Как найти много член

Содержание:

Многочлены

Многочлен

Выражение

Определение: Многочленом называют сумму нескольких одночленов.

Одночлены, составляющие многочлен, называют членами этого многочлена.

Например, членами многочлена являются одночлены

Многочлен, состоящий из двух членов, называют двучленом, многочлен, состоящий из трех членов, — трехчленом и т. д. Так,

— двучлены;

— трехчлены.

Считают, что каждый одночлен является многочленом, который состоит из одного члена.

Многочлен стандартного вида

Рассмотрим многочлен Два его члена являются подобными слагаемыми, поскольку отличаются только числовыми множителями. Члены -6 и 3 не содержат переменных. Они также являются подобными слагаемыми. Подобные слагаемые многочлена называют подобными членами многочлена.

Приведем в многочлене его подобные члены:

Многочлен уже не имеет подобных членов, и каждый его член является одночленом стандартного вида. Такой многочлен называют многочленом стандартного вида.

Определение:

Многочлен, являющийся суммой одночленов стандартного вида, среди которых нет подобных членов, называют многочленом стандартного вида.

Среди многочленов

только первый является многочленом стандартного вида, а два другие — нет, поскольку во втором многочлене первый член не является одночленом стандартного вида, а третий многочлен имеет подобные члены.

Степень многочлена

Многочлен имеет стандартный вид, и его членами являются одночлены соответственно четвертой, третьей и первой степени. Наибольшую из этих степеней называют степенью данного многочлена. Итак, — многочлен четвертой степени.

Определение:

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую степень одночленов, образующих данный многочлен.

По этому определению — многочлены первой степени; — многочлен второй степени; — многочлен шестой степени.

Члены многочлена можно записывать в произвольном порядке. Для многочленов стандартного вида, содержащих одну переменную, члены, как правило, записывают в порядке убывания или возрастания показателей степеней. Например:

Каждый многочлен является целым выражением. Однако не каждое целое выражение является многочленом. Например, целые выражения — не многочлены, поскольку они не являются суммами одночленов.

Примеры выполнения заданий:

Пример №117

Записать в стандартному виде многочлен:

Сложение и вычитание многочленов

Сложение многочленов

Сложим многочлены

.

Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, мы записали сумму данных многочленов в виде многочлена. Итак, суммой многочленов является многочлен

Таким же образом находят сумму трех и более многочленов. Сумму любых многочленов всегда можно записать в виде многочлена.

Вычитание многочленов

Вычтем из многочлена многочлен

Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, мы записали разность данных многочленов в виде многочлена. Итак, разностью многочленов является многочлен

Разность любых многочленов всегда можно записать в виде многочлена.

Примеры выполнения заданий:

Пример №118

Найти сумму многочленов:

Пример №119

Найти разность многочленов

Решение:

Пример №120

Решить уравнение

Решение:

Ответ.-1,5.

Пример №121

Доказать, что сумма трех последовательных нечетных чисел делится на 3.

Решение:

Пусть из трех последовательных нечетных чисел наименьшим является где — некоторое целое число. Тогда следующие нечетные числа — Сумма этих трех чисел

делится на 3, поскольку имеет делитель 3.

Умножение одночлена на многочлен

Умножим одночлен на многочлен Используя распределительное свойство умножения, получим:

Итак, произведением одночлена и многочлена является многочлен Чтобы найти произведение, мы умножили одночлен на каждый член многочлена и полученные результаты сложили.

Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно одночлен умножить на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

По этому правилу можно умножать и многочлен на одночлен. Например:

Произведение любого одночлена и любого многочлена всегда можно :ать в виде многочлена.

Примеры выполнения заданий:

Пример №122

Выполнить умножение:

Сокращенная запись:

Сокращенная запись:

Пример №123

Упростить выражение

Решение:

Пример №124

Решить уравнение

Решение:

Ответ. 0,5.

Умножение многочлена на многочлен

Умножим многочлен на многочлен Сведем умножение этих многочленов к умножению многочлена на одночлен. Для этого обозначим многочлен через Тогда:

Возвращаясь к замене получаем:

Итак, произведением многочлена и многочлена является многочлен

Выражение мы получили бы сразу, если бы умножили , потом и полученные произведения сложили. Можно сказать и так: произведение можно получить, если умножить каждый член многочлена на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

Приходим к такому правилу:

Чтобы умножить многочлен на многочлен, достаточно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.

Умножим по этому правилу многочлен на многочлен

Выполняя умножение многочленов, промежуточные результаты можно не записывать:

В каждом из рассмотренных примеров произведение двух многочленов мы записывали в виде многочлена. Вообще, произведение любых многочленов всегда можно записать в виде многочлена.

• Заказать решение задач по высшей математике

Примеры выполнения заданий:

Пример №125

Выполнить умножение:

б) Найдем произведение первых двух многочленов, а потом полученное произведение умножим на третий многочлен:

Пример №126

Решить уравнение

Решение:

Ответ.-1,8.

Разложение многочленов на множители способом вынесения общего множителя за скобки

1. В шестом классе мы изучали разложение чисел на множители. Например, число 60 можно записать в виде произведения двух чисел 12 и 5:

Говорят, что число 60 разложили на два множителя 12 и 5.

На множители можно разложить и многочлены. Например,

Записав многочлен в виде произведения говорят, что многочлен разложили на два множителя Каждый из этих множителей — многочлен (первый многочлен состоит только из одного члена).

Разложить многочлен на множители значит представить его в виде произведения нескольких многочленов.

Сравните

2. Рассмотрим один из способов разложения многочленов на множители. Выполним умножение одночлена на многочлен:

Перепишем эти равенства в обратном порядке:

Многочлен разложили на два множителя Чтобы разложить многочлен на множители, достаточно в его членах и выделить общий множитель а потом на основании распределительного свойства умножения записать полученное выражение в виде произведения многочленов

Такой способ разложения многочленов на множители называют способом вынесения общего множителя за скобки.

Примеры выполнения заданий:

Пример №127

Разложить на множителя многочлен 12х³у — 18х²у².

Решение:

Сначала найдем общий числовой множитель для коэффициентов 12 и -18. Если коэффициентами являются целые числа, то в качестве общего числового множителя берут, как правило, наибольший общий делитель модулей этих коэффициентов. В нашем случае это число 6. Степени с основанием входят в оба члена многочлена. Поскольку первый член содержит а второй — , то общим множителем для степеней с основанием является (за скобки выносят переменную с меньшим показателем). В члены многочлена входят соответственно множители и , за скобки можно вынести . Таким образом, за скобки можно вынести одночлен

Пример №128

Разложить на множители многочлен

Решение:

Пример №129

Разложить на множители:

Решение:

Данное выражение является суммой двух слагаемых, для которых общим множителем является выражение Вынесем этот множитель за скобки:

Пример №130

Разложить на множители:

Решение:

Слагаемые имеют множители и которые отличаются только знаками. В выражении вынесем за скобки -1, тогда второе слагаемое будет иметь вид и оба слагаемых будут иметь общий множитель .

Следовательно,

Пример №131

Найти значение выражения при

Решение:

Разложим сначала многочлен на множители:

При получим:

Пример №132

Решить уравнение

Решение:

Разложим левую часть уравнения на множители:

Произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

Ответ. 0; -1,25.

Разложение многочленов на множители способом группировки

Изучение этого способа разложения многочленов на множители начнем с рассмотрения примера умножения многочленов. Выполним умножение двучлена на двучлен следующим образом:

Выполняя преобразования в обратном порядке, многочлен можно разложить на два множителя

Проанализируем последние преобразования. Имеем многочлен, члены которого можно группировать так, чтобы каждая группа имела общий множитель: для группы — общий множитель для группы — общий множитель В каждой группе выносим общий множитель за скобки. В образованной разности имеем общий множитель Выносим его за скобки и получаем

Рассмотренный способ разложения многочленов на множители называют способом группировки. При применении этого способа нужно образовывать такие группы членов, чтобы они имели общий множитель. После вынесения в каждой группе общего множителя за скобки должен образоваться общин множитель для всех групп, который также нужно вынести за скобки.

Многочлен можно разложить на множители, группируя его члены иначе:

Сравните

Примеры выполнения заданий:

Пример №133

Разложить на множители многочлен

Решение:

Пример №134

Разложить на множители трехчлен

Решение:

Представим второй член в виде Тогда:

Часто путают понятия одночлена и многочлена.

Давайте разберемся, что называют одночленом, а что многочленом.
Прежде всего, вспомним, что называли одночленом в уроке «Одночлены».

Обратите внимание, что «внутри» одночлена (между буквами и числовым коэффициентом) есть только знак умножения.
Например, в одночлене:
3ab = 3 · a · b

Примеры многочленов:
a + 2b² − c;
 3t⁵ − 4b;
  4 − 6xy

Несложно заметить, что любой многочлен состоит из нескольких одночленов.

Рассмотрим многочлен подробнее.

Возникает вопрос, почему многочленом называют алгебраическую сумму
одночленов, если в многочлене присутствует
знак минуса.

Это объясняется тем, что на самом деле знак «−» относится к числовому коэффициенту одночлена,
который стоит справа от знака.

Любой многочлен можно записать
по правилу знаков
как сумму одночленов.

В многочлене знак, который стоит слева от одночлена относится к числовому коэффициенту самого одночлена.

Как найти степень многочлена

То есть, чтобы найти степень многочлена, нужно сначала найти
степень каждого одночлена, который входит в
состав многочлена.

Степени многочленов

Многочлен	Степень многочлена
a2 − 3a2b + x = a2(степень одночлена 2) − 3a2b(степень одночлена 3) + x(степень одночлена 1)	3
1 3 x2y2 + 4x2 = 1 3 x2y2(степень одночлена 4) + 4x2(степень одночлена 2)	4
8x2 − 3a + 4 = 8x2(степень одночлена 2) − 3a(степень одночлена 1) + 4(степень одночлена 0)	2

Любой одночлен является многочленом.
В самом деле, любой одночлен, по сути, является многочленом, который состоит всего из одного одночлена.

Примеры таких многочленов: 2a²b; 
−3d³;  a.

Число «0» называют нулевым многочленом.

---

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

---

2) сложить подобные члены (одночлены), входящие в его состав. Эта операция называется приведением подобных членов.

Напомним, что одночлены называются подобными, если в стандартном виде имеют одинаковую буквенную часть. Подобные одночлены можно складывать, при этом нужно найти сумму их коэффициентов и дописать к ней общую буквенную часть.

План урока:

Многочлен, вычисление значений многочлена

Стандартный вид многочлена

Сложение и вычитание многочленов

Умножение одночлена на многочлен

Умножение многочлена на многочлен

Многочлен, вычисление значений многочлена

В предыдущем уроке мы познакомились с понятием одночлена. При записи одночленов не используется операция сложения. Если же возникает необходимость сложить несколько одночленов, то в результате получается многочлен.

В качестве примера многочленов можно привести следующие выражения:

Стоит обратить внимание, что в записи многочлена может использоваться и знак минус, при этом его всё равно можно считать суммой одночленов, а не разностью. Дело в том, что можно условно считать, что знак минус относится к коэффициенту одночлена, например:

Для некоторых видов многочленов существуют особые названия. Если многочлен состоит из двух одночленов, то его называют двучленом. Многочлен, состоящий из 3 одночленов, называют трехчленом.

Иногда в литературе используются такие термины, как «моном» (синоним «одночлена»), «бином» (синоним «двучлена»), «полином» (синоним «многочлена»).

Если известно значение переменных, входящих в полином, то возможно вычисление значения многочлена.

Пример. Найдем значение полинома x³+2x²+5y+1 при значении x=2 и y = 3.

Решение.

Пример. Вычислим значение полинома v⁴– d⁴при значении переменных v = 4 и d = 3.

Решение.

Стандартный вид многочлена

Иногда некоторые мономы, входящие в состав полинома, имеют одинаковую буквенную часть. Например, в выражении

первый и третий мономы отличаются лишь своими коэффициентами. Такие слагаемые называются подобными.

У подобных слагаемых одинаковый набор переменных, и при этом они возведены в одинаковые степени. Так, подобными являются мономы:

• 7a²s³ и 2a²s³, так как совпадает буквенная часть a²s³;
• 5v⁹m⁷t⁵ и – 4v⁹m⁷t⁵, так как у них одинаковая буквенная часть – 4v⁹m⁷t⁵;
• a² и 1000a², так как есть одинаковая буквенная часть a².

Также подобными слагаемыми можно считать и числа без буквенной части, например 8 и 2.

В качестве примеров неподобных слагаемых можно привести:

• 7a²s³и 2a²s⁴ – у переменной s разные степени (3 и 4) в этих мономах;
• 4x²yи 5x²– в буквенной части первого монома есть переменная y, а у второго его нет.

У подобных слагаемых может быть изменен порядок множителей. Так, подобными являются мономы 5p²u⁴и 9u⁴p², так как у одних и тех же переменных стоят одинаковые показатели.

Подобные слагаемые можно складывать друг с другом. В этом случае буквенная часть останется неизменной, а коэффициенты сложатся друг с другом. Например:

Такое действие называется приведением подобных слагаемых.

Пример. Приведите подобные слагаемые полинома:

Решение. В данном полиноме есть три пары подобных слагаемых:

Сгруппируем подобные слагаемые друг с другом, после чего сложим их:

Если в полиноме нет подобных слагаемых, а все входящие в него мономы записаны в стандартном виде, то его называют многочленом стандартного вида.

Что такое одночлен стандартного вида, можно узнать из ранее изученного урока. Примерами полиномов стандартного вида являются:

Далее рассмотрим понятие степени многочлена. Каждый из входящих в полином мономов имеет свой показатель степени(см. урок 3). Степенью полинома стандартного вида называется наибольшая из всех степеней одночленов, входящих в его состав.

Рассмотрим пример. Дан трехчлен 2y² + x³y + 5y²x, требуется найти его степень.

Решение. Рассматриваемый трехчлен находится в стандартном виде. Он состоит из трех мономов:

Найдем степень каждого из них:

• 2y² – степень равна 2;
• x³y – степень равна 4 = (3+1);
• 5y²x – степень равна 3 = (2+1).

Получается, что максимальную степень, равную 4, имеет моном x³y. Соответственно, и степень трехчлена также равна 4.

Ответ: 4.

Если же рассматривается полином, не находящийся в стандартном виде, то для вычисления его степени сначала надо привести полином к этому виду.

Пример. Найдите степень полинома с⁶ + ac² + 9 – с⁶.

Решение. На первый взгляд может показаться, что она равна 6, так как один из его мономов, с⁶, имеет показатель, равный 6. Но это не так. Приведем полином к стандартному виду:

Оказалось, что подобные мономы c⁶ и – с⁶ сократились. Получившийся полином состоит из двух мономов, ac² и 9, чьи степени равны 3 и 0 соответственно. Значит, и степень всего двучлена равна трём.

Ответ: 3.

Определение степени полинома потребуется для решения уравнений в старших классах. Если в одной части уравнения стоит полином, например, третьей степени, в другой части – ноль, то его называют уравнением третьей степени:

Аналогично выделяют уравнения первой, второй, четвертой и любой другой степени.

В зависимости от степени уравнения используются различные методы их решения. Ранее (ссылка на урок уравнения) мы уже научились решать линейные уравнения, которые являются уравнениями 1-ой степени. Обычно чем выше степень уравнения, тем сложнее его решать. Также существует интересная зависимость – количество корней уравнения не превышает его степень (за исключением одного частного случая, при котором есть бесконечное множество решений).

Особое значение в алгебре имеют те полиномы, в которых содержится только одна переменная, например:

• m² + 4m⁴ + 5m³ +9(здесь переменная m);
• c⁶ + 1(единственная переменная – с);
• 3x + 10(запись содержит только x);
• – y⁴ + 89y¹⁰– 2,56y¹⁰⁰(используется только y).

Их называют полиномами с одной переменной. Обычно их принято записывать по мере убывания степеней одночленов. То есть впереди пишется моном с максимальной степенью, а в самом конце – число без буквенной части:

То число, которое стоит перед одночленом в наибольшей степени, называют старшим коэффициентом, а число, не имеющее буквенной части – свободным членом (реже свободным коэффициентом):

Для некоторых полиномов с одной переменной есть особое название. Так, многочлен второй степени называют квадратным трехчленом. Дело в том, вторую степень в математике часто называют квадратом, а состоит квадратный трехчлен из трех монов. В качестве примера можно привести:

Конечно, квадратный многочлен может содержать и меньше трех одночленов:

В этом случае иногда бывает удобно добавить «недостающее» слагаемое, поставив перед ним коэффициент, равный нулю:

В общем случае квадратным трехчленом называют выражение вида

где x – произвольная переменная, а, b и c являются произвольными действительными числами. При этом a не должно равняться нулю, иначе получится полином уже только 1-ой степени.

Квадратные трехчлены будут изучены подробнее в старших классах при изучении темы «Квадратные уравнения».

Сложение и вычитание многочленов

Полиномы можно складывать друг с другом, а также вычитать. При этом, возможно, придется приводить подобные слагаемые.

Пример. Произведите сложение многочленов 8z² + 3z +12 и 2z⁴ + 9z.

Решение. Запишем интересующую нас сумму:

Если перед скобками стоит знак «+», то можно просто опустить скобки:

Осталось привести полином к стандартному виду. Здесь есть лишь одна пара подобных одночленов, 3z и 9z:

При вычитании многочленов надо учитывать следующее правило:

Пример. Вычтите из полинома x⁵ + 3x³– 7y³ + 9x² + 17 трехчлен 2y⁴ + 0,4y³– 25.

Решение:

Запишем разность полиномов:

Первые скобки можно опустить, так как перед ними нет никакого знака. Перед вторыми скобками стоит минус, а потому для раскрытия скобок знаки слагаемых в них надо поменять на противоположные. Вместо 2y⁴ надо написать – 2y⁴, вместо 0,4y³ поставим – 0,4y³, а – 25 заменим на + 25:

Осталось привести подобные слагаемые:

Стоит заметить, что при сложении и вычитании полиномов их степени не могут увеличиться. Так, если складываются два полинома 5-ой и 4-ой степени, то в результате получится многочлен, чья степень будет не больше 5.

Рассмотрим более сложный пример с вложенными (внутренними) скобками. Необходимо упростить выражение

Решение. Раскроем первые скобки. Перед ними стоит минус, поэтому знаки слагаемых должны поменяться на противоположные. Однако обратите внимание, что здесь есть вложенные скобки (2a²b – ab) и (ab² + 2a²b). Менять следует только знак перед ними, а знаки внутри вложенных скобок не меняются! Они рассматриваются как единые, неизменяемые слагаемые:

Теперь раскроем оставшиеся две скобки:

Приведем подобные слагаемые. Для наглядности пары подобных мономов подчеркнуты. Одной чертой подчеркнуты мономы с буквенной частью ab², двумя чертами – мономы с a²b, а штриховой линией выделены мономы с буквенной частью ab:

Умножение одночлена на многочлен

Напомним распределительный закон умножения:

Используя этот закон, можно производить умножение одночлена на многочлен.

Пример. Перемножьте выражения 5v² и 9v³ + 2t⁴.

Решение: Запишем произведение выражений:

Такое раскрытие скобок можно объяснить с помощью «метода фонтанчика»:

От множителя 5v² строят линии (синего цвета к) КАЖДОМУ слагаемому в скобке. Каждой такой линии соответствует отдельное произведение в получаемом полиноме.

После раскрытия скобок получили два произведения одночлена на одночлен, которые считаем по отдельности (см. урок 3):

Можно сформулировать следующее правило умножения многочлена на одночлен:

Ещё один пример. Перемножьте полином 2x²y + 4xy² – 1 и моном – 3ху.

Решение:

Здесь метод «фонтанчика» будет выглядеть так:

Можно заметить, что после умножения монома на полином получится столько одночленов, сколько их было в исходном полиноме. Это правило можно использовать для самоконтроля.

Умножение многочлена на многочлен

Пусть нам надо перемножить два полинома, a+bи c+d. Запишем их произведение:

Заменим выражение a + b переменной k:

Теперь исходное произведение можно выразить как произведение монома и полинома:

Проведем обратное преобразование, заменив k на a + b:

Наконец, раскроем скобки в этом выражении:

Эту формулу можно проиллюстрировать геометрически. Рассмотрим прямоугольник со сторонами a + b и c + d:

Площадь этого прямоугольника, как и любого другого, равна произведению его сторон, то есть(a + b)(c + d).С другой стороны, она состоит из 4 прямоугольников, чьи площади также вычисляются как произведения их сторон, и составляют ac, bc, ad и bd. Поэтому можно записать равенство

Получается, что для умножения многочлена на многочлен нужно перемножать попарно все мономы, входящие в их состав, после чего сложить их.

Если в одном полиноме содержится m слагаемых, а в другом n, то результатом их перемножения окажется новый полином, содержащий m•n мономов (до приведения подобных слагаемых). Для перемножения многочленов также используется метод «фонтанчика».

Пример. Найдем произведение выражений 3a² – 4ab + b²и 2a– b.

Решение: В первом полиноме содержится 3 монома, а во втором – 2, поэтому после их перемножения мы получим сумму 3•2 = 6 одночленов:

Раскрытие скобок «фонтанчиком» будет выглядеть так:

В результате действительно получилась сумма 6 мономов. Осталось вычислить каждый из них, после чего привести подобные слагаемые:

Заметим, что при перемножении полиномов происходит сложение степеней многочленов. Действительно, в рассмотренном выше примере мы умножили полином второй степени 3a² – 4ab + b² на полином первой степени 2a– b, и получили в результате многочлен 3-ей (2+1) степени.

Также возможно умножение многочленов в столбик. Особенно это удобно делать в случае с полиномами с одной переменной.

Пример. Найдите произведение выражений 2x³ + 3x² +5x + 9 и x² + 4x + 7.

Решение: Запишем полиномы в столбик, один под другим:

Далее умножим самый правый моном второго многочлена, то есть число 7, на первый полином, и запишем его ниже:

Далее умножим следующий моном, 4х, на первый полином, и запишем результат ещё ниже, причем сместим запись чуть влево, чтобы подобные члены оказались друг под другом:

Также умножим последний одночлен, x², на первый полином:

Осталось сложить подобные слагаемые (то есть переменные х с одинаковыми степенями), которые записаны друг под другом:

Ещё раз цветом выделим подобные слагаемые и результаты их суммирования:

Ответ: 2х⁵ + 11х⁴ + 31х³ + 50х² + 71х +63.