Как найти минимальный множитель - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Нахождение НОД и НОК чисел

Онлайн-калькулятор «Нахождение НОД и НОК чисел«. Наш калькулятор поможет вам найти наибольший общий делить (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) чисел. Особенностью данного калькулятора является то, что он может находить НОК и НОД не только двух чисел, но и трех или четырех чисел. Введите натуральные числа и нажмите кнопку «Вычислить» и наш калькулятор не просто выдаст ответ, но и представит подробное решение, где последовательно будет изложен порядок нахождения НОД и НОК чисел.

Выберите количество чисел, для которых требуется найти НОД и НОК:

2 числа
3 числа
4 числа

Первое число	Второе число

Наибольший общий делитель нескольких чисел – это наибольшее натуральное целое число, на которое эти числа делятся без остатка. Наибольший общий делитель обозначается следующим образом: НОД (18; 48) = 6

Наименьшее общее кратно нескольких чисел – это самое меньшее число, которое делится на каждое из этих чисел без остатка. Например: НОК (18; 48) = 144

Это следует знать!
Как определить, что число делится на 3 без остатка? Очень просто – на 3 делятся только те числа, сумма цифр которых делится на 3. Например: число 795 делится на 3, так как сумма его цифр 7 + 9 + 5 = 21 делится на 3.
21 : 3 = 7

Источник

Теорема Гамильтона-Кэли. Минимальный многочлен матрицы

Многочлен p(lambda) переменной lambda называется аннулирующим для квадратной матрицы , если при подстановке в многочлен матрицы вместо переменной lambda получаем нулевую матрицу, т.е. p(A)=O .

Напомним, что для любой квадратной матрицы многочлен $Delta_{A}(lambda)=det(A-lambda E)$ называется характеристическим.

Теорема 7.7 Гамильтона–Кэли. Характеристический многочлен матрицы является аннулирующим для нее, т.е. $Delta_{A}(A)=O$ .

В самом деле, обозначим через $(A-lambda E)^{+}$ матрицу, присоединенную к характеристической матрице . Тогда из (7.7) следует

$(A-lambda E)cdot(A-lambda E)^{+}=Delta_{A}(lambda)cdot E,quad (A-lambda E)^{+}cdot(A-lambda E)=Delta_{A}(lambda)cdot E.$

(7.27)

Правые части этих равенств можно рассматривать как многочлены с матричными коэффициентами (каждый коэффициент характеристического многочлена умножается на единичную матрицу). Из (7.27) следует, что λ-матрица $Delta_{A}(lambda)E$ делится на (A-lambda E) слева и справа без остатка, т.е. остаток равен нулевой матрице. По обобщенной теореме Безу остаток равен левому и правому значениям многочлена $Delta_{A}(lambda)E$ при подстановке матрицы вместо . Отсюда получаем $Delta_{A}(lambda)E=O$ , т.е. $Delta_{A}(lambda)=O$ , что и требовалось доказать.

Пример 7.11. Показать, что характеристический многочлен матрицы $A=begin{pmatrix} 1&1&1\ 1&1&1\ 1&1&1 end{pmatrix}$ является для нее аннулирующим.

Решение. Находим характеристический многочлен матрицы (см. пример 7.8)

$Delta_{A}(lambda)=det(A-lambda E)= begin{vmatrix}1-lambda&1&1\1&1-lambda&1\1&1&1-lambdaend{vmatrix}= (1-lambda)^3+2-3(1-lambda)=3 lambda^2-lambda^3.$

Подставляя вместо переменной lambda матрицу , получаем

$Delta_{A}=3A^2-A^3= 3! begin{pmatrix} 1&1&1\ 1&1&1\ 1&1&1end{pmatrix}^2-begin{pmatrix} 1&1&1\ 1&1&1\ 1&1&1 end{pmatrix}^3= 3! begin{pmatrix}3&3&3\3&3&3\ 3&3&3 end{pmatrix}- begin{pmatrix}9&9&9\9&9&9\9&9&9end{pmatrix}=O.$

что и требовалось показать.

Теорема Гамильтона-Кэли говорит о том, что для квадратной матрицы n-го порядка всегда найдется аннулирующий многочлен n-й степени (характеристический многочлен имеет n-ю степень). Возникает вопрос о существовании аннулирующего многочлена меньшей степени.

Минимальным многочленом матрицы называется ее аннулирующий многочлен наименьшей степени (со старшим коэффициентом, равным единице). Минимальный многочлен будем обозначать $mu_{A}(lambda)$ .

Свойства минимального многочлена матрицы

1. Любой аннулирующий многочлен матрицы делится на минимальный многочлен (без остатка). В частности, характеристический многочлен делится на минимальный многочлен.

Действительно, предположим противное, пусть аннулирующий многочлен p(lambda) делится на минимальный многочлен $mu_{A}(lambda)$ с остатком:

$p(lambda)=q(lambda)cdotmu_{A}(lambda)+r(lambda),$

причем степень остатка r(lambda) меньше степени делителя $mu_{A}(lambda)$ . Тогда, подставляя вместо lambda матрицу , получаем r(A)=O , так как p(A)=O и $mu_{A}(lambda)=O$ . Следовательно, — аннулирующий многочлен, степень которого меньше, чем степень минимального многочлена, что противоречит определению минимального многочлена. Таким образом, предположение оказалось ложным, т.е. любой аннулирующий многочлен делится на минимальный (без остатка). Поскольку по теореме Гамильтона-Кэли характеристический многочлен является аннулирующим, то он также делится на минимальный многочлен.

2. Для каждой квадратной матрицы минимальный многочлен единственный.

В самом деле, если бы существовали два минимальных многочлена, то они имели бы одну и ту же степень и делились бы друг на друга, т.е. отличались бы только постоянным множителем. Однако, старшие коэффициенты этих многочленов равны единице, поэтому такие многочлены совпадают.

3. Все собственные значения матрицы являются корнями минимального многочлена.

Действительно, из равенства $mu_{A}(lambda)=O$ следует, что λ-матрица $mu_{A}(lambda)cdot E$ делится (например, слева) на характеристическую матрицу (A-lambda E) , то есть $mu_{A}(lambda)cdot E=(A-lambda E)cdot S(lambda)$ , где — некоторая λ-матрица (левое частное). Найдем определитель левой и правой частей последнего равенства с учетом теоремы 2.2 и пункт З замечаний 2.2:

$[mu_{A}(lambda)]^n=Delta_{A}(lambda)cdotdet{S(lambda)}.$

(7.28)

Подставляя в равенство (7.28) любой корень lambda_i,~i=1,ldots,n характеристического многочлена, получаем $[mu_{A}(lambda_i)]^n=0$ , т.е. $mu_{A}(lambda_i)=0$ , что и требовалось показать.

4. Если характеристический многочлен имеет вид (7.24), то минимальный многочлен этой матрицы можно представить в форме

$mu_{A}(lambda)= (lambda-lambda_1)^{m_1}cdot (lambda-lambda_2)^{m_2}cdotldotscdot(lambda-lambda_k)^{m_k},$

(7.29)

где 1leqslant m_1leqslant n_1,~1leqslant m_2leqslant n_2 и т.д., причем m_1+m_2+ldots+m_k=mleqslant n .

Это утверждение следует из свойства 3.

5. Минимальный многочлен матрицы находится по формуле

$mu_{A}(lambda)=frac{(-1)^nDelta_A(lambda)}{d_{n-1}(lambda)},,$

(7.30)

где $d_{n-1}(lambda)$ — наибольший общий делитель миноров (n-1)-го порядка характеристической матрицы (A-lambda E) .

Действительно, по свойству 1 характеристический многочлен $Delta_{A}(lambda)$ делится на минимальный многочлен, т.е. $Delta_{A}(lambda)=(-1)^n p(lambda)mu_{A}(lambda)$ , где — некоторый многочлен со старшим коэффициентом, равным единице. Умножив обе части равенства $mu_{A}(lambda)cdot E=(A-lambda E)cdot S(lambda)$ (см. свойство 3) на , получим в левой части характеристический многочлен, умноженный на единичную матрицу:

$Delta_{A}(lambda)cdot E=(-1)^ncdot(A-lambda E)cdot p(lambda)cdot S(lambda).$

Сравним это равенство с (7.27):

$Delta_A(lambda)cdot E=(A-lambda E)cdot(A-lambda E)^{+}.$

(7.31)

При делении λ-матрицы Delta_A(lambda)cdot E слева на характеристическую матрицу (A-lambda E) частные (левые) должны совпадать в силу единственности деления. Поэтому

$(-1)^ncdot p(lambda)cdot S(lambda)=(A-lambda E)^{+},$

т.е. многочлен p(lambda) — делитель всех элементов присоединенной матрицы. Заметим, что степень многочлена должна быть максимальной, так как минимальный многочлен mu_A(lambda) имеет наименьшую возможную степень, а сумма степеней этих двух многочленов в силу равенства Delta_A(lambda)=(-1)^n p(lambda) mu_A(lambda) фиксирована и равна . Поэтому многочлен — это наибольший общий делитель элементов присоединенной матрицы $(A-lambda E)^{+}$ . Так как элементы присоединенной матрицы пропорциональны минорам (n-1)-го порядка характеристической матрицы, то $p(lambda)=d_{n-1}(lambda)$ .

Таким образом, $Delta_A(lambda)=(-1)^ncdot d_{n-1}(lambda)cdotmu_A(lambda)$ , откуда следует формула (7.30).

6. Минимальный многочлен матрицы совпадает с последним инвариантным множителем e_n(lambda) характеристической матрицы (A-lambda E) .

В самом деле, наибольший общий делитель $d_{n}(lambda)$ единственного минора n-го порядка характеристической матрицы (A-lambda E) отличается от определителя этой матрицы множителем (-1)^n , т.е. $Delta_A(lambda)=(-1)^n d_{n}(lambda)$ . Подставляя это выражение в (7.30), получаем

$mu_A(lambda)=frac{(-1)^ncdot(-1)^ncdot d_n(lambda)}{d_{n-1}(lambda)}=frac{d_n(lambda)}{d_{n-1}(lambda)}=e_n(lambda).$

Способы нахождения минимального многочлена матрицы

Пусть — квадратная матрица n-го порядка. Требуется найти ее минимальный многочлен.

Первый способ.

1. Составить характеристическую матрицу (A-lambda E) .

2. Привести ее к нормальному диагональному виду $(A-lambda E)sim operatorname{diag} Bigl(e_1(lambda),e_2(lambda), ldots,e_n(lambda)Bigr)$ .

Последний инвариантный множитель e_n(lambda) является минимальным многочленом матрицы (по свойству 6).

Второй способ.

1. Составить характеристическую матрицу (A-lambda E) .

2. Найти характеристический многочлен Delta_A(lambda)=det(A-lambda E) .

3. Найти наибольший общий делитель $d_{n-1}(lambda)$ миноров (n-l)-ro порядка λ-матрицы (A-lambda E) .

4. По формуле (7.30) получить минимальный многочлен.

Пример 7.12. Найти минимальный многочлен матрицы $A=begin{pmatrix}1&1&1\1&1&1\1&1&1end{pmatrix}$ , используя минимальный многочлен, найти степень A^m с натуральным показателем minmathbb{N} .

Решение. Первый способ. 1. Составляем характеристическую матрицу

$A-lambda E=begin{pmatrix}1-lambda &1&1\1&1-lambda&1\1&1&1-lambda end{pmatrix}!.$

(7.30)

2. Приводим эту λ-матрицу к нормальному диагональному виду. Поменяем местами первую и третью строки. Выберем в качестве ведущего элемента единицу, оказавшуюся в левом верхнем углу матрицы. При помощи ведущего элемента делаем равными нулю остальные элементы первой строки и первого столбца:

$A-lambda E=begin{pmatrix}1-lambda &1&1\1&1-lambda&1\1&1&1-lambda end{pmatrix}sim begin{pmatrix}1&1&1-lambda\1&1-lambda&1\1-lambda&1&1end{pmatrix}sim begin{pmatrix}1&0&0\0&-lambda&lambda\0&lambda&2 lambda-lambda^2 end{pmatrix}!.$

Берем в качестве ведущего элемент (-lambda) и делаем равными нулю все остальные элементы второй строки и второго столбца. Затем умножаем вторую и третью строки на (-1), чтобы старшие коэффициенты диагональных элементов оказались равными единице. Получим нормальный диагональный вид:

$A-lambda Esimbegin{pmatrix}1&0&0\0&-lambda&lambda\0&lambda&2 lambda-lambda^2 end{pmatrix}sim begin{pmatrix}1&0&0\ 0&-lambda&0\0&0&3 lambda-lambda^2 end{pmatrix}sim begin{pmatrix}1&0&0\ 0&lambda&0\ 0&0&lambda^2-3 lambda end{pmatrix}!.$

Минимальный многочлен матрицы mu_A(lambda)=e_3(lambda)=lambda^2-3 lambda .

Второй способ. 1. Составляем характеристическую матрицу (7.32).

2. Находим характеристический многочлен Delta_A(lambda)=3 lambda^2-lambda^3 (см. пример 7.11).

3. Находим миноры второго порядка характеристической матрицы (A-lambda E) . Ограничимся минорами, расположенными в первых двух строках:

$M_{{}_{1,2}}^{{}^{1,2}}=begin{vmatrix}1-lambda&1\ 1&1-lambda end{vmatrix}=lambda^2-2 lambda,quad M_{{}_{1,3}}^{{}^{1,2}}=begin{vmatrix}1-lambda&1\ 1&1end{vmatrix}=-lambda,quad M_{{}_{2,3}}^{{}^{1,2}}=begin{vmatrix}1&1\ 1-lambda&1 end{vmatrix}=lambda.$

Выражения для остальных миноров совпадают с найденными. Наибольший общий делитель многочленов lambda^2-2 lambda,,(-lambda),, lambda равен lambda , т.е. d_2(lambda)=lambda .

4. По формуле (7.30) получаем: $mu_A(lambda)=frac{(-1)^3(3 lambda^2-lambda^3)}{lambda}= lambda^2-3 lambda$ .

Для проверки вычислим

$mu_A(A)=A^2-3A= begin{pmatrix}1&1&1\1&1&1\1&1&1end{pmatrix}^2-3! begin{pmatrix}1&1&1\1&1&1\1&1&1end{pmatrix}= begin{pmatrix}3&3&3\3&3&3\ 3&3&3 end{pmatrix}-3! begin{pmatrix}1&1&1\1&1&1\1&1&1end{pmatrix}=O.$

Действительно, минимальный многочлен mu_A(lambda) является аннулирующим, т.е. mu_A(A)=O . Заметим, что для матрицы минимальный и характеристический многочлены отличаются только множителем (-lambda) .

Найдем теперь степень A^m матрицы . Для этого рассмотрим многочлен lambda^m . Разделим его на минимальный многочлен mu_A(lambda) . Остаток от деления (многочлен степени не выше первой) представим в виде alpha,lambda+beta . Получим

lambda^m=p(lambda)(lambda^2-3 lambda)+alphacdot lambda+beta,

где p(lambda) — частное, а (alphacdotlambda+beta) — остаток. Найдем коэффициенты alpha и beta , подставляя в равенство корни минимального многочлена:

– при lambda=0 имеем: 0^m=p(lambda) cdot0+alphacdot0+beta ;

– при lambda=3 имеем: 3^m=p(lambda) cdot0+alphacdot3+beta ;

Следовательно, $alpha=3^{m-1},~beta=0$ . Поэтому $lambda^m=p(lambda) (lambda^2-3 lambda)+3^{m-1}lambda$ . Теперь подставим вместо переменной lambda матрицу

$A^m=p(A)cdot(A^2-3cdot A)+3^{m-1}cdot A=p(A)cdot O+3^{m-1}cdot A= 3^{m-1}cdot! begin{pmatrix}1&1&1\ 1&1&1\ 1&1&1 end{pmatrix}!.$

Результат совпадает с полученным в примере 7.10.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

watchmaker писал(а):

Лучше обратить внимание на яркость экрана и на лишний софт в системе.

На самом деле я заинтересовался этим больше из-за желания снизить шум от кулера. Установив множитель на 6х, удалось снизить температуру процессора до 53 градусов, что снизило обороты кулера до 20% от максимума. Впервые такую «тишину» услышал. Мало ли, вдруг еще тише можно сделать. На ноуте в основном запущен только браузер, и кажется что урезанному процессору хуже от этого не стало.
Так же, недавно установил программу Notebook FanControl, ограничил обороты кулера до 12,5%, стало еще тише немного и температура в принципе не растет в простое.

Источник

if __name__ == '__main__':
    a = int(input())
    b = int(input())

    i = 1
    j = 1

    for i in range(2, 10000):
        if i != 0:
            if a / i == 0 and b / i == 0:
                print(i)
                break

    for j in range(2, 10000):
        if j / a == 0 and j / b == 0:
            print(j)
            break

мне нужно найти наибольшее натуральное число, на которое a и b делится без остатка и наименьшее натуральное число, которое делится на a и b без остатка

Danis

19.1k5 золотых знаков20 серебряных знаков55 бронзовых знаков

задан 24 окт 2020 в 10:52

Наибольший общий делитель:

def bcs(a, b):
    while a!= 0 and b!= 0:
        if a>b:
            a%=b
        else:
            b%=a
    print(a+b)

Наименьшее общее кратное:

def lcm(a, b):
    m = a * b
    while a != 0 and b != 0:
        if a > b:
            a %= b
        else:
            b %= a
    print(m // (a + b))

vp_arth

27.1k2 золотых знака45 серебряных знаков76 бронзовых знаков

ответ дан 24 окт 2020 в 11:39

arachnodenarachnoden

1,1481 золотой знак15 серебряных знаков37 бронзовых знаков

Источник

Наименьшее о́бщее кратное (HOK) двух целых чисел — это наименьшее натуральное число, которое делится на оба без остатка, то есть кратно им обоим. К примеру, для чисел 6 и 4, наименьшим общим кратным будет 12.

Как найти НОК?

Способов найти НОК несколько. Мы рассмотрим один из часто используемых в математике — это нахождение НОК при помощи разложения чисел на простые множители. В общем случае алгоритм будет выглядеть следующим образом:

разложить оба числа на простые множители;
выбрать одну группу множителей;
добавить к ним множители из второй группы, которые отсутствуют в выбранной;
найти их произведение.

Примеры нахождения наименьшего общего кратного

Рассмотрим приведенный алгоритм на конкретных примерах:

Пример 1: найти НОК 4 и 6

1. Раскладываем 6 и 4 на простые множители:

2. Возьмем первую группу множителей: 2 · 3.

3. Смотрим вторую группу (2 · 2) и видим, что из двух двоек, одна присутствует в первом разложении. Таким образом, берем только одну двойку. Добавляем к первому разложению и получаем: 2 · 3 · 2

4. Вычисляем произведение: 2 · 3 · 2 = 12.

Ответ: НОК (6; 4) = 12

Пример 2: найти НОК 32 и 20

1. Раскладываем 32 и 20 на простые множители:

2. Возьмем первую группу множителей: 2 · 2 · 2 · 2 · 2.

3. Смотрим вторую группу (2 · 2 · 5) и видим, что из двух двоек и пятерки, обе двойки присутствуют в первом разложении. Таким образом, берем только пятерку. Добавляем к первому разложению и получаем: 2 · 3 · 2

4. Вычисляем произведение: 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 5 = 160.

Ответ: НОК (32; 20) = 160

Источник