Как найти mod в математике

Время на прочтение
4 мин

Количество просмотров 230K

Приготовьтесь, вас ждёт крайне педантичная статья, которая вполне может спасти вас на собеседовании или сэкономить несколько часов при вылавливании бага в продакшне!

Я сейчас активно работаю над вторым сезоном «Руководства для самозванца» и пишу о шифре RSA для SSH, который, очевидно, является самым загружаемым фрагментом кода в истории IT.

Хочется полностью разобраться в этой истории. Кто придумал этот шифр, как он работает, почему работает и будет ли работать в будущем. Сейчас я раскопал одну чертовски интересную историю. Я не криптоманьяк и вижу, как других буквально засасывает в эту область. Но мне это тоже интересно, потому что повсюду есть маленькие норки, а меня как сороку привлекают блестящие штучки в глубоких норках. Я также очень хорош в метафорах.

В любом случае: на прошлой неделе я узнал что-то странное и хочу поделиться: оказывается, mod и остаток от деления — не одно и то же. Действительно забавно то, что некоторые читатели при этих словах выпрыгивают со своих кресел и орут: «А ведь именно это я всегда пытался сказать вам и всем остальным!»

Позовите ребят из секты «mod не остаток»! Это для вас.

Что такое mod?

Я должен был изучить это, как и в прошлый раз, когда всплыла такая тема. Это одна из тех вещей, которые ты знаешь, но не запоминаешь. Когда вы применяете mod, то делите одно число на другое и берёте остаток. Итак: 5 mod 2 будет 1, потому что 5/2=2 с остатком 1.

Термин mod означает операцию modulo, с модулем 2 в данном случае. Большинство языков программирования используют % для обозначения такой операции: 5 % 2 = 1.

Вот где мы попадаем в странную серую область.

Математика циферблата

Помню, как учил это в школе, а потом забыл. Существует тип математики, называемый «модульной арифметикой», которая имеет дело с циклическими структурами. Самый простой способ представить это — циферблат с циклом 12. Для математика циферблат — это mod 12. Если хотите понять, можно ли равномерно разделить 253 часа на дни, то можете применить операцию 253 mod 24, результатом будет 13, поэтому ответ «нет»! Мы можем ответить «да» только если результат 0.

Другой вопрос, который вы можете задать: «Если я выеду в 6 вечера, сколько времени будет по приезду через 16 часов?». Это будет 6 + 16 mod 12, то есть 10.

Криптографы любят mod, потому что при использовании с действительно большими числами можно создать нечто, известное как «односторонние функции». Это специальные функции, которые позволяют легко вычислить что-то в одном направлении, но не в обратном.

Если я скажу вам, что 9 является результатом возведения в квадрат, вы можете легко определить, что на входе было 3. Перед вами весь процесс от начала до конца. Если я скажу, что 9 является результатом mod 29, то будет сложнее понять, что на входе.

Криптографам нравится эта идея, потому что они могут использовать деление с остатком с гигантскими простыми числами для генерации криптографических ключей. Это совсем другая история: если хотите прочитать об этом, то можете купить книгу или, ещё лучше, поддержать мои усилия написать её.

Впрочем, не будем отклоняться от темы.

Остатки и математика циферблата

Теперь переходим к сути: modulo и простой остаток одинаковы, когда числа положительны, но отличаются в случае отрицательных чисел.

Рассмотрим такую задачу:

const x = 19 % 12;
console.log(x);

Каково значение x? Делим числа и получаем 7 как остаток от 12. Это верный ответ. Как насчет такого:

const y = 19 % -12;
console.log(y);

Используя обычную математику, мы можем умножить -12 на -1, что даёт 12, и у нас по-прежнему остаётся 7, поэтому наш ответ снова 7.

JavaScript с этим согласен:

C# тоже согласен:

Google согласен с первым утверждением, но не согласен со вторым:

Ruby согласен с Google:

Во имя Дейкстры, что здесь происходит?

Вращение часов назад

Чтобы ответить на вопрос, следует понять разницу между остатком и modulo. Программисты объединяют эти операции, но не должны этого делать, потому что они дают одинаковый результат только в случае, если делитель (в нашем случае 12) положителен. Вы можете легко отправить баги в продакшн, если делитель отрицательный.

Но почему существует разница? Рассмотрим положительный делитель 19 mod 12 на часах:

Конечный результат 7. Мы это знаем и мы можем доказать математически. Но что насчёт 19 mod -12? Здесь нужно использовать другие часы:

Модуль равен -12, и мы не можем игнорировать или изменить его, умножив на -1, поскольку модульная арифметика так не работает. Единственный способ правильно рассчитать результат — переставить метки на часах так, чтобы мы двигались от -12 или вращали часы против часовой стрелки, что даёт тот же результат.

Почему не начать метки с -1, двигаясь к -2, и т.д.? Потому что в таком случае мы будем двигаться назад и постоянно уменьшать результат, пока не достигнем -12, и в этот момент сделаем прыжок +12, а modulo так не работает.

Это известная вещь

Прежде чем назвать меня сумасшедшим и начать гуглить тему: это известный факт. На самом деле MDN (Mozilla Developer Network) даже дошла до того, чтобы назвать % операцией «остатка» (remainder), а не modulo:

Оператор remainder возвращает остаток от деления одного операнда на другой. Он всегда принимает знак делимого.

Вот что Эрик Липперт, один из богов C#, говорит о modulo в C#:

Однако это совсем не то, что оператор % реально делает в C#. Оператор % не является каноническим оператором modulus, это оператор остатка.

А как на вашем языке?

Ну и что?

Могу понять, если вы дочитали досюда, а теперь чешете голову и задаётесь вопросом, стоит ли беспокоиться. Думаю, что стоит по двум причинам:

1. Я представляю, как этот вопрос займёт меня врасплох на собеседовании.
2. Я представляю, как этот попадёт в продакшн, а разработчики будут несколько часов выяснять, почему математика не работает.

Это также забавный факт на случай, если рядом появится ваш педантичный друг-программист.

From Wikipedia, the free encyclopedia

In computing, the modulo operation returns the remainder or signed remainder of a division, after one number is divided by another (called the modulus of the operation).

Given two positive numbers a and n, a modulo n (often abbreviated as a mod n) is the remainder of the Euclidean division of a by n, where a is the dividend and n is the divisor.^[1]

For example, the expression «5 mod 2» would evaluate to 1, because 5 divided by 2 has a quotient of 2 and a remainder of 1, while «9 mod 3» would evaluate to 0, because 9 divided by 3 has a quotient of 3 and a remainder of 0; there is nothing to subtract from 9 after multiplying 3 times 3.

Although typically performed with a and n both being integers, many computing systems now allow other types of numeric operands. The range of values for an integer modulo operation of n is 0 to n − 1 inclusive (a mod 1 is always 0; a mod 0 is undefined, possibly resulting in a division by zero error in some programming languages). See Modular arithmetic for an older and related convention applied in number theory.

When exactly one of a or n is negative, the naive definition breaks down, and programming languages differ in how these values are defined.

Variants of the definition[edit]

In mathematics, the result of the modulo operation is an equivalence class, and any member of the class may be chosen as representative; however, the usual representative is the least positive residue, the smallest non-negative integer that belongs to that class (i.e., the remainder of the Euclidean division).^[2] However, other conventions are possible. Computers and calculators have various ways of storing and representing numbers; thus their definition of the modulo operation depends on the programming language or the underlying hardware.

In nearly all computing systems, the quotient q and the remainder r of a divided by n satisfy the following conditions:

(1)

However, this still leaves a sign ambiguity if the remainder is non-zero: two possible choices for the remainder occur, one negative and the other positive, and two possible choices for the quotient occur. In number theory, the positive remainder is always chosen, but in computing, programming languages choose depending on the language and the signs of a or n.^[a] Standard Pascal and ALGOL 68, for example, give a positive remainder (or 0) even for negative divisors, and some programming languages, such as C90, leave it to the implementation when either of n or a is negative (see the table under § In programming languages for details). a modulo 0 is undefined in most systems, although some do define it as a.

As described by Leijen,

Boute argues that Euclidean division is superior to the other ones in terms of regularity and useful mathematical properties, although floored division, promoted by Knuth, is also a good definition. Despite its widespread use, truncated division is shown to be inferior to the other definitions.

— Daan Leijen, Division and Modulus for Computer Scientists^[5]

However, truncated division satisfies the identity .^[6]

Notation[edit]

This section is about the binary mod operation. For the (mod m) notation, see congruence relation.

Some calculators have a mod() function button, and many programming languages have a similar function, expressed as mod(a, n), for example. Some also support expressions that use «%», «mod», or «Mod» as a modulo or remainder operator, such as a % n or a mod n.

For environments lacking a similar function, any of the three definitions above can be used.

Common pitfalls[edit]

When the result of a modulo operation has the sign of the dividend (truncated definition), it can lead to surprising mistakes.

For example, to test if an integer is odd, one might be inclined to test if the remainder by 2 is equal to 1:

bool is_odd(int n) {
    return n % 2 == 1;
}

But in a language where modulo has the sign of the dividend, that is incorrect, because when n (the dividend) is negative and odd, n mod 2 returns −1, and the function returns false.

One correct alternative is to test that the remainder is not 0 (because remainder 0 is the same regardless of the signs):

bool is_odd(int n) {
    return n % 2 != 0;
}

Another alternative is to use the fact that for any odd number, the remainder may be either 1 or −1:

bool is_odd(int n) {
    return n % 2 == 1 || n % 2 == -1;
}

A simpler alternative is to treat the result of n % 2 as if it is a boolean value, where any non-zero value is true:

bool is_odd(int n) {
    return n % 2;
}

Performance issues[edit]

Modulo operations might be implemented such that a division with a remainder is calculated each time. For special cases, on some hardware, faster alternatives exist. For example, the modulo of powers of 2 can alternatively be expressed as a bitwise AND operation (assuming x is a positive integer, or using a non-truncating definition):

x % 2n == x & (2n - 1)

Examples:

x % 2 == x & 1

x % 4 == x & 3

x % 8 == x & 7

In devices and software that implement bitwise operations more efficiently than modulo, these alternative forms can result in faster calculations.^[7]

Compiler optimizations may recognize expressions of the form expression % constant where constant is a power of two and automatically implement them as expression & (constant-1), allowing the programmer to write clearer code without compromising performance. This simple optimization is not possible for languages in which the result of the modulo operation has the sign of the dividend (including C), unless the dividend is of an unsigned integer type. This is because, if the dividend is negative, the modulo will be negative, whereas expression & (constant-1) will always be positive. For these languages, the equivalence x % 2n == x < 0 ? x | ~(2n - 1) : x & (2n - 1) has to be used instead, expressed using bitwise OR, NOT and AND operations.

Optimizations for general constant-modulus operations also exist by calculating the division first using the constant-divisor optimization.

Properties (identities)[edit]

Some modulo operations can be factored or expanded similarly to other mathematical operations. This may be useful in cryptography proofs, such as the Diffie–Hellman key exchange. Some of these properties require that a and n are integers.

• Identity:
  • (a mod n) mod n = a mod n.
  • n^x mod n = 0 for all positive integer values of x.
  • If p is a prime number which is not a divisor of b, then ab^p−1 mod p = a mod p, due to Fermat’s little theorem.
• Inverse:
  • [(−a mod n) + (a mod n)] mod n = 0.
  • b⁻¹ mod n denotes the modular multiplicative inverse, which is defined if and only if b and n are relatively prime, which is the case when the left hand side is defined: [(b⁻¹ mod n)(b mod n)] mod n = 1.
• Distributive:
  • (a + b) mod n = [(a mod n) + (b mod n)] mod n.
  • ab mod n = [(a mod n)(b mod n)] mod n.
• Division (definition): a/b mod n = [(a mod n)(b⁻¹ mod n)] mod n, when the right hand side is defined (that is when b and n are coprime), and undefined otherwise.
• Inverse multiplication: [(ab mod n)(b⁻¹ mod n)] mod n = a mod n.

In programming languages[edit]

In addition, many computer systems provide a divmod functionality, which produces the quotient and the remainder at the same time. Examples include the x86 architecture’s IDIV instruction, the C programming language’s div() function, and Python’s divmod() function.

Generalizations[edit]

Modulo with offset[edit]

Sometimes it is useful for the result of a modulo n to lie not between 0 and n − 1, but between some number d and d + n − 1. In that case, d is called an offset. There does not seem to be a standard notation for this operation, so let us tentatively use a mod_d n. We thus have the following definition:^[53] x = a mod_d n just in case d ≤ x ≤ d + n − 1 and x mod n = a mod n. Clearly, the usual modulo operation corresponds to zero offset: a mod n = a mod₀ n. The operation of modulo with offset is related to the floor function as follows:

(To see this, let . We first show that x mod n = a mod n. It is in general true that (a + bn) mod n = a mod n for all integers b; thus, this is true also in the particular case when ; but that means that , which is what we wanted to prove. It remains to be shown that d ≤ x ≤ d + n − 1. Let k and r be the integers such that a − d = kn + r with 0 ≤ r ≤ n − 1 (see Euclidean division). Then , thus . Now take 0 ≤ r ≤ n − 1 and add d to both sides, obtaining d ≤ d + r ≤ d + n − 1. But we’ve seen that x = d + r, so we are done. □)

The modulo with offset a mod_d n is implemented in Mathematica as Mod[a, n, d] .^[53]

Implementing other modulo definitions using truncation[edit]

Despite the mathematical elegance of Knuth’s floored division and Euclidean division, it is generally much more common to find a truncated division-based modulo in programming languages. Leijen provides the following algorithms for calculating the two divisions given a truncated integer division:^[5]

/* Euclidean and Floored divmod, in the style of C's ldiv() */
typedef struct {
  /* This structure is part of the C stdlib.h, but is reproduced here for clarity */
  long int quot;
  long int rem;
} ldiv_t;

/* Euclidean division */
inline ldiv_t ldivE(long numer, long denom) {
  /* The C99 and C++11 languages define both of these as truncating. */
  long q = numer / denom;
  long r = numer % denom;
  if (r < 0) {
    if (denom > 0) {
      q = q - 1;
      r = r + denom;
    } else {
      q = q + 1;
      r = r - denom;
    }
  }
  return (ldiv_t){.quot = q, .rem = r};
}

/* Floored division */
inline ldiv_t ldivF(long numer, long denom) {
  long q = numer / denom;
  long r = numer % denom;
  if ((r > 0 && denom < 0) || (r < 0 && denom > 0)) {
    q = q - 1;
    r = r + denom;
  }
  return (ldiv_t){.quot = q, .rem = r};
}

For both cases, the remainder can be calculated independently of the quotient, but not vice versa. The operations are combined here to save screen space, as the logical branches are the same.

See also[edit]

• Modulo (disambiguation) – many uses of the word modulo, all of which grew out of Carl F. Gauss’s introduction of modular arithmetic in 1801.
• Modulo (mathematics), general use of the term in mathematics
• Modular exponentiation
• Turn (angle)

Notes[edit]

References[edit]

External links[edit]

• Modulorama, animation of a cyclic representation of multiplication tables (explanation in French)