Как найти минимум функции егэ - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Задание 11 первой части Профильного ЕГЭ по математике — это нахождение точек максимума и минимума функции, а также наибольших и наименьших значений функции с помощью производной.

Вот какие типы задач могут встретиться в этом задании:

Нахождение точек максимума и минимума функций

Исследование сложных функций

Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке

Нахождение точек максимума и минимума функций

1. Найдите точку максимума функции $displaystyle y=-{{x^2+289}over{x}}.$

Найдем производную функции.

Приравняем производную к нулю. Получим:

$x^2=289Leftrightarrow left[ begin{array}{c} x=17, hfill \ x=-17. end{array} right.$

Исследуем знаки производной.

В точке x = 17 производная меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, x= 17 — точка максимума функции y(x).

Ответ: 17.

2. Найдите точку минимума функции

Найдем производную функции.

Приравняем производную к нулю.

$4x-5+{{1}over{x}}=0Leftrightarrow 4x^2-5x+1=0Leftrightarrow left[ begin{array}{c} x=1, \ x={{1}over{4}}. end{array} right.$

Определим знаки производной.

В точке x = 1 производная меняет знак с «минуса» на «плюс». Значит, x= 1 — точка минимума функции y(x).

Ответ: 1.

Исследование сложных функций

3. Найдите точку максимума функции $y=2^{5-8x-x^2}.$

Перед нами сложная функция $y=2^{5-8x-x^2}.$ Возможно, вы знаете формулы производной сложной функции. Но вообще-то их изучают на первом курсе вуза, поэтому мы решим задачу более простым способом.

Так как функция y=2^t монотонно возрастает, точка максимума функции $y=2^{5-8x-x^2}$ будет при том же x_0 , что и точка максимума функции А ее найти легко.

$t^{$

$t^{$ при x=-4 . В точке x = -4 производная ${{ t}}^{{$ меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, x= - 4 — точка максимума функции .

Заметим, что точку максимума функции можно найти и без производной.

Графиком функции является парабола ветвями вниз, и наибольшее значение достигается в вершине параболы, то есть при $x=-frac{8}{2}=-4.$

Ответ: — 4.

4. Найдите абсциссу точки максимума функции $y=sqrt{4-4x-x^2}.$

Напомним, что абсцисса — это координата по

Снова сложная функция. Применяем тот же прием, что и в предыдущей задаче.

Так как функция монотонно возрастает, точка максимума функции $y=sqrt{4-4x-x^2}$ является и точкой максимума функции

Это вершина квадратичной параболы $tleft(xright)=4-4x-x^2;x_0=frac{-4}{2}=-2.$

Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке

5. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Мы помним, что наибольшее значение функции на отрезке может достигаться либо в точке максимума, либо на конце отрезка. Эти случаи показаны на рисунке.

Будем искать точку максимума функции с помощью производной. Найдем производную и приравняем ее к нулю.

${3x}^2+4x-4=0;$

$D=64;x=frac{-4pm 8}{6};x_1=frac{2}{3},x_2=-2.$

Найдем знаки производной.

В точке x = - 2 производная равна нулю и меняет знак с «+» на «-«. Значит, x = — 2 — точка максимума функции y(x) . Поскольку при функция y(x) убывает, $y_{max}left(xright)=yleft(-2right)=12.$ В этой задаче значение функции на концах отрезка искать не нужно.

Ответ: 12.

6. Найдите наименьшее значение функции $y={4x}^2-10x+2lnx-5$ на отрезке

Найдем производную функции $y={4x}^2-10x+2lnx-5$ и приравняем ее к нулю.

при $x_1=1,x_2=frac{1}{4}.$

Найдем знаки производной.

Точка x_1=1 — точка минимума функции . Точка $x_2=frac{1}{4}$ не лежит на отрезке Поэтому

и Значит, наименьшее значение функции на отрезке достигается при x=1. Найдем это значение.

$y_{min}left(xright)=yleft(1right)=4-10-5=-11.$

Ответ: -11.

7. Найдите наименьшее значение функции на отрезке $left[frac{1}{18};frac{5}{18}right].$

Иногда перед тем, как взять производную, формулу функции полезно упростить.

Мы применили формулу для логарифма произведения. при $x=frac{1}{9}.$

Если то Если , то

Значит, $x=frac{1}{9}$ — точка минимума функции y(x) . В этой точке и достигается наименьшее значение функции на отрезке $left[frac{1}{18};frac{5}{18}right].$

$y_{min}left(xright)=yleft(frac{1}{2}right)=1+3=4.$

Ответ: 4.

8. Найдите наибольшее значение функции на отрезке $left[-frac{pi }{3};frac{pi }{3}right].$

Найдем производную функции

Приравняем производную к нулю: $14-frac{7}{{cos}^2x}=0.$

${cos}^2x=frac{1}{2}.$

${cos}^2x=pm frac{1}{sqrt{2}}=pm frac{sqrt{2}}{2}$ . Поскольку $xin left[-frac{pi }{3};frac{pi }{3}right], y$ если $x=pm frac{pi }{4}.$

Найдем знаки производной на отрезке $left[-frac{pi }{3};frac{pi }{3}right].$

При $x=frac{pi }{4}$ знак производной меняется с «плюса» на «минус». Значит, $x=frac{pi }{4}$ — точка максимума функции y(x).

Мы нашли точку максимума, но это еще не все. Сравним значения функции в точке максимума и на конце отрезка, то есть при $x=-frac{pi }{3}$ и $x =frac{pi }{4}.$

$yleft(frac{pi }{4}right)=-7+11=4;$

Мы нашли, что $y_{max}left(xright)=yleft(frac{pi }{4}right)=-7+11=4.$

Заметим, что если вам попадется такая задача в первой части ЕГЭ по математике, то находить значение функции при $-frac{pi }{3}$ не обязательно. Как мы видим, это значение — число иррациональное. А в первой части ЕГЭ по математике ответом может быть только целое число или конечная десятичная дробь.

Ответ: 4.

9. Найдите наименьшее значение функции $y=e^{2x}-{8e}^x+9$ на отрезке [0;2].

Снова сложная функция. Запишем полезные формулы:

${{(e}^{-x})}^{$

${left(e^{cx}right)}^{$

${(e}^{x+a})$

Найдем производную функции $y=e^{2x}-{8e}^x+9.$

если e^x=4. Тогда x=ln4.

При x=ln4 знак производной меняется с «минуса» на «плюс». Значит, x=ln4 — точка минимума функции y(x).

Ответ: -7.

10. Найдите наибольшее значение функции на отрезке $left[0;frac{pi }{2}.right]$

Как всегда, возьмем производную функции и приравняем ее к нулю.

$sinx=frac{sqrt{3}}{2}.$

По условию, $xin left[0;frac{pi }{2}right]$ . На этом отрезке условие $sinx=frac{sqrt{3}}{2}$ выполняется только для $x=frac{pi }{3}.$ Найдем знаки производной слева и справа от точки $x=frac{pi }{3}.$

В точке $x_0=frac{pi }{3}$ производная функции меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, точка $x_0=frac{pi }{3}$ — точка максимума функции y(x) . Других точек экстремума на отрезке $left[0;frac{pi }{2}right]$ функция не имеет, и наибольшее значение функции на отрезке $left[{ 0};frac{pi }{{ 2}}right]$ достигается при ${ x=}frac{pi }{{ 3}}.$

$y_{max}left(xright)=yleft(frac{pi }{3}right)=12.$

Ответ: 12.

11.Найдите наименьшее значение функции на отрезке $left[0;frac{pi }{2}right].$

Найдем производную функции и приравняем ее к нулю. — нет решений.

Что это значит? Производная функции не равна нулю ни в какой точке. Это значит, что знак производной в любой точке одинаков, а функция не имеет экстремумов и является монотонной.

Поскольку , получим, что для всех , и функция монотонно возрастает при $xin left[0;frac{pi }{2}right].$

Значит, наименьшее свое значение функция принимает в левом конце отрезка $left[{ 0};frac{pi }{{ 2}}right]$ , то есть при x=0.

$y_{min}left(xright)=yleft(0right)=6.$

Ответ: 6

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Задание 11 Профильного ЕГЭ по математике» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Минимумом называют точку на функции, в которой значение функции меньше, чем в соседних точках.

Максимумом называют точку на функции, в которой значение функции больше, чем в соседних точках.

Также можно сказать, что в этих точках меняется направление движения функции: если функция перестает падать и начинает расти – это точка минимума, наоборот – максимума.

Минимумы и максимумы вместе именуют экстремумами функции.

Иными словами, все пять точек, выделенных на графике выше, являются экстремумами.

В точках экстремумов (т.е. максимумов и минимумов) производная
равна нулю.

Благодаря этому найти эти точки не составляет проблем, даже если у вас нет графика функции.

Внимание! Когда пишут экстремумы или максимумы/минимумы имеют в виду значение функции т.е. (y). Когда пишут точки экстремумов или точки максимумов/минимумов имеют в виду иксы в которых достигаются максимумы/минимумы. Например, на рисунке выше, (-5) точка минимума (или точка экстремума), а (1) – минимум (или экстремум).

Как найти точки экстремумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Давайте вместе найдем количество точек экстремума функции по графику производной на примере:

У нас дан график производная — значит ищем в каких точках на графике производная равна нулю. Очевидно, это точки (-13), (-11), (-9),(-7) и (3). Количество точек экстремума функции – (5).

Внимание! Если дан график производной функции, а нужно найти точки экстремумов функции, мы не считаем максимумы и минимумы производной! Мы считаем точки, в которых производная функции обращается в ноль (т.е. пересекает ось (x)).

Как найти точки максимумов или минимумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно вспомнить еще два важных правил:

— Производная положительна там, где функция возрастает.
— Производная отрицательна там, где функция убывает.

С помощью этих правил давайте найдем на графике производной точки минимума и максимума функции.

Понятно, что минимумы и максимумы надо искать среди точек экстремумов, т.е. среди (-13), (-11), (-9),(-7) и (3).

Чтобы проще было решать задачу расставим на рисунке сначала знаки плюс и минус, обозначающие знак производной. Потом стрелки – обозначающие возрастание, убывания функции.

Начнем с (-13): до (-13) производная положительна т.е. функция растет, после — производная отрицательна т.е. функция падает. Если это представить, то становится ясно, что (-13) – точка максимума.

(-11): производная сначала положительна, а потом отрицательна, значит функция возрастает, а потом убывает. Опять попробуйте это мысленно нарисовать и вам станет очевидно, что (-11) – это минимум.

(- 9): функция возрастает, а потом убывает – максимум.

(-7): минимум.

(3): максимум.

Все вышесказанное можно обобщить следующими выводами:

— Функция имеет максимум там, где производная равна нулю и меняет знак с плюса на минус.
— Функция имеет минимум там, где производная равна нулю и меняет знак с минуса на плюс.

Как найти точки максимумов и минимумов если известна формула функции (12 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно делать все то же, что и в предыдущем пункте: находить где производная положительна, где отрицательна и где равна нулю. Чтобы было понятнее напишу алгоритм с примером решения:

Найдите производную функции (f'(x)).
Найдите корни уравнения (f'(x)=0).
Нарисуйте ось (x) и отметьте на ней точки полученные в пункте 2, изобразите дугами промежутки, на которые разбивается ось. Подпишите над осью (f'(x)), а под осью (f(x)).
Определите знак производной в каждом промежутке (методом интервалов).
Поставьте знак производной в каждом промежутке (над осью), а стрелкой укажите возрастание (↗) или убывание (↘) функции (под осью).
Определите, как изменился знак производной при переходе через точки, полученные в пункте 2:
— если (f’(x)) изменила знак с «(+)» на «(-)», то (x_1) – точка максимума;
— если (f’(x)) изменила знак с «(-)» на «(+)», то (x_3) – точка минимума;
— если (f’(x)) не изменила знак, то (x_2) – может быть точкой перегиба.

Всё! Точки максимумов и минимумов найдены.

Изображая на оси точки в которых производная равна нулю – масштаб можно не учитывать. Поведение функции можно показать так, как это сделано на рисунке ниже. Так будет очевиднее где максимум, а где минимум.

Пример(ЕГЭ). Найдите точку максимума функции (y=3x^5-20x^3-54).
Решение:
1. Найдем производную функции: (y’=15x^4-60x^2).
2. Приравняем её к нулю и решим уравнение:

(15x^4-60x^2=0) (|:15)
(x^4-4x^2=0)
(x^2 (x^2-4)=0)
(x=0) (x^2-4=0)
(x=±2)

3. – 6. Нанесем точки на числовую ось и определим, как меняется знак производной и как движется функция:

Теперь очевидно, что точкой максимума является (-2).

Ответ. (-2).

Смотрите также:
Связь функции и её производной | 7 задача ЕГЭ
Разбор задач на поиск экстремумов, минимумов и максимумов

Скачать статью

Источник

В (11) задании ЕГЭ нужно уметь находить точки минимума и максимума функции, определять наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

За правильное выполнение задания даётся (1) первичный балл.

Пример:

найди точку минимума функции

y=(x+5)2(x−1)+7

Алгоритм выполнения задания

1. Определи тип задания:

найди точку максимума (минимума);
найди точку максимума (минимума) на отрезке;
найди максимальное (минимальное) значение функции;
найди максимальное (минимальное) значение функции на отрезке.

2. Вычисли производную (f’(x)).

3. Реши уравнение (f’(x)=0).

4. Выполни действия в соответствии с типом задания, сделай вывод.

5. Запиши в ответе значение, которое требуется найти.

Как решить задание из примера?

1. В задании нужно найти точку максимума.

2. Производная функции:

y′=2(x+5)(x−1)+x+52=(x+5)(2x−2+x+5)=3(x+5)(x+1).

3. Приравняем производную к нулю и найдём корни уравнения:

4. Найдём промежутки возрастания и убывания функции (рис. (1)). В точке (-1) функция меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка минимума.

Рис. (1). Промежутки возрастания и убывания функции

5. Запишем ответ (непосредственно в самом задании — без точки в конце).

Ответ: (-1).

Обрати внимание!

В заданиях «Как на ЕГЭ» ответы записывай в виде целого числа или десятичной дроби без пробелов и точки в конце.

Если получилась обыкновенная дробь и её нельзя перевести в конечную десятичную дробь — ищи ошибку в решении!

Источники:

Рис. 1. Промежутки возрастания и убывания функции. © ЯКласс.

Источник

Наибольшее (наименьшее) значение функции – это самое большое (маленькое) принимаемое значение ординаты на рассматриваемом интервале.

Чтобы найти наибольшее или наименьшее значение функции необходимо:

Найти производную функции $f'(х)$
Найти стационарные точки, решив уравнение $f'(х)=0$
Проверить, какие стационарные точки входят в заданный отрезок.
Вычислить значение функции на концах отрезка и в стационарных точках из п.3
Выбрать из полученных результатов наибольшее или наименьшее значение.

Чтобы найти точки максимума или минимума необходимо:

Найти производную функции $f'(х)$
Найти стационарные точки, решив уравнение $f'(х)=0$
Разложить производную функции на множители.
Начертить координатную прямую, расставить на ней стационарные точки и определить знаки производной в полученных интервалах, пользуясь записью п.3.
Найти точки максимума или минимума по правилу: если в точке производная меняет знак с плюса на минус, то это будет точка максимума (если с минуса на плюс, то это будет точка минимума). На практике удобно использовать изображение стрелок на промежутках: на промежутке, где производная положительна, стрелка рисуется вверх и наоборот.

Таблица производных некоторых элементарных функций:

Функция	Производная
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^n, n∈N$	$nx^{n-1}, n∈N$
${1}/{x}$	$-{1}/{x^2}$
${1}/x{^n}, n∈N$	$-{n}/{x^{n+1}}, n∈N$
$√^n{x}, n∈N$	${1}/{n√^n{x^{n-1}}, n∈N$
$sinx$	$cosx$
$cosx$	$-sinx$
$tgx$	${1}/{cos^2x}$
$ctgx$	$-{1}/{sin^2x}$
$cos^2x$	$-sin2x$
$sin^2x$	$sin2x$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^xlna$
$lnx$	${1}/{x}$
$log_{a}x$	${1}/{xlna}$

Основные правила дифференцирования

1. Производная суммы и разности равна производной каждого слагаемого

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

Пример:

Найти производную функции $f(x) = 3x^5 – cosx + {1}/{x}$

Производная суммы и разности равна производной каждого слагаемого

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+({1}/{x})’=15x^4+sinx-{1}/{x^2}$

2. Производная произведения.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

Пример:

Найти производную $f(x)=4x∙cosx$

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. Производная частного

$({f(x)}/{g(x)})’={f^'(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)’}/{g^2(x)}$

Пример:

Найти производную $f(x)={5x^5}/{e^x}$

$f'(x)={(5x^5)’∙e^x-5x^5∙(e^x)’}/{(e^x)^2}={25x^4∙e^x-5x^5∙e^x}/{(e^x)^2}$

4. Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

Пример:

$f(x)= cos(5x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= — sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

Пример:

Найдите точку минимума функции $y=2x-ln⁡(x+11)+4$

Решение:

1. Найдем ОДЗ функции: $х+11>0; х>-11$

2. Найдем производную функции $y’=2-{1}/{x+11}={2x+22-1}/{x+11}={2x+21}/{x+11}$

3. Найдем стационарные точки, приравняв производную к нулю

${2x+21}/{x+11}=0$

Дробь равна нулю если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю

$2x+21=0; x≠-11$

$2х=-21$

$х=-10,5$

4. Начертим координатную прямую, расставим на ней стационарные точки и определим знаки производной в полученных интервалах. Для этого подставим в производную любое число из крайней правой области, например, нуль.

$y'(0)={2∙0+21}/{0+11}={21}/{11}>0$

5. В точке минимума производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, точка $-10,5$ — это точка минимума.

Ответ: $-10,5$

Пример:

Найдите наибольшее значение функции $y=6x^5-90x^3-5$ на отрезке $[-5;1]$

Решение:

1. Найдем производную функции $y′=30x^4-270x^2$

2. Приравняем производную к нулю и найдем стационарные точки

$30x^4-270x^2=0$

Вынесем общий множитель $30x^2$ за скобки

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(х-3)(х+3)=0$

Приравняем каждый множитель к нулю

$x^2=0 ; х-3=0; х+3=0$

$х=0;х=3;х=-3$

3. Выберем стационарные точки, которые принадлежат заданному отрезку $[-5;1]$

Нам подходят стационарные точки $х=0$ и $х=-3$

4. Вычислим значение функции на концах отрезка и в стационарных точках из п.3

$y(-5)= 6∙(-5)^5-90∙(-5)^3-5=6∙(-3125)+90∙125-5= -18750+11250-5=-7505$

$y(-3)= 6∙(-3)^5-90∙(-3)^3-5=-1458+2430-5=967$

$y(0)= -5$

$y(1)= 6∙1^5-90∙1^3-5=6-90-5= -89$

Наибольшее значение равно $967$

Ответ: $967$

Источник

Аналогичные рассуждения, если функция убывает: значение функции в следующей точке будет меньше, чем в предыдущей, значит производная будет отрицательной.

Итак, если производная положительна на промежутке, то это значит, что функция на этом промежутке возрастает. На рисунке 1 такие участки показаны зеленым. А если производная отрицательна, то функция убывает, на рисунке 1 участки показаны синим:

$$f^{/}(x)>0 leftrightarrow f(x) Uparrow ;$$
$$f^{/}(x)<0 leftrightarrow f(x) Downarrow ;$$

Кроме этого, производная от функции может быть равна нулю. Функция в той точке, где производная равна нулю, будет принимать наибольшее или наименьшее значение в окрестности этой точки. На графике нашей функции (Рис. 1) эти точки выглядят как «холмы» и «впадины».

Обратите внимание, что «холмов» и «впадин» на графике может быть бесконечно много, какие-то из этих «холмов» будут выше, какие-то ниже. Производная равна нулю во всех таких точках. И значения функции во всех таких точках я называю наибольшими и наименьшими, хотя на самом деле это локальные наибольшие и наименьшие значения.

Кстати, ТОЧКАМИ минимума или максимума называют координаты «холмов» и «впадин» по оси (x). Еще их называют точками экстремума функции: это общее название для минимумов и максимумов. Поэтому, когда вас просят найти точки экстремума, это значит найти координаты по оси (x) и минимумов, и максимумов.

В точке (x=-2) будет минимум функции. Точка (x=-3) из знаменателя, поэтому на рисунке она выколотая: ее мы не рассматриваем.

Чтобы определить наименьшее значение, подставим в исходную функцию найденную точку минимума и концы отрезка (xin[-2,5;0]):
$$y(-2)=3x—ln(x+3)^3=3*(-2)-ln(-2+3)^3=-6-0=-6;$$
$$y(-2,5)=3x—ln(x+3)^3=3*(-2,5)-ln(-2,5+3)^3=-7,5-ln(0,5)^3;$$
$$y(0)=3x—ln(x+3)^3=3*0-ln(0+3)^3=ln(3)^3;$$

Обратите внимание, что значение функции в точках ((-2,5)) и ((0)) получились «плохие»: мы не можем посчитать значения таких логарифмов без калькулятора. Поэтому, если возникает такая ситуация, то мы просто отбрасываем эти значения, ведь в заданиях ЕГЭ в первой части не может быть иррациональных значений. Такая маленькая хитрость. Но будьте внимательны, может быть, иррациональные значения у вас получаются, потому что где-то ошибка.

Кстати, подставлять в этом примере границы отрезка необязательно еще и по другой причине: на промежутке ([-2,5;-2)) функция убывает, а на промежутке ((-2;0]] возрастает. Минимальное значение на указанном промежутке может быть только в точке минимума.

Ответ: (-6.)

Пример 21
Найдите наименьшее значение функции (y=x*sqrt{x}-9x+25) на интервале ([1;50].)

Производную от данной функции можно посчитать, воспользовавшись формулой производной от произведения ((f(x)*g(x))^{/}=(f(x))^{/}*g(x)+f(x)*(g(x))^{/}:)
$$y^{/}=(x*sqrt{x}-9x+25)^{/}=(xsqrt{x})^{/}-(9x)^{/}+25^{/}=x^{/}*sqrt{x}+x*(sqrt{x})^{/}-9=$$
$$=1*sqrt{x}+x*frac{1}{2sqrt{x}}-9=sqrt{x}+frac{sqrt{x}*sqrt{x}}{2sqrt{x}}-9=sqrt{x}+frac{1}{2}*sqrt{x}-9=frac{3}{2}*sqrt{x}-9;$$
Есть другой вариант взятия производной, на мой взгляд, он легче. Для это мы представим квадратный корень в виде степени:
$$sqrt{x}=x^{frac{1}{2}};$$
$$y^{/}=(x*sqrt{x}-9x+25)^{/}=(x*x^{frac{1}{2}}-9x+25)^{/}=(x^{frac{3}{2}-9x+25)^{/}=frac{3}[2}*x^{frac{1}{2}}-9=frac{3}{2}*sqrt{x}-9;$$

Приравниваем производную к нулю и находим корни уравнения на указанном интервале:
$$frac{3}{2}*sqrt{x}-9=0;$$
$$sqrt{x}=9*frac{2}{3};$$
$$sqrt{x}=6;$$
$$x=36;$$
На числовой прямой определяем знаки производной и промежутки возрастания и убывания функции:

Источник

Минимумом называют точку на функции, в которой значение функции меньше, чем в соседних точках.

Максимумом называют точку на функции, в которой значение функции больше, чем в соседних точках.

Минимумы и максимумы вместе именуют экстремумами функции.

В точках экстремумов (т.е. максимумов и минимумов) производная равна нулю.

Как найти точки экстремумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Как найти точки максимумов или минимумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

— Производная положительна там, где функция возрастает. — Производная отрицательна там, где функция убывает.

Как найти точки максимумов и минимумов если известна формула функции (12 задание ЕГЭ)?

Таблица производных некоторых элементарных функций:

Основные правила дифференцирования

В точках экстремумов (т.е. максимумов и минимумов) производная
равна нулю.

— Производная положительна там, где функция возрастает.
— Производная отрицательна там, где функция убывает.