Как найти мгновенное значение напряжения резистора

.

1.1

Д

ано

Рис.
1.1.1

R

C

u

i

По цепи рис. 1.1.1
протекает синусоидальный ток с амплитудой
I_m = 1,41 А;
f = 50 Гц;
R = 100 Ом;
C
= 31,8×10^—6
Ф.

Определить

Вычислить мгновенные
значения напряжений на резисторе, на
конденсаторе, приложенного напряжения
и мощности. Построить графики мгновенных
значений тока, напряжений и мощности.

Решение

Поскольку в условии
не оговаривается начальная фаза тока,
то его мгновенное значение равно:

.

Мгновенное значение
напряжения на резисторе:

B.

Мгновенное значение
напряжения на конденсаторе:

Мгновенное значение
приложенного напряжения:

Последнее выражение
можно также получить, исходя из следующих
рассуждений.

Полное
сопротивление цепи равно:

Находим аргумент:

.

Поскольку j < 0,
то приложенное напряжение u
отстает от тока
i
по фазе на соответствующий угол.

Амплитуда
приложенного напряжения:

.

Следовательно

Находим мгновенную
мощность цепи:

Графики мгновенных
значений, построенные в произвольном
масштабе, приведены на рис. 1.1.2.

Из графика видно,
что ток i
и напряжение
на активном сопротивлении совпадают
по фазе, а напряжениена конденсаторе отстает от токаi
на 90^о.

1.2

Д

ано

e = 141sinwt;
R₁ = 3 Ом;
R₂ = 2 Ом;
w = 314 1/c;
L = 9,55×10^—3 Гн.

Определить

Ток и напряжение
на элементах схемы рис. 1.2.1, методами
комплексных амплитуд и мгновенных
величин. Проверить баланс мощностей.
Построить векторную диаграмму.

Решение

Для мгновенного
и действующего значений ЭДС справедливы
соотношения:

.

Находим комплексное
сопротивление цепи:

.

Находим модуль и
аргумент комплексного числа:

.

Откуда

.

Тогда комплексное
действующее значение тока:

.

Комплексное
действующее значение напряжения на
сопротивлении R₁:

.

Комплексное
действующее значение напряжения на
сопротивлении R₂:

.

Комплексное
напряжение на индуктивности:

Таким образом,
напряжение на индуктивности опережает
ток на угол 90^о:

.

Согласно закону
Ома мгновенное значение тока:

,

где

Тогда

.

Амплитудное
значение тока:

.

Откуда

А.

Находим мгновенное
значение напряжения на сопротивлении
R₁:

B.

Находим мгновенное
значение напряжения на сопротивлении
R₂:

B.

Мгновенное значение
напряжения на индуктивности:

Таким образом,
напряжение на индуктивности опережает
ток на угол 90^о.

Баланс мощностей
следует из закона сохранения энергии,
т.е. сумма всех отдаваемых мощностей
равна сумме всех потребляемых мощностей:

,

где  — комплексная
мощность;

P
—
активная мощность;

Q
—
реактивная мощность;

—
комплексно –
сопряженная величина.

;

.

Здесь
;.

Таким образом, с
незначительной погрешностью активная
и реактивная мощности совпадают с
вещественной и мнимой частями комплексной
мощности.

На комплексной
плоскости строим векторную диаграмму
рис.1.2.2.

1.3

Определить

Действующий ток
I,
угол сдвига фаз между ЭДС источника и
тока, напряжение на элементах схемы.
Построить треугольники сопротивлений,
напряжений и мощностей.

Активное сопротивление в цепи переменного тока

Электрические лампы накаливания, печи сопротивления, бытовые нагревательные приборы, реостаты и другие приемники, где электрическая энергия преобразуется в тепловую, на схемах замещения обычно представлены только сопротивлением R.
Для схемы, изображенной на рис. 13.1, а, заданы сопротивление R и напряжение, изменяющееся по закону

u = U_msinωt

Найдём ток и мощность в цепи.

Ток в цепи переменного тока с активным сопротивлением.

По закону Ома найдем выражение для мгновенного тока:

где I_m = U_m/R — амплитуда тока

Из уравнений напряжения и тока видно, что начальные фазы обеих кривых одинаковы, т. е. напряжение и ток в цепи с сопротивлением R совпадают по фазе. Это показано на графиках и векторной диаграмме (рис. 13.1, б, б).

Действующий ток найдем, разделив амплитуду на √ 2:

Формулы (13.1) выражают закон Ома для цепи переменного тока с сопротивлением R. Внешне они ничем не отличаются от формулы для цепи постоянного тока, если переменные напряжение и ток выражены действующими величинами.

Мгновенная мощность в цепи переменного тока с активным сопротивлением.

При переменных величинах напряжения и тока скорость преобразования электрической энергии в приемнике, т. е. его мощность, тоже изменяется. Мгновенная мощность равна произведению мгновенных величин напряжения и тока: p = U_msinωt * I_msinωt = U_mI_msin 2 ωt

Из тригонометрии найдём

Более наглядное представление о характере изменения мощности в цепи дает график в прямоугольной системе координат, который строится после умножения ординат кривых напряжения и тока, соответствующих ряду значений их общего аргумента — времени t. Зависимость мощности от времени — периодическая кривая (рис. 13.2). Если ось времени t поднять по чертежу на величину р = P_m√2 = U_mI_m√2, то относительно новой оси t’ график мощности является синусоидой с двойной частотой и начальной фазой 90°:

Таким образом, в первоначальной системе координат мгновенная, мощность равна сумме постоянной величины Р = UmIm√2 и перемен- ной р’:

р = Р + р’

Анализируя график мгновенной мощности, нетрудно заметить, что мощность в течение периода остается положительной, хотя ток и напряжение меняют свой знак. Это получается благодаря совпадению по фазе напряжения и тока.

Постоянство знака мощности говорит о том, что направление потока электрической энергии остается в течение периода неизменным, в данном случае от сети (от источника энергии) в приемник с сопротивлением R, где электрическая энергия необратимо преобразуется в другой вид энергии. В этом случае электрическая энергия называется активной.

Если R — сопротивление проводника, то в соответствии с законом Ленца — Джоуля электрическая энергия в нем преобразуется в тепло.

Активная мощность для цепи переменного тока с активным сопротивлением

Скорость преобразования электрической энергии в другой вид энергии за конечный промежуток времени, значительно больший периода изменения тока, характеризуется средней мощностью. Она равна средней мощности за период, которую называют активной.

Активная мощность — среднее арифметическое мгновенной мощности за период.

Для рассматриваемой цепи активную мощность Р нетрудно определить из графика рис. 13.2. Средняя величина мощности равна высоте прямоугольника с основанием Т, равновеликого площади, ограниченной кривой р(t) и осью абсцисс (на рисунке заштриховано).

Равенство площадей РТ = S_p выполняется, если высоту прямоугольника взять равной половине наибольшей мгновенной мощности P_m.

В этом случае часть площади Sp , находящаяся выше прямоугольника, точно укладывается в оставшуюся незаштрихованной его часть:

P = UI

Активная мощность для данной цепи равна произведению действующих величин тока и напряжения:

P = UI = I 2 R

С математической точки зрения активная мощность является постоянной составляющей в уравнении мгновенной мощности p(t) [см. выражение (13.2)].

Среднюю мощность за период можно найти интегрированием уравнения (13.2) в пределах периода:

Сопротивление R, определяемое из формулы (13.3) отношением активной мощности цепи к квадрату действующего тока, называется активным электрическим сопротивлением.

Электрические цепи синусоидального тока

Содержание:

Электрические цепи синусоидального тока:

В общем случае цепь переменного тока характеризуется тремя параметрами: активным сопротивлением R, индуктивностью L и емкостью С. В технике часто применяются цепи переменного тока, в которых преобладает один или два из этих параметров.

При анализе работы и расчетах цепей исходят из того, что для мгновенных значений переменного тока можно использовать все правила и законы постоянного тока.

Цепь с активным сопротивлением

Активным сопротивлением R обладают элементы, которые нагреваются при прохождении через них тока (проводники, лампы накаливания, нагревательные приборы и т.д.).

Если к активному сопротивлению R (рис. 11.1) приложено синусоидальное напряжение

где

Ток в цепи с активным сопротивлением совпадает по фазе с напряжением, так как начальные фазы их равны ( = 0). Векторная диаграмма для цепи с активным сопротивлением изображена на рис. 11.16, временная диаграмма изображена на рис. 11.1в.

Математическое выражение закона Ома для цепи переменного тока с активным сопротивлением имеет вид:

Это вытекает из выражения (11.1), если левую и правую части уравнения разделить на =1,41.

Таким образом, действующее значение синусоидального тока I пропорционально действующему значению синусоидального напряжения U и обратно пропорционально сопротивлению R участка цепи, к которому приложено напряжение U. Такая интерпретация закона Ома справедлива как для мгновенных, так и для действующих и амплитудных значений синусоидального тока.

Активная мощность

Мгновенная мощность в цепи с активным сопротивлением определяется произведением мгновенных значений напряжения ка, т. е. р = ui. Это действие производится над кривыми тока и ряжения в определенном масштабе (рис. 11.1в). В результате учена временная диаграмма мгновенной мощности р. Как видно из временной диаграммы, мощность в цепи с активным сопротивлением изменяется по величине, но не изменяется по направлению (рис. 11.1в). Эта мощность (энергия) необратима. От источника она поступает на потребитель и полностью преобразуется в другие виды мощности (энергии), т.е. потребляется. Такая потребляемая мощность называется активной.

Поэтому и сопротивление R, на котором происходит подобное образование, называется активным сопротивлением, цепи с активным сопротивлением мгновенная мощность характеризует скорость преобразования электрической энергии в другие виды энергии.

Количественно мощность в цепи с активным сопротивлением определяется следующим образом:

Мгновенная мощность в цепи синусоидального тока с активным сопротивлением представляет собой сумму двух величин -постоянной мощности UI и переменной , изменяющейся с двойной частотой.

Средняя за период мощность, равная постоянной составляющей мгновенной мощности UI, является активной мощностью Р. Среднее за период значение переменной составляющей, как и всякой синусоидальной величины, равно нулю, то есть

Таким образом, величина активной мощности в цепи синусоидального тока с активным сопротивлением с учетом закона Ома определяется выражением:

где U- действующее значение напряжения; I— действующее значение тока.

Единицей активной мощности является ватт:

Поверхностный эффект и эффект близости

Сопротивление проводника постоянному току называют омическим сопротивлением и определяют выражением (2.8) Сопротивление проводника переменному току R называют активным.

Оказывается, что сопротивление проводника переменному току больше его омического сопротивления за счет так называемого поверхностного эффекта и эффекта близости, т. е.

Увеличение активного сопротивления вызвано неодинаковой плотностью тока в различных сечениях проводника (рис. 11.2а).

На рис. 11.2а изображено магнитное поле проводника цилиндрического сечения. Если по проводнику проходит переменный ток, то он создает переменный магнитный поток внутри и вне проводника. Этот поток в различных сечениях проводника индуктирует ЭДС самоиндукции, которая, согласно правилу Ленца. противодействует изменению тока как причине создания ЭДС Очевидно, центр проводника охвачен большим количеством магнитных линий (большее потокосцепление), чем слои, близкие к поверхности. Следовательно, в центре проводника ЭДС (сопротивление) больше, чем на поверхности проводника. Плотность на поверхности больше, чем в центре. Поэтому это явление и называется поверхностным эффектом.

Таким образом, поверхностный эффект уменьшает сечение проводника для переменного тока, а следовательно, увеличивает активное сопротивление R.

Отношение активного сопротивления проводника к его сопротивлению определяет коэффициент поверхностного эффекта (кси)

График зависимости коэффициента поверхностного эффекта от параметра проводника d, его удельной проводимости , магнитной проницаемости материала проводника и частоты переменного тока , проходящего по проводнику, показан на рис. 11.26.

При токах большой частоты (радиочастотах) ток в центре проводника отсутствует. Поэтому такие проводники делают трубчатыми, т.е. полыми.

На величину активного сопротивления проводника R оказывает влияние и эффект близости.

Если токи в двух параллельных проводах, расположенных близко друг к другу, направлены в одну сторону, то элементы сечения водников, удаленных на большее расстояние друг от друга, цепляются с меньшим магнитным потоком и имеют большую плотность тока (заштриховано на рис. 11.3а), чем элементы сечения проводников, расположенные близко друг к другу.

Если же токи в близко расположенных параллельных проводах направлены в различные стороны, то большая плотность тока на-дается в элементах сечения проводников, расположенных ближе друг к другу (заштриховано на рис. 11.36).

Таким образом, эффект близости в проводниках также влияет активное сопротивление проводников за счет наведения в различных элементах сечений проводников различных ЭДС взаимоиндукции, направление которых определяется правилом Ленца.

Цепь с идеальной индуктивностью

Идеальной называют индуктивность L такой катушки, активным сопротивлением R и емкостью С которой можно пренебречь, т.е. R= О и С=0.

Если в цепи идеальной катушки индуктивностью L (рис. 11.4а) проходит синусоидальный ток , то этот ток создает в катушке синусоидальный магнитный поток , который индуктирует в катушке ЭДС самоиндукции, равную согласно (9.11)

так как

Очевидно, эта ЭДС достигает своего амплитудного значения тогда, когда :

Тогда

Таким образом, ЭДС самоиндукции в цепи с идеальной индуктивностью L, как и ток, вызвавший эту ЭДС, изменяется по синусоидальному закону, но отстает от тока по фазе на угол 90° = (рис. 11.46, в).

По второму закону Кирхгофа для мгновенных значений можно записать

Откуда

Тогда напряжение, приложенное к цепи с идеальной индуктивностью (см. (11.5)):

Очевидно, напряжение достигает своего амплитудного значения U_m тогда, когда :

Следовательно,

Таким образом, напряжение, приложенное к цепи с идеальной ин-ивностью, как и ток в этой цепи, изменяется по синусоидально-жону, но опережает ток по фазе на угол 90°= (рис. 11.46, в).

Резюмируя все вышесказанное, можно сделать вывод: для существования тока в цепи с идеальной индуктивностью необходимо ожить к цепи напряжение, которое в любой момент времени но по величине, но находится в противофазе с ЭДС, вызванной таким током (рис. 11.46, в).

Временная диаграмма (рис. 11.4в) еще раз иллюстрирует правило Ленца: ЭДС противодействует изменению тока.

Если уравнение (11.10) разделить на =1,41, то получается =, откуда

Это уравнение (11.12а) и есть математическое выражение закона Ома для цепи синусоидального тока с идеальной индуктивностью. Очевидно, знаменатель этого уравнения есть не что иное, как сопротивление, которое называют индуктивным сопротивлением X_L.

Закон Ома для этой цепи можно записать иначе:

Индуктивное сопротивление X_L — это противодействие, которое ЭДС самоиндукции e_L оказывает изменению тока.

Реактивная мощность в цепи с индуктивностью

Мгновенная мощность для цепи синусоидального тока с идеальной катушкой равна произведению мгновенных значений напряжения и тока

где

Следовательно,

Полученное уравнение умножают и делят на 2:

Таким образом, мощность в цепи синусоидального тока с идеальной катушкой индуктивности изменяется по синусоидальному закону с двойной частотой.

Следовательно, среднее значение этой мощности за период Яс, как и любой синусоидальной величины, т. е. активная потребляемая мощность, в этой цепи равна нулю, Р= 0.

Временная диаграмма (рис. 11,4в) подтверждает этот вывод. На диаграмме видно, что мгновенная мощность () в рассматриваемой цепи изменяется по синусоидальному закону с двойной частотой.

То есть в 1-ю и 3-ю четверти периода мощность (энергия) источника накапливается в магнитном поле индуктивности. Максимальное значение накапливаемой в магнитном поле идеальной катушки энергии по (9.12) равно

Во 2-ю и 4-ю четверти периода эта мощность (энергия) из магнитного поля идеальной катушки возвращается к источнику.

Таким образом, в цепи переменного тока с идеальной катушки мощность не потребляется (Р= 0), а колеблется между источником и магнитным полем индуктивности, загружая источник и провода.

Такая колеблющаяся мощность (энергия), в отличие от активной, потребляемой, называется реактивной.

Обозначается реактивная мощность буквой Q и измеряется в варах, т.е. [Q]=вар (вольт-ампер реактивный).

Величина реактивной мощности в рассматриваемой цепи определяется выражением

Так как реактивная мощность Q_L имеет место в цепи с индуктивным сопротивлением, то индуктивное сопротивление считается реактивным сопротивлением X индуктивного характера, т. е. X_L.

Цепь с емкостью

Если конденсатор емкостью С подключить к источнику с постоянным напряжением U (рис. 11.5а), то ток зарядки конденсатора ходит в цепи очень короткое время, пока напряжение на конденсаторе U_c не станет равным напряжению источника U.

Ток в рассматриваемой цепи (рис. 11.5а) практически отсутствует (амперметр А покажет I=0).

Если же конденсатор подключить к источнику с синусоидальным напряжением (рис. 11.56), то ток в цепи конденсатора существует все время, пока цепь замкнута, и амперметр А покажет этот ток. Ток в цепи конденсатора, подключенного к источнику с синусоидальным напряжением, имеет место потому, что напряжена конденсаторе U_c отстает по фазе от напряжения источника и зарядке, и при разрядке конденсатора. Например, пока напряжение на конденсаторе достигает значения 1, напряжение источника достигнет значения 2 (рис. 11.5в), т. е. конденсатор заряжается; пока конденсатор зарядится до напряжения 2, напряжение источника уменьшится до напряжения 3 — конденсатор разряжается на источник и т.д. Однако ток проходит только в цепи конденсатора. Через диэлектрик конденсатора ток не проходит.

Таким образом, если к конденсатору емкостью С приложено синусоидальное напряжение , то в цепи конденсатора проходит ток i (рис. 11.6а):

где q= Си согласно (6.3).

Очевидно, ток в цепи конденсатора достигает амплитудного значения тогда, когда :

Тогда

Как видно, ток в цепи конденсатора, как и напряжение, приложенное к его обкладкам, изменяется по синусоидальному закону, однако опережает это напряжение по фазе на угол 90°=

Следовательно, напряжение отстает по фазе от тока на 90° = (рис. 11.66).

Если уравнение (11.17) разделить на = 1,41, то получится равенство или

Это равенство (11.19а) и является математическим выражением закона Ома для цепи переменного тока с емкостью.

Очевидно, знаменатель этого равенства является сопротивлением конденсатора Х_с, которое называется емкостным сопротивлением:

Когда закон Ома для цепи с конденсатором можно записать:

Емкостное сопротивление — это противодействие, которое оказывает напряжение заряженного конденсатора напряжению, приложенному к нему (рис. 11,5а).

Реактивная мощность в цепи с конденсатором

Если в цепи конденсатора емкостью = 0 (рис. 11.6а) проходит ток i, изменяющийся по синусоидальному закону:

Напряжение и, приложенное к этому конденсатору (рис. 11.6), будет равно

Мгновенная мощность в цепи с конденсатором

Мощность в цепи с конденсатором, подключенным к источнику с синусоидальным напряжением, изменяется по синусоидальному закону с двойной частотой (рис. 11.6в).

Следовательно, активная мощность Р в рассматриваемой цепи 1С. 11.6а), равная среднему значению мгновенной мощности за период, имеет нулевое значение, Р= 0.

Это следует и из временной диаграммы (рис. 11.6в). На временной диаграмме видно, что изменение мгновенной мощности р по синусоидальному закону происходит с двойной частотой: 2-ю и 4-ю четверти периода мощность (энергия) источника накапливается в электрическом поле конденсатора.

Максимальное значение энергии, накапливаемой в электрическом поле конденсатора, равно

В 1-ю и 3-ю четверти периода эта мощность (энергия) из электрического поля конденсатора возвращается к источнику.

Таким образом, в цепи переменного тока с конденсатором происходит колебание мощности (энергии) между источником и электрическим полем конденсатора. Такая колеблющаяся, но не потребляемая мощность называется реактивной мощностью.

Величина реактивной мощности в цепи конденсатора определяется выражением

Из временных диаграмм (рис. 11.4в, 11.6в) видно, что реактивная мощность в цепи конденсатора изменяется в противофазе с реактивной мощностью в цепи с идеальной катушкой. Отсюда и знак «минус» в уравнении (11.21) — аналитическом выражении мгновенной мощности в цепи с конденсатором.

Так как реактивная мощность Qc имеет место в цепи с емкостным сопротивлением, то это емкостное сопротивление считается реактивным сопротивлением Х емкостного характера (Х_с).

Расчет линейных электрических цепей синусоидального тока

Расчет электрических цепей синусоидального тока производится преимущественно с помощью векторных диаграмм. В нашей главе рассматривается расчет неразветвленных цепей синусоидального тока, содержащих активное сопротивление R, активность L и емкость С в различных сочетаниях.

Цепь с активным сопротивлением и индуктивностью

Если по цепи с реальной катушкой, обладающей активным сопротивлением R и индуктивностью L, проходит синусоидальный ток (рис. 12.1а), то этот ток создает падение напряжения на активном сопротивлении проводников катушки и индуктивном сопротивлении катушки

Следовательно, по второму закону Кирхгофа, для мгновенных значений, приложенное к реальной катушке напряжение можно записать

Это равенство справедливо для неразветвленной цепи синусоидального тока с последовательно включенными активным сопротивлением R и индуктивным сопротивлением X_L (рис. 12.16).

Активное напряжение (рис. 11.16) совпадет по фазе с током и может быть записано . Индуктивное напряжение опережает ток на угол 90° = .

Мгновенное значение напряжения, приложенного к цепи, определяется алгебраической суммой мгновенных значений напряжений согласно (12.1). А действующее значение этого напряжения U определяется геометрической суммой их действующих значений

Это равенство лежит в основе построения векторной диаграммы (рис. 12.1 в).

Из векторной диаграммы (рис. 12.1 в) видно, что напряжение U, приложенное к реальной катушке, опережает по фазе ток на угол ф. Мгновенное значение этого напряжения может быть записано:

где ф — это международное обозначение угла сдвига фаз между током и напряжением для любой цепи переменного тока.

Воспользовавшись теоремой Пифагора для определения гипотенузы прямоугольного треугольника, по векторной диаграмме (рис. 12.1 в) определяется напряжение

Равенство (12.4) является математическим выражением закона Ома для цепи синусоидального тока с активным R и индуктивным XL сопротивлениями в неразветвленной цепи.

Знаменатель этого равенства является сопротивлением этой цепи, которое называется полным, или кажущимся, сопротивлением цепи синусоидального тока. Обозначается кажущееся (полное) сопротивление любой цепи переменного тока буквой Z:

где Z_k — полное, или кажущееся, сопротивление реальной катушки.

Тогда закон Ома для любой цепи переменного тока в общем виде можно записать

где Z — кажущееся сопротивление этой цепи.

Треугольники напряжений, сопротивлений, мощностей

Треугольник, все стороны которого изображены векторами напряжений, называется треугольником напряжений. Пользуясь векторной диаграммой для неразветвленной цепи с активным и индуктивным сопротивлениями (рис. 12.1в), выделяем треугольник напряжений (рис. 12.2а).

Связь между напряжениями в данной цепи можно рассматривать как соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника:

Если все стороны треугольника напряжений разделить на ве-1ину тока в цепи, то получится подобный прямоугольный треугольник, все стороны которого в определенном масштабе изображают сопротивления цепи, т. е. получится треугольник составлений (рис. 12.16). Сопротивления не являются векторными величинами. Из треугольника сопротивлений можно определить:

Обычно тригометрические функции угла ф определяются из треугольника сопротивлений отношением (12.9).

Если все стороны треугольника напряжений умножить на величину тока цепи, то получится подобный прямоугольный треугольник, все стороны которого в определенном масштабе изображают мощности цепи, т.е. получится треугольник мощностей (рис. 12.2в).

Произведение напряжения и тока цепи характеризует полную мощность цепи

которая измеряется в вольт-амперах, т.е.

Однако потребляется в цепи только часть полной мощности — активная мощность

где cos ф показывает, какая часть полной мощности потребляется в цепи, поэтому cos ф называют коэффициентом мощности:

Полная мощность цепи S называется кажущейся. Из того же треугольника мощностей (рис. 12.2в) записать:

Построив треугольники напряжений, сопротивлений и мощностей для любой цепи синусоидального тока, по выражениям (12.7)—(12.14) можно рассчитать параметры этой цепи.

Цепь с активным сопротивлением и емкостью

Если в цепи с последовательно включенными активным сопротивлением R и емкостью С протекает синусоидальный ток , то он создает падение напряжения на активном сопротивлении и на емкостном сопротивлении . Векторная диаграмма для этой цепи изображена на рис. 12.36.

Напряжение цепи изменяется, как и ток, по синусоидальному закону и отстает по фазе от тока на угол ф

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Цепь с активным сопротивлением

Напряжение и ток

Цепь, изображенная на рис. 5 -17, обладает активным сопротивлением г и индуктивностью L. Примером такой цепи может служить катушка любого электромагнитного прибора или аппарата.

При прохождении переменного тока i в цепи будет индуктироваться э. д. с. самоиндукции e_L .

Согласно второму правилу Кирхгофа u + e_L = i r

откуда напряжение на зажимах цепи

Первая слагающая u_а = i r называется активным напряжением, мгновенное значение которого пропорционально току, а вторая u_L = — e_L = L( d i /dt) реактивным напряжение м, мгновенное значение которого пропорционально скорости изменения тока.

Если ток изменяется по закону синуса

Рис. 5-17, Цепь с активным сопротивлением и индуктивностью.

Оно изменяется также синусоидально, совпадая по фазе с током.

Амплитудное значение активного напряжения

а действующее значение

Оно изменяется синусоидально, опережая по фазе ток на 90°.

Амплитудное значение реактивного напряжения

а действующее значение

Напряжение на зажимах цепи

Напряжение на зажимах изменяется синусоидально, опережая ток по фазе на угол φ.

На рис. 5-18 показаны графики; i , и_a, u_L и и, а на рис. 5-19 — векторная диаграмма цепи. На диаграмме векторы напряжений U, U _a и U _L образуют прямоугольный треугольник напряжений, из которого непосредственно следует со отношение, связывающее эти величины:

Аналогичная зависимость имеет место и для амплитудных значений

Угол сдвига фаз между напряжением на зажимах

Рис 5-18. Графики тока и напряжения в цепи с активным сопротивлением и индуктивностью.

Рис 5 -19. Вектор ная диаграмма це пи с активным сопротивлением и индуктивностью.

цепи и током в ней находится из треугольника напряжений по одной из формул

Чем больше реактивное напряжение по сравнению с ак тивным, тем на больший угол ток отстает по фазе от напря жения на зажимах цепи.

Сопротивления цепи

Уравнение (5-30) можно переписать в следующем виде

откуда ток в цепи

называется полным сопротивлением цепи.

Сопротивления r, x_L и z графически можно изобразить сторонами прямоугольного треугольника — треугольника сопротивлении (рис. 5-20), который можно получить из треугольника напряжений, уменьшив каждую из его сторон в I раз.

Так как треугольники сопротивлений и напряжений подобны, то угол сдвига φ между напряжением и током, равный углу между сторонами треугольника z и r, можно определить через

Рис 5-20. Треугольник сопротивлений цепи с активным сопротивлением и индуктивностью

Мощности

Мгновенное значение мощности р = u i = U_м sin (ωt + φ) I _м sin ωt = U_м I _м sin (ωt + φ) sin ωt Учитывая, что

sin (со/ + φ) sin ωt = 1/2 cos φ — 1/2 cos (2 ωt + φ)

а также (5-28), можно написать другое выражение ной мощности

Р = U I cos φ — U I cos (2ωt + φ)

Написанное выражение состоит из двух членов: постоянного, независимого от времени UI cos φ и переменного си-

нусоидального U I cos (2ωt + φ). Среднее значение мощности за период, которым обычно пользуются при расчете цепей переменного тока, будет равно постоянному члену UI cos φ , так как среднее значение за период синусоидальной функции равно нулю.

Таким образом, среднее значение мощности цепи равно произведению действующих значений напряжения и тока, умноженному на cos φ , т.е.

Следовательно, средняя мощность цепи равна среднему значению мощности в активном сопротивлении. Поэтому среднюю мощность любой цепи называют; еще и активной мощностью.

Реактивная мощность цепи :

т.е. реактивная мощность цепи равна произведению действующих значений напряжения и тока, умножен ному на sin φ .

Рис.5- 21. Т ре угольник мощностей

Полной мощностью цепи называется произведение действующих значений напряжения и тока, т. е.

Учитывая, что sin 2 φ + cos 2 φ = 1 можно написать: (U I cos φ ) 2 + (U I sin φ ) 2 = ( U I ) 2

Мощности Р, Q и S графически можно изобразить сторонами прямоугольного треугольника — тре у го ль ника мощностей (рис 5-21), который можно получить из треугольника напряжений, умножая на I все его стороны.

т.е отношение активной мощности к полной называется коэффициентом мощности.

Единица полной мощности с называется вольт-ампер (в •а).

Необходимость применения понятия полной мощности обусловлена тем, что конструкция, габариты, вес и стоимость машины или аппарата определяются их номинальной полной мощностью S_н = U_н I_н а полная мощность S при том или ином режиме работы их определяет степень их использования.

Статья на тему Цепь с активным сопротивлением

Похожие страницы:

Понравилась статья поделись ей

Leave a Comment

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Уравнения мгновенных значений тока и напряжения в цепи с активным сопротивлением

«Физика — 11 класс»

Активное сопротивление

Сила тока в цепи с резистором

Есть цепь, состоящая из соединительных проводов и нагрузки с малой индуктивностью и большим сопротивлением R.

Сопротивление R называется активным сопротивлением, т.к. при наличии нагрузки, обладающей этим сопротивлением, цепь поглощает энергию, поступающую от генератора.
Эта энергия превращается во внутреннюю энергию проводников — они нагреваются.
Напряжение на зажимах цепи меняется по гармоническому закону:

u = U_m cos ωt

Мгновенное значение силы тока прямо пропорционально мгновенному значению напряжения.
По закону Ома мгновенное значение силы тока:

В проводнике с активным сопротивлением колебания силы тока совпадают по фазе с колебаниями напряжения, а амплитуда силы тока определяется равенством

Мощность в цепи с резистором

В цепи переменного тока промышленной частоты (v = 50 Гц) сила тока и напряжение меняются.
При прохождении тока по проводнику, например по нити электрической лампочки, количество выделенной энергии также будет меняться во времени.

Мощность в цепи постоянного тока на участке с сопротивлением R определяется формулой

Р = I 2 R

Мгновенная мощность в цепи переменного тока на участке, имеющем активное сопротивление R, определяется формулой

Р = i 2 R

Cреднее значение мощности за период (используем формулу для мгновенного значения силы тока и выражение ):

График зависимости мгновенной мощности от времени (рис.а):

Согласно графику (рис.б) среднее за период значение cos 2ωt равно нулю, а значит равно нулю второе слагаемое в формуле для среднего значения мощности за период.

Тогда средняя мощность равна:

Действующие значения силы тока и напряжения.

Среднее за период значение квадрата силы тока:

Величина, равная квадратному корню из среднего значения квадрата силы тока, называется действующим значением силы переменного тока.
Действующее значение силы переменного тока обозначается через I:

Действующее значение силы переменного тока равно силе такого постоянного тока, при котором в проводнике выделяется то же количество теплоты, что и при переменном токе за то же время.

Действующее значение переменного напряжения определяется аналогично:

Закон Ома для участка цепи переменного тока с резистором в действующих значениях:

В случае электрических колебаний важны общие характеристики колебаний, такие, как амплитуда, период, частота, действующие значения силы тока и напряжения, средняя мощность.
Именно действующие значения силы тока и напряжения регистрируют амперметры и вольтметры переменного тока.

Действующие значения непосредственно определяют среднее значение мощности Р переменного тока:

р = I 2 R = UI.

Итак:
Колебания силы тока в цепи с резистором совпадают по фазе с колебаниями напряжения, а мощность определяется действующими значениями силы тока и напряжения.

Источник: «Физика — 11 класс», учебник Мякишев, Буховцев, Чаругин

Электромагнитные колебания. Физика, учебник для 11 класса — Класс!ная физика

Содержание:

Основные определения, понятия и законы в теории электрических цепей:

Электрическая цепь — это совокупность устройств, предназначенных для передачи, распределения и взаимного преобразования электрической энергии, если процессы, протекающие в этих устройствах, могут быть определены с помощью понятий ЭДС, тока и напряжения, которые могут быть как постоянными

Электрическая схема — это изображение электрической цепи с помощью условных обозначений. Несмотря на всё многообразие цепей, каждая из них содержит элементы двух основных типов — это источники и потребители.

Источники энергии (см. рис. 1.1) могут быть двух типов: источники ЭДС (напряжения) и источники тока.

Рис. 1.1. Реальные источник ЭДС (a) и источник тока (b)

Источник тока характеризуется величиной тока и внутренней проводимостью

Источник напряжения характеризуется двумя основными параметрами: величиной ЭДС  и величиной его внутреннего сопротивления Напряжение на зажимах источника в режиме холостого хода численно равно 

Для источника ЭДС положительное направление указывается стрелкой, т.е., напряжение: убывает от точки с большим потенциалом к точке с меньшим потенциалом.

Если внутренним сопротивлением источника можно пренебречь реализуется классический вариант идеального источника ЭДС. Напряжение на зажимах такого источника не зависит от силы тока (см. В.А.Х. рис. 1.2,b).

Другим вариантом идеального источника энергии является источник тока, для которого  (рис. 1.2,с). Ввиду того, что идеальный источник тока имеет бесконечное внутреннее сопротивление, то его ток, остается постоянным, а напряжение на зажимах может быть любым.

Рис. 1.2. Вольт-амперные характеристики а) реального источника ЭДС, b) идеального источника ЭДС, c) идеального источника тока

Поскольку физические свойства идеальных источников коренным образом различны, то прямая их замена друг на друга невозможна. Тем не менее, процедура преобразования одного реального источника в другой возможна и широко применяется в расчетах. Например, при замене реального источника тока в реальный источник ЭДС его параметры равны:

По своим физическим свойствам элементы электрических цепей могут характеризоваться такими параметрами, как сопротивление  индуктивность емкость (рис. 1.3).

Рис. 1.3. Потребители в электрических цепях

Под идеализированным резистивным элементом цепи (в дальнейшем для краткости — сопротивление  понимают параметр пассивного двухполюсника, равный отношению активной мощности, поглощаемой в этом двухполюснике, к квадрату действующего значения электрического тока через этот двухполюсник. Это такой элемент электрической цепи, в котором происходит необратимый процесс преобразования электрической энергии в неэлектрические виды энергии. Сопротивление на основании закона Ома выражается отношением:

Вольт-амперные характеристики (В.А.Х.) линейного (1) и нелинейного (2) сопротивлений изображены на рис. 1.4.

Рис. 1.4. Вольт-амперные характеристики линейного (1) и нелинейного (2) сопротивлений

Под идеализированным индуктивным элементом электрической цепи (в дальнейшем для краткости — индуктивность понимают такой элемент, в котором происходит процесс преобразования энергии источника ЭДС или тока в энергию магнитного поля. Индуктивность определяется отношением потокосцепления к току в ней:

где — индуктивность катушки, Гн;  — потокосцепление, Вб; — магнитный поток, Вб;  — число витков катушки.

Вебер-амперные характеристики линейной (1) и нелинейной (2) индуктивности представлены на рис. 1.5.

Рис. 1.5. Вебер-амперные характеристики линейной (1) и нелинейной (2) индуктивности

Под идеализированным емкостным элементом электрической цепи (в дальнейшем для краткости — емкость понимают такой элемент, в котором происходит процесс преобразования энергии источника ЭДС или тока в энергию электрического поля элемента. Емкость определяется отношением заряда к напряжению:

где  — ёмкость элемента, — заряд, Кл, — напряжение,

Кулон-вольтные характеристики линейной (1) и нелинейной (2) емкости представлены на рис. 1 .6.

Рис. 1.6. Кулон-вольтные характеристики линейной (1) и нелинейной (2) емкости

Любая цепь характеризуется следующими основными топологическими понятиями.

Ветвь — это участок цепи, составленный из последовательно соединенных элементов цепи и расположенный между двумя узлами.

Узел — это точка цепи, где сходятся три или более ветвей.

Контур — это любой замкнутый путь (рис. 1.7.), проходящий по нескольким ветвям.

Рис. 1.7. Электрический контур

Контур называется независимым, если в его составе присутствует хотя бы одна новая ветвь, ранее не входившая в другие контуры. В схеме на рис 1.7 при замкнутом ключе имеем три контура, но лишь два из них независимы.

Закон Ома

Закон Ома для пассивного участка цепи при постоянных токах имеет вид:

Рассмотрим участок цепи с ЭДС (рис. 1.8).

Рис. 1.8. Линейный участок цепи, содержащий ЭДС

Из состава сложной электрической цепи выделим ветвь, содержащую источник энергии и потребитель. Для определенности примем, что направления тока и источника ЭДС совпадают.

При условно выбранных положительных направлениях тока и ЭДС в ветви имеем:

Вычтем из уравнения (1.5) уравнение (1.6) и тогда получим

Полученное выражение представляет собой закон Ома для участка цепи с ЭДС. В случае несовпадения направления тока в ветви с направлениями напряжения и ЭДС перед ними появляется знак «минус».

Законы Кирхгофа

Первый закон Кирхгофа — алгебраическая сумма токов в узле равна нулю:

где — номер ветви, — общее количество ветвей.

Второй закон Кирхгофа — алгебраическая сумма падений напряжений вдоль любого замкнутого контура равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом контуре:

Уравнение баланса мощности:

где — ток источника тока;  — напряжение на зажимах источника тока.

Уравнение баланса мощности является модификацией закона сохранения энергии для электрических цепей. Это базовое уравнение для проверки правильности выполненных расчетов тех или иных цепей. В левой части этого уравнения стоит арифметическая сумма мощностей, потребляемых приёмниками. В правой части — мощность, отданная источниками в цепь.

При этом возможна такая ситуация, когда одно из слагаемых суммы справа может оказаться отрицательным. Это будет означать, что в данной ситуации источник становится потребителем. Она возникает в случае, когда ток и ЭДС источника направлены встречно, например, зарядка аккумулятора.

Цепи однофазного синусоидального тока и напряжения

Рассмотренные выше источники энергии могут быть источниками постоянного или переменного напряжения (тока), причём закон изменения во времени источников переменного напряжения (тока) может носить как периодический, так и непериодический характер. Наибольшее практическое распространение получили источники, а, следовательно, и цепи, электромагнитные процессы в которых подчиняются периодическому закону.

Частным случаем таких цепей являются цепи однофазного синусоидального тока.

Мгновенное значение любой синусоидальной функции: напряжения, тока, ЭДС и т.д. может быть представлено выражением вида:

где — амплитуда — наибольшее значение функции за период (рис. 2 .1 ); — аргумент синуса — текущая фаза колебания, рад; — круговая (циклическая) частота колебания, рад/с; — время, с; — начальная фаза, которая показывает смещение синусоиды по оси абсцисс относительно начала координат вправо  или влево  рад.

Период и частота колебаний связаны между собой соотношением:

а круговая(циклическая) частота:

Рис. 2.1. График периодической функции напряжения 

Среднее и действующее значения периодической функции (тока и напряжения)

Средней величиной переменного тока (ЭДС, напряжения) называется среднее арифметическое из всех мгновенных величин за полупериод. Согласно определению:

где  — периодическая функция;  — период функции

Ввиду симметричности синусоиды получаем, что среднее ее значение за период равно нулю, поэтому вводят понятие среднего значения за половину периода:

Например, для синусоидального тока, его среднее значение будет равно:

Значительно большее значение имеет понятие действующего значения периодических функций. Определим количество тепла, выделенное за период переменным током  и постоянным током, равным 

Для переменного тока:

Для постоянного тока:

Приравняв правые части уравнений, получим:

где:

Окончательно:

где  -действующее (эффективное, среднеквадратичное) значение синусоидального тока.

Аналогично:

На рис. 2.2. пунктирной линией изображено действующее значение синусоидального тока.

Рис. 2.2. Синусоидальная функция тока и ее действующее значение

Элементы R, L, C в цепях синусоидального тока

Синусоидальный ток в резистивном элементе:

Пусть ток в этом элементе изменяется по закону  На рис. 2.3 показаны условно положительные направления тока и напряжения.

Рис. 2.3. Условно положительные направления тока и напряжения на сопротивлении

Определим напряжение, действующее на зажимах резистивного элемента на основании закона Ома:

Полученный результат показывает, что напряжение изменяется в фазе с током.

Определим мгновенную мощность, потребляемую сопротивлением 

где  — действующие значения напряжения и тока соответственно.

Из графика мгновенной мощности (рис. 2.4) следует, что она не отрицательна и меняется с удвоенной частотой.

Рис. 2.4. Графики мгновенных значений напряжения, тока и мощности на сопротивлении

Для оценки потребляемой приемником мощности вводят понятие средней мощности за период:

где  — средняя мощность за период (активная мощность), Вт

Синусоидальный ток в индуктивном элементе

Пусть ток в этом элементе изменяется по закону:

На рис. 2.5 показаны условно положительные направления тока, напряжения и ЭДС самоиндукции.

Определим напряжения на индуктивности На основании закона электромагнитной индукции:

где  — индуктивное сопротивление, Ом.

Рис. 2.5. Условно положительные направления тока, напряжения и ЭДС самоиндукции

Напряжение на индуктивности опережает ток на 

Мгновенная мощность на индуктивности:

Среднее значение мощности за период:

Для оценки запасенной в индуктивности энергии магнитного поля вводят понятие реактивной (индуктивной) мощности

где  — индуктивная (реактивная) мощность, вар.

Из графика мгновенной мощности (рис. 2.6) следует, что положительная полуволна мощности соответствует потреблению энергии из сети, а отрицательная — ее возврату в сеть.

Энергия, потребляемая индуктивностью, работы не совершает.

Рис. 2.6. Графики мгновенных значений напряжения, тока и мощности на индуктивности

Синусоидальный ток в емкостном элементе

Пусть ток в этом элементе изменяется по закону:

На рис. 2.7 показаны условные положительные направления тока и напряжения на емкости.

Рис. 2.7. Условно положительные направления тока и напряжения на емкости

По определению:

где  — заряд, накопленный емкостью, Кл.

Для емкости:

Для линейной емкости  следовательно

откуда:

где величина:

называется емкостным сопротивлением, Ом.

Ток в ёмкости опережает приложенное напряжение на угол 90°, также можно считать, что напряжение отстаёт от тока на 90°.

Определим мгновенную мощность:

Среднее значение мощности за период:

Таким образом, идеальная емкость не потребляет из сети активную мощность. Для оценки запасенной в емкости энергии электрического поля вводят понятие реактивной мощности:

Графики функций тока, напряжения и мгновенной мощности представлены на рис. 2.8. Если энергия идёт на создание электрического поля, при  происходит возврат энергии в сеть.

Рис. 2.8. Графики мгновенных значений тока, напряжения и мощности на емкости

Изображение синусоидальных функций времени (напряжение, сила тока) векторами на комплексной плоскости

Расчет сложной разветвленной цепи может быть существенно упрощен, если представить синусоидальные токи и напряжения векторами, расположенными на комплексной плоскости. Такой метод получил название метода комплексных амплитуд.

В основе этого метода лежит формула Эйлера:

где — мнимая единица. Умножив обе части формулы (2.21) на некоторое число получим:

где  — модуль комплексного числа;  — аргумент комплексного числа; — вещественная составляющая комплексного числа  — мнимая составляющая комплексного числа 

Поскольку в формуле Эйлера угол  может быть любым, сделаем его линейной функцией времени:

Тогда:

Полученный результат показывает (2.24), что синусоидальная функция времени есть мнимая часть некоторой комплексной функции представленной на рис. 2.9:

Рис. 2.9. Изображение вектора  на комплексной плоскости — угловая частота вращения вектора

Положив, что  получим:

Векторная диаграмма — диаграмма векторов на комплексной плоскости, построенная с учетом их взаимной ориентации по фазе.

Если векторы вращаются на плоскости с одинаковыми частотами то их взаимное положение не меняется. Это свойство позволяет исключить из рассмотрения сам факт их вращения, то есть принять при расчете 

В качестве примера на рис. 2.10 изображена операция умножения некоторого вектора  на оператор поворота 

Рис. 2.10. Умножение вектора на  и  

Пусть модуль  Его положение на комплексной плоскости зависит от значения аргумента. Значениям соответствуют комплексные числа 

Основы символического (комплексного) метода расчета цепей синусоидального тока

Цепь, составленная из разнородных элементов, описывается системой дифференциальных уравнений, решение которой при синусоидальных токах и напряжениях затруднительно. Комплексный метод расчета позволяет перейти от тригонометрических уравнений, составленных для мгновенных токов, напряжений и других величин, к алгебраическим уравнениям, составленным для соответствующих им комплексным изображениям.

Последовательное соединение элементов R L C

На рис. 2.11 изображена схема с последовательным соединением активного  индуктивного и емкостного сопротивлений.

Рис. 2.11. Последовательное соединение элементов 

Схема (рис. 2.11) на основании второго закона Кирхгофа для мгновенных величин описывается уравнением:

Перейдем к комплексным изображениям. Пусть мгновенный ток и его комплексное изображение изменяются по закону:

Используя полученный комплекс тока, определим комплексы действующих значений падений напряжений на участках цепи: для сопротивления:

для индуктивности:

для емкости:

Найденные комплексы подставим в исходное уравнение:

Выражение (2.32) представляет собой закон Ома в комплексной форме. В знаменателе — комплексное сопротивление рассматриваемой цепи, которое имеет вещественную и мнимую составляющую:

где:

На рис. 2.12 сопротивление  показано как комплексной плоскости

Рис. 2.12. Изображение сопротивления  на комплексной плоскости

Для комплексных амплитуд закон Ома запишется в следующем виде:

где — амплитуда напряжения.

Аргумент комплексного сопротивления:

Построим векторную диаграмму цепи (рис. 2.13), приняв для определенности, что 

Рис. 2.13. Векторная диаграмма для последовательного колебательного контура

Полагая, что ток и напряжение изменяются по законам:

и, заменив их комплексными изображениями, начнем построение векторной диаграммы с вектора тока, т.к. он одинаков на всех участках цепи. На основании уравнений 2.28-2.30 вектор совпадает по фазе с током, вектор опережает ток на вектор  отстает от тока на  Суммарный вектор представляет собой комплексное изображение напряжения сети. Из построенной на комплексной плоскости векторной диаграммы можно выделить векторный треугольник напряжений, представленный на рис. 2.14.

Рис. 2.14. Векторный треугольник напряжений

Ниже на рис. 2.15 приведен треугольник сопротивлений.

Рис. 2.15. Скалярный треугольник сопротивлений

Угол сдвига фаз между током и напряжением можно определить из любого треугольника:

Резонанс напряжений

Резонансом в цепях переменного тока, содержащих индуктивные и емкостные элементы, называется явление совпадения по фазе векторов тока и напряжения на входе цепи или на участке цепи, при этом

Резонанс напряжений наблюдается в последовательном колебательном контуре. На рис. 2.16 приведена векторная диаграмма для этого режима.

Рис. 2.16. Векторная диаграмма резонансного режима

При резонансе реализуется равенство:

где  — собственная циклическая частота последовательного колебательного контура при резонансе.

Резонанс достигается путем изменения одного из параметров  при двух других фиксированных.

Определим индуктивное и емкостное сопротивления цепи при резонансе:

Величина  называется волновым сопротивление контура.

Введем еще один важный параметр, характеризующий резонанс — добротность контура:

Добротность (коэффициент резонанса) — это отношение напряжения на индуктивности или на емкости при резонансе к входному напряжению цепи.

Рассмотрим энергетические соотношения в цепи при резонансе напряжений. Определим суммарную энергию, потребляемую реактивными элементами из сети:

Таким образом, суммарная энергия электрического и магнитного полей при резонансе остается величиной постоянной:

Частотные характеристики последовательного колебательного контура

Рассмотрим частотные характеристики цепи в последовательном колебательном контуре. Пусть к данной электрической цепи подведено синусоидальное напряжение с частотой которая меняется от 0 до  При этом частотно-зависимые параметры цепи, а именно ее реактивное и полное сопротивления, будут меняться, что вызовет соответствующие изменения тока и напряжений на отдельных ее участках. Будем при этом полагать, что напряжение сети во всем диапазоне изменения частот остается неизменным и активное сопротивление  не зависит от частоты.

Построим функции названных выше сопротивлений в одних координатных осях (рис. 2.17).

Рис. 2.17. Зависимости сопротивлений цепи от частоты 

Исходя из построений, можно заключить, что в дорезонансной области частот цепь имеет емкостной характер, в зарезонансной области — индуктивный, а в точке резонанса характер нагрузки активный. На рис. 2.18 представлены зависимости падений напряжения, тока и фазы последовательного колебательного контура от частоты.

Рис. 2.18. Кривые изменений напряжений, тока и фазы от частоты

На нулевой частоте (источник постоянной ЭДС) индуктивность заменяется короткозамкнутым проводником, а емкость — разрывом; на бесконечной частоте свойства указанных элементов меняются местами.

Значения функции  не существуют при  и 

Оценим влияние параметров цепи на форму резонансной кривой тока. Решение этого вопроса начнем с сопротивления последовательного колебательного контура, выполнив с ним следующие преобразования:

Используя полученное выражение для входного сопротивления определим ток:

где — максимальное значение тока в цепи при резонансе.

Резонансные кривые в соответствии с (2.42) приведены на рис. 2.19 в относительные единицах:

Рис. 2.19. Резонансные кривые 

Построенные зависимости показывают, что чем больше добротность  тем более заостренной получается зависимость тока от частоты. Эта особенность последовательного контура используется в радиоприемниках для поиска несущей частоты соответствующей радиостанции.

Параллельное соединение элементов R L C

Рассмотрим параллельное соединение активного индуктивного и емкостного сопротивлений (рис. 2.20).

Рис. 2.20. Схема параллельного соединения элементов 

Пусть на вход цепи подано напряжение тогда по первому закону Кирхгофа относительно комплексных токов получим уравнение:

Комплексное изображение входного напряжения:

Для определения комплекса общего тока найдем его составляющие:

тогда комплекс общего тока:

Построим векторную диаграмму на комплексной плоскости для параллельного соединения (рис. 2.21).

Рис. 2.21. Векторная диаграмма параллельного соединения разнородных элементов

Пусть тогда  что соответствует активно-индуктивному характеру нагрузки.

Выражение в скобках (2.43) имеет размерность 1/Ом или См (сименс) и носит название комплексной проводимости цепи:

где — модуль комплексной проводимости;  — угол сдвига фаз между током и напряжением.

Комплексная амплитуда общего тока:

Её модуль:

Её фаза:

Мгновенное значение общего тока:

Под комплексной проводимостью любой цепи понимается величина, обратная ее полному комплексному сопротивлению:

где  — активная проводимость данной цепи, См;  — суммарная реактивная проводимость, См.

Тогда:

где и — индуктивная и емкостная проводимости соответственно.

Из векторной диаграммы рис. 2.21 можно выделить треугольник токов (рис. 2.22).

Рис. 2.22. Векторный треугольник токов

Разделив стороны векторного треугольника токов на вектор напряжения, получим скалярный треугольник проводимостей (рис. 2.23).

Рис. 2.23. Скалярный треугольник проводимостей

В качестве примера для ветви, изображенной на рис. 2.24, определим ее активную и реактивную проводимости.

Рис. 2.24. Участок цепи с активно-индуктивным сопротивлением

В полученном выражении проводимости ветви имеем: — активная составляющая,  — соответственно индуктивная составляющая проводимости ветви.

Резонанс токов

Резонансный режим, возникающий при параллельном соединении элементов и называется резонансом токов. В отличие от рассмотренного ранее режима резонанса напряжений, данный режим не столь однозначен.

Рис. 2.25. Цепь с параллельным соединением разнородных приемников

В цепи по рис. 2.25 режим резонанса токов возникает при условии равенства нулю результирующей реактивной проводимости этой цепи, т.е.:

Реактивные проводимости ветвей соответственно равны:

Подставим выражения  и в (2.48):

и после преобразования получим резонансную частоту:

Анализ полученного уравнения показывает, что существует четыре возможных варианта значений частоты

1. Если то

2. Если  то 

С физической точки зрения это означает, что входное сопротивление данного контура равно ее волновому сопротивлению, которое не зависит от частоты, а значит, резонанс будет иметь место при любой частоте источника. Для доказательства этого положения определим входное сопротивление цепи:

3. Если и или и то под корнем получилось отрицательное число, т.е. резонансной частоты не существует для данных параметров

4. Если или то подкоренное число положительное, тогда получаем единственную резонансную частоту 

Частотные характеристики параллельного колебательного контура

Для простоты рассмотрим идеальный контур, то есть контур без потерь (рис. 2.26).

Рис. 2.26. Параллельный колебательный контур

На рис. 2.27 построены частотные характеристики реактивных проводимостей и а также суммарной проводимости цепи

Рис. 2.27. Частотные характеристики параллельного колебательного контура

При этом имеем:

При изменении частоты от нуля до бесконечности параллельный колебательный контур имеет индуктивный характер до резонансной частоты и ёмкостный характер в послерезонансном диапазоне частот.

Ток в неразветвленной части цепи:

График тока (рис. 2.28), изображенный сплошной линией, говорит о том, что при резонансе общий ток, потребляемый цепью, равен нулю, несмотря на наличие токов в ветвях, что, в свою очередь, подтверждается векторной диаграммой (рис. 2.29).

Рис. 2.28. График зависимости тока в неразветвленной части цепи от частоты

Рис. 2.29. Векторная диаграмма для резонансного режима идеального параллельного контура

При учете сколь угодно малого активного сопротивления цепи ток при резонансе не равен нулю. Пунктирная кривая изображает реальный ток в цепи.

Мощность в цепи синусоидального тока

Рассчитаем мощность произвольного приемника, представленного на рис. 2.30 в виде пассивного двухполюсника

Рис. 2.30. Пассивный двухполюсник

Пусть подводимое напряжение, — ток двухполюсника,

Тогда мгновенная мощность, потребляемая двухполюсником будет:

Построим график полученной функции (рис. 2.31).

Рис. 2.31. Зависимость мгновенных значений тока, напряжения и мощности пассивного двухполюсника

Полученный график говорит о том, что функция мгновенной мощности знакопеременна, причем амплитуда положительной полуволны больше амплитуды отрицательной полуволны. Это значит, что двухполюсник имеет активно-реактивный характер. Если бы двухполюсник не содержал реактивных элементов, то график полностью бы лежал над осью Найдем среднее значение мгновенной мощности за период:

Эта мощность называется активной мощностью. Наряду с активной вводится понятие полной мощности:

Единица измерения полной мощности — вольт-ампер 

Коэффициент мощности:

Разность полной и активной мощности, обусловленная наличием реактивных (индуктивных и емкостных) элементов, называется реактивной мощностью:

Единица измерения реактивной мощности — вольт-ампер реактивный [вар]. Мощности связаны между собой соотношением:

Треугольник мощностей (рис. 2.32.а) можно получить из векторной диаграммы напряжений (см. рис. 2.14), умножив все стороны треугольника напряжений на вектор тока 

В этом треугольнике:

сторона 

сторона 

сторона 

Рис. 2.32. Треугольники мощностей на основе векторной диаграммы напряжений (а) и векторной диаграммы токов (b)

Аналогичный треугольник мощностей по рис. 2.32. b можно получить из векторной диаграммы токов (рис. 2.22), умножив все стороны треугольника токов на вектор 

сторона

сторона

сторона 

Выражение мощности в комплексной форме

Пусть на входе некоторого двухполюсника известны комплексные изображения напряжения и тока:

Мощность в комплексной форме выражается в виде произведения:

где — сопряженный комплекс тока

При умножении комплекса напряжения на сопряженный комплекс тока аргумент мощности получится равным

Передача энергии от активного двухполюсника к пассивному

При работе любой электрической цепи должен иметь место баланс мощностей, т.е. алгебраические суммы активных и реактивных мощностей, развиваемых генераторами, должны равняться алгебраическим суммам активных и реактивных мощностей, потребляемых во всех пассивных элементах цепи, включая и внутренние сопротивления генераторов.

Полная мощность, развиваемая генератором:

Полная мощность, потребляемая любым приемником:

Тогда уравнение баланса мощностей:

где и — соответственно внутренние активные и реактивные сопротивления генераторов.

Пусть в электрической цепи работает один источник энергии. Оценим условия, при которых в нагрузке будет выделяться максимальная мощность. Ток в цепи:

Реактивное сопротивление цепи должно равняться нулю:

т.е. цепь должна работать в резонансном режиме, и, следовательно, и должны быть равными по величине и противоположными по характеру (индуктивное и емкостное сопротивления). В итоге имеем:

Найдем соотношение между сопротивлениями  и Для этого определим мощность приемника:

и, полагая, что сопротивление нагрузки переменно, исследуем функцию на экстремум:

Откуда:

Следовательно, для получения максимальной мощности в нагрузке необходимо, чтобы:

т.е., сопротивления генератора и нагрузки должны быть комплексно сопряженными величинами. Режим работы цепи при этом условии называется согласованным режимом. КПД источника при этом условии:

При столь низком КПД согласованный режим работы используется только в слаботочных цепях, таких, например, как телефонные линии связи, линии автоматики и управления и т.д., где важна величина полезного сигнала по сравнению с помехами.

Коэффициент мощности

Наибольшие действующие значения напряжения и тока, допускаемые для генераторов и трансформаторов, производящих и, соответственно, преобразующих электрическую энергию, зависят от их конструкции, а наибольшая мощность, которую они могут развивать, не подвергаясь опасности быть поврежденными, определяется произведением этих значений. Поэтому рациональное использование электрических машин и трансформаторов может быть достигнуто лишь в том случае, когда приёмники электрической энергии обладают высоким коэффициентом мощности

Подавляющее большинство потребителей энергии носит активноиндуктивный характер, т.е. т.к. наиболее широко используемые асинхронные двигатели потребляют из сети реактивный (индуктивный) ток для создания магнитного поля в машине.

Для улучшения (увеличения)  группы приемников параллельно им включают конденсаторы. Покажем, как рассчитать емкость, необходимую для повышения до некоторой необходимой величины.

Пусть суммарная активная мощность приемников:

При увеличении  и неизменном напряжении сети:

Следовательно,

Проиллюстрируем расчет необходимой величины емкости для повышения коэффициента мощности до значения  помощью векторной диаграммы, представленной на рис. 2.33.

Рис. 2.33. Векторная диаграмма, иллюстрирующая повышение коэффициента мощности

Рассчитаем необходимый емкостный ток по выражению:

отсюда:

Такую же роль, как конденсаторы, могут играть синхронные двигатели, работающие в «перевозбужденном» режиме. Они при этом потребляют из сети ток, реактивная составляющая которого носит емкостной характер.

Электрическая цепь однофазного синусоидального тока

Синусоидальные электрические величины:

Электромагнитный процесс в электрической цепи, при котором мгновенные значения напряжений и токов повторяются через равные промежутки времени, называется периодическим. Наименьшее время, по истечении которого мгновенные значения периодической величины повторяются, называется периодом. Если величину, являющуюся периодической функцией времени t, обозначить через F (t), то для любого положительного или отрицательного значения аргумента t справедливо равенство

где Т — период.

Геометрически это значит, что ординаты двух произвольных точек графика F (t) с абсциссами, различающимися на Т, одинаковы.

Величина, обратная периоду, т. е. число периодов в единицу времени, называется частотой:

Единицей измерения частоты служит герц (Гц); частота равна 1 Гц, если период равен 1 с.

Преобладающим видом периодического процесса в электрических цепях является синусоидальный режим, характеризующийся тем, что все напряжения и токи являются синусоидальными функциями одинаковой частоты. Это возможно только при заданных синусоидальных э. д. с. и токах источников. Тем самым обеспечивается наиболее выгодный эксплуатационный режим работы электрических установок.

Как известно из курса математического анализа, синусоида является простейшей периодической функцией; всякие другие несинусоидальные периодические функции могут быть разложены в бесконечный ряд синусоид, имеющих кратные частоты. Поэтому для исследования процессов в цепях переменного тока в первую очередь необходимо изучить особенности цепей синусоидального тока.

На рис. 2-1 изображена синусоидальная функция

здесь — максимальное значение, или амплитуда; — скорость изменения аргумента (угла), называемая угловой частотой; она равна произведению частоты на и измеряется в радианах в секунду (рад/с),

— начальная фаза, определяемая смещением синусоиды относительно начала координат; она измеряется абсциссой точки перехода отрицательной полуволны в положительную.

Начальная фаза представляет собой алгебраическую величину. Угол положителен и отсчитывается вправо, к точке t=0, когда синусоидальная функция смещена влево относительно начала координат (рис. 2-1).

Косинусоида может рассматриваться как синусоида с начальной фазой Если функция задана-в косинусоидальной форме , то она может быть приведена к виду (2-1) путем замены . Поэтому к синусоидальным функциям (2-1) в общем еду чае причисляются и косинусоидальные функции.

За аргумент функции (2-1) может быть принято время t или соответственно угол . Аргументу t соответствует период Т, а аргументу — период Следует иметь в виду, что аргумент выражается в радианах, причем в тех же единицах выражается и начальная фаза.

Если угол вычисляется в градусах, то аргумент также переводится в градусы ; в этом случае период составляет 360°.

Величина определяющая стадию изменения синусоидальной величины (2-1), называется фазовым углом или фазой. С течением времени фаза возрастает, причем после увеличения фазы на цикл изменения синусоидальной величины повторяется.

Рассмотренные в данном параграфе понятия, характеризующие синусоидальные электрические величины, являются исходными при изучении электрических процессов в цепях переменного тока.

Генерирование синусоидальной э. д. с.

Наиболее распространенным в промышленности способом получения синусоидального тока является применение электромагнитных машин, так называемых синхронных генераторов, приводимых во вращение тепловыми, газовыми, гидравлическими или другими двигателями.

Генератор переменного тока состоит из двух частей — неподвижного статора и вращающегося ротора.

¹ Напомним, что 1 рад = 57,3°.

На одном из них (чаще на роторе) располагаются полюсы, т. е. электромагниты, обмотка которых питается от источника постоянного напряжения, или постоянные магниты. На другом (обычно на статоре) располагается главная обмотка, в которой наводится переменная э. д. с.

Генератор может иметь одну или несколько пар полюсов. На рис. 2-2, а упрощенно показан явнополюсный генератор с двумя парами полюсов, размещенных на роторе. Указанному на рис. 2-2, а положению ротора относительно статора соответствует на рис. 2-2, б развернутая на плоскость схема расположения обмотки и полюсов.

В каждом проводе обмотки, находящемся в пазу статора, при вращении ротора наводится по закону Фарадея

Рис. 2-2, Принцип устройства синхронного генератора,
э. д. с. где В — магнитная индукция поля под проводом; l — длина провода; v — линейная скорость перемещения магнитного поля. В Международной системе В измеряется в теслах (Т), т. е. Вб/

При постоянных значениях закон изменения э. д. с. е (t) определяется законом распределения магнитной индукции В в воздушном зазоре машины. Благодаря специальной форме полюсных наконечников распределение магнитной индукции делается приблизительно синусоидальным ‘вдоль всей окружности зазора между ротором и статором; магнитная индукция максимальна против середин и постепенно убывает к краям полюсных наконечников.

В момент времени, которому соответствует указанное на рис. 2-2 положение ротора, магнитная индукция под проводом равна нулю и поэтому э. д. с. е также равна нулю.

После поворота ротора на одну восьмую часть полного оборота (половина полюсного шага) э. д. с. достигнет максимума и будет направлена от вывода 1 к выводу 2 (по правилу правой руки) Когда ротор повернется еще на половину полюсного шага, э. д. с. вновь обратится в нуль. При последующем вращении ротора еще на одну восьмую часть оборота э. д. с. достигнет максимума, но будет противоположно направлена — от вывода 2 к выводу 1 и т. д. Таким образом, на выводах генератора возникнет практически синусоидальная э. д. с.

При числе пар полюсов р и числе оборотов ротора в минуту п частота наводимой переменной э. д. с. в герцах равна:

В энергосистемах СССР и большинства других стран частота промышленного тока равна 50 Гц. В США принята частота 60 Гц.

В авиации с целью уменьшения массы оборудования применяются машины с повышенной частотой вращения. Частота / при этом получается повышенной (400 Гц). Например, генератор, имеющий р = 2 и n = 12 000 об/мин, генерирует синусоидальную э. д. с. с частотой

При большой окружной скорости > 50 м/с) крепление полюсов затруднено и для обеспечения механической прочности применяются неявнополюсные машины, у которых обмотка возбуждения укладывается в пазы цилиндрического ротора неравномерно, так чтобы форма поля была по возможности синусоидальной.

Проводная связь использует частоты порядка Гц, а радиотехника — еще более высокие частоты. Генерирование токов высокой частоты осуществляется с помощью электронных или полупроводниковых устройств.

На рис. 2-3 в виде примера показана одна из схем электронного генератора высокой частоты. Анод трехэлектродной лампы (триода) присоединен через контур LC к положительному полюсу источника постоянного напряжения, например аккумуляторной батареи. В контуpe LC, называемом резонансным, возникают незатухающие синусоидальные колебания тока, частота которых зависит от выбора параметров L и С. 
Эго правило заключается в следующем: если вектор магнитной индукции входит в ладонь, а отогнутый большой палец показывает направление движения проводника относительно поля, то остальные четыре пальца указывают направление наводимой э. д. с.

Аналогично по правилу левой руки большой палец указывает направление силы, действующей на проводник с током.

 Электрическая энергия, необходимая для поддержания этих колебаний, поступает от аккумуляторной батареи.

Работа электронных генераторов здесь не рассматривается. Процессам, происходящим в резонансных цепях5. Принцип действия электронных генераторов разобран во второй части курса. Приведенная выше схема электронного генератора предназначена для получения синусоидальных колебаний высокой частоты.

Начало практического внедрения переменного тока относится ко втррой половине XIX в., когда выдающийся русский электротехник Павел Николаевич Яблочков (1847—1894) стал применять на практике изобретенные им электрические свечи.

Среднее и действующее значения функции

Среднее значение периодической функции f (t) за период Т определяется по формуле

Отсюда видно, что среднее значение за период равно высоте прямоугольника с основанием Т, площадь которого равна площади, ограниченной функцией f (t) и осью абсцисс за один период.

В случае синусоидальной функции среднее значение за период равно нулю, так как площадь положительной полуволны компенсируется площадью отрицательной полуволны синусоиды. Поэтому здесь пользуются понятием среднего значения функции, взятой по абсолютному значению или, что то же, среднегополупериодного значения, соответствующего положительной полуволне синусоиды (рис. 2-4).
 

В соответствии с этим среднее значение синусоидального тока с амплитудой А — будет:

Аналогично среднее значение синусоидального напряжения

Измерительные приборы магнитоэлектрической системы реагируют на средние значения за период. Для измерения среднего полупериодного значения, соответствующего положительной полуволне, синусоидальный ток предварительно пропускается через выпрямительное устройство.

Тепловое действие тока, а также механическая сила взаимодействия двух проводников, по которым проходит один и тот же ток, пропорциональны квадрату тока. Поэтому о величине тока судят обычно по так называемому действующему (среднеквадратичному) значению за период.

Действующее значение периодической функции вычисляется по формуле

Из этой формулы следует, что величина F2 представляет собой.среднее значение функции за период Т, т. е. равна высоте прямоугольника с основанием Т, площадь которого равна площади, ограниченной функцией и осью абсцисс за один период (рис. 2-5).
Этим термином заменен применявшийся ранее в литературе и
ныне не рекомендуемый термин «эффективное» значение,

В соответствии с (2-7) действующий периодический ток

Возведя (2-8) в квадрат и умножив обе части полученного выражения на rТ, найдем:

Это равенство показывает, что действующий периодический ток равен такому постоянному току, который, проходя через неизменное сопротивление r, за период времени Т выделяет то же количество тепла, что и данный ток i.

Аналогично действующее периодическое напряжение

При синусоидальном токе

Следовательно, согласно (2-8)

Аналогично действующее синусоидальное напряжение

Номинальные токи и напряжения электротехнических устройств определяются, как правило, действующими значениями; поэтому действующие значения представляют наиболее распространенный электрический параметр.

Для измерения действующих значений применяются системы приборов тепловая, электромагнитная, электродинамическая и др.
 

Синусоидальный ток в сопротивлении

Если синусоидальное напряжение подвести к сопротивлению r (рис. 2-6, й), то через сопротивление пройдет синусоидальный ток

Следовательно, напряжение на выводах сопротивления и ток, проходящий через это сопротивление, имеют

одинаковую начальную фазу, или, как говорят, совпадают по фазе:    они

одновременно достигают своих амплитудных значений и и соответственно одновременно проходят через нуль (рис. 2-6, б).

Разность начальных фаз двух синусоид, имеющих одинаковую частоту, называется фазовым сдвигом. В данном случае фазовый сдвиг между напряжением и и током i равен нулю:

При прохождении синусоидального тока через сопротивление г не только мгновенные напряжения на сопротивлении и тока в нем, но и амплитуды и соответственно действующие напряжение и ток связаны законом Ома:

Пользуясь величиной проводимости получаем:

Мгновенная мощность, поступающая в сопротивление:

изменяется с угловой частотой, удвоенной по сравнению с частотой напряжения и тока, и колеблется в пределах от 0 до 2UI (рис. 2-7).

Как видно из (2-10), кривая состоит из двух слагающих: постоянной слагающей UI и косинусоидальной функции, имеющей амплитуду UI и угловую частоту

Ввиду того что в рассматриваемом случае напряжение и ток совпадают по фазе, т. е. всегда имеют одинаковый знак (плюс или минус), их произведение всегда положительно.

Среднее значение мощности за период Р  называется активной мощностью и измеряется в ваттах.

В рассматриваемом случае, как это видно из

выражения (2-10) и рис. 2-7, активная мощность Р Это следует также из определений, данных в предыдущем параграфе.

Сопротивление r в свою очередь может быть определено как отношение активной мощности к квадрату действующего значения тока:

Отмечалось, что сопротивление проводника при переменном токе больше, чем при постоянном токе, вследствие явлений поверхностного эффекта, возникновения вихревых токов и излучения электромагнитной энергии в пространство (при высоких частотах). В отличие от сопротивления при постоянном токе сопротивление проводника при переменном токе называется активным сопротивлением.
 

Синусоидальный ток в индуктивности

Пусть через индуктивность L (рис. 2-8, а) проходит ток

Электродвижущая сила самоиндукции определяется по формуле (1-3):

Значит, напряжение на индуктивности

Полученное выражение показывает, что напряжение на индуктивности опережает ток на угол, максимум напряжения смещен влево относительно максимума тока на (рис. 2-8, б), когда ток проходит через нуль, напряжение достигает положительного или отрицательного максимума, так как оно пропорционально скорости изменения тока которая в момент прохождения тока через нуль максимальна (синусоида тока в этот момент имеет наибольшую крутизну). Когда ток достигает максимума, скорость его изменения, а следовательно, и напряжение на индуктивности обращаются в нуль.

Под фазовым сдвигом тока относительно напряжения понимается разность начальных фаз напряжения и тока. Следовательно, в данном случае

Амплитуды, так же как и действующие значения напряжения и тока, связаны соотношением, подобным закону Ома:

Величина имеющая размерность сопротивления, называется индуктивным сопротивление м; обратная ей величина называется и н-дуктивной проводимостью.

Индуктивное сопротивление представляет собой расчетную величину, с помощью которой учитывается явление самоиндукции.

Мгновенная мощность, поступающая в индуктивность, будет:

Она колеблется по синусоидальному закону с угловой частотой имея амплитуду UI. Мгновенная мощность в данном случае равна скорости изменения энергии магнитного поля индуктивности.

Энергия магнитного поля индуктивности

изменяется периодически с угловой частотой в преде(рис. 2-9).

Поступая от источника, энергия временно запасается в магнитном поле индуктивности, затем возвращается в источник при исчезновении магнитного поля. Энергия магнитного поля достигает максимума в момент перехода тока в индуктивности через амплитудное значение, затем она убывает и обращается в нуль при токе, равном нулю.

Таким образом, происходит колебание энергии между источником и индуктивностью, причем активная мощность, поступающая в индуктивность, равна нулю.

Так как максимальная энергия, запасаемая в магнитном поле, равна то индуктивное сопротивление может быть определено как

 

Синусоидальный ток в емкости

Пусть напряжение на емкости С (рис. 2-10, а) синусоидально:

На основании (1-8)

Изменение электрического заряда происходит по синусоидальному закону в соответствии с приложенным напряжением u. При этом попеременное накапливание положительных и отрицательных электрических зарядов на пластинах емкости обусловливает прохождение в цепи синусоидального тока i. Он определяется скоростью изменения заряда на емкости

Выражение (2-11) показывает, что ток i опережает приложенное напряжение и на угол (рис. 2-10, б). Нулевым значениям тока соответствуют максимальные (положительные или отрицательные) значения напряжения u. Физически это объясняется тем, что когда электрический заряд q и соответственно напряжение и — q/C достигают максимального значения (положительного или отрицательного), ток i равен нулю.

Под фазовым сдвигом тока относительно напряжения здесь, как и раньше, подразумевается разность начальных фаз напряжения и тока, т. е.

Таким образом, в отличие от цепи с индуктивностью, где фазовый сдвиг тока относительно напряжения в случае емкости отрицателен

Амплитуды и соответственно действующие напряжение и ток связаны соотношением, подобным закону Ома

Величина имеющая размерность сопротивления, называется емкостным сопротивлением. Обратная ей величина называется емкостной проводимостью. Следовательно,

Следует заметить, что только в случае сопротивления г закон Ома применим к мгновенным значениям напряжения и тока; в остальных случаях отношение мгновенных величин u и i, имеющее размерность сопротивления, представляет собой некоторую функцию времени, не имеющую физического смысла и практического применения.

Мгновенная мощность, поступающая в емкость,

колеблется синусоидально с угловой частотой имея амплитуду, равную UP, выражение в рассматриваемом случае аналогично выражению для в 

Мгновенная мощность, поступающая в емкость, равна скорости изменения энергии электрического поля емкости.

Энергия электрического поля емкости

изменяется периодически с угловой частотой в пределах от 0 до (рис. 2-11).

Поступая от источника, энергия временно запасается в электрическом поле емкости, а затем возвращается в источник при исчезновении электрического поля. Энергия электрического поля достигает максимума при амплитудном значении напряжения на емкости. Затем она убывает и обращается в нуль при напряжении, равном нулю.

Таким образом, так же как в случае индуктивности, происходит колебание энергии между источником и емкостью, причем активная мощность Р = 0.

Так как максимальная энергия, запасаемая в электрическом поле, равна Немане то емкостное сопротивление может быть определено как

Последовательное соединение

При прохождении синусоидального тока через электрическую цепь, состоящую из последовательно соединенных элементов г, L и С (рис. 2-12), на выводах этой цепи создается синусоидальное напряжение, равное алгебраической сумме синусоидальных напряжений на
отдельных элементах (второй закон Кирхгофа):

Напряжение на сопротивлении r совпадает

по фазе с током i, напряжение на индуктивности L опережает, а напряжение на емкости С отстает по фазе от (рис. 2-13). Следовательно, напряжение и на выводах всей цепи равно:

Уравнение (2-12) представляет собой тригонометрическую форму записи второго закона Кирхгофа для мгновенных напряжений. Входящая в него величина х =

 называется реактивным сопротивлением цепи, которое в зависимости от знака может иметь индуктивный (х > 0) или емкостный (х<0) характер.

В отличие от реактивного сопротивления х активное сопротивление r всегда положительно.

Для нахождения воспользуемся тригонометрическими соотношениями:

Выражение (2-14) показывает, что амплитуда и действующее напряжение на цепи и ток, проходящий через данную цепь, связаны соотношением, аналогичным закону Ома:

где        

называется полным сопротивлением1 рассматриваемой цепи.

Активное, реактивное и полное сопротивления, относятся к числу основных понятий, применяемых в теории электрических цепей.

Выражения (2-12) и (2-15) показывают, что ток i отстает от напряжения и на угол

Если задано напряжение на выводах цепи с последовательно соединенными г, L и С, то ток определяется по формуле

Угол ф, равный разности начальных фаз напряжения и тока, отсчитывается по оси в направлении от напряжения к току и бывает острым или прямым

Угол положителен при индуктивном характере цепи, т. е. при х > 0; при этом ток отстает по фазе от напряжения и ф отсчитывается по оси абсцисс вправо от напряжения к току (рис. 2-14).

Этим термином заменен применявшийся ранее в литературе и ныне не рекомендуемый термин «кажущееся» сопротивление.

Угол ф отрицателен при емкостном характере цепи, т. е. при х < 0; при этом ток опережает по фазе напряжение и <р отсчитывается по оси абсцисс влево от напряжения к току (рис. 2-15).

Итак, следует всегда помнить, что угол ф положителен при отстающем и отрицателен при опережающем токе.

Ток совпадает с напряжением по фазе при т. е. при равенстве индуктивного и емкостного сопротивлений. Такой режим работы электрической цепи называется резонансом напряжений.

Из выражений (2-15) и (2-16) следует, что активное и реактивное сопротивления цепи связаны с полным сопротивлением формулами:

Умножив правые и левые части выражений (2-17) на действующий ток /, получим действующие напряжения на активном и реактивном сопротивлениях, называемые активной и реактивной составляющими напряжения:

Мгновенные значения напряжений на активном и реактивном сопротивлениях, суммирующиеся алгебраически в соответствии с (2-12), имеют фазовый сдвиг Поэтому непосредственное сложение действующих активного и реактивного напряжений не дает действующего напряжения всей цепи: согласно (2-18) активная и реактивная составляющие напряжения связаны с действующим суммарным напряжением формулой

Для характеристики индуктивных катушек, представляемых цепью с последовательным соединением элементов r и L, пользуются понятием добротности катушкикоторое равнозначно тангенсу угла сдвига фаз для катушки. Чем меньше сопротивление r, тем выше при прочих равных условиях добротность катушки.

Добротность индуктивных катушек, применяемых в радиотехнике, автоматике и- приборостроении, обычно не превышает Для достижения более высокой добротности применяются так называемые пьезоэлектрические резонаторы.
 

Параллельное соединение

Если к выводам электрической цепи, состоящей из параллельно соединенных элементов r, L и С (рис. 2-16),
приложено синусоидальное напряжение то синусоидальный ток, проходящий через эту цепь,

равен алгебраической сумме синусоидальных токов в параллельных ветвях (первый закон Кирхгофа):

Ток в сопротивлении r совпадает по фазе с напряжением u, ток в индуктивности L отстает, а ток в емкости С опережает напряжение на (рис. 2-17).

могут рассматриваться как катеты прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна U: подобный прямоугольный треугольник образуют также величины r, х и z.

Следовательно, суммарный ток I в цепи равен:

Уравнение (2-19) представляет собой тригонометрическую форму записи первого закона Кирхгофа для мгновенных токов. Входящая в него величинаназывается реактивной проводи-

мостью цепи, которая в зависимости от знака может иметь индуктивный (b > 0) или емкостный (b < 0) характер. В отличие от реактивной проводимости b величинакоторая в данном случае называется активной проводимостью, всегда положительна.

Для нахождения воспользуемся соотношениями (2-13):        

)

Из (2-20) следует, что

где

— полнаяпроводимостьрассматриваемой цепи.

Активная, реактивная и полная проводимости относятся к числу основных понятий, применяемых в теории электрических цепей.

Согласно (2-21) ток i отстает от напряжения и на угол

Если задано напряжение на выводах цепи с параллельно соединенными r, L и С, то ток определяется по формуле

Этим термином заменен применявшийся ранее в литературе и ныне не рекомендуемый термин «кажущаяся» проводимость,

Угол как и в предыдущем случае, отсчитывается по оси углов в направлении от напряжения к току и является острым или прямым

Угол положителен при индуктивном характере цепи, т. е. при b > 0; при этом ток отстает по фазе от напряжения.

Угол отрицателен при емкостном характере цепи, т. е. при b < 0; при этом ток опережает по фазе напряжение.

Ток совпадает с напряжением по фазе при

— т. е. при равенстве индуктивной и емкостной проводимостей. Такой режим работы электрической цепи называется резонансом токов.

Из (2-21) и (2-22) следует, что активная и реактивная проводимости цепи связаны с полной проводимостью формулами:

Умножив правые и левые части выражений (2-23) на действующее значение напряжения U, получим действующие токи в ветвях с активной и реактивной проводимостями, называемые активной и реактивной составляющими тока:

Активная и реактивная составляющие тока связаны с действующим значением суммарного тока формулой

Для характеристики конденсаторов, представляемых цепью с параллельным соединением элементов r и С, применяется понятие добротности конденсатора , которое равнозначно тангенсу углаконденсатора. Обратная величина называется тангенсом угла диэлектрических потерь конденсатора:(угол диэлектрических потерь дополняет уголдо 90°).

могут рассматриваться как катеты прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна подобный прямоугольный треугольник образует также величины g, b и у.

Чем больше сопротивление r, тем больше (при прочих равных условиях) добротность конденсатора и тем меньше угол потерь.

Добротность конденсаторов, применяемых в радиотехнике, автоматике и приборостроении, определяется сотнями и тысячами для разных частот и диэлектриков колеблется в пределах от

Мощность в цепи синусоидального тока

Рассматривались энергетические соотношения в отдельных элементах r, L и С при синусоидальном токе.

Разберем теперь более общий случай участка электрической цепи, напряжение на котором равно u а ток

Мгновенная мощность, поступающая в цепь,

состоит из двух слагающих: постоянной величины UI cos и синусоидальной, имеющей удвоенную частоту по сравнению с частотой напряжения и тока.

Среднее значение второй слагающей за время Т, в течение которого она совершает .два цикла изменений, равно нулю. Поэтому активная мощность, поступающая в рассматриваемый участок цепи,

Множитель cos ф носит название коэффициента мощности. Как видно из (2-26), активная мощность равна произведению действующих значений напряжения и тока, умноженному на коэффициент мощности.

Чем ближе угол к нулю, тем ближе cos к единице и, следовательно, тем большая при заданных значениях U и I активная мощность передается источником приемнику.

Повышение коэффициента мощности промышленных электроустановок представляет важную технико-экономическую задачу.

Выражение активной мощности может быть преобразовано с учетом (2-17) и (2-23):

Активная мощность может быть также выражена через активную составляющую напряженияили тока

Приведенные общие выражения мгновенной и активной мощности применимы и к частным случаям, разобранным выше, когда = О , и  мы не будем здесь повторять полученных ранее результатов.

Рассмотрим более общий случай активно-реактивной цепи, например цепи, содержащей сопротивление и индуктивность; при этом

Согласно (2-25) мгновенная мощность колеблется с удвоенной угловой частотой относительно линии, отстоящей от оси времени на (рис. 2-18).

В промежутки времени, когда u и i имеют одинаковые знаки, мгновенная мощность положительна; энергия поступает от источника в приемник, поглощается в сопротивлении и запасается в магнитном поле индуктивности.

В промежутки временн, когда u и i имеют разные знаки, мгновенная мощность отрицательна и энергия частично возвращается приемником источнику. Как видно из рис. 2-18, в течение большей части периода мгновенная мощность положительна и соответственно положительная (расположенная над осью времени) площадь кривой р преобладает над отрицательной площадью кривой р. В результате средняя мощность за период, т. е. активная , мощность, Р > 0.

Аналогичная картина получается и в случае активноемкостной цепи

В электрических системах, в которых источниками электрической энергии являются генераторы переменного тока, мощность получается от первичных двигателей, приводящих генераторы во вращение. В радиотехнике и электронике, где синусоидальные колебания создаются с помощью электронных или полупроводниковых приборов, мощность получается от источников постоянного тока, питающих электронные генераторы или другого рода устройства.

Величина, равная произведению действующих тока и напряжения на цепи:

называется полной мощностью цепи и измеряется в вольт-амперах (ва). Следует заметить, что амплитуда синусоидальной составляющей мгновенной мощности (2-25) численно равна полной мощности.

На основании (2-26) и (2-27) коэффициент мощности равен отношению активной мощности к полной:

При расчетах электрических цепей и на практике в эксплуатации пользуются также понятием реактивная мощность, которая вычисляется по формуле

и является мерой потребления (или выработки) реактивного тока.

Эта мощность выражается в единицах, называемых вар.

Очевидно,

Выражение реактивной мощности может быть преобразовано с учетом (2-17) и (2-23):

Реактивная мощность может быть также выражена через реактивную составляющую тока или напряжения

¹ Терминами «активная», «реактивная» и «полная» мощности заменены применявшиеся ранее в литературе и ныне не рекомендуемые термины «ваттная», «безваттная» и «кажущаяся» мощности.

В соответствии с принятым ранее правилом знаков для угла реактивная мощность положительна при отстающем токе (индуктивная нагрузка) и отрицательна при опережающем токе (емкостная нагрузка).

Понятия активная (средняя), реактивная и полная мощности являются удобными определениями мощностей, которые прочно укоренились на практике.

Реактивные мощности, подводимые к индуктивности и емкости, могут быть представлены в следующем виде:

где — максимальные значения энергии, периодически запасаемой индуктивностью и емкостью.

Реактивная мощность цепи, содержащей индуктивность и емкость, пропорциональна разности максимальных значений энергии, запасаемой в магнитном и электрическом полях:

Предлагается читателям проверить и самостоятельно убедиться в том, что эта формула справедлива при любом соединении индуктивности и емкости: последовательном, параллельном или в какой-либо комбинации с сопротивлениями.