Наименьшее общее кратное: как найти
Содержание:
- Наименьшее общее кратное — что это такое
- Вычисление НОК, правила в математике
- Как найти НОК через НОД
- Как найти НОК через разложение чисел
- Нахождение НОК трех и большего количества чисел
Наименьшее общее кратное — что это такое
Определение
Число, которое можно без остатка разделить на выбранные числа, является их общим кратным. Наименьшее из таких чисел — наименьшее общее кратное или сокращенно «нок».
Действия с дробями, имеющими различный знаменатель, можно значительно облегчить, если найти наименьшее общее кратное (НОК). Это такое число, например, кратное числу а, которое можно разделить на это а целиком, без остатка.
Пример
К числам, кратным 8, относятся 16, 24, 32, 40 и т.п. Кратными 9-ти являются 9, 18, 27, 36 и т.п.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Существует бесчисленное множество чисел, делящихся на а без остатка, т.е. кратных ему. В то же время, этого нельзя сказать о числе делителей. Так, делителями для 9-ти являются 9, 3, 1.
Если для двух или более натуральных чисел существует число, делящееся на оба без остатка, то оно является наименьшим общим кратным. А то из, них, которое самое маленькое, является нок.
Вычисление НОК, правила в математике
Для нахождения нок в математике существует несколько правил или алгоритмов. Самый простой вариант — вычисление НОК для двух чисел-участников. Способ легкий, но приемлем для маленьких натуральных чисел.
Нужно составить ряды чисел, кратных каждому из выбранных значений.
Пример
К (4) — 4, 8, 12, 16, 20, 24;
К (6) — 6, 12, 18, 24, 30.
Из рядов видно, что в обоих рядах встречаются числа 12 и 24. Это общие кратные. Однако 12 из них — меньшее число.
Поэтому НОК (4, 6) — 12.
Как найти НОК через НОД
Определение НОК можно провести с использованием НОД (наибольшего общего делителя).
В этом блоке изложения материала следует уточнить некоторые понятия.
Определение
Простым называется такое натуральное число, которое целиком можно разделить только само на себя либо на единицу.
Наименьшим простым числом является двойка. Она же — единственное четное натуральное простое число. Все остальные — нечетные.
Множество чисел делятся не только на 1 и на себя, но и на другие целые натуральные числа:
8 делится на 1, 2, 4, 8;
36 — на 1, 2, 3, 4, 6, 8 и т.д.
Эти числа — делители восьми и тридцати шести (делимых). Именно они могут разделить 8 и 36 без остатка. В обоих приведенных примерах делимые (8, 36) являются составными числами, поскольку имеют более двух делителей.
В приведенных рядах существуют одинаковые делители. Это 1, 2, 4, 8.
Самое большое число — 8. Оно и является наибольшим общим делителем.
Определение
Наибольший общий делитель (НОД) — число, на которое без остатка делится выбранная пара (либо больше) чисел.
Пример
НОД (9, 45)=9
НОД (12, 48)=12
Бывают пары чисел, которые из общих делителей имеют только единицу. Тогда они называются взаимно простыми: НОД (9, 8)=1, НОД (12, 10)=1.
На следующем примере показаны пары чисел со значениями их НОД и НОК.
Решение задачи по нахождению НОК через НОД сводится к следующей формуле:
НОК чисел a,b равняется частному произведения a и b на наибольший общий делитель чисел a и b (по-другому НОД (a, b).
Исходя из этого заключения получается, что НОК и НОД взаимосвязаны друг с другом. Наименьшее общее кратное можно легко найти через наибольший общий делитель для двух или более натуральных чисел.
Как найти НОК через разложение чисел
Кроме составления рядов значений, кратных каждому из двух выбранных натуральных чисел, для правильного определения НОК пользуются методом разложения на множители.
Найденные простые множители первого разложения сравниваются с аналогичными из второго разложения, после чего они перемножаются.
Пример
После разложения числа 9 на простые множители получается ряд:
1, 3, 9.
После разложения 12-ти получается ряд:
1, 2, 3, 4, 6, 12.
После разложения на множители числа 9 получаем: 3*3. После разложения на множители 12-ти получаем: 2*2*3. Объединяя множители обеих вариантов, получаем произведение: 3*3*2*2=36.
Наименьшее общее кратное чисел 9 и 12 — 36.
В качестве проверки произведем действия:
- 36/12=3
- 9/3=3
На практике записывают: НОК (9, 12)=36.
Такими действиями можно найти НОК более сложных чисел.
Пример
Найти НОК чисел 50 и 180.
Число 50 делится на 1, 2, 5, 10, 25, 50.
Число 180 на: 1, 5, 15, 30, 45, 90, 180.
Разложив на множители 50, получаем: 2, 5, 5.
Разложив 180, получаем: 2, 2, 3, 3, 5.
Из первого разложения выписываем: 2*5*5. Сравнивая со вторым разложением, описываем одну двойку и две тройки. После перемножения полученного ряда получается произведение: 2*5*5*2*3*3=900. Это и есть наименьшее общее кратное чисел 50 и 180.
Следовательно, НОК (50, 180)=900.
Существует еще один быстрый способ находить НОК. Он приемлем для вариантов, когда одно число нацело делится на другое. Например: НОК (15, 30)=30, НОК (20, 80)=80, НОК (16, 48)=48.
Для случаев, когда у двух чисел не имеется общих делителей, их можно просто перемножить и получить НОК. Например, НОК (7, 8)=56, НОК (4, 9)=36, НОК (7, 9)=63.
Нахождение НОК трех и большего количества чисел
Если предстоит найти НОК для большего, чем 2, количества чисел, их нужно разложить на простые множители. Например,
32=2*2*2*2*2;
40=2*2*2*5;
80=2*2*2*2*5
Сравнивая множители в каждом случае разложения натуральных чисел и выстраивая их в один ряд для умножения, получаем, что НОК (32, 40, 80) = 2*2*2*2*2*5 = 160.
В математике принято для нахождения НОК трех и более чисел применять следующую теорему:
Если имеется ряд чисел (а1, а2, а3…аk), можно найти НОК mk этих чисел производя последовательные вычисления: m2=НОК (а1, а2), m3=НОК (а2, а3)… mk=НОК (mk-1, аk)
Пример
Дано задание вычислить НОК для чисел 140 (a1), 9 (a2), 54 (а3), 250 (а4).
Тогда m2=НОК (a1, a2)=НОК (140, 9).
Для нахождения НОК (140, 9) производим действия. 140=15*9+5; 9=5*1+4.
Последующее разложение: 5=4*1+1, 4=4*1.
Следовательно, НОД (140, 9)=1. НОК (140, 9)=140*9/НОД (140, 9)=140*9/1=1260.
Ответ: m2=1260
По аналогии вычисляем m3 (=3780) и m4 (=94500). Это и есть ответ решения задачи по нахождению НОК чисел 140, 9, 54, 250.
Наименьшее общее кратное используется, например, для приведения обыкновенных дробей к общему знаменателю, что позволит сложить, вычесть или сравнить их.
В данной статье мы разберемся, каким образом выполняется эта операция, а также разберем практические примеры для закрепления изложенного материала.
- Определение наименьшего общего кратного
-
Нахождение НОК
- Для двух/небольших чисел
- Для нескольких/больших чисел
- Иные случаи
Определение наименьшего общего кратного
Число b является кратным числа a, если b нацело (без остатка) делится на a. Произносится как “b кратно a“. Обозначается буквой К.
Примеры кратных:
- кратные числа 3 или К(3): 6, 9, 12,15, 18 и т.д.
- кратные числа 7 или К(7): 14, 21, 28, 35, 42 и т.д.
Кратных чисел может быть бесконечное множество.
Общее кратное двух натуральных чисел – такое число, которое нацело делится на оба этих числа.
Наименьшее общее кратное двух натуральных чисел – наименьшее число из общих кратных этих чисел. Обозначается как НОК.
Например, НОК (5, 9) – это наименьшее общее кратное чисел 5 и 9.
Нахождение НОК
Чтобы найти наименьшее общее кратное, можно воспользоваться одним из двух способов ниже:
Для двух/небольших чисел
Когда мы имеем дело с двумя числами (или небольшими), процесс нахождения НОК состоит из следующих действий:
- Записываем в ряд кратные для каждого числа по возрастанию.
- Находим первое совпадение в полученных рядах чисел. Это и есть НОК.
Пример
Найдем наименьшее общее кратное чисел 6 и 14.
Решение
Кратные числа 6: 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48 и т.д.
Кратные числа 14: 28, 42, 56 и т.д.
Таким образом, НОК (6, 14) = 42.
Для нескольких/больших чисел
Данный способ подойдет, если мы имеем дело с большим числами, или когда требуется найти НОК для трех и более чисел.
- Сперва раскладываем числа на простые множители – простые числа, которые делят число нацело (их количество для разных чисел, также, может быть разным). Для удобства начинаем с самого маленького значения и заканчиваем самым большим.
- Среди множителей мЕньшего числа находим тот, который не вошел в состав бОльшего. То же самое проделываем со следующим по возрастанию числом/числами.
- Умножаем бОльшее число на найденные дополнительные множители и получаем НОК.
Пример
Давайте найдем НОК (12, 28, 32).
Решение
Разложим данные числа на простые множители.
Среди множителей меньшего числа (12) в состав бОльшего (32) не входит цифра 3, среди множителей среднего числа (28) – цифра 7.
Следовательно, НОК (12, 28, 32) = 32 ⋅ 3 ⋅ 7 = 672.
Иные случаи
1. Если одно из чисел, для которых требуется найти наименьшее общее кратное, нацело делится на другие числа, то это число и есть НОК.
Например: НОК (20, 40, 80) = 80.
2. НОК взаимно простых чисел является произведение данных чисел, т.к. они не имеют общих простых множителей.
Например: НОК (3, 5) = 3 ⋅ 5 = 15.
Что такое кратное число
Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. В этой статье мы расскажем, что такое КРАТНЫЕ ЧИСЛА.
Эту тему каждый школьник в России проходит в 6 классе, когда подробно изучают деление.
Хотя с самой этой математической функцией дети знакомятся гораздо раньше – уже во 2 классе.
Кратное число — это …
Деление – это математическая операция, благодаря которой можно узнать, сколько частей чего-то одного содержится в другом. Или, другими словами, заменяет многократное вычитание из одного числа другое.
Операция деления в математике может обозначаться разными значками. Это двоеточие (:), косая черта (/), горизонтальная черта (-) или специальным значком под названием «обелюс» (÷).
А у чисел, которые участвуют в делении, есть определенные названия:
- Делимое – то число, которое собираются делить;
- Делитель – число, на которое будут делить делимое. Соответственно, делитель чаще всего меньше делимого. Хотя не исключен и другой вариант. Единственное число, которое не может быть делителем, это ноль.
- Частное – результат деления, то есть число, которое получается в результате выполнения математического действия.
Частное, которое получается полным или не полным. Первый вариант, это когда число-делимое, было полностью поделено на делитель. Например, 12 / 3 = 4. Но бывают варианты и с неполным частным, когда появляется некий остаток. Например, 14 / 3 = 4 (2), где 4 – это неполное частное, а 2 – остаток.
Почему мы так подробно рассказали о делении? Это имеет непосредственное отношение к теме статьи.
Одно число называется кратным другому, если его можно на него поделить без остатка.
Но речь идет только о натуральных числах. То есть тех, которые мы используем для счета в обычной жизни. Например, 1, 2, 5, 10, 35, 100 и так далее. При этом дробные числа (например, 2/5 или 0,5) к натуральным не относятся, а значит, в отношении них понятие «кратности» не применяется.
Например, возьмем число 12. Оно может быть кратно сразу нескольким числам.
12 / 3 = 4
12 / 4 = 3
12 / 6 = 2
12 / 2 = 6
Таким образом, можно сказать, что 12 – кратное число 2, 3, 4 и 6. И точно так же можно разложить по кратности любое число.
Внимательный читатель мог бы возразить, что есть еще два числа, на которые можно поделить 12 без остатка. Во-первых, это само 12. А во-вторых, это единица. Что ж, это абсолютная правда, и ее можно даже записать в одном математическом правиле:
Любое натуральное число всегда кратно само себе и единице. В первом случае получается единица, а во втором само число.
Таблицы чисел кратных 2,3,4,5,6,7,9
В первую очередь рассмотрим самый простой вариант. Это числа, которые являются кратными двум. Определить их совсем просто, так как к ним относятся все четные числа. Вот, например, как выглядит таблица от 1 до 100.
А вот так будет выглядеть таблица чисел кратных трем. Обратите внимание, что все они в результате располагаются по диагонали. Получается весьма красиво.
Теперь покажем таблицу чисел, которые можно поделить без остатка на 4. Как можно заметить, это только четные цифры.
А вот так выглядит таблица чисел, которые кратны пяти. Запомнить их очень просто. Числа, кратные пяти, должны оканчиваться или на 5, или на 0. Других вариантов быть просто не может.
А если взглянуть на таблицу чисел, которые кратны числу 6, то можно сделать интересный вывод. Есть числа, которые никогда не попадут в эту категорию. Они оканчиваются на 1, 3, 5, 7 и 9. Другими словами, только четные числа могут быть кратными 6. Но при этом не все четные числа таковыми являются.
Интересно будет посмотреть и таблицу чисел, которые являются кратными 7. Чтобы определить их, нужно ходить по таблице вниз, как ходить шахматная фигура «конь». В народе это называется «буквой Г», в нашем случае это «шаг влево и два шага вниз».
И наконец, интересно рассмотреть числа, которые кратны 9. Их очень легко определить, это своеобразный математический лайфхак.
Надо просто сложить все цифры в числе, и если в сумме получится 9, то тогда число кратно девятке.
| Числа, кратные 9 | 27 | 198 | 5 877 | 3 816 | 117 | 72 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Сумма | 9 | 18 | 27 | 18 | 9 | 9 |
Да, тут указаны еще и числа 18 и 27. Но они при повторном сложении также дадут девятку.
Вместо заключения
А знаете, что есть число, которое можно назвать кратным всем другим натуральным числам? Это ноль. Ведь если ноль поделить на любое число, то получится опять же ноль. И никакого остатка. А значит, это утверждение верно.
Вот и все, что мы хотели рассказать о КРАТНЫХ ЧИСЛАХ.
Наименьшее общее кратное
- Общее кратное
- Наименьшее общее кратное
- Как найти НОК
- С помощью разложения на простые множители
- Нахождение НОК через НОД
- Калькулятор НОК
Общее кратное
Число может быть кратно не одному, а сразу нескольким числам, такое число называется общим кратным данных чисел.
Пример.
Числу 3 кратны числа: 6, 9, 12, 15 и т. д.
Числу 4 кратны числа: 8, 12, 16, 20 и т. д.
Можно заметить, что одно и тоже число (12) делится нацело сразу на оба числа 3 и 4. Следовательно, число 12 есть общее кратное чисел 3 и 4.
Общее кратное чисел — это любое число, которое делится без остатка на каждое из данных чисел.
Найти общее кратное нескольких натуральных чисел достаточно легко, можно просто перемножить данные числа, полученное произведение и будет их общим кратным.
Пример. Найти общее кратное для чисел 2, 3, 4, 6.
Решение:
2 · 3 · 4 · 6 = 144.
Число 144 — общее кратное чисел 2, 3, 4 и 6.
Для любого количества натуральных чисел существует бесконечно много кратных.
Пример. Для чисел 12 и 20 кратными будут числа: 60, 120, 180, 240 и т. д. Все они являются общими кратными для чисел 12 и 20.
Наименьшее общее кратное
Наименьшее общее кратное (НОК) нескольких чисел — это самое маленькое натуральное число, которое делится без остатка на каждое из этих чисел.
Пример. Наименьшим общим кратным чисел 3, 4 и 9 является число 36, никакое другое число меньше 36 не делится одновременно на 3, 4 и 9 без остатка.
Наименьшее общее кратное записывается так:
НОК (a, b, …) = x.
Числа в круглых скобках могут быть указаны в любом порядке.
Пример. Запишем наименьшее общее кратное чисел 3, 4 и 9:
НОК (3, 4, 9) = 36.
Как найти НОК
Рассмотрим два способа нахождения наименьшего общего кратного: с помощью разложения чисел на простые множители и нахождение НОК через НОД.
С помощью разложения на простые множители
Чтобы найти НОК нескольких натуральных чисел, надо разложить эти числа на простые множители, затем взять из этих разложений каждый простой множитель с наибольшим показателем степени и перемножить эти множители между собой.
Пример. Найдите наименьшее общее кратное двух чисел 99 и 54.
Решение: разложим каждое из этих чисел на простые множители:
99 = 3 · 3 · 11 = 32 · 11,
54 = 2 · 3 · 3 · 3 = 2 · 33.
Наименьшее общее кратное должно делиться на 99, значит, в его состав должны входить все множители числа 99. Далее НОК должно делиться и на 54, т. е. в его состав должны входить множители и этого числа.
Выпишем из этих разложений каждый простой множитель с наибольшим показателем степени и перемножим эти множители между собой. Получим следующее произведение:
2 · 33 · 11 = 594.
Это и есть наименьшее общее кратное данных чисел. Никакое другое число меньше 594 не делится нацело на 99 и 54.
Ответ: НОК (99, 54) = 594.
Так как взаимно простые числа не имеют одинаковых простых множителей, то их наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел.
Пример. Найдите наименьшее общее кратное двух чисел 12 и 49.
Решение: разложим каждое из этих чисел на простые множители:
12 = 2 · 2 · 3 = 22 · 3,
49 = 7 · 7 = 72.
Применяя к этому случаю правило, мы придём к заключению, что взаимно простые числа надо просто перемножить:
22 · 3 · 72 = 12 · 49 = 588.
Ответ: НОК (12, 49) = 588.
Таким же образом надо поступать, когда нужно найти наименьшее общее кратное простых чисел.
Пример. Найдите наименьшее общее кратное чисел 5, 7 и 13.
Решение: так как данные числа являются простыми, то просто перемножим их:
5 · 7 · 13 = 45.
Ответ: НОК (5, 7, 13) = 455.
Если большее из данных чисел делится на все остальные числа, то это число и будет наименьшим общим кратным данных чисел.
Пример. Найдите наименьшее общее кратное чисел 24, 12 и 4.
Решение: разложим каждое из этих чисел на простые множители:
24 = 2 · 2 · 2 · 3 = 23 · 3,
12 = 2 · 2 · 3 = 22 · 3,
4 = 2 · 2 = 22.
Можно заметить, что разложение большего числа содержит все множители остальных чисел, значит большее из этих чисел делится на все остальные числа (в том числе и само на себя) и является наименьшим общим кратным:
23 · 3 = 24.
Ответ: НОК (24, 12, 4) = 24.
Нахождение НОК через НОД
НОК двух натуральных чисел равно произведению этих чисел, поделённого на их НОД.
Правило в общем виде:
НОК (m, n) = m · n : НОД (m, n)
Пример. Найдите наименьшее общее кратное двух чисел 99 и 54.
Решение: сначала находим наибольший общий делитель:
НОД (99, 54) = 9.
Теперь мы можем вычислить НОК этих чисел по формуле:
НОК (99, 54) = 99 · 54 : НОД (99, 54) = 5346 : 9 = 594.
Ответ: НОК (99, 54) = 594.
Чтобы найти НОК трёх или более чисел используется следующий порядок действий:
- Находят НОК любых двух из данных чисел.
- Затем находят наименьшее общее кратное найденного НОК и третьего числа и т. д.
- Таким образом поиск НОК продолжается до тех пор, пока есть числа.
Пример. Найдите наименьшее общее кратное чисел 8, 12 и 9.
Решение: сначала находим наибольший общий делитель любых двух из этих чисел, например, 12 и 8:
НОД (12, 
= 4.
Вычисляем их НОК по формуле:
НОК (12, = 12 · 8 : НОД (12, = 96 : 4 = 24.
Теперь найдём НОК числа 24 и оставшегося числа 9. Их НОД:
НОД (24, 9) = 3.
Вычисляем НОК по формуле:
НОК (24, 9) = 24 · 9 : НОД (24, 9) = 216 : 3 = 72.
Ответ: НОК (8, 12, 9) = 72.
Калькулятор НОК
Данный калькулятор поможет вам найти наименьшее общее кратное чисел. Просто введите числа через пробел или запятую и нажмите кнопку Вычислить НОК
.
Содержание:
- Определение кратного числа
- Некоторые признаки делимости натуральных чисел
- Наименьшее общее кратное (НОК)
Определение кратного числа
Определение
Число $n$ называется кратным
некоторому натуральному числу $p$, если оно нацело
делится на $p$. При этом говорят что
$n$ кратно
$p$ .
Некоторые признаки делимости натуральных чисел
-
Признак делимости на 2.
Число делится на 2, если его последняя цифра есть число четное (то есть 2, 4, 6,
или 0. -
Признак делимости на 3.
Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.
-
Признак делимости на 4.
Число делится на 4, если две его последние цифры — нули или образуют число, делящееся на 4.
-
Признак делимости на 5.
Число делится на 5, если оно заканчивается либо на 0, либо на 5.
-
Признак делимости на 8.
Число делится на 8, если три его последние цифры — нули или образуют число, делящееся на 8.
-
Признак делимости на 9.
Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.
-
Признак делимости на 11.
Число делится на 11, если сумма цифр, стоящих на четных местах либо равна сумме цифр,
стоящих на нечетных местах, либо отличается от неё на число, делящееся на 11. -
Признак делимости на 25.
Число делится на 5, если две его последние цифры — нули или образуют число, делящееся на 25.
Пример
Задание. Среди ниже перечисленных чисел выбрать числа кратные 3:
$$27: 36 ; 58 ; 1119 ; 2345 ; 12354$$
Решение. Будем использовать признак делимости на 3, для этого найдем сумму цифр для каждого числа:
;
;
;
Таким образом, на 3 делятся числа:
$$27 ; 36 ; 1119: 12354$$
Ответ. $27 ; 36 ; 1119: 12354$
Наименьшее общее кратное (НОК)
Определение
Общим кратным нескольких натуральных чисел называется натуральное число, являющееся кратным для каждого
из них. Наименьшее из всех кратных называется наименьшим общим кратным (НОК).
Алгоритм нахождения наименьшего общего кратного нескольких чисел:
- выписать каноническое разложение данных чисел;
- перечислить все простые множители, входящие в канонические разложения данных чисел;
- возвести каждый множитель в наибольшую степень, с которой он входит в каноническое разложение данных чисел.
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Найти НОК(360; 420)
Решение. Запишем каноническое разложение заданных чисел:
$360 = 2^3 cdot 3^2 cdot 5$ и
$420 = 2^2 cdot 3 cdot 5 cdot 7$
Выпишем все простые множители, которые входят в каноническое разложение заданных чисел:
$2; 3; 5; 7$ . И возведем их в наибольшую степень,
с которой они входят в разложения этих чисел. Получим
НОК(360; 420) $=2^{3} cdot 3^{2} cdot 5 cdot 7=2520$
Ответ. НОК(360; 420) $=2520$
Читать дальше: что такое степень числа.