Как найти множества математика

Содержание:

Множества

Понятие множества является одним из исходных понятий математики в том смысле, что его нельзя определить с помощью более простых, чем оно само, понятий. В повседневной жизни часто приходится рассматривать набор некоторых объектов как единое целое. Скажем, когда биолог изучает флору и фауну некоторой местности, он делит организмы на виды, а виды на семейства. При этом каждый вид рассматривается как единое целое, состоящее из организмов.

Множество может состоять из объектов различной природы. Например, вес реки Азии или все слова в словаре могут рассматриваться как множества.

Знаменитый немецкий математик Г. Кантор (1845 -1918) дал следующую описательную формулировку: «Множество есть совокупность, мыслимая как единое целое».

Объекты, составляющие множество, называются его элементами.

Обычно, для удобства, множество обозначается заглавными буквами латинского алфавита, например, А, В, С,…, а его элементы — прописными.

Множество А, состоящее из элементов а, b, с, … , будем записывать в виде A = {а, b, с,…}. Отметим, что записи {6, 11} , {11, 6} , {11, 6, 6, 11} означают одно и то же множество.

При ведем примеры множеств. Например, множество {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} — множество цифр десятичной системы счисления ,

То, что х является элементом множества А, будем обозначать как а то, что он не является его элементом, будем обозначать как Эти записи в первом случае читаются как «элементах принадлежит А», а во втором случае как «элемент х не принадлежит А».

Например, для множества имеем однако

Если число элементов, составляющих множество, конечно, то такое множество будем называть конечным, в противном случае бесконечным. Например, множество конечно, а множество всех натуральных чисел бесконечно.

В качестве еще одного примера бесконечного множества можно привести множество всех натуральных чисел, не меньших 13.

Обозначим через число всех элементов конечного множества А. Если, например,

в силу того, что число всех его элементов равно 6. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается так: 0

Пустое множество 0 считается конечным и для него я(0)= 0.

Для бесконечного множества А принято, что

Если вес элементы множества А также принадлежат множеству В, то говорят, что множество А — подмножество множества В и обозначают так: . В этом случае также говорят, что «множество А лежит во множестве В» или «множество А — часть В».

Во множестве {а} лежат два подмножества:

Множество {а, b} имеет четыре подмножества:

так как все элементы первого множества также являются элементами второго.

Если множество А имеет элементы, не принадлежащие В, то множество А не может быть подмножеством В. Этот факт мы будем записывать так:

Например, пусть А={ 1, 2, 3, 4}, В={2, 3, 4, 5}. Так как Очевидно, что справедливы соотношения:

Если то эти множества состоят из одних и тех же элементов. Такие множества называются равными (совпадающими), и этот факт мы будем записывать так: А = В.

Например, множество всех правильных треугольников совпадает со множеством всевозможных треугольников, у которых все углы равны. Причина этого заключается в том, что у любого правильного треугольника

все углы равны, и, наоборот, если у треугольника все углы равны, то он является правильным.

Напомним основные числовые множества:— множество натуральных чисел; — множество целых чисел; — множество рациональных чисел;

Множество действительных чисел

Объединение и пересечение множеств

1) Множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А, В, называется объединением множеств.

Объединение множеств А, В обозначается через

Например, если

2) Множество, состоящее из элементов, принадлежащих обоим множествам А, В, называется пересечением множеств. Пересечение множеств А. В обозначается через

Например, если

Множества, не имеющие общих элементов, называются не пересекающимися.

Пример:

Для множеств

a) определите, какие из утверждений верны, а какие неверны:

b) найдите множества:

c) определите, какие из утверждений верны, а какие неверны:

Решение:

а) Так как число 4 не является элементом множества М, то утверждение неверно. Так как число 6 не является элементом множества, утверждение истинно.

b). так как только числа 3 и 9 — элементы обоих множеств. Для того, чтобы найти множествовыпишем элементы, принадлежащие либо М либо N: = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10};

c) Утверждение ложно, ибо существуют элементы множества М, не принадлежащие N. Утверждение истинно, ибо в множестве У есть элементы из {9, 6, 3}. 

В некоторых случаях для задания множества указывается характеристическое свойство, истинное для всех элементов множества и ложное для остальных. Если мы кратко запишем тот факт, что элемент х удовлетворяет свойству Р как Р(х), то множество всех элементов, удовлетворяющих свойству Р обозначается так:

Например, запись читается следующим образом: «множество всех целых чисел, больших или равных -2, по меньших или равных 4».

На числовом луче это множество изображается так:

Видно, что и оно, конечно, при этом

Аналогично запись читается так: «множество всех действительных чисел, больших или равных -2, но меньших 4».

На числовом луче это множество изображается так:

Видно, что, и оно бесконечно, при этом

Пример:

a) Как читается эта запись?

b) Выпишите последовательно элементы этого множества.

c) Найдите

Решение:

a) «Множество всех целых чисел, больших 3 и меньших или равных 10»;

b).

c).

Рассмотрим множество всех натуральных чисел, больших или равных 1, но меньших или равных 8. Пусть нас интересуют только его подмножества.

В таком случае, обычно вводится множество называемое универсальным множеством.

Множество А содержащее все элементы универсального множества U, не являющиеся элементами множества А, называется дополнением множества А.

Например, если — универсальное множество, то дополнение множества имеет вид

Очевидно, что

т.е. множества А и А’ не имеют общих элементов, а также вес составляющие их элементы образуют в совокупности универсальное множество U.

Пример:

Пусть U универсальное множество. Найдите С’, если:

а) С = {все четные числа); b).

Решение:

Пример:

Пусть

Выпишите все элементы множеств:

Решение:

Пример:

Пусть {числа, кратные 4 и меньшие 50} и Q = {числа, кратные 6 и меньшие 50}. a) выпишите элементы множеств Р, Q;

b) найдите с) Найдите

d) проверьте выполнение равенства

Решение:

Значит, равенство является верным. 

Диаграммы Венна

Например, на этом рисунке изображено множество А, лежащее внутри универсального множества Закрашенная область вне круга означает дополнение А ’ множества А:

Если и , то они изображаются на диаграмме Венна следующим образом:

Мы знаем, что если то любой элемент множества В принадлежит множеству А. Значит, на соответствующей диаграмме Венна круг, обозначающий множество В, лежит в круге, обозначающем множество А:

Все элементы пересечения лежат как в А, так и в В. Значит, на соответствующей диаграмме Венна закрашенная область изображает множество

Все элементы объединения A U В принадлежат либо А, либо В, либо обоим одновременно. Значит, на соответствующей диаграмме Венна область, соответствующая множеству A U В, изображается следующим образом:

Пример:

Пусть Изобразите на диаграмме

Венна множества:

Решение:

Удобно на диаграмме Венна множества раскрашивать.

Например, на рисунке раскрашены множества А,

Высказывание

Высказывание — это повествовательное предложение, утверждающее что-либо о чем-либо, при этом непременно истинное или ложное. Вопросительные предложения, повествовательные предложения, описывающие личное отношение субъекта, например «Зеленый цвет приятен», не являются высказываниями. Отметим, что существуют высказывания, истинность или ложность которых не определяются однозначно.

Например, высказывание «Этот писатель родился в Ташкенте» может быть истинным по отношению к некоторым писателям и ложным по отношению к другим.

Пример:

Укажите, какие из предложений являются высказываниями. В случае, когда предложение является высказыванием, однозначно ли определяется его истинность — ложность?

а) 20:4=80; b) 25-8=200;

с) Где мой карандаш? d) У тебя глаза голубые.

Решение:

a) Это высказывание и оно ложно, так как 20:4=5;

b) это высказывание и оно истинно;

c) это вопросительное предложение и поэтому оно не является высказыванием;

d) это высказывание. Истинность-ложность его определяется неоднозначно, так как применительно к некоторым людям оно истинно, а к другим — ложно.

Мы будем обозначать высказывания буквами p,q,r … .

Например, р: во вторник прошел дождь; q: 20:4=5; r: х — четное число. Для построения нескольких сложных высказываний служат символы, называемые логическими связками: (конъюнкция, «и», «но»), (дизъюнкция, «или»), (отрицание,» не ….»,»неверно, что ….»).

Рассмотрим их подробней.

Отрицание

Для высказывания р высказывание вида «не р» или «неверно, что р» называется отрицанием высказывания р и обозначается как

Например,

отрицанием высказывания

р: Во вторник шел дождь

является высказывание

: Во вторник дождя не было;

Отрицанием высказывания

р: У Мадины глаза голубые

является высказывание

: У Мадины глаза не голубые.

Ясно, что если р истинно, то ложно, и наоборот, если р ложно, то истинно. Этот факт иллюстрируется так называемой таблицей истинности. Такая таблица позволяет, исходя из высказывания р, заключить об истинности или ложности нового высказывания

1 Буквы Т и F — начальные буквы английских слов «true» (истинно) и «false» (ложно) соответственно.

Пример:

Составьте отрицание высказывания:

Решение:

Удобно находить отрицание высказывания с помощью диаграмм Венна. Например, рассмотрим высказывание:

р: «Число х больше, чем 10 «.

На диаграмме U — множество всех чисел, множество Р — множество истинности высказывания р, то есть множество всех х , для которых это высказывание истинно. Множество Р’ является множеством истинности отрицания : «Число х меньше или равно 10».

Пример:

На множестве рассмотрим высказывание р: х- простое число. Найдите множества истинности высказываний

Решение:

Пусть множество Р — множество истинности высказывания р, а множество Р’ — множество высказывания . Тогда эти множества изображаются на диаграмме Венна следующим образом:

Конъюнкция

Высказывание, образованное из двух высказываний с помощью связки «и», называется конъюнкцией заданных высказываний.

Конъюнкция высказываний р, q обозначается через

Например, конъюнкция высказываний,

р: Эльдар на завтрак ел плов;

q: Эльдар на завтрак ел самсу.

имеет вид:

Эльдар на завтрак ел плов и самсу.

Видно, что высказывание верно, если Эльдар на завтрак ел и плов и самсу, то есть высказывание истинно при истинности обоих высказываний. Если хотя бы одно из высказываний р, q ложно, то высказывание является ложным. Конъюнкция высказываний р, q имеет следующую таблицу истинности:

истинно, когда оба высказывания р, q истинны. ложно, когда хотя бы одно из высказываний р, q ложно.

Первый и второй столбцы таблицы составлены из всех возможных значений истинности высказываний р, q.

На диаграмме Р — множество истинности высказывания р, Q — множество истинности высказывания q , а множество истинности высказывания является множеством на котором истинны оба высказывания:

Дизъюнкция

Высказывание, образованное из двух высказываний с помощью связки «или», называется дизъюнкцией заданных высказываний.

Дизъюнкция высказываний р, q обозначается через

Например, дизъюнкция высказываний,

р: Эльдар сегодня посетит библиотеку,

q: Эльдар сегодня посетит театр .

имеет вид:

Эльдар сегодня посетит библиотеку или театр.

Высказывание истинно, когда сегодня Эльдар посетит либо библиотеку, либо театр, либо и то и другое.

Высказывание будет ложным, лишь когда оба высказывания р, q будут ложными одновременно.

Дизъюнкция имеет следующую таблицу истинности:

pVq истинно, когда хотя бы одно из высказываний р, q истинно.

pVq ложно, когда оба высказывания p, q ложны.

На диаграмме Р — множество истинности высказывания р, Q — множество истинности высказывания q, а множество истинности высказывания pVq является множество , на котором истинно хотя бы одно высказывание:

Логическая равносильность

Составим, используя буквы и символы логических связок таких, как отрицание, конъюнкция и дизъюнкция, символическую запись более сложных высказываний естественного языка, при этом не обращая внимания на их истинность или ложность.

Объединяя таблицы истинности для отрицания, конъюнкции и дизъюнкции, можно составить таблицы истинности для более сложных высказываний:

Пример 1. Составьте таблицу истинности высказывания

1 шаг.

Выпишем таблицу и заполним сначала первый и второй столбец всеми возможными значениями истинности р и q:

2 шаг. Учитывая значения истинности q, заполним третий столбец значениями истинности

3 шаг Учитывая значения истинности p и заполним четвертый столбец значениями истинности

Высказывание, являющееся истинным всегда, называется законом логики или тавтологией.

То, что высказывание является законом логики, можно доказать при помощи таблицы истинности.

Пример:

Докажите, что высказываниеявляется тавтологией.

Заполним таблицу истинности:

Решение:

Видно, что высказывание принимает только истинные значения (см. третий столбец). Поэтому данное высказывание является тавтологией. 

Если для двух высказываний соответствующие их значениям истинности столбцы одинаковы, то эти высказывания называются логически равносильными.

Пример:

Докажите, что следующие высказывания являются логически равносильными

Решение:

Составим таблицы истинности для высказываний

Так как у высказываний соответствующие значениям истинности столбцы одинаковы, то эти высказывания являются логически равносильными.

Мы будем обозначать этот факт так:

Импликация

Высказывание, образуемое из двух высказываний с помощью связки «если …., то …» называется импликацией этих двух высказываний.

Импликация «Если р, то q» обозначается как и имеет также следующие интерпретации «Из р следует (вытекает) q», «Высказывание р достаточно для q «, «Высказывание q необходимо для р».

При этом высказывание р называется достаточным условием для q, а высказывание q — необходимым условием для р.

высказывание q — необходимым условием для р.

Рассмотрим , например, высказывания

р: У Сардора есть телевизор; q: Сардор будет смотреть кино.

Тогда высказывание означает:

Если у Сардора есть телевизор, то он будет смотреть кино.

Точно также

Для того, чтобы Сардор смотрел кино достаточно, чтобы у него был телевизор.

Можно заметить, что высказывание ложно, лишь когда высказывание р истинно, а высказывание q ложно, а в остальных случаях — истинно. Поэтому имеем следующую таблицу истинности:

Из высказываний и логических связок, не обращая на значения истинности, можно составить более сложные высказывания.

Пример:

Рассмотрим высказывания

р: «Анора часто смотрит кинофильмы»;

q: «Барно часто смотрит кинофильмы

r: «Барно не сдаст экзамен»;

s: «произойдет чудо».

 Имеем: 1. «Анора часто смотрит кинофильмы, а Барно — нет».

2. «Если Анора часто смотрит кинофильмы, то Барно нет».

3. «Если Барно часто смотрит кинофильмы, то она или не сдаст экзамен или произойдет чудо».

4. «Если Барно часто смотрит кинофильмы и при этом не произойдет чуда, то Барно не сдаст экзамен».

5. «Либо Барно часто смотрит кинофильмы и произойдет чудо, либо Барно не сдаст экзамен».

Эквиваленция

Высказывание вида называется эквиваленцией высказываний и обозначается так:

Запись читается как «высказывание р необходимо и достаточно для q» или как «высказывание р истинно лишь при выполнении q».

Пример:

р: х — четно, q: последняя цифра числа х четна. Выразите высказывание

Решение:

Рассмотрим высказывание,: Если х- четно, то его последняя цифра четна;

Если последняя цифра числа х четна, то х — четно.

Тогда запись читается , как «Для того чтобы число х было четно, необходимо и достаточно, чтобы последняя его цифра была четной». ^ Теперь для заданных высказываний р и q составим таблицу истинности высказывания :

Видно, что высказывание будет истинным, лишь когда высказывания р и q принимают одинаковые значения истинности (то есть когда они оба одновременно истинны или одновременно ложны ).

Конверсия

Конверсией высказывания называется высказывание

Конверсия имеет следующую таблицу истинности:

Пример:

Рассмотрим высказывания

р: треугольник равнобедренный,

q: два угла треугольника равны.

Выразите на естественном языке высказывание и его конверсию.

Решение:

Если треугольник равнобедренный, то у него два угла равны.

Если два угла треугольника равны, то он равнобедренный .

Инверсия

Инверсией высказывания называется высказывание Инверсия имеет следующую таблицу истинности:

Эта таблица совпадает с таблицей истинности высказывания . Поэтому конверсия и инверсия логически равносильны.

Контрапозиция

Контрапозицией высказывания называется высказывание Контрапозиция имеет следующую таблицу истинности:

Эта таблица совпадает с таблицей истинности высказывания Поэтому импликация и контрапозиция логически равносильны.

Пример:

Рассмотрим высказывание. Все учителя живут поблизости от школы». Составим его контрапозицию.

Решение:

Данное высказывание можно сформулировать так: «Если этот человек — учитель, что он живет поблизости от школы».

Это предложение имеет форму , где

р: этот человек — учитель,

q: этот человек живет поблизости от школы.

Контрапозиция имеет вид:

«Если этот человек не живет поблизости от школы, то он не является учителем.

Пример:

Рассмотрим высказывания:

р: Самандар находится в библиотеке, q: Самандар читает книгу.

Составьте имликацию, конверсию, инверсию и контрапозицию

Решение:

Отметим, что импликация и конверсия логически не равносильны, так как , например , Самандар может читать книгу и в классе.

Предикаты и кванторы

В некоторых предложениях участвуют переменные, при этом подставив вместо них конкретные значения, получим высказывания. Такие предложения называются предикатами.

Пример:

Пусть задан предикат Определите истинность или ложность высказываний

Решение:

В некоторых предикатах переменную можно определить исходя из контекста.

Например, в предложениях «Этот писатель родился в Ташкенте» и «Он родился в Ташкенте» переменными являются словосочетание». «Этот писатель» и местоимение «он» соответственно. Если вместо переменной подставить значение «Абдулла Кадыри», получим истинное высказывание «Абдулла Кадыри родился в Ташкенте». Если вместо переменной подставить значение «Шекспир», получим ложное высказывание «Шекспир родился в Ташкенте».

Обозначив переменную через х, вышеуказанные предложения можно записать в виде «х родился в Ташкенте».

В предикате могут участвовать одно или несколько переменных. В зависимости от количества переменных, участвующих в предикате, будем обозначать его так:

Используя совместно с предикатом специальные символы (квантор всеобщности, «для всех … «) и (квантор существования, «существует такой, что ….»), можно образовать новые высказывания

Например, новое высказывание вида говорит о том, что для всех значений х верно Р(х), высказывание вида говорит о том, что значений х верно Р(х).

К примеру, рассмотрим предикат Р(х): «х родился в Самарканде». Тогда высказывание читается как «все родились в Самарканде», а высказывание — «некоторые родились в Самарканде».

Приведем примеры, в которых можно определить истинность-ложность высказываний вида

Пример:

Пусть Докажите истинность высказывания:

Решение:

 Проверим:

Значит, высказывание, истинно.

Следует отметить, что для того, чтобы доказать ложность высказывания достаточно, привести пример хотя бы одного значения х такого, что высказывание, ложно.

Действительно, при

Любое значениех, которое показывает, что высказывание ложно, называется контрпримером.

Пример:

Докажите истинность высказывания

Решение:

Так как то высказывание, истинно.

Если же , то высказывание ложно, ибо

Приведем два важных закона логики, связанных с операцией отрицания:

Для понимания смысла этих законов приведем пример.

Если запись означает «Среди моих одноклассников

не существует отличников», тогда запись означает логически равносильное ему утверждение «Все мои одноклассники не являются отличниками».

Точно также, формула означает высказывание «Неверно, что все мои одноклассники — отличники «, а формулаозначает логически равносильное ему высказывание «Некоторые мои одноклассники не являются отличниками».

Очевидно, что с помощью кванторов и предиката можно построить зависящие от одной переменной предикаты вида:

из которых, в свою очередь, можно построить всказывания вида:

В то время, когда смысл высказываний

а также смысл высказываний,одинаков, оказывается, что высказывания не являются равносильными.

Рассмотрим, например, предикат Р(х,у): человек у — отец моего одноклассника х.

В этом случае = означает высказывание «у каждого моего одноклассника есть отец»; а означает высказывание «существует такой человек, который является отцом всех моих одноклассников».

Аналогично можно показать, что высказывания,не являются равносильными (приведите примеры самостоятельно).

С помощью кванторов и предикатов можно построить и другие законы логики. Например, высказывание «Если все вороны черные, то ни одна не черная птица не является вороной «, служит примером закона логики вида:

Законы правильного мышления (аргументации)

В процессе познания действительности мы приобретаем новые знания. Некоторые из них непосредственно, в результате воздействия предметов внешнего мира на органы чувств. Но большую часть знаний мы получаем пу тем выведения новых знаний из знаний уже имеющихся. Чтобы научиться стройно и последовательно излагать свои мысли, правильно делать выводы, необходимо пользоваться законами логики. Определенность, непротиворечивость, последовательность и обоснованность являются обязательными качествами правильного мышления. Законы логики устанавливают необходимые связи в последовательном ряду мыслей и умозаключений.

Суждение представляет собой форму мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о предметах, их свойствах или отношениях. Например, в суждении «Железо-металл» утверждается связь между предметом (железо) и его признаком (являться металлом). В суждении «Яйцо появилось раньше курицы » утверждается связь между двумя предметами (яйцо и курица). Так как суждение выражается в форме повествовательного предложения, причем суждение может быть либо истинным, либо ложным, то каждое суждение имеет форму высказывания.

Умозаключение- это такая форма мышления, посредством которой из одного или нескольких суждений, называемых посылками, по определенным правилам получается некоторое суждение, называемое заключением или выводом.

Пусть S-совокупность исходных суждений (посылок), Р- заключение. В этом случае, умозаключение имеет логическую форму вида Совокупность высказываний S будем называть основанием, а высказывание Р- следствием. Основание и следствие будем связывать словом «следовательно» и отделять горизонтальной чертой: . Рассмотрим простой пример.

Если Собир занимается спортом, то будет здоров. Собир занимается спортом. Следовательно, Собир будет здоров.

Найдем логическую форму этого умозаключения.

Пусть р: Собир занимается спортом; q: Собир будет здоров. Тогда умозаключение имеет вид:

Так следствие вытекает из суждений и р, то умозаключение имеет следующую логическую форму

Составим соответствующую таблицу истинности:

Получили тавтологию. Это показывает правильность умозаключения, то есть мы из данного основания получили правильное следствие.

Пример:

Покажите неправильность умозаключения:

Если треугольник имеет три стороны, то 2+4-7.

Следовательно, треугольник имеет три стороны.

Решение:

Найдем логическую форму этого умозаключения.

р: треугольник имеет три стороны.

q: 2+4=7

Имеем:

Так как здесь следует q, то наше умозаключение имеет логическую форму

Составим соответствующую таблицу истинности:

В результате мы не получили тавтологию. Это показывает неверность умозаключения, то есть мы из данного основания не получили правильное следствие.

Ниже мы приведем некоторые правила правильных умозаключений:

Доказательство верности вышеуказанных умозаключений мы оставляем учащимся в качестве упражнения.

Софизмы и парадоксы

— представляют собой преднамеренные, сознательно совершаемые ошибки, рассчитанные на то, чтобы выдать ложь за истину, тем самым вводя человека в заблуждение.

Одним из первых соответствующие примеры привел математик Зенон, живший в 5 веке до нашей эры в Древней Греции. Например, Зенон «доказал», что быстроногий Ахиллес никогда не догонит неторопливую черепаху, если в начале движения она находится впереди Ахиллеса. Приведем его рассуждения. Допустим, Ахиллес бежит в 10 раз быстрее, чем черепаха, и находи тся позади нее на расстоянии в 100 шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползет 10 шагов.

За то время, за которое Ахиллес пробежит 10 шагов, черепаха проползет еще 1 шаг, и так далее. Процесс будет длиться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

Примеры Зенона связаны с понятиями бесконечности и движения, которые имели большое значение в развитии физики и математики.

Некоторые софизмы обсуждали в переписке между собой наши великие соотечественники Беруни и Ибн Сино, а также они встречаются в произведениях Фараби.

Приведем простейшие примеры на софизмы и обсудим их.

Пример:

Куда пропали 1000 руб? Три друга отобедали в кафе, после чего официант дал им счет на 25000 руб. Каждый из трех друзей достал по купюре в 10000 руб, в итоге они отдали официанту 30000 руб. На сдачу официант отдал 5000 руб более мелкими купюрами. Друзья взяли по 1000 руб себе, а оставшиеся 2000 руб отдали другу на такси. Один из друзей стал рассуждать: «Каждый из нас потратил по 9000 руб, что в итоге составляет 27000 руб. Затем 2000 руб отдали на такси, значит, в итоге получается 29000 руб. Куда пропали 1000 руб?»

Решение:

 Основной «подвох» в этом рассуждении заключается в том, что 2 От древнегреческого уловка.

расчеты сделаны неверно. Действительно, трое друзей сложились по 9000 руб и получили 27000 руб. Из этих денег 25000 руб заплатили за обед, а 2000 руб заплатили за такси. Следовательно, общая трата составила 27000 руб. Тс 2000 руб находятся внутри 27000 руб.

Пример:

Упростим верное равенство: 20-16-4=25-20-5

2(10—8—2)=25—20—5

2-2-(5—4—1)=5-(5—4—1)

Сократим левую и правую часть последнего равенства на общий делитель (5-4-1). В итоге получим равенство 2-2=5.

Основной «подвох» в этом рассуждении заключается в том, что мы поделили обе части равенства 2-2-(5-4-1)=5-(5-4-1) на нуль.

— странное мнение, высказывание, расходящееся с общепринятыми мнениями, научными положениями, а также мнение, противоречащее здравому смыслу. Сам термин «парадокс» использовался в античной философии для обозначения всякого странного, оригинального мнения.

Парадоксы, обычно, возникают в теориях, логические основы которых не определены полно.

Пример:

Парадокс лжеца. Рассмотрим высказывание «То, что я утверждаю сейчас — ложь».

Если это высказывание истинно, значит, исходя из его содержания, верно то, что данное высказывание -ложь. Но если оно -ложь, тогда неверно то, что оно утверждает, то есть утверждение о ложности данного высказывания неверно, значит, данное высказывание истинно. Таким образом, цепочка рассуждений возвращается в начало.

Пример:

Прилагательное русского языка назовем рефлексивным, если оно обладает свойством, которое определяет.

Например, прилагательное «русский» — рефлексивное, а прилагательное «английский» — нерефлексивное, прилагательное «трехсложный» — рефлексивное (это слово состоит из трех слогов), а прилагательное «четырехсложный» — нерефлсксивное (состоит из пяти слогов). Вроде бы ничто не мешает нам определить множество {все рефлексивные прилагательные}. Но давайте рассмотрим прилагательное «нерефлексивный». Оно рефлексивное или нет?

Можно заявить, что прилагательное «нерефлексивный» не является ни рефлексивным, ни нерефлексивным. Действительно, если это слово рефлексивное, то по своему смыслу, оно нерефлексивное. Если же это от древнегреческого — неожиданный, странный слово нерефлексивное, то, в силу того, что оно обладает свойством, которое определяет, оно является рефлексивным. Противоречие.

Пример:

Два взаимно пересекающихся множества А, В делят универсальное множество на четыре части:

Следовательно, число элементов универсального множества является суммой количеств элементов этих частей.

На следующей диаграмме мы заключили известные количества элементов частей универсального множества в круглые скобки:

Здесь, например, обоим множествам А, В принадлежат 4 элемента, а 3 элемента не принадлежат ни одному из них.

Так как произвольный элемент множества U, принадлежит только одному из этих 4 частей , то число элементов множества U равно 7+4+6+3=20.

Пример:

Используя рисунок, найдите число элементов следующих множеств:

d). Множество элементов, принадлежащих Р, но не принадлежащих Q

е) Множество элементов, принадлежащих Q, но не принадлежащих Р;

f) Множество элементов, не принадлежащих ни Р, ни Q.

Пример:

Если

a) Найдите

b) Сколько элементов содержит множество элементов, принадлежащих А, но не принадлежащих В‘?

Решение:

Составим диаграмму Венна:

Из того, что Следовательно, b=6, а=8, с= 11, d=5.

Из диаграммы получаем следующее:

b) Число элементов, принадлежащих А, но не принадлежащих В, равно а= 8

Пример:

Из 27 учеников, посещающих спортивную секцию, 19 имеют темные волосы, 14 — черные глаза, а 11 имеют и темные волосы и черные глаза одновременно.

a) Изобразите эту информацию с помощью диаграммы Венна. Объясните ситуацию.

b) Найдите число учеников, которые I имеют или темные волосы или черные глаза; II темноволосых, но не черноглазых?

Решение:

а) Пусть Qs — множество темноволосых, a Qk множество черноглазых учеников.

Изобразим ситуацию на диаграмме:

b) Используя диаграмму, определим следующее:

I количество учеников, имеющих или темные волосы или черные глаза:

II количество темноволосых учеников, не обладающих черными глазами:

Пример:

На футбольном соревновании город представляют три команды А, В и С. 20 процентов населения города болеют за команду И, 24 процента — за В, 28 процентов — за С. 4 процента жителей болеют и за С и за И, 5 процент, жителей болеют и за В и за А, а 6 процентов жителей болеют и за В и за С. Кроме того, 1 процент населения болеет за все три команды.

Сколько процентов жителей:

a) болеют только за команду А;

b) болеют и за А и за В, но не болеют за команду С;

c) не болеют ни за одну из команд?

Решение:

Заполним для начала соответствующую диаграмму Венна.

а= 1, так как 1 процент жителей болеет за все команды.

a+d=4, так как 4 процента жителей болеет и за И и за В.

а+b=6, так как 6 процентов жителей болеют и за В и за С а+с=5, так как 5 процентов жителей болеют

—-

Множества

Понятие множества принадлежит к числу первичных, не определяемых через более простые. Под множеством понимается совокупность некоторых объектов, объединенных по определенному признаку. Объекты, которые образуют множество, называются элементами, или точками, этого множества.

Множества обозначаются прописными буквами, а их элементы — строчными. Если  есть элемент множества А, то используется запись если b не является элементом множества А, то записывают

Например, — множество А состоит из элементов 1;3;6;8.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается Например, множество действительных корней уравнения есть пустое множество.

Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Например, если т.е.
множества равны.

Объединением двух множеств А и В называется множество С, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств, т.е.

Пересечением двух множеств А и В называется множество D, состоящее из всех элементов, одновременно принадлежащих каждому из данных множеств А и В, т.е.

Разностью двух множеств А и В называется множество E, состоящее из всех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В, т.е.

Пример 1. Даны множества   Найти объединение, пересечение и разность множеств А и В.

Решение. Объединение двух данных множеств — их пересечение — а разностью —  .

Множества, элементами которых являются действительные числа, называются числовыми.

Обозначения множеств:

— множество натуральных чисел.

 — множество целых чисел;
— множество рациональных чисел;

R — множество действительных чисел;

I — множество иррациональных чисел;

— множество комплексных чисел.

Геометрически, каждому действительному числу соответствует точка числовой оси, и наоборот, каждой точке прямой — определенное действительное число.

Множество X, элементы  которого удовлетворяют: неравенству называется отрезком неравенству называется интервалом неравенствам  называются полуинтервалом соответственно

В дальнейшем все указанные множества мы объединяем термином промежуток X.

——

Множества и операции над ними

Под множеством будем понимать совокупность объектов, наделенных определенными свойствами. Эти свойства должны полностью определять данное множество, то есть являться признаками, по которым относительно любого объекта можно решить, принадлежит он данному множеству или нет. Синонимами термина «множество» являются термины «класс «семейство «совокупность». Объекты, из которых состоит данное множество, называют его элементами.

Чаще всего множество обозначают большими буквами латинского или греческого алфавита, а его элементы — малыми буквами. Если a — элемент множества A, то пишут a ∈ A (читают: «a принадлежит множеству A») или A 3 a (множество A содержит элемент a). Запись a ∈/ A означает, что a не является элементом множества A.
Множество обычно записывают одним из следующих способов:

A = {a , . . . , } или A = {x ∈ X : P (x)}.

Первая запись означает, что множество A состоит из элементов a, . . . , , то есть перечислены элементы, составляющие A, их может быть конечное число или бесконечно много. Вторая запись означает, что A есть совокупность всех тех объектов из множества X, для которых выполняется свойство P . Формально введем пустое множество — множество, не содержащее в себе никаких элементов, которое обозначим символом .

Определение 1.1. Множества A и B называются равными (или совпадающими), если они состоят из одних и тех же элементов, то есть x ∈ A тогда и только тогда, когда x ∈ B .

Коротко это высказывание записывают: A = B, а отрицание этого утверждения — в виде:  .

Определение 1.2. Если каждый элемент множества A является элементом множества B , то говорят, что A есть подмножество множества B (или A есть часть B ), и пишут A ⊂ B (читается: «Множество A содержится в множестве B») или B ⊃ A (читается: «Множестоо B содержит множество A»).

Отметим следующие свойства отношения включения:
1.    A ⊂ A, то есть всякое множество есть подмножество себя самого;
2.    Если A ⊂ B и B ⊂ C, то A ⊂ C (отношение включения транзитивно);
3.    Если A ⊂ B и B ⊂ A, то A = B.

Удобно считать, что ⊂ A для любого множества A.

Пусть A и B — некоторые подмножества множества E. Введем наиболее простые операции с множествами.

Определение 1.3. Объединением множеств A и B называется множество, обозначаемое A ∪ B и состоящее из всех элементов, которые принадлежат или множеству A или B .

Таким образом, x ∈ A ∪ B , если x ∈ A, но x  B , или x ∈ B , но x A, или x ∈ A и x ∈ B. Очевидно, что A ∪ A = A, A ∪ = A.

Определение 1.4. Пересечением множеств A и B называют множество, обозначаемое A∩B и состоящее из всех элементов, каждый из которых принадлежит и A и B .

Если множества A и B не имеют общих точек, то A ∩ B =. Очевидно, что A∩A= A, A∩= .

Определение 1.5. Разностью множеств A и B называют множество, обозначаемое A B и состоящее из всех элементов множества A, которые не принадлежат множеству B .

Если A ⊂ B , то часто множество A B называют дополнением множества B до A. По определению A A = , A = A.

Пример 1.1. Пусть A = {1,3,4,8, 15} ,B = {1,2,7,8, 12}. Тогда

A∪B = {1,2,3,4,7,8,12,15}, A∩B = {1, 8},

AB = {3, 4, 15}, BA= {2, 7, 12}

Определение 1.6. Набор, состоящий из двух элементов x₁ и x₂, называют упорядоченным, если известно, какой из этих элементов является первым, а какой — вторым. Такой упорядоченный набор называют упорядоченной парой и обозначают (x₁, x₂). Элементы x₁ , x^₂ называют, соответственно, первой и второй координатами пары (x₁, x₂). Пары (x₁, x₂) и (y₁ , y₂) называют совпадающими, если x₁ = y₁ и x₂ = y₂ .

Определение 1.7. Декартовым (или, по-другому, прямым) произведением множеств A и B называют множество упорядоченных пар (x, y), где первый элемент x является элементом множества A, а второй y — элементом множества B . Это множество обозначают символом A × B .

Таким образом, A × B = { (x, y) | x ∈ A, y ∈ B}. Но, вообще говоря, A × B B × A. Известная всем плоскость с декартовой системой координат является декартовым произведением двух числовых прямых (осей).

Пусть A и B — числовые отрезки, помещенные на взаимно перпендикулярных осях плоскости. Упорядоченная пара (x, y) — это точка пересечения перпендикуляров, восстановленных в точках x ∈ A и y ∈ B . Произведением A × B является прямоугольник.

Логическая символика

В последующем, как и в большинстве математических текстов используется ряд специальных символов, многие из которых вводятся по мере надобности. Применяются распространенные символы математической логики , , ∃, ∀, которые читаются, соответственно, как «влечет» , «равносильно» , «существует» («найдется»), «любой» («каждый» , «для каждого» , «для любого» ).

Запись A B читают одним из следующих способов: A влечет B , B следует из A, B — необходимое условие A, A — достаточное условие (признак) B.

Запись A B читают одним из следующих способов: A равносильно B, A необходимо и достаточно для B , A верно тогда и только тогда, когда верно B . Квантор равносильности часто применяется в символьной записи определений и утверждений.

Запись «∃ x ∈ X » означает: существует элемент x из множества X .
Запись «∀ x ∈ X » означает: для любого элемента x из множества X или каков бы ни был элемент x из множества X .

Часто в символьной записи математических утверждений используют символ «:» или эквивалентный ему символ «| которые читают: «такой, что». В частности, запись «∃ x ∈ X : x² — 1 = 0″ означает: существует такой элемент x в множестве X , что x² — 1 = 0.

• Заказать решение задач по высшей математике

Множества

Множества и операции над ними

Понятие множества и его элементов

Элемент принадлежит множеству

Элемент не принадлежит множеству

В множестве нет элементов

Множество можно представить как совокупность некоторых объектов, объединенных по определенному признаку. В математике множество — одно из основных неопределяемых понятий.

Каждый объект, принадлежащий множеству , называется элементом этого множества.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается

Подмножество

Если каждый элемент множества является элементом множества , то говорят, что множество является подмножеством множества , и записывают так: Используется также запись , если множество или является подмножеством множества , или равно множеству

Равенство множеств

Два множества называются равными, если каждый элемент первого множества является элементом второго множества и, наоборот, каждый элемент второго множества является элементом первого множества

Пересечение множеств

Пересечением множеств и называют их общую часть, то есть множество всех элементов, принадлежащих как множеству , так и множеству

Объединение множеств

Объединением множеств и называют множество , состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств ( или )

Разность множеств

Разностью множеств и называется множество , которое состоит из всех элементов, принадлежащих множеству и не принадлежащих множеству

Дополнение множеств

Если все рассматриваемые множества являются подмножествами некоторого универсального множества , то разность называется дополнением множества . Другими словами, дополнением множества называется множество, состоящее из всех элементов, не принадлежащих множеству (но принадлежащих универсальному множеству )

Объяснение и обоснование:

Понятие множества

Одним из основных понятий, которые используются в математике, является понятие множества. Для него не дается определения. Можно пояснить, что множеством называют произвольную совокупность объектов, а сами объекты — элементами данного множества. Так, можно говорить о множестве учеников в классе (элементы — ученики), множестве дней недели (элементы — дни недели), множестве натуральных делителей числа 6 (элементы — числа 1, 2, 3, 6) и т. д. В курсах алгебры и алгебры и начал анализа чаще всего рассматривают множества, элементами которых являются числа, и поэтому их называют числовыми множествами.

Как правило, множества обозначают прописными буквами латинского алфавита. Например, если множество состоит из чисел 1; 2; 3, то его обозначают так: = {1; 2; 3}. Тот факт, что число 2 входит в это множество (является элементом данного множества ), записывается с помощью специального значка е следующим образом: ; а то, что число 5 не входит в это множество (не является элементом данного множества), записывается так: .

Можно рассматривать также множество, не содержащее ни одного элемента, — пустое множество.

Например, множество простых делителей числа 1 — пустое множество.

Для некоторых множеств существуют специальные обозначения. Так, пустое множество обозначается символом , множество всех натуральных чисел — буквой , множество всех целых чисел — буквой , множество всех рациональных чисел — буквой , а множество всех действительных чисел — буквой . Множества бывают конечными и бесконечными в зависимости от того, какое количество элементов они содержат. Так, множества и — конечные, потому что содержат конечное число элементов, а множества — бесконечные.

Множества задают или с помощью перечисления их элементов (это можно сделать только для конечных множеств), или с помощью описания, когда задается правило — характеристическое свойство, которое позволяет определить, принадлежит или нет данный объект рассматриваемому множеству. Например, множество задано перечислением элементов, а множество четных целых чисел — характеристическим свойством элементов множества. Последнее множество иногда записывают так: или так: — здесь после вертикальной черточки записано характеристическое .

В общем виде запись множества с помощью характеристического свойства можно обозначить так: , где — характеристическое свойство. Например,

В этом случае и в записи решений тригонометрических уравнений и неравенств в разделе 3 запись означает, что принимает любое целое значение, что также можно записать как

Равенство множеств

Пусть — множество цифр трехзначного числа 312, то есть , а — множество натуральных чисел, меньших чем 4, то есть . Поскольку эти множества состоят из одних и тех же элементов, то они считаются равными. Это записывают так: . Для бесконечных множеств таким способом (сравнивая все элементы) установить их равенство невозможно. Поэтому в общем случае равенство множеств определяется следующим образом.

Два множества называются равными, если каждый элемент первого множества является элементом второго множества и, наоборот, каждый элемент второго множества является элементом первого множества.

Из приведенного определения равенства множеств следует, что в множестве одинаковые элементы не различаются. Действительно, например, , поскольку каждый элемент первого множества (1 или 2) является элементом второго множества и, наоборот, каждый элемент второго множества (1 или 2) является элементом первого. Поэтому, записывая множество, чаще всего каждый его элемент записывают только один раз.

Подмножество

Если каждый элемент множества является элементом множества , то говорят, что множество является подмножеством множества .

Это записывают следующим образом:

Например, (поскольку любое натуральное число — целое), (поскольку любое целое число — рациональное), (поскольку любое рациональное число — действительное).

Полагают, что всегда , то есть пустое множество является подмножеством любого непустого множества.

Иногда вместо записи используется также запись , если множество является подмножеством множества , или равно множеству . Например,

Сопоставим определение равенства множеств с определением подмножества. Если множества и равны, то: 1) каждый элемент множества является элементом множества , следовательно, — подмножество ; 2) каждый элемент множества является элементом множества , следовательно, — подмножество .

Таким образом, два множества равны, если каждое из них является подмножеством другого.

Иногда соотношения между множествами удобно иллюстрировать с помощью кругов (которые часто называют кругами Эйлера—Венна). Например, рисунок 1 иллюстрирует определение подмножества, а рисунок 2 — отношения между множествами .

Операции над множествами

Над множествами можно выполнять определенные действия: пересечение, объединение, находить разность. Дадим определение этих операций и проиллюстрируем их с помощью кругов Эйлера—Венна.

Пересечением множеств и называют их общую часть, то есть множество всех элементов, принадлежащих как множеству , так и множеству .

Пересечение множеств обозначают знаком (на рисунке 3 приведена иллюстрация определения пересечения множеств).

Например, если то .

Объединением множеств и называют множество , состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств ( или ).

Объединение множеств обозначают знаком (на рисунке 4 приведена иллюстрация определения объединения множеств).

Например, для множеств и из предыдущего примера Если обозначить множество иррациональных чисел через , то .

Разностью множеств и называется множество , состоящее из всех элементов, которые принадлежат множеству и не принадлежат множеству В.

Разность множеств обозначают знаком . На рисунке 5 приведена иллюстрация определения разности множеств.

Например, если

Если — подмножество , то разность называют дополнением множества В до множества (рис. 6).

Например, если обозначить множество всех иррациональных чисел через , то : множество всех иррациональных чисел дополняет множество всех рациональных чисел до множества всех действительных чисел.

Если все множества, которые мы рассматриваем, являются подмножествами некоторого так называемого универсального множества (на рисунке его обычно изображают в виде прямоугольника, а все остальные множества — в виде кругов внутри этого прямоугольника, то разность называют дополнением множества (рис. 7). То есть дополнением множества называется множество, состоящее из всех элементов, не принадлежащих множеству , но принадлежащих универсальному множеству .

Дополнение множества обозначается (можно читать: « с чертой» или «дополнение »).

Например, если и , то . Для этого примера удобно использовать традиционную иллюстрацию множества действительных чисел на числовой прямой (рис. 8).

Числовые множества. Множество действительных чисел

Числовые множества:

Действительные числа

Числа, которые можно представить в виде бесконечной десятичной дроби

Рациональные числа

Можно представить в виде несократимой дроби , где — целое, — натуральное число. Записываются в виде бесконечной периодической десятичной дроби

Иррациональные числа

Нельзя представить в виде несократимой дроби , где — целое, — натуральное число. Записываются в виде бесконечной непериодической десятичной дроби

Целые числа

Включают натуральные числа, числа, противоположные им, и число нуль

Дробные числа

Числа, состоящие из целого числа частей единицы

( — обыкновенная дробь, 1,23 — десятичная дробь: )

Натуральные числа (целые положительные)

Для школьного курса математики натуральное число — основное не определяемое понятие

Число 0

Такое число, при сложение с которым любое число не изменяется

Целые отрицательные числа

Числа, противоположные натуральным

Модуль действительного числа и его свойства

Определение:

Модулем положительного числа называется само это число, модулем отрицательного числа называется число, противоположное ему, модуль нуля равен нулю

Геометрический смысл модуля

На координатной прямой модуль — это расстояние от начала координат до точки, изображающей это число.

Модуль разности двух чисел и — это расстояние между точками и на координатной прямой

Свойства

1. Модуль любого числа — неотрицательное число

2. Модули противоположных чисел равны

3. , то есть Каждое число не больше своего модуля

4. При

5. При

6. Модуль произведения равен произведению модулей множителей

7. Модуль дроби равен модулю числителя, деленному на модуль знаменателя (если знаменатель не равен нулю)

8.

9.

Модуль суммы не превышает суммы модулей слагаемых

10.

Объяснение и обоснование:

Числовые множества

В курсе математики вы встречались с разными числами: натуральными, целыми, рациональными, иррациональными, действительными. Представление о числах у человечества складывалось постепенно, под воздействием требований практики. Например, натуральные числа появились в связи с необходимостью подсчета предметов. Но для того чтобы дать ответ на вопрос «Сколько спичек в пустой коробке из-под спичек?», множества натуральных чисел недостаточно — для этого необходимо иметь еще и число нуль. Присоединяя к множеству натуральных чисел число 0, получаем множество неотрицательных целых чисел. Его часто обозначают . Одних только неотрицательных целых чисел оказалось недостаточно для решения задач практики (а следовательно, и математических задач, отображающих заданную реальную ситуацию). Так, для того чтобы охарактеризовать температуру воздуха выше и ниже нуля или движение тела в противоположных направлениях, необходимы противоположные натуральным числа, то есть отрицательные числа. Для натурального числа противоположным считается число , а для числа противоположным считается число . Нуль считают противоположным самому себе.

Натуральные числа, числа, противоположные натуральным, и число нуль составляют множество целых чисел.

Измерение величин привело к необходимости расширения множества целых чисел и введения рациональных чисел. Например, средняя многолетняя температура воздуха в январе в г. Харькове — , длительность урока — 45 минут, или часа.

Таким образом, выбирая какую-либо единицу измерения, мы получаем числовое значение величин, которое может выражаться с помощью разных рациональных чисел — целых и дробных, положительных и отрицательных.

Целые и дробные числа составляют множество рациональных чисел.

Любое рациональное число можно записать в виде дроби , где

(то есть числитель является целым числом, а знаменатель — натуральным).

Рациональное число может быть записано разными дробями. Например,

Как видно из приведенных примеров, среди дробей, которые изображают данное рациональное число, всегда есть единственная несократимая дробь (для целых чисел — это дробь, знаменатель которой равен 1).

Обратим внимание, что рациональное число, записанное в виде дроби , где , можно также записать в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби, разделив числитель на знаменатель. Например, .

Договоримся, что конечную десятичную дробь можно изображать в виде бесконечной, у которой после последнего десятичного знака, отличного от нуля, на месте следующих десятичных знаков записываются нули, например, .

Целые числа также договоримся записывать в виде бесконечной десятичной дроби, у которой справа от запятой на месте десятичных знаков стоят нули, например . Таким образом, любое рациональное число может быть записано как бесконечная периодическая дробь. Напомним, что у бесконечной периодической дроби, начиная с некоторого разряда, все десятичные знаки повторяются. Группу цифр, которая повторяется, называют периодом дроби; при записи дроби период записывают в скобках. Например, .

Таким образом, каждое рациональное число может быть записано в виде бесконечной периодической десятичной дроби и наоборот, каждая бесконечная периодическая дробь задает рациональное число.

Обратим внимание, что любая периодическая десятичная дробь с периодом девять равна бесконечной десятичной дроби с периодом нуль, у которой десятичный разряд, предшествующий периоду, увеличен на единицу по сравнению с разрядом первой дроби. Например, бесконечные периодические дроби и являются записью одного и того же рационального числа . Действительно, учитывая, что сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем вычисляется по формуле , имеем:

В дальнейшем, записывая рациональные числа с помощью бесконечных периодических десятичных дробей, договоримся исключить из рассмотрения бесконечные периодические дроби, период которых равен девяти.

Каждое рациональное число можно изобразить точкой на координатной прямой (то есть прямой, на которой выбраны начало отсчета, положительное направление и единица измерения). Например, на рисунке изображены несколько рациональных чисел .

Однако на координатной прямой есть точки, изображающие числа, которые не являются рациональными. Например, из курса алгебры известно, что число не является рациональным. Это так называемое иррациональное число. Если построить квадрат со стороной, равной 1, на координатной прямой (рис. 10), то его диагональ будет равна . Тогда, проведя дугу окружности радиуса с центром в точке , получим точку , координата которой равна . Кроме числа вы также встречались с иррациональными числами и т. д.

Рациональные и иррациональные числа составляют множество действительных чисел . На координатной прямой каждому действительному числу соответствует единственная точка и, наоборот, каждой точке координатной прямой соответствует единственное действительное число (в этом случае говорят, что между множеством действительных чисел и множеством точек координатной прямой устанавливается взаимно однозначное соответствие).

Каждое действительное число может быть записано в виде бесконечной десятичной дроби: рациональные числа — в виде бесконечной периодической десятичной дроби, а иррациональные — в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.

Напомним, что для сравнения действительных чисел и выполнения действий над ними (в случае, когда хотя бы одно из них не является рациональным) используются приближенные значения этих чисел. В частности, для сравнения двух действительных чисел последовательно рассматриваем их приближенные значения с недостатком с точностью до целых, десятых, сотых и т. д. до тех пор, пока не получим, что какое-то приближенное значение одного числа больше соответствующего приближенного значения второго. Тогда то число, у которого приближенное значение больше, и считается большим. Например, если

, то (поскольку ).

Для выполнения сложения или умножения рассмотренных чисел и последовательно записывают их приближенные значения с недостатком и с избытком (с точностью до целых, десятых, сотых и т. д.) и выполняют действия над полученными рациональными числами. В результате последовательно получаем значение суммы или произведения с необходимой точностью.

Как видим,

В курсе математического анализа доказывается, что в случае, когда приближенные значения чисел и последовательно берутся с точностью до целых, десятых, сотых и т. д., то значения суммы с недостатком и с избытком стремятся к одному и тому же числу, которое и принимается за значение суммы (аналогично определяется и произведение ).

Модуль действительного числа и его свойства

Напомним определение модуля.

Модулем положительного числа называется само это число, модулем отрицательного числа — число, противоположное ему, модуль нуля равен нулю.

Это определение можно коротко записать несколькими способами. а при а > 0,

, или или или

При необходимости мы будем пользоваться любой из этих записей определения модуля. Для нахождения по определению необходимо знать знак числа и использовать соответствующую формулу. Например,

На координатной прямой модуль числа — это расстояние от начала координат до точки, изображающей это число.

Действительно, если (рис. 11), то расстояние

Если , то расстояние

Модуль разности двух чисел и — это расстояние между точками и на координатной прямой.

Для доказательства можно воспользоваться тем, что при параллельном переносе вдоль оси координат на единиц абсцисса соответствующей точки изменяется на : к абсциссе данной точки прибавляется число , то есть при точка переносится вправо, а при — влево. Обозначим на координатной прямой числа соответственно точками . На рисунке 12 эти точки изображены для случая и , хотя приведенное далее обоснование не зависит от знаков и .

При параллельном переносе вдоль оси на единиц точка перейдет в точку , а точка (с координатой ) — в точку с координатой , то есть в точку . Тогда . Но расстояние — это расстояние от точки до начала координат, следовательно, , а значит, и .

Используя определение модуля и его геометрический смысл, можно обосновать свойства модуля, приведенные в таблице 2.

Например, учитывая, что — это расстояние от точки до точки , а расстояние может выражаться только неотрицательным числом, получаем

то есть модуль любого числа является неотрицательным числом.

Учитывая, что точки и находятся на одинаковом расстоянии от точки , получаем

это означает, что модули противоположных чисел равны.

Если то а если , то . Следовательно, всегда

то есть каждое число не превышает его модуль.

Если в последнее неравенство вместо подставить и учесть, что , то получаем неравенство . Отсюда , что вместе с неравенством свидетельствует о том, что для любого действительного числа а выполняется двойное неравенство

(1)

При неравенство означает, что число на координатной прямой находится от точки на расстоянии, которое не превышает (рис. 13), то есть в промежутке . Наоборот, если число находится в этом промежутке, то есть . Следовательно,

при (2)

Обратим внимание, что последнее утверждение справедливо и при (тогда двум неравенствам удовлетворяет только одно значение ).

Аналогично при неравенство означает, что число на координатной прямой находится от точки на расстоянии, которое больше или равно (рис. 13),

то есть в этом случае или . Наоборот, если число удовлетворяет одному из этих неравенств, то . Следовательно, при неравенство равносильно совокупности неравенств или , что можно записать так:

при

Свойства модуля произведения и модуля дроби фиксируют известные правила действий над числами с одинаковыми и разными знаками:

модуль произведения равен произведению модулей множителей, то есть

модуль дроби равен модулю числителя, деленному на модуль знаменателя (если знаменатель не равен нулю), то есть

Формулу для нахождения модуля произведения можно обобщить для случая нескольких множителей

(3)

Если в формуле (3) взять , получаем формулу

Используя последнюю формулу справа налево при и учитывая, что при всех значениях , получаем . Следовательно,

. Для обоснования неравенства

(4)

запишем неравенство (1) для чисел и :

Складывая почленно эти неравенства, получаем

Учитывая неравенство (2), имеем

(5)

то есть модуль суммы не превышает суммы модулей слагаемых. Если в неравенстве (4) заменить на и учесть, что , то получим неравенство

Если записать число так: и использовать неравенство (4), то получим неравенство . Отсюда

(6)

Если в неравенстве (6) заменить на и учесть, что , то получим неравенство

(7)

то есть модуль суммы двух чисел не меньше разности их модулей.

Меняя местами буквы и в неравенствах (6) и (7) и учитывая, что , имеем также неравенства

(8)

Полученные неравенства (4)-(8) можно коротко записать так:

Примеры решения задач:

Пример №402

Докажите, что сумма, разность, произведение, натуральная степень и частное (если делитель не равен нулю) двух рациональных чисел всегда является рациональным числом.

Решение:

► Пусть заданы два рациональных числа и где и — целые, а и — натуральные числа. Поскольку сумма, разность, произведение, натуральная степень и частное двух обыкновенных дробей всегда являются обыкновенными дробями, то полученный результат всегда будет рациональным числом. Например,

где — целое число, а — натуральное.

Комментарий:

Любое рациональное число может быть записано как дробь , где — целое, — натуральное число.

Чтобы доказать утверждение задачи, достаточно доказать, что сумма, разность, произведение и частное двух дробей вида также будет дробью такого вида.

Пример №403

Докажите, что для любого натурального числа число или натуральное, или иррациональное.

Комментарий:

Для доказательства утверждения задачи можно использовать метод от противного: предположить, что заданное положительное число является рациональным ненатуральным (то есть дробью), и получить противоречие с условием или с каким-либо известным фактом.

Записывая в виде несократимой дроби, следует учесть, что при натуральных значениях это число всегда будет положительным.

Решение:

► Допустим, что не является иррациональным числом (тогда это число рациональное) и не является натуральным числом. Следовательно, это число может быть только рациональной несократимой дробью , где и — натуральные числа . По определению квадратного корня имеем то есть . Учитывая, что , получаем, что дробь , равная натуральному числу , должна быть сократимой.

Следовательно, у натуральных множителей, которые стоят в числителе и знаменателе этой дроби, должен быть общий натуральный делитель, отличный от 1. Но в числителе стоят только множители , а в знаменателе — только множители . Тогда числа и имеют натуральный делитель, отличный от 1, то есть дробь является сократимой дробью, что противоречит условию. Таким образом, наше предположение неверно, и для любого натурального числа число или натуральное, или иррациональное.

Например, поскольку числа и не являются натуральными числами , то и — иррациональные числа.

Пример №404

Докажите, что — число иррациональное.

Решение:

► Допустим, что число рациональное. Тогда Возведя обе части последнего равенства в квадрат, имеем Отсюда

Следовательно,

Но правая часть этого равенства — рациональное число (поскольку по предположению — рациональное число), а левая — иррациональное. Полученное противоречие означает, что наше предположение неверно и число — иррациональное.

Комментарий:

Для доказательства утверждения задачи можно использовать метод «от противного» — допустить, что заданное число является рациональным, и получить противоречие с каким-либо известным фактом, например с тем, что — иррациональное число.

При анализе полученных выражений используем результат задачи 1: если число — рациональное, то числа и и их частное тоже будут рациональными.

Заметим, что знаменатель полученной дроби

Пример №405

Решите уравнение

Решение

I способ

►

Ответ:

Комментарий:

Заданное уравнение имеет вид (в данном случае ). Его удобно решать, используя геометрический смысл модуля: — это расстояние от точки 0 до точки . Но расстояние 7 может быть отложено от 0 как вправо (получаем число 7), так и влево (получаем число -7). Следовательно, равенство возможно тогда и только тогда, когда или .

II способ

Ответ:

Комментарий:

С геометрической точки зрения — это расстояние между точками и на координатной прямой. Запишем данное уравнение так: . Тогда равенство означает, что расстояние от точки до точки -5 равно 7. На расстоянии 7 от точки -5 находятся точки 2 и -12 (рис. 14). Таким образом, данное равенство выполняется тогда и только тогда, когда или то есть данное уравнение равносильно указанной в решении совокупности уравнений.

Пример №406

Решите неравенство

Решение:

Решая эти неравенства (рис. 15), получаем

Следовательно, или

Ответ:

Комментарий:

Заданное неравенство имеет вид (в данном случае ), и его можно решать, используя геометрический смысл модуля. С геометрической точки зрения, — это расстояние от точки 0 до точки . На расстоянии 6 от 0 находятся числа 6 и -6.

Тогда неравенству удовлетворяют все те и только те точки, которые находятся в промежутке то есть Для решения полученного двойного неравенства его удобно заменить соответствующей системой.

1. Теория множеств

1.1. Множества и отношения. Множества и элементы множеств

1.2. Сравнение множеств

1.3. Операции над множествами

1.4. Диаграммы Эйлера-Венна

1.5. Табличный способ задания множеств

1.6. Свойства операций над множествами

1.7. Отношения

1.8. Специальные бинарные отношения

2. Математическая логика

2.1. Высказывания

2.2. Логические связки (операции) над высказываниями

2.3. Пропозициональные формулы

2.4. Булевы функции. Таблицы истинности

2.5. Булевы функции одной переменной

2.6. Булевы функции двух переменных

2.7. Существенные и несущественные переменные

2.8. Равносильные формулы. Основные равносильности

2.9. Основные тавтологии

2.10. Основные равносильности

2.11. Понятие двойственной функции

2.12. Некоторые двойственные функции

2.13. Элементарные канонические формы

2.14. Нормальные формы формул

2.15. Приведение формул к нормальным формам

2.16. Минимизация д.н.ф.

2.17. Полные системы функций. Полином Жегалкина

2.18. Функционально замкнутые классы функций

2.19. Понятие алгоритма. Описание машины Тьюринга

3. Теория графов

3.1. Основные понятия и определения

3.2. Смежность, инцидентность, степени

3.3. Способы задания графов

3.4. Подграфы. Операции на графах

3.5. Связность. Компоненты связности. Маршруты и пути

3.6. Эйлеровы и гамильтоновы графы

3.7. Деревья и леса

3.8. Цикломатическое число графа. Построение остовного дерева связного графа

4. Конечные автоматы

4.1. Понятие конечного детерминированного автомата

4.2. Способы задания автоматов

4.3. Эквивалентные состояния. Минимизация к.д.а

4.4. Алгоритм минимизации конечного автомата

4.5. Каноническая таблица. Канонические уравнения

4.6. Функциональные и логические элементы. Проектирование дискретных устройств

1. Теория множеств

1.1. Множества и отношения

Множества и элементы множеств

Определение. Множество – любая определенная совокупность объектов произвольной природы. Обозначают множества прописными латинскими буквами: A, B, ¼ , а его элементы обозначаются строчными латинскими буквами: a, b, ¼.

Например:

( является элементом множества (« принадлежит A«)),

( не является элементом множества A).

Определение. Пустое множество – это множество, не содержащее ни одного элемента, обозначается оно символом: Æ.

Определение. – универсальное множество (универсум) – множество, из которого берутся элементы в конкретном рассуждении. – множество, рассматриваемое как наиболее общее в данной ситуации.

Множество элементов , удовлетворяющих свойству P(x) обозначается .

Примеры.

– множество натуральных чисел;

– множество вещественных чисел.

– множество комплексных чисел.

1.2. Сравнение множеств

Определение. (А содержится в В или В включает А), если . А называется подмножеством В. Если и , то А называется строгим (собственным) подмножеством В. Обозначается это .

Определение. если они являются подмножествами друг друга, то есть или

Определение. Мощность конечного множества – число его элементов. Мощность бесконечного множества равна ¥.

1.3. Операции над множествами

Определение. Объединением множеств А и В () называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из них.

Определение. Пересечением множеств А и В () называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих и первому и второму одновременно.

Определение. Разностью множеств А и В () называется множество, состоящее из элементов множества А, не принадлежащих множеству В.

Определение. Симметрической разностью множеств А и В () называется множество, состоящее из элементов множества А, не являющихся элементами множества В и элементов множества В, не являющихся элементами множества А.

Определение. Дополнением множества А () называется множество, состоящее из элементов множества U, не принадлежащих множеству А.

Пример:

зависит от того, какое U. Если , то , если , то .

1.4. Диаграммы Эйлера-Венна

Диаграммы Эйлера-Венна – это геометрическое представление множеств. Множество U изображается прямоугольником, рассматриваемые множества – фигурами (окружностями). Для выделения результата применяется штриховка.

1.5. Табличный способ задания множеств

Пусть задано множество U. Рассмотрим произвольное его подмножество и элемент .

Определение. Индикаторной (характеристической) функцией для множества A называется функция
.

Таким образом: .

Для имеют место свойства:

;

Индикаторы удобно задавать с помощью таблиц:

0 0 1 1	0 1 0 1	0 1 1 1	0 0 0 1	0 0 1 0	1 1 0 0	0 1 1 0

1.6. Свойства операций над множествами

Объединение и пересечение:

1. = – коммутативность

2. = – коммутативность

3. – ассоциативность

4. – ассоциативность

5. – дистрибутивность

6. – дистрибутивность

7. – идемпотентность

8. – идемпотентность

9. – свойство дополнения

10. – свойство дополнения

11. – закон де Моргана

12. – закон де Моргана

13. – свойство нуля

14. – свойство нуля

Дополнение:

15. – инволютивность

16.

17.

Разность, симметрическая разность:

18.

19.

20.

21.

22.

23.

1.7. Отношения

Определение. Пусть A и B произвольные множества. Декартовым произведением множеств A и B называется множество всевозможных упорядоченных пар, в которых первый элемент принадлежит множеству A, а второй – множеству B.

Пример. – точки плоскости.

Свойства декартовых произведений

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Понятие отношения.

Отношение это один из способов задания взаимосвязей между элементами множества.

Унарные (одноместные) отношения отражают наличие какого-либо признака R у элемента множества A. Например, «быть четным» на множестве натуральных чисел. Все элементы множества A, отличающиеся признаком R , образуют подмножество множества A, называемое отношением R.

Бинарные отношения

Бинарные (двуместные) отношения используются для определения взаимосвязей, которыми характеризуются пары элементов множеств A и B. Все пары элементов множеств A и B, находящиеся в отношении R , образуют подмножество множества .

Определение. Бинарное отношение – это тройка множеств , где – график отношения. Пишут или aRb.

Область определения : ;

Область значений: ;

Обратное отношение: ;

Композиция отношений и :

.

Частичным порядком (пишут ), если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

1.8. Специальные бинарные отношения

Бинарное отношение на A называется

1. Рефлексивным, если ;
2. Симметричным, если ;
3. Транзитивным, если ;
4. Антисимметричным, если ;
5. Отношением эквивалентности на (пишут ), если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно;

Определение. Бинарное отношение называется функцией из в , если и .

Функция называется

1. Сюръективной, если ;
2. инъективной, если ;
3. биективной, если она сюръективна и инъективна.

2. Математическая логика

2.1. Высказывания

Определение. Высказывание – повествовательное утверждение, которое либо истинно либо ложно (не то и другое одновременно).

Примеры высказываний: «Тише едешь – дальше будешь», «Париж – столица Франции». Но «Как бы чего не вышло» или «Миру – мир» не являются высказываниями.

Определение. Высказывание называется простым (элементарным), если оно рассматривается как одно неделимое целое.

Определение. Сложное высказывание – высказывание, составленное из простых с помощью логических связок.

2.2. Логические связки (операции) над высказываниями

Определение. Конъюнкцией («и») высказываний P и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда оба истинны. Обозначается P&Q.

Таблица истинности:

Определение. Дизъюнкцией («или») высказываний P и Q называется высказывание, ложное тогда и только тогда, когда оба ложны. Обозначается .

Таблица истинности:

Определение. Отрицанием («не») высказывания P называется высказывание, ложное тогда и только тогда, когда P истинно. Обозначается или .

Таблица истинности:

Определение. Импликацией высказываний P и Q называется высказывание, ложное, когда P истинно, а Q ложно, и истинное во всех остальных случаях. Обозначается .

Таблица истинности:

Определение. Эквивалентностью высказываний P и Q называется высказывание истинное, когда истинностные значения P и Q совпадают, и ложное в противном случае. Обозначается или .

Таблица истинности:

Определение. Неравнозначностью (сложение по модулю 2) высказываний P и Q называется высказывание истинное, когда истинностные значения P и Q различны, и ложное в противном случае. Обозначается .

Таблица истинности:

2.3. Пропозициональные формулы

Рассмотрим алфавит , где , ,.

Символы из называются переменными высказывания или пропозициональными переменными.

Символы из называются логическими связками.

Скобки из называются вспомогательными символами.

Определение. Пропозициональная формула определяется следующим образом:

1) пропозициональная переменная есть формула;

2) если P и Q – формулы, то Ø P, (P&Q), (PÚ Q) ,(P® Q) ,(PÅ Q) ,(P|Q), (P¯ Q) – формулы,

3) других формул нет.

При этом

а) внешние скобки у формул опускаются;

б) устанавливаются следующие приоритеты:

Ø – выполняется в первую очередь;

& – во вторую очередь;

Ú , ® , Å , |, ¯ – в третью очередь.

2.4. Булевы функции. Таблицы истинности

Определение. Булевой функцией булевых переменных называется функция с областью определения и областью значений , где .

Способы задания:

1) таблицами истинности; при этом 0 интерпретируется как «ложь», а 1 – как «истина»;
2) пропозициональными формулами.

Таблица истинностей некоторых логических связок:

2.5. Булевы функции одной переменной

2.6. Булевы функции двух переменных

2.7. Существенные и несущественные переменные

Определение. Переменная называется существенной для булевой функции , если

.

Определение. Переменная называется несущественной для булевой функции , если

.

2.8. Равносильные формулы. Основные равносильности

Определение. Формула называется тождественно истинной, или тавтологией, если эта формула принимает значение 1 при всех наборах значений переменных.

Определение. Формула называется тождественно ложной, или противоречием, если эта формула принимает значение 0 при всех наборах значений переменных.

2.9. Основные тавтологии

Определение. Формулы P и Q называются равносильными (обозначается ), если при любых значениях переменных значение формулы P совпадает со значением Q.

2.10. Основные равносильности

Замечание. Здесь P, Q и R —пропозициональные формулы.

2.11. Понятие двойственной функции

Определение. Функцией, двойственной к булевой функции , называется функция .

Определение. Функция называется самодвойственной, если .

Теорема. (Принцип двойственности.) Пусть ,…, и — булевы функции и пусть = — сложная булева функция. Тогда

=

Следствие. Пусть P и Q —формулы. Если , тогда .

Принцип двойственности позволяет получать из доказанных равносильностей целый ряд новых. Кроме того, СКНФ(f)=.

2.12. Некоторые двойственные функции

2.13. Элементарные канонические формы

Определение. Элементарной конъюнкцией называется конъюнкция переменных или их отрицаний, в которой каждая переменная встречается не более 1 раза.

Определение. Элементарной дизъюнкцией называется дизъюнкция переменных или их отрицаний, в которой каждая переменная встречается не более 1 раза.

2.14. Нормальные формы формул

Определение. Дизъюнктивной нормальной формой (Д.Н.Ф.) называется произвольная дизъюнкция элементарных конъюнкций.

Определение. Конъюнктивной нормальной формой (К.Н.Ф.) называется произвольная конъюнкция элементарных дизъюнкций.

Определение. К.Н.Ф. называется совершенной и обозначается С.К.Н.Ф., если каждая переменная входит в каждую элементарную дизъюнкцию ровно один раз с отрицанием или без.

Определение. Д.Н.Ф. называется совершенной и обозначается С.Д.Н.Ф, если каждая переменная входит в каждую элементарную конъюнкцию ровно один раз с отрицанием или без.

Пример: – Д.Н.Ф; – С.Д.Н.Ф.

Теорема. Любая логическая функция кроме 0 имеет единственную С.Д.Н.Ф: .

Теорема. Любая логическая функция кроме 1 имеет единственную С.К.Н.Ф: .

Здесь .

Пример. Пусть функция трех переменных задана таблицей истинности:

Записать ее С.Д.Н.Ф. и С.К.Н.Ф.

С.Д.Н.Ф.(f)=

С.К.Н.Ф.(f)=

2.15. Приведение формул к нормальным формам

Любую логическую формулу (кроме 0) можно привести к С.Д.Н.Ф. следующим образом:

1. Все не булевские операции заменить на булевские (&, Ú , Ø ) c помощью равносильностей:

   ; ; ; ; .

2. Все отрицания «спустить» до переменных с помощью законов де Моргана.
3. Раскрыть скобки (дистрибутивность, ассоциативность).
4. Удалить лишние конъюнкции, повторения переменных в конъюнкциях и константы.

   Для приведения к С.Д.Н.Ф:

5. Расщепить те конъюнкции, которые содержат не все переменные.

2.16. Минимизация д.н.ф.

Д.Н.Ф, содержащую минимальное число вхождений переменных, будем считать минимальной.

Приведем 2 наиболее простых метода минимизации Д.Н.Ф. функции:

1. Группировка: элементарные конъюнкции , в ДНФ группируются в пары так, что после вынесения за скобку общего множителя K подформула имела вид или . Далее заменяем на эквивалентную ей конъюнкцию K.

   Пример:

   .

2. Метод Блейка состоит в применении двух правил:

а) обобщенное склеивание – первое правило. С помощью формулы производим операцию обобщенного склеивания в Д.Н.Ф. пока это возможно. Для этого в Д.Н.Ф. отыскиваем подформулы вида и добавляем к ним . На этом этапе формула усложняется.

б) поглощение – второе правило. Оно основано на равенстве

.

Находим в Д.Н.Ф. конъюнкции с минимальным числом сомножителей и все конъюнкции, их содержащие, вычеркиваем.

Пример: .

Разумно в Д.Н.Ф. сначала применить метод группировки (как более простой), а затем метод Блейка.

2.17. Полные системы функций. Полином Жегалкина

Определение. Множество булевых функций называется полной системой, если любая булева функция может быть выражена через функции этого множества с помощью суперпозиции. Минимальная полная система называется базисом.

Примеры базисов:

— дизъюнктивный базис;

— конъюнктивный базис;

— базис Жегалкина;

— базис Пирса;

— базис Шеффера.

Определение Логическая функция, представленная над базисом называется многочленом Жегалкина. Он имеет вид:

,

где константы .

2.18. Функционально замкнутые классы функций

Ведем следующие классы Поста:

= – Класс функций, сохраняющих 0.

= – Класс функций, сохраняющих 1.

= – Класс самодвойственных функций.

= – Класс линейных функций.

= – Класс монотонных функций.

Каждый класс Поста является функционально замкнутым, т.е. все функции, реализованные формулами над данным классом, также принадлежат данному классу.

Таблица принадлежности функциональным классам основных булевых функций:

Теорема. (Теорема Поста.) Для того, чтобы система булевых функций была полной, необходимо и достаточно, чтобы для каждого из классов , , , , нашлась функция из системы, не принадлежащая данному классу.

2.19. Понятие алгоритма. Описание машины Тьюринга

Для решения ряда однотипных задач иногда целесообразно использовать чисто механические вычислительные процессы. Описание таких процессов называют алгоритмами.

Интуитивно: алгоритм – это некоторое формальное предписание, действуя согласно которому, можно получить решение задачи. Примеры алгоритмов:

• Нахождение наибольшего общего делителя двух натуральных чисел.
• Извлечение корня квадратного из рационального числа с заданной точностью.
• Вычисление ранга матрицы, и так далее.

Перечисленные алгоритмы имеют ряд общих черт, которые естественно считать присущими любому алгоритму:

Дискретность. Решение задачи разбивается на этапы, каждый из которых прост и локален.

Детерминированность. После выполнения очередного этапа однозначно определено, что сделать на следующем этапе.

Направленность. Должно быть указано, что считать результатом применения алгоритма.

Массовость. Алгоритм служит для решения целого класса однотипных задач.

Конечность. Для решения задачи выполняется конечная последовательность шагов алгоритма.

Тезис Тьюринга Всякий интуитивный алгоритм может быть реализован с помощью некоторой машины Тьюринга.

Определение. Машиной Тьюринга (м-т) называется тройка , где —внешний алфавит, обычно ; —внутренний алфавит, элементами которого являются состояния управляющего устройства, —заключительное состояние, —начальное состояние; —программа, состоящая из команд вида: , где —один из символов: (налево), (направо), (на месте), , .

Имеется бесконечная в обе стороны лента, разбитая на ячейки. В начальный момент в конечном числе ячеек записаны символы из , в остальных ячейках записан пустой символ, обозначаемый через . Машина Тьюринга имеет головку, которая в любой момент времени обозревает некоторую ячейку, и управляющее устройство, которое может находиться в одном из состояний .

Шаг работы м-т. Если м-т имеет состояние , в обозреваемой ячейке записан символ , то выполняется команда , м-т переходит в состояние , в ячейке на место , записывается и головка сдвигается влево, вправо или остается на месте в зависимости от символа .

В начальный момент м-т находится в состоянии , останавливается м-т, если перейдет в одно из заключительных состояний либо при отсутствии команды, которую можно выполнить.

Конфигурацией (машинным словом) называется слово , где — слово на ленте левее головки, — слово правее головки, включая символ под головкой.

Говорят, что м-т применима к слову , если , начав работу на слове , машина остановится через конечное число шагов; если в результате получится слово , то пишут . Если не остановится, то она не применима к слову .

3. Теория графов

3.1. Основные понятия и определения

Граф (от греческого — пишу) — непустое множество вершин и набор неупорядоченных и упорядоченных пар вершин вида (v,w). Обычно граф обозначают как G(V,E); количество вершин и ребер обозначается, соответственно, n(G) и m(G).

Неупорядоченная пара вершин называется ребром {v,w}, упорядоченная пара — дугой (v,w).

Граф, содержащий только ребра, называется неориентированным (обозначается G). Граф, содержащий только дуги — ориентированным (или орграфом) (обозначается ).

Пара вершин может быть соединена двумя или более рёбрами (или, соответственно, дугами одного направления), такие рёбра (или дуги) называются кратными. Дуга (или ребро) может начинаться и заканчиваться в одной и той же вершине, в этом случае соответствующая дуга (или ребро) называется петлёй.

Граф без кратных рёбер и петель называется простым графом.

Граф, все n вершин которого являются изолированными, называется нулевым (пустым) и обозначается .

Простой граф, любые две вершины которого являются смежными, называется полным. Полный граф с n вершинами обозначается .

3.2. Смежность, инцидентность, степени

Вершины, соединённые ребром или дугой, называются смежными.

Рёбра, имеющие общую вершину, тоже называются смежными.

Ребро (или дуга) и любая из его вершин называются инцидентными.

Говорят, что ребро {v,w} соединяет вершины v и w. Для орграфов: дуга (v,w) начинается в вершине v (исходит из вершины v) и заканчивается в вершине w (заходит в вершину w), или идет из вершины v в вершину w.

Степенью вершины v графа G называется число deg v рёбер графа G, инцидентных вершине v, при этом петли учитываются дважды. Вершина графа, имеющая степень 0, называется изолированной, а степень 1 — тупиковой (висячей, концевой).

Для орграфа: полустепенью исхода (захода) вершины v орграфа называется число () дуг орграфа, исходящих из вершины v (заходящих в вершину v), при этом каждая петля, инцидентная вершине v , учитывается как в , так и в .

Теорема. (Теорема о рукопожатиях) Сумма степеней всех вершин графа G равна удвоенному числу его рёбер, то есть: . (Число пожатых рук всегда четно.)

Для орграфа: .

Доказательство следует из тех соображений, что каждое ребро вносит в сумму вклад 2.

Следствие. В каждом графе число вершин нечётной степени чётно.

3.3. Способы задания графов

• Рисунок.
• Список вершин и рёбер.
• Матрица смежности. Матрицей смежности называется квадратная матрица A(G)=(), (i,j=1,…,n), у которой элемент равен числу рёбер, соединяющих и

  Для орграфа элемент матрицы A(), равен числу дуг, идущих из в .

• Матрица инцидентности. Матрицей инцидентности графа G (без петель) называется матрица B(G)=() (для орграфа B()=()) размерности , у которой:
  =1, если вершина инцидентна ребру ,
  =0, в противном случае.

Для орграфа:
=1, если вершина есть начало дуги ;
= — 1, если вершина есть конец дуги ;
=0, если и не инцидентны.

Примеры:

Граф и его матрица смежности.

Граф и его матрица инцидентности, здесь вершинам соответствуют строки, а ребрам — столбцы.

Матрица инцидентности для ориентированного графа, здесь вершинам соответствуют строки, а дугам — столбцы.

3.4. Подграфы. Операции на графах

Подграфом графа G(V,E) называется граф, все вершины и ребра которого содержатся среди вершин и ребер исходного графа G(V,E).

Определим некоторые операции на графах.

Удаление или добавление ребра.

Удаление вершины. Из множества вершин удаляем выбранную вершину, а из множества ребер все инцидентные ей ребра.

Стягивание ребра. Отождествляем (стягиваем) вершины инцидентные выбранному ребру.

Добавление вершины (разбиение ребра). Выберем некоторое ребро (u,v) из множества ребер и удалим его. В множество вершин добавим новую вершину w, а в множество ребер новые ребра (u,w) и (w,v).

Объединение графов. Объединением графов и называется граф .

Пересечение графов. Пересечением графов и () называется граф .

3.5. Связность. Компоненты связности. Маршруты и пути

Маршрут в графе — это последовательность вершин и рёбер , где любые два «соседа» инцидентны. Рёбра и вершины в маршруте могут повторяться. Если начальная и конечная вершины совпадают, то маршрут называется замкнутым. Если все вершины и рёбра маршрута различны, то он называется цепью. Замкнутая цепь — это цикл. Длина маршрута равна числу входящих в него рёбер.

Граф G(V,E) называется связным, если для любых его вершин существует соединяющий их маршрут. Компонентой связности называется максимальный связный подграф графа G(V,E). Число компонент связности графа обозначается k(G).

Ориентированный граф G(V,) называется сильно связным, если для любых его вершин u и v существуем путь из u в v и путь из v в u.

В этом случае говорят, что вершины u и v достижимы друг из друга.

Если для любых двух вершин u и v графа G(V,) существует маршрут из u в v или из v в u, то граф называется связным или односторонне связным.

Вершина, удаление которой увеличивает число компонент связности, называется точкой сочленения. Ребро, удаление которого увеличивает число компонент связности, называется перешейком (мостом).

3.6. Эйлеровы и гамильтоновы графы

Цикл в графе называется эйлеровым, если он проходит через каждое ребро графа ровно один раз. Граф называется эйлеровым, если в нем есть эйлеров цикл.

Теорема. Граф является эйлеровым тогда и только тогда, когда граф связный и все вершины имеют четную степень.

Теорема. Ориентированный граф является эйлеровым тогда и только тогда, когда он сильно связный и для любой его вершины имеет место равенство: =.

Свое название эйлеровы графы получили в честь Л.Эйлера, который первым рассмотрел такие графы в 1736 году в своей знаменитой работе о кенигсбергских мостах. Этой работой Эйлер, по существу, положил начало новому разделу математики — теории графов.

Задача о кенигсбергских мостах состояла в следующем. На реке Прегель в Кенигсберге было два острова, соединенных между собой и с берегами семью мостами, как показано на рисунке:

Спрашивается, можно ли, начиная с некоторого места суши, обойти все мосты ровно по одному разу и вернуться в начальную точку? Эйлер предложил рассмотреть следующий граф:

Нетрудно догадаться, что решение этой задачи сводится к поиску эйлеровой цепи в данном графе. Однако, как показывает приведенная теорема, в указанном графе нет эйлеровых цепей.

Цикл в графе называется гамильтоновым, если он проходит через каждую вершину графа ровно один раз. Граф называется гамильтоновым, если в нем есть гамильтонов цикл.

Указанные названия циклов связаны с именем Уильяма Гамильтона, который в 1859 году предложил следующую игру головоломку:

Требуется, переходя по очереди от одной вершины додекаэдра к другой вершине по его ребру, обойти все 20 вершин по одному разу и вернуться в начальную вершину.

Отметим, что придумано еще много других развлекательных и полезных задач, связанных с поиском гамильтоновых циклов. Сформулируем две из них:

1. Кампанию из нескольких человек требуется рассадить за круглым столом таким образом, чтобы по обе стороны от каждого сидели его знакомые.

Очевидно, для решения этой задачи нужно найти гамильтонов цикл в графе знакомств компании.

2. (Задача о шахматном коне.) Можно ли, начиная с произвольного поля шахматной доски, обойти конем последовательно все 64 поля по одному разу и вернуться в исходное поле?

Несмотря на внешнее сходство задач об эйлеровых и гамильтоновых циклах, оказалось, что эффективных критериев существования гамильтоновых циклов ( в отличии от эйлеровых) не существует.

3.7. Деревья и леса

Связный граф без циклов называется деревом.

Граф без циклов называется лесом.

Теорема. T(V,E) — дерево тогда и только тогда, когда T(V,E) — связный граф и |E|=|V| — 1.

Теорема. В любом дереве имеется не менее двух висячих вершин.

3.8. Цикломатическое число графа. Построение остовного дерева связного графа.

Остовным деревом связного графа G(V,E) называется любой его подграф, содержащий все вершины G и являющийся деревом.

На рисунке приведены два графа G и по одному из их остовных деревьев T.

Число ребер, которое необходимо удалить для получения остова, называется цикломатическим числом графа G и обозначается .

Теорема. Цикломатическое числом графа G(V,E) не зависит от последовательности удаления ребер и имеет место формула:

= |E|| — |V|+k(G),

где k(G) — число компонент связности.

4. Конечные детерминированные автоматы

4.1. Понятие конечного детерминированного автомата

Автоматы можно рассматривать как механизмы, состоящие из:

• блока управления, который может пребывать в различных состояниях (S внутренний алфавит);
• входного канала;
• выходного канала.

Входной канал считывает входные сигналы (Х) из внешней среды. Выходной канал выдает выходные сигналы (Y) во внешнюю среду. Работа автомата протекает в дискретные такты времени t=1,2,3,…. По команде в некотором такте времени блок управления установлен в состоянии и входной канал воспринимает , тогда в этом же такте в выходной канал выдается символ , а к следующему такту +1 блок управления перейдет в состояние .

Определение. К.Д.А. называется система , где — алфавит состояний, – входной алфавит, – выходной алфавит. Множества S, X, Y – конечные.

– функция переходов,

– функция выходов.

Если в автомате выделено одно состояние , называемое начальным (обычно ), то автомат называется инициальным.

4.2. Способы задания автоматов

1. 1. Таблица переходов–выходов.

1. 1. С помощью орграфов. Вершины граф означают состояния, а дуги – переходы между ними. Из каждой вершина исходит k дуг. Из вершины проводится дуга в вершину в том и только в том случае, когда для некоторого .
      
      Этой дуге приписывается пометка :

Начальное состояние в инициальном автомате помечается символом . Описанный таким образом орграф с пометками называется диаграммой Мура.

1. С помощью канонических уравнений:

   

   в момент t=1 автомат находится в начальном состоянии . В каждый момент t=1,2,3,… дискретного времени автомат, находясь в некотором состоянии s(t) из множества S, под действием входного сигнала выдает выходной сигнал из множества Y, согласно функции выходов l , а затем меняет свое состояние на s(t+1) согласно функции переходов d.

Для определения множества состояний автомата необходимо уяснить содержательный смысл и назначение понятия состояния.

После преобразования входного сигнала в выходной его значение к следующему такту времени теряется. Иначе говоря, в любой тактовый момент t в устройстве нет информации о сигналах в предыдущие моменты, то есть о значениях ,, ,… . Поэтому, если при вычислении значения функции переходов и выходов по формуле необходима информация об этих тактовых моментах, то ее нужно каким-либо образом «запомнить». В этом и состоит содержательное назначение состояний. Состояния – это вспомогательные объекты, которые подбираются таким образом, чтобы в совокупности с входным значением однозначно определить выходное значение . Обычно состояния кодируют ту информацию, которая поступила до момента t.

Пример. Построить таблицу переходов–выходов К.Д.А, реализующего функцию:

Чтобы на любом, отличном от первого, такте иметь информацию о , введем два следующих состояния:

={«на первом такте поступил 0»};

={«на первом такте поступила 1»}.

И –начальное состояние.

Построим таблицу переходов–выходов:

Для нарисуем диаграмму Мура:

И дополним таблицу переходов–выходов:

4.3. Эквивалентные состояния. Минимизация к.д.а

Определение. Две диаграммы Мура называются изоморфными, если они могут быть превращены одна в другую переобозначением вершин.

Определение. Два автомата называются изоморфными, если их диаграммы Мура изоморфны.

Рассмотрим два автомата и с одинаковыми входным и выходным алфавитами.

Определение. Состояния и называются неотличимыми (эквивалентными) тогда и только тогда, когда для любого входного слова х результат работы автомата такой же, как и для .

В частном случае, когда =, то речь идет о неотличимых состояниях одного автомата.

Определение. Автоматы и называются неотличимыми (эквивалентными) тогда и только тогда, когда для любого состояния найдется эквивалентное ему состояние и обратно.

Неотличимые автоматы осуществляют одно и то же отображение входных слов в выходные.

Определение. Автомат А называется приведенным, если в нем нет эквивалентных (неразличимых) состояний.

Число состояний в приведенном автомате минимально. Для любого автомата существует эквивалентный ему приведенный автомат А. Процедура нахождения такого автомата называется минимизацией автомата .

4.4. Алгоритм минимизации конечного автомата

Шаг 1: два состояния s и t относим в один класс , если для любого входного символа x значение функции выхода s совпадает со значениями функции выхода t. В результате получим r классов:

.

M

Шаг k: два состояния s и t из одного класса , полученного на предыдущем шаге, относим в один класс , если для любого значения входного символа значения функций состояний принадлежат одному и тому же классу из предыдущего шага. Если шаг k не изменяет разбиения, то процесс останавливается. Доопределяем функции перехода и выхода и строим таблицу переходов –выходов.

Пример. Минимизировать автомат, заданный таблицей:

Шаг 1: Первое, третье и четвертое состояния отнесем в один класс состояний, а второе, пятое и шестое – в другой:

;

Шаг 2: Выпишем значения функции переходов для состояний из класса :

; ;

; ;

; ;

Видно, что 1 и 3-е состояния относим в один класс этого шага , а четвертое состояние – в другой . Проанализировав аналогичным образом значения функции выходов для состояний из класса , видим:

; ;

; ;

; ; , т.е. все они остаются в одном классе. В результате получим разбиение на классы:

; ;

Шаг 3: ; ; . Дальнейшего разбиения классов не происходит, поэтому процесс останавливается. Класс назовем состоянием , класс состояний назовем состоянием , а класс – состоянием .

Построим таблицу переходов–выходов:

Построенный автомат – минимальный.

4.5. Каноническая таблица. Канонические уравнения

Реализация К.Д.А. осуществляется на основе канонических уравнений, которые находятся с помощью канонической таблицы. Каноническая таблица строится следующим образом по таблице переходов–выходов или диаграмме Мура.

Аргументы функций l и d находятся в столбцах слева, а справа – их значения.

Канонические уравнения имеют вид:

Элементы множеств S, X, Y кодируют двоичными наборами, соблюдая при этом следующие условия:

1. разным элементам в каждом из множеств S, X, Y соответствуют разные кодовые наборы;
2. длины кодовых наборов в каждом из множеств S, X, Y должны совпадать и быть по возможности минимальными;
3. начальному состоянию соответствует набор .

После кодирования , , принимают вид:

=

=

=

Таблица преобразовывается к скалярному виду следующим образом:

Для того, чтобы представить , как булевы функции, необходимо, чтобы они были всюду определены. С этой целью к таблице добавляются строки, содержащие в левой части недостающие наборы, а в правой части – прочерки. Затем, прочерки заполняются 0 и 1 (функции доопределяются) так, чтобы по соответствующим столбцам значений l и d можно было записать формулу в виде СКНФ или СДНФ или в каком-нибудь другом наиболее простом виде.

Пример. Автомат задан таблицей переходов – выходов:

Записать его канонические уравнения.

Закодируем состояние 00 (начальное), состояние 01, состояние 10.

Запишем каноническую таблицу:

И преобразуем ее к скалярному виду:

Две последние строки доопределим следующим образом:

Запишем канонические уравнения:

.

Осталось упростить уравнения.

Применим метод группировки

=;

=;

и запишем канонические уравнения в более простом виде:

4.6. Функциональные и логические элементы. Проектирование дискретных устройств

Под функциональным элементом понимают устройство, реализующее элементарную функцию. Функциональные элементы, соответствующие булевым функциям, называют логическими элементами.

Канал – это линия, по которой передается информация. Узел – точка, в которую передается или из которой считывается информация. На схемах канал обозначается прямой линией, а узел – кружочком. Точки ветвления каналов обозначаются жирной точкой, чтобы отличать их от точек пересечения линий на схеме.

Построение схемы, реализующей булеву функцию.

1 ЭТАП: Функции l и d реализуются как булевы функции, зависящие от булевых переменных s(t) и x(t).

Шаг 1. Поиск в формуле подформул, которые могут быть реализованы некоторыми функциональными элементами. Изображение их на схема.

Шаг 2. Поиск подформул, аргументами которых могут являться функции, реализованные функциональными элементами на предыдущем шаге. Для найденных подформул реализующие их функциональные элементы изображаются на схеме. Совмещаются соответствующие входные и выходные узлы элементов.

Шаг 3. Шаг 2 повторяется до тех пор, пока не будут исчерпаны все формулы.

Пример. Построить схему для вычисления функции

2 ЭТАП: Для сохранения значений состояний s(t+1) до следующего такта в схему вводится необходимое количество элементов памяти. Элемент, обеспечивающий запоминание одного бита двоичной информации в течение 2 такта, называется задержкой (триггером). На схеме такой элемент обозначается квадратом с буквой «з». Память содержит необходимое количество таких элементов.

Рекомендуемая учебная литература для изучения теории:

1. Ерусалимский Я.М. Дискретная математика, теория, задачи.—М.: Вуз. кн., 1998.
2. Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М. Дискретная математика для инженеров.—М.: Энергоатомиздат, 1988.
3. Логинов Б.М. Лекции и упражнения по курсу «Введение в дискретную математику».—Калуга, 1998.
4. Мангушева И.П. и др. Ограниченно детерминированные функции и конечные автоматы.—Саратов: Изд–во СГУ, 1997.
5. Нефедов В.Н., Осипова В.А. Курс дискретной математики: Учебное пособие.—М.: Изд–во МАИ, 1992.
6. Оре О. Теория графов.—М.: Наука, 1980.
7. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику.—М.: Наука, 1986.

Рекомендуемые пособия для практических занятий:

1. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Сборник задач по дискретной математике.—М.: Наука, 1977.
2. Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов.—М.: Наука, 1975.
3. Макаров Р. Н. Практические занятия по дискретной математике. Учебное пособие.—Новосибирск: СибГУТИ, 2001.—56 с.: ил.
4. Насыров З.Х. Дискретная математика. Учебное пособие.—Обнинск: ИАТЭ, 1999.

Что такое множество в математике и как оно обозначается

Множество – это количество предметов или чисел, обладающих общими свойствами.

Данное определение подходит к любой совокупности с одинаковыми признаками, независимо оттого, сколько предметов в нее входит: толпа людей, стог сена, звезды в небе.

В математике изучаемое понятие обозначается заглавными латинскими буквами, например: А, С, Z, N, Q, A₁, A₂ и т. д.

Объекты, составляющие группу, называются элементами множества и записываются строчными латинскими буквами: a, b, c, d, x, y, a₁, a₂ и т. д.

Границы совокупности обозначаются фигурными скобками { }.

Пример:

1. А = {а, в, с, у} – А состоит из четырех элементов.

2. Записать совокупность Z согласных букв в слове «калькулятор»:

Z = {к, л, т, р}, повторяющиеся согласные записываются один раз. Z состоит из четырех элементов.

Принадлежность элементов множеству обозначается знаком – Є.

Пример: N = {a, b, c, y}, а Є N – элемент «а» принадлежит N.

Выделяют три вида множеств:

• конечные — совокупности, имеющие максимальный и минимальный предел (например, отрезок);

• бесконечные — не являющиеся конечными (например, числовые);

• пустые (обозначаются Ø) – не имеющие элементов.

Если две разные совокупности содержат одинаковые элементы, то одна из них (со всеми своими элементами) является подмножеством другой и обозначается знаком — ⊆.

Пример: А = {а, в, с, у} и В = {а, в, с, е, к} – все элементы А являются элементами совокупности В, следовательно А ⊆ В. 

Если множества состоят из одинаковых элементов, их называют равными.

Пример: А = {23, 29, 48} и В = {23, 29, 48}, тогда А = В.

В математике выделяют несколько числовых совокупностей. Рассмотрим их подробнее.

Множество натуральных чисел

К совокупности натуральных чисел (N) относятся цифры, используемые при счете — от 1 до бесконечности.

Натуральные числа используют для исчисления порядка предметов. Обязательное условие данной числовой группы — каждое следующее число больше предыдущего на единицу.

N = {9, 11, 13, 15……}.

Относится ли ноль к натуральным числам? Это до сих пор открытый вопрос для математиков всего мира.

Множество целых чисел

Совокупность целых чисел (Z) включает в себя положительные натуральные и отрицательные числа, а также ноль:

Z = {-112, -60, -25, 0, 36, 58, 256}.

Следовательно, N — подмножество Z, что можно записать как N ⊆ Z. Любое натуральное число можно назвать так же и целым.

Множество рациональных чисел

Совокупность рациональных чисел (Q) состоит из дробей (обыкновенных и десятичных), целых и смешанных чисел:

Q={-½; 0; ½, 5; 10}.

Любое рациональное число можно представить в виде дроби, у которой числителем служит любое целое число, а знаменателем – натуральное:

5 = 5/1 = 10/2 = 25/5;

0,45 = 45/100 = 9/20.

Следовательно, N и Z являются подмножествами Q.

Операции над множествами

Точно так же, как и все математические объекты, множества можно складывать и вычитать, то есть совершать операции.

Если две группы образуют третью, содержащую элементы исходных совокупностей – это называется суммой (объединением) множеств и обозначается знаком ∪.

Пример: В = {1, 6, 17} и С = {2, 13, 18}, В ∪ С= {1, 2, 6, 13, 17, 18}.

Если две группы совокупностей образуют третью, состоящую только из общих элементов заданных составляющих, это называется произведением (пересечением) множеств, обозначается значком ∩.

Пример: В = {36, 42, 53, 64} и С = {32, 42, 55, 66}, В ∩ С = {42}.

Если две совокупности образуют третью, включающую элементы одной из заданных групп и не содержащую элементы второй, получается разность (дополнение) совокупностей, обозначается значком /.

Пример: В = {12, 14, 16, 18} и С = {13, 14, 15, 17}, В / С = {14}.

В случае, когда В / С = С / В, получается симметричная разность и обозначается значком Δ.

Для «чайников» или кому трудно даётся данная тема операции с совокупностями можно отобразить с помощью диаграмм Венна:

Объединение

Пересечение

Дополнение

С помощью данных диаграмм можно разобраться с законами де Моргана по поводу логической интерпретации операций над множествами. 

Свойства операций над множествами

Операции над множествами обладают свойствами, аналогичными правилу свойств сложения, умножения и вычитания чисел:

Коммутативность – переместительные законы:

• умножения S ∩ D = D ∩ S;

• сложения S ∪ D = D ∪ S. 

Ассоциативность – сочетательные законы:

• умножения (S ∩ F) ∩ G = S ∩ (F ∩ G);

• сложения (S ∪ F) ∪ G = S ∪ (F ∪ G). 

Дистрибутивность – законы распределения:

• умножения относительно вычитания S ∩ (F – G) = (S ∩ F) – (S ∩ G);

• умножения относительно сложения G ∩ (S ∪ F) = (G ∩ S) ∪ (G ∩ F);

• сложения относительно умножения G ∪ (S ∩ F) = (G ∪ S) ∩ (G ∪ F). 

Транзитивность — законы включения:

• если S ⊆ Fи F ⊆ J, то S ⊆ J;

• если S ⊆ F и F ⊆ S, то S = F. 

Идемпотентность объединения и пересечения:

• S ∩ S = S;

• S ∪ S = S.

О других свойствах операций можно узнать из картинки:

Счетные и несчетные множества

Если между элементами двух групп можно установить взаимное немногозначное соответствие, то эти группы чисел равномощны, при условии равного количества элементов. 

Мощность данной математической единицы равна количеству элементов в ней. Например, множество всех нечетных положительных чисел равномощно группе всех четных чисел больше ста.

В случае, когда бесконечное множество равномощно натуральному ряду чисел, оно называется счетным, а если оно не равномощно — несчетным. Другими словами, счетная единица — это совокупность, которую мы можем представить в виде последовательности чисел по порядковым номерам. 

Но не все группы действительных чисел счетные. Примером несчетной группы предметов является бесконечная десятичная дробь.

Теория множеств — достаточно широкая тема, которая требует глубокого изучения. Она затрагивает начальный курс математики, изучается в среднем звене школьной программы по алгебре. Высшая математика, математический анализ, логика – рассматривают законы, теоремы, аксиомы множеств, на которых основаны фундаментальные знания науки.