Как найти мгновенную скорость прямолинейного неравномерного движения

Ранее мы рассматривали
равномерное прямолинейное движение. Строго говоря, такое движение — это
идеализированный пример. На самом деле тела двигаются неравномерно. Например,
автомобиль едет чуть быстрее или чуть медленнее в определённые промежутки
времени.

Да и траектория его
никогда не является прямой на достаточно длинных участках.

Существует также
колебательное движение, примером которого может являться движение маятника.
Кроме того, как вы знаете, тело, находящееся в свободном падении, двигается с
ускорением. Наконец, тело, двигающееся по кривой, обладает центростремительным
ускорением. Все эти примеры являются примерами неравномерного движения. Неравномерным
движением называется такое движение, при котором расстояния, пройденные за одинаковые промежутки времени, не равны.

Именно, с неравномерным
движением связано понятие мгновенной скорости. Чтобы понять, что такое
мгновенная скорость, рассмотрим простой пример. На рисунке вы видите траекторию,
по которой перемещается точка.

Отметим три случайных
положения этой точки на траектории. Тогда мы можем найти три разных вектора
перемещения: ,
 и
.
Соответственно, эти перемещения были совершены за промежутки времени
, и
.
Тогда мы можем посчитать средние скорости на этих участках:

 Очевидно, что эти
скорости будут неравны. Но по мере уменьшения промежутка времени, средние
скорости всё меньше и меньше будут отличаться друг от друга. В конце концов,
если мы возьмём бесконечно малый промежуток времени, выражение

будет стремиться к
определённому значению. То есть, это скорость в данный момент времени или,
точнее сказать, мгновенная скорость.

Заметим, что какой бы
сложной ни была траектория движения, если мы возьмём бесконечно малый
промежуток времени, то на нём перемещение будет казаться прямолинейным. В этом
случае, мы можем подсчитать скорость по формуле для прямолинейного движения. Но
в каждое последующее мгновение, скорость будет меняться. Именно поэтому, она и
называется мгновенной скоростью.

Мгновенная скорость — это
величина, равная отношению перемещения к промежутку времени, в течение которого
это перемещение произошло.

Мгновенная скорость
направлена по касательной к траектории. Например, если вы едете в машине и
наехали на кочку, то вас подбрасывает вверх. Почему? Потому что в тот миг,
когда машина переезжает через кочку, мгновенная скорость направлена вверх. Но в
следующее же мгновение, она направлена вниз, а еще
через мгновение, скорость снова направлена также, как и была направлена до
кочки.

Рассмотрим конкретный пример.
Вы видите график зависимости положения материальной точки от времени при
равноускоренном движении.

График представляет собой
параболу. Очевидно, что в каждой точке скорость разная. Если мы рассчитаем
среднюю скорость в период от 2 до 5 секунд, то она будет равна 7 м/с.
Рассмотрим теперь промежуток времени от 4 до 5 секунд. В этом случае, средняя
скорость будет равна 9 м/с. Рассмотрим теперь участок от 4,796 секунд до 5
секунд. Этот промежуток времени довольно мал, поэтому если мы достаточно
приблизим график, то траектория будет казаться почти прямой. Средняя скорость
на этом участке равна 9,8 м/с.

Как видите, с уменьшением
интервала времени, средняя скорость стремится к какому-то определённому
значению. То есть, к значению мгновенной скорости в момент времени t = 5 с, которое в нашем случае равно
10 м/с. Если мы подсчитаем среднюю скорость на временном интервале, равным 0,01
с, то убедимся, что средняя скорость почти равна 10 м/с.

Заметим, что во всех
упомянутых примерах мы рассматривали среднюю скорость перемещения.
Существует также, такое понятие, как средняя путевая скорость. Именно
путевая скорость чаще всего используется для описания движения.

Средняя путевая скорость
определяется отношением пройденного пути к промежутку
времени, за который этот путь пройден:

Мы уже говорили, что пройденный путь всегда больше либо равен модулю
перемещения. Из этого можно сделать вывод, что средняя путевая скорость
больше либо равна модулю средней скорости перемещения:

Прямолинейное неравномерное движение в физике — формулы и определения с примерами

Прямолинейное неравномерное движение в физике — формулы и определения с примерами

Содержание:

Прямолинейное неравномерное движение, ускорение:

На практике прямолинейное равномерное движение наблюдается очень редко. Скорость движущегося автомобиля, поезда, самолета, частей механизма и т.д. может изменяться и по величине, и по направлению.

Прямолинейное движение, при котором за равные промежутки времени материальная точка совершает разные перемещения, называют прямолинейным неравномерным движением.

При таком движении числовое значение скорости не остается неизменным, поэтому для описания неравномерного движения пользуются понятиями средней и мгновенной скорости.

Средняя скорость

Средняя скорость неравномерно движущейся материальной точки на данном участке траектории равна отношению ее перемещения на этом участке ко времени совершения этого перемещения:

Средняя путевая скорость материальной точки при неравномерном движении равна отношению всего пройденного пути ко времени, затраченному на прохождение этого пути:

Средняя скорость материальной точки, движущейся со скоростями на участках пути промежутки времени соответственно, вычисляется так:

Если то из уравнения (1.10) получается

Мгновенная скорость.

Скорость материальной точки в данный момент времени или в данной точке траектории называют мгновенной скоростью.

Мгновенная скорость в некоторой точке является векторной величиной и определяется как предел отношения достаточно малого перемещения на участке траектории, включающей эту точку, к малому промежутку времени затраченному на это перемещение (при условии

Где — мгновенная скорость поступательного движения материальной точки.

С течением времени мгновенная скорость может увеличиваться, уменьшаться и изменять направление. Направление мгновенной скорости в данной точке траектории совпадает с направлением касательной к траектории в этой точке (b). Проекция вектора мгновенной скорости в прямоугольной системе координат равна первой производной координаты по времени:

Ускорение

Быстрота изменения мгновенной скорости при неравномерном движении по величине и направлению характеризуется векторной физической величиной, называемой ускорением:

Ускорение — это физическая величина, равная отношению изменения скорости ко времени, за которое это изменение произошло:

Если измерение времени начинается с нуля то:

Направление ускорения совпадает с направлением вектора

Для простоты здесь и в последующем будет рассматриваться такое неравномерное прямолинейное движение материальной точки, при котором за любые равные промежутки времени происходит одинаковое изменение скорости. Такое движение называется равнопеременным движением.

Равнопеременное движение

Равнопеременное движение — это движение, при котором за любые равные промежутки времени происходит одинаковое изменение скорости. При равнопеременном движении значение и направление ускорения не меняются:

При равнопеременном движении проекция ускорения на любую ось, например ось также постоянная:

Это значит, что при равнопеременном движении график зависимости ускорения от времени представляет собой прямую линию, параллельную оси времени, — проекция ускорения на выбранную ось от времени не зависит (с).

В СИ за единицу ускорения принят — ускорение такого равнопеременного движения, при котором материальная точка за 1 секунду изменяет свою скорость на

Знаете ли вы? Ускорение—одна из наиболее значимых величин, используемых в физике и технике. Известно, что при постепенном торможении автомобиля, автобуса и поезда пассажиры не чувствуют дискомфорта, однако при резком торможении для них возникает серьезная опасность. Значит, важно не просто изменение скорости, а быстрота изменения скорости. Для контроля за изменением скорости машин и механизмов используется прибор, измеряющий ускорение — акселерометр (лат.: accelero — «ускоряю » и греч.: metreo — «измеряю «) (d).

Рекомендую подробно изучить предметы:

Физика Атомная физика Ядерная физика Квантовая физика Молекулярная физика

Ещё лекции с примерами решения и объяснением:

• Прямолинейное равноускоренное движение
• Сложение скоростей
• Ускорение в физике
• Скорость при равнопеременном движении
• Скалярные и векторные величины и действия над ними
• Проекция вектора на ось
• Путь и перемещение
• Равномерное прямолинейное движение

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Неравномерное прямолинейное движение

Средняя оценка: 4.5

Всего получено оценок: 121.

Средняя оценка: 4.5

Всего получено оценок: 121.

Наиболее простым видом движения является равномерное прямолинейное движение. Рассмотрим более сложный случай – неравномерное прямолинейное движение.

Неравномерное движение тела

При равномерном движении тело за равные промежутки времени проходит одинаковый путь. Однако в Природе такое движение встречается достаточно редко. В большинстве случаев за одинаковые интервалы времени тела проходят различный путь. Такое движение называется неравномерным.

Рис. 1. Примеры неравномерного движения.

Скорость при неравномерном движении

Если для прямолинейного равномерного движения скорость в любой точке траектории равна отношению пройденного пути ко времени его прохождения, то для неравномерного движения это не так. Скорость при неравномерном прямолинейном движении может меняться. Поэтому для такого движения поступают иначе. Используются два варианта.

Средняя скорость

Во-первых, мы можем пренебречь изменением скорости во время прохождения пути, и считать, что скорость все время была одной и той же. Такая скорость называется средней.

Для определения средней скорости необходимо найти отношение всего пути к полному времени его прохождения.

Формула средней скорости:

Рис. 2. Средняя скорость.

Допустим, автомобиль проехал первые 50 км за час, потом полтора часа стоял, а за следующие полчаса проехал 40км. Путь его состоял из двух участков. Для нахождения средней скорости найдем отношение полного значения пути к полному значению времени:

Мгновенная скорость

Среднюю скорость удобно использовать там, где внимание уделяется общему результату движения. Однако, если необходимо описание движения тела в пути, среднюю скорость использовать нельзя. В самом деле, в приведенном примере автомобиль ни разу не двигался со средней скоростью.

Можно поступить иначе. Не пренебрегать изменениями скорости в пути, а поделить путь на небольшие промежутки, и считать скорость постоянной на каждом. Для приведенного выше примера можно взять три промежутка – час, полтора часа и полчаса. Вычислив скорости на них, мы получим значения 50 км/ч, 0 км/ч, 80 км/ч.

В реальном неравномерном движении изменение скорости происходит не скачками, а плавно. Поэтому для точного описания такого движения берут как можно больше промежутков, время прохождения каждого из которых стремится к нулю.

Отношения длины малого промежутка $ΔS$ ко времени его прохождения $Δt$ дает значение, называемого мгновенной скоростью.

Формула мгновенной скорости:

$$v_<мгнов>= <ΔSover <Δt>>, при ΔS rightarrow 0,Δtrightarrow 0$$

В высшей математике доказывается, что, несмотря на то, что и $ΔS$, и $Δt$ стремятся к нулю, их отношение (мгновенная скорость) имеет вполне реальное значение.

Мгновенная скорость – величина векторная, ее направление совпадает с направлением перемещения.

Рис. 3. Мгновенная скорость.

Что мы узнали?

Для описания неравномерного прямолинейного движения используются понятия средней и мгновенной скорости. Средняя скорость используется чаще там, где важен общий результат движения, мгновенная скорость – там, где важны мелкие изменения движения.

Уравнение движения неравномерного прямолинейного движения

При неравномерном движении тело может за равные промежутки времени проходить как равные, так и разные пути.

Для описания неравномерного движения вводится понятие средней скорости .

Средняя скорость, по данному определению, величина скалярная потому, что путь и время величины скалярные.

Однако среднюю скорость можно определять и через перемещение согласно уравнению

В этом случае среднюю скорость следует считать величиной векторной потому, что она определяется через отношение векторной величины к скалярной.

Средняя скорость прохождения пути и средняя скорость перемещения – это две разные величины, которые могут характеризовать одно и то же движение.

При расчете средней скорости очень часто допускается ошибка, состоящая в том, что понятие средней скорости подменяется понятием среднего арифметического скоростей тела на разных участках движения. Чтобы показать неправомерность такой подмены рассмотрим задачу и проанализируем ее решение.

Из пункта в пункт выходит поезд. Половину всего пути поезд движется со скоростью 30 км/ч, а вторую половину пути – со скоростью 50 км/ч.

Чему равна средняя скорость движения поезда на участке ?

Движение поезда на участке и на участке равномерное. Взглянув на текст задачи, нередко сразу хочется дать ответ: υ_ср = 40 км/ч.

Да потому, что нам кажется, что для вычисления средней скорости вполне подходит формула, используемая для расчета среднего арифметического.

Давайте разберемся: можно ли использовать эту формулу и рассчитывать среднюю скорость путем нахождения полусуммы заданных скоростей.

Для этого рассмотрим несколько иную ситуацию.

Допустим, мы правы и средняя скорость действительно равна 40 км/ч.

Тогда решим другую задачу.

Из пункта в пункт выходит поезд. Половину всего времени (до точки ) он движется со скоростью 30 км/ч, а вторую половину времени – со скоростью 50 км/ч.

Чему равна средняя скорость поезда на участке ?

Как видно, тексты задач очень похожи, есть только «очень маленькая» разница.

Если в первом случае речь идет о половине пути, то во втором случае речь идет о половине времени.

Очевидно, что точка во втором случае находится несколько ближе к точке , чем в первом случае, и ожидать одинаковых ответов в первой и второй задаче, вероятно, нельзя.

Если мы, решая вторую задачу, так же дадим ответ, что средняя скорость равна полусумме скоростей на первом и втором участке, мы не можем быть уверены, что мы решили задачу правильно. Как быть?

Выход из положения следующий: дело в том, что средняя скорость не определяется через среднее арифметическое . Есть определяющее уравнение для средней скорости, согласно которому для нахождения средней скорости на некотором участке, надо весь путь, пройденный телом, поделить на все время движения:

Начинать решение задачи нужно именно с формулы, определяющей среднюю скорость, даже если нам кажется, что мы в каком-то случае можем использовать более простую формулу.

Будем двигаться от вопроса к известным величинам.

Неизвестную величину υ_ср выражаем через другие величины – ₀ и Δ₀.

Оказывается, что обе эти величины неизвестны, поэтому мы должны выразить их через другие величины. Например, в первом случае: ₀ = 2 ∙ , а Δ₀ = Δ₁ + Δ₂.

Подставим эти величины, соответственно, в числитель и знаменатель исходного уравнения.

Во втором случае мы поступаем точно так же. Нам не известен весь путь и все время. Выражаем их: и

Очевидно, что время движения на участке во втором случае и время движения на участке в первом случае различны.

В первом случае, поскольку нам неизвестны времена и мы попытаемся выразить и эти величины: а во втором случае мы выражаем и :

Подставляем выраженные величины в исходные уравнения.

Таким образом, в первой задаче имеем:

После преобразования получаем:

Во втором случае получаем а после преобразования:

Ответы, как и было предсказано, различны, но во втором случае мы получили, что средняя скорость действительно равняется полусумме скоростей.

Может возникнуть вопрос, а почему сразу нельзя воспользоваться этим уравнением и дать такой ответ?

Дело в том, что записав, что средняя скорость на участке во втором случае равна полусумме скоростей на первом и на втором участках, мы бы представили не решение задачи, а готовый ответ . Решение же, как видно, достаточно длинное, и начинается оно с определяющего уравнения. То, что мы в данном случае получили уравнение, которое хотели использовать изначально – чистая случайность.

При неравномерном движении скорость тела может непрерывно меняться. При таком движении скорость в любой последующей точке траектории будет отличаться от скорости в предыдущей точке.

Скорость тела в данный момент времени и в данной точке траектории называют мгновенной скоростью .

Чем больше промежуток времени Δ, тем средняя скорость больше отличается от мгновенной. И, наоборот, чем меньше промежуток времени, тем меньше средняя скорость отличается от интересующей нас мгновенной скорости.

Физическая величина, равная отношению достаточно малого перемещения на участке траектории (либо пройденного пути), к малому промежутку времени, в течение которого совершается это перемещение (либо проходится путь), называется мгновенной скоростью .

Определим мгновенную скорость как предел, к которому стремится средняя скорость на бесконечно малом промежутке времени :

Если речь идет о средней скорости перемещения, то мгновенная скорость является величиной векторной:

Если речь идет о средней скорости прохождения пути, то мгновенная скорость является величиной скалярной:

Часто встречаются случаи, когда при неравномерном движении скорость тела меняется за равные промежутки времени на одну и ту же величину.

Движение тела, при котором скорость тела за любые равные промежутки времени изменяется на одну и ту же величину, называется равнопеременным .

Соответственно, если скорость тела за любые равные промежутки времени не изменяется на одинаковую величину, то движение будет называться неравнопеременным .

При равнопеременном движении скорость тела может, как уменьшаться, так и увеличиваться.

Если скорость тела увеличивается, то движение называется равноускоренным, а если уменьшается – равнозамедленным.

Характеристикой равнопеременного движения служит физическая величина, называемая ускорением .

Ускорение – это векторная физическая величина, равная отношению изменения скорости тела ко времени, в течение которого это изменение произошло:

Ускорение при равнопеременном движении не зависит ни от изменения скорости, ни от времени изменения скорости.

Ускорение показывает, на сколько изменяется скорость тела за единицу времени.

Чтобы получить единицу ускорения, надо в определяющую формулу ускорения подставить единицы скорости – 1 м/с и времени – 1 с. Получаем: [] = 1 м/с 2 .

Зная ускорение тела и его начальную скорость, можно найти скорость в любой наперед заданный момент времени:

В проекции на координатную ось уравнение примет вид: υ = υ₀ + ∙ Δ.

План-конспект урока по теме «Неравномерное движение.
Мгновенная скорость»

                                                                              
Дата:                 

Тема:
«Неравномерное движение. Мгновенная скорость»

Цели:

 Образовательная: Обеспечить и сформировать осознанное усвоение знаний
о неравномерном движении и мгновенной скорости;

Развивающая:
Продолжить развитие навыков самостоятельной деятельности, навыков работы в
группах.

Воспитательная: 
Формировать познавательный интерес к новым знаниям; воспитывать дисциплину
поведения.

Тип урока: урок усвоения новых знаний

Оборудование и источники информации:

Исаченкова, Л. А. Физика : учеб. для 9 кл. учреждений общ. сред.
образования с рус. яз. обучения / Л. А. Иса­ченкова, Г. В. Пальчик, А. А.
Сокольский ; под ред. А. А. Сокольского. Минск : Народная асвета, 2015

Структура урока:

1.    
Организационный момент(5
мин)

2.    
Актуализация опорных
знаний(5мин)                                             

3.    
Изучение нового материала
(14 мин)  

4.    
Физкультминутка   (3 мин)

5.    
Закрепление знаний
(13мин)                               

6.    
Итоги урока(5
мин)                                                   

Содержание урока

I.           
Организационный
момент

Здравствуйте, садитесь! (Проверка присутствующих). Сегодня на уроке мы должны разобраться с понятиями
неравномерное движение и мгновенная скорость. А это значит, что Тема
урока: Неравномерное движение. Мгновенная скорость

II.Актуализация опорных знаний

Мы изучили равномерное прямолинейное движение. Однако
реальные тела — автомобили,
корабли, самолеты, детали механизмов и др. чаще всего движутся и не
прямолинейно, и не равномерно. Каковы закономер­ности таких движений?

III. Изучение нового материала

Рассмотрим пример. Автомобиль движется по участку
дороги, изображен­ному на рисунке 68. На подъеме движение автомобиля
замедляется, при спус­ке — ускоряется. Движение автомобиля и не
прямолинейное, и не равномерное. Как описать такое движение?

Прежде всего, для этого необходимо уточнить понятие скорость.

Из 7-го класса вам известно, что такое средняя скорость. Она
определяется как отношение пути к промежутку времени, за который этот путь
пройден:

(1)

Будем называть ее средней скоростью пути. Она
показывает, какой путь в среднем проходило тело за единицу времени.

Кроме средней скорости пути, необходимо ввести и среднюю
скорость пе­ремещения:

 (2)

Каков смысл средней скорости перемещения? Она
показывает, какое пере­мещение в среднем совершало тело за единицу
времени.

Сравнив формулу (2) с формулой (1) из § 7, можно сделать вывод: средняя скорость< u> равна скорости такого равномерного
прямолинейного дви­жения, при котором за промежуток времени Δt тело совершило бы пере­мещение Δr.

Средняя скорость пути и средняя скорость перемещения —
важные харак­теристики любого движения. Первая из них — величина скалярная,
вторая — векторная. Так как Δr<s, то
модуль средней скорости перемещения не больше средней скорости пути |<u>| < <u>.

Средняя скорость характеризует движение за весь
промежуток времени в це­лом. Она не дает информации о скорости движения в
каждой точке траектории (в каждый момент времени). С этой целью вводится мгновенная
скорость — скорость движения в данный момент времени (или в данной точке).

Как определить мгновенную скорость?

Рассмотрим пример. Пусть шарик скатывается по наклонному желобу из
точки  (рис.
69). На рисунке показаны положения шарика в различные момен­ты времени.

Нас интересует мгновенная скорость шарика в точке О.
Разделив перемеще­ние шарика Δr₁ на соответствующий промежуток времени Δ среднюю скорость перемещения <>
=  на
участке Скорость
<>
может намного отличаться от мгновенной скорости в точке О. Рассмотрим
меньшее перемеще­ние Δ = В₂. Оно произойдет
за меньший промежуток времени Δ.
Средняя скорость <>
= хотя
и не равна скорости в точке О, но уже ближе к ней, чем <>.
При дальнейшем уменьшении перемещений (Δ, Δ, …) и проме­жутков времени (Δ, Δ,,
…) мы будем получать средние скорости, которые все меньше отличаются друг от
друга и от мгновенной скорости шарика в точке О.

Значит, достаточно точное значение мгновенной скорости
можно найти по формуле  при
условии, что промежуток времени Δt очень мал:

           
(3)

Обозначение Δt —» 0 напоминает, что скорость, определенная
по формуле (3), тем ближе к мгновенной скорости, чем меньше Δt.

Мгновенную скорость криволинейного движения тела
находят аналогично (рис. 70).

Как направлена мгновенная скорость? Ясно, что в первом
примере направ­ление мгновенной скорости совпадает с направлением движения
шарика (см. рис. 69). А из построения на рисунке 70 видно, что при
криволинейном движении мгновенная скорость направлена по касательной к траектории в той точке, где в этот момент находится
движущееся тело.

Понаблюдайте за раскаленными частицами, отрывающимися
от точильного камня (рис. 71, а). Мгновенная скорость этих частиц в
момент отрыва направ­лена по касательной к окружности, по которой они двигались
до отрыва. Анало­гично спортивный молот (рис. 71, б) начинает свой полет по
касательной к той траектории, по которой он двигался при раскручивании метателем.

Мгновенная скорость u постоянна только при равномерном прямолинейном
движении. При движении по криволинейной траектории изменяется ее направление
(объясните почему). При неравномерном движении изменяется ее модуль.

Если модуль мгновенной скорости возрастает, то
движение тела называют ускоренным, если он убывает — замедленным.

Приведите самостоятельно примеры ускоренных и
замедленных движений тел.

В общем случае при движении тела может изменяться и
модуль мгновенной скорости, и ее направление (как в примере с автомобилем в
начале параграфа) (см. рис. 68).

В дальнейшем мгновенную скорость мы будем называть
просто скоростью.

IV.           
 Закрепление знаний

1.     Быстрота неравномерного движения на участке
траектории характеризу­ется средней скоростью, а в данной точке траектории — мгновенной
скоростью.

2.     Мгновенная скорость приближенно равна средней
скорости, опреде­ленной за малый промежуток времени. Чем меньше этот промежуток
време­ни, тем меньше отличие средней скорости от мгновенной.

3.     Мгновенная скорость направлена по касательной
к траектории дви­жения.

4.     Если модуль мгновенной скорости возрастает, то
движение тела назы­вают ускоренным, если он убывает — замедленным.

5.     При равномерном прямолинейном движении
мгновенная скорость оди­накова в любой точке траектории.

V.           
Итоги урока  

Итак, подведем итоги. Что вы сегодня узнали на уроке?

Организация домашнего задания

 § 9, упр. 5 №1,2

Рефлексия.

  Продолжите фразы:

·        
Сегодня на уроке я узнал…

·        
Было интересно…

·        
Знания, которые я получил
на уроке, пригодятся