Как найти многочлен равный сумме многочленов

Алгебра

7 класс

Урок № 20

Сумма и разность многочленов

Перечень рассматриваемых вопросов:

• Алгебраические выражения.
• Многочлен.
• Сумма и разность многочленов.
• Стандартный вид многочлена.
• Правила раскрытия скобок (заключения в скобки).

Тезаурус.

Числовое выражение – выражение, состоящее из чисел, знаков математических действий и скобок.

Значение числового выражения – результат выполненных арифметических действий в числовом выражении.

Одночлен – алгебраическое выражение, являющееся произведением букв и чисел

Множители одночлена – буквы и числа, входящие в состав одночлена.

Нулевой одночлен – одночлен, среди множителей которого есть число ноль.

Стандартным видом одночлена называют такой его вид, в котором он представлен произведением числового множителя и натуральных степеней разных переменных.

Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называется коэффициентом одночлена.

Подобные одночлены – одночлены, которые состоят из произведения одних и тех же степеней, но с разными или одинаковыми коэффициентами (числовыми множителями).

Многочлен – сумма одночленов.

Каждый одночлен, являющийся слагаемым многочлена, называют членом многочлена.

Многочлен стандартного вида – это многочлен, все члены которого являются одночленами стандартного вида, среди которых нет подобных членов.

Разность двух многочленов равна многочлену, членами которого являются: все члены уменьшаемого и, взятые с противоположными знаками, все члены вычитаемого. Сумма многочленов равна многочлену, членами которого являются все члены данных многочленов.

Основная литература:
1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Перед нами следующее выражение 123+5 и 45-89. Можем ли между ними поставить знаки «+» или «–» и, соответственно, найти значение полученного выражения?

Конечно, да.

123 + 5 и 45 – 89

(123 + 5) + (45 – 89) = 84

(123 + 5) – (45 – 89) = 172

Оказывается, аналогичные арифметические операции можно выполнять и с многочленами, т.е. найти сумму и разность многочленов.

Посмотрим, как можно выполнить данные действия с многочленами.

Найдём многочлен равный сумме многочленов. Как это сделать?

Оказывается, сумма многочленов равна многочлену, членами которого являются все члены данных многочленов.

Например, сумма многочленов (а + с) и (k + х) равна многочлену (а + с) + (k + х) или а + с + k + х. Последний переход от левой части к правой называют раскрытием скобок.

Найдём многочлен равный разности многочленов. Как это сделать?

Оказывается, разность двух многочленов равна многочлену, членами которого являются все члены уменьшаемого и, взятые с противоположными знаками, все члены вычитаемого.

Например, разность двух многочленов а + с и k + х равна многочлену (а + с) – (k + х) или а + с – k – х. Последний переход от левой части к правой, так же как и при нахождении суммы, называют раскрытием скобок.

Рассмотрим правила раскрытия скобок.

Если перед скобками стоит знак плюс, то скобки можно опустить, не меняя знаки слагаемых, заключённых в скобки.

Например:

(а + с) + (х – у) = а + с + х – у

Если перед скобками стоит знак минус, то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, заключённого в скобки, на противоположный.

Например:

(а + с) + (х – у) = а + с – х + у

Стоит обратить внимание, что если перед скобками нет никакого знака, то подразумевается, что стоит знак плюс.

Например,

(d + k) – (m + n) = d + k – m –n

Обратный переход от правой части к левой в похожих выражениях называют заключением в скобки.

Рассмотрим правило заключения в скобки:

Чтобы заключить многочлен в скобки со знаком плюс перед ними, надо записать в скобки все его члены с теми же знаками.

Например:

а – с – k – х = (а – с) + (-k – х)

А чтобы заключить многочлен в скобки со знаком минус перед ними, надо записать в скобки все его члены с противоположными знаками.

Например:

а – с – k – х = (а – с) – (k + х)

Рассмотрим, как использовать эти правила для преобразования многочлена в стандартный вид. Пример:

Преобразуем разность многочленов в многочлен стандартного вида

( 5а– 4х + 15) – (10а + 13х – 14) = 5а- 4х + 15 – 10а – 13х + 14 = -5а – 17х + 29

Для выполнения задания, сначала будем использовать правило раскрытия скобок при нахождении разности многочленов. А затем приведём полученный многочлен к стандартному виду.

Итак, сегодня мы получили представление о том, как найти сумму и разность многочленов и, используя правило раскрытия скобок, приводить многочлен к стандартному виду.

Задание на сумму и разность многочленов.

Выполним следующее задание по теме: «Сумма и разность многочленов».

Запишите такой многочлен, чтобы его сумма с многочленом 3х + 1 была равна 9х – 4.

Решение:

Данное задание можно выполнить следующим образом.

Назовем неизвестный многочлен у, тогда можно составить следующее выражение, исходя из условия.

у + (3х + 1) = 9х -4

Найдём отсюда у

у = (9х – 4) – (3х + 1)

Раскроем скобки по правилу раскрытия скобок.

у = 9х – 4 – 3х + 1

Приведём многочлен к стандартному виду.

у = 6х – 3

Это и есть тот многочлен, который удовлетворяет условию задания.

Разбор заданий тренировочного модуля.

1. Приведите многочлен к стандартному виду (аt² – 5t²) – (10хt – 4t²) + (5хt + 11аtt).

Решение: Для решения задания, вспомним правила раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «+» или «–». Если знак «+», то скобки можно опустить, не меняя знак, а если перед скобкой знак «–», то скобки можно опустить, меняя знак каждого слагаемого в скобках. Далее приведём к стандартному виду полученный многочлен, выделив в нём подобные члены.

(аt² – 5t²) – (10хt – 4t²) + (5хt + 11аtt) = аt² – 5t² – 10хt + 4t² + 5хt +11аt² = 12аt² – t² – 5хt.

Ответ: 12аt² – t² – 5хt

2. Представьте выражение каким-либо способом в виде разности двучлена и трехчлена:

3x⁴ – 12x³ – 3x² + 5x – 14

Варианты ответов:

1. (3x⁴ – 12x³ – 3x²) + (5x – 14)
2. (3x⁴ – 12x³) – (3x² + 5x – 14)
3. (3x⁴ – 12x³) – (3x² – 5x + 14)

Решение:

При выполнении задания можно сначала проанализировать ответы. По условию выражение должно быть составлено в виде разности двучлена и трехчлена. Поэтому первый ответ не подходит, т. к. в нём представлена сумма.

Ответы два и три очень похожи. Для нахождения верного ответа, заключим в скобки исходное выражение, как в ответах 2 и 3. Т. к. мы найдем разность, то по правилу заключения в скобки со знаком минус перед ними, надо записать в скобки все его члены с противоположными знаками. Поэтому правильный ответ №3.

3x⁴ – 12x³ – 3x² + 5x – 14 = (3x⁴ – 12x³) – (3x² – 5x + 14)

Ответ: (3x⁴ – 12x³) – (3x² – 5x + 14).

• Предыдущее
• Следующее

Сложение и вычитание многочленов

• Сложение многочленов
• Вычитание многочленов

В результате сложения многочленов, так же, как и в результате вычитания одного многочлена из другого, всегда получится многочлен.

Сложение многочленов

Чтобы сложить два многочлена, надо составить их сумму, раскрыть скобки и, если это возможно, упростить получившееся выражение, сделав приведение подобных членов.

Из данных примеров можно сделать вывод, что сложить два многочлена – это значит представить их сумму в виде многочлена стандартного вида.

Вычитание многочленов

Чтобы вычесть один многочлен из другого, надо составить их разность, раскрыть скобки и, если это возможно, упростить получившееся выражение, сделав приведение подобных членов.

Из данного примера можно сделать вывод, что вычесть один многочлен из другого – это значит представить их разность в виде многочлена стандартного вида.

Комментарии преподавателя

Урок: При­ве­де­ние мно­го­чле­на к стан­дарт­но­му виду. Ти­по­вые за­да­чи

Приведение многочлена к стандартному виду.

На­пом­ним ос­нов­ное опре­де­ле­ние: мно­го­член – это сумма од­но­чле­нов. Каж­дый од­но­член, вхо­дя­щий в со­став мно­го­чле­на как сла­га­е­мое на­зы­ва­ет­ся его чле­ном. На­при­мер:

  – дву­член;

  – мно­го­член;

  – дву­член;

По­сколь­ку мно­го­член со­сто­ит из од­но­чле­нов, то пер­вое дей­ствие с мно­го­чле­ном сле­ду­ет от­сю­да – нужно при­ве­сти все од­но­чле­ны к стан­дарт­но­му виду. На­пом­ним, что для этого нужно пе­ре­мно­жить все чис­лен­ные мно­жи­те­ли – по­лу­чить чис­лен­ный ко­эф­фи­ци­ент, и пе­ре­мно­жить со­от­вет­ству­ю­щие сте­пе­ни – по­лу­чить бук­вен­ную часть. Кроме того, об­ра­тим вни­ма­ние на тео­ре­му о про­из­ве­де­нии сте­пе­ней: при умно­же­нии сте­пе­ней по­ка­за­те­ли их скла­ды­ва­ют­ся.

Рас­смот­рим важ­ную опе­ра­цию – при­ве­де­ние мно­го­чле­на к стан­дарт­но­му виду. При­мер:

Ком­мен­та­рий: чтобы при­ве­сти мно­го­член к стан­дарт­но­му виду, нужно при­ве­сти к стан­дарт­но­му виду все од­но­чле­ны, вхо­дя­щие в его со­став, после этого, если есть по­доб­ные од­но­чле­ны – а это од­но­чле­ны с оди­на­ко­вой бук­вен­ной ча­стью – вы­пол­нить дей­ствия с ними.

Итак, мы рас­смот­ре­ли первую ти­по­вую за­да­чу – при­ве­де­ние мно­го­чле­на к стан­дарт­но­му виду.

Вычисление значения многочлена.

Сле­ду­ю­щая ти­по­вая за­да­ча – вы­чис­ле­ние кон­крет­но­го зна­че­ния мно­го­чле­на при за­дан­ных чис­лен­ных зна­че­ни­ях вхо­дя­щих в него пе­ре­мен­ных. Про­дол­жим рас­смат­ри­вать преды­ду­щий при­мер и за­да­дим зна­че­ния пе­ре­мен­ных:

, , ;

;

Ком­мен­та­рий: на­пом­ним, что еди­ни­ца в любой на­ту­раль­ной сте­пе­ни равна еди­ни­це, а ноль в любой на­ту­раль­ной сте­пе­ни равен нулю, кроме того, на­пом­ним, что при умно­же­нии лю­бо­го числа на ноль по­лу­ча­ем ноль.

При­мер 1

– при­ве­сти к стан­дарт­но­му виду:

;

Ком­мен­та­рий: пер­вое дей­ствие – при­во­дим од­но­чле­ны к стан­дарт­но­му виду, нужно при­ве­сти пер­вый, вто­рой и ше­стой; вто­рое дей­ствие – при­во­дим по­доб­ные члены, то есть вы­пол­ня­ем над ними за­дан­ные ариф­ме­ти­че­ские дей­ствия: пер­вый скла­ды­ва­ем с пятым, вто­рой с тре­тьим, осталь­ные пе­ре­пи­сы­ва­ем без из­ме­не­ний, так как у них нет по­доб­ных.

При­мер 2 – вы­чис­лить зна­че­ние мно­го­чле­на из при­ме­ра 1 при за­дан­ных зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ных:

;

Ком­мен­та­рий: при вы­чис­ле­нии сле­ду­ет вспом­нить, что еди­ни­ца в любой на­ту­раль­ной сте­пе­ни это еди­ни­ца, при за­труд­не­нии вы­чис­ле­ний сте­пе­ней двой­ки можно вос­поль­зо­вать­ся таб­ли­цей сте­пе­ней.

При­мер 3 – вме­сто звез­доч­ки по­ста­вить такой од­но­член, чтобы ре­зуль­тат не со­дер­жал пе­ре­мен­ной :

Ком­мен­та­рий: неза­ви­си­мо от по­став­лен­ной за­да­чи, пер­вое дей­ствие все­гда оди­на­ко­во – при­ве­сти мно­го­член к стан­дарт­но­му виду. В нашем при­ме­ре это дей­ствие сво­дит­ся к при­ве­де­нию по­доб­ных чле­нов. После этого сле­ду­ет еще раз вни­ма­тель­но про­чи­тать усло­вие и по­ду­мать, каким об­ра­зом мы можем из­ба­вить­ся от од­но­чле­на . оче­вид­но, что для этого нужно к нему при­ба­вить такой же од­но­член, но с про­ти­во­по­лож­ным зна­ком — . далее за­ме­ня­ем звез­доч­ку этим од­но­чле­ном и убеж­да­ем­ся в пра­виль­но­сти на­ше­го ре­ше­ния.

При­мер 4 – при­ве­сти мно­го­член  к стан­дарт­но­му виду и за­пи­сать его по убы­ва­ю­щим сте­пе­ням , если его пе­ре­мен­ная  – это тоже мно­го­член, за­ви­ся­щий от :

, ;

;

Ком­мен­та­рий: для ре­ше­ния та­ко­го типа задач нужно под­ста­вить в ис­ход­ный мно­го­член  вы­ра­же­ние вто­ро­го за­дан­но­го мно­го­чле­на – в дан­ном слу­чае , после этого вы­пол­нить необ­хо­ди­мые дей­ствия – в дан­ном слу­чае рас­крыть скоб­ки, а после этого при­ве­сти по­лу­чен­ный мно­го­член к стан­дарт­но­му виду.

При­мер 5 – при­ве­сти мно­го­член к стан­дарт­но­му виду и опре­де­лить, при каких зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ной он равен еди­ни­це:

;

;

, 

 

;

Ком­мен­та­рий: вы­пол­ним при­ве­де­ние к стан­дарт­но­му виду – в дан­ном слу­чае при­ве­де­ние по­доб­ных чле­нов, а после этого решим эле­мен­тар­ное урав­не­ние.

Вывод: в дан­ном уроке мы на­учи­лись ре­шать ос­нов­ные ти­по­вые за­да­чи на мно­го­чле­ны, вы­пол­ни­ли несколь­ко раз­лич­ных при­ме­ров для за­креп­ле­ния тех­ни­ки.

Урок: Сло­же­ние и вы­чи­та­ние мно­го­чле­нов. Ти­по­вые за­да­чи.

Правило сложения и вычитания многочленов.

Рас­смот­рим при­мер – сло­жить за­дан­ные мно­го­чле­ны:

За­да­ние под­ра­зу­ме­ва­ет, что нужно найти такой мно­го­член, ко­то­рый равен сумме двух за­дан­ных:

;

;

Итак, сфор­му­ли­ру­ем пра­ви­ло сло­же­ния мно­го­чле­нов:

— за­пи­сать опе­ра­цию сло­же­ния, по­ме­стив ис­ход­ные мно­го­чле­ны в скоб­ки, а между скоб­ка­ми по­ста­вив знак плюс. По­лу­ча­ем новый мно­го­член, так как при сло­же­нии двух мно­го­чле­нов мы по­лу­ча­ем сумму од­но­чле­нов — мно­го­член;

— рас­крыть скоб­ки, учи­ты­вая знаки внут­ри ско­бок;

— при­ве­сти по­доб­ные члены;

Пра­ви­ло для вы­чи­та­ния зву­чит ана­ло­гич­ным об­ра­зом, с един­ствен­ным от­ли­чи­ем: между скоб­ка­ми ста­вит­ся знак минус.

При­мер 2 – вы­пол­нить сло­же­ние:

;

;

;

Ком­мен­та­рий: при­мер ре­ша­ет­ся ана­ло­гич­но преды­ду­ще­му со­глас­но пра­ви­лу сло­же­ния мно­го­чле­нов.

При­мер 3 – про­из­ве­сти вы­чи­та­ние:

;

;

Ком­мен­та­рий: вы­чи­та­ние про­из­во­дит­ся по пра­ви­лу, но сле­ду­ет об­ра­тить вни­ма­ние на знаки, так как перед скоб­кой стоит минус, нужно все од­но­чле­ны вто­ро­го мно­го­чле­на при рас­кры­тии скоб­ки умно­жать на минус один.

Об­ра­тим вни­ма­ние на то, что перед тем, как вы­пол­нять сло­же­ние или вы­чи­та­ние мно­го­чле­нов, нужно каж­дый из них при­ве­сти к стан­дарт­но­му виду.

При­мер 4 – найти ал­геб­ра­и­че­скую сумму мно­го­чле­нов :

;

;

;

Ком­мен­та­рий: вы­пол­ня­ем дей­ствия со­глас­но пра­ви­лу, об­ра­тив вни­ма­ние на то, что в дан­ном вы­ра­же­нии между скоб­ка­ми по усло­вию есть и знак плюс, и минус, нужно быть вни­ма­тель­ны­ми и пра­виль­но рас­крыть скоб­ки.

При­мер 1:

;

;

Найти мно­го­член , удо­вле­тво­ря­ю­щий усло­вию: 

;

Ком­мен­та­рий: в мно­го­члене  мы видим од­но­член , а в мно­го­члене  — 9, неслож­но до­га­дать­ся, что в мно­го­члене  долж­но быть  чтобы вы­пол­ня­лось за­дан­ное усло­вие. Ана­ло­гич­но на­хо­дим недо­ста­ю­щее число — .

При­мер 2:

;

;

Найти мно­го­член , удо­вле­тво­ря­ю­щий усло­вию: 

;

Ком­мен­та­рий: при­мер ре­ша­ет­ся ана­ло­гич­но преды­ду­ще­му.

  Решение уравнений

Решим урав­не­ние:

;

;

;

x = 3;

Ком­мен­та­рий: чтобы ре­шить дан­ное урав­не­ние нужно вы­пол­нить опе­ра­цию ал­геб­ра­и­че­ско­го сло­же­ния, по­дроб­но разо­бран­ную в на­ча­ле урока, а затем ре­шить про­стей­шее урав­не­ние.

Вывод:

в дан­ном уроке были рас­смот­ре­ны опе­ра­ции сло­же­ния и вы­чи­та­ния мно­го­чле­нов, ре­ше­ны несколь­ко при­ме­ров, ти­по­вые за­да­чи и урав­не­ние.

Урок: Умно­же­ние мно­го­чле­на на од­но­член. Ти­по­вые за­да­чи

Опе­ра­ция умно­же­ния мно­го­чле­на на од­но­член яв­ля­ет­ся ос­но­вой для рас­смот­ре­ния опе­ра­ции умно­же­ния мно­го­чле­на на мно­го­член и нужно сна­ча­ла на­учить­ся умно­жать мно­го­член на од­но­член, чтобы разо­брать­ся в умно­же­нии мно­го­чле­нов.

Ос­но­вой дан­ной опе­ра­ции яв­ля­ет­ся рас­пре­де­ли­тель­ный закон умно­же­ния. На­пом­ним его:

;

По су­ще­ству, мы видим пра­ви­ло умно­же­ния мно­го­чле­на, в дан­ном слу­чае дву­чле­на, на од­но­член и это пра­ви­ло можно сфор­му­ли­ро­вать так: чтобы умно­жить мно­го­член на од­но­член, нужно каж­дый член мно­го­чле­на умно­жить на этот од­но­член. Сло­жить ал­геб­ра­и­че­ски по­лу­чен­ные про­из­ве­де­ния, после чего про­из­ве­сти над мно­го­чле­ном необ­хо­ди­мые дей­ствия – а имен­но при­ве­сти его к стан­дарт­но­му виду.

Правило умножения многочлена на одночлен.

Рас­смот­рим при­мер:

Ком­мен­та­рий: дан­ный при­мер ре­ша­ет­ся, точно сле­дуя пра­ви­лу: каж­дый член мно­го­чле­на умно­жа­ет­ся на од­но­член. Для того, чтобы хо­ро­шо по­нять и усво­ить рас­пре­де­ли­тель­ный закон, в дан­ном при­ме­ре члены мно­го­чле­на были за­ме­не­ны на х и у со­от­вет­ствен­но, а од­но­член на с, после этого вы­пол­не­но эле­мен­тар­ное дей­ствие в со­от­вет­ствии с рас­пре­де­ли­тель­ным за­ко­ном и вы­пол­не­на под­ста­нов­ка ис­ход­ных зна­че­ний. Сле­ду­ет быть вни­ма­тель­ны­ми со зна­ка­ми и пра­виль­но вы­пол­нить умно­же­ние на минус еди­ни­цу.

Рас­смот­рим при­мер умно­же­ния трех­чле­на на од­но­член и убе­дим­ся, что оно ничем не от­ли­ча­ет­ся от такой же опе­ра­ции с дву­чле­ном:

Пе­рей­дем к ре­ше­нию при­ме­ров:

При­мер 1:

Ком­мен­та­рий: дан­ный при­мер ре­ша­ет­ся со­глас­но рас­пре­де­ли­тель­но­му за­ко­ну и ана­ло­гич­но преды­ду­ще­му при­ме­ру — каж­дый член мно­го­чле­на умно­жа­ет­ся на од­но­член, по­лу­чен­ный мно­го­член уже за­пи­сан в стан­дарт­ном виде, по­это­му упро­стить его нель­зя.

При­мер 2 – вы­пол­нить дей­ствия и по­лу­чить мно­го­член в стан­дарт­ном виде:

;

Ком­мен­та­рий: для ре­ше­ния дан­но­го при­ме­ра сна­ча­ла про­из­ве­дем умно­же­ние для пер­во­го и вто­ро­го дву­чле­нов со­глас­но рас­пре­де­ли­тель­но­му за­ко­ну, после этого при­ве­дем по­лу­чен­ный мно­го­член к стан­дарт­но­му виду — при­ве­дем по­доб­ные члены.

Те­перь сфор­му­ли­ру­ем ос­нов­ные за­да­чи, свя­зан­ные с опе­ра­ци­ей умно­же­ния мно­го­чле­на на од­но­член, и при­ве­дем при­ме­ры их ре­ше­ния.

За­да­ча1

– упро­стить вы­ра­же­ние:

;

Ком­мен­та­рий: дан­ный при­мер ре­ша­ет­ся ана­ло­гич­но преды­ду­ще­му, а имен­но вна­ча­ле про­из­во­дит­ся умно­же­ние мно­го­чле­нов на со­от­вет­ству­ю­щие од­но­чле­ны, после этого при­ве­де­ние по­доб­ных.

За­да­ча 2

– упро­стить и вы­чис­лить:

:;    

;

;

Ком­мен­та­рий: дан­ный при­мер ре­ша­ет­ся ана­ло­гич­но преды­ду­ще­му, с тем лишь до­пол­не­ни­ем, что после при­ве­де­ния по­доб­ных чле­нов нужно вме­сто пе­ре­мен­ной под­ста­вить ее кон­крет­ное зна­че­ние и вы­чис­лить зна­че­ние мно­го­чле­на. На­пом­ним, чтобы легко умно­жить де­ся­тич­ную дробь на де­сять, нужно пе­ре­ме­стить за­пя­тую на один раз­ряд впра­во.

При­мер 2: 

Найти зна­че­ние мно­го­чле­на при 

;

За­да­ча 3

– ре­шить урав­не­ние:

При­мер 1: ;

;

;

.

Ком­мен­та­рий: для ре­ше­ния дан­но­го урав­не­ния упро­стим левую его часть: про­из­ве­дем умно­же­ние мно­го­чле­нов на со­от­вет­ству­ю­щие им од­но­чле­ны, а сво­бод­ный член пе­ре­не­сем в пра­вую часть. После при­ве­де­ния по­доб­ных оста­ет­ся ре­шить эле­мен­тар­ное урав­не­ние.

При­мер 2: 

;

;

;

Ком­мен­та­рий: дан­ный при­мер ре­ша­ет­ся ана­ло­гич­но преды­ду­ще­му.

Типичные ошибки:

Хо­те­лось бы об­ра­тить вни­ма­ние на ти­по­вые ошиб­ки во из­бе­жа­ние та­ко­вых в даль­ней­шем:

 – невер­но! так как ;

 – невер­но! так как ;

Вывод: в дан­ном уроке была изу­че­на опе­ра­ция умно­же­ния мно­го­чле­на на од­но­член и рас­смот­ре­ны раз­лич­ные при­ме­ры. Кроме того, были сфор­му­ли­ро­ва­ны и ре­ше­ны ос­нов­ные ти­по­вые за­да­чи, ка­са­ю­щи­е­ся дан­ной опе­ра­ции.

Источники конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/7-klass/mnogochleny-arifmeticheskie-operacii-nad-nimi/privedenie-mnogochlenov-k-standartnomu-vidu-tipovye-zadachi?konspekt&chapter_id=7

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/7-klass/mnogochleny-arifmeticheskie-operacii-nad-nimi/slozhenie-i-vychitanie-mnogochlenov-tipovye-zadachi?konspekt&chapter_id=7

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/7-klass/mnogochleny-arifmeticheskie-operacii-nad-nimi/umnozhenie-mnogochlena-na-odnochlen-tipovye-zadachi?konspekt&chapter_id=7

Источник видео: https://www.youtube.com/watch?v=vryxMXC_onQ