Как найти моду медиану в математике

1. 

   1

   Сложите все числа, которые вам даны. Допустим, вам даны числа 2, 3 и 4. Сложим их: 2 + 3 + 4 = 9.

2. 

   2

   Сосчитайте количество чисел. У нас есть три цифры.

3. 

   3

   Разделите сумму чисел на их количество. Берем 9, делим на 3. 9/3 = 3. Среднее значение в данном случае равно 3. Помните, что не всегда получается целое число.

   Реклама

1. 

   1

   Запишите все числа, которые вам даны, в порядке возрастания. Например, нам даны числа: 4, 2, 8, 1, 15. Запишите их от меньшего к большему, вот так: 1, 2, 4, 8, 15.

2. 

   2

   Найдите два средних числа. Мы расскажем, как это сделать, если у вас имеется четное количество чисел, и как это сделать, если количество чисел нечетное:

   • Если у вас нечетное количество чисел, вычеркните левое крайнее число, затем правое крайнее число и так далее. Один оставшийся номер и будет искомой медианой. Если вам дан ряд чисел 4, 7, 8, 11, 21, тогда 8 — медиана, так как 8 стоит посередине.
   • Если у вас четное количество чисел, вычеркните по одному числу с каждой стороны, пока у вас не останется два числа посередине. Сложите их и разделите на два. Это и есть значение медианы. Если вам дан ряд чисел 1, 2, 5, 3, 7, 10, то два средних числа — это 5 и 3. Сложим 5 и 3, получим 8, разделим на два, получим 4. Это и есть медиана.

   Реклама

1. 

   1

   Запишите все числа в ряд. Например, вам даны числа 2, 4, 5, 5, 4 и 5. Запишите их в порядке возрастания.

2. 

   2

   Найдите число, которое чаще всего встречается. В данном случае это 5. Если два числа встречаются одинаково часто, то этот ряд двухвершинный или бимодальный, а если больше — то мультимодальный.

   Реклама

Советы

• Вам будет легче найти моду и медиану, если вы запишете числа в порядке возрастания.

Реклама

1. Предмет, цели и методы математической статистики
2. Метод выборочных исследований
3. Средняя арифметическая, простая и взвешенная
4. Мода и медиана
5. Примеры

Предмет, цели и методы математической статистики

Начиная с XVIII века, в общем направлении статистических исследований начинает активно формироваться математическая статистика.

Математическая статистика – раздел математики, разрабатывающий методы регистрации, описания и анализа данных наблюдений и экспериментов с целью построения вероятностных моделей массовых случайных явлений.

В зависимости от предмета исследований математическая статистика делится на:

• статистику чисел;
• многомерный статистический анализ;
• анализ функций (процессов) и временных рядов;
• статистику объектов с нечисловыми характеристиками.

В зависимости от цели и методов исследований математическая статистика делится на: описательную статистику; теорию оценивания; теорию проверки гипотез.

Метод выборочных исследований

Статистика получила признание в различных областях человеческой деятельности благодаря заметной экономии времени и прочих ресурсов. Её основная идея: не нужно измерять всё, измерьте только часть всего и сделайте предположение об остальном.

«Всё» в статистике называется генеральной совокупностью.

«Часть всего», которую мы тщательно исследуем, называется выборкой.

Метод выборочных исследований – способ определения свойств группы объектов (генеральной совокупности) на основании статистического исследования её части (выборки).

Например, чтобы оценить средние размеры апельсина, который продаётся в магазине в декабре, необязательно денно и нощно мерить все апельсины во всех ящиках (сколько же для этого нужно времени и людей?!). Достаточно сделать выборку – мерить по одному апельсину из каждого ящика в течение месяца (тут уже и один человек справится).

Статистика предоставляет методику и оценки для того, чтобы правильно провести выборку и на основании знаний о среднем размере апельсина в выборке (выборочной средней) судить о средних размерах всех декабрьских апельсин (генеральной средней).

Средняя арифметическая, простая и взвешенная

Статистическое исследование опирается на собранные данные о каком-то признаке (рост, вес, возраст, доход и т.п.).

Пусть мы сделали выборку, провели N измерений и получили x_1,x_2,…,x_N вариант.

Вариационный ряд, состоящий из отдельных вариант, называют дискретным.

Чтобы найти выборочную среднюю дискретного вариационного ряда, нужно вычислить среднюю арифметическую простую:

$$ x_{cp} = frac{1}{N} sum_{i=1}^N x_i ,i = overline{1,N} $$

Знак Σ означает «сумма», i — это индекс полученных вариант, который пробегает все значения, от 1 до N.

Например:

На протяжении четверти школьник получил такие оценки по алгебре: 5,4,3,5,4,4,5,4,3,5,5,4,3,5,4,4. Найдите среднюю оценку за четверть.

Считаем среднюю арифметическую простую:

$$ x_cp = frac{5+4+3+⋯+4}{16} ≈ 4,2 $$

Нетрудно заметить, что оценки повторяются, и вычисления можно упростить, если вместо сложения одинаковых оценок использовать умножение оценок на их количество.

Чтобы найти выборочную среднюю при повторяющихся вариантах, удобно вычислять среднюю арифметическую взвешенную:

$$ x_{cp} = frac{1}{N} sum_{i=1}^K x_i n_i , N = sum_{i=1}^K n_i , i = overline{1,K} $$

где K – количество групп с повторяющимися вариантами, $x_i$ — значение варианты в -й группе, $n_i$ – частота варианты $x_i$.

Например:

Рассматриваем тот же ряд оценок: 5,4,3,5,4,4,5,4,3,5,5,4,3,5,4,4 и составляем таблицу:

$$ x_cp = frac{3cdot3+4cdot7+5cdot6}{3+7+6} ≈ 4,2 $$

Вычисления заметно упростились.

Мода и медиана

Мода дискретного вариационного ряда – это варианта с максимальной частотой. Мод может быть несколько. Тогда говорят, что ряд мультимодальный.

В примере с оценками по алгебре мода $M_0 = 4$ — эта оценка встречается чаще всего, её частота равна 7.

В примере с оценками по алгебре N = 16 — четное. $m = frac{N}{2} = 8 $.

Сортируем ряд оценок по возрастанию: 3,3,3,4,4,4,4, 4,4, 4,5,5,5,5,5,5

$$ x_8 = 4, x_9 = 4 Rightarrow M_e = frac{4+4}{2} = 4 $$

Примеры

Пример 1. В исследовании месячных доходов десяти человек были получены следующие данные: 200,100,300,300,1000,5000,100,200, 300,400 (дол.).

Найдите выборочную среднюю, моду и медиану.

Почему при оценке доходов мода и медиана предпочтительней выборочной средней?

Составим таблицу:

Выборочная средняя:$ x_{cp} = frac{7900}{10} = 790$ (дол.)

Мода: $M_o$ = 300 (дол.) – максимальная частота 3

Медиана:

100, 100, 200, 200, 300, 300, 300, 400, 1000, 5000

$$ m = frac{10}{2} = 5, x_5 = x_6 = 300, M_e = frac{300+300}{2} = 300 (дол.) $$

Выборочная средняя не отражает доходов большей части людей в выборке, поскольку даже один человек с большими доходами может резко сместить оценку вправо. Мода и медиана хорошо отражают доходы большей части людей в выборке.

Пример 2. Исследовалось время решения задачи. В исследовании принимало участие 20 человек, из них двое задачу не решили. Время решения остальных участников:

Найдите выборочную среднюю, моду и медиану.

При подборе задач для контрольной работы, сколько времени следует отвести на решение подобной задачи?

Проведём вычисления:

$$x_cp = frac{355}{18} ≈ 19,7 мин $$

В выборке 2 моды: $M_{o1}$ = 15 мин, $M_{o2}$ = 20 мин

Положение медианы: $m = frac{N}{2} = frac{18}{2} = 9, x_9 = x_10 = 20, Me = 20$ мин

Средняя, одна из мод и медиана равны 20 мин. Поэтому при составлении контрольной следует отвести на подобную задачу 20 мин.

Пример 3. работа по геометрии показала следующие результаты:

Найдите выборочную среднюю, моду и медиану.

Что вы можете сказать об уровне понимания материала?

Проведём вычисления:

$$x_cp = frac{126}{39} ≈ 3,2$$

Мода: $M_o$ = 3 — эта оценка получена 22 раза

Положение медианы: $m = ⌈ frac{N}{2}⌉ = ⌈frac{39}{2}⌉ = 20, x_{20} = 3, Me = 3$

Средняя, мода и медиана равны 3.

Уровень понимания удовлетворительный, «на троечку».

Примеры

Примеры нахождения среднего арифметического отрицательных и вещественных чисел.

1. Среднее арифметическое чисел 67,1, 68,2, 67,1, 70,4, 68,2

   begin{align}
   & overline{a}=frac{67,1+68,2+67,1+70,4+68,2}{5}=68,2\
   end{align}

   Размах ряда: 70,4-67,1=3,3

   Моды ряда: 67.1, 68.2

   Медиана ряда: 68.2

2. Среднее арифметическое чисел 0,6, 0,8, 0,5, 0,9, 1,1

   begin{align}
   & overline{a}=frac{0,6+0,8+0,5+0,9+1,1}{5}=0.78\
   end{align}

   Размах ряда: 1,1-0,5=0.6

   Ряд не имеет моды

   Медиана ряда: 0.8

3. Среднее арифметическое чисел -21, -33, -35, -19, -20, -22

   begin{align}
   & overline{a}=frac{(-21)+(-33)+(-35)+(-19)+(-20)+(-22)}{6}=-25\
   end{align}

   Размах ряда: (-19)-(-35)=16

   Ряд не имеет моды

   Медиана ряда: -21,5

4. Среднее арифметическое чисел -4, -6, 0, -4, 0, 6, 8, -12

   begin{align}
   & overline{a}=frac{(-4)+(-6)+0+(-4)+0+6+8+(-12)}{8}=-1,5\
   end{align}

   Размах ряда: 8-(-12)=20

   Моды ряда: -4, 0

   Медиана ряда: -2

5. Среднее арифметическое чисел 275, 286, 250, 290, 296, 315, 325

   begin{align}
   & overline{a}=frac{275+286+250+290+296+315+325}{7}=291\
   end{align}

   Размах ряда: 325-250=75

   Ряд не имеет моды

   Медиана ряда: 290

6. Среднее арифметическое чисел 38, 42, 36, 45, 48, 45, 45, 42, 40, 47, 39

   begin{align}
   & overline{a}=frac{38+42+36+45+48+45+45+42+40+47+39}{11}=42frac{6}{11}\
   end{align}

   Размах ряда: 48-36=12

   Мода ряда: 45

   Медиана ряда: 42

7. Среднее арифметическое чисел 3,8, 7,2, 6,4, 6,8, 7,2

   begin{align}
   & overline{a}=frac{3,8+7,2+6,4+6,8+7,2}{5}=6,28\
   end{align}

   Размах ряда: 7,2-3,8=3,4

   Мода ряда: 7,2

   Медиана ряда: 6,8

8. Среднее арифметическое чисел 21,6, 37,3, 16,4, 12,6

   begin{align}
   & overline{a}=frac{21,6+37,3+16,4+12,6}{4}=21,025\
   end{align}

   Размах ряда: 37,3-12,6=24,7

   Мода ряда: 12,6

   Медиана ряда: 17,1