Как найти многочлен равный разности многочленов

• Предыдущее
• Следующее

Алгебра

7 класс

Урок № 20

Сумма и разность многочленов

Перечень рассматриваемых вопросов:

• Алгебраические выражения.
• Многочлен.
• Сумма и разность многочленов.
• Стандартный вид многочлена.
• Правила раскрытия скобок (заключения в скобки).

Тезаурус.

Числовое выражение – выражение, состоящее из чисел, знаков математических действий и скобок.

Значение числового выражения – результат выполненных арифметических действий в числовом выражении.

Одночлен – алгебраическое выражение, являющееся произведением букв и чисел

Множители одночлена – буквы и числа, входящие в состав одночлена.

Нулевой одночлен – одночлен, среди множителей которого есть число ноль.

Стандартным видом одночлена называют такой его вид, в котором он представлен произведением числового множителя и натуральных степеней разных переменных.

Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называется коэффициентом одночлена.

Подобные одночлены – одночлены, которые состоят из произведения одних и тех же степеней, но с разными или одинаковыми коэффициентами (числовыми множителями).

Многочлен – сумма одночленов.

Каждый одночлен, являющийся слагаемым многочлена, называют членом многочлена.

Многочлен стандартного вида – это многочлен, все члены которого являются одночленами стандартного вида, среди которых нет подобных членов.

Разность двух многочленов равна многочлену, членами которого являются: все члены уменьшаемого и, взятые с противоположными знаками, все члены вычитаемого. Сумма многочленов равна многочлену, членами которого являются все члены данных многочленов.

Основная литература:
1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Перед нами следующее выражение 123+5 и 45-89. Можем ли между ними поставить знаки «+» или «–» и, соответственно, найти значение полученного выражения?

Конечно, да.

123 + 5 и 45 – 89

(123 + 5) + (45 – 89) = 84

(123 + 5) – (45 – 89) = 172

Оказывается, аналогичные арифметические операции можно выполнять и с многочленами, т.е. найти сумму и разность многочленов.

Посмотрим, как можно выполнить данные действия с многочленами.

Найдём многочлен равный сумме многочленов. Как это сделать?

Оказывается, сумма многочленов равна многочлену, членами которого являются все члены данных многочленов.

Например, сумма многочленов (а + с) и (k + х) равна многочлену (а + с) + (k + х) или а + с + k + х. Последний переход от левой части к правой называют раскрытием скобок.

Найдём многочлен равный разности многочленов. Как это сделать?

Оказывается, разность двух многочленов равна многочлену, членами которого являются все члены уменьшаемого и, взятые с противоположными знаками, все члены вычитаемого.

Например, разность двух многочленов а + с и k + х равна многочлену (а + с) – (k + х) или а + с – k – х. Последний переход от левой части к правой, так же как и при нахождении суммы, называют раскрытием скобок.

Рассмотрим правила раскрытия скобок.

Если перед скобками стоит знак плюс, то скобки можно опустить, не меняя знаки слагаемых, заключённых в скобки.

Например:

(а + с) + (х – у) = а + с + х – у

Если перед скобками стоит знак минус, то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, заключённого в скобки, на противоположный.

Например:

(а + с) + (х – у) = а + с – х + у

Стоит обратить внимание, что если перед скобками нет никакого знака, то подразумевается, что стоит знак плюс.

Например,

(d + k) – (m + n) = d + k – m –n

Обратный переход от правой части к левой в похожих выражениях называют заключением в скобки.

Рассмотрим правило заключения в скобки:

Чтобы заключить многочлен в скобки со знаком плюс перед ними, надо записать в скобки все его члены с теми же знаками.

Например:

а – с – k – х = (а – с) + (-k – х)

А чтобы заключить многочлен в скобки со знаком минус перед ними, надо записать в скобки все его члены с противоположными знаками.

Например:

а – с – k – х = (а – с) – (k + х)

Рассмотрим, как использовать эти правила для преобразования многочлена в стандартный вид. Пример:

Преобразуем разность многочленов в многочлен стандартного вида

( 5а– 4х + 15) – (10а + 13х – 14) = 5а- 4х + 15 – 10а – 13х + 14 = -5а – 17х + 29

Для выполнения задания, сначала будем использовать правило раскрытия скобок при нахождении разности многочленов. А затем приведём полученный многочлен к стандартному виду.

Итак, сегодня мы получили представление о том, как найти сумму и разность многочленов и, используя правило раскрытия скобок, приводить многочлен к стандартному виду.

Задание на сумму и разность многочленов.

Выполним следующее задание по теме: «Сумма и разность многочленов».

Запишите такой многочлен, чтобы его сумма с многочленом 3х + 1 была равна 9х – 4.

Решение:

Данное задание можно выполнить следующим образом.

Назовем неизвестный многочлен у, тогда можно составить следующее выражение, исходя из условия.

у + (3х + 1) = 9х -4

Найдём отсюда у

у = (9х – 4) – (3х + 1)

Раскроем скобки по правилу раскрытия скобок.

у = 9х – 4 – 3х + 1

Приведём многочлен к стандартному виду.

у = 6х – 3

Это и есть тот многочлен, который удовлетворяет условию задания.

Разбор заданий тренировочного модуля.

1. Приведите многочлен к стандартному виду (аt² – 5t²) – (10хt – 4t²) + (5хt + 11аtt).

Решение: Для решения задания, вспомним правила раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «+» или «–». Если знак «+», то скобки можно опустить, не меняя знак, а если перед скобкой знак «–», то скобки можно опустить, меняя знак каждого слагаемого в скобках. Далее приведём к стандартному виду полученный многочлен, выделив в нём подобные члены.

(аt² – 5t²) – (10хt – 4t²) + (5хt + 11аtt) = аt² – 5t² – 10хt + 4t² + 5хt +11аt² = 12аt² – t² – 5хt.

Ответ: 12аt² – t² – 5хt

2. Представьте выражение каким-либо способом в виде разности двучлена и трехчлена:

3x⁴ – 12x³ – 3x² + 5x – 14

Варианты ответов:

1. (3x⁴ – 12x³ – 3x²) + (5x – 14)
2. (3x⁴ – 12x³) – (3x² + 5x – 14)
3. (3x⁴ – 12x³) – (3x² – 5x + 14)

Решение:

При выполнении задания можно сначала проанализировать ответы. По условию выражение должно быть составлено в виде разности двучлена и трехчлена. Поэтому первый ответ не подходит, т. к. в нём представлена сумма.

Ответы два и три очень похожи. Для нахождения верного ответа, заключим в скобки исходное выражение, как в ответах 2 и 3. Т. к. мы найдем разность, то по правилу заключения в скобки со знаком минус перед ними, надо записать в скобки все его члены с противоположными знаками. Поэтому правильный ответ №3.

3x⁴ – 12x³ – 3x² + 5x – 14 = (3x⁴ – 12x³) – (3x² – 5x + 14)

Ответ: (3x⁴ – 12x³) – (3x² – 5x + 14).

Задание 265

Найдите многочлен, равный сумме многочленов:
а) 3a и (a + 2b);
б) 7x и (2 − 3x);
в) (3 − 2a) и (−5a − 7);
г) (3x − y) и (−2x + 4y).

Решение

а) 3a + (a + 2b) = 3a + a + 2b = 4a + 2b

б) 7x + (2 − 3x) = 7x + 2 − 3x = 4x + 2

в) (3 − 2a) + (−5a − 7) = 3 − 2a − 5a − 7 = −7a − 4

г) (3x − y) + (−2x + 4y) = 3x − y − 2x + 4y = x + 3y

Задание 266

Найдите многочлен, равный разности многочленов:
а) (a + b) и 4a;
б) 6x и (4 − 7x);
в) (4b + 2) и (5 − b);
г) (2x − 7a) и (4a + x).

Решение

а) (a + b) − 4a = a + b − 4a = −3a + b

б) 6x − (4 − 7x) = 6x − 4 + 7x = 13x − 4

в) (4b + 2) − (5 − b) = 4b + 2 − 5 + b = 5b − 3

г) (2x − 7a) − (4a + x) = 2x − 7a − 4a − x = −11a + x

Задание 267

Раскройте скобки и упростите полученное выражение:
а) (5a + 3) − (a + b);
б) (3x − 1) − (y − 2x);
в) (2a + b) − (a + 2b);
г) (x − 2y) − (2x − 4y).

Решение

а) (5a + 3) − (a + b) = 5a + 3 − a − b = 4a − b + 3

б) (3x − 1) − (y − 2x) = 3x − 1 − y + 2x = 5x − y − 1

в) (2a + b) − (a + 2b) = 2a + b − a − 2b = a − b

г) (x − 2y) − (2x − 4y) = x − 2y − 2x + 4y = −x + 2y

Задание 268

Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида:
а) $(5a^2 — 4a) — (2a^2 + 5a)$;
б) $(3x — 5x^3) — (7x^3 — 4x)$;
в) (a + b + c) + (a − b + c);
г) (x − y + n) + (x − y − n);
д) (7a − 3b) − (5a + 3b) − (a − 5b);
е) (8x − 5) + (3x − 7) − (9x − 11);
ж) 43x − 19y − (15x − 34y) + (9x − 7y);
з) 48a − (2a − 2b) − (14b − 28a) + (24b − 18a);
и) 5 − 7a − (8 − 6a) + (5 + a).

Решение

а) $(5a^2 — 4a) — (2a^2 + 5a) = 5a^2 — 4a — 2a^2 — 5a = 3a^2 — 9a$

б) $(3x — 5x^3) — (7x^3 — 4x) = 3x — 5x^3 — 7x^3 + 4x = -12x^3 + 7x$

в) (a + b + c) + (a − b + c) = a + b + c + a − b + c = 2a + 2c

г) (x − y + n) + (x − y − n) = x − y + n + x − y − n = 2x − 2y

д) (7a − 3b) − (5a + 3b) − (a − 5b) = 7a − 3b − 5a − 3b − a + 5b = a − b

е) (8x − 5) + (3x − 7) − (9x − 11) = 8x − 5 + 3x − 7 − 9x + 11 = 2x − 1

ж) 43x − 19y − (15x − 34y) + (9x − 7y) = 43x − 19y − 15x + 34y + 9x − 7y = 37x + 8y

з) 48a − (2a − 2b) − (14b − 28a) + (24b − 18a) = 48a − 2a + 2b − 14b + 28a + 24b − 18a = 56a + 12b

и) 5 − 7a − (8 − 6a) + (5 + a) = 5 − 7a − 8 + 6a + 5 + a = 2

Задание 269

Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида:
а) $(x^2 + 4x) + (x^2 — x + 1) — (x^2 — x)$;
б) $(a^5 + 5a^2 + 3a — a) — (a^3 — 3a^2 + a)$;
в) $(x^2 — 3x + 2) — (-2x — 3)$;
г) (abc + 1) + (−1 − abc).

Решение

а) $(x^2 + 4x) + (x^2 — x + 1) — (x^2 — x) = x^2 + 4x + x^2 — x + 1 — x^2 + x = x^2 + 4x + 1$

б) $(a^5 + 5a^2 + 3a — a) — (a^3 — 3a^2 + a) = a^5 + 5a^2 + 2a — a^3 + 3a^2 — a = a^5 — a^3 + 8a^2 + a$

в) $(x^2 — 3x + 2) — (-2x — 3) = x^2 — 3x + 2 + 2x + 3 = x^2 — x + 5$

г) (abc + 1) + (−1 − abc) = abc + 1 − 1 − abc = 0

Задание 270

Вместо букв M и N подберите одночлены так, чтобы выполнялось равенство:
а) (a + b + c) + (M − N + с) = 4a − 2b + 2c;
б) (7x − N) − (M + 2y) = 3x − 2y;
в) (M + N) − (2a − b) + (a − 4b) = 5a + 7b;
г) (a − M) − (N + 7b) − (2a + b) = −5a − 10b.

Решение

а) (a + b + c) + (M − N + с) = 4a − 2b + 2c
a + b + c + M − N + c = 4a − 2b + 2c
a + b + M − N + 2c = 4a − 2b + 2c
a + b + M − N = 4a − 2b
a + M = 4a
M = 4a − a
M = 3a
b − N = −2b
N = b + 2b
N = 3b
Ответ:
(a + b + c) + (3a − 3b + с) = 4a − 2b + 2c

б) (7x − N) − (M + 2y) = 3x − 2y
7x − N − M − 2y = 3x − 2y
7x − N = 3x
N = 7x − 3x
N = 4x
−M − 2y = −2y
−M = −2y + 2y
−M = 0
M = 0
Ответ:
(7x − 4x) − (0 + 2y) = 3x − 2y

в) (M + N) − (2a − b) + (a − 4b) = 5a + 7b
M + N − 2a + b + a − 4b = 5a + 7b
M + N − a − 3b = 5a + 7b
M − a = 5a
M = 5a + a
M = 6a
N − 3b = 7b
N = 7b + 3b
N = 10b
Ответ:
(6a + 10b) − (2a − b) + (a − 4b) = 5a + 7b

г) (a − M) − (N + 7b) − (2a + b) = −5a − 10b
a − M − N − 7b − 2a − b = −5a − 10b
−a − M − N − 8b = −5a − 10b
−a − M = −5a
M = −a + 5a
M = 4a
−N − 8b = −10b
−N = −10b + 8b
−N = −2b
N = 2b
Ответ:
(a − 4a) − (2b + 7b) − (2a + b) = −5a − 10b

Задание 271

Упростите:
а) $(2a^2b — 10b^3) — (4a^2b — 12b^3)$;
б) $(3xy^2 + 7x^2y) — (2xy^2 — 6x^2y)$;
в) 12ab − 30bc − 3cx − (15bc + 9cx);
г) (10abc − 8bcx − 21cxy) − (−6abc + bcx − cxy);
д) (0,6ab − 0,5bc + cx) − (2,5bc − 0,5ab − cx);
е) $(frac{1}{2}x^2y^2 — frac{2}{3}ab — frac{5}{6}a^2b — 1) — (a^2b — frac{1}{3}x^2y^2 + frac{1}{12}ab — frac{1}{4})$.

Решение

а) $(2a^2b — 10b^3) — (4a^2b — 12b^3) = 2a^2b — 10b^3 — 4a^2b + 12b^3 = -2a^2b + 2b^3$

б) $(3xy^2 + 7x^2y) — (2xy^2 — 6x^2y) = 3xy^2 + 7x^2y — 2xy^2 + 6x^2y = xy^2 + 13x^2y$

в) 12ab − 30bc − 3cx − (15bc + 9cx) = 12ab − 30bc − 3cx − 15bc − 9cx = 12ab − 45bc − 12cx

г) (10abc − 8bcx − 21cxy) − (−6abc + bcx − cxy) = 10abc − 8bcx − 21cxy + 6abc − bcx + cxy = 16abc − 9bcx − 20cxy

д) (0,6ab − 0,5bc + cx) − (2,5bc − 0,5ab − cx) = 0,6ab − 0,5bc + cx − 2,5bc + 0,5ab + cx = 1,1ab − 3bc + 2cx

е) $(frac{1}{2}x^2y^2 — frac{2}{3}ab — frac{5}{6}a^2b — 1) — (a^2b — frac{1}{3}x^2y^2 + frac{1}{12}ab — frac{1}{4}) = frac{3}{6}x^2y^2 — frac{8}{12}ab — frac{5}{6}a^2b — 1 — a^2b + frac{2}{6}x^2y^2 — frac{1}{12}ab + frac{1}{4} = frac{5}{6}x^2y^2 — frac{9}{12}ab — 1frac{5}{6}a^2b — frac{3}{4} = frac{5}{6}x^2y^2 — frac{3}{4}ab — 1frac{5}{6}a^2b — frac{3}{4}$

Задание 272

При некоторых преобразованиях бывает необходимо изменить знак, стоящий перед скобками, на противоположный, например:
(a − b) = −(−a + b) = −(b − a).
Используя этот прием, измените знак, стоящий перед двучленом:
а) (2a − 3b);
б) (x + y);
в) (−a − b);
г) (−7a + 3).

Решение

а) (2a − 3b) = −(−2a + 3b) = −(3b − 2a)

б) (x + y) = −(−x − y)

в) (−a − b) = −(a + b)

г) (−7a + 3) = −(7a − 3)

Сумма и разность многочленов

Вы будете перенаправлены на Автор24

Сумма многочленов

Многочлены можно складывать друг с другом. Рассмотрим следующий пример.

Первым шагом нам необходимо записать эти многочлены как сумму:

Приведем подобные слагаемые, в результате получим:

Видим, что результатом суммы этих двух многочленов получили также многочлен.

Однако при сложении в некоторых случаях мы можем получить одночлен.

Запишем эти многочлены как сумму:

Приведем подобные слагаемые, в результате получим:

Разность многочленов

Многочлены можно вычитать друг из друга. Рассмотрим пример.

Первым шагом нам необходимо записать эти многочлены как разность:

Напомним, что если перед скобками стоит знак минус, то, при раскрытии скобок, знаки в скобках будут меняться на противоположные.

Приведем подобные слагаемые, в результате получим:

Видим, что результатом разности этих двух многочленов получили также многочлен.

Однако при вычитании одного многочлена из другого в некоторых случаях мы можем получить одночлен.

Вычтем из многочлена $<3ab>^5+ <6b>^6+<13a>^5$ многочлен $<1<3a>^5-6b>^6+3^5$.

Запишем эти многочлены как разность:

Приведем подобные слагаемые, в результате получим:

Готовые работы на аналогичную тему

Примеры задач на сложение и вычитание многочленов

Упростить следующие выражения:

Решение:

Для начала раскроем скобки:

Теперь приведем подобные слагаемые, получим:

Приведем подобные слагаемые, получим:

Приведем подобные слагаемые, получим:

Приведем подобные слагаемые, получим:

Приведем подобные слагаемые, получим:

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 04 03 2021

Алгебра. 7 класс

Конспект урока

Сумма и разность многочленов

Перечень рассматриваемых вопросов:

• Алгебраические выражения.
• Многочлен.
• Сумма и разность многочленов.
• Стандартный вид многочлена.
• Правила раскрытия скобок (заключения в скобки).

Числовое выражение – выражение, состоящее из чисел, знаков математических действий и скобок.

Значение числового выражения – результат выполненных арифметических действий в числовом выражении.

Одночлен – алгебраическое выражение, являющееся произведением букв и чисел

Множители одночлена – буквы и числа, входящие в состав одночлена.

Нулевой одночлен – одночлен, среди множителей которого есть число ноль.

Стандартным видом одночлена называют такой его вид, в котором он представлен произведением числового множителя и натуральных степеней разных переменных.

Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называется коэффициентом одночлена.

Подобные одночлены – одночлены, которые состоят из произведения одних и тех же степеней, но с разными или одинаковыми коэффициентами (числовыми множителями).

Многочлен – сумма одночленов.

Каждый одночлен, являющийся слагаемым многочлена, называют членом многочлена.

Многочлен стандартного вида – это многочлен, все члены которого являются одночленами стандартного вида, среди которых нет подобных членов.

Разность двух многочленов равна многочлену, членами которого являются: все члены уменьшаемого и, взятые с противоположными знаками, все члены вычитаемого. Сумма многочленов равна многочлену, членами которого являются все члены данных многочленов.

Основная литература:
1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Перед нами следующее выражение 123+5 и 45-89. Можем ли между ними поставить знаки «+» или «–» и, соответственно, найти значение полученного выражения?

123 + 5 и 45 – 89

(123 + 5) + (45 – 89) = 84

(123 + 5) – (45 – 89) = 172

Оказывается, аналогичные арифметические операции можно выполнять и с многочленами, т.е. найти сумму и разность многочленов.

Посмотрим, как можно выполнить данные действия с многочленами.

Найдём многочлен равный сумме многочленов. Как это сделать?

Оказывается, сумма многочленов равна многочлену, членами которого являются все члены данных многочленов.

Например, сумма многочленов (а + с) и (k + х) равна многочлену (а + с) + (k + х) или а + с + k + х. Последний переход от левой части к правой называют раскрытием скобок.

Найдём многочлен равный разности многочленов. Как это сделать?

Оказывается, разность двух многочленов равна многочлену, членами которого являются все члены уменьшаемого и, взятые с противоположными знаками, все члены вычитаемого.

Например, разность двух многочленов а + с и k + х равна многочлену (а + с) – (k + х) или а + с – k – х. Последний переход от левой части к правой, так же как и при нахождении суммы, называют раскрытием скобок.

Рассмотрим правила раскрытия скобок.

Если перед скобками стоит знак плюс, то скобки можно опустить, не меняя знаки слагаемых, заключённых в скобки.

(а + с) + (х – у) = а + с + х – у

Если перед скобками стоит знак минус, то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, заключённого в скобки, на противоположный.

(а + с) + (х – у) = а + с – х + у

Стоит обратить внимание, что если перед скобками нет никакого знака, то подразумевается, что стоит знак плюс.

(d + k) – (m + n) = d + k – m –n

Обратный переход от правой части к левой в похожих выражениях называют заключением в скобки.

Рассмотрим правило заключения в скобки:

Чтобы заключить многочлен в скобки со знаком плюс перед ними, надо записать в скобки все его члены с теми же знаками.

а – с – k – х = (а – с) + (-k – х)

А чтобы заключить многочлен в скобки со знаком минус перед ними, надо записать в скобки все его члены с противоположными знаками.

а – с – k – х = (а – с) – (k + х)

Рассмотрим, как использовать эти правила для преобразования многочлена в стандартный вид. Пример:

Преобразуем разность многочленов в многочлен стандартного вида

( 5а– 4х + 15) – (10а + 13х – 14) = 5а- 4х + 15 – 10а – 13х + 14 = -5а – 17х + 29

Для выполнения задания, сначала будем использовать правило раскрытия скобок при нахождении разности многочленов. А затем приведём полученный многочлен к стандартному виду.

Итак, сегодня мы получили представление о том, как найти сумму и разность многочленов и, используя правило раскрытия скобок, приводить многочлен к стандартному виду.

Задание на сумму и разность многочленов.

Выполним следующее задание по теме: «Сумма и разность многочленов».

Запишите такой многочлен, чтобы его сумма с многочленом 3х + 1 была равна 9х – 4.

Данное задание можно выполнить следующим образом.

Назовем неизвестный многочлен у, тогда можно составить следующее выражение, исходя из условия.

Найдём отсюда у

у = (9х – 4) – (3х + 1)

Раскроем скобки по правилу раскрытия скобок.

Приведём многочлен к стандартному виду.

Это и есть тот многочлен, который удовлетворяет условию задания.

Разбор заданий тренировочного модуля.

1. Приведите многочлен к стандартному виду (аt 2 – 5t 2 ) – (10хt – 4t 2 ) + (5хt + 11аtt).

Решение: Для решения задания, вспомним правила раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «+» или «–». Если знак «+», то скобки можно опустить, не меняя знак, а если перед скобкой знак «–», то скобки можно опустить, меняя знак каждого слагаемого в скобках. Далее приведём к стандартному виду полученный многочлен, выделив в нём подобные члены.

(аt 2 – 5t 2 ) – (10хt – 4t 2 ) + (5хt + 11аtt) = аt 2 – 5t 2 – 10хt + 4t 2 + 5хt +11аt 2 = 12аt 2 – t 2 – 5хt.

Ответ: 12аt 2 – t 2 – 5хt

2. Представьте выражение каким-либо способом в виде разности двучлена и трехчлена:

3x 4 – 12x 3 – 3x 2 + 5x – 14

1. (3x 4 – 12x 3 – 3x 2 ) + (5x – 14)
2. (3x 4 – 12x 3 ) – (3x 2 + 5x – 14)
3. (3x 4 – 12x 3 ) – (3x 2 – 5x + 14)

При выполнении задания можно сначала проанализировать ответы. По условию выражение должно быть составлено в виде разности двучлена и трехчлена. Поэтому первый ответ не подходит, т. к. в нём представлена сумма.

Ответы два и три очень похожи. Для нахождения верного ответа, заключим в скобки исходное выражение, как в ответах 2 и 3. Т. к. мы найдем разность, то по правилу заключения в скобки со знаком минус перед ними, надо записать в скобки все его члены с противоположными знаками. Поэтому правильный ответ №3.

3x 4 – 12x 3 – 3x 2 + 5x – 14 = (3x 4 – 12x 3 ) – (3x 2 – 5x + 14)

Сложение и вычитание многочленов: правило и примеры

Данная статья разбирает такие действия с многочленами как сложение и вычитание многочленов. Сформулируем правило и рассмотрим его применение в решении задач.

Правило сложения и вычитания многочленов

Формулировку правила мы зададим сразу, после чего запишем пояснения.

Для осуществления действия сложения или вычитания многочленов, необходимо:

• записать сумму или разность многочленов в зависимости от поставленной задачи;
• в записанном выражении произвести раскрытие скобок, результатом чего станет многочлен;
• привести полученный во втором шаге многочлен в стандартный вид.

Теперь дадим пояснения по каждому шагу озвученного алгоритма.

Чтобы записать сумму или разность многочленов, необходимо заданные многочлены заключить в скобки и между ними расположить знак плюс или минус соответственно. К примеру, сумма двух многочленов x 3 + 9 · x · y — 2 и 7 − 4 · x · y запишется как ( x 3 + 9 · x · y — 2 ) + ( 7 − 4 · x · y ) , а их разность имеет вид ( x 3 + 9 · x · y — 2 ) − ( 7 − 4 · x · y ) .

Далее, согласно правилу, необходимо раскрыть скобки в полученном выражении: данное действие совершаем, опираясь на правило раскрытия скобок, перед которыми расположен знак плюси правило раскрытия скобок, перед которыми расположен знак минус. В приведенных выше примерах сумма многочленов ( x 3 + 9 · x · y — 2 ) + ( 7 − 4 · x · y ) после раскрытия скобок получит вид x 3 + 9 · x · y — 2 + 7 − 4 · x · y , а разность ( x 3 + 9 · x · y — 2 ) − ( 7 − 4 · x · y ) станет выглядеть так: x 3 + 9 · x · y — 2 − 7 + 4 · x · y . Мы явно видим, что в итоге получены многочлены.

Последним шагом алгоритма приведем многочлен к стандартному виду. Продолжая рассматриваемые примеры, получим: x 3 + 9 · x · y — 2 + 7 − 4 · x · y = x 3 + 5 · x · y + 5 и x 3 + 9 · x · y — 2 − 7 + 4 · x · y = x 3 + 13 · x · y — 9 .

Мы рассмотрели все действия согласно сформулированному правилу и можем указать важный вывод, что итогом сложения или вычитания является многочлен.

Примеры сложения и вычитания

Разберем типичные задачи на сложение и вычитание многочленов.

Заданы многочлены x 2 + 5 · x + 2 и x 2 − 5 · x + 3 . Необходимо найти их сумму и разность.

Решение

Первым действием найдем сумму исходных многочленов. Запишем ее: ( x 2 + 5 · x + 2 ) + ( x 2 − 5 · x + 3 ) . Раскроем скобки и получим: x 2 + 5 · x + 2 + x 2 − 5 · x + 3 . Чтобы привести полученный многочлен к стандартному виду, совершим действие приведения подобных членов: 2 · x 2 + 5 .

Кратко решение оформляется так:

( x 2 + 5 · x + 2 ) + ( x 2 − 5 · x + 3 ) = x 2 + 5 · x + 2 + x 2 − 5 · x + 3 = = ( x 2 + x 2 ) + ( 5 · x − 5 · x ) + ( 2 + 3 ) = 2 · x 2 + 5

Произведем вычитание многочленов:

( x 2 + 5 · x + 2 ) − ( x 2 − 5 · x + 3 ) = x 2 + 5 · x + 2 − x 2 + 5 · x − 3 = = ( x 2 − x 2 ) + ( 5 · x + 5 · x ) + ( 2 − 3 ) = 10 · x − 1

Ответ: ( x 2 + 5 · x + 2 ) + ( x 2 − 5 · x + 3 ) = 2 · x 2 + 5 и ( x 2 + 5 · x + 2 ) − ( x 2 − 5 · x + 3 ) = 10 · x − 1 .

Одночлен – частный случай многочлена, поэтому правило сложения и вычитания, рассматриваемое в данной статье, применимо и для сложения и вычитания одночленов; для сложения и вычитания одночлена и многочлена и, наконец, для вычитания одночлена из многочлена и наоборот.

Необходимо вычесть из одночлена 17 · a · b 2 многочлен b 4 + b 3 + 11 · a · b 2 − 2 .

Решение

Сделаем запись разности ( 17 · a · b 2 ) − ( b 4 + b 3 + 11 · a · b 2 − 2 ) . Раскроем скобки и получим многочлен вида: 17 · a · b 2 − b 4 − b 3 − 11 · a · b 2 + 2 . Далее приводим многочлен к стандартному виду путем приведения подобных членов: 6 · a · b 2 − b 4 − b 3 + 2 , что и будет являться разностью исходных данных.

Ответ: ( 15 · a · b 2 ) − ( b 4 + b 3 + 11 · a · b 2 − 7 ) = 6 · a · b 2 − b 4 − b 3 + 2 .

Исходные многочлены могут быть представлены как в стандартном, так и в нестандартном виде: действия сложения и вычитания могут совершаться и в том, и в том состоянии данных, на результат вычисления это никоим образом не повлияет. Единственное, чем могут отличаться результаты, полученные от сложения или вычитания многочленов нестандартного вида и многочленов в стандартном виде – это порядок следования членов многочлена-результата сложения или вычитания.

Заданы многочлены 5 + 3 · a · 2 + 4 и a 2 − 2 · a + 2 · a 2 + 6 . Необходимо найти их сумму.

Решение

Решим задачу двумя способами.

1. Осуществим сложение многочленов в исходном виде: ( 5 + 3 · a · 2 + 4 ) + ( a 2 − 2 · a + 2 · a 2 + 6 ) = = 5 + 3 · a · 2 + 4 + a 2 − 2 · a + 2 · a 2 + 6 = 5 + 6 · a + 4 + a 2 − 2 · a + 2 · a 2 + 6 = = ( 5 + 4 + 6 ) + ( 6 · a − 2 · a ) + ( a 2 + 2 · a 2 ) = 15 + 4 · a + 3 · a 2
2. Первоначально запишем исходные многочлены в стандартном виде: 5 + 3 · a · 2 + 4 = 1 + 6 · a + 4 = ( 5 + 4 ) + 6 · a = 9 + 6 · a и a 2 − 2 · a + 2 · a 2 + 6 = ( a 2 + 2 · a 2 ) − 2 · a + 6 = 3 · a 2 − 2 · a + 6 .

Теперь произведём сложение:

( 9 + 6 · a ) + ( 3 · a 2 − 2 · a + 6 ) = 9 + 6 · a + 3 · a 2 − 2 · a + 6 = = ( 9 + 6 ) + ( 6 · a − 2 · a ) + 3 · a 2 = 15 + 4 · a + 3 · a 2

Явно видно, что оба способа дали один и тот же итог.

Ответ: ( 5 + 3 · a · 2 + 4 ) + ( a 2 − 2 · a + 2 · a 2 + 6 ) = 15 + 4 · a + 3 · a 2 .

По такой же схеме, как во всех указанных примерах, производится сложение или вычитание трех и более многочленов.

Заданы многочлены: 5 · a · b − a · b 2 , 3 · a · b 2 и 2 · a · b 2 − a · b + b . Необходимо выполнить их сложение.

Решение

Осуществляем действия сложения согласно сформулированному выше правилу. Составляем сумму, затем раскрываем скобки и преобразуем полученный многочлен в стандартный вид:

( 5 · a · b − a · b 2 ) + ( 3 · a · b 2 ) + ( 2 · a · b 2 − a · b + b ) = = 5 · a · b − a · b 2 + 3 · a · b 2 + 2 · a · b 2 − a · b + b = 4 · a · b + 4 · a · b 2 + b

Ответ: ( 5 · a · b − a · b 2 ) + ( 3 · a · b 2 ) + ( 2 · a · b 2 − a · b + b ) = 4 · a · b + 4 · a · b 2 + b .