Умножение натуральных чисел
- Множимое, множитель и произведение
- Проверка умножения
Умножение — это арифметическое действие, с помощью которого находят сумму одинаковых слагаемых.
Пример. Во дворе посадили 3 ряда ёлок, по 4 ёлки в каждом ряду. Сколько ёлок посадили во дворе?
Чтобы ответить на этот вопрос, надо найти сумму 3 слагаемых, каждое из которых равно 4.
4 + 4 + 4 = 12.
Складывая 3 раза по 4 ёлки, мы получим общее количество ёлок во всех трёх рядах.
Умножить – значит повторить одно число слагаемым столько раз, сколько в другом содержится единиц.
Для записи умножения используется знак х
(косой крест) или ·
(точка), который ставится между числами. Например:
4 х 3 или 4 · 3
Эта запись означает, что 4 надо умножить на 3. Справа от записи умножения ставится знак =
(равно), после которого записывается полученный результат:
4 · 3 = 12.
Умножение – это краткая запись сложения одинаковых слагаемых.
Пример. Умножить 6 на 5 — это значит найти сумму пяти слагаемых, каждое из которых равно шести:
6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 30.
Сократим запись, заменив сложение на умножение:
6 · 5 = 30.
Оба выражения равны:
6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 6 · 5 = 30,
но для краткости записей лучше всегда использовать умножение, когда число одинаковых слагаемых больше двух.
Множимое, множитель и произведение
Множимое — это число, которое умножают. Множитель — это число, на которое умножают. Например, в записи:
4 · 3,
4 — это множимое, 3 — множитель. Множимое является числом, которое выступает в качестве слагаемого. Множитель — это число, которое указывает количество одинаковых слагаемых.
Произведение — это число, которое получается в результате умножения. Например, в записи:
4 · 3 = 12,
12 — это произведение. При этом сама запись 4 · 3 тоже называется произведением.
Эту запись можно прочитать так: произведение четырёх и трёх равно двенадцати
, четыре умножить на три равно двенадцати
, по четыре взять три раза, получится двенадцать
.
Множимое и множитель иначе называются множителями или сомножителями.
Проверка умножения
Рассмотрим выражение:
4 · 3 = 12,
где 4 — это множимое, 3 — это множитель, а 12 — произведение. Чтобы узнать правильно ли было выполнено умножение, можно:
- Разделить произведение на множитель, если получится число, равное множимому, то умножение было выполнено верно:
12 : 3 = 4.
- Разделить произведение на множимое, если получится число, равное множителю, то умножение выполнено верно:
12 : 4 = 3.
Умножение двух чисел можно проверить делением, для этого произведение делят на один из сомножителей, если частное окажется равно другому сомножителю, то умножение выполнено верно.
Умножение. Как объяснить ребёнку?
Умножение. Как объяснить ребёнку? Просто!
Умножение — это то же самое сложение. Только упрощённое. Не верите? Ну, как же! Смотрите сами…
2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2=???
Это же пока сосчитаешь, сколько тут двоек, да сложишь все по очереди! Тут и пенсия как раз настанет!
А умножать просто:
2 х 12 = 24 и всё!
И для облегчения счёта создана таблица умножения. Один раз выучил — всю жизнь пользуешься. Очень удобно!
Сначала дети учатся умножать и запоминают, как называются числа при умножении.
Кажется, всё просто. Аналогично сложению. Там были слагаемые и сумма, тут множители и произведение.
Странные исправления в задачах
Засада начинается позже, когда начинаются задачи. Все помнят эти фотографии из родительских чатов с вопросами: За что? И почему так?
На фото было что-то типа такого:
В чём же дело?
Ведь всем же ясно, что 3х2, что 2х3 — получится одинаковое число. За что издеваются над нашими детьми?
Всё дело в логике.
Если пишем 3 х 2, то по условию задачи получаем: три раза мальчик нарисовал по 2 кораблика.
Если пишем 2 х 3, то получаем: по 2 кораблика мальчик нарисовал три раза.
Ну и что? Хрен редьки не слаще! Что в лоб, что по лбу! Разница-то в чём?
Тем более, что в старших классах дети всё равно будут учить переместительный закон умножения: от перемены мест множителей сумма не меняется.
Вот раньше таких проблем не было!
Действительно, не было!
А дело всё в том, что числа при умножении назывались иначе. Вернее, одно число называлось иначе и всё становилось на свои места!
И никто не путался. Сразу же ясно:
- Множимое — число, которое берут для умножения.
- Множитель — число, показывает сколько сколько раз умножили взятое число.
- Произведение — то, что получилось.
И — нет путаницы.
И задача сразу иначе звучит. Решать ее надо иначе.
Сразу следует подумать, о чём идёт речь в задаче?
О корабликах! Сколько было корабликов? Два. Два — это множимое!
Во сколько раз больше Вася нарисовал корабликов? В три! Три — это множитель!
Отсюда: верная запись: 2 х 3 = 6 (и никак иначе!)
А как же может звучать вопрос при умножении?
- Сколько будет 2 умножить на 3?
- Чему равно произведение чисел 2 и 3?
- Умножь 2 на 3!
- Перемножь числа 2 и 3!
- Два умножили на три. Сколько стало?
- Два увеличили в три раза. Сколько получилось?
- Два увеличили втрое. Назови полученное число.
- Если трижды взять два, сколько получится?
- Трижды по два будет…
- Первый множитель 2, второй — 3, чему равно произведение?
- Найди произведение чисел два и три.
- Произведение 6, первый множитель 2, чему равен второй множитель?
- Множимое 2, множитель 3. Найди произведение.
- Назови число, которое втрое больше, чем 2.
- При умножении какого числа на 2 получается шесть?
А теперь давайте тренироваться!
Тест на умножение. Если Вы его не видите, значит его блокирует какая-то программа, установленная на Вашем компьютере. Обычно, блокировщик рекламы.
ТЕСТ
Тэги: математика, начальная школа, умножение
ВИДЕО УРОК
Здесь мы рассмотрим
более подробно действие умножение, а
также законы умножения и умножение многозначных чисел в столбик.
Умножением называется действие, состоящее в
нахождении суммы одинаковых слагаемых.
ПРИМЕР:
Если число 5 нужно повторить слагаемым 7 раз, то пишут
5 × 7
= 35,
и говорят, что нужно 5 умножить на 7:
5 + 5 + 5 + 5 + 5 +
5 + 5
= 5 × 7.
Можно сказать
иначе: умножить одно число на другое – это значит повторить первое число
слагаемых столько раз, сколько единиц во втором числе. Число, которое является
слагаемым, называется множимым; число, которое указывает,
сколько таких одинаковых слагаемых, называется множителем. Результат действия, т. е. число,
полученное при умножении, называется произведением. Множимое
и множитель иногда называют одним словом сомножители.
Так, в нашем
примере, 5 – множимое, 7 –
множитель, 35 –
произведение.
Знак умножения (×) ставится между множимым и множителем. В качестве
знака умножения часто употребляется точка
(∙).
Перед буквенными сомножителями знак умножения не ставится.
– если один из двух сомножителей равен единице, то
произведение равно второму сомножителю.
ПРИМЕР:
1 × 5 = 5.
– если хоть один сомножитель равен нулю, то и
произведение равно нулю.
ПРИМЕР:
0 × 324 = 0.
ЗАКОНЫ УМНОЖЕНИЯ
Переместительный закон.
От перемены мест сомножителей произведение не
изменяется.
Сочетательный закон.
Произведение не изменится, если какую-нибудь группу
рядом стоящих сомножителей мы заменим их произведением.
Распределительный закон.
Произведение суммы (разности) нескольких чисел на
какое-нибудь число равно сумме (разности) произведений каждого слагаемого на
это число.
Чтобы умножить
натуральное число на 10, 100, 1000 и так далее, надо
приписать справа к этому числу один, два, три и так далее нулей.
ПРИМЕР:
Умножим 236 на 4. Мы можем представить 236 как сумму трёх слагаемых (200
30 + 6) и, пользуясь
распределительным законом, умножить отдельно сотни, десятки и единицы на 4 и полученные
произведения сложить:
(200 + 30 + 6) × 4 =
200 × 4 + 30 × 4 + 6
× 4
= 800 + 120 + 24 =
944.
ПРИМЕР:
Умножим 618 на 325. Здесь
множитель – трёхзначное число. Поэтому, сначала мы умножили множимое на единицы
множителя (618 × 5) и получили первое промежуточное произведение 3090; потом умножили множимое на десятки
множителя (618 × 2),
получили второе промежуточное произведение 1236 и начали
подписывать его под десятками первого; затем умножили множимое на сотни
множителя (618 × 3),
получили третье промежуточное произведение 1854 и начали
подписывать его под сотнями первого.
Наконец мы сложили три промежуточных произведения и нашли общее произведение
– 20085.
ПРИМЕР:
Умножим 642 на 305. Особенностью
этого случая является следующее: число 305, являющееся множителем, имеет нуль на месте десятков. На
этот нуль мы тоже умножали множимое 642
и получили второе
промежуточное произведение, равное нулю (нули можно не
писать).
При умножении
натуральных чисел, оканчивающихся нулями, надо:
– выполнить умножение. не обращая внимания на нули в
конце чисел;
– к полученному произведению приписать справа столько
нулей, сколько их во всех множителях вместе.
Изменение произведения.
Если один сомножитель увеличить в несколько раз, то и
произведение увеличится во столько же раз.
Если аb = с,
то (am)b = cm.
ПРИМЕР:
5 × 6 = 30,
(5 × 4) × 6 =
30 × 4.
Проверка умножения.
Умножение можно
проверить умножением; для этого следует переставить сомножители и снова их
перемножить или: чтобы найти неизвестный сомножитель, достаточно разделить
произведение двух сомножителей на известный сомножитель.
Для любознательных.
СПОСОБЫ БЫСТРОГО УМНОЖЕНИЯ
Давайте рассмотрим,
как можно умножать двузначные числа, используя традиционные методы, которым нас
обучают в школе. Некоторые из этих методов, могут позволить вам быстро
перемножать в уме двузначные числа при достаточной тренировке. Знать эти методы
полезно.
Умножение чисел до 20.
ПРИМЕР:
Перемножим 16 и
18.
1 шаг. К
одному из чисел прибавляем кол-во единиц второго:
16 + 8 = 24.
2 шаг. Полученное
число умножаем на 10;
24 × 10
= 240.
3 шаг. Далее
к результату прибавляем произведение единиц
16 и 18:
240
+ 6 × 8 = 288.
Методика умножения
чисел до 20 очень проста.
Если записать короче, то:
16 × 18
=
(16 + 
× 10
+ 6 × 8
= 288.
Доказать
правильность этого метода просто:
16 × 18
= (10 + 6) × (10 + =
10 × 10
+ 10 × 6 + 10 × 8 + 6 × 8 =
10 × (10 + 6 +
+ 6 × 8.
Последнее выражение
и является демонстрацией описанного выше метода.
По сути, этот метод
является частным способом использования опорных чисел. В данном случае опорным
числом является 10. В последнем выражении доказательства видно, что именно
на 10 мы умножаем
скобку. Но в качестве опорного числа можно использовать и любые другие числа,
из которых наиболее удобными являются 20, 25, 50, 100…
.
Опорное число.
ПРИМЕР:
Умножим 15 на 18.
Здесь удобно использовать опорное число 10.
15 больше
десяти на 5, а 18 больше
десяти на 8. Для того, чтобы
узнать их произведение, нужно совершить следующие операции:
1. К любому из множителей прибавить число, на
которое второй множитель больше опорного. То есть прибавить 8 к 15, или
5 к 18. В первом и втором случае получается одно и
то же: 23.
2. Затем 23 умножаем
на опорное число, то есть на 10.
Ответ: 230.
3. К 230 прибавляем
произведение 5 × 8.
Ответ: 270.
Раскладка на десятки и единицы.
Самым простым для
понимания способом умножения двузначных чисел является тот, которому нас
научили в школе. Он заключается в разбиении обоих множителей на десятки и
единицы с последующим перемножением получившихся четырех чисел. Этот метод
достаточно прост, но требует умения удерживать в памяти одновременно до трех
чисел и при этом параллельно производить арифметические действия.
ПРИМЕР:
63 × 85
=
(60 + 3) ×
(80 + 5) =
60 × 80
+ 60 × 5 +3 × 80 + 3 ×
5
= 4800 + 300 + 240 + 15 = 5355.
Проще такие примеры
решаются в 3 действия. Сначала умножаются десятки друг на друга. Потом
складываются 2 произведения единиц на десятки. Затем прибавляется произведение
единиц. Схематично это можно описать так:
Первое действие:
60 × 80 =
4800 –
запоминаем
Второе действие:
60 × 5 + 3 × 80 =
540 –
запоминаем
Третье действие:
(4800 + 540) + 3 × 5 =
5355 –
ответ
Для максимально
быстрого эффекта потребуется хорошее знание таблицы умножения чисел до 10,
умение складывать числа (до трехзначных), а также способность быстро
переключать внимание с одного действия на другое, держа предыдущий результат в
уме. Последний навык удобно тренировать путем визуализации совершаемых
арифметических операций, когда вы должны представлять себе картинку вашего
решения, а также промежуточные результаты.
Вывод. Не трудно
убедиться в том, что этот способ не является самым эффективным, то есть
позволяющим при наименьших действиях получить правильный результат. Следует
принять во внимание другие способы.
Для получения
единиц произведения перемножают единицы сомножителей, для получения десятков
умножаются десятки одного на единицы другого сомножителя и наоборот и
результаты складываются, для получения сотен перемножаются десятки.
Этот способ
умножения следует из тождества:
(10a + b)(10c + d)
= 100ac + 10(ad + bc) + bd.
ПРИМЕР:
Умножение на число, близкое к
единице какого-нибудь разряда.
ПРИМЕР:
405 × 97 = 405 × (100 – 3)
= 405 × 100 – 405 × 3 =
40500 – 1215 =
39285;
8012 × 1006 =
8012 × (1000 + 6) =
8012000 + 8012 × 6 =
8012000 + 48072 = 8060072.
Арифметические подгонки.
Приведение примера
к удобному виду является достаточно распространенным способом счета в уме.
Подгонять пример удобно, когда вам нужно быстро найти примерный или точный
ответ. Желание подгонять примеры под определенные математические закономерности
часто воспитывается на математических кафедрах в университетах или в школах в
классах с математическим уклоном. Людей учат находить простые и удобные
алгоритмы решения различных задач. Вот некоторые примеры подгонки:
ПРИМЕР:
Умножить: 49 × 49
может решаться так:
Сначала считается 49 на сто – 4900.
Затем 4900 делится на 2, что равняется 2450,
затем вычитается 49.
Итого 2401.
ПРИМЕР:
Произведение 56
× 92 решается так:
56 × 100
– 56 × 2 × 2 × 2.
Получается:
56 × 2 =
112 × 2 = 224 × 2 = 448.
Из 5600 вычитаем 448,
получаем 5152.
Этот способ может
оказаться эффективнее предыдущего только в случае, если вы владеете устным
счетом на базе перемножения двузначных чисел на однозначные и можете держать в
уме одновременно несколько результатов.
Вывод. Способ,
когда вы стараетесь умножить 2 числа, раскладывая их на более простые
арифметические процедуры отлично тренирует ваши мозги, но связан с большими
мысленными затратами, а риск получить неправильный результат выше, чем при
первом методе.
Мысленная визуализация
умножения в столбик.
Счет столбиком
содержит максимальное количество действий и требует постоянно держать в уме
вспомогательные числа. Но его можно упростить.
ПРИМЕР:
56 × 67 – посчитаем в
столбик.
Первое действие:
56 × 7
= 350 + 42 =
392 – запомните и не забывайте до третьего действия.
Второе действие:
56 × 6
= 300 + 36 = 336
(ну или
392 – 56).
Третье действие:
336 × 10
+ 392 =
3360 + 392 = 3752
тут посложнее, но вы можете начинать называть первое
число, в котором уверены – «три тысячи…», а пока говорите, складывайте
360 и 392.
Вывод: счет в
столбик напрямую сложен, но вы можете, при наличии навыка быстрого умножения
двузначных чисел на однозначные, его упросить.
Как можно заметить,
ни один из описанных выше способов не позволяет считать в уме достаточно быстро
и точно все примеры умножения двузначных чисел. Нужно понимать, что
использование традиционных способов умножения для счета в уме не всегда
является рациональным, то есть позволяющим при наименьших усилиях достигать
максимального результата.
Умножение на 9, 99 и 999.
Чтобы умножить на число, написанное девятками, надо к
множимому приписать справа столько нулей, сколько девяток во множителе, и из
результата вычесть множимое.
ПРИМЕР:
387 × 9 = 3780 –
387 = 3483;
24 × 99 = 2400 –
24 = 2376;
18 × 999 =
18000 – 18 = 17982.
Умножение двузначного числа
на 11.
Чтобы умножить двузначное число, сумма цифр которого
меньше 10,
на 11,
надо между цифрами числа написать сумму его цифр.
ПРИМЕР:
72 × 11 =
7 × (7 + 2) × 8 = 792.
Чтобы умножить на
11 двузначное число, сумма цифр которого больше
или равна 10,
надо между цифрой десятков, увеличенной на
1,
и цифрой единиц написать избыток суммы цифр числа на 10.
ПРИМЕР:
68 × 11 =
6 × (6 + × 8 = 748.
Что такое умножение?
Умножение является арифметическим действием, в котором принимают участие два аргумента — множитель и сомножитель. В некоторых случаях первый аргумент принято называть множимым, а второй — множителем. Число, которое получается в результате умножения, называется произведением.
Впервые в истории умножение для натуральных чисел было определено, как многократное сложение. Чтобы умножить число а на число b, необходимо сложить b чисел a.
a × b= а + а + …+ а (b раз)
Позже умножение разделилось на рациональное, целое, вещественное, комплексное и некоторые другие виды чисел, согласно систематическому обобщению.
Сегодня в математике умножение имеет конкретный смысл, различные свойства и определения для разных математических объектов, а не только для определения чисел.
Умножение чисел между собой — это конкретная коммутативная операция, другими словами — это определенный порядок записи множителей-чисел, который никак не влияет на сам результат умножения.
Например, при умножении цифр 5 и 3 запись может выглядеть, как 3 × 5, так и 5 × 3 (произносится, как трижды пять и пятью три). В том и другом случае результатом вычисления будет являться число 15.
Давайте проверим эти действия через сложение:
5 + 5 + 5 = 15
3 + 3 + 3 + 3 = 15
Умножение матриц, векторов, кватернионов, множеств и т. д (т. е, нечисловых математических, физических и абстрактных величин) не всегда может являться коммутативной операцией. И здесь, при умножении физических величин будет важную роль играть их размерность.
В задачу общей алгебры, в частности теории колец и групп, всегда входит изучение общих свойств операции.
Что такое произведение в математике?
Произведением называется результат умножения. Умножаемые числа называются множителями и сомножителями. А под умножением подразумевается краткая запись суммы одинаковых слагаемых.
Например:
Когда мы видим значение 5 × 3, то имеется в виду, что нужно 5 сложить между собой три раза, другими словами, это обычная краткая запись для 5 + 5 + 5.
Запись произведения
Умножение может обозначаться крестиком «×», точкой «·» и звездочкой «*»:
5 × 3
5 * 3
5 · 3
Все обозначения одинаковы по своей сути и говорят об одном и том же действии.
Но иногда знак умножения в виде точки могут намеренно пропускать, если умножение идёт не на число, а на буквенную переменную и постоянную.
Например, вместо 5 × x обычно пишут 5х.
Если в действии есть несколько сомножителей, то вместо них можно поставить многоточие. Допустим, произведение целых чисел от 1 до 100 будет выглядеть таким образом:
1 × 2 × 3 × 4 ×…× 97 × 98 × 99 × 100
Что такое множимое?
В математических действиях множимое является первым числом или величиной, которое умножается на множитель.
Что такое множитель?
Множителем называется то число, которое показывает сколько раз следует повторять слагаемым какое-то другое число (множимое), чтобы получилось произведение.
Свойства умножения
В умножении существуют разные свойства: переместительное, сочетательное и распределительное.
По переместительному свойству: от перестановки разных множителей произведение остается неизменным.
Например: 5 × 2 = 10 и 2 × 5 = 10.
Соответственно, 5 × 2 = 2 × 5.
По сочетательному свойству: два соседних множителя можно заменить произведением.
Например: (3 × 2) × 5 = 3 × (2 × 5).
По распределительному свойству при умножении суммы на число можно умножать на него в отдельности каждое слагаемое, и потом складывать полученные результаты.
Например: (5 + 10) × 6 = 5 × 6 + 10 × 6 = 90.
Другие свойства
Чтобы умножить сумму на какое-то число, сначала необходимо выполнить сложение, а потом полученный результат умножить на число.
Например: (4 + 9) × 5 = 13 × 5 = 65.
Чтобы умножить число на произведение, нужно сначала сделать умножение в скобках, а затем умножить на полученный результат.
Например: 2 × (5 × 3) = 2 × 15 = 30.
Чтобы умножить число на сумму, сначала необходимо выполнить сложение, а потом умножить число на результат, который получился.
Например: 6 × (2 + 4) = 6 × 6 = 36.
Если при умножении хотя бы один множитель будет равным нулю, то и само произведение также будет равно нулю.
Например, для любых чисел a, b, c будет верным такое равенство: 0 × a × b × c = 0.
Таким образом, при умножении любого числа на 0, мы будем брать это число 0 раз, т. е, мы не будем брать его не разу, а значит, в результате ничего и не получится.
В случае, когда мы умножаем ноль на любое число, мы будем находить сумму нулей, но она, как известно, равна 0.
При умножении любого целого числа на единицу в результате всегда получится то же самое число. Другими словами, при умножении на единицу умножаемое число никогда не изменяется.
Например: а × 1 = а.
Если в произведении двух чисел один из сомножителей будет единицей, то произведение будет равным второму сомножителю:
a × 1 = 1 × a = a.
Так как при умножении любого числа на единицу это число берется только один раз, то в результате можно получить только это же число.
А если мы умножаем единицу на любое число, например, 1 × 9, то мы будем находить сумму девяти единиц, другими словами, то количество единиц, из которых и состоит данное число.
Поэтому сумма этих единиц будет равна данному числу:
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 9.
Умножение многозначного числа на однозначное
Чтобы умножить многозначное на однозначное число, необходимо умножить это однозначное число на количество единиц в разряде многозначного числа, после чего все полученные результаты сложить.
Например, нам следует умножить: 985 × 4.
Мы будем складывать число 985 четыре раза: 985 + 985 + 985 + 985.
Нам нужно каждое из слагаемых 985 представить в виде суммы его разрядных слагаемых: 900 + 85 + 5.
Само выражение будет выглядеть следующим образом:
900 + 80 + 5 + 900 + 80 + 5 + 900 + 80 + 5 + 900 + 80 +5.
Умножить одно целое число на другое значит повторить одно число столько раз, сколько в другом содержится единиц. Повторить число значит взять его слагаемым несколько раз и определить сумму.
Определение умножения
Умножение целых чисел есть такое действие, в котором нужно взять одно число слагаемым столько раз, сколько в другом содержится единиц, и найти сумму этих слагаемых.
Умножить 7 на 3 значит взять число 7 слагаемым три раза и найти сумму. Искомая сумма есть 21.
Умножение есть сложение равных слагаемых.
Данные в умножении называются множимым и множителем, а искомое — произведением.
В предложенном примере данными будут множимое 7, множитель 3, а искомым произведением 21.
Множимое. Множимое есть то число, которое умножается или повторяется слагаемым. Множимое выражает величину равных слагаемых.
Множитель. Множитель показывает, сколько раз множимое повторяется слагаемым. Множитель показывает число равных слагаемых.
Произведение. Произведение есть число, которое получается от умножения. Оно есть сумма равных слагаемых.
Множимое и множитель вместе называются производителями.
При умножении целых чисел одно число увеличивается во столько раз, сколько в другом содержится единиц.
Знак умножения. Действие умножения обозначают знаком × (косвенным крестом) или . (точкой). Знак умножения ставится между множимым и множителем.
Повторить число 7 три раза слагаемым и найти сумму значит 7 умножить на 3. Вместо того, чтобы писать
7 + 7 + 7
пишут при помощи знака умножения короче:
7 × 3 или 7 · 3
Умножение есть сокращенное сложение равных слагаемых.
Знак (×) был введен Отредом (1631 г.), а знак . Христианом Вольфом (1752 г.).
Связь между данными и искомым числом выражается в умножении
письменно:
7 × 3 = 21 или 7 · 3 = 21
словесно:
семь, умноженное на три, составляет 21.
Чтобы составить произведение 21, нужно 7 повторить три раза
21 = 7 + 7 + 7
Чтобы составить множитель 3, нужно единицу повторить три раза
3 = 1 + 1 + 1
Отсюда имеем другое определение умножения: Умножение есть такое действие, в котором произведение точно так же составляется из множимого, как множитель составлен из единицы.
Основное свойство произведения
Произведение не изменяется от перемены порядка производителей.
Доказательство. Умножить 7 на 3 значит 7 повторить три раза. Заменив 7 суммою 7 единиц и вложив их в вертикальном порядке, имеем:
Таким образом, при умножении двух чисел мы можем считать множителем любой из двух производителей. На этом основании производители называются сомножителями или просто множителями.
Самый общий прием умножения состоит в сложении равных слагаемых; но, если производители велики, этот прием приводит к длинным вычислениям, поэтому самое вычисление располагают иначе.
Умножение однозначных чисел. Таблица Пифагора
Чтобы умножить два однозначных числа, нужно повторить одно число слагаемым столько раз, сколько в другом содержится единиц, и найти их сумму. Так как умножение целых чисел приводится к умножению однозначных чисел, то составляют таблицу произведений всех однозначных чисел попарно. Такая таблица всех произведений однозначных чисел попарно называется таблицей умножения.
Таблица Пифагора. Изобретение ее приписывают греческому философу Пифагору, по имени которого ее называют таблицей Пифагора. (Пифагор родился около 569 года до н. э.).
Чтобы составить эту таблицу, нужно написать первые 9 чисел в горизонтальный ряд:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Затем под этой строкой надо подписать ряд чисел, выражающих произведение этих чисел на 2. Этот ряд чисел получится, когда в первой строке сложим каждое число само с собою. От второй строки чисел последовательно переходим к 3, 4 и т. д. Каждая последующая строка получается из предыдущей через прибавление к ней чисел первой строки.
Продолжая так поступать до 9 строки, мы получим таблицу Пифагора в следующем виде
Чтобы по этой таблице найти произведение двух однозначных чисел, нужно отыскать одного производителя в первой горизонтальной строке, а другого в первом вертикальном столбце; тогда искомое произведение будет на пересечении соответствующих столбца и строки. Таким образом, произведение 6 × 7 = 42 находится на пересечении 6-й строки и 7-го столбца. Произведение нуля на число и числа на нуль всегда дает нуль.
Так как произведение числа на 1 дает само число и перемена порядка множителей не изменяет произведения, то все различные произведения двух однозначных чисел, на которые следует обратить внимание, заключаются в следующей таблице:
Произведения однозначных чисел, не содержащиеся в этой таблице, получаются по данным, если только изменить в них порядок множителе; таким образом, 9 × 4 = 4 × 9 = 36.
Умножение многозначного числа на однозначное
Умножение числа 8094 на 3 обозначают тем, что подписывают множитель под множимым, ставят слева знак умножения и проводят черту с тем, чтобы отделить произведение.
Умножить многозначное число 8094 на 3 значит найти сумму трех равных слагаемых
следовательно, для умножения нужно все порядки многозначного числа повторить три раза, то есть умножить на 3 единицы, десятки, сотни, и т. п. Сложение начинают с единицы, следовательно, и умножение нужно начинать с единицы, а затем переходят от правой руки к левой к единицам высшего порядка.
При этом ход вычислений выражают словесно:
-
Начинаем умножение с единиц: 3 × 4 составляют 12, подписываем под единицами 2, а единицу (1 десяток) прикладываем к произведению следующего порядка на множитель (или запоминаем ее в уме).
-
Умножаем десятки: 3 × 9 составляет 27, да 1 в уме составят 28; подписываем под десятками 8 и 2 в уме.
-
Умножаем сотни: Нуль, умноженный на 3, дает нуль, да 2 в уме составит 2, подписываем под сотнями 2.
-
Умножаем тысячи: 3 × 8 = 24, подписываем вполне 24, ибо не имеем следующих порядков.
Это действие выразится письменно:
Из предыдущего примера выводим следующее правило. Чтобы умножить многозначное число на однозначное, нужно:
-
Подписать множитель под единицами множимого, поставить слева знак умножения и провести черту.
-
Умножение начинать с простых единиц, затем, переходя от правой руки к левой, последовательно умножают десятки, сотни, тысячи и т. д.
-
Если при умножении произведение выражается однозначным числом, то его подписывают под умножаемой цифрой множимого.
-
Если же произведение выражается двухзначным числом, то цифру единиц подписывают под тем же столбцом, а цифру десятков прибавляют к произведению следующего порядка на множитель.
-
Умножение продолжается до тех пор, пока не получат полного произведения.
Умножение чисел на 10, 100, 1000 …
Умножить числа на 10 значит простые единицы превратить в десятки, десятки в сотни и т. д., то есть повысить порядок всех цифр на единицу. Этого достигают, прибавляя справа один нуль. Умножить на 100 значит повысить все порядки множимого двумя единицами, то есть превратить единицы в сотни, десятки в тысячи и т. д.
Этого достигают, приписывая к числу два нуля.
Отсюда заключаем:
Для умножения целого числа на 10, 100, 1000 и вообще на 1 с нулями нужно приписать справа столько нулей, сколько их находится во множителе.
Умножение числа 6035 на 1000 выразится письменно:
Когда множитель есть число, оканчивающееся нулями, подписывают под множимым только значащие цифры, а нули множителя приписывают справа.
Умножение на число с нулями в конце
Чтобы умножить 2039 на 300 нужно взять число 2029 слагаемым 300 раз. Взять 300 слагаемых все-равно, что взять три раза по 100 слагаемых или 100 раз по три слагаемых. Для этого умножаем число на 3, а потом на 100, или умножаем сначала на 3, а потом приписываем справа два нуля.
Ход вычисления выразится письменно:
Правило. Чтобы умножить одно число на другое, изображаемое цифрой с нулями, нужно сначала помножить множимое на число, выражаемое значащей цифрой, и затем приписать столько нулей, сколько их находится в множителе.
Умножение многозначного числа на многозначное
Чтобы умножить многозначное число 3029 на многозначное 429, или найти произведение 3029 * 429, нужно повторить 3029 слагаемым 429 раз и найти сумму. Повторить 3029 слагаемым 429 раз значит повторить его слагаемым сначала 9, потом 20 и, наконец, 400 раз. Следовательно, чтобы умножить 3029 на 429, нужно 3029 умножить сначала на 9, потом на 20 и, наконец, на 400 и найти сумму этих трех произведений.
Три произведения
называются частными произведениями.
Полное произведение 3029 × 429 равно сумме трех частных:
3029 × 429 = 3029 × 9 + 3029 × 20 + 3029 × 400.
Найдем величины этих трех частных произведений.
-
Умножая 3029 на 9, находим:
3029 × 9 27261 первое частное произведение
-
Умножая 3029 на 20, находим:
3029 × 20 60580 второе частное произведение
-
Умножая 3026 на 400, находим:
3029 × 400 1211600 третье частно произведение
Сложив эти частные произведения, получим произведение 3029 × 429:
Не трудно заметить, что все эти частные произведения есть произведения числа 3029 на однозначные числа 9, 2, 4, причем ко второму произведению, происходящему от умножения на десятки, приписывается один нуль, к третьему два нуля.
Нули, приписываемые к частным произведениям, опускают при умножении и ход вычисления выражают письменно:
В таком случае, при умножении на 2 (цифру десятков множителя) подписывают 8 под десятками, или отступают влево на одну цифру; при умножении на цифру сотен 4, подписывают 6 в третьем столбце, или отступают влево на 2 цифры. Вообще каждое частное произведение начинают подписывать от правой руки к левой под тем порядком, к которому принадлежит цифра множителя.
Отыскивая произведение 3247 на 209, имеем:
Здесь второе частное произведение начинаем подписывать под третьим столбцом, ибо оно выражает произведение 3247 на 2, третью цифру множителя.
Мы здесь опустили только два нуля, которые должны были явиться во втором частном произведении, как как оно выражает произведение числа на 2 сотни или на 200.
Из всего сказанного выводим правило. Чтобы умножить многозначное число на многозначное,
-
нужно множителя подписать под множимым так, чтобы цифры одинаковых порядков находились в одном вертикальном столбце, поставить слева знак умножения и провести черту.
-
Умножение начинают с простых единиц, затем переходят от правой руки к левой, умножают последовательное множимое на цифру десятков, сотен и т. д. и составляют столько частных произведений, сколько значащих цифр во множителе.
-
Единицы каждого частного произведения подписывают под тем столбцом, к которому принадлежит цифра множителя.
-
Все частные произведения, найденные таким образом, складывают вместе и получают в сумме произведение.
Чтобы умножить многозначное число на множитель, оканчивающейся нулями, нужно отбросить нули во множителе, умножить на оставшееся число и потом приписать к произведению столько нулей, сколько их находится во множителе.
Пример. Найти произведение 342 на 2700.
Если множимое и множитель оба оканчиваются нулями, при умножении отбрасывают их и затем к произведению приписывают столько нулей, сколько их содержится в обоих производителях.
Пример. Вычисляя произведение 2700 на 35000, умножаем 27 на 35
Приписывая к 945 пять нулей, получаем искомое произведение:
2700 × 35000 = 94500000.
Число цифр произведения. Число цифр произведения 3728 × 496 можно определить следующим образом. Это произведение более 3728 × 100 и меньше 3728 × 1000. Число цифр первого произведения 6 равно числу цифр в множимом 3728 и во множителе 496 без единицы. Число цифр второго произведения 7 равно числу цифр во множимом и во множителе. Данное произведение 3728 × 496 не может иметь цифр менее 6 (числа цифр произведения 3728 × 100, и более 7 (числа цифр произведения 3728 × 1000).
Откуда заключаем: число цифр всякого произведения или равно числу цифр во множимом и во множителе, или равно этому числу без единицы.
В нашем произведении может содержаться или 7 или 6 цифр.
Степени
Между различными произведениями заслуживают особого внимания такие, в которых производители равны. Так, например:
2 × 2 = 4, 3 × 3 = 9.
Квадраты. Произведение двух равных множителей называется квадратом числа.
В наших примерах 4 есть квадрат 2, 9 есть квадрат 3.
Кубы. Произведение трех равных множителей называется кубом числа.
Так, в примерах 2 × 2 × 2 = 8, 3 × 3 × 3 = 27, число 8 есть куб 2, 27 есть куб 3.
Вообще произведение нескольких равных множителей называется степенью числа. Степени получают свои названия от числа равных множителей.
Произведения двух равных множителей или квадраты называются вторыми степенями.
Произведения трех равных множителей или кубы называются третьими степенями, и т. д.