Как найти множество допустимых значений функции - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Загрузить PDF

Множество значений (область значений) функции — все значения, которые принимает функция в ее области определения. Другими словами, это те значения у, которые вы получаете при подстановке всех возможных значений х. Все возможные значения х и называются областью определения функции. Выполните следующие действия для нахождения множества значений функции.

1

Запишите функцию. Например: f(x) = 3x² + 6x -2. Подставив x в уравнение, мы сможем найти значение y. Эта квадратичная функция, и ее график — парабола.
2
Найдите вершину параболы. Если вам дана линейная функция или любая другая с переменной в нечетной степени, например, f(x) = 6x³+2x + 7, пропустите этот шаг. Но если вам дана квадратичная функция или любая другая с переменной х в четной степени, нужно найти вершину графика этой функции. Для этого используйте формулу х=-b/2a. В функции 3x² + 6x -2 a = 3, b = 6, c = -2. Вычисляем: х = -6/(2*3)= -1.
- Теперь подставьте х= -1 в функцию, чтобы найти у. f(-1) = 3*(-1)² + 6*(-1) -2 = 3 — 6 -2 = -5.
- Координаты вершины параболы (-1,-5). Нанесите ее на координатную плоскость. Точка лежит в третьем квадранте координатной плоскости.
3
Найдите еще несколько точек на графике. Для этого подставьте в функцию несколько других значений х. Так как член x² положительный, то парабола будет направлена вверх. Для подстраховки подставим в функцию несколько значений x, чтобы узнать, какие значения y они дают.
- f(-2) = 3(-2)² + 6(-2) -2 = -2. первая точка на параболе (-2, -2)
- f(0) = 3(0)² + 6(0) -2 = -2. Вторая точка на параболе (0,-2)
- f(1) = 3(1)² + 6(1) -2 = 7. Третья точка на параболе (1, 7).
4

Найдите множество значений функции на графике. Найдите наименьшее значение у на графике. Эта вершина параболы, где у=-5. Так как парабола лежит выше вершины, то множество значений функции y ≥ -5.

Реклама

1

Найдите минимум функции. Вычислите наименьшее значение у. Допустим, минимум функции у=-3. Это значение может становиться все меньше и меньше, вплоть до бесконечности, так что минимум функции не имеет заданной минимальной точки.
2

Найдите максимум функции. Допустим, максимум функции у= 10. Как и в случае с минимумом, максимум функции не имеет заданной максимальной точки.
3
Запишите множество значений. Таким образом, множество значений функции лежит в диапазоне от -3 до +10. Запишите множество значений функции как: -3 ≤ f(x) ≤ 10
- Но, допустим, минимум функции у=-3, а ее максимум — бесконечность (график функции уходит бесконечно вверх). Тогда множество значений функции: f(x) ≥ -3.
- С другой стороны, если максимум функции у=10, а минимум — бесконечность (график функции уходит бесконечно вниз), то множество значений функции: f(x) ≤ 10.
Реклама

1

Запишите множество координат. Из множества координат можно определить его область значения и область определения. Допустим, дано множество координат: {(2, -3), (4, 6), (3, -1), (6, 6), (2, 3)}.^[1]
2

Перечислите значения у. Чтобы найти область значений множества, просто запишите все значения у: {-3, 6, -1, 6, 3}.^[2]
3

Удалите все повторяющиеся значения у. В нашем примере удалите «6»: {-3, -1, 6, 3}.^[3]
4

Запишите область значений в порядке возрастания. Областью значений множества координат {(2, –3), (4, 6), (3, –1), (6, 6), (2, 3)} будет {-3, -1, 3, 6}.^[4]
5

Убедитесь, что множество координат дано для функции. Чтобы это было так, каждому одному значению х должно соответствовать одно значение у. Например, множество координат {(2, 3) (2, 4) (6, 9)} дано не для функции, потому что одному значению х=2 соответствуют два разных значения у: у=3 и у=4.^[5]

Реклама

1

Прочитайте задачу. «Ольга продает билеты в театр по 500 рублей за билет. Общая вырученная сумма за проданные билеты является функцией от количества проданных билетов. Какова область значений этой функции?»
2
Запишите задачу как функцию. В этом случае М — общая вырученная сумма за проданные билеты, а t — количество проданных билетов. Так как один билет стоит 500 рублей, надо умножить количество проданных билетов на 500, чтобы найти вырученную сумму. Таким образом, функция может быть записана в виде M(t) = 500t.
- Например, если она продаст 2 билета, нужно умножить 2 на 500 — в итоге получим 1000 рублей, вырученных за проданные билеты.
3

Найдите область определения. Для нахождения области значений вы должны сначала найти область определения. Это все возможные значения t. В нашем примере Ольга может продать 0 или больше билетов, — она не может продать отрицательное число билетов. Поскольку мы не знаем количество мест в театре, можно предположить, что теоретически она может продать бесконечное число билетов. И она может продавать только целые билеты (она не может продать, например, 1/2 билета). Таким образом, область определения функции t = любое неотрицательное целое число.
4
Найдите область значений. Это возможное количество денег, которые Ольга выручит от продажи билетов. Если вы знаете, что область определения функции — любое неотрицательное целое число, а функция имеет вид: М(t) = 5t, то вы можете найти вырученную сумму, подставив в функцию любое неотрицательное целое число (вместо t). Например, если она продаст 5 билетов, то М(5) = 5*500 = 2500 рублей. Если она продаст 100 билетов, то М(100) = 500 х 100 = 50000 рублей. Таким образом, область значений функции — любые неотрицательные целые числа, кратные пятистам.
- Это означает, что любое неотрицательное целое число, которое делится на 500, является значением у (вырученная сумма) нашей функции.
Реклама

Советы

В более сложных случаях лучше сначала чертить график, используя область определения, и только потом находить область значений.
Посмотрите, можете ли вы найти обратную функцию. Область определения обратной функции равна области значений исходной функции.
Проверьте, повторяется ли функция. Любая функция, которая повторяется вдоль оси x, будет иметь ту же область значений для всей функции. Например, область значений для f(x) = sin(x) будет составлять от -1 до 1.

Об этой статье

Эту страницу просматривали 455 739 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Как найти область допустимых значений выражения

Определение

Область ОДЗ – это множество простых числовых значений, которые допустимы, для любого данного выражения.

Ограничение области определения:

Область ограничения действительных чисел может быть от [(0 ;+infty)].

Например: [[-4 ; 1) cup[5,7)].

Область определения может указывать на следующие характеристики:

деление функции как [y=x+frac{2 cdot x}{x^{4}-1}]
корень четной степени и переменная под корнем:
[=sqrt{x+1} text { или } y=sqrt[n]{2^{2 cdot x+1}} text {; }]
переменная в основании степенного значения
[y=3 cdot(x+1)^{-2}, y=-2+x^{frac{1}{3}} ; y=left(x^{4}-x+2right)sqrt{4}]
логарифмическая переменная [y=ln frac{x^{4}+x}{8} ; quad y=2+].
Значения основания должно быть положительным. Также как и логарифмическое значение.
переменная тангенса и котангенса в виде следующего уравнения: [y=arcsin (x+4)+4 cdot x^{2}]

Если отсутствует хотя бы один из перечисленных характеристик область определения функции определяется иначе.

Пример 1: [y=frac{x^{4}+2 x-x+2}{4}+2 frac{2}{3} cdot x], в данном множестве нет переменной, поэтому и решается оно иначе.

Пример 2: [y=frac{3}{x-1}], нужно вычислить область определения. Обязательно, при решении нужно уделить внимание на знаменатель. Потому что, по законам алгебры деление на ноль запрещено.

Следовательно получаем следующее действие: [frac{3}{x-1}].

Область значения не должна быть равной единице, так как в знаменателе получим нулевое значение. Отсюда область определения будет в пределах [(-infty, 1) cup(1,+infty)].

Область допустимых значений для уравнения

Чтобы правильно уметь определять данную область, нужно знать следующие утверждения:

если функция вычисляется, при помощи суммы: [f_{1}+f_{2}+ldots f_{n} text { или } mathrm{y}=f_{1}+f_{2}+ldots f_{n}].

Область определения будет следующего вида: [mathrm{D}(mathrm{f})=mathrm{D}left(f_{1}right)left(f_{2}right) ldotsleft(f_{n}right)]

Пример суммы числовых значений:

Возьмем уравнение: [y=x^{7}+x+5+operatorname{tg} x]

Решение: уравнение представлено в виде суммы нескольких значений, где степень равна семи, показатель один.

Области определения tg характерны все действительные числа.

Ответ: для заданной функции относится пересечение областей или количество действительных чисел кроме [pi / 2+pi cdot mathrm{n} . mathrm{n} in z]

Пример разности значений:

[y=log _{3} x-4 cdot 2^{x}]

Решение:

[f_{1}(mathrm{x})=log _{3} text { и } f_{2}(mathrm{x})=4 cdot 2^{x}]

Область определения функции разности будет: [(0,+infty)] это для [f_{1} ; text { для } f_{2}(-infty .+infty)]

[y=log _{3} x-4 cdot 2^{x} Rightarrow Dleft(f_{1}right)=(0 ;+infty), quad Dleft(f_{2}right)=(-infty ;+infty)]

Ответ: [(0 ;+infty)].

Пример произведения чисел:

[y=3 cdot operatorname{arctg} x cdot ln x]

Область допустимых значений для функции

Сложная функция имеет следующий вид: [mathrm{y}=f_{1}left(f_{2}(mathrm{k})right)]

D (f) — множество значений;

Пересечение двух множеств и будет являться областью определения функции сложного типа.

[mathrm{k} in Dleft(f_{2}right) text { и } D f_{2}(x) in Dleft(f_{1}right)]

Пример

[y=ln x^{2}]

Представим функцию в виде: [mathrm{y}=f_{1}left(f_{2}(mathrm{k})right)]

[f_{1}] — логарифм с заданным основанием;

[f_{1}] — степень со значением 2.

Используем изученные в данном уроке области определения:

[Dleft(f_{1}right)=(0 ;+infty)]

[Dleft(f_{2}right)=(-infty ;+infty)]

Исходя из этого получаем систему неравенства: [x in Dleft(f_{2}right) ; f_{2} k in Dleft(f_{1}right) Leftrightarrow k in(-infty ;+infty) k^{2} in(0 ;+infty) Leftrightarrow k in(-infty ;+infty)k^{2}>0 Leftrightarrow k in(-infty ;+infty)]

[ k in(-infty ; 0) cup(0 ;+infty) . Leftrightarrow k in(-infty ; 0) cup(0,+infty)]

Ответ: все действительные числа, кроме нуля.

Область определения функции в виде дробного алгебраического значения

Когда функция задается выражение в виде дроби. Переменная значений находится в знаменателе. Следовательно, область определения являются действительные числа. Исключением служит число, которое приведет знаменатель к нулевому значению.

Пример №1: [y=frac{x-4}{x+4}]. Решив уравнение, определим искомое значение области определения. Которое является [-infty ;-4 cup-4 ;+infty]

Пример №2: [y=frac{1}{x^{2^{2}} 1} ;]

[x^{2-} 1=0 Rightarrow x^{2} Rightarrow x_{1}=-1 x_{2}=1]

Искомая область : [text { — ]- } infty ;-1[cup]-1 ; 1[cup] 1 ;+infty[.]

Пример №3: [y=cos x+frac{3}{x^{2}-4}].

Первое слагаемое имеет область определения множество действительных чисел. Второе — также все числа, кроме -2 и 2, они приведут знаменатель к нулю. Область определения должна соответствовать условиям двух слагаемых и равняться действительным числам, кроме -2 и 2.

Область определения показательной и логарифмической функции

Показательная функция записывается как: [y=k^{x}]

где значение x — показатель степени; k — число, которое обязательно больше нуля и не равно единице. Область определения показательной функции — это множество значений R.

Основные примеры показательных функций:

Область определения, для этих функций, записывается следующим образом: [(-infty,+infty)].

Логарифмическая функция выражается как: [y=log n^{k}], где значение n , имеет значение больше нуля и не менее единицы.

Определение

Область определения логарифма и логарифмической функции — это множество положительных значений и действительных чисел.

Рассмотрим на примере, характер решения задачи данной функции.

Пример №1:

[y=ln x], определить область определения натурального логарифма.

[D(y)=(0 ;+infty)]

На заданном интервале, производная будет иметь положительное значение, и функция будет возрастать на всем промежутке.

[y=ln x=frac{1}{x}]

Определим односторонний предел при, стремлении аргумента к нулю и когда значение x стремится к бесконечности.

[lim _{x rightarrow 0+0} ln x=ln (0+0)=-infty]

[lim _{x rightarrow infty} ln x=ln (+infty)=+infty .]

Из данного решения мы видим, что значения будут возрастать от минус бесконечности до плюс бесконечности.

Из этого следует, что множество всех действительных чисел – является областью значений функции натурального логарифма ln.

Ответ: множество всех действительных чисел, это и есть область значений функции ln.

Определения области допустимых значений функции

На примерах рассмотрим, как определить области значений функции.

Первоначально, необходимо определить значения непрерывной функции y=f(x).

Известно, что функция непрерывная и достигает своих максимальных max f(x) и минимальных min f(x) значений, на разных периодах. Из этого следует отрезок, где находятся значения исходной функции. Тогда решение состоит в нахождении точек максимума и минимума.

Пример №1 :

Необходимо вычислить область значений уравнения [y=x^{4}-5 x^{3}+6 x^{2}] на отрезке [ 1 ; 4 ] [1; 4].

Для решения задачи необходимо произвести следующие действия:

Следующим шагом будет определение значений функции в конечной и начальной точках.

Ответ: [left(frac{117-165 cdot sqrt{33}}{512} ; 32right)].

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Пример №2.

На этом примере подробно рассмотрим, как вычисляются значения непрерывной функции y= f(x), в определенных промежутках.

Для этого, первоначально вычислим:

наименьшее и наибольшее значение;
определим промежуток возрастания и убывания функции;
односторонние пределы;
предел бесконечности.

Решение:

Для решения возьмем функцию [y=frac{1}{x^{2}-4}] и вычислим область значений на промежутке (-2;2).

Находим наименьшее и наибольшее значение функции на заданном отрезке.

[y=frac{1}{x^{2}-4}=frac{-2 x}{left(x^{2}-4right)^{2}}]

[mathrm{y}=0 Leftrightarrow frac{-2 x}{left(x^{2}-4right)^{2}}=0 Leftrightarrow x=0 in(-2 ; 2)]

Из данных вычислений видно, что максимальное значение равно 0, так как в этой точке происходит перемена знака функции и соответственно функция начинает убывать.

А именно: [y(0)=frac{1}{0^{2}-4}=-frac{1}{4}]

[-frac{1}{4}] — будет являться наибольшим значение заданной функции.

Следующим шагом в нашем решении, будет выяснение направления функции. Когда x значение стремится к (-2) и (+2).

В алгебре иными словами эти значения называют односторонними пределами.

Решение выглядит следующим образом.

В конечном итоге мы получаем, что в пределах от -2 до 0, функции будут возрастать от [-infty text { до }-frac{1}{4}]. Если аргумент меняется, от 0 до то наоборот будет убывать к [-infty].

Следовательно, необходимое множество значений будет на интервале [-infty text { до }-frac{1}{4}]

Ответ: [left(-infty-frac{1}{4}right)].

Пример №3:

Данная функция имеет определенное значение, только при положительных значениях. [mathrm{D}(mathrm{y})=(0 ;+infty)]

Производная будет иметь следующий вид: [y=(ln x)=frac{1}{x}].

Так как функция имеет положительное значение, то всем промежутке будет наблюдаться ее возрастание. От [-infty text { до } +infty]

Поэтому область значения — это множество всех натуральных значений.

Пример №4:

У функции [y=frac{9}{z^{2}-1}]

Если значение z имеет положительное значение, то функция будет считаться определенной.

Вычислим наибольшее и наименьшее значение, а также промежутки возрастания и убывания.

Если значение x будет больше, либо равным 0,то функция будет убывать.

Если значение x будет меньше либо равным нулю , функция будет возрастать.

Затем рассмотрим поведение функции и ее значения на бесконечной прямой.

Вывод: если аргумент изменяется от [-infty] до 0, тогда значение функции увеличиваются от 0 до 9 . Когда значения аргумента меняются от 0 до [+infty], значения функции будут уменьшаться от 9 до 0.

Пример №5:

Определить область значений [y=frac{x}{x-2}];

По правилам математики. знаменатель не может равняться нулю. Поэтому: [D(y)=(-infty ; 2)(+infty ; 2)].

Определим множества на первом отрезке. [(-infty ; 2)]. На этом отрезке функция будет убывающей и значение отрицательным.

Функция ассиметрично начнет приближаться к 1, когда аргумент будет изменяться к минус бесконечности.

Определим множества на втором отрезке. [(+infty ; 2)]. На этом отрезке функция будет также убывающей.

Вывод: [E(y)=(+infty ; 1) cup(1 ;+infty)].

Источник

Значение области допустимых значений в математике: способы нахождения

Содержание:

Допустимые и недопустимые значения переменных
Что такое ОДЗ
Как найти ОДЗ: примеры, решения
- Общие принципы нахождения области допустимых значений
- Примеры нахождения ОДЗ
Почему важно учитывать ОДЗ при проведении преобразований
Функции, для которых важна ОДЗ
- ОДЗ обратной зависимости
- ОДЗ степенной функции
- ОДЗ показательной функции
- ОДЗ логарифмической функции
- ОДЗ тригонометрических функций

Допустимые и недопустимые значения переменных

Перед тем, как вводить понятие области допустимых значений функции, необходимо определиться с самим термином «допустимое значение».

Допустимое значение переменной — такое значение переменной, при котором зависимая от нее функция имеет смысл. Это значит, что, подставив данное значение переменной в выражение функции, можно получить конкретный результат. Сама функция в алгебре — это уравнение, в котором каждому значению x соответствует одно значение y.

Например, для функции обратной пропорциональности (y=frac1x) допустимыми значениями для переменной x будут: 1; 2,7; -5, (sqrt{126}), — в общем, все действительные числа. При подстановке их на место x, функция принимает конкретное значение. Исключениями из этого перечня будут 0, (-infty )и (+infty), так как когда x принимает такие значения, функция не имеет смысла.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Что такое ОДЗ

Область допустимых значений (область определения) функции — совокупность всех значений переменных, при которых функция имеет смысл, то есть решается. Для примера из предыдущего пункта, (y=frac1x), область допустимых значений будет иметь следующий вид: ((-infty;;0)cup(0;;+infty)). Это значит, что в область определения функции ( y=frac1x) входят все числа в промежутках от минус бесконечности до нуля и от нуля до плюс бесконечности.

У записи области определения есть некоторые особенности, которые важно иметь в виду. Круглые скобки — () — применяются, когда область допустимых значений заканчивается на данном числе, причем оно не входит в ОДЗ. Квадратные скобки — [] — применяются в ситуациях, когда в область определения входит число, на котором она заканчивается. Знак объединения — (cup) — по сути означает союз «и». Он используется, когда ОДЗ является системой из нескольких числовых промежутков.

Как найти ОДЗ: примеры, решения

Чтобы найти область допустимых значений для какой-либо функции, не имеет смысла перебирать все числа, при подстановке которых ее можно решить. Рациональнее найти те значения, при которых функция не имеет смысла и исключить их из всего множества чисел.

Общие принципы нахождения области допустимых значений

деление на 0. Практически во всех стандартных математических выражениях такая операция не имеет смысла. У этого действия есть конкретный результат только при нахождении предела последовательности или функции. Пример бессмысленных выражений: (y=frac50;)
извлечение корня из отрицательного числа. При работе с действительными числами, найти корень любой степени отрицательного числа невозможно. Эта операция приобретает смысл только при переходе к комплексным числам. Пример: (y=sqrt{-11};)
возведение в степень. У данного действия есть свои ограничения: нельзя возводить 0 в отрицательную и нулевую степень, отрицательные числа в положительную дробную степень и неположительные (отрицательные и 0) в дробную степень со знаком минус. Примеры: (y=0^{-3};;y=0^0;;y=({-7}^{textstylefrac32});;y=({-6}^{-{textstylefrac17}});)
нахождение логарифма. Так как логарифм равняется степени, в которую необходимо возвести основание, чтобы получить логарифмируемое число, некоторые операции не имеют смысла. К ним относятся логарифмирование неположительного числа, положительного числа по отрицательному основанию или единице. Примеры:( y=log_3left(-9right);;y=log_2left(0right);;y=log_{-4}left(64right);;y=log_1left(5right);)
тригонометрические функции. Для синуса, косинуса, арктангенса и арккотангенса никаких ограничений нет. Но для тангенса, котангенса, арксинуса и арккосинуса они появляются, исходя из их формул. Так как тангенс является частным при делении синуса на косинус, последний не может равняться нулю. То же самое справедливо и для котангенса, но там уже синус не должен принимать значение 0.
Арксинус и арккосинус могут быть определены только в промежутке от -1 до 1 включительно — (lbrack-1;;1rbrack.)

Примеры нахождения ОДЗ

Пример №1. Найти область определения функции (y=sqrt{1-x^2})

Из обозначенных выше принципов следует, что подкоренное выражение не может быть отрицательным, значит 1-x^2geq0. Приведем данное неравенство к общему виду: (1-x^2geq0Rightarrow1geq x^2Rightarrow x^2leq1)

Вычислим квадратный корень для обеих частей неравенства:

(x^2leq1Rightarrowsqrt{x^2}leqsqrt1Rightarrowleft|xright|leq1)

Раскроем модуль согласно правилу:

(left|xright|leq1Rightarrow-1leq xleq1)

Из этого следует, что область допустимых значений функции (y=sqrt{1-x^2}) лежит в пределах между -1 и 1, включая эти числа. Таким образом, ОДЗ данной функции: (xinlbrack-1;;1rbrack)

Пример №2. Найти ОДЗ функции (y=lgleft(xright))

(lgleft(xright)) является краткой формой записи десятичного логарифма (log_{10}left(xright)). Так как 10 — положительное число, не равное единице, единственным условием остается x>0. Таким образом, область определения функции (y=lgleft(xright)) будет включать в себя все числа в промежутке от нуля до (+infty). Так как неравенство x>0 — строгое, ОДЗ будет иметь следующий вид: (xin(0;;+infty)).

Почему важно учитывать ОДЗ при проведении преобразований

Тождественные преобразования могут приводить к расширению или сужению области допустимых значений. В этом случае значение, подходящее к изначальной функции, после преобразования может оказаться вне области определения. Поэтому стоит избегать сужающих ОДЗ преобразований или находить область допустимых значений уже после них.

Функции, для которых важна ОДЗ

Сама по себе область допустимых значений — важная характеристика для всех функций. Чтобы правильно решать математические задачи, следует всегда находить ее. При этом, для многих, если не большинства, функций она включает в себя все множество действительных чисел. Например, линейная (y=kcdot x+b) или квадратичная (y=acdot x^2+bcdot x+c) функции. Рассмотрим некоторые функции, для которых это не так.

ОДЗ обратной зависимости

Функция обратной пропорциональности (y=frac kx) уже упоминалась выше. Ее область определения содержит все действительные числа, за исключением нуля: (xin(-infty;;0)cup(0;;+infty).)

ОДЗ степенной функции

Для степенной функции y=x^n следует учитывать обозначенные выше принципы нахождения ОДЗ, справедливые для возведения в степень и извлечения корня. Рассмотрим области определения переменной x в зависимости от значения n:

при n>0 и (ninmathbb{Z}), то есть n — целое положительное число: ( xin(-infty;;+infty);)
для n>0, причем n — дробное число: ( xinlbrack0;;+infty);)
для n=0:( xin(-infty;0)cup(0;;+infty);)
при n<0 и (ninmathbb{Z}: xin(-infty;;0)cup(0;;+infty);)
для n<0, причем n — дробное число: (xin(0;;+infty).)

ОДЗ показательной функции

Показательная функция y=a^x очень похожа на степенную, но, в отличие от нее, здесь переменная не в основании, а в степени. Область допустимых значений для нее определяется по тем же правилам, что и для степенной функции:

для a>0: (xin(-infty;;+infty);)
для a=0: (xin(0;;+infty);)
для a<0: (xin(-infty;;+infty)), причем x должен быть целым числом.

ОДЗ логарифмической функции

Логарифмическая функция (y=log_aleft(xright)) является обратной для показательной. Согласно свойствам логарифмирования, область определения такой функции будет включать все положительные числа: (xin(0;;+infty).)

ОДЗ тригонометрических функций

Как уже упоминалось выше, для синуса, косинуса, арктангенса и арккотангенса область допустимых значений включает в себя все действительные числа: (xin(-infty;;+infty)). Рассмотрим ОДЗ еще четырех тригонометрических функций:

тангенс: (xin(-infty;;frac{mathrmpi}2+mathrmpicdotmathrm n)cup(frac{mathrmpi}2+mathrmpicdotmathrm n;;+infty), где ninmathbb{Z};)
котангенс: (xin(-infty;;mathrmpicdotmathrm n)cup(mathrmpicdotmathrm n;;+infty), где ninmathbb{Z};)
арксинус и арккосинус: (xinlbrack-1;;1rbrack.)

Источник

Общая информация

У каждой функции y = f (x) есть два типа переменных: зависимые и независимые. Переменная «х» является независимой, поскольку она может принимать любые значения, кроме тех, которые «превращают» функцию в пустое множество (этого необходимо избегать). Они бывают с одной или несколькими независимыми переменными. Необходимо выяснить все значения зависимой переменной.

Существует несколько методов решения задач такого типа. К ним относятся следующие способы: автоматизированный и ручной. Решение первым подразумевает использование специальных программных оболочек и web-приложений, позволяющих найти область значения функции. Онлайн-калькулятор с решением применяется для тех, кто выполняет большое количество вычислений или проверку вычислений.

В различных дисциплинах необходимо исследовать поведение функций. Например, при проектировании какого-либо программного продукта. Программисты занимаются поиском «багов», при которых происходит некорректная работа приложения. Если заданы недопустимые параметры независимой переменной, то произойдет ошибка. Это называется исключением, и его всегда следует обрабатывать. При проектировании различных устройств нужно также уметь находить область значения функции.

Основные понятия

Руководствуясь некоторыми данными, можно сделать вывод: областью значений некоторой функции называются все ее допустимые значения. Обозначается она буквой «E», т. е. E (f) или E (y). Когда y = f (x) является сложной (w = f (x, y, z)), тогда можно ее обозначить «E (w)».

Независимая переменная, принимающая некоторые значения, называется аргументом. Для конкретного случая существует определенный алгоритм. Можно сразу определить E (f), но в некоторых ситуациях нужно выполнить некоторые преобразования.

Например, нужно найти область значений квадратичной функции y = 3x² — 2x — 1. Следует записать уравнение 3x² — 2x — 1 = 0. Ордината вычисляется таким образом: y0 = -D / 4a = -[b² — 4ac] / 4a = -[(-2)^2 — 4 * 3 * (-1)] / (4 * 3) = -16 / 12 = -4/3. Если коэффициент а>0, то ветви параболы направлены вверх. Следовательно, E (y) = (-4/3;+бесконечность).

Специалисты-математики утверждают, что важным аспектом является определение типа функции. Следовательно, следует разобраться в их классификации. Для этого необходимо знать их графики и названия.

Типы функций

Перед тем, как найти все допустимые значения, нужно знать область значения некоторых элементарных функций. Для каждой из них существует свой промежуток:

(-бесконечность;+бесконечность): y =kx + b, y = x^(2n+1), y = x^(1/(2n+1)), y = log (x) с основанием а, y = tg (x) и y = ctg (x).
[0;+бесконечность): y = x^(2n), y = x^(1/(2n)) и y = a^x.
(-бесконечность;0] U [0;+бесконечность) только для y = k / x (гипербола).
[-1;1]: y = sin (x) и y = cos (x).
[0;Pi]: y = arccos (x) и arcsin (x).
[-Pi/2;Pi/2]: y = arctg (x) и arcsin (x).

Если функция является многочленом четной степени, то для нее существует интервал [m;+бесконечность). Значение «m» — наименьшее значение многочлена. На промежутке (-бесконечность;n) число n — наибольшее его значение.

Довольно сложной задачей считается нахождение области значений тригонометрических функций. Примером одной из них считается y = cos (2x) + 2cos (x). Кроме того, при нахождении E (f) необходимо руководствоваться не только табличными значениями. Этих данных мало, поскольку нужно также знать о свойствах некоторых функций и способы нахождения E.

Важные свойства

Для качественного исследования нужно знать свойства простых функций: монотонность, непрерывность, дифференцируемость, четность или нечетность, периодичность, область определения и значения. Среди свойств можно выделить несколько основных:

В случае, когда функция f (x) является непрерывной, и наблюдается ее возрастание или убывание на отрезке [a;b], то множество значений — интервал [f (a);f (b)].
Если y = f (x) обладает непрерывностью на промежутке [a;b], и существует некоторое минимальное m и максимальное М ее значения, то множеством ее значений является интервал [m;M].
При непрерывности и дифференцируемости функции на промежутке [a;b], она имеет минимальное и максимальное значения на данном промежутке.

Последние два свойства применяются для непрерывных функций. Простое решение позволяет получить первое свойство. При этом очень важно доказать ее монотонность. Задача существенно упрощается, когда удается доказать четность или нечетность функции, а также ее периодичность. По необходимости следует проверять и использовать некоторые ее свойства: непрерывность (при разрыве нужно определить его точку или интервал), монотонность, дифференцируемость, периодичность, четность или нечетность и т. д.

Методы нахождения

Существует много способов нахождения области значений. Однако для решения задач нужно подбирать оптимальный метод, поскольку следует избегать лишних вычислений. Например, если функция является простой, то нет необходимости применять сложные алгоритмы решения. К методам нахождения относятся следующие:

Отдельное нахождение значений элементов сложной функции.
Оценочный.
Учет непрерывности и монотонности.
Взятие производной.
Использование max и min функции.

Для каждого из методов существует определенный алгоритм. Хотя встречаются случаи, когда целесообразно применить два простых метода. Нужно руководствоваться минимальным количеством вычислений и затраченным временем.

Для каждого элемента

Иногда в задачах следует найти E (f) при условии, когда функция является сложной. Очень распространенная методика разбиения задачи на подзадачи, которая применяется не только в дисциплинах с физико-математическим уклоном, но в экономике, бизнесе и других направлениях. Решение с помощью метода последовательного нахождения E (f) каждой из функций. Алгоритм имеет такой вид:

Выполнить необходимые преобразования — упростить выражение.
Разбить выражение на элементы.
Выполнить поиск E (f) для каждого элемента.
Произвести замену.
Анализ.
Результат решения.

Однако довольно сложно ориентировать по данному алгоритму, поскольку нужно разобрать решение примера с его помощью. Дана функция y = log0.5 (4 — 2 * 3^x — 9^x). Решается задача таким образом:

Упростить (выделить квадрат): y = log0.5 (4 — 2 * 3^x — 9^x) = log0.5 [5 — (1 — 2 * 3^x — 9^x)] = log0.5 [5 — (3^x + 1)].
Разбить на элементарные функции: y = 3^x, y = 3^x + 1, y = [-(3^x + 1)]^2 и y = [5 — (3^x + 1)]^2.
Определить для каждого элемента E (f): E (3^x) = (0;+бесконечность), E (3^x + 1) = (1;+бесконечность), E ([-(3^x + 1)]^2) = (-бесконечность;-1) и E ([5 — (3^x + 1)]^2) = (-бесконечность;4).
Произвести замену: t = 5 — (3^x + 1)]^2 (-бесконечность <= t <=4).
Анализ: поскольку E (f) на луче (-бесконечность;4) совпадает с интервалом (0;4), то функция непрерывна и убывает. Необходимо отметить, что интервал (0;4) получен при пересечении луча (-бесконечность;4) с областью определения функции логарифмического типа (0;+бесконечность). На интервале (0;4) эта функция непрерывна и убывает. Если t>0, то она стремится к бесконечности. Когда t = 4, ее значение равно -2.
Результат решения — искомый интервал: E (f) = (-2;+бесконечность).

Необходимо обратить внимание на пункты 1, 3 и 5. Они являются очень важными, поскольку от них зависит правильность решения. Очень важно уметь анализировать полученную функцию в 4 пункте.

Оценочный способ

Еще одним методом определения E (f) является способ оценки. Необходимо оценить непрерывную функцию в нижнем и верхнем направлениях. Еще следует доказать достижение нижней и верхней границ. Для этой цели существует также алгоритм. Он немного проще предыдущего. Суть его заключается в следующем:

Доказать непрерывность.
Составить неравенство или неравенства для нескольких функций.
Узнать оценку.
Записать интервал.

Необходимо разобрать алгоритм на примере функции y = cos (7x) + 5 * cos (x). Следует учитывать, что известен только один знак неравенства. Второй нужно доказать оценочным методом. Решение задачи имеет такой вид:

Функция вида y = cos (x) является непрерывной.
Неравенства: -1<=cos (7x)?1 и -5<=5 * cos (x)?5.
Оценка получает при объединении неравенств: -6<=y?6. При значениях независимой переменной x = Pi и x = 0 функция принимает значения -6 и 6 соответственно (нижняя и верхняя границы). Функция состоит из двух элементов, следовательно, она является линейной и непрерывной.
Интервал: E (y) = [-6;6].

Метод позволяет найти решение без использования дополнительных вычислений. Но при его использовании легко ошибиться.

Учет непрерывности и монотонности

Одним из простых способов решения, который специалисты рекомендуют новичкам, является метод учета непрерывности и монотонности. Для этого существует специальный алгоритм:

Упростить выражение.
Выполнить замену при необходимости.
Найти вершину графика.
Определить промежуток.
Вычислить максимальное и минимальное значения.
Записать E (f).

Например, существует некоторая функция y = cos (2x) + 2cos (x). Необходимо найти ее E. Искать следует по алгоритму решения методом учета монотонности и непрерывности:

Упростить (по формуле двойного угла): y = 2 * (cos (x))^2 + 2cosx — 1.
Замена t = cos (x): y = 2 * t² + 2 * t — 1 = 2 * (t + 0,5)^2 — 1,5.
Показательная функция является параболой. Она монотонна, непрерывна и имеет вершину по оси ОУ -1,5. Промежуток, который рассматривается — [-1;1], поскольку E (cos (x)) = [-1;1].
Минимальное значение равно -1,5, так как ветви направлены вверх. Максимальное на промежутке [-1;1] — MAX (y) = 3. Для его нахождения нужно построить график параболы y = 2 * (t + 0,5)^2 — 1,5.
Искомый интервал — E (cos (2x) + 2cos (x)) = [-1,5;3].

Чтобы построить график параболы, нужно найти ее вершину и точки пересечения с осью абсцисс. Последние находятся при решении уравнения 2 * (t + 0,5)^2 — 1,5 = 0. Однако существует способ намного проще. Для этого следует привести выражение к виду 2 * (t + 0,5)^2 = 1,5. Отсюда t = — 0,5. Следовательно, координаты вершины — (-0,5;-1,5). Корни уравнения при его решении: t1 = -[(1 + (3)^0.5)] / 2 и t2 = -[(1 — (3)^0.5)] / 2.

Производная, min и max

Одним из простейших способов нахождения E (f) является взятие производной функции. Этот метод можно комбинировать с определением максимального и минимального значений. Математики рекомендуют простейший алгоритм:

Найти производную.
Анализ.
Указать MAX (f) и MIN (f).
Запись интервала в формате (MIN (f);MAX (f)).

Практическое применение алгоритма — решение задачи этим методом. Например, нужно найти E (arcsin (x)). Решение выполняется по нескольким этапам:

Производная: y’ = [arcsin (x)]’ = 1 / [(1 — x²)^0.5].
Функция возрастает на интервале (-1;1).
Минимум и максимум на отрезке (-1;1): MIN (arcsin (-1)) = -Pi/2 MAX (arcsin (1)) = Pi/2.
Интервал: E (arcsin (x)) = [-Pi/2;Pi/2].

В некоторых случаях рекомендуется вычислять пределы, поскольку часть задач решается только с их применением. Существует определенный тип задач, в которых нужно доказать, что отрезок является E (f) конкретной функции. Например, следует выяснить принадлежность [-1;1] функции sin (x). Для этого необходимо воспользоваться вышеописанным алгоритмом:

Производная: y’ = [sin (x)]’ = cos (x).
Период функции равен 2Pi. Следует взять отрезок [0;2Pi]. Для нахождения множества значений на нем нужно приравнять производную функции к 0, т. е. cos (x) = 0. Найти х = Pi/2 + Pi * к, где «к» принадлежит Z. Точки экстремума равны Pi/2 и 3Pi/2.
Минимум и максимум на отрезке [0;2Pi): MIN ([sin (3Pi/2)]) = -1 и MAX ([sin (3Pi/2)]) = 1.
E (sin (x)) = [-1;1].

Отрезок [-1;1] является E (sin (x)). Оптимальный метод — нахождение производной и определение E (f). В этом примере необходимо знать и проверить периодичность.

Таким образом, существует несколько способов нахождения E (f), но всегда необходимо выбирать метод, приводящий к минимуму вычислений. Нет смысла усложнять решение, поскольку большинство алгоритмов направлены на оптимизацию вычислений.

Источник