Как найти минимальное по модулю ускорение

Задание EF18553

Тело массой 200 г движется вдоль оси Ох, при этом его координата изменяется во времени в соответствии с формулой х(t) = 10 + 5t– 3t²(все величины выражены в СИ).

Установите соответствие между физическими величинами и формулами, выражающими их зависимости от времени в условиях данной задачи.

К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

Алгоритм решения

Решение

Из условия задачи известна только масса тела: m = 200 г = 0,2 кг.

Так как тело движется вдоль оси Ox, уравнение движения тела при прямолинейном равноускоренном движении имеет вид:

x(t)=x0+v0t+at22

Теперь мы можем выделить кинематические характеристики движения тела:

Перемещение тела определяется формулой:

s=v0t+at22

Начальная координата не учитывается, так как это расстояние было уже пройдено до начала отсчета времени. Поэтому перемещение равно:

x(t)=v0t+at22=5t−3t2

Кинетическая энергия тела определяется формулой:

Ek=mv22

Скорость при прямолинейном равноускоренном движении равна:

v=v0+at=5−6t

Поэтому кинетическая энергия тела равна:

Ek=m(5−6t)22=0,22(5−6t)2=0,1(5−6t)2

Следовательно, правильная последовательность цифр в ответе будет: 34.

Ответ: 34

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF18774

На рисунке показан график зависимости координаты x тела, движущегося вдоль оси Ох, от времени t (парабола). Графики А и Б представляют собой зависимости физических величин, характеризующих движение этого тела, от времени t. Установите соответствие между графиками и физическими величинами, зависимости которых от времени эти графики могут представлять.

К каждой позиции графика подберите соответствующую позицию утверждения и запишите в поле цифры в порядке АБ.

Алгоритм решения

1. Определить, какому типу движения соответствует график зависимости координаты тела от времени.
2. Определить величины, которые характеризуют такое движение.
3. Определить характер изменения величин, характеризующих это движение.
4. Установить соответствие между графиками А и Б и величинами, характеризующими движение.

Решение

График зависимости координаты тела от времени имеет вид параболы в случае, когда это тело движется равноускоренно. Так как движение тела описывается относительно оси Ох, траекторией является прямая. Равноускоренное прямолинейное движение характеризуется следующими величинами:

• перемещение и путь;
• скорость;
• ускорение.

Перемещение и путь при равноускоренном прямолинейном движении изменяются так же, как координата тела. Поэтому графики их зависимости от времени тоже имеют вид параболы.

График зависимости скорости от времени при равноускоренном прямолинейном движении имеет вид прямой, которая не может быть параллельной оси времени.

График зависимости ускорения от времени при таком движении имеет вид прямой, перпендикулярной оси ускорения и параллельной оси времени, так как ускорение в этом случае — величина постоянная.

Исходя из этого, ответ «3» можно исключить. Остается проверить ответ «1». Кинетическая энергия равна половине произведения массы тела на квадрат его скорости. Графиком квадратичной функции является парабола. Поэтому ответ «1» тоже не подходит.

График А — прямая линия, параллельная оси времени. Мы установили, что такому графику может соответствовать график зависимости ускорения от времени (или его модуля). Поэтому первая цифра ответа — «4».

График Б — прямая линия, не параллельная оси времени. Мы установили, что такому графику может соответствовать график зависимости скорости от времени (или ее проекции). Поэтому вторая цифра ответа — «2».

Ответ: 24

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF18202

Внимательно прочитайте текст задания и выберите верный ответ из списка. На рисунке приведён график зависимости проекции скорости тела v_x от времени.

Какой из указанных ниже графиков  совпадает с графиком зависимости от времени проекции ускорения этого тела a_x в интервале времени от 6 с до 10 с?

Алгоритм решения

1. Охарактеризовать движение тела на участке графика, обозначенном в условии задачи.
2. Вычислить ускорение движение тела на этом участке.
3. Выбрать график, который соответствует графику зависимости от времени проекции ускорения тела.

Решение

Согласно графику проекции скорости в интервале времени от 6 с до 10 с тело двигалось равнозамедленно. Это значит, что проекция ускорения на ось ОХ отрицательная. Поэтому ее график должен лежать ниже оси времени, и варианты «а» и «в» заведомо неверны.

Чтобы выбрать между вариантами «б» и «г», нужно вычислить ускорение тела. Для этого возьмем координаты начальной и конечной точек рассматриваемого участка:

• t₁ = 6 с. Этой точке соответствует скорость v₁ = 0 м/с.
• t₂ = 10 с. Этой точке соответствует скорость v₂ = –10 м/с.

Используем для вычислений следующую формулу:

Подставим в нее известные данные и сделаем вычисления:

Этому значению соответствует график «г».

Ответ: г

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF18027

На графике приведена зависимость проекции скорости тела от времени при прямолинейном движении по оси х. Определите модуль ускорения тела.

Алгоритм решения

1. Записать формулу ускорения.
2. Записать формулу для вычисления модуля ускорения.
3. Выбрать любые 2 точки графика.
4. Определить для этих точек значения времени и проекции скорости (получить исходные данные).
5. Подставить данные формулу и вычислить ускорение.

Решение

Записываем формулу ускорения:

По условию задачи нужно найти модуль ускорения, поэтому формула примет следующий вид:

Выбираем любые 2 точки графика. Пусть это будут:

• t₁ = 1 с. Этой точке соответствует скорость v₁ = 15 м/с.
• t₂ = 2 с. Этой точке соответствует скорость v₂ = 5 м/с.

Подставляем данные формулу и вычисляем модуль ускорения:

Ответ: 10

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

3.1.3 Учёт ускоренного движения наклонной плоскости без учёта силы трения
Брусок массой находится на гладком клине с углом наклона к горизонту (рисунок 6). Найти ускорение бруска (относительно клина), если клин движется по основанию ускоренно с ускорением .
Решение.
За основу возьмём задачу 3.1.1. Теперь клин, а, значит, и система отсчёта, связанная с ним, движется ускоренно. Это значит, что к силам тяжести и реакции опоры, действующих на брусок, добавится ещё одна – сила инерции , обусловленная ускоренным движением клина зелёная на рисунке 7. В условии задачи направление ускоренного движения клина не указано, поэтому сразу укажем два равновозможных направления вектора силы инерции. В дальнейшем рассмотрим каждый случай по отдельности. Эта сила не перпендикулярна плоскости клина, поэтому также как и сила тяжести внесёт вклад в движение бруска. Этот вклад будет определяться параллельной составляющей вектора силы к наклонной плоскости. Перпендикулярная составляющая, так же как и сила тяжести будет только влиять на величину силы реакции опоры. Компоненты вектора силы инерции указаны на рисунке 7 красными векторами. Выпишем величины составляющих (их найдём так же, как и составляющие вектора силы тяжести в задаче 1):
(4)
Вектор результирующей силы запишется в виде:
(5)
(не забываем о направлении силы инерции!)
Тогда ускорение тела будет равно:
(6)
А вот модуль ускорения существенно зависит от того, куда будет двигаться клин. Поэтому рассмотрим два возможных варианта.
1) Клин движется ускоренно влево (рисунок 8).
В этом случае сила инерции будет направлена вправо. Две параллельные компоненты сил тяжести и инерции направлены в одну сторону, поэтому определено направление ускорения бруска . Он будет двигаться вниз вдоль наклонной плоскости клина с ускорением, модуль которого будет равен:
(7)
(это следует из формул (6) и (4)).
Но так будет не всегда. При увеличении ускорения клина увеличится и ускорение бруска. В конце концов компонента вектора ускорения , сонаправленная вектору , станет равной самому вектору (рисунок 9). В этот момент брусок оторвётся от клина и будет двигаться далее только под действием силы тяжести. Из построения видно, что . Тогда с учётом формулы (7):

Действительно, при – невозможно заставить двигаться брусок с ускорением свободного падения, вытаскивая из-под него горизонтально расположенную доску. Наоборот, при – вдоль вертикальной стены брусок и так движется с ускорением свободного падения.
1) Клин движется ускоренно вправо (рисунок 9).
В этом случае компоненты векторов сил тяжести и инерции, обозначенные нами как параллельные, направлены противоположно друг другу. Поэтому направление ускорения бруска неочевидно. Оно может быть направлено как вниз, так и вверх. А если названные компоненты компенсируют друг друга, то брусок вообще будет покоиться. Исходя из уравнения (6), найдём модуль ускорения для всех случаев.
Если , то ускорение бруска направлено вниз вдоль клина и по имеет величину .
Если , то ускорение бруска направлено вверх вдоль клина и по имеет величину .
Если , то ускорение бруска равно нулю. Это возможно при условии, когда .
Анализ решения.
Мы получили несколько различных движений в зависимости от величины и направления ускорения клина, а также прямо в тексте решения провели и их анализ на правильность и допустимость. Опять-таки, все выводы довольно просты, очевидны и в большей мере используют физику нежели традиционный координатный способ.
Представленное решение не единственно. Рассмотрим ещё одно, на наш взгляд, более простое и элегантное. По аналогии с обобщающей силой реакции опоры (см. предыдущую задачу) введём обобщающую силу действия – сумму сил тяжести и инерции (рисунок 10). Формально это можно рассматривать как изменение ускорения свободного падения на некоторое . Преимущества этого подхода заключается в том, что рассматривается только одно компонента – параллельная плоскости клина, которая вносит вклад в движение. В зависимости от ориентации вектора суммарного действия, тело будет либо покоиться, либо двигаться ускоренно вверх или вниз. Из построения на рис. 10 видно, что:

Если , то тело будет двигаться ускоренно вверх по клину с ускорением, равным по модулю .
Если , то брусок будет покоиться.
Если , то брусок соскользнёт вниз с ускорением .
Обозначенные три условия касались случая, когда ускорение клина направлено вправо. Если же ускорение клина направлено влево, то независимо от величины угла , тело будет соскальзывать вниз по клину с ускорением по величине .
В этих формулах .
Выведенные здесь формулы полностью совпадают с полученными ранее после их преобразовании. Рассмотрим общий случай:
.
Выразим неизвестные пока и через полученный ранее :
.
Тогда:
.
Такие же ответы были получены ранее. Значит, предложенные решения верны, но второе, несомненно, более изящно. Собственно говоря, именно данное решение в большей степени можно рассматривать, как применение векторного способа.
Следует заметить, что мы нашли в задаче ускорение бруска относительно клина, а не относительно стола, по которому движется клин. Самостоятельное решение поставленной задачи позволить глубже разобраться в происходящем. Но уже сейчас видно, как нужно действовать – нужно сложить полученное ускорение с ускорением самого клина. Нарисовать схему векторов будет несложно, а вот для нахождения модуля результирующего ускорения нужно будет «попотеть» – используется теорема косинусов.
Также возможно рассмотрение более общей задачи с учётом силы трения бруска о клин, которое характеризуется коэффициентом трения скольжения . Решение задачи в данной работе представлено не будет, т.к. оно является объединением решений двух предыдущих задач. Продуктивным будет решение, заключающееся в рассмотрении не 4 векторов, а только двух обобщённых (обобщённой силы действия, равной сумме силы тяжести и силы инерции, и обобщённой силы реакции опоры, равной сумме силы реакции опоры и силы трения).

3.2.1 Простейший случай
Брусок массой лежит на плоскости (рисунок 11). Коэффициент трения скольжения бруска о плоскость . С какой минимальной силой нужно действовать на брусок, чтобы сдвинуть его с места.
Решение.
В задаче присутствуют следующие материальные тела: брусок, плоскость, Земля. Взаимодействие бруска и Земли выражается посредством силы тяжести, действующей на брусок. Взаимодействие бруска и плоскости описывается с помощью силы реакции опоры. При любой попытке сдвинуть тело с места возникнет сила трения (сперва покоя, а потом и скольжения). Сделаем чертёж и расставим обозначенные силы (рисунок 12).
Из условия задачи понятно, что брусок будет двигаться по плоскости. Но минимальная сила, вызвавшая движение, не обязательно должно быть направлена горизонтально. Это станет понятным из следующих соображений. Сила должна преодолеть силу трения скольжения, которая зависит от силы реакции опоры, которая, в свою очередь будет зависеть от силы тяжести и, самое главное, приложенной силы. Прикладывая силу горизонтально, мы не компенсируем силу реакции опоры, поэтому и сила трения максимальна. Наоборот, прикладывая силу под большим углом, мы будем больше поднимать тело, чем его тащить. Оптимальный вариант заключается в том, чтобы мы приложенной силой слегка приподняли тело, чтобы уменьшить силу реакции опоры и, соответственно, силу трения.
По условию задачи тело должно двигаться равномерно. Тогда по второму закону Ньютона, сумма сил, действующих на тело должна быть равна нулю.
. (8)
Введём в рассмотрение обобщённую силу реакции опоры , равную сумме сил реакции опоры и сил трения. Вектора и перпендикулярны друг другу, и их можно рассматривать как катеты, а вектор — как гипотенузу. Её величина пока неизвестна, но зато вполне определено направление этой силы. Действительно, вектора и пропорциональны друг другу, поэтому отношение модулей силы трения и реакции опоры будет однозначно определённым.
или .
В этом случае формула (8) примет вид:
. (9)
Исследуем формулу (9) графически (рисунок 13). Отобразим вектор силы тяжести. От его конца отложим известный нам угол наклона вектора обобщённой силы реакции опоры. Сам вектор будет лежать на полученном луче. Вектор приложенной силы будет начинаться в конце вектора , а заканчиваться в начале вектора силы тяжести. Этот вектор будет минимален только в одном случае – когда он будет перпендикулярен вектору , или тройка векторов , и должны составлять перпендикулярный треугольник. Любое другое положение вектора (черные отрезки на рисунке 13) приведёт только к увеличению силы. Из анализа полученного треугольника находим: минимальная сила должна быть направлена под углом к горизонту. Вычислим модуль этой силы:
.
Анализ решения.
Приведём решение задачи с использованием традиционного координатного способа.
За основу возьмём расположение сил на рисунке 12 и формулу (8). Выберем систему отсчёта (рисунке 14). Ось направлена горизонтально, а ось — вертикально. Спроецируем формулу (8) на оси системы координат:
.
Решим систему:
(10)
Величина приложенной силы весьма сложным образом зависит от угла наклона силы к горизонтали. Для нахождения экстремального значения нужно вычислить производную функции и приравнять её к нулю. Потом нужно вычислить вторую производную, чтобы узнать, с каким экстремумом мы имеем дело: точкой минимума или максимума. Далее полученное значение подставляется в функцию и находится его значение. Краткое обозначение дальнейшей деятельности совсем не добавило оптимизма, наоборот, один вид анализируемой функции отбивает всякое желание выполнять названные этапы. Но мы всё же приведём дальнейшее решение.

Произведение равно нулю, когда один из сомножителей равен нулю. Но , (т.к. знаменатель не может быть равным нулю). Остаётся только следующее: . Решая, получаем: — точно такой же ответ мы получили раньше гораздо проще и понятнее. Находя вторую производную, убеждаемся что это действительно точка минимума. Тогда подставим полученное решение в формулу (10) и найдём ответ:
.
Ответы совпадают, но второй был получен гораздо более сложным образом и совсем ненагляден. Ещё раз убеждаемся в простоте, элегантности и эффективности векторного способа решения физических задач.

3.2.2 Движение бруска с заданным ускорением
Брусок массой лежит на плоскости (рисунок 15). Коэффициент трения скольжения бруска о плоскость . С какой минимальной силой нужно действовать на брусок, чтобы он начал двигаться с ускорением .
Решение.
За основу возьмём решение предыдущей задачи и внесём в него необходимые изменения.
Во-первых, это касается уравнения (8). Теперь оно запишется в виде:
. (11)
Через обозначим обобщённую реакцию опоры. Как показано в предыдущих задачах, этим мы добиваемся определённости в направлении вектор, а это не так уж и мало.
Дальнейшее решение также проведём графически и с применением векторного подхода (рисунке 16). Искомый вектор должен заканчиваться в конце вектора . Он будет минимален только в одном случае, если будет перпендикулярен вектору обобщённой реакции опоры. Вектор стал больше, а вот вектор — меньше.
Из уравнения (11) выразим вектор :
.
Вектора и известны по условию задачи. Поэтому целесообразно их объединить в один. Обозначим его через .
.
Модуль вектора равен , а между составляющими существует следующее соотношение .
После этого векторная диаграмма существенно упрощается, и становится возможным её решить (рисунок 17). Вектор — гипотенуза прямоугольного треугольника, а векторы и — его катеты. Тогда:

Как и следовало ожидать, ответ должен быть похожим на ответ предыдущей задачи. Если в условии задачи принять, что ускорение равно нулю, то мы получим ответ предыдущей задачи.
Из рисунка 16 видно, что вполне возможна ситуация, когда вектор вообще превратится в нуль. Определим, какую силу нужно приложить к бруску в этом случае и с каким ускорением от при этом будет двигаться. В полученном прямоугольном треугольнике вектор силы тяжести уже не будет гипотенузой – это уже противолежащий катет. Гипотенузой стала сама приложенная сила. Тогда:
.
Результирующая сила будет являться прилежащим катетом. Между катетами существует следующее соотношение:
;
откуда
. (12)
При ускорениях, больших, чем определяются формулой (12) брусок оторвётся от поверхности и взлетит. Дальше будет двигаться только под действием двух сил: приложенной силы и силы тяжести.
Анализ решения.
Проверка полученных формул на граничные условия показала, что они верны. Практически вся задача была решена практически устно, за исключением момента преобразования ответа. Но если бы мы решали задачу традиционным способом, то всё равно не избежали бы таких громоздких преобразований. Более того, они были бы значительно усложнёнными.
Вариацией на тему может быть также задача следующего содержания: «Найти минимальную силу, которую нужно приложить к бруску, чтобы тот сдвинулся с места в случае, когда плоскость, на которой находится брусок, движется горизонтально с ускорением ». Нетрудно заметить, что ответ будет полностью похож на ответ решённой задачи за исключением того, что в числителе в скобках вместо знака «плюс» должен стоять знак «плюс-минус». Это определяется направлением ускоренного движения основания: движется ли оно влево или вправо. Приведём ответ:
.

3.3 Задачи о равновесии бруска

3.3.1 Простейший случай
К вертикальной стене горизонтальной силой прижат брусок массой . Какова должна быть эта сила по величине, чтобы брусок покоился, если коэффициент трения скольжения бруска о стену равен (рисунок 21)?
Решение.
Расставим все силы, действующие на брусок (рисунок 22). В этой задаче тоже будем использовать обобщённую силу реакции опоры – как было неоднократно показано, этим мы добьёмся определённости в её направлении. Также можно ввести в рассмотрение обобщённую силу действия , равную сумме сил тяжести и приложенной силы: . Это позволит анализировать только две силы вместо четырёх. Равновесие наступит в случае равенства сил и , а это возможно только в том случае, когда они лежат на одной прямой. Но направление обобщённой реакции опоры зафиксировано и определяется исключительно коэффициентом трения скольжения. Это значит, что между векторами приложенной силы и обобщённого действия должен быть точно такой же угол. А это возможно только в том случае, когда для векторов и будет выполняться условие:
.
Отсюда следует, что
. (14)
Действительно, сила реакции опоры будет равна приложенной силе, а сила трения равна . Действие силы тяжести компенсируется противодействием возникшей силы трения.
Анализ решения.
Если приложенная сила по величине будет меньше, чем вычисленная по формуле (14), то это будет означать, что направления векторов обобщённых сил действия и реакции опоры не будут противоположно направлены, а это, в свою очередь, будет означать, что существует ненулевая результирующая сила, которая стремиться сдвинуть тело с места вниз. Если же величина приложенной силы будет больше вычисленной, то тогда по нашим рассуждениям должна возрасти и сила реакции опоры, а вслед за ней и сила трения. Т.е. появится сила, стремящаяся сдвинуть тело вверх??? На самом деле в этом случае помимо изменения величины силы измениться и её направление (это проявится в уменьшении угла наклона). Это значит, что сила трения не будет уже силой трения скольжения, она будет ещё силой трения покоя, которая в точности равна силе тяжести. Напомним, что угол наклона результирующих сил действия и реакции опоры мы вычисляли для силы трения скольжения, и в данном случае такой метод определения направления будет неприменим.

2 Ответы

оставил комментарий

18 Май, 18


от
Fredi2005_zn
Начинающий

(166 баллов)