Как найти минимальный разрез транспортной сети

Как найти минимальный разрез в сети

Решить задачу нахождения максимального потока в транспортной сети с помощью алгоритма Форда—Фалкерсона, и построить разрез сети S.
Исходные данные:
Дана сеть S(X,U)
— исток сети; — сток сети, где ∈X; ∈X.
Значения пропускных способностей дуг заданы по направлению ориентации дуг: от индекса i к индексу j.

r[0,1] = 39; r[4,7] = 44; r[6,3] = 33; r[5,7] = 53; r[0,2] = 10;
r[4,2] = 18; r[6,7] = 95; r[5,4] = 16; r[0,3] = 23; r[2,5] = 61;
r[2,1] = 81; r[6,5] = 71; r[1,4] = 25; r[2,6] = 15; r[3,2] = 20

1. Зададим на сети нулевой поток (на всех дугах величина потока равна 0). Нулевой поток — это начальный допустимый поток на сети. Значение потока на каждой дуге будем указывать за скобками пропускной способности дуги.). Значение потока, равное «0», не указываем.
2. Выбираем на сети (произвольно) путь, ведущий из вершины x0 в вершину x7:
X0-X1-X4-X6-X7
3. Находим и увеличиваем поток на эту величину. Ребро Х1-Х4 помечаем как рассмотренное.

4. Выбираем еще один путь, например: Х0-Х2-Х5-Х7, находим и увеличиваем поток на эту величину. Ребро Х0-Х2 помечаем как рассмотренное.

5. Выбираем еще один путь, например: Х0-Х3-Х2-Х5-Х7, находим и увеличиваем поток на эту величину. Ребро Х3-Х2 помечаем как рассмотренное.

6. Более путей от Х0 до Х7 нет, суммируем увеличения потока: 25+10+20=55.
Вывод: максимальный поток равен 55.

2) Построить разрез сети S.
Процедура «пометок вершин».
Начальное состояние: все вершины не имеют пометок.
Вершине Х0 приписывается пометка. Всем вершинам , для которых дуга не насыщена присваиваются пометки ( красные круги)

Определяем дуги минимального разреза: это дуги, начала которых находятся в помеченных вершинах, а концы — в непомеченных вершинах.
Это дуги:
Таким образом, минимальный разрез данной сети
Вычисление величины максимального потока

Алгоритм Форда-Фалкерсона

Привет, Хабр!
В свободное от учебы время пишу статьи, которых мне не хватало несколько лет назад.

При решении задачи о максимальном потоке я столкнулся с тем, что во всех мне известных источниках было дано формальное описание самих алгоритмов, что очень сильно затрудняло понимание изложенного материала. И в этой статье я попробую на базовом уровне разобрать Алгоритм Форда-Фалкерсона на конкретном примере, чтобы после прочтения данной статьи, вы хотя бы понимали основную суть самого алгоритма.

Постановка задачи

Имеется следующий ориентированный граф, в котором вес ребра обозначает пропускную способность между вершинами. Нужно найти максимальный поток, который можно пропустить из истокав сток.

Исходный граф

Как работает сам алгоритм?

Следует понимать остаточную сеть как тот же граф, который имеется на входе, но в этом случае мы будем производить над ним некоторые операции:

Отправлять определенное количество потока из текущей вершины в соседние.

Возвращать определенное количество потока из соседних вершин в текущую.

В начальный момент времени поток, который мы хотим провести через нашу сеть, должен быть равен нулю. Остаточная сеть совпадает с исходной сетью.

Находим любой путь из истока в сток в остаточной сети. Если путь не находим, утверждается, что поток является максимальным.

Пускаем через найденный путь поток равный минимальному весу ребра, которое входит в множество рёбер найденного пути.

Из веса рёбер на этом пути высчитываем размер потока, который мы пустили.

А к весу обратных рёбер (будем считать, что они существуют в остаточной сети и равны 0) прибавляем размер потока. Другими словами, на предыдущем шаге мы отправили некоторое количество потока из текущей вершины в следующую, а теперь при желании можем вернуть это же количество потока обратно в текущую.

Возвращаемся обратно к нахождению пути в остаточной сети после модификации.

Разбор конкретного примера

Разобьем одну итерацию проведения потока по выбранному пути на маленькие шаги, чтобы визуально стало понятно, как меняется остаточная сеть после проталкивания очередного потока.

Допустим наш алгоритм нашел следующий путь из вершинывнашей остаточной сети, которая на момент начала, совпадает с исходным графом.

Сколько потока можем провести по этому пути.
— Больше 2 ед. мы никак не сможем пустить, пропускаем наш поток по этим рёбрам из истока в сток.
Получаем следующее:

Рёбра с нулевым весом можно удалять. Таким образом, на первой итерации мы смогли увеличить максимальный поток на 2 ед.

Теперь дело за малым, остается всего лишь итерироваться до тех пор, пока существует путь из в .

Допустим, на 2-ой итерации мы нашли такой путь в нашей остаточной сети:

Пропускаем 3 ед . потока по этому пути, и перестраиваем остаточную сеть.
Получаем следующее:

На 3-ей итерации нашли такой путь в нашей модифицированной остаточной сети:

Пускаем 1 ед. потока по этому пути и перестраиваем нашу остаточную сеть.
Получим следующую картину:

На 4-ой итерации находим следующий путь в остаточной сети:

Пускаем 4 ед. потока по этому пути и перестраиваем нашу остаточную сеть.
Получим следующую картину:

Итоговая остаточная сеть

На этом этапе наш алгоритм прекратит выполнение из-за того, что пути из истока в сток не существует. И ответом к поставленной задаче будет служить сумма потоков всех найденных увеличивающихся путей.
Ответ: 10 ед.

Спасибо большое за внимание, надеюсь, был полезен!
Буду рад любым отзывам или поправкам для повышения доступности изложения материала!

Максимальный поток и минимальный разрез

Теорема Форда-Фалкерсона 1 (о максимальном потоке и минимальном разрезе).

В любой сети существует максимальный поток. Величина максимального потока равна пропускной способности минимального разреза.

Теорема Форда-Фалкерсона 2.

Поток, вычисленный с помощью алгоритма Форда-Фалкерсона имеет максимальную величину, а разрез , где -множество вершин, помеченных при последнем помечивании, имеет минимальную пропускную способность.

Нахождение максимального потока и построение минимального разреза в сети с использованием алгоритма Форда-Фалкерсона

В данной задаче основным параметром на дугах сети является – пропускная способность. Пропускная способность показывает, сколько единиц потока может быть передано по дугам сети. Таким образом, потоком в сетиD = [N, M] называется неотрицательная вещественная функция, удовлетворяющая условиям:

1. ограниченности: поток по любой дуге сети не превосходит пропускной способности этой дуги ;

2. сохранения: суммарный поток, заходящий в любую вершину сети (кроме истока и стока), равен суммарному потоку, выходящему из этой вершины.

Дуга сети называется насыщенной, если поток по этой дуге равен пропускной способности этой дуги, т. е. .

Разрезом сетиназывается множество дуг, удаление которых из сети приводит к тому, что исток и сток оказываются несвязанными.

Пропускной способностью разрезаназывается число, равное сумме пропускных способностей дуг этого разреза. Разрез называется минимальным, если имеет наименьшую пропускную способность.

Отыскание минимального разреза – одна из основных задач анализа транспортных сетей. В силу конечности графа минимальный разрез может быть найден перебором всех разрезов, но этот путь, конечно, неприемлем для достаточно больших графов.

Минимальный разрез можно отыскать при помощи теоремы Форда – Фалкерсона: в любой транспортной сети величина любого максимального потокаравна пропускной способности любого минимального разреза.

Для нахождения максимального потока в сети разработан алгоритм Форда – Фалкерсона. Перед началом выполнения алгоритма все вершины сети нумеруются произвольным образом, кроме источника и стока (источник получает минимальный номер 1, сток – максимальный , где – число узлов).

Алгоритм состоит из следующих основных шагов:

1. Определить начальный поток в сети, сложив потоки по дугам, выходящим из источника.

2. Вершинам сети присвоить целочисленные метки, а дугам – знаки «+» и «–» по следующим правилам:

а) вершине-истоку присвоить метку ;

б) находим непомеченнуювершину , смежную помеченнойвершине . Если поток по соединяющей вершины дуге меньше пропускной способности этой дуги, то происходит помечивание, иначе переходим к рассмотрению следующей вершины. Если вершина является образомпомеченной вершины , то происходит прямое помечивание (дуга в прямом направлении допустима): вершина получает метку, равную номеру вершины , соединяющая вершины дуга получает метку «+», переходим к рассмотрению следующей вершины. Если вершина не имеет ни одного помеченного прообраза, поток по дуге в прямом направлении больше 0, то происходит обратное помечивание (дуга допустима в обратном направлении): вершина получает метку, равную номеру вершины (являющейся в данном случае ее образом), соединяющая вершины дуга получает метку «–», происходит переход к рассмотрению следующей вершины. Процесс помечивания продолжается до тех пор, пока все удовлетворяющие этим условиям вершины не получат метку.

3. Если в результате процедуры помечивания вершина-сток метки не получила, то текущий поток – максимальный, переход к шагу 5. В противном случае перейти к пункту 4.

4. Рассмотреть последовательность вершин L, метка каждой из которых равна номеру следующей за ней вершины, и множество дуг МL, соединяющих соседние вершины из L.

Построение нового потока по схеме:

а) Если дуга принадлежит множеству МL (смотри выше) и имеет знак «+», то новый поток по этой дуге = старый поток по этой дуге + Δ (схему нахождения смотри далее).

б) Если дуга принадлежит множеству МL и имеет знак «–», то новый поток по этой дуге = старый поток по этой дуге – Δ.

в) Если дуга не принадлежит множеству МL, то поток по дуге оставляем без изменения.

I. , где для нахождения рассматриваются все дуги, принадлежащие множеству МL и имеющие знак «+», и для каждой такой дуги вычисляется разность между пропускной способностью дуги и потоком по этой дуге ( ). Затем из этих значений разностей выбирается минимальное значение и присваивается .

II. Для нахождения рассматриваются все дуги, принадлежащие множеству МL и имеющие знак «–». Затем из этих дуг выбирается дуга с минимальным потоком ( ), и значение потока по этой дуге присваивается .

Перейти к шагу 2.

5. Определяем максимальный поток, складывая начальный поток и все полученные изменения потока.

В оптимальном решении, т. е. когда найден максимальный поток, минимальный разрез образуется насыщенными дугами.

Дата добавления: 2019-02-22 ; просмотров: 5017 ; Мы поможем в написании вашей работы!