Как найти моду рядом - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Загрузить PDF

Среднее значение, медиана и мода — значения, которые часто используются в статистике и математике. Эти значения найти довольно легко, но их легко и перепутать. Мы расскажем, что они из себя представляют и как их найти.

1

Сложите все числа, которые вам даны. Допустим, вам даны числа 2, 3 и 4. Сложим их: 2 + 3 + 4 = 9.
2

Сосчитайте количество чисел. У нас есть три цифры.
3

Разделите сумму чисел на их количество. Берем 9, делим на 3. 9/3 = 3. Среднее значение в данном случае равно 3. Помните, что не всегда получается целое число.

Реклама

1

Запишите все числа, которые вам даны, в порядке возрастания. Например, нам даны числа: 4, 2, 8, 1, 15. Запишите их от меньшего к большему, вот так: 1, 2, 4, 8, 15.
2
Найдите два средних числа. Мы расскажем, как это сделать, если у вас имеется четное количество чисел, и как это сделать, если количество чисел нечетное:
- Если у вас нечетное количество чисел, вычеркните левое крайнее число, затем правое крайнее число и так далее. Один оставшийся номер и будет искомой медианой. Если вам дан ряд чисел 4, 7, 8, 11, 21, тогда 8 — медиана, так как 8 стоит посередине.
- Если у вас четное количество чисел, вычеркните по одному числу с каждой стороны, пока у вас не останется два числа посередине. Сложите их и разделите на два. Это и есть значение медианы. Если вам дан ряд чисел 1, 2, 5, 3, 7, 10, то два средних числа — это 5 и 3. Сложим 5 и 3, получим 8, разделим на два, получим 4. Это и есть медиана.
Реклама

1

Запишите все числа в ряд. Например, вам даны числа 2, 4, 5, 5, 4 и 5. Запишите их в порядке возрастания.
2

Найдите число, которое чаще всего встречается. В данном случае это 5. Если два числа встречаются одинаково часто, то этот ряд двухвершинный или бимодальный, а если больше — то мультимодальный.

Реклама

Советы

Вам будет легче найти моду и медиану, если вы запишете числа в порядке возрастания.

Об этой статье

Эту страницу просматривали 356 549 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Среднее арифметическое нескольких величин – это отношение суммы величин к их количеству.

Правило. Чтобы вычислить среднее арифметическое нескольких чисел, нужно взять сумму этих чисел и разделить все на количество слагаемых. Частное и будет средним арифметическим этих чисел.

Например: найдем среднее арифметическое чисел 2; 6; 9; 15.

У нас четыре числа, значит надо их сумму разделить на четыре. Это и будет среднее арифметическое данных чисел: (2 + 6 + 9 + 15) : 4 = 8.

Размах ряда чисел – это разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел.

Например: найдем размах чисел 2; 5; 8; 12; 33.

Наибольшее число здесь – 33, наименьшее – 2. Значит, размах составляет 31, т. е.: 33 – 2 = 31.

Мода ряда чисел – это число, которое встречается в данном ряду чаще других.

Например: найдем моду ряда чисел 1; 7; 3; 8; 7; 12; 22; 7; 11; 22; 8.

Чаще всего в этом ряде чисел встречается число 7 (3 раза). Оно и является модой данного ряда чисел.

Медианой упорядоченного ряда чисел с нечетным числом членов называется число, записанное посередине, а медианой упорядоченного ряда чисел с четным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине.

Медианой произвольного ряда чисел называется медиана соответствующего упорядоченного ряда.

Например: в ряде чисел 2; 5; 9; 15; 21 медианой является число 9, находящееся посередине.

Найдем медиану в ряде чисел 4; 5; 7; 11; 13; 19.

Здесь четное количество чисел (6). Поэтому ищем не одно, а два числа, записанных посередине. Это числа 7 и 11. Находим среднее арифметическое этих чисел: (7 + 11) : 2 = 9. Число 9 является медианой данного ряда чисел.

В институте сдавали зачет по высшей математике. В группе было 10 человек, и они получили соответствующие оценки: 3; 5; 5; 4; 4; 4; 3; 2; 4; 5.

Какую оценку получали чаще всего? Каков средний балл сдавшей зачет группы?
Дан ряд чисел: 175; 172; 179; 171; 174; 170; 172; 169.

Найдите медиану и размах ряда.
Дан ряд чисел: 175; 172; 179; 171; 174; 170; 172; 169.

Найдите моду ряда и среднее арифметическое ряда.
Имеются следующие данные о месячной заработной плате пяти рабочих (тг): 126000; 138000; 132000; 141000; 150000.

Найдите среднюю заработную плату.
Магазин продает 8 видов булочек по следующим ценам: 31; 22; 24; 27; 30; 36; 19; 27.

Найдите разность среднего арифметического и медианы этого набора.
Найдите объем и медиану числового ряда.

9; 7; 1; 1; 11; 5; 1.
Товарные запасы хлопчатобумажных тканей в магазине за первое полугодие составили (тыс. тг) на начало каждого месяца:

I II III IV V VI VII

37 34 35 32 36 33 38

Определите средний товарный запас хлопчатобумажных тканей за первое полугодие.
Провели несколько измерений случайной величины: 2,5; 2,2; 2; 2,4; 2,9; 1,8.

Найдите среднее арифметическое этого набора чисел.
Провели несколько измерений случайной величины: 6; 18; 17; 14; 4; 22.

Найдите медиану этого набора чисел.
Провели несколько измерений случайной величины:

800; 3200; 2000; 2600; 2900; 2000. Найдите моду этого набора чисел.
Магазин продает 8 видов хлеба по следующим ценам: 60, 75, 80, 85, 90, 100, 110, 120 тенге.

Найдите разность среднего арифметического и медианы этого набора.
Дан числовой ряд: 1; 7; 3; 8; 7; 12; 22; 7; 11; 22; 7,8.

Найдите среднее арифметическое, размах и моду.

I	II	III	IV	V	VI	VII
37	34	35	32	36	33	38

Источник

Среднее арифметическое, размах, мода и медиана

Алгебра
Среднее арифметическое, размах, мода и медиана

Статистические характеристики

количество чисел

Калькулятор вычислит среднее арифметическое чисел, а также размах ряда чисел, моду ряда
чисел, медиану ряда. Для вычисления укажите количество чисел, добавьте числа и нажмите
рассчитать.

Среднее арифметическое, размах, мода и медиана

Средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих
чисел на число слагаемых.

Для ряда a₁,a₁,..,a_n среднее арифметическое вычисляется по
формуле:

begin{align}
& overline{a}=frac{a_1+a_2+…+a_n}{n}\
end{align}

Найдем среднее арифметическое для чисел 5,24, 6,97, 8,56, 7,32 и 6,23.

begin{align}
& overline{a}=frac{5,24+6,97+8,56+7,32+6,23}{5}=6.864\
end{align}

Размахом ряда чисел называется разность между наибольшим и наименьшим из
этих чисел.

Размах ряда 5,24, 6,97, 8,56, 7,32, 6,23 равен 8,56-5,24=3.32

Модой ряда чисел называется число, которое встречается в данном ряду чаще
других.

Ряд чисел может иметь более одной моды, а может не иметь моды совсем.

Модой ряда 32, 26, 18, 26, 15, 21, 26 является число 26, встречается 3 раза.

В ряду чисел 5,24, 6,97, 8,56, 7,32 и 6,23 моды нет.

Ряд 1, 1, 2, 2, 3 содержит 2 моды: 1 и 2.

Медианой упорядоченного ряда чисел с нечётным числом членов называется
число, записанное посередине, а медианой упорядоченного ряда чисел с чётным
числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине.

Медианой произвольного ряда чисел называется медиана соответствующего упорядоченного
ряда.

Медиана ряда 4, 1, 2, 3, 3, 1 равна 2.5.

Примеры

Рассмотрим примеры нахождения среднего арифметического чисел, а также размаха, медианы и моды
ряда.

Среднее арифметическое чисел 30, 5, 23, 5, 28, 30

begin{align}
& overline{a}=frac{30+5+23+5+28+30}{6}=20frac{1}{6}\
end{align}

Размах ряда: 30-5=25

Моды ряда: 5 и 30

Медиана ряда: 25.5
Среднее арифметическое чисел 40, 35, 30, 25, 30, 35

begin{align}
& overline{a}=frac{40+35+30+25+30+35}{6}=32frac{1}{2}\
end{align}

Размах ряда: 40-25=15

Моды ряда: 30, 35

Медиана ряда: 32.5
Среднее арифметическое чисел 21, 18,5, 25,3, 18,5, 17,9

begin{align}
& overline{a}=frac{21+18,5+25,3+18,5+17,9}{5}=20,24\
end{align}

Размах ряда: 25,3-17,9=7,4

Мода ряда: 18,5

Медиана ряда: 18,5

Примеры

Примеры нахождения среднего арифметического отрицательных и вещественных чисел.

Среднее арифметическое чисел 67,1, 68,2, 67,1, 70,4, 68,2

begin{align}
& overline{a}=frac{67,1+68,2+67,1+70,4+68,2}{5}=68,2\
end{align}

Размах ряда: 70,4-67,1=3,3

Моды ряда: 67.1, 68.2

Медиана ряда: 68.2
Среднее арифметическое чисел 0,6, 0,8, 0,5, 0,9, 1,1

begin{align}
& overline{a}=frac{0,6+0,8+0,5+0,9+1,1}{5}=0.78\
end{align}

Размах ряда: 1,1-0,5=0.6

Ряд не имеет моды

Медиана ряда: 0.8
Среднее арифметическое чисел -21, -33, -35, -19, -20, -22

begin{align}
& overline{a}=frac{(-21)+(-33)+(-35)+(-19)+(-20)+(-22)}{6}=-25\
end{align}

Размах ряда: (-19)-(-35)=16

Ряд не имеет моды

Медиана ряда: -21,5
Среднее арифметическое чисел -4, -6, 0, -4, 0, 6, 8, -12

begin{align}
& overline{a}=frac{(-4)+(-6)+0+(-4)+0+6+8+(-12)}{8}=-1,5\
end{align}

Размах ряда: 8-(-12)=20

Моды ряда: -4, 0

Медиана ряда: -2
Среднее арифметическое чисел 275, 286, 250, 290, 296, 315, 325

begin{align}
& overline{a}=frac{275+286+250+290+296+315+325}{7}=291\
end{align}

Размах ряда: 325-250=75

Ряд не имеет моды

Медиана ряда: 290
Среднее арифметическое чисел 38, 42, 36, 45, 48, 45, 45, 42, 40, 47, 39

begin{align}
& overline{a}=frac{38+42+36+45+48+45+45+42+40+47+39}{11}=42frac{6}{11}\
end{align}

Размах ряда: 48-36=12

Мода ряда: 45

Медиана ряда: 42
Среднее арифметическое чисел 3,8, 7,2, 6,4, 6,8, 7,2

begin{align}
& overline{a}=frac{3,8+7,2+6,4+6,8+7,2}{5}=6,28\
end{align}

Размах ряда: 7,2-3,8=3,4

Мода ряда: 7,2

Медиана ряда: 6,8
Среднее арифметическое чисел 21,6, 37,3, 16,4, 12,6

begin{align}
& overline{a}=frac{21,6+37,3+16,4+12,6}{4}=21,025\
end{align}

Размах ряда: 37,3-12,6=24,7

Мода ряда: 12,6

Медиана ряда: 17,1

Источник

Мода
и медиана –
особого рода средние, которые используются
для изучения структуры вариационного
ряда. Их иногда называют структурными
средними, в отличие от рассмотренных
ранее степенных средних.

Мода
– это величина признака (варианта),
которая чаще всего встречается в данной
совокупности, т.е. имеет наибольшую
частоту.

Мода
имеет большое практическое применение
и в ряде случаев только мода может дать
характеристику общественных явлений.

Медиана
– это варианта, которая находится в
середине упорядоченного вариационного
ряда.

Медиана
показывает количественную границу
значения варьирующего признака, которой
достигла половина единиц совокупности.
Применение медианы наряду со средней
или вместо нее целесообразно при наличии
в вариационном ряду открытых интервалов,
т.к. для вычисления медианы не требуется
условное установление границ отрытых
интервалов, и поэтому отсутствие сведений
о них не влияет на точность вычисления
медианы.

Медиану
применяют также тогда, когда показатели,
которые нужно использовать в качестве
весов, неизвестны. Медиану применяют
вместо средней арифметической при
статистических методах контроля качества
продукции. Сумма абсолютных отклонений
варианты от медианы меньше, чем от любого
другого числа.

Рассмотрим
расчет моды и медианы в дискретном
вариационном ряду:

Стаж, лет, X	Число рабочих, чел, f	Накопленные частоты
1	2	2
3	4	6
4	5	(11)
8	4	15
10	1	16
ИТОГО:	16	—

Определить моду и медиану.

Мода
Мо =
4 года, так как этому значению соответствует
наибольшая частота f
= 5.

Т.е.
наибольшее число рабочих имеют стаж 4
года.

Для
того, чтобы вычислить медиану, найдем
предварительно половину суммы частот.
Если сумма частот является числом
нечетным, то мы сначала прибавляем к
этой сумме единицу, а затем делим пополам:

Ме=16/2=8

Медианой
будет восьмая по счету варианта.

Для
того, чтобы найти, какая варианта будет
восьмой по номеру, будем накапливать
частоты до тех пор, пока не получим сумму
частот, равную или превышающую половину
суммы всех частот. Соответствующая
варианта и будет медианой.

Ме
= 4 года.

Т.е.
половина рабочих имеет стаж меньше
четырех лет, половина больше.

Если
сумма накопленных частот против одной
варианты равна половине сумме частот,
то медиана определяется как средняя
арифметическая этой варианты и
последующей.

Вычисление
моды и медианы в интервальном вариационном
ряду

Мода
в интервальном вариационном ряду
вычисляется по формуле

где Х_М0— начальная
граница модального интервала,

hм₀
– величина модального интервала,

fм₀,
fм_0-1,
fм₀₊₁– частота
соответственно модального интервала,
предшествующего модальному и последующего.

Модальным
называется такой интервал, которому
соответствует наибольшая частота.

Пример
1

Группы по стажу	Число рабочих, чел	Накопленные частоты
1	2	3
До 2	4	4
2-4	23	27
4-6	20	47
6-8	35	82
8-10	11	93
свыше 10	7	100
ИТОГО:	100	—

Определить
моду и медиану.

Решение.

Модальный
интервал [6-8], т.к. ему соответствует
наибольшая частота f
= 35. Тогда:

Хм₀=6,
fм₀=35

hм₀=2,
fм_0-1=20

fм₀₊₁=11

Вывод:
Наибольшее число рабочих имеет стаж
примерно 6,7 лет.

Для
интервального ряда Ме вычисляется по
следующей формуле:

где Хм_е
–
нижняя граница медиального интервала,

hм_е
– величина медиального интервала,

–
половина суммы частот,

fм_е
– частота медианного интервала,

Sм_е-1–сумма
накопленных частот интервала,
предшествующего медианному.

Медианный
интервал – такой интервал, которому
соответствует кумулятивная частота,
равная или превышающая половину суммы
частот.

Определим
медиану для нашего примера.

Найдем:

т.к
82>50, то медианный интервал [6-8].

Тогда:

Хм_е
=6, fм_е
=35,

hм_е
=2, Sм_е-1=47,

Вывод: Половина рабочих имеет стаж
меньше 6,16 лет, а половина имеет стаж
больше, чем 6,16 лет.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

8.4. МОДА и МЕДИАНА (структурные средние)

Мода и медиана наиболее часто используемые в экономической практике структурные средние.

Мода – это величина признака (варианта), который наиболее часто встречается в данной совокупности, т.e. это варианта, имеющая наибольшую частоту.

В дискретном ряду мода определяется в соответствии с определением, т.е. это одна из вариант признака, которая в ряду распределения имеет наибольшую частоту.

Для интервального ряда моду находим по формуле (8.16), сначала по наибольшей частоте определив модальный интервал:

(8.16 – формула Моды)

где х_о – начальная (нижняя) граница модального интервала;

h – величина интервала;

f_Мо – частота модального интервала;

f_Мо-1 – частота интервала, предшествующая модальному;

f_Мо+1– частота интервала следующая за модальным.

Медианой называется такое значение признака, которое приходится на середину ранжированного ряда, т.е. в ранжированном ряду распределения одна половина ряда имеет значение признака больше медианы, другая – меньше медианы.

В дискретном ряду медиана находится непосредственно по накопленной частоте, соответствующей номеру медианы.

В случае интервального вариационного ряда медиану определяют по формуле:

(8.17 – формула Медианы)

где х_о – нижняя граница медианного интервала;

N_Ме– порядковый номер медианы (Σf/2);

S _Me_-1 – накопленная частота до медианного интервала;

f_Ме – частота медианного интервала.

Пример вычисления Моды.

Рассчитаем моду и медиану по данным табл. 8.4.

Таблица 8.4 – Распределение семей города N по размеру среднедушевого дохода в январе 2018 г. руб.(цифры условные)

Группы семей по размеру дохода, руб.	Число семей	Накоп- ленные частоты	в % к итогу
До 5000	600	600	6
5000-6000	700	1300 (600+700)	13
6000-7000	1700 (f_Мо-1)	3000 (S _Me_-1 ) (1300+1700)	30
7000-8000 (х_о)	2500 (f_Мо) (f_Ме)	5500 (S _Me)	55
8000-9000	2200 (f_Мо+1)	7700	77
9000-10000	1500	9200	92
Свыше 10000	800	10000	100
Итого	10000	–	–

Пример вычисления Моды. Найдем моду по формуле (8.16) см. обозначения в таблице, а h = 8000-7000=1000, т.е. получаем:

Пример вычисления Моды

Пример вычисления Медианы интервального вариационного ряда. Рассчитаем медиану по формуле (8.17):

1) сначала находим порядковый номер медианы: N_Ме = Σf_i/2= 5000.

2) по накопленным частотам в соответствии с номером медианы определяем, что 5000 находится в интервале (7000 – 8000), далее значение медианы определим по формуле (8.17):

Пример вычисления Медианы

Вывод: по моде – наиболее часто встречается среднедушевой доход в размере 7730 руб., по медиане – что половина семей города имеет среднедушевой доход ниже 7800 руб., остальные семьи – более 7800 руб.

Пример .СРЕДНИЙ, МЕДИАННЫЙ И МОДАЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ ДЕНЕЖНЫХ ДОХОДОВ НАСЕЛЕНИЯ ЦЕЛОМ ПО РОССИИ И ПО СУБЪЕКТАМ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЗА 2013 год см. по ссылке. Источник: оценка на основании данных ^{выборочного обследования бюджетов домашних хозяйств}^и^{макроэкономического показателя денежных доходов населения}

Соотношение моды, медианы и средней арифметической указывает на характер распределения признака в совокупности, позволяет оценить его асимметрию.

Если Мо<М_е<Х – имеет место правосторонняя асимметрия.

При Х<М_е<Мо следует сделать вывод о левосторонней асимметрии ряда.

Средние величины (арифметическая, гармоническая, геометрическая, квадратическая) см. по ссылке

Оценка статьи:

Загрузка…

Источник

Советы

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

Среднее арифметическое, размах, мода и медиана

Статистические характеристики

Среднее арифметическое, размах, мода и медиана

Примеры

Среднее арифметическое чисел 30, 5, 23, 5, 28, 30

Среднее арифметическое чисел 40, 35, 30, 25, 30, 35

Среднее арифметическое чисел 21, 18,5, 25,3, 18,5, 17,9

Примеры

Среднее арифметическое чисел 67,1, 68,2, 67,1, 70,4, 68,2

Среднее арифметическое чисел 0,6, 0,8, 0,5, 0,9, 1,1

Среднее арифметическое чисел -21, -33, -35, -19, -20, -22

Среднее арифметическое чисел -4, -6, 0, -4, 0, 6, 8, -12

Среднее арифметическое чисел 275, 286, 250, 290, 296, 315, 325

Среднее арифметическое чисел 38, 42, 36, 45, 48, 45, 45, 42, 40, 47, 39

Среднее арифметическое чисел 3,8, 7,2, 6,4, 6,8, 7,2

Среднее арифметическое чисел 21,6, 37,3, 16,4, 12,6

8.4. МОДА и МЕДИАНА (структурные средние)