиться вернуть его в первоначальное положение до тех пор, пока линия действия силы тяжести проходит через площадь опоры стола. Если, однако, наклонить стол так, что линия действия силы тяжести выйдет за пределы площади опоры стола, то он опрокинется вследствие действия момента силы тяжести. Очевидно, что имеется предельный угол наклона, после которого первоначальное равновесие уже не восстанавливается, и тело опрокидывается (рис. 157, в). 

Рис. 157

Предельный угол тем меньше, чем выше расположен центр тяжести тела при данной площади опоры. Высоко нагруженный грузовик легче опрокинется, чем в случае, когда центр тяжести груза лежит низко.

Главные выводы

1. Равновесие тела бывает устойчивым, неустойчивым и безразличным.
2. Устойчивым равновесием тела является такое равновесие, при выведении тела из которого возникает равнодействующая сила, направленная в сторону первоначального положения тела, или момент сил, возвращающий тело в положение равновесия. В устойчивом положении потенциальная энергия тела минимальна.
3. Неустойчивым равновесием тела называется такое равновесие, при выведении тела из которого возникает равнодействующая сила, направленная от положения равновесия, или момент сил, отклоняющий тело от положения равновесия. Потенциальная энергия тела в положении неустойчивого равновесия больше, чем потенциальная энергия тела в отклоненном положении.
4. Безразличным положением равновесия является такое положение, при выведении тела из которого равнодействующая сила или момент сил остаются равными нулю. Потенциальная энергия тела при этом не меняется.

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Рассмотрим
механическую систему с идеальными,
стационарными и голономными связями,
положение которой определяется

независимыми обобщенными координатами

.
Для изучения колебаний около положения
равновесия,
необходимо,
прежде всего, найти эти положения.

Хорошо
известно ещё из физики, что в положении
равновесия все
обобщенные силы равны нулю:

(*)

Тогда
для консервативной системы

В
силу консервативности
и стационарности
системы

зависят только от

.
Тогда равенства (*) можно рассматривать
как уравнения относительно

.

Решая
эти уравнения,
найдем те
положения,
в которых система может
находиться в равновесии.
Если обобщенные силы зависят не только
от

,
но и от обобщенных скоростей

,
то при решении уравнений (*) все

следует
приравнять нулю.

Во
многих случаях положения равновесия
можно определить из
элементарных соображений
или с помощью обычных уравнений
статики.
Рассмотрим этот вопрос на примере.

П

ример.
Определим возможные положения
равновесия
маятника со спиральной пружиной с
угловой жесткостью С,
изображённой на Рис. 23.5. Здесь вес
маятника равен Р,
расстояние от оси подвеса О
до центра тяжести равно

.
В верхнем
вертикальном положении
маятника спиральная пружина находится
в недеформированном состоянии.
Массой пружины и трением в подшипнике
в нашей модели пренебрегаем.

З

С

аметим, что система имеет одну
степень свободы.
В качестве обобщенной координаты возьмём
угол

.
Потенциальная энергия системы П
складывается из потенциальной энергии

силы тяжести
и

Рис.
23.5

потенциальной
энергии

спиральной пружины.

За
нулевой
уровень потенциальной энергии
примем верхнее
вертикальное положение маятника.
Тогда, в текущем положении маятника
потенциальная энергия

примет вид

Из
физики известно, что для закручивания
спиральной пружины на малый угол

требуется приложить внешнюю
пару сил с
моментом

,
где с – коэффициент
угловой жесткости.
Тогда потенциальная энергия сил упругости

согласно 9.3,
будет равна

.

При
этом полная энергия маятника будет
равна

Составим
уравнение равновесия:

.
Это же уравнение можно вывести из условия
равновесия стержня.

Возникает
вопрос: Какими должны быть параметры
системы, чтобы маятник мог находиться
в заданном
положении равновесия?

Ответим
на этот вопрос. Допустим, состояние
равновесия определяется углом

.
Тогда

и

(*)

В
частности, если потребуется, чтобы
пружина удерживала маятник в горизонтальном
положении

,
будем иметь:

При таком соотношении параметров

маятник может находится в равновесии,
занимая
горизонтальное положение.

Решим
обратную
задачу.
Пусть заданы параметры

.
Определим
возможные положения равновесия маятника.
Запишем(*) в виде

,
где

.
(**)

Здесь
один корень уравнения очевиден:

!
Этому корню отвечает верхнее
вертикальное положение равновесия
маятника.
Для определения других возможных
положений равновесия нужно найти
остальные корни трансцендентного
уравнения (**). Их можно определить
различными методами, например, табличным
или графическим.
Поясним графический
способ
решения. Составим два уравнения:

;
.

Рис.23.6

Очевидно,
что второй корень уравнения

определяется абсциссой точки пересечения
обоих графиков. Причем каждому
положительному

отвечает равный по модулю, но отрицательный
корень

.
Физически это означает, что положение
равновесия маятника могут быть как
слева, так и справа
от вертикали. Кроме того, видно,
что при

(
)
прямая

не пересекает
синусоиду

.
В этом случае уравнение (**) имеет один
тривиальный корень

.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Равновесие в статике – это отсутствие движения. Чтобы объект находился в равновесии, нужно, чтобы выполнялись некоторые условия, рассмотрим их.

Условие равновесия материальной точки

Чтобы материальная точка находилась в равновесии, нужно, чтобы она не двигалась поступательно.

Примечания:

• Материальная точка может двигаться только лишь поступательно.
• Точка мала и не имеет внешних границ. Поэтому, она не может двигаться вращательно вокруг оси, проходящей через её центр. Если отодвинуть ось вращения от точки на некоторое расстояние, тогда точка сможет вокруг этой оси двигаться по окружности. Но вокруг собственной оси точка вращаться не может.

Материальная точка будет находиться в равновесии, когда выполняются два условия:

1. Векторная cумма сил, действующих на точку, должна равняться нулю.

[ large boxed{ vec{F_{1}} + vec{F_{2}} + vec{F_{3}} + ldots + vec{F_{n}} = 0}]

Примечание: При выполнении этого условия, точка будет либо покоиться, либо двигаться вдоль прямой с одной и той же скоростью. Это следует из первого закона Ньютона.

2. Систему отсчета дополнительно выберем так, чтобы координаты точки в системе не менялись при выполнении условия 1.

Примечание: Такая система отсчета будет называться инерциальной, а точка будет покоиться относительно этой системы.

Условие равновесия тела

Чтобы тело находилось в равновесии, нужно, чтобы оно не двигалось поступательно и не вращалось.

Примечание: Тело, состоящее из нескольких точек, может вращаться вокруг оси, проходящей через центр этого тела. Поэтому, для тела условия равновесия нужно дополнить еще одним пунктом. Таким образом, получим три условия.

1. Алгебраическая cумма моментов сил, действующих на тело, должна равняться нулю.

[ large boxed{ M_{1} + M_{2} + M_{3} + ldots + M_{n} = 0}]

Примечания:

• При выполнении этого условия тело не будет вращаться.
• Моменты сил, вращающих тело по часовой стрелке, подставляем в это уравнение со знаком плюс. Моменты сил, вращающих против часовой стрелки – со знаком минус.

2. Векторная cумма сил, действующих на тело, должна равняться нулю.

[ large boxed{ vec{F_{1}} + vec{F_{2}} + vec{F_{3}} + ldots + vec{F_{n}} = 0}]

Примечания:

• Векторы складывают, учитывая их направления, то есть, с помощью геометрии.
• Если условие выполняется, то тело сможет двигаться равномерно прямолинейно. Чтобы тело находилось в покое, необходимо еще одно условие:

3. Систему отсчета выберем так, чтобы координаты всех точек тела не менялись в ней при равенстве нулю векторной суммы сил.

Условия равновесия применяются для решения задач статики, связанных с моментами сил.

Виды равновесия

Различают такие виды равновесия:

• неустойчивое равновесие,
• устойчивое равновесие,
• безразличное равновесие.

Рассмотрим однородный шар (или, например, мяч), который покоится (рис. 1) на горке – а), на горизонтальном участке – б), и в ложбинке – в).

Неустойчивое равновесие

На вершине горы мяч находится в неустойчивом равновесии, потому, что стоит нам подтолкнуть мяч и, он скатится с горки (рис. 1а).

Равновесие неустойчивое:
при малом отклонении
потенциальная энергия тела уменьшается
силы и моменты сил
еще больше уводят тело от положения равновесия.

В состоянии неустойчивого равновесия потенциальная энергия тела максимальна!

Безразличное равновесие

На горизонтальном участке мяч будет покоиться в любом месте, в которое мы его поместим (рис. 1б). Подтолкнем мяч, он перекатится в другое положение и там будет оставаться в безразличном равновесии.

Если потенциальная энергия тела при его перемещении из одной точки пространства в другую точку остается постоянной, равновесие можно назвать безразличным.

Устойчивое равновесие

Мяч находится в ложбинке в устойчивом равновесии (рис. 1в). Легонько подтолкнув мяч, мы выведем его из равновесия, но через непродолжительное время мяч опять вернется в ложбинку.

Равновесие устойчивое:
при малом отклонении от равновесия
потенциальная энергия тела увеличивается
силы и моменты сил
возвращают тело в положение равновесия.

Примечание: Потенциальная энергия тела будет минимально возможной, когда тело находится в устойчивом равновесии!

Равновесие тела, могущего вращаться вокруг горизонтальной оси

Рассмотрим однородный шар, изготовленный, к примеру, из пенопласта. Проткнем его спицей, после закрепим ее горизонтально, подобно перекладине на двух опорах (рис. 2).

Спица будет являться неподвижной осью вращения.

Рассмотрим три случая для тела, могущего вращаться вокруг оси. Ось вращения

1. проходит через центр масс шара — равновесие безразличное (рис. 2а),
2. находится выше центра масс – равновесие устойчивое (рис. 2б),
3. находится ниже центра масс – равновесие неустойчивое (рис. 2в).

Примечание для  случаев устойчивого и неустойчивого равновесия:

центр масс расположен на вертикальной линии (пунктир на рисунках 2б и 2в), проходящей через ось вращения.

Вокруг неподвижной оси может вращаться любое тело, в том числе, продолговатое, например, рычаг. В задачах статики для него применяют условия равновесия рычага.

Тело опирается на площадь поверхности

Условие равновесия для такого тела:

Проекция центра масс должна лежать внутри площади основания.

Допустим, зодчий захотел построить наклонную башню. Заменим для упрощения башню однородным наклонным цилиндром (рис. 3).

Упадет ли наклонная башня?

На рисунке 3а проекция центра масс попадает внутрь площади основания. Поэтому, башня, обладающая таким наклоном, не упадет.

Если центр масс выйдет за пределы площади, на которую тело опирается, то башня опрокинется (рис 3б).

Примечание: Башня своим весом давит на площадь основания – круг. Сила давления распределяется по всему основанию тела.