Как найти минимальное значение переменной - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Математики и Data Science-специалисты должны хорошо разбираться в функциях. Предлагаем попрактиковаться в решении задач на обнаружение максимальных и минимальных значений у заданных функций.

Максимум

Задумываясь над тем, как найти максимальное значение функции, нужно четко понимать, с чем предстоит иметь дело. Для этого нужно запомнить такое определение:

Наибольшее значение функции y = f(x) на промежутке x – это max y = f(x₀). Оно будет при любом значении x€ X, x≠x₀ делает справедливым неравенство: f(x)≤f(x₀).

Максимальное значение (максимум) – это точка на функции, в которой значение функции больше, чем в соседних «отметках».

Минимум

Наименьшее значение функции находить так же легко, как и наибольшее. Но сначала нужно понимать, что это такое.

Значение функции на отрезке будет считаться минимумом, если оно меньше, чем в соседних «отметках». Здесь действует такое определение:

Наименьшее значение функции y=f(x) на промежутке x – это miny=f(x₀), которое при любом значении x€ X, x≠x₀ делает справедливым неравенство f(x)≥f(x₀).

Соответствующие определения являются достаточными и очевидными. Если говорить простыми словами, то максимум функции – это ее самое большое значение на заданном промежутке (участке) при абсциссе x₀, а минимум – самое маленькое.

Стационарные точки

При решении вопроса о том, как найти наибольшее или наименьшее значение функции, стоит обратить внимание на так называемые «стационарные точки». Это – значения аргумента функции, при которых ее производная будет равняться нулю.

Стационарная точка – это «отметка», в которой расположен экстремум дифференцируемой функции. А именно – локальный минимум или максимум. В одной из таких «отметок» записанное выражение будет достигать своих предельных параметров.

Здесь рекомендуется запомнить следующее:

Экстремум функции – это минимумы и максимумы.
Если определить производную в точках экстремумов, она будет равно 0.
Когда говорят «экстремумы», подразумевается значение функции. Если же речь идет об «отметках» экстремумов, рассматривать стоит x, в которых достигаются соответствующие пределы.

Этого достаточно для того, чтобы разобраться, как найти наибольшее на заданном отрезке у выражения. Для реализации поставленной задачи вовсе не обязательно составлять график. Поэтому сначала воспользуемся записями формул и вычислений.

План действий

Пример – дана функция f(x) на отрезке [a, b]. Наибольшее и наименьшее значение такой непрерывной функции достигаются в определенных местах. Это – критические точки. Там, где производная записанного выражения будет равно нулю.

Для того, чтобы найти наибольшие значения уравнения, потребуется придерживаться следующего алгоритма:

Узнайте, какая перед вами функция. Для этого нужно проверить ее на непрерывность. В расчет обязательно берется заданный отрезок.
Если запись непрерывная – ищем производную.
После того, как найдем производную, приравниваем ее к нулю. Это поможет найти точки экстремумов. В результате получаются корни.
Образовавшиеся корни – это критические точки. Нужно выбрать те «параметры», что относятся к промежутку [a, b].
Вычислить значения функции на концах отрезка [a, b].
Определить значения имеющегося выражения в критических «отметках».

Теперь понятно, как найти наибольшие функции на заданном отрезке. После произведенных подсчетов остается выбрать из результатов M (максимум) и m (минимум).

На отрезке

Разобравшись в тем, как найти наибольшие «параметры» выражения «на бумаге», стоит рассмотреть соответствующий процесс на графиках. Определять максимумы/минимумы в данном случае будет проще.

Первый график указывает на выражение, у которого точка минимума и максимума находятся в стационарных точках на промежутке [-6;6]. Соответствующие «пределы» обозначены жирным.

Второй график указывает на изменение отрезка. Теперь он будет [1;6]. Минимальное значение останется прежним. А вот максимальное – изменится. Оно образуется в правой части в точке с абсциссой. Поиск минимального «параметра» окажется в критической точке.

Задумываясь, как найти наименьшие или «самые крупные» параметры выражения на графике, можно также рассмотреть третий рисунок. Здесь функция принадлежала промежутку [-3;2]. Чтобы найти наибольшее и наименьшее в таком случае, предстоит учитывать абсциссы. В них достигаются соответствующие пределы.

Открытый интервал

Если промежуток задан конкретным числом, определить экстремумы будет не так сложно. Иначе происходит, если интервал открыт.

Здесь:

Функция будет принимать максимум/минимум по значению в стационарных точках на открытом интервале от -6 до 6. Ответ – на 4 рисунке.
Если взять отрезок [1;6), минимум будет достигнут в стационарной точке. А вот максимум – неизвестен. Связано это с тем, что 6 не принадлежит к заданному интервалу. Если бы «шестерка» относилась к соответствующему промежутку, ответ на вопрос относительно определения максимума оказался понятным. Максимальный параметр был бы в точке с абсциссой 6.
На рисунке 6, задумываясь, как найти наименьшие «параметры», нужно обратить внимание на заданный интервал. Он равен (-3;2]. Минимум будет достигнут в правой границе. А вот максимум – не определен.

Найти значения на графиках обычно проще, чем «в чистых формулах». Соответствующие задания можно отыскать тут.

Бесконечность

Иногда значения функций нужно найти на бесконечном промежутке. Графически возможны такие ситуации:

На 7 рисунке функция достигает максимума в стационарной точке с абсциссой 1. Минимум окажется на границе интервала справа. На минус бесконечности значения приближаются к y=3 асимптотически.

Если взять интервал от 2-х до «плюс бесконечности», заданная функция не будет иметь ни максимумов, ни минимумов. Значения здесь стремятся к бесконечности. Связано это с тем, что x=2 является вертикальной асимптотой. Если абсцисса стремится к плюс бесконечности, значения будут асимптотически подходить к y=3. Соответствующий пример показан на рисунке 8.

Чтобы не приходилось долго разбираться с тем, как найти наименьшее у заданной функции, не путаться с тем, какие знаки производной использовать, а также легко строить графики, можно воспользоваться специальными онлайн калькуляторами. А еще – закончить тематические дистанционные онлайн курсы.

Источник

Определение

Наибольшим или наименьшим значением функции в определенной области называют наибольшее или наименьшее значение, которое достигает эта функция на указанной области.

Чтобы найти наибольшее или наименьшее значение функции в данной области, нужно решить задачу на экстремум, то есть найти производную заданной функции, приравнять её к нулю и найти точки, в которых производная функции обращается в нуль. Потом из этих точек нужно выбрать только те, которые входят в нашу заданную область. Затем нужно вычислить значение функций в этих точках. Кроме этого, нужно найти значение функции в граничных точках заданной области (если это отрезок) и сравнить их со значениями в точках экстремума. Потом можно сделать вывод о наименьшем или наибольшем значении функции в данной области.

Пример 1

Определить наименьшее и наибольшее значения функции y=x3−6×2+9y=x^3-6x^2+9 на отрезке [−1;2][-1;2].

Решение

Сначала вычисляем производную исходной функции:

y′=3×2−12xy’=3x^2-12x

Затем приравниваем ее к нулевому значению и решаем уравнение:

3×2−12x=03x^2-12x=0

x(3x−12)=0x(3x-12)=0

x1=0x_1=0

x2=4x_2=4

Затем — непосредственный поиск максимального и минимального значений функции на заданном отрезке. Важно отметить, что точка x=4x=4 не входит в заданный отрезок, поэтому значение функции в этой точке вычислять не требуется.

Находим значение функции в точке x1x_1:

f(0)=9f(0)=9

Кроме этого, нужно найти значение функции в граничных точках нашего отрезка, то есть в точках x=−1x=-1 и x=2x=2:

f(−1)=−1−6+9=2f(-1)=-1-6+9=2

f(2)=8−24+9=−7f(2)=8-24+9=-7

Получаем, что на заданном отрезке, наименьшее значение функции, которое равно −7-7, достигается в точке x=2x=2 , а наибольшее значение, равное 99, достигается в точке x=0x=0.

Пример 2

Найти наибольшее и наименьшее значение функции-параболы y=3x2y=3x^2 на всей области её определения.

Решение

Функция y=3x2y=3x^2 определена на всем интервале от минус бесконечности к плюс бесконечности. Найдем производную этой функции:

y′=6xy’=6x

Приравниваем производную к нулю:

6x=06x=0

x=0x=0

Точка x=0x=0 — единственный экстремум этой функции. В этой точке функция равна f(0)=0f(0)=0. Остается решить максимум это или минимум.

Так как график нашей функции это парабола, ветви которой направлены вверх (поскольку 3>03>0), то точка x=0x=0 — точка минимума этой функции. Следовательно, функция y=3x2y=3x^2 достигает своего минимального значения в точке x=0x=0 равного 00. Максимального значения эта функция не имеет. Оно только приближается к сколь угодно большому числу когда значение аргумента стремится к плюс или минус бесконечности.

Тест по теме “Наибольшие и наименьшие значения функции”

Не можешь разобраться в этой теме?

Обратись за помощью к экспертам

Гарантированные бесплатные доработки

Быстрое выполнение от 2 часов

Проверка работы на плагиат

Источник

Download Article

For a variety of reasons, you may need to be able to define the maximum or minimum value of a selected quadratic function. You can find the maximum or minimum if your original function is written in general form, $f(x)=ax^{2}+bx+c$ , or in standard form, $f(x)=a(x-h)^{2}+k$ . Finally, you may also wish to use some basic calculus to define the maximum or minimum of any quadratic function.

1
2

Advertisement
3
4

Find the corresponding f(x) value. Insert the value of x that you just calculated into the function to find the corresponding value of f(x). This will be the minimum or maximum of the function.
5

1

Write your quadratic function in standard or vertex form. The standard form of a general quadratic function, which can also be called the vertex form, looks like this:^[4]
2
3

Identify the minimum or maximum value. When the function is written in standard form, finding the minimum or maximum value is as simple as stating the value of the variable . For the two example functions given above, these values are:
4

1
Start with the general form. Write your quadratic function in general form, $f(x)=ax^{2}+bx+c$ . If necessary, you may need to combine like terms and rearrange to get the proper form.^[7]
- Begin with the sample function $f(x)=2x^{2}-4x+1$ .
2

Use the power rule to find the first derivative. Using basic first-year calculus, you can find the first derivative of the general quadratic function to be $f^{{prime }}(x)=2ax+b$ .^[8]
3

Set the derivative equal to zero. Recall that derivative of a function tells you the slope of the function at that selected point. The minimum or maximum of a function occurs when the slope is zero. Therefore, to find where the minimum or maximum occurs, set the derivative equal to zero. Continue with the sample problem from above:^[9]
4

Solve for x. Use basic rules of algebra to rearrange the function and solve the value for x, when the derivative equals zero. This solution will tell you the x-coordinate of the vertex of the function, which is where the maximum or minimum will occur.^[10]
5
6

Report your solution. The solution gives you the vertex of the maximum or minimum point. For this sample function, $f(x)=2x^{2}-4x+1$ , the vertex occurs at . The coefficient is positive, so the function opens upward. Therefore, the minimum value of the function is the y-coordinate of the vertex, which is .^[12]

Practice Problems and Answers

Add New Question

Question

How do you tell if a parabola is maximum or minimum?

Jake Adams

Academic Tutor & Test Prep Specialist

Jake Adams is an academic tutor and the owner of Simplifi EDU, a Santa Monica, California based online tutoring business offering learning resources and online tutors for academic subjects K-College, SAT & ACT prep, and college admissions applications. With over 14 years of professional tutoring experience, Jake is dedicated to providing his clients the very best online tutoring experience and access to a network of excellent undergraduate and graduate-level tutors from top colleges all over the nation. Jake holds a BS in International Business and Marketing from Pepperdine University.

Academic Tutor & Test Prep Specialist

Expert Answer

Support wikiHow by
unlocking this expert answer.

First solve for a. If the value of a is a positive number, you’ll have an upward-facing parabola and you’ll need to find its minimum value. If a is a negative number, you’ll have a downward-facing parabola and you’ll need to find its maximum value.
Question

How do you tell if a parabola is up or down?

Jake Adams

Academic Tutor & Test Prep Specialist

Jake Adams is an academic tutor and the owner of Simplifi EDU, a Santa Monica, California based online tutoring business offering learning resources and online tutors for academic subjects K-College, SAT & ACT prep, and college admissions applications. With over 14 years of professional tutoring experience, Jake is dedicated to providing his clients the very best online tutoring experience and access to a network of excellent undergraduate and graduate-level tutors from top colleges all over the nation. Jake holds a BS in International Business and Marketing from Pepperdine University.

Academic Tutor & Test Prep Specialist

Expert Answer

Support wikiHow by
unlocking this expert answer.

You can remember this concept by thinking about smiles and frowns. If someone is positive they smile, and if someone is negative, they frown. Similarly, a positive number will have an upward-facing parabola, and a negative number will have a downward-facing parabola.
Question

How do I graph a quadratic function?

First, create a data table with multiple experimental values for x. Sub in those x coordinates and get y coordinates. Plot these along the x and y axis and join the dots with a smooth curve.

See more answers

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

The parabola’s axis of symmetry is x = h.

References

About This Article

Article SummaryX

To find the maximum or minimum value of a quadratic function, start with the general form of the function and combine any similar terms. For example, if you’re starting with the function f(x) = 3x + 2x — x^2 + 3x^2 + 4, you would combine the x^2 and x terms to simplify and end up with f(x) = 2x^2 + 5x + 4. Now figure out which direction the parabola opens by checking if a, or the coefficient of x^2, is positive or negative. If it’s positive, the parabola opens upward. If it’s negative, the parabola opens downward. In the function f(x) = 2x^2 + 5x + 4, the coefficient of x^2 is positive, so the parabola opens upward. Next, find the x value of the vertex by solving -b/2a, where b is the coefficient in front of x and a is the coefficient in front of x^2. In the function f(x) = 2x^2 + 5x + 4, b = 5 and a = 2. Therefore, you would divide -5 by 2 times 2, or 4, and get -1.25. Finally, plug the x value into the function to find the value of f(x), which is the minimum or maximum value of the function. The function f(x) = 2x^2 + 5x + 4 would become f(-1.25) = 2(-1.25)^2 + 5(-1.25) + 4, or f(-1.25) = 0.875. If the parabola opens upward, your answer will be the minimum value. If the parabola opens downward, your answer is the maximum value. In this example, since the parabola opens upward, f(-1.25) = 0.875 is the minimum value of the function. If you want to learn how to use standard or vertex form for your formula, keep reading the article!

Did this summary help you?

Thanks to all authors for creating a page that has been read 2,393,670 times.

Reader Success Stories

FantageGamer

Apr 13, 2017

«Unlike other sites or even YouTube videos, this website will break it down for you like you’re a six-year-old.…» more

Did this article help you?

Источник

Экстремум функции двух переменных

Назначение сервиса. Онлайн-калькулятор используется для нахождения в онлайн режиме наибольшего и наименьшего значения функции двух переменных (см. пример). Решение оформляется в формате Word.

Решение онлайн
Видеоинструкция
Оформление Word

Для функции трех переменных можно использовать матрицу Гессе.

Алгоритм исследования функции двух переменных на экстремум

Функция z = f(x,y) имеет максимум в точке M₀(x₀;y₀), если f(x₀;y₀) > f(x;y) для всех точек (x;y), достаточно близких к точке (x₀;y₀) и отличных от неё. Функция z = f(x,y) имеет минимум в точке M₀(x₀;y₀), если f(x₀;y₀) < f(x;y) для всех точек (x;y), достаточно близких к точке (x₀;y₀) и отличных от неё. Максимум и минимум функции называются экстремумами функции.

Исследование функции двух переменных на экстремум проводят по следующей схеме.

1. Находят частные производные dz/dx и dz/dy.

2. Решают систему уравнений:

и таким образом находят критические точки функции.

3. Находят частные производные второго порядка:

4. Вычисляют значения этих частных производных второго порядка в каждой из найденных в п.2 критических точках M(x₀;y₀).

5. Делаю вывод о наличии экстремумов:

а) если AC – B² > 0 и A < 0 , то в точке M имеется максимум;

б) если AC – B² > 0 и A > 0 , то в точке M имеется минимум;

в) если AC – B² < 0, то экстремума нет;

г) если AC – B² = 0, то вопрос о наличии экстремума остается открытым;

Пример №1. Найти экстремумы функции f(x,y)=x³+xy²+x²+y² и определить по критерию Сильвестра их тип.

Решение.

1. Найдем первые частные производные.

2. Решим систему уравнений.

3x²+2x+y²=0

2xy+2y=0

Получим:

а) Из первого уравнения выражаем x и подставляем во второе уравнение:

x = -1

y²+1=0

Данная система уравнений не имеет решения.

б) Из первого уравнения выражаем y и подставляем во второе уравнение:

или

или

Откуда x₁ = -2/3; x₂ = 0; x₃ = -2/3; x₄ = 0

Данные значения x подставляем в выражение для y. Получаем: y₁ = 0; y₂ = 0; y₃ = 0; y₄ = 0

Количество критических точек равно 2: M₁(-2/3;0), M₂(0;0)

3. Найдем частные производные второго порядка.

4. Вычислим значение этих частных производных второго порядка в критических точках M(x₀;y₀).

Вычисляем значения для точки M₁(-2/3;0)

AC — B² = -4/3 < 0, то глобального экстремума нет.

Вычисляем значения для точки M₂(0;0)

AC — B² = 4 > 0 и A > 0 , то в точке M₂(0;0) имеется минимум z(0;0) = 0

Вывод: В точке M₂(0;0) имеется минимум z(0;0) = 0

Пример №2. Исследовать функцию на экстремум классическим методом: Z=8x²+2xy-5x+6.

Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus.
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).

Источник

Загрузить PDF

Во многих задачах требуется вычислить максимальное или минимальное значение квадратичной функции. Максимум или минимум можно найти, если исходная функция записана в стандартном виде: $f(x)=ax^{2}+bx+c$ или через координаты вершины параболы: $f(x)=a(x-h)^{2}+k$ . Более того, максимум или минимум любой квадратичной функции можно вычислить с помощью математических операций.

1

Запишите функцию в стандартном виде. Квадратичная функция — это функция, уравнение которой включает переменную $x^{2}$ . Уравнение может включать или не включать переменную . Если уравнение включает переменную с показателем степени больше 2, оно не описывает квадратичную функцию. Если нужно, приведите подобные члены и переставьте их, чтобы записать функцию в стандартном виде.^[1]
2
3
4

Найдите соответствующее значение f(x). Подставьте найденное значение «x» в исходную функцию, чтобы найти соответствующее значение f(x). Так вы найдете минимум или максимум функции.
5

Реклама

1

Запишите квадратичную функцию через координаты вершины параболы. Такое уравнение имеет следующий вид:^[3]
2
3

Найдите минимальное или максимальное значение функции. Если функция записана через координаты вершины параболы, минимум или максимум равен значению коэффициента . В приведенных выше примерах:
4

Реклама

1
Сначала рассмотрим стандартный вид уравнения. Запишите квадратичную функцию в стандартном виде: $f(x)=ax^{2}+bx+c$ . Если нужно, приведите подобные члены и переставьте их, чтобы получить стандартное уравнение.^[5]
- Например: $f(x)=2x^{2}-4x+1$ .
2

Найдите первую производную. Первая производная квадратичной функции, которая записана в стандартном виде, равна $f^{{prime }}(x)=2ax+b$ .^[6]
3

Производную приравняйте к нулю. Напомним, что производная функции равна угловому коэффициенту функции в определенной точке. В минимуме или максимуме угловой коэффициент равен нулю. Поэтому, чтобы найти минимальное или максимальное значение функции, производную нужно приравнять к нулю. В нашем примере:^[7]
4

Найдите «x». С помощью математических операций изолируйте «x», чтобы найти значение этой переменной, когда производная равна нулю. Так вы вычислите координату «x» вершины параболы, в которой находится ее максимум или минимум.^[8]
5
6

Запишите ответ. Вы вычислили максимум или минимум функции. В нашем примере $f(x)=2x^{2}-4x+1$ координаты вершины равны . Коэффициент положительный, поэтому парабола направлена вверх. Следовательно, минимальное значение функции – это координата «у» вершины, которая равна .^[10]

Реклама

Советы

Ось симметрии параболы описывается уравнением x=h.

Об этой статье

Эту страницу просматривали 96 023 раза.

Была ли эта статья полезной?

Источник