Как найти моду графическим способом

Мода и медиана
являются структурными
средними величинами,
характеризующими (наряду со средней
арифметической) центр распределения
единиц совокупности по изучаемому
признаку.

Мода Мо
для дискретного
ряда – это значение признака, наиболее
часто встречающееся у единиц исследуемой
совокупности. В интервальном вариационном
ряду модой приближенно считается
центральное
значение модального интервала
(имеющего наибольшую частоту). Более
точно моду можно определить графическим
методом по гистограмме ряда (рис.1).

Рисунок 1

Определение моды
графическим методом.

Конкретное значение
моды для интервального ряда рассчитывается
по формуле:

(3)

где х_Мo
– нижняя
граница модального интервала,

h
–величина
модального интервала,

f_Mo
– частота модального интервала,

f_Mo-1
– частота интервала, предшествующего
модальному,

f_Mo+1
– частота
интервала, следующего за модальным.

Согласно табл.1.3
модальным интервалом построенного ряда
является интервал 8816,40 — 13139,80млн.
руб., так как его частота максимальна
(f2=
10).

Расчет моды по
формуле (3):

Вывод.
Для рассматриваемой совокупности банков
наиболее распространенный объем
кредитных вложений характеризуется
средней величиной 12058,95 млн руб.

Медиана Ме
– это значение признака, приходящееся
на середину ранжированного ряда. По обе
стороны от медианы находится одинаковое
количество единиц совокупности.

Медиану можно
определить графическим методом по
кумулятивной кривой (рис. 2). Кумулята
строится по накопленным частотам (табл.
5, графа 5).

Конкретное значение
медианы для интервального ряда
рассчитывается по формуле:

,
(4)

где х_Ме–
нижняя граница медианного интервала,

h
– величина медианного интервала,

–сумма всех частот,

f_Ме
– частота медианного интервала,

S_Mе-1
– кумулятивная (накопленная) частота
интервала, предшествующего медианному.

Для расчета медианы
необходимо, прежде всего, определить
медианный интервал, для чего используются
накопленные частоты (или частости) из
табл. 5 (графа 5). Так как медиана делит
численность ряда пополам, она будет
располагаться в том интервале, где
накопленная частота впервые
равна
полусумме всех частот
или превышает ее (т.е. все предшествующие
накопленные частоты меньше этой
величины).

В задаче медианным
интервалом является интервал 13139,80 —
17463,20 млн. руб., так как именно в этом
интервале накопленная частота S_j
= 26 впервые
превышает величину, равную половине
численности единиц совокупности (=).

Расчет значения
медианы по формуле (4):

Вывод.
В рассматриваемой совокупности банков
половина банков имеют в среднем объем
кредитных вложений не более 13620,18 млн
руб., а другая половина – не менее
13620,18 млн руб.

1.3. Расчет характеристик ряда распределения

Для расчета
характеристик ряда распределения
,σ,
σ²,
V_σ
на основе табл. 5 строится вспомогательная
таблица 6 (
– середина
j-го
интервала).

Таблица 6

Группы банков по объему работающих активов	Середина интервала,Хj	Число банков,Fj	Xi*Fj	Xj-X ср.	(Xj-X ср.)^2	(Xj-X ср.)^2 * Fj
4493,00 — 8816,40	6 654,7	7	46 582,90	-7 341,4	53 895 909,25	377 271 364,73
8816,40 — 13139,80	10 978,1	10	109 781,00	-3 018,0	9 108 223,40	91 082 234,00
13139,80 — 17463,20	15 301,5	9	137 713,50	1 305,4	1 704 112,67	15 337 014,06
17463,20 — 21786,60	19 624,9	5	98 124,50	5 628,8	31 683 577,07	158 417 885,33
21786,60 — 26110,00	23 948,3	5	119 741,50	9 952,2	99 046 616,58	495 233 082,90
Итого:		36	511 943,40			1 137 341 581,03

Расчет средней
арифметической взвешенной:

(5)

Расчет среднего
квадратического отклонения:

(6)

Расчет дисперсии:

σ²
=
5620,75²=
31592821,7

Расчет коэффициента
вариации:

(7)

Вывод.
Анализ полученных значений показателей
иσ
говорит о том, что средний объем кредитных
вложений банков составляет 14220,65 млн
руб., отклонение от среднего объема в
ту или иную сторону составляет в среднем
5620,75 млн руб. (или 39,53%), наиболее характерные
значения объема кредитных вложений
находятся в пределах от 5581,223949 млн руб.
до 5660,274473 млн руб. (диапазон
).

Значение V_σ
= 39,53% превышает 33%, следовательно,
вариация кредитных вложений в исследуемой
совокупности банков значительна и
совокупность по данному признаку
качественно неоднородна. Расхождение
между значениями
,Мо
и Ме
значительно (=14220,65млн
руб.,Мо=12058,95млн
руб., Ме=13620,18
млн руб.), что подтверждает вывод об
неоднородности совокупности банков.
Таким образом, найденное среднее значение
объема кредитных вложений банков
(14220,65 млн руб.) является ненадежной
характеристикой исследуемой совокупности
банков.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

8.1. Мода

Мода (Мо) — это наиболее часто встречающееся значение признака, или иначе говоря, значение варианты с наибольшей частотой. В дискретных и интервальных рядах моду рассчитывают по-разному.

8.1.1. Определение моды в дискретных вариационных рядах

В дискретных вариационных рядах для определения моды не требуется специальных вычислений: значение признака, которому соответствует наибольшая частота, и будет значением моды.

Пример 8.1. По представленным ниже результатам проведения контрольной работы по статистике определим моду.

Здесь наибольшая частота — 10, она принадлежит варианте со значением 3, значит, Мо = 3. Таким образом, самой распространенной оценкой, полученной студентами за контрольную работу, была «тройка».

8.1.2. Определение моды в интервальных вариационных рядах с равными интервалами

Для определения моды в интервальных вариационных рядах с равными интервалами сначала находят модальный интервал, которым является интервал с наибольшей частотой, а затем ведут расчет по формуле

где х_Мо — нижняя граница модального интервала;

d — величина интервала;

f_Mo — частота модального интервала;

f_Mo — 1 — частота интервала, предшествующего модальному;

f_Mo + 1 — частота интервала, следующего за модальным.

Пример 8.2. Имеются данные по группе банков.

Определим модальный размер выданных кредитов:

1. модальным является интервал 60-80, так как ему соответствует наибольшая частота (21);
2. нижняя граница модального интервала x_Мо = 60; величина интервала d = 20 (80 — 60 = 20);
3. частота модального интервала f_Мо = 21; частота интервала, предшествующего модальному, f_Мо — 1 = 15; частота интервала, следующего за модальным, f_Мо + 1 = 12.

Подставив в формулу соответствующие величины, получим

Определить модальное значение признака можно и по графику. Для этого в случае дискретных вариационных рядов строится полигон распределения. Напомним, что у него на оси абсцисс помещаются значения признака (варианты), а на оси ординат — соответствующие им частоты. Значение абсциссы, соответствующее наибольшей вершине полигона, будет значением моды.

Пример 8.3. По результатам проведения контрольной работы по статистике, приведенным в примере 8.1, определим моду графическим способом.

Для этого построим полигон распределения и найдем абсциссу его вершины (рис. 8.1).

Если имеется интервальный вариационный ряд с равными интервалами, то для определения моды строится гистограмма, у которой на оси абсцисс находятся значения границ интервалов, а на оси ординат — соответствующие интервалам частоты. На гистограмме модальный интервал будет иметь наибольшую высоту столбца. Затем надо провести линии, соединяющие вершины модального столбца с прилегающими вершинами соседних столбцов. Для нахождения значения моды из точки пересечения проведенных линий на ось абсцисс опускают перпендикуляр. Абсцисса точки пересечения будет значением моды. Продемонстрируем это на примере.

Пример 8.4. По данным о распределении банков по сумме выданных кредитов, приведенным в примере 8.2, определим моду графическим способом (рис. 8.2).

Вариационный ряд может содержать несколько модальных значений. Чаще всего это происходит, когда в один ряд объединяют разнородные единицы наблюдения, которые желательно разделить на подгруппы и анализировать по отдельности. Вариационный ряд, имеющий одну моду, называется унимодальным, две — бимодальным, три и более — мультимодальным.

Мода и медиана наиболее часто используемые в экономической практике структурные средние.

Мода – это величина признака (варианта), который наиболее часто встречается в данной совокупности, т.e. это варианта, имеющая наибольшую частоту.

В дискретном ряду мода определяется в соответствии с определением, т.е. это одна из вариант признака, которая в ряду распределения имеет наибольшую частоту.

Для интервального ряда моду находим по формуле (8.16), сначала по наибольшей частоте определив модальный интервал:

где х _о – начальная (нижняя) граница модального интервала;

h – величина интервала;

f_Мо – частота модального интервала;

f_Мо-1 – частота интервала, предшествующая модальному;

f_Мо+1 – частота интервала следующая за модальным.

Медианой называется такое значение признака, которое приходится на середину ранжированного ряда, т.е. в ранжированном ряду распределения одна половина ряда имеет значение признака больше медианы, другая – меньше медианы.

В дискретном ряду медиана находится непосредственно по накопленной частоте, соответствующей номеру медианы.

В случае интервального вариационного ряда медиану определяют по формуле:

(8.17 – формула Медианы)

где х_о – нижняя граница медианного интервала;

N_Ме – порядковый номер медианы (Σf/2);

S _Me-1 – накопленная частота до медианного интервала;

f_Ме – частота медианного интервала.

Пример вычисления Моды.

Рассчитаем моду и медиану по данным табл. 8.4.

Таблица 8.4 – Распределение семей города N по размеру среднедушевого дохода в январе 2018 г. руб.(цифры условные)

Группы семей по размеру дохода, руб.	Число семей	Накоп- ленные частоты
До 5000	600	600	6
5000-6000	700	1300 (600+700)	13
6000-7000	1700 (fМо-1)	3000 (S Me-1 ) (1300+1700)	30
7000 -8000 (хо)	2500 (fМе)	5500 (S Me)	55
8000-9000	2200 (fМо+1)	7700	77
9000-10000	1500	9200	92
Свыше 10000	800	10000	100
Итого	10000	–	–

Пример вычисления Моды . Найдем моду по формуле (8.16) см. обозначения в таблице, а h = 8000-7000=1000, т.е. получаем:

Пример вычисления Медианы интервального вариационного ряда. Рассчитаем медиану по формуле (8.17):

1) сначала находим порядковый номер медианы: N_Ме = Σf_i/2= 5000.

2) по накопленным частотам в соответствии с номером медианы определяем, что 5000 находится в интервале (7000 – 8000), далее значение медианы определим по формуле (8.17):

Вывод: по моде – наиболее часто встречается среднедушевой доход в размере 7730 руб., по медиане – что половина семей города имеет среднедушевой доход ниже 7800 руб., остальные семьи – более 7800 руб.

Пример .СРЕДНИЙ, МЕДИАННЫЙ И МОДАЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ ДЕНЕЖНЫХ ДОХОДОВ НАСЕЛЕНИЯ ЦЕЛОМ ПО РОССИИ И ПО СУБЪЕКТАМ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЗА 2013 год см. по ссылке. Источник: оценка на основании данных выборочного обследования бюджетов домашних хозяйств и макроэкономического показателя денежных доходов населения

Соотношение моды, медианы и средней арифметической указывает на характер распределения признака в совокупности, позволяет оценить его асимметрию.

Если М о о следует сделать вы­вод о левосторонней асимметрии ряда.

Средние величины (арифметическая, гармоническая, геометрическая, квадратическая) см. по ссылке

Источник

Мода и медиана являются структурными средними величинами, характеризующими (наряду со средней арифметической) центр распределения единиц совокупности по изучаемому признаку.

Мода Мо для дискретного ряда – это значение признака, наиболее часто встречающееся у единиц исследуемой совокупности[1]. В интервальном вариационном ряду модой приближенно считается центральное значение модального интервала (имеющего наибольшую частоту). Более точно моду можно определить графическим методом по гистограмме ряда (рис.1).

Рис. 1 Определение моды графическим методом

Конкретное значение моды для интервального ряда рассчитывается по формуле:

(3)

где х_Мo – нижняя граница модального интервала,

h–величина модального интервала,

f_Mo – частота модального интервала,

f_Mo-1 – частота интервала, предшествующего модальному,

f_Mo+1 – частота интервала, следующего за модальным.

Согласно табл.1.3 модальным интервалом построенного ряда является интервал 140 – 190 млн. руб., так как его частота максимальна (f₃ = 12).

Расчет моды по формуле (3):

Вывод. Для рассматриваемой совокупности банков наиболее распространенный объем кредитных вложений характеризуется средней величиной 173,33 млн руб.

Медиана Ме – это значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда. По обе стороны от медианы находится одинаковое количество единиц совокупности.

Медиану можно определить графическим методом по кумулятивной кривой (рис. 2). Кумулята строится по накопленным частотам (табл. 5, графа 5).

Рис. 2. Определение медианы графическим методом

Конкретное значение медианы для интервального ряда рассчитывается по формуле:

, (4)

где х_Ме– нижняя граница медианного интервала,

h – величина медианного интервала,

– сумма всех частот,

f_Ме – частота медианного интервала,

S_Mе-1 – кумулятивная (накопленная) частота интервала, предшествующего медианному.

Для расчета медианы необходимо, прежде всего, определить медианный интервал, для чего используются накопленные частоты (или частости) из табл. 5 (графа 5). Так как медиана делит численность ряда пополам, она будет располагаться в том интервале, где накопленная частота впервые равна полусумме всех частот или превышает ее (т.е. все предшествующие накопленные частоты меньше этой величины).

В демонстрационном примере медианным интервалом является интервал 140 – 190 млн. руб., так как именно в этом интервале накопленная частота S_j = 21 впервые превышает величину, равную половине численности единиц совокупности ( = ).

Расчет значения медианы по формуле (4):

Вывод. В рассматриваемой совокупности банков половина банков имеют в среднем объем кредитных вложений не более 165 млн руб., а другая половина – не менее 165 млн руб.

Источник

Как построить моду графическим способом

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 4 .

Расчёт структурных характеристик вариационного ряда распределения.

— область применения и методику расчёта структурных средних величин;

— исчислять структурные средние величины;

— формулировать вывод по полученным результатам.

В статистике исчисляются мода и медиана, которые относятся к структурным средним, так как их величина зависит от строения статистической совокупности.

Модой называется значение признака (варианта), чаще всеговстречающееся в изучаемой совокупности. В дискретном ряду распределения модой будет варианта с наибольшей частотой.

Например : Распределение проданной женской обуви по размерам характеризуется следующим образом:

Количество проданных пар

В этом ряду распределения модой является 37 размер, т.е. Мо=37 размер.

Для интервального ряда распределения мода определяется по формуле:

где Х _Mo — нижняя граница модального интервала;

h_Mo — величина модального интервала;

f_Mo – частота модального интервала;

предшествующего модальному и следующего за ним.

Например : Распределение рабочих по стажу работы характеризуется следующими данными.

Стаж работы, лет

Число рабочих, чел.

Определить моду интервального ряда распределения.

Мода интервального ряда составляет

Мода всегда бывает несколько неопределённой, т.к. она зависит от величины групп и точного положения границ групп. Мода широко применяется в коммерческой практике при изучении покупательского спроса, при регистрации цен и т.п.

Медианой в статистике называется варианта, расположенная в середине упорядоченного ряда данных, и которая делит статистическую совокупность на две равные части так, что у одной половины значения меньше медианы, а у другой половины – больше её. Для определения медианы необходимо построить ранжированный ряд, т.е. ряд в порядке возрастания или убывания индивидуальных значений признака.

В дискретном упорядоченном ряду с нечётным числом членов медианой будет варианта, расположенная в центре ряда.

Например : Стаж пяти рабочих составил 2, 4, 7, 9 и 10 лет. В таком ряду медиана-7 лет, т.е. Ме=7 лет

Если дискретный упорядоченный ряд состоит из чётного числа членов, то медианой будет средняя арифметическая из двух смежных вариант, стоящих в центре ряда.

Например : Стаж работы шести рабочих составил 1, 3, 4, 5, 10 и 11лет. В этом ряду имеются две варианты, стоящие в центре ряда. Это варианты 4 и 5. Средняя арифметическая из этих значений и будет медианой ряда

Чтобы определить медиану для сгруппированных данных, необходимо считать накопленные частоты.

Например: По имеющимся данным определим медиану размера обуви

Количество проданных пар

Сумма накопленных частот

Для определения медианы надо подсчитать сумму накопленных частот ряда. Наращивание итога продолжается до получения накопленной суммы частот, превышающей половину суммы частот ряда. В нашем примере сумма частот составила 300, её половина – 150. Накопленная сумма частот получилась равной 169. Варианта, соответствующая этой сумме, т.е. 37 и есть медиана ряда.

Если же сумма накопленных частот против одной из вариант равна точно половине суммы частот ряда, то медиана определяется как средняя арифметическая этой варианты и последующей.

Например : По имеющимся данным определим медиану заработной платы рабочих

Месячная заработная плата, тыс .р уб.

Число рабочих, чел.

Сумма накопленных частот

Медиана будет равна:

Медиана интервального вариационного ряда распределения определяется по формуле:

Где Х_Ме – нижняя граница медианного интервала;

h_Me – величина медианного интервала;

∑ f — сумма частот ряда;

f _Ме – частота медианного интервала;

Например: По имеющимся данным о распределении предприятий по численности промышленно – производственного персонала рассчитать медиану в интервальном вариационном ряду

Группы предприятий по численности ППП, чел.

Сумма накопленных частот

Определим, прежде всего, медианный интервал. В данном примере сумма накопленных частот, превышающих половину суммы всех значений ряда, соответствует интервалу 400-500.Это и есть медианный интервал, т.е. интервал, в котором находится медиана ряда. Определим её значение

Если же сумма накопленных частот против одного из интервалов равна точно половине суммы частот ряда, то медиана определяется по формуле:

где n – число единиц в совокупности.

Например: По имеющимся данным о распределении предприятий по численности промышленно – производственного персонала рассчитать медиану в интервальном вариационном ряду

Группы предприятий по численности ППП, чел.

Сумма накопленных частот

чел

Моду и медиану в интервальном ряду можно определить графически:

моду в дискретных рядах — по полигону распределения, моду в интервальных рядах — по гистограмме распределения, а медиану — по кумуляте .

Мода интервального ряда распределения определяется по гистограмме распределения определяют следующим образом. Для этого выбирается самый высокий прямоугольник, который является в данном случае модальным. Затем правую вершину модального прямоугольника соединяем с правым верхним углом предыдущего прямоугольника. А левую вершину модального прямоугольника – с левым верхним углом последующего прямоугольника. Далее из точки их пересечения опускают перпендикуляр на ось абсцисс. Абсцисса точки пересечения этих прямых и будет модой распределения.

Медиана рассчитывается по кумуляте . Для её определения из точки на шкале накопленных частот ( частостей ), соответствующей 50%, проводится прямая , параллельная оси абсцисс, до пересечения с кумулятой . Затем из точки пересечения указанной прямой с кумулятой опускается перпендикуляр на ось абсцисс. Абсцисса точки пересечения является медианой.

Кроме моды и медианы в вариантных рядах могут быть определены и другие структурные характеристики – квантили. Квантили предназначены для более глубокого изучения структуры ряда распределения.

Квантиль – это значение признака, занимающее определенное место в упорядоченной по данному признаку совокупности. Различают следующие виды квантилей:

— квартили – значения признака, делящие упорядоченную совокупность на четыре равные части;

— децили – значения признака, делящие упорядоченную совокупность на десять равных частей;

— перцентели — значения признака, делящие упорядоченную совокупность на сто равных частей.

Таким образом, для характеристики положения центра ряда распределения можно использовать 3 показателя: среднее значение признака , мода, медиана . При выборе вида и формы конкретного показателя центра распределения необходимо исходить из следующих рекомендаций:

— для устойчивых социально-экономических процессов в качестве показателя центра используют среднюю арифметическую. Такие процессы характеризуются симметричными распределениями, в которых ;

— для неустойчивых процессов положение центра распределения характеризуется с помощью Mo или Me . Для асимметричных процессов предпочтительной характеристикой центра распределения является медиана, поскольку занимает положение между средней арифметической и модой.

Источник