Как найти множество значений дробной функции

НАХОЖДЕНИЕ ОБЛАСТИ ЗНАЧЕНИЙ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

 

ВВЕДЕНИЕ

К свойствам функции относится область значений функции. Проблема нахождения области значений, например, дробно-рациональной функции, привела к необходимости ознакомиться со способами ее нахождения.

Цель исследования: найти различные методы нахождения области значений дробно-рациональных функций. Задачи исследования:1). Ознакомиться со способами решения задач на нахождение области значений функции;

2). Изучить инверсию функций;

3). Использовать алгебраические неравенства для нахождения области значений функции;

4). Составить банк функций с нахождением области значений функций различными методами. Сравнить эти методы с точки зрения затрат времени и трудоёмкости;

5). Использовать программу Graphи различные свойства функций для построения графиков функций.При ознакомлении с некоторыми методами нахождения области значений функции в различных источниках, указанных ниже, не нашлось таких примеров решения, в которых бы использовались различные методы. В данной исследовательской работе сопоставляются разные, возможные, методы нахождения области значений функции для выделения самого рационального.ГЛАВА I.ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

§1. Некоторые сведения об области значений функции.Определение области значений функции.Областью (множеством) значений E(у) функции y = f(x) называется множество таких чисел y₀, для каждого из которых найдётся такое число x₀, что: f(x₀) = y₀.

Свойства функций, используемые при нахождении области значений функцииДля успешного нахождения области значений функции надо хорошо знать свойства основных элементарных функций, особенно их области определения и характер монотонности. Приведём свойства функции, которые учитываются при нахождении Е(у):непрерывность;монотонность;дифференцируемость;чётность, нечётность;обратимость;периодичность и т.д.Известны следующие способы нахождения областей значений функций:а) последовательное нахождение значений сложных аргументов функции;б) метод оценок;в) использование свойств непрерывности и монотонности функции;г) использование производной;д) использование наибольшего и наименьшего значений функции;е) графический метод;ж) метод введения параметра;з) метод обратной функции. Определение.Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается задан­ным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренно­му множеству.Определение. Обра́тная фу́нкция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Например, если функция от x даёт y, то обратная ей функция от y даёт x. {displaystyle f^{-1}}§2. Инверсия. Известна теорема о том, что если функция возрастает и принимает только положительные значения, то функция убывает.

Целесообразно рассматривать преобразования плоскости, при которых точки с координатами переходят в точки с координатами , ибо легко заметить, что именно с помощью такого преобразования можно построить рассмотренный график.

Определение. Точка В называется инвертной точке А относительно данной прямой (оси) l, если:

1. эти точки лежат по одну сторону относительно оси l;

2. отрезок, их соединяющий, перпендикулярен оси l;

3. произведение расстояний от этих точек до оси lравно 1.

У точек оси инвертных точек нет.

Определение. Преобразование плоскости, при котором каждая точка переходит в инвертную ейотносительно данной прямой, называется инверсией. Для точек этой прямой преобразование не определяется.

Замечание. При инверсии относительно осиОх точка А с координатами , , переходит в точку В с координатами , где

В самом деле, , так как отрезок АВ перпендикулярен осиОх, должны быть одного знака, так как А и В лежат в одной полуплоскости относительно оси Ох, наконец, так как произведение расстояний от А и В до оси равно единице, т.е.

Свойства инверсии. Построение графиков.

А — неподвижная точка инверсии относительно осиОх тогда и только тогда, когда т.е. — неподвижная точка инверсии относительно оси Оутогда и только тогда, когда т.е.

Чем дальше от оси инверсии точка, тем ближе к ней инвертная ей точка.

Теорема.График функции получается из графика функции инверсией относительно осиОх.

Теорема.График функции получается из графика функции преобразованием инверсии относительно оси Оу.

§3. Некоторые неравенства, используемые в работе.

Доказательства некоторых неравенств (проведенные самостоятельно).Неравенство 1. .Доказательство.

Теорема о высоте: CD =.в частном случае, если,ч.т.д.

Неравенство 2. Доказательство.

Преобразуем выражение: . По теореме катета:. ПотеоремеПифагора:

В частности, если Ч. т. д.

Неравенство 3. Доказательство.

Значит, , ч. т. д.

ГЛАВА II.ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ§1.Примеры нахождения области значений функций, графики которых можно построить с помощью инверсии, представив в виде или представив в виде .

Пример 1.Построить график функции и найти область значений E(f) данной функции.

Решение. Строится график функции , отмечаются точки с ординатой, равной 1, замечается, что искомый график имеет асимптоты так как график функции при абсциссах, «близких» к , все ближе подходит к оси инверсии, а при «больших» абсциссах уходит от неё неограниченно далеко. Показывается, что надо, таким образом, от точки (0,1) «вести вправо и вверх» к прямой и «влево и вниз» к прямой и т.п.

Ответ:.

Пример 2.Построить график функции и найти область значений E(f) данной функции.

Решение.

График функции получается из графика функции смещением на 1 единицу вправо. Для построения графика функции заменим значения абсцисс графика функции на обратные числа. . Прямаяявляется асимптотой. Если сравнить выражение с единицей: то оно меньше ее при , значит, точки графика функции не поднимутся выше прямой которая является асимптотой графика рассматриваемой функции. Эта функция является неотрицательной, значит ниже осиОх точки графика не появятся.

Ответ:.

§2. Метод введения параметра для нахождения области значений функции.

Пример 3.Найти область значений E(f) функции.

Решение.Решим пример методом введения параметра, согласно которому E(f) совпадает с множеством значений параметра а, для которых уравнениеимеет хотя бы один корень.

Если_,уравнение является линейным с ненулевым коэффициентом при неизвестной, поэтому имеет решение. Если _, уравнение является квадратным, поэтому оно разрешимо тогда и только тогда, когда его дискриминант.

Так как точка принадлежит отрезку, то искомым множеством значений параметра а, значит, и областью значений E(f) будет весь отрезок.

Ответ:.

§3. Метод обратной функции. Как непосредственное развитие метода введения параметра при нахождении множества значений функции, можно рассматривать метод обратной функции, для нахождения которой надо решить относительно х уравнение f(x)= y, считая y параметром. Если это уравнение имеет единственное решение x =g(y), то область значений E(f) исходной функции f(x) совпадает с областью определения D(g) обратной функции g(y). Если же уравнение f(x)= y имеет несколько решений x =g₁(y), x =g₂(y) и т.д., то E(f) равна объединению областей определений функции g₁(y), g₂(y) и т.д.Пример4. (самостоятельное решение).Найдите область значений E(f) функции.

Решение.Решим уравнение относительно , учитывая, что

Неравенство методом интервалов, получаем, что

Ответ:.

§4. Использованиепроизводной, непрерывности и монотонности функции и графика функции

Пример 5. (самостоятельное решение с применением программы Grahf).Найти область значений E(f) функции .

Решение.График функции не пересекает ось абсцисс, т.к. уравнение не имеет решения.

Функция непрерывна на, значит, дифференцируема. Найдем производную функции:

Найдем критические точки первого рода:

Выясним характер монотонности функции:

Найдем асимптоты функции:

Вертикальных асимптот нет, т.к. .Наклонная асимптота:. Получили горизонтальную асимптоту .

Найдём

Заметим, что последний метод является наглядным, однако времяёмким и трудоемким.

Ответ:.

§ 5. Задачи на нахождение области значений функций с помощью алгебраических неравенств

Пример 6. Найти область значений E(f) функции(используя неравенство).

Решение.

Учитывая, что заданная функция является нечетной, получаем

Ответ:.

Пример 7. Найти область значений E(f) функции(используя неравенство).

Решение. Учитывая, что заданная функция является нечетной, получаем

А так у функции один нуль, , и она меняет монотонность от убывания к возрастанию, а затем от возрастания к убыванию, то можно определить, как меняются ее значения: .

Ответ:.

Пример 8. Найти область значений E(f) функции(используя неравенство).

Решение.

График имеет вертикальную асимптоту , не пересекает ось абсцисс.

Найдем производную функции

Найдем критические точки первого рода:

Выясним характер монотонности функции:

Ответ:.

§ 6. Нахождение области значений функций разными способами

Ранее решённые Примеры 3, 4, 5 указывают на то, что найти область значений функции можно было тремя способами: методом введения параметра, методом обратной функции, а также с использованием производной, непрерывности функции, монотонности и графика. Применить инверсию для построения графика этой функции не удается, так как она не представима в виде или в виде . Также не получится представить эту функцию в виде суммы двух слагаемых, к которой можно было бы применить одно из указанных алгебраических свойств. Наиболее рациональными являются первые два метода.

Решим и другие Примерыразличнымидоступнымиметодами и способами.Пример 1.Построить график функции и найти область значений E(f) данной функции. (См. стр. I-IIПРИЛОЖЕНИЕ 1)Пример 2.Построить график функции и найти область значений E(f) данной функции. (См. стр. II-IIIПРИЛОЖЕНИЕ 2)Пример 6.Найти область значений E(f) функции(См. стр. III-VПРИЛОЖЕНИЕ 3)Пример 7. Найти область значений E(f) функции(См. стр. V-VIIПРИЛОЖЕНИЕ 4)Пример 8. Найти область значений E(f) функции(См. стр. VII-VIIIПРИЛОЖЕНИЕ 5)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Данная тема имеет практическое применение, так как при изучении тех или иных процессов из реальной жизни, описываемых математическими формулами, чаще всего вычисляют значения функций. В школьном курсе математики изучается тема «Область значения функции». Такие задачи обязательно содержатся в заданиях различных математических тестов, в частности в заданиях единого государственного экзамена.Если выбирать универсальный способ нахождения области значений функции, то это графический с применением производной, таких свойств как четность, асимптоты, нули функции. Удобно использовать инверсию для построения график функций, но не все функции инвертируются. Если есть выбор способов, то к рациональным способам можно отнести и введение параметра и метод обратной функции. Знание различных способов решения одной и той же задачи позволяет осуществить проверку полученных результатов.СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

1. Сильвестров В.В. Множество значений функции: Учебное пособие./Сильвестров В.В. – Чебоксары: 2004. — 200-204 с.2. Карп А.П. Даю урокипо математике /Карп А.П. — М.: Просвещение, 1992. — 21-31с.3. Райский В. Математика: Сборник задач и упражнений для VI класса./Райский В. — Кишинёв:PrutInternaţional, 2002.- 25-33 с.4. Щербаков П.А. Нахождение области значений функции (Электронный ресурс) http://pandia.ru/text/77/355/6329.php (дата обращения 29.10.2016)5. Сикорский К.П. Факультатив. Математика 7-8 класс./Сикорский К.П. — М.: Просвещение, 1969.- 256-263 с.

Просмотров работы: 3598

Скачать материал

Скачать материал

Описание презентации по отдельным слайдам:

• 

  1 слайд

  Нахождение
  области значений
  дробно-рациональных функций

• 

  2 слайд

  Областью (множеством) значений E(у) функции y = f(x) называется множество таких чисел y0, для каждого из которых найдётся такое число x0, что: f(x0) = y0.

• 

  3 слайд

  Свойства функций, используемые при нахождении области значений функции:

  непрерывность;

  монотонность;

  дифференцируемость;

  чётность, нечётность;

  обратимость.

• 

  4 слайд

  Способы нахождения областей значений функций:

  а) последовательное нахождение значений сложных аргументов функции;
  б) метод оценок;
  в) использование свойств непрерывности и монотонности функции;
  г) использование производной;
  д) использование наибольшего и наименьшего значений функции;
  е) графический метод;
  ж) метод введения параметра;
  з) метод обратной функции.

• 

  5 слайд

  Определение. Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается задан­ным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренно­му множеству.

  Определение. Обра́тная фу́нкция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Например, если функция от x даёт y, то обратная ей функция от y даёт x.

• 

  6 слайд

  Определение. Точка В называется инвертной точке А относительно данной прямой (оси) l, если:
  эти точки лежат по одну сторону относительно оси l;
  отрезок, их соединяющий, перпендикулярен оси l;
  произведение расстояний от этих точек до оси lравно 1.
  Определение. Преобразование плоскости, при котором каждая точка переходит в инвертную ей относительно данной прямой, называется инверсией. Для точек этой прямой преобразование не определяется.
  Свойства инверсии:

  График функции получается из графика функции инверсией относительно оси Ох.

  График функции получается из графика функции преобразованием инверсии относительно оси Оу.

  Чем дальше от оси инверсии точка, тем ближе к ней инвертная ей точка.

• 

  7 слайд

  Некоторые неравенства, используемые в работе

• 

  8 слайд

  Пример 1.
  Асимптоты:
  Ответ:
  .
  (1. Строим график, используя инверсию)
  Решение.

• 

  9 слайд

  Пример 1.
  Ответ:
  .
  ( 2. Метод введения параметра)
  Решение.

• 

  10 слайд

  Пример 1.
  Ответ:
  .
  ( 3. Метод обратной функции)
  Решение.

• 

  11 слайд

  Пример 1.
  Ответ:
  .
  ( 4. Метод применения производной)
  Решение.
  Вертикальная асимптота , график не пересекает ось абсцисс.

  Критическиx точек первого рода нет.

• 

  12 слайд

  Применить алгебраические неравенства к Примеру 1 невозможно

• 

  13 слайд

  Пример 2.
  Асимптоты:
  Ответ:
  .
  (1. Строим график, используя инверсию)
  Решение.

• 

  14 слайд

  Пример 2.
  Ответ:
  .
  (2. Введение параметра)
  Решение.

• 

  15 слайд

  Пример 2.
  Ответ:
  .
  (3. Метод обратной функции)
  Решение.

• 

  16 слайд

  Пример 2.
  Ответ:
  .
  (4. Метод применения производной)
  Решение.
  График имеет вертикальную асимптоту,
  не пересекает ось абсцисс.
  Горизонтальная асимптота:

• 

  17 слайд

  Применить алгебраические неравенства к Примеру 2 невозможно

• 

  18 слайд

  Пример 6.
  Ответ:
  .
  (1.
  Решение.
  Функция нечетная:

• 

  19 слайд

  Пример 6.
  Ответ:
  .
  (2. Метод введения параметра)
  Решение.

• 

  20 слайд

  Пример 6.
  Ответ:
  .
  (3. Метод обратной функции)
  Решение.

• 

  21 слайд

  Пример 6.
  Ответ:
  .
  (4. Метод применения производной)
  Решение.
  Вертикальная асимптота:
  График не пересекает ось абсцисс.
  Наклонная асимптота:

• 

  22 слайд

  Применить инверсию к функции Примера 6 невозможно

• 

  23 слайд

  ВЫВОД

  Нахождение области значений функции имеет практическое применение.

  2. Универсальный способ нахождения области значений функции — графический с применением производной, таких свойств как четность, асимптоты, нули функции.

  3. Удобно использовать инверсию для построения график функций, но не все функции инвертируются.

  4. Если есть выбор способов, то к рациональным способам можно отнести и введение параметра и метод обратной функции.

  5. Знание различных способов решения одной и той же задачи позволяет осуществить проверку полученных результатов.

Краткое описание документа:

Презентация «Нахождение области значений дробно-рациональных функций» содержит информацию о параметре, инверсии, о способах нахождения области значений дробно-рациональных функций (на конкретных примерах некоторые способы применены).

Способы нахождения областей значений функций:

а) последовательное нахождение значений сложных аргументов функции;
б) метод оценок;
в) использование свойств непрерывности и монотонности функции;
г) использование производной;
д) использование наибольшего и наименьшего значений функции;
е) графический метод;
ж) метод введения параметра;
з) метод обратной функции.

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 268 686 материалов в базе

• Выберите категорию:

• Выберите учебник и тему

• Выберите класс:

• Тип материала:

  • Все материалы

  • Статьи

  • Научные работы

  • Видеоуроки

  • Презентации

  • Конспекты

  • Тесты

  • Рабочие программы

  • Другие методич. материалы

Найти материалы

Вам будут интересны эти курсы:

• Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»

• Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»

• Курс повышения квалификации «Основы местного самоуправления и муниципальной службы»

• Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»

• Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»

• Курс профессиональной переподготовки «Организация маркетинга в туризме»

• Курс повышения квалификации «Использование активных методов обучения в вузе в условиях реализации ФГОС»

• Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»

• Курс профессиональной переподготовки «Организация деятельности специалиста оценщика-эксперта по оценке имущества»

• Курс профессиональной переподготовки «Эксплуатация и обслуживание общего имущества многоквартирного дома»

Была ли эта статья полезной?

Область определения дроби

Когда дробь существует?

Дробь существует тогда, когда знаменатель не равен нулю.

Чтобы найти область определения дроби, нужно:

• весь знаменатель приравнять к нулю.
• найти значения, при которых знаменатель обращается в нуль.

Областью определения дроби будут все числа, кроме найденных значений, обращающих знаменатель в нуль.

Пример 1

Найти область определения дроби:

Приравняем знаменатель дроби к нулю:

Решим уравнение. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

Решим каждое из линейных уравнений:

Итак, при x = -4 или x = 3 дробь будет равна нулю, следовательно, область определения этой дроби: все числа, кроме – 4 и 3.

Пример 2

Найти область определения дроби:

Приравняет знаменатель к нулю:

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

Решим полученные линейные уравнения:

Итак, при x = 4 или x = -4 дробь будет равна нулю, следовательно, область определения этой дроби: все числа, кроме – 4 и 4.

Как найти область определения функции

Что такое область определения функции?

Начнём с краткого определения. Область определения функции y=f(x) — это множество значений X, для которых существуют значения Y.

Войдём в тему более основательно. Каждой точке графика функции соответствуют:

• определённое значение «икса» — аргумента функции;
• определённое значение «игрека» — самой функции.

Верны следующие факты.

• От аргумента — «икса» — вычисляется «игрек» — значения функции.
• Область определения функции — это множества всех значений «икса», для которых существует, то есть может быть вычислен «игрек» — значение функции. Иначе говоря, множество значений аргумента, на котором «функция работает».

Можно понимать область определения функции и как проекцию графика функции на ось Ox.

Что требуется, чтобы уверенно находить область определения функции? Во-первых, нужно различать виды функций (корень, дробь, синус и др.). Во-вторых, решать уравнения и неравенства с учетом вида функции (например, на что нельзя делить, какое выражение не может быть под знаком корня и тому подобное). Согласитесь, не так уж много и не так сложно. При изучении темы области определения функции поможет материал Свойства и графики элементарных функций. А поскольку областью определения функции служат различные множества, а также их объединения и пересечения, то пригодится и материал Множества и операции над множествами.

Итак, чтобы находить области определения распространённых функций, порешаем уравнения и неравенства с одной переменной.

После этого экскурса в важную составную матанализа многие согласятся, что найти область определения функции не очень сложно.

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы. Приступаем к практике.

Общий принцип на самых простых примерах

Пример 1. На рисунке изображён график функции . Знаменатель дроби не может быть равен нулю, так как на нуль делить нельзя. Поэтому, приравнивая знаменатель нулю

и решая это уравнение:

получаем значение, не входящее в область определения функции: 1. То есть, область определения заданной функции — это все значения «икса» от минус бесконечности до единицы и от единицы до плюс бесконечности. Это хорошо видно на графике. Приведённый здесь пример функции относится к виду дробей. На уроке разберём решения всех распространённых видов функций.

Пример 2. Как найти область определения функции игрек равен квадратному корню из икса минус пять (подкоренное выражение икс минус пять) ()? Так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным, нужно решить неравенство

Если перенести какое-либо слагаемое в другую часть неравенства с противоположным знаком, то мы получим равносильное неравенство с тем же знаком неравенства. Переносим минус 5 и получаем неравенство

Получаем решение: область определения функции — все значения икса больше или равно пяти (или икс принадлежит промежутку от пяти включительно до плюс бесконечности).

На чертеже сверху — фрагмент числовой оси. На ней область опредения рассмотренной функции заштрихована, при этом в «плюсовом» направлении штриховка продолжается бесконечно вместе с самой осью.

Область определения корня n-й степени

В случае, функции корня n-й степени, то есть когда функция задана формулой и n — натуральное число:

если n — чётное число, то областью определения функции является множество всех неотрицательных действительных чисел, то есть [0; + ∞[ ;

если n — нечётное число, то областью определения функции является множество всех действительных чисел, то есть ]- ∞; + ∞[ .

Пример 3. Найти область определения функции .

Решение. Как следует из определения, корень чётной степени имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно. Поэтому решаем неравенство

.

Это квадратное неравенство

,

По формуле находим дискриминант:

.

По формуле находим корни квадратного трёхчлена:

.

Найденные точки разбивают числовую прямую на три промежутка:

и .

При этом знак квадратного трёхчлена (больше или меньше нуля) совпадает со знаком коэффициента a во всех точках промежутков

и

и противоположен знаку коэффициента a во всех точках промежутка .

В нашем случае имеем отрицательный коэффициент a=-1 , поэтому квадратный трёхчлен неотрицателен во всех точках промежутка .

Следовательно, область определения данной функции — [- 1; 1] .

Заштрихованная область числовой прямой на чертеже сверху — это область определения данной функции.

Область определения степенной функции

Область определения степенной функции находится в зависимости от вида степени в выражении.

Область определения степенной функции с дробным показателем степени

В случае, когда функция задана формулой :

если — положительное, то областью определения функции является множество [0; + ∞[ , то есть нуль входит в область определения;

если — отрицательное, то областью определения функции является множество (0; + ∞[ , то есть нуль не входит в область определения.

Пример 4. Найти область определения функции .

Решение. Выражение функции можно представить так:

Квадратный трёхчлен в скобках в знаменателе должен быть строго больше нуля (ещё и потому, что дробный показатель степени данной степенной функции — отрицательный). Поэтому решим строгое неравенство, когда квадратный трёхчлен в скобках строго больше нуля:

.

.

Дикриминант получился отрицательный. Следовательно сопряжённое неравенству квадратное уравнение не имеет корней. А это значит, что квадратный трёхчлен ни при каких значениях «икса» не равен нулю. Таким образом, область определения данной функции — вся числовая ось, или, что то же самое — множество R действительных чисел, или, что то же самое — ]- ∞; + ∞[ .

Пример 5. Найти область определения функции .

Решение. Оба слагаемых в выражении функции — степенные функции с положительными дробными показателями степеней. Следовательно, область определения данной функции — множество [0; + ∞[ .

На чертеже сверху заштрихована часть числовой прямой от нуля (включительно) и больше, причём штриховка продолжается вместе с самой прямой до плюс бесконечности.

Область определения степенной функции с целым показателем степени

В случае, когда функция задана формулой :

если a — положительное, то областью определения функции является множество всех действительных чисел, то есть ]- ∞; + ∞[ ;

если a — отрицательное, то областью определения функции является множество ]- ∞; 0[ ∪ ]0 ;+ ∞[ , то есть вся числовая прямая за исключением нуля.

На соответствующем чертеже сверху вся числовая прямая заштрихована, а точка, соответствующая нулю, выколота (она не входит в область определения функции).

Пример 6. Найти область определения функции .

Решение. Первое слагаемое целой степенью икса, равной 3, а степень икса во втором слагаемом можно представить в виде единицы — так же целого числа. Следовательно, область определения данной функции — вся числовая прямая, то есть ]- ∞; + ∞[ .

Область определения показательной и логарифмической функции

Область определения показательной функции

В случае, когда функция задана формулой , областью определения функции является вся числовая прямая, то есть ]- ∞; + ∞[ . Подробнее о графике такой функции.

Область определения логарифмической функции

Логарифмическая функция определена при условии, если её аргумент положителен, то есть, областью её определения является множество ]0; + ∞[ . Подробнее о графике такой функции.

Найти область определения функции самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 7. Найти область определения функции .

Пример 8. Найти область определения функции .

Область определения тригонометрических функций

Область определения функции y = cos(x) — так же множество R действительных чисел.

Область определения функции y = tg(x) — множество R действительных чисел, кроме чисел .

Область определения функции y = ctg(x) — множество R действительных чисел, кроме чисел .

Пример 9. Найти область определения функции .

Решение. Внешняя функция — десятичный логарифм и на область её определения распространяются условия области определения логарифмической функции вообще. То есть, её аргумент должен быть положительным. Аргумент здесь — синус «икса». Пользуясь тригонометической таблицей (или поворачивая воображаемый циркуль по окружности), видим, что условие sin x > 0 нарушается при «иксе» равным нулю, «пи», два, умноженном на «пи» и вообще равным произведению числа «пи» и любого чётного ( 2kπ ) или нечётного целого числа ( (2k+1)π ).

Таким образом, область определения данной функции задаётся выражением

,

где k — целое число.

Область определения обратных тригонометрических функций

Область определения функции y = arcsin(x) — множество [-1; 1] .

Область определения функции y = arccos(x) — так же множество [-1; 1] .

Область определения функции y = arctg(x) — множество R действительных чисел.

Область определения функции y = arcctg(x) — так же множество R действительных чисел.

Пример 10. Найти область определения функции .

Решение. Решим неравенство:

Решение получили, основываясь на свойстве неравенств: если все части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится также верное неравество. В данном случае умножали на 4.

Таким образом, получаем область определения данной функции — отрезок [- 4; 4] .

Пример 11. Найти область определения функции .

Решение. Решим два неравенства:

Решение первого неравенства:

Решение получили, основываясь на свойстве неравенств: если обе части верного неравенства умножить на одно и то же отрицательное число изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство. В данном случае умножали на минус 2.

Аналогично и решение второго неравенства:

Таким образом, получаем область определения данной функции — отрезок [0; 1] .

Область определения дроби

Если функция задана дробным выражением, в котором переменная находится в знаменателе дроби, то областью определения функции является множество R действительных чисел, кроме таких x , при которых знаменатель дроби обращается в нуль.

Пример 12. Найти область определения функции .

Решение. Решая равенство нулю знаменателя дроби:

находим область определения данной функции — множество ]- ∞; — 2[ ∪ ]- 2 ;+ ∞[ , то есть все числа, кроме минус 2.

Пример 13. Найти область определения функции .

Решение. Решим уравнение:

Таким образом, получаем область определения данной функции — ]- ∞; — 1[ ∪ ]- 1 ; 1[ ∪ ]1 ;+ ∞[ , то есть все числа, кроме минус единицы и единицы.

Пример 14. Найти область определения функции .

Решение. Область определения первого слагаемого — данной функции — множество R действительных чисел, второго слагаемого — все действительные числа, кроме -2 и 2 (получили, решая равенство нулю знаменателя, как в предыдущем примере). В этом случае область определения функции должна удовлетворять условиями определения обоих слагаемых. Следовательно, область определения данной функции — ]- ∞; — 2[ ∪ ]- 2 ; 2[ ∪ ]2 ;+ ∞[ , то есть все числа, кроме -2 и 2.

Пример 15. Найти область определения функции .

Решение. Решим уравнение:

Уравнение не имеет действительных корней. Но функция определена только на действительных числах. Таким образом, получаем область определения данной функции — вся числовая прямая или, что то же самое — множество R действительных чисел или, что то же самое — ]- ∞; + ∞[ .

То есть, какое бы число мы не подставляли вместо «икса», знаменатель никогда не будет равен нулю.

Пример 16. Найти область определения функции .

Решение. Решим уравнение:

Таким образом, получаем область определения данной функции — ]- ∞; — 1[ ∪ ]- 1 ; 0[ ∪ ]0 ; 1[ ∪ ]1 ;+ ∞[ .

Пример 17. Найти область определения функции .

Решение. Кроме того, что знаменатель не может быть равным нулю, ещё и выражение под корнем не может быть отрицательным. Сначала решим уравнение:

График квадратичной функции под корнем представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх. Как следует из решения квадратного уравнения, парабола пересекает ось Ox в точках 1 и 2. Между этими точками линия параболы находится ниже оси Ox, следовательно значения квадратичной функции между этими точками отрицательное. Таким образом, исходная функция не определена на отрезке [1; 2] .

Найти область определения функции самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 18. Найти область определения функции .

Пример 19. Найти область определения функции .

Область определения постоянной

Постоянная (константа) определена при любых действительных значениях x , следовательно, данная функция определена на всём множестве R действительных чисел. Это можно записать и так: областью определения данной функции является вся числовая прямая ]- ∞; + ∞[ .

Пример 20. Найти область определения функции y = 2 .

Решение. Область определения функции не указана, значит, в силу выше приведённого определения имеется в виду естественная область определения. Выражение f(x) = 2 определено при любых действительных значениях x , следовательно, данная функция определена на всём множестве R действительных чисел.

Поэтому на чертеже сверху числовая прямая заштрихована на всём протяжении от минус бесконечности до плюс бесконечности.

Область определения линейной функции

Если функция задана формулой вида y = kx + b , то область определения функции — множество R действительных чисел.

График функции с переменной в знаменателе

График функции с переменной в знаменателе — следующая группа заданий из номера 23 ОГЭ по математике.

Исследование любой функции начинается с нахождения её области определения.

Дробь имеет смысл, если знаменатель отличен от нуля. Следовательно, те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль, не входят в область определения функции.

В этом случае возможно появление на графике выколотых точек.

Рассмотрим примеры построения графиков функций, содержащих переменную в знаменателе дроби.

1) Постройте график функции

и определите, при каких значениях k прямая y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

ВАЖНО: прежде чем сократить дробь, следует найти область определения функции!

Дробь имеет смысл, если знаменатель отличен от нуля:

Область определения функции D(y): x∈(-∞;0)∪(0;8/5)∪(8/5;∞)

(или D(y): x∈R, кроме x=0 и x=8/5).

Теперь сократим дробь на 5x-8:

y=1/x — функция обратной пропорциональности. Её график — гипербола. Не забываем про выколотую точку: x≠8/5 (0 не входит в область определения функции y=1/x).

Для построения гиперболы возьмём несколько точек (в том числе, выколотую):

Отмечаем эти точки на координатной плоскости.

Строим гиперболу с выколотой точкой (8/5; 5/8):

Прямая y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку, если она проходит через выколотую точку:

Чтобы найти k, подставляем координаты выколотой точки

в формулу y=kx и находим k:

2) Постройте график функции

и определите, при каких значениях m прямая y=m не имеет с графиком общих точек.

В знаменателе вынесем за скобки общий множитель

(Не забываем: сначала следует найти область определения функции, и лишь после этого упрощать выражение!)

Ищем область определения функции.

Сокращаем дробь на x+5:

— функция обратной пропорциональности. График — гипербола, полученная из гиперболы

Сначала найдём несколько точек для построения графика y=-1/x:

Отметим эти точки на координатной плоскости. Затем каждую из них перенесем на 3 единицы вверх вдоль оси ординат.

Прямая y=0 (ось абсцисс) для гиперболы y=-1/x является асимптотой (то есть прямой, к которой график стремится, но никогда её не достигнет). Асимптоты принято изображать пунктирными линиями. Так как y=0 совпадает с осью Ox, то она изображена сплошной линией. При параллельном переносе на 3 единицы вверх прямая y=0 переходит в прямую y=3. Прямая y=3 — асимптота, поэтому изображаем её пунктиром.

Через полученные точки проведём гиперболу y=3-1/x:

Прямая y=m не имеет с графиком ни одной общей точки, если она проходит через выколотую точку либо совпадает с асимптотой y=3, то есть при m=3,2 и m=3:

3) Постройте график функции

и определите, при каких значениях k прямая y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Найдём область определения функции.

и сократим её на (x+1):

y=-x²-4 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вниз (так как a=-1

имеет одно решение.

Приравниваем правые части равенств:

Это квадратное уравнение имеет один корень в двух случаях: либо дискриминант равен нулю, либо дискриминант положителен, но один из корней равен -1.

k²-16=0 при k=4 или k=-4.

Если x=-1, подставив это значение в уравнение, найдём k:

4) Постройте график функции

и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Формула функции содержит три квадратных трёхчлена. Чтобы разложить каждый из них на множители, решим три квадратных уравнения и воспользуемся теоремой о разложении квадратного трёхчлена на множители.

Ищем область определения функции.

Сокращаем дробь на (x+1)(x+3):

-квадратичная функция. График — парабола ветвями вверх (так как a=1>0).

Координаты вершины параболы

От вершины — точки (1,5; -0,25) — строим параболу y=x². Поскольку координаты вершины — не целые числа, для построения графика удобно найти дополнительные точки с целыми координатами.

При y=0 (x — 1)(x — 2)=0,

Находим координаты выколотых точек

Прямая y=m имеет с графиком ровно одну общую точку, если она проходит через одну из выколотых точек либо через вершину, то есть при m=2, m=6 и m=-0,25.