Как найти множество всех первообразных для функции

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №22. Правила вычисления первообразной.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Нахождение первообразной.

2) Определение первообразной, график которой проходит через заданную точку.

3) Решение задач, обратных задаче нахождения закона изменения скорости материальной точки по закону ее движения

Глоссарий по теме

Первообразная. Функцию y = F(x) называют первообразной для функции y = f(x) на промежутке Х, если для х Х выполняется равенство F’ (x) = f(x).

Таблица первообразных:

Функция f(x)	Первообразная F(x)

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Орлова Е. А., Севрюков П. Ф., Сидельников В. И., Смоляков А.Н. Тренировочные тестовые задания по алгебре и началам анализа для учащихся 10-х и 11-х классов: учебное пособие – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2011.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Функцию y = F(x) называют первообразной для функции y = f(x) на промежутке Х, если для выполняется равенство F’ (x) = f(x).

1)

2)

3)

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Для функции y = f(x) найдите множество всех первообразных. Выполните проверку. f(x) = 2sin x + 3x³

Решение:

f(x) = 2sin x + 3x³

Проверка:

Найдем производную функции F(x).

F’(x) = f(x)

Ответ:

№2. Значение первообразной функции F(x) функции f(x) = 10cosx в точке равно -4. Найдите .

Решение. Сначала найдем первообразную

F(x) = 10sinx+ C

Затем подставляя значения точки х, найдем число с

C = -14

Далее получаем уравнение первообразной в этой точке

F(x) = 10sin x – 14

И находим значение первообразной в другой точке

Ответ: -19

№3. По графику первообразной функции y = F(x) определите числовые промежутки, на которых функция y = f(x) имеет отрицательный знак.

Решение:

Так как F’(x) = f(x)- по определению первообразной, то числовые промежутки, на которых функция f(x) (производная функции F(x)) имеет отрицательный знак – это промежутки убывания функции F(x). Таких промежутков на данном графике 3. Это (-7; -6); (-3; -1); (3;6)

Ответ: (-7; -6); (-3; -1); (3;6)

№4. Значение первообразной функции F(x) функции f(x) = 5x³ – 3x² + 7x – 2 в точке х = 0 равно 5. Найдите F(2).

Решение.

1. Найдем множество всех первообразных для данной функции.

1. Так как в точке х = 0 значение первообразной функции равно 5, то нам необходимо найти такое значение С, для которого выполняется условие F(0) = 5.

Решим уравнение:

1. Из полученного уравнения находим С = 5.

Следовательно, первообразная для функции f(x) = 5x³ – 3x² + 7x – 2 при заданном условии F(0) = 5 имеет вид:

1. Тогда

F(2) = 27

Ответ: 27

Цель:

• Формирование понятия первообразной.
• Подготовка к восприятию интеграла.
• Формирование вычислительных навыков.
• Воспитание чувства прекрасного (умение видеть красоту в необычном).

Математический анализ — совокупность разделов математики,
посвященных исследованию
функций и их обобщений методами
дифференциального и
интегрального исчислений.

Если до настоящего времени мы изучали раздел математического анализа,
называемого диффренциальным исчислением, суть которого заключается в изучении
функции в “малом”.

Т.е. исследование функции в достаточно малых окрестностях каждой точки
определения. Одна из операций дифференцирования- нахождение производной (дифференциала)
и применении к исследованию
функций.

Не менее важной является обратная задача. Если известно поведение функции в
окрестностях каждой точки ее определения, то как восстановить функцию в целом,
т.е. во всей области ее определения. Эта задача составляет предмет изучения так называемого интегрального
исчисления.

Интегрированием называется действие обратное дифференцированию. Или
восстановление функции f(х) по данной производной f`(х). Латинское слово “integro” означает – восстановление.

Пример №1.

Пусть (х)`=3х².
Найдем f(х).

Решение:

Опираясь на правило дифференцирования, нетрудно догадаться, что f(х)=х³, ибо (х³)`=3х²
Однако, легко можно заметить, что f(х) находится неоднозначно.
В качестве f(х) можно взять
f(х)= х³+1
f(х)= х³+2
f(х)= х³-3 и др.

Т.к.производная каждой из них равно 3х². (Производная постоянной
равна 0). Все эти функции отличаются друг от друга постоянным слагаемым. Поэтому общее решение задачи можно записать в виде f(х)= х³+С, где С — любое постоянное действительное число.

Любую из найденных функций f(х) называют ПЕРВООБРАЗНОЙ для функции F`(х)= 3х²

Определение. Функция F(х) называется первообразной для функции
f(х) на заданном промежутке J, если для всех х из этого промежутка F`(х)= f(х). Так функция F(х)=х<sup>3</sup> первообразная для f(х)=3х<sup>2</sup> на (- ∞
; ∞ ).
 Так как, для всех х ~R справедливо равенство: F`(х)=(х³)`=3х²

Как мы уже заметили, данная функция имеет бесконечное множество первообразных
(смотри пример № 1).

Пример № 2. Функция F(х)=х есть первообразная для всех f(х)= _1/х на
промежутке ( 0; + ), т.к. для всех х из этого промежутка, выполняется равенство.
F`(х)= (х <sup>1/2</sup>)`=1/2х^-1/2=1/2х

Пример № 3. Функция F(х)=tg3х есть первообразная для f(х)=3/cos3х на
промежутке (-п/2; п/2),
т.к. F`(х)=(tg3х)`= 3/cos²3х

Пример № 4.Функция F(х)=3sin4х+1/х-2 первообразная для f(х)=12cos4х-1/х²
на промежутке (0;∞)
т.к. F`(х)=(3sin4х)+1/х-2)`= 4cos4х-1/х²

Лекция 2.

Тема: Первообразная. Основное свойство первообразной функции.

При изучении первообразной будем опираться на следующее утверждение. Признак постоянства функции: Если на промежутке J производная Ψ(х)
функции равна 0, то на этом промежутке функция Ψ(х) постоянна.

Это утверждение можно продемонстрировать геометрически.

Известно, что Ψ`(х)=tgα, γде α-угол
наклона касательной к графику функции Ψ(х) в точке с абсциссой х<sub>0</sub>. Если Ψ`(υ)=0 в любой точке промежутка J,
то tgα=0 δля любой касательной к графику функции Ψ(х). Это означает, что касательная к графику функции в любой его точке параллельна оси абсцисс. Поэтому на указанном промежутке график функции Ψ(х) совпадает с отрезком прямой у=С.

Итак, функция f(х)=с постоянна на промежутке J, если f`(х)=0 на этом
промежутке.

Действительно, для произвольного х₁ и х₂ из промежутка
J по теореме о среднем значении функции можно записать:
f(х₂)- f(х₁)=f`(с) (х<sub>2</sub>— х<sub>1</sub>), т.к.
f`(с)=0, то f(х₂)= f(х₁)

Теорема: (Основное свойство первообразной функции)

Если F(х) одна из первообразных для функции f(х) на промежутке J, то множество всех первообразных этой функции имеет вид: F(х)+С, где С — любое действительное число.

Доказательство:

Пусть F`(х) = f (х), тогда (F(х)+С)`= F`(х)+С`= f (х), для х Є J.
Допустим существует Φ(х)- другая
первообразная для f (х) на промежутке J, т.е. Φ`(х) = f (х),
тогда (Φ(х)- F(х))` = f (х) – f (х) = 0,
для х Є J.
Это означает, что Φ(х)- F(х) постоянна на
промежутке J.
Следовательно, Φ(х)- F(х) = С.
Откуда Φ(х)= F(х)+С.
Это значит, что если F(х) — первообразная для функции f (х) на промежутке J, то множество всех первообразных этой функции имеет вид: F(х)+С, где С — любое действительное число.
Следовательно, любые две первообразные данной функции отличаются друг от друга постоянным слагаемым.

Пример: Найти множество первообразных функции f (х) = cos х. Изобразить графики первых трех.

Решение: Sin х — одна из первообразных для функции f (х) = cos х
F(х) = Sin х+С –множество всех первообразных.

F₁ (х) = Sin х-1
F₂ (х) = Sin х
F₃ (х) = Sin х+1

Геометрическая иллюстрация: График любой первообразной F(х)+С можно получить из графика первообразной F(х) при помощи параллельного переноса r (0;с).

Пример: Для функции f (х) = 2х найти первообразную, график которой проходит
через т.М (1;4)

Решение: F(х)=х²+С – множество всех первообразных, F(1)=4 — по условию задачи.

Следовательно, 4 = 1²+С
С = 3
F(х) = х²+3

Первообразная функции. Формула Ньютона-Лейбница

Функция F(x), для которой f(x) является производной, называется первообразной функции y = f(x). Функции вида у = F(x) + C образуют множество первообразных функции у = f(x).

Сейчас объясним, что это значит.

Вспомним таблицу производных. В левой колонке — функции, в правой — их производные. Например, — производная от функции , — производная функции . А чем будет являться для функции ? Или — для функции ? Вы уже догадались. Первообразной.

Заметим, кстати, что — производная не только функции , но и функций , — в общем, всех функций вида Здесь C — константа, то есть постоянная величина, и ее производная равна нулю.

Аналогично, функция — производная для всех функций вида , где — константа.

Посмотрим на таблицу первообразных. Каждая функция в левом столбце таблицы является производной для функции в правом столбце.

Таблица первообразных

Первообразная суммы функций равна сумме их первообразных.

Первообразная разности функций — разности первообразных.

Первообразная от функции , где — постоянный множитель, равна произведению на первообразную функции , то есть .

Множество всех первообразных функции называется неопределенным интегралом данной функции. Записывается это так:

Нахождение первообразной называется также интегрированием функции. А нахождение производной — дифференцированием функции. Интегрирование (то есть нахождение первообразной) и дифференцирование (взятие производной) — взаимно-обратные действия.

Но интегралы — отдельная тема. В задачах ЕГЭ по математике неопределенные интегралы не встречаются, а теме «Первообразная» посвящено всего несколько задач в первой части ЕГЭ. Для их решения надо знать только таблицу первообразных и еще одну важную формулу.

Формула для вычисления площади под графиком функции (Формула Ньютона-Лейбница) 

Пусть в прямоугольной системе координат задана фигура, ограниченная графиком непрерывной функции , осью и прямыми и . Пусть функция неотрицательна на отрезке [a; b].

Тогда площадь этой фигуры вычисляется по формуле:

Такую фигуру называют еще криволинейной трапецией. А сама формула носит название «Формула Ньютона-Лейбница».

1. Значение первообразной функции в точке 0 равно 6. Найдите . 

Найдем первообразную функции с помощью таблицы первообразных. Получим:

При получим:

Значит, и

Ответ: 40,5

2. Значение первообразной функции в точке 0 равно -13. Найдите

Найдем первообразную функции с помощью таблицы первообразных. Получим:

При x = 0 получим: Значит, и

Ответ: -14

3. На рисунке изображен график функции . Найдите значение выражения , где — одна из первообразных функции .

По формуле Ньютона-Лейбница, разность первообразных — это площадь, ограниченная графиком функции, осью X и прямыми y=a и y=b.

В этой задаче нужная фигура ограничена графиком функции, осью и прямыми и . Это квадратик, и площадь его равна 4.

Ответ: 4.

4. На рисунке изображён график некоторой функции . Функция  — одна из первообразных функции . Найдите площадь закрашенной фигуры.

Решение. По формуле Ньютона-Лейбница, площадь под графиком функции на отрезке [a,b] равна разности значений первообразной в концах отрезка, то есть

В нашей задаче имеем:

Дальше — просто арифметика.

Ответ: 13,5.

Содержание:

Первообразная и интеграл

Ранее вы ознакомились с операцией дифференцирования: нахождения производной по данной функции. Не менее важна и обратная ей операция — интегрирование: нахождение функции по её производной.

Пусть дано функцию 

 Функция  называется первообразной для функции  на  промежутке если для каждого значения  из этого промежутка 

Например, на всей числовой оси (т. е. на  функция  является первообразной для  есть первообразной для 

Функция  является первообразной для  например на  Но не на  поскольку.  не существует, и не на  поскольку это не промежуток.

Одна ли функция  является первообразной для  Нет. Ведь и  и т. д. Каким бы ни было число  (произвольная постоянная), функция  — первообразная для 

Существуют ли другие функции, отличные от  первообразные для  Нет.

Теорема. (Основное свойство первообразных.) Каждая первообразная для функции  имеет вид  где  — одна из этих первообразных, а  — произвольная постоянная.

Доказательство 1. Пусть  — одна из первообразных для функции  на промежутке  т. е. для каждого 

По правилу нахождения производной суммы

Этим доказано, что какая бы ни была постоянная  если  — первообразная для  то и  — первообразная для 

2. Пусть  — две любые первообразные для функции  на промежутке  т. е.  и  для каждого  Тогда  

Как видим, функция  такая, что в каждой точке  eё производная равна 0. Такое свойство имеет только определённая на  функция, которая ни возрастает, ни убывает на этом промежутке. Ведь если бы на некоторой части промежутка  эта функция возрастала или убывала, то там её производная была бы соответственно положительная или отрицательная. (Подробнее обоснование этого факта даётся в строгих курсах математического анализа.) Итак,  где  — постоянная, т. е. 

Этим доказано, что если  — одна из первообразных для функции  то каждая из функций  также её первообразная и других первообразных для  не существует. Геометрически это означает, что графики любых двух первообразных для функции  такие, что их можно совместить параллельным переносом вдоль оси ординат (рис. 102).

 — общий вид первообразных для функции 

Каждая первообразная рассматривается на некотором промежутке. Если же для краткости его не указывают, то имеют в виду промежуток максимально возможной длины. В частности, если функция  определена на  и промежуток не указано, то речь идет о её первообразной  также на 

Операцию нахождения производной данной функции называют дифференцированием. Обратная ей операция — нахождение первообразной — называется интегрированием.

Используя формулы дифференцирования (с. 218), составим таблицу первообразных. Советуем запомнить её.

Обосновать эту таблицу можно дифференцированием функции из её второй строки. Пользуясь таблицей, можно сразу писать, что, например, для функции  первообразной есть  и т. д.

 Множество всех первообразных функции  часто называют неопределённым интегралом этой функции и обозначают символом (читают: интеграл эф от икс де икс).

Выражение «проинтегрировать функцию  обозначает то же, что и «найти первообразную для функции 

То есть, если  — первообразная для функции  — произвольное число, то 

Слово интеграл в переводе с латинского языка означает целый. Почему его так назвали, вы поймёте, когда ознакомитесь с определённым интегралом (см. с. 241).Неопределённым его называют потому, что он при заданной функции и данном значении  имеет не одно числовое значение, а бесконечно много.

Таблицу первообразных, с помощью символа неопредёленного интеграла можно записать так:

Пример №577

Докажите, что функция  является первообразной для функции 

Доказательство:

  Имеем:  Итак, по определению, функция  —первообразная для функции 

Пример №578

Найдите первообразную для функции: 

Решение:

Воспользуемся таблицей первообразных.

а) Первообразной для функции  есть функция 

Для функции  поэтому 

б) Первообразной для функции  есть функция 

Для функции  поэтому 

Пример №579

Найдите для функции  такую первообразную, чтобы её график проходил через точку 

Решение:

Пользуясь таблицей, найдём общий вид первообразных:  Поскольку график искомой первообразной проходит через точку  отсюда  Следовательно, 

Ответ. 

Пример №580

Проинтегрируйте функцию 

Решение:

 

Нахождение первообразных

Выведем несколько правил, подобных правилам дифференцирования, которые облегчают нахождение первообразных.

I.    Если  — первообразные для функций  то  — первообразная для функции 

Действительно, если  то

II.    Если  — первообразная для функции  — произвольное число, то  — первообразная для функции 

Ведь 

III.    Если  —первообразная для функции  — произвольные числа  — первообразная для функции 

Ведь 

Пример №581

Найдите первообразную для функции: 

Решение:

а) Для функций  первообразными являются соответственно  Поэтому для суммы данных функций общий вид первообразных

б) По правилу 

в) Одной из первообразных для функции  согласно правилу III, является функция  Общий вид первообразных для данной функции

К нахождению первообразных сводятся прежде всего задачи, обратные тем, которые решаются с помощью производной. Рассмотрим пример.

Если известен закон прямолинейного движения тела  то для нахождения его скорости в момент  нужно найти производную:  Здесь дан закон движения и требуется найти его скорость. Для механики не менее важно уметь решать обратную задачу: по заданной в каждый момент скорости определять закон движения.

Пример №582

Точка движется прямолинейно с переменной скоростью  За первые 4 с она прошла 80 м. Найдите закон движения точки.

Решение:

Искомый закон движения выражается такой функцией  Здесь  — первообразная для функции  Общий вид всех таких первообразных  Поскольку за 4 с точка прошла 80 м, то  отсюда 

Ответ. Искомый закон движения точки  где  — время в секундах,  — расстояние в метрах.

Примеры других применений первообразной рассмотрим в следующих параграфах.

С помощью неопределённого интеграла правила интегрирования записываются так:

 — первообразная для 

Пример №583

Найдите одну из первообразных для функции:

Решение:

а) Для функции  одной из первообразных есть функция Учитывая то, что первообразной для функции  есть функция  запишем искомую первообразную: 

б) преобразуем сначала формулу, задающую функцию:

 Тогда 

Пример №584

Тело движется прямолинейно с ускорением  Определите скорость данного движения как функцию от времени  если в момент  она равнялась

Решение:

Ускорение — производная скорости. Поэтому если  — искомая скорость, то  Следовательно,  — первообразная для функции  поэтому  Поскольку 

Ответ. 

Первообразная и площадь криволинейной трапеции

Пусть на координатной плоскости задан график непрерывной функции  принимающей на промежутке  только неотрицательные значения. Фигуру, ограниченную таким графиком, осью абсцисс и прямыми  называют криволинейной трапеции.

Криволинейную трапецию называют также подграфиком функции 

Несколько криволинейных трапеций изображено на рисунке 105.

Каждая криволинейная трапеция имеет определённую площадь (это доказано в строгих курсах математического анализа). Эти площади можно находить с помощью первообразных.

Теорема. Площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции  на промежутке  равна  где  — первообразная для функции 

Доказательство. Рассмотрим произвольную криволинейную трапецию, образованную графиком функции  (рис. 106). Пусть  — произвольная точка отрезка  — площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции  Понятно, что  — функция от  Докажем, что  для каждого 

Дадим переменной  приращение тогда функция  получит приращение  (рис. 107). Это — площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции  на промежутке  она приближённо равна площади прямоугольника с основанием  и высотой  где  — некоторое число из промежутка  Поскольку функция  непрерывна, такое число  обязательно найдётся.

Следовательно,  откуда — 

Если  ибо функция  непрерывна. Поэтому если 

Как видим, функция  — первообразная для  Поэтому если — какая-либо другая первообразная для  на  где  — постоянная. Чтобы определить  учтём, что  ибо при криволинейная трапеция, образованная графиком функции вырождается в отрезок; его площадь равна 0. Имеем:  отсюда  Следовательно,  Если в это равенство подставим значение  то получим площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции  на 

Значение выражения  вычисляют часто, поэтому для удобства его записывают ещё и так: 

Итак, формула (1) приобретает вид:

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример №585

Найдите площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции  на промежутке 

Решение:

На рисунке 108 изображена фигура, площадь которой нужно найти. Для функции  первообразной есть  Следовательно, искомая площадь 

Пример №586

Найдите площадь фигуры, ограниченной одной аркой синусоиды и осью абсцисс (рис. 109).

Решение:

Надо найти площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции  на промежутке  Для функции первообразной есть функция  Следовательно, искомая площадь  (кв. ед.).

Пользуясь термином «криволинейная трапеция», следует иметь в виду, что «криволинейная трапеция» не всегда является трапецией (рис. 109) и не всегда она криволинейная (рис. 105, б). А вообще она — не геометрическая фигура в научном понимании. Любое движение отображает каждую фигуру на равную ей фигуру такого же вида. А если «криволинейную трапецию», например, изображенную на рисунке 108, повернуть на 90°, она отображается на фигуру, которая не является криволинейной трапецией. Поэтому вместо «криволинейная трапеция» говорят и пишут «подграфик функции».

Пример №587

Найдите площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции 

Решение:

Данная криволинейная трапеция — прямоугольный треугольник с катетами 2 и 2 (рис. 110). Его площадь  (кв. ед.).

Ответ. 2 кв. ед.

Пример №588

Найдите площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции 

Решение:

Заданная криволинейная трапеция — прямоугольник с измерениями 1 и 3 (рис. 111). Его площадь  (кв. ед.).

Пример №589

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции  и осью абсцисс.

Решение:

Найдем абсциссы точек пересечения графика данной функции с осью  В этих точках ордината функции равна нулю:  отсюда  (рис. 112). Значит, надо найти площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции  на  Одна из первообразных для данной функции  Поэтому искомая площадь

 (кв.ед.)

Ответ.  кв. ед.

Первообразной
функции f(x) на
промежутке (a;
b) называется
такая функция F(x),
что выполняется равенство для
любогох из
заданного промежутка.

Если
принять во внимание тот факт, что
производная от константы С равна
нулю, то справедливо равенство . Таким
образом, функция f(x) имеет
множество первообразных F(x)+C,
для произвольной константы С,
причем эти первообразные отличаются
друг от друга на произвольную постоянную
величину.

Определение
неопределенного интеграла.

Все
множество первообразных функции f(x) называется
неопределенным интегралом этой функции
и обозначается .

Выражение называютподынтегральным
выражением,
а f(x) – подынтегральной
функцией.
Подынтегральное выражение представляет
собой дифференциал функции f(x).

Действие
нахождения неизвестной функции по
заданному ее дифференциалу называется
неопределенным интегрированием,
потому что результатом интегрирования
является не одна функция F(x),
а множество ее первообразных F(x)+C.

Геометрический
смысл неопределенного интеграла. График
первообразной Д(х) называют интегральной
кривой. В системе координат х0у графики
всех первообразных от данной функции
представляют семейство кривых, зависящих
от величины постоянной С и получаемых
одна из другой путем параллельного
сдвига вдоль оси 0у. Для примера,
рассмотренного выше, имеем:

J
2 х^х = х2 + C.

Семейство
первообразных (х + С) геометрически
интерпретируется совокупностью парабол.

Если
из семейства первообразных нужно найти
одну, то задают дополнительные условия,
позволяющие определить постоянную С.
Обычно с этой целью задают начальные
условия: при значении аргумента х = х0
функция имеет значение Д(х0) = у0.

Пример.
Требуется найти ту из первообразных
функции у = 2 х, которая принимает значение
3 при х0 = 1.

Искомая
первообразная: Д(х) = х2 + 2.

Решение.
^2х^х = х2 + C; 12 + С = 3; С = 2.

2. Основные свойства неопределенного интеграла

1.
Производная неопределенного интеграла
равна подинтегральной функции:

2.
Дифференциал неопределенного интеграла
равен подинтегральному выражению:

3.
Неопределенный интеграл от дифференциала
некоторой функции равен сумме самой
этой функции и произвольной постоянной:

4.
Постоянный множитель можно выносить
за знак интеграла:

,
причем 

5.
Интеграл суммы (разности) равен сумме
(разности) интегралов:

6.
Свойство является комбинацией свойств
4 и 5:

,
причем 

7.
Свойство инвариантности неопределенного
интеграла:

Если ,
то

8.
Свойство:

Если ,
то

Фактически
данное свойство представляет собой
частный случай интегрирования при
помощи метода
замены переменной, который более
подробно рассмотрен в следующем разделе.

Рассмотрим
пример:

3.
Метод
интегрирования,
при котором данный интеграл путем
тождественных преобразований
подынтегральной функции (или выражения)
и применения свойств неопределенного
интеграла приводится к одному или
нескольким табличным интегралам,
называется непосредственным
интегрированием.
При
сведении данного интеграла к табличному
часто используются следующие преобразования
дифференциала (операция «подведения
под знак дифференциала»):

Вообще, f’(u)du
= d(f(u)). эта
(формула очень часто используется при
вычислении интегралов.

Пример:

 Найти
интеграл 

Решение. Воспользуемся свойствами
интегралаи приведем данный интеграл
к нескольким табличным.

4.
Интегрирование
методом подстановки.

Суть
метода заключается в том, что мы вводим
новую переменную, выражаем подынтегральную
функцию через эту переменную, в результате
приходим к табличному (или более простому)
виду интеграла.

Очень
часто метод подстановки выручает при
интегрировании тригонометрических
функций и функций с радикалами.

Пример.

Найти
неопределенный интеграл .

Решение.

Введем
новую переменную .
Выразимх через z:

Выполняем
подстановку полученных выражений в
исходный интеграл:

Из
таблицы первообразных имеем .

Осталось
вернуться к исходной переменной х:

Ответ:

5.
Интегрирование
по частям.

Интегрирование
по частям основано на представлении
подынтегрального выражения в виде
произведения и
последующем применении формулы.
Этот метод является очень мощным
инструментом интегрирования. В зависимости
от подынтегральной функции, метод
интегрирования по частям иногда
приходится применять несколько раз
подряд до получения результата. Для
примера найдем множество первообразных
функции арктангенс.

Пример.

Вычислить
неопределенный интеграл .

Решение.

Пусть ,
тогда

Следует
отметить, что при нахождении функции v(x) не
прибавляют произвольную постоянную С.

Теперь
применяем формулу интегрирования по
частям: 

Последний
интеграл вычислим по методу подведения
под знак дифференциала.

Так
как ,
то.
Поэтому

Следовательно,
где.

Ответ:

.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #