Как найти модуль аргумента комплексного числа - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Модуль и аргумент комплексного числа

Пусть задано комплексное число $ z = a+bi $.

Формула

Модуль комплексного числа равен корню квадратному из суммы квадратов мнимой и действительной части и находится по формуле: $$ |z| = sqrt{a^2 + b^2} $$

Если комплексное число состоит только из действительной части $ z = a $, то его модуль равен $ |z| = |a| $.

Стоит заметить, что модуль комплексных чисел всегда неотрицательный $ |z| ge 0 $ и равен нулю $ |z| = 0 $, только в случае $ z = 0 $.

Формула

Аргумент комплексного числа обозначается $ varphi = arg z $ и зависит от полуплоскости, в которой лежат числа $a,b$:

$ a > 0 $, тогда $ varphi = arctg frac{b}{a} $
$ a < 0, b ge 0 $, тогда $ varphi = pi + arctg frac{b}{a} $
$ a < 0, b < 0 $, тогда $ varphi = -pi + arctg frac{b}{a} $
$ a = 0, b > 0 $, тогда $varphi = frac{pi}{2}$
$ a = 0, b < 0 $, тогда $varphi = -frac{pi}{2}$

Введите комплексное число

Пример 1 Пример 2 Правила ввода

Пример 1

Найти модуль и аргумент комплексного числа $ z = 3 — 4i $.

Решение

Комплексное число состоит из действительной и мнимой части:

$$ a = Re z = 3 $$ $$ b = Im z = -4 $$

Применяя формулу вычисления модуля получаем:

$$ |z| = sqrt{a^2 + b^2} = sqrt{3^2 + (-4)^2} = sqrt{9+16} = 5 $$

Теперь вычисляем аргумент. Так как $a = 3 > 0$, то получаем аргумент:

$$varphi = arctg frac{b}{a} = arctg frac{-4}{3} = -arctg frac{4}{3}.$$

Ответ

$$ |z| = 5, varphi = -arctg frac{4}{3} $$

Пример 2

Найти модуль и аргумент комплексного числа $ z = 3i $

Решение

В данном случае отсутствует действительная часть, а вернее она равна нулю:

$$ a = Re z = 0 $$

Мнимая часть комплексного числа равна: $$ b = Im z = 3 $$

Вычисляем модуль по уже известной формуле:

$$ |z| = sqrt{a^2 + b^2} = sqrt{0^2 + 3^2} = sqrt{9} = 3 $$

А вот аргумент здесь попадает под правило при $a = 0, b>0$ и значит равен $$varphi = frac{pi}{2}.$$

Ответ

$$ |z| = 3, varphi = frac{pi}{2} $$

Пример 3

Найти модуль и аргумент комплексного числа $$ z = 1+sqrt{3}i $$

Решение

Выписываем действительную и мнимую часть:

$$ a = 1 $$ $$ b = sqrt{3} $$

Так как $ a > 0 $, то аргумент равен

$$ varphi = arctg frac{sqrt{3}}{1} = arctg sqrt{3} = frac{pi}{3} $$

Находим модуль извлекая квадратный корень из суммы квадратов действительной и мнимой части: $$|z| = sqrt{1^2 + (sqrt{3})^2} = sqrt{1+3}=2.$$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ varphi = frac{pi}{3}, |z| = 2 $$

Пример 4

Найти аргумент комплексного числа $$ z = -1 + sqrt{3}i $$

Решение

Действительная часть $$ a = Re z = -1 $$

Мнимая часть $$ b = Im z = sqrt{3} $$

Так как $ a < 0 $ и $ b > 0 $, то пользуемся второй формулой:

$$ varphi = arg z = pi + arctg frac{sqrt{3}}{-1} = pi + arctg (-sqrt{3}) = $$

$$ = pi — arctg(sqrt{3}) = pi — frac{pi}{3} = frac{2pi}{3}. $$

Ответ

$$ varphi = frac{2pi}{3} $$

Источник

Щебетун Виктор

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Определение 1

Длина радиус-вектора, который изображает заданное комплексное число $z=a+bi$, называется модулем данного комплексного числа.

Модуль заданного комплексного числа вычисляется по следующей формуле:

[r=|z|=|a+bi|=sqrt{a^{2} +b^{2} } .]

Пример 1

Вычислить модуль заданных комплексных чисел $z_{1} =13,, , z_{2} =4i,, , , z_{3} =4+3i$.

Решение:

Модуль комплексного числа $z=a+bi$ вычислим по формуле: $r=sqrt{a^{2} +b^{2} } $.

Для исходного комплексного числа $z_{1} =13$ получим $r_{1} =|z_{1} |=|13+0i|=sqrt{13^{2} +0^{2} } =sqrt{169} =13$

Для исходного комплексного числа $, z_{2} =4i$ получим $r_{2} =|z_{2} |=|0+4i|=sqrt{0^{2} +4^{2} } =sqrt{16} =4$

Для исходного комплексного числа $, z_{3} =4+3i$ получим $r_{3} =|z_{3} |=|4+3i|=sqrt{4^{2} +3^{2} } =sqrt{16+9} =sqrt{25} =5$

Сдай на права пока
учишься в ВУЗе

Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!

Получить скидку 3 000 ₽

Определение 2

Угол $varphi $, образованный положительным направлением вещественной оси и радиус-вектором $overrightarrow{OM} $, который соответствует заданному комплексному числу $z=a+bi$, называется аргументом данного числа и обозначается $arg z$.

Примечание 1

Модуль и аргумент заданного комплексного числа в явном виде используются при представлении комплексного числа в тригонометрической или показательной форме:

$z=rcdot (cos varphi +isin varphi )$ — тригонометрическая форма;
$z=rcdot e^{ivarphi } $ — показательная форма.

Пример 2

Записать комплексное число в тригонометрической и показательной формах, заданное следующими данными: 1) $r=3;varphi =pi $; 2) $r=13;varphi =frac{3pi }{4} $.

«Модуль и аргумент комплексного числа» 👇

Решение:

1) Подставим данные $r=3;varphi =pi $ в соответствующие формулы и получим:

$z=3cdot (cos pi +isin pi )$ — тригонометрическая форма

$z=3cdot e^{ipi } $ — показательная форма.

2) Подставим данные $r=13;varphi =frac{3pi }{4} $ в соответствующие формулы и получим:

$z=13cdot (cos frac{3pi }{4} +isin frac{3pi }{4} )$ — тригонометрическая форма

$z=13cdot e^{ifrac{3pi }{4} } $ — показательная форма.

Пример 3

Определить модуль и аргумент заданных комплексных чисел:

1) $z=sqrt{2} cdot (cos 2pi +isin 2pi )$; 2) $z=frac{5}{3} cdot (cos frac{2pi }{3} +isin frac{2pi }{3} )$; 3) $z=sqrt{13} cdot e^{ifrac{3pi }{4} } $; 4) $z=13cdot e^{ipi } $.

Решение:

Модуль и аргумент найдем, используя формулы записи заданного комплексного числа в тригонометрической и показательной формах соответственно

[z=rcdot (cos varphi +isin varphi );] [z=rcdot e^{ivarphi } .]

1) Для исходного комплексного числа $z=sqrt{2} cdot (cos 2pi +isin 2pi )$ получим $r=sqrt{2} ;varphi =2pi $.

2) Для исходного комплексного числа $z=frac{5}{3} cdot (cos frac{2pi }{3} +isin frac{2pi }{3} )$ получим $r=frac{5}{3} ;varphi =frac{2pi }{3} $.

3) Для исходного комплексного числа $z=sqrt{13} cdot e^{ifrac{3pi }{4} } $ получим $r=sqrt{13} ;varphi =frac{3pi }{4} $.

4) Для исходного комплексного числа $z=13cdot e^{ipi } $ получим $r=13;varphi =pi $.

Аргумент $varphi $ заданного комплексного числа $z=a+bi$ можно вычислить, используя следующие формулы:

[varphi =tgfrac{b}{a} ;cos varphi =frac{a}{sqrt{a^{2} +b^{2} } } ;sin varphi =frac{b}{sqrt{a^{2} +b^{2} } } .]

На практике для вычисления значения аргумента заданного комплексного числа $z=a+bi$ обычно пользуются формулой:

$varphi =arg z=left{begin{array}{c} {arctgfrac{b}{a} ,age 0} \ {arctgfrac{b}{a} +pi ,a

или решают систему уравнений

$left{begin{array}{c} {cos varphi =frac{a}{sqrt{a^{2} +b^{2} } } } \ {sin varphi =frac{b}{sqrt{a^{2} +b^{2} } } } end{array}right. $. (**)

Пример 4

Вычислить аргумент заданных комплексных чисел: 1) $z=3$; 2) $z=4i$; 3) $z=1+i$; 4) $z=-5$; 5) $z=-2i$.

Решение:

1) $z=3$

Так как $z=3$, то $a=3,b=0$. Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):

[varphi =arg z=arctgfrac{0}{3} =arctg0=0.]

2) $z=4i$

Так как $z=4i$, то $a=0,b=4$. Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):

[varphi =arg z=arctgfrac{4}{0} =arctg(infty )=frac{pi }{2} .]

3) $z=1+i$.

Так как $z=1+i$, то $a=1,b=1$. Вычислим аргумент исходного комплексного числа, решая систему (**):

[left{begin{array}{c} {cos varphi =frac{1}{sqrt{1^{2} +1^{2} } } =frac{1}{sqrt{2} } =frac{sqrt{2} }{2} } \ {sin varphi =frac{1}{sqrt{1^{2} +1^{2} } } =frac{1}{sqrt{2} } =frac{sqrt{2} }{2} } end{array}right. .]

Из курса тригонометрии известно, что $cos varphi =sin varphi =frac{sqrt{2} }{2} $ для угла, соответствующего первой координатной четверти и равного $varphi =frac{pi }{4} $.

4) $z=-5$

Так как $z=-5$, то $a=-5,b=0$. Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):

[varphi =arg z=arctgfrac{0}{-5} +pi =arctg0+pi =0+pi =pi .]

5) $z=-2i$

Так как $z=-2i$, то $a=0,b=-2$. Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):

[varphi =arg z=arctgfrac{-2}{0} =arctg(-infty )=frac{3pi }{2} .]

Примечание 3

Аргумент чисто мнимых чисел равен соответственно:

$frac{pi }{2} $ с положительной мнимой частью;
$frac{3pi }{2} $ с отрицательной мнимой частью.

Решение:

Число $z_{1} $ изображено точкой $(3;0)$, следовательно, длина радиус-вектора равна 3, т.е. $r=3$, а аргумент $varphi =0$ по примечанию 2.

Число $z_{2} $ изображено точкой $(-2;0)$, следовательно, длина соответствующего радиус-вектора равна 2, т.е. $r=2$, а аргумент $varphi =pi $ по примечанию 2.

Число $z_{3} $ изображено точкой $(0;1)$, следовательно, длина соответствующего радиус-вектора равна 1, т.е. $r=1$, а аргумент $varphi =frac{pi }{2} $ по примечанию 3.

Число $z_{4} $ изображено точкой $(0;-1)$, следовательно, длина соответствующего радиус-вектора равна 1, т.е. $r=1$, а аргумент $varphi =frac{3pi }{2} $ по примечанию 3.

Число $z_{5} $ изображено точкой $(2;2)$, следовательно, длина соответствующего радиус-вектора равна $sqrt{2^{2} +2^{2} } =sqrt{4+4} =sqrt{8} =2sqrt{2} $, т.е. $r=2sqrt{2} $, а аргумент $varphi =frac{pi }{4} $ по свойству прямоугольного треугольника.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Источник

Определение.
Модулем
комплексного числа
называется длина вектора, изображающего
это число, и обозначается
.

Модуль
числа z
= x
+ iy
определяется однозначно и может быть
найден по формуле
=

Нетрудно
видеть, что z
∙
=

и
.

Если
z
= 0 , то
.

Определение.
Аргументом
комплексного числа
z
≠ 0 называется любой угол ,
отсчитываемый от положительного луча
оси ОХ до радиус-вектора z.
Этот угол считается положительным, если
отсчет производится против часовой
стрелки, и отрицательным – в противоположном
случае. Для числа z
= 0 аргумент не определен.

В
отличие от модуля, аргумент комплексного
числа определяется неоднозначно.

Пример
6.1 Найти
аргумент комплексного числа 1 + i.

Решение.

Аргументами
числа 1 + i
являются углы

(рисунок 4),

(рисунок 5),

(рисунок 6) и, вообще, любой из углов.

,
k

Z.

Рисунок
4 Рисунок 5
Рисунок
6

Все
множество аргументов числа z
обозначается Arg
z,
(фр. Ar-gument
– аргумент). Такое значение 

Arg
z,
которое принадлежит промежутку –
< 
≤ 
либо 0 ≤ 
< 2
и называется главным
аргументом.
Он обозначается arg
z
и определяется однозначно

Arg
z = arg z + 2k,
k 
Z,
– 
< arg z ≤ .

Упражнения

7 Отметить на
плоскости точки, изображающие следующие
комплексные числа:

а)
2i
– 3; б)
;
в)
–6 + 2i;

г)
–2 – 2i; д)
(1 – i)⁴;
е)

8 Найти модуль и
аргумент комплексного числа:

а)
–
;
б)
;
в) 3 – 2;

г)
(i + 1)(i – 2); д)

§ 7 Тригонометрическая (полярная) форма

комплексного
числа

Модуль

и аргумент 
комплексного числа z
= x
+ iy
≠ 0 – это, по существу, полярные координаты
(r;
)
точки М(х; у) – рису- нок 7.

Используя
связь между декартовыми и полярными
координатами точки М (рисунок

,

можно
любое комплексное число z
≠ 0 представить в виде:

z
= x + iy = r ∙ cos 
+ ir ∙ sin 
= r(cos 
+ i sin ).

Рисунок
7 Рисунок 8

Запись
z
= r(cos

+ i
sin
)
называется тригонометрической
или полярной
формой
комплексного числа.

Чтобы
записать число z
= x
+ iy
≠ 0 в тригонометрической форме, следует
найти его модуль по формуле

и один из аргументов, решив систему
.

Аргумент
комплексного числа можно определить
из соотношения
,
являющегося следствием последней
системы. Откуда 

Однако
не все решения этого соотношения являются
решением системы. Напомним, что период
функции y
= tg
x равен .
При с 
R
одно из решений уравнения tg

= c,
удовлетворяющее условию
,
обозначается arctg
c.
Таким образом, в промежутке (– ;
]
имеются два угла, тангенсы которых равны

.
Для определения четверти, в которой
лежит угол ,
нужно еще учесть знаки х, у – координат
точки z:

если
точка z
лежит в I
и IV
четверти, x
> 0, то

 =
arg
z
=
(рисунок 9);

2)
если точка z
лежит во II
четверти, т.е. x
< 0, y
> 0, то
и
arg
z
=
(рисунок 10);

3)
Если точка z
лежит в III
четверти, т.е. x
< 0, y
< 0, то

и

(рисунок
11).

Рисунок 9
Рисунок 10

Рисунок 11

Для главного
аргумента справедливы формулы:

Пример
7.1 Записать
числа в тригонометрической форме:

1)
z = 4 + 4i.

Решение.

x
= 4, y
= 4 (I
четверть);
.

Так
как arg
z
=

,
то

z
= 4 + 4i =

2)
z =
–
i.

Решение.

x
=,
y
= –1 (IVчетверть);

Так
как x
> 0, 
= arg
z
= arctg

Поэтому

– i
= 2

3)
z = – 2 –
i.

Решение.

x
= –2, y = –

(III четверть);

Так
как x
< 0 и y
< 0, 
= arg
z
= –

–2
–
i
=

4)
z = –+
i.

Решение.

x
= –,
y
= 1 (II
четверть);

.
Так как x
< 0, y
> 0,

 =
arg z =

–+
i =

5)
z = 5.

Решение.

Так
как число z
= 5 действительное и 5 > 0, то


= 0.

6)
z = –.

Решение.

,

= 
(так как –<
0).

7)
z = 3i.

Решение.

Так
как число z
= 3i
– мнимое (х = 0, у = 3), причем y
= Im
z
=

=
3 > 0, то
,

= arg
z
=.

z = –i.

Решение.

x
= 0, y = –<
0;
,

= arg
z
= –
.

9)
z = cos
– isin
.

Решение.

Данная
запись числа не является тригонометрической.
Это чис-ло записано в алгебраической
форме, где

, у = –
.

Искомая
запись имеет вид z
= cos

+ isin
.

;

;
arg z = –.

–

Данное представление
могло быть получено, учитывая чет-ность
функции y = cos x и нечетность функции y =
sin x.

10)
z = –

Решение.

,
поэтому искомая запись имеет вид: z
= cos 
+ i sin .

Так
как
,
то –

– sin

Соседние файлы в папке КЧ

Источник

Что такое комплексное число

Комплексное число — это выражение типа (z;=;a;+;ib). Здесь a и b будут являться любыми действительными числами, а i — специальным числом, называемым мнимой единицей. Действительная часть комплексного числа обозначается как (a;=;RE;z ), а мнимая часть — (b;=;Im;z).

Во множестве комплексных чисел содержится множество вещественных чисел. Если множество комплексных чисел — это всевозможные пары (x, y), то содержащееся в нем множество вещественных чисел — это пары (x, 0). Те же комплексные числа, которые задают пары (0, y) являются мнимыми.

Что такое модуль комплексного числа

Модуль комплексного числа — это длина вектора, который изображает комплексное число.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Любое комплексное число кроме 0 может быть выражено в тригонометрической форме.

(z;=;left|zright|;cdot;(cosleft(varphiright);+;isinleft(varphiright)))

В этом виде (left|zright|) — модуль комплексного числа z. Может обозначаться как p и r.

Если (left|zright|;=;r,) то r будет обозначать длину радиус-вектора точки M (x, y).

Вычисление модуля комплексного числа, если в алгебраической форме оно выглядит как z = x + iy, возможно по следующей формуле:

(left|zright|;=;sqrt{x^2;+;y^2})

То есть модуль комплексного числа можно вычислить как квадратный корень из суммы квадратов действительной и мнимой его частей.

Модуль комплексного числа имеет следующие свойства:

Модуль не отрицателен — (left|xright|;geq;0). (left|xright|;=;0) только в том случае, если z = 0.
Модуль суммы двух комплексных чисел будет меньше или равен сумме модулей: (left|z_1;+;z_2right|;leq;left|z_1right|;+;left|z_2right|.)
Модуль результата умножения двух комплексных числе будет равен произведению модулей: (left|z_1;cdot;z_2right|;=;left|z_1right|;cdot;left|z_2right|.)
Модуль результата деления двух комплексных чисел будет равняться частному модулей: (left|z_1;div;z_2right|;=;left|z_1right|;div;left|z_2right|.)
Модуль неравенства комплексных чисел будет равен расстоянию между этими числами на комплексной плоскости: (left|z_1;-;z_2right|;=;sqrt{left(x_1;-;x_2right)^2;+;left(y_1;-;y_2right)^2}).

Что такое аргумент комплексного числа

Аргумент комплексного числа — это угол (varphi) радиус-вектора точки, соответствующей комплексному числу (z;:;varphi;=;arg;z) на комплексной плоскости. Этот угол измеряется в радианах.

Каждое комплексное число, которое не равно нулю, имеет бесконечное множество аргументов. Эти аргументы отличаются друг от друга на целое число полный оборотов — (360^circ;cdot;k) при k — любое число.

Связь аргумента комплексного числа с его координатами отражена в следующих формулах:

(tanleft(varphiright);=;frac ba)

(cosleft(varphiright);=;frac a{sqrt{a^2;+;b^2}})

(sinleft(varphiright);=;frac b{sqrt{a^2;+;b^2}})

Важно помнить, что ни одна из этих формул отдельно недостаточна для того, чтобы найти аргументы. Формулы используются в совокупности, а также учитывается номер четвертый на координатной плоскости, в которой находится комплексное число.

Аргумент может быть записан в тригонометрической форме. Для комплексного числа (z = x + iy), это будет выглядеть следующим образом:

(z;=;r;(cosleft(varphiright);+;i;sinleft(varphiright)))

Здесь (r) будет модулем комплексного числа (z), а (varphi) — arg z.

Важно отметить, arg z имеет смысл лишь при (z neq 0), комплексное число ноль не имеет аргумента.

Как вывести формулу модуля

В соответствии с теоремой Пифагора длина вектора с координатами a и b равна (sqrt{a^2;+;b^2}).

Так как именно эта величина называется модулем комплексного числа (z = a + bi), тогда (left|xright|;=;sqrt{a^2;+;b^2}).

Примеры решения задач

Задача

Найти модуль числа (z;=;-5;+;15i)

Решение

(x;=;Re;z;=;-15) — действительная часть, а (y;=;Im;z;=;15) — мнимая часть комплексного числа (z;=;-5;+;15i.)

Таким образом, модуль числа равен следующему выражению:

(r;=;sqrt{x^2;+;y^2};=sqrt{{(-5)}^2;+;15^2};=;sqrt{25;+;225};=;sqrt{250} )

Ответ: (r;=;sqrt{250})

Задача

Найти расстояние между числами (z_1;=;1;-;3i,;z_2;=;-2;+;2i) на комплексной плоскости.

Решение

Расстояние между двумя комплексными числами находятся как модуль разности комплексных чисел. Используем необходимую формулу:

(left|z_1;-;z_2right|;=;sqrt{{(x_1;-;x_2)}^2;+;left(y_1;-;y_2right)^2};=;sqrt{(1;-;{(-2))}^2;+;{(-2;-;2)}^2};=;sqrt{34})

Ответ: (sqrt{34})

Задача

Найти значение аргумента комплексного числа (sqrt{34}) и выразить его в тригонометрической форме.

Решение

Если действительно частью комплексного числа (z;=;1;+;sqrt{3i}) является число (x = Re z = 1), а мнимой частью является (y = Im z;=sqrt3), то аргумент можно вычислить по формуле:

(varphi;=;arg;z;=;arctg;frac yx;=;arctg;frac{sqrt3}1;=;arctg;sqrt3;=;frac{mathrmpi}3)

Теперь для нахождения тригонометрической формы записи комплексного числа необходимо найти модуль.

(r;=;sqrt{x^2;+;y^2};=;sqrt{1^2;+;{(sqrt3)}^2};=;sqrt{1+3};=;sqrt4;=;2)

Исходя из этого, тригонометрическая форма комплексного числа выглядит следующим образом:

(z;=;2;(cosleft(frac{mathrmpi}3right);+;i;sinleft(frac{mathrmpi}3right)))

Ответ: аргумент равен (frac{mathrmpi}3). Тригонометрическая форма записана выше.

Задача

Найти модуль и аргумент числа (z = 2 — i)

Решение

Найдем (left|zright|;=;sqrt{2^2;+;{(-;1)}^2};=;sqrt5.)

Так как (Re z = 2 > 0), (Im z = -1 < 0), точка расположена в 4 четверти. Тогда из равенства (tanleft(varphiright);=;-frac12) следует:

(varphi;=;arctanleft(-frac12right))

Ответ: (varphi;=;arctanleft(-frac12right))

Источник

Комплексные числа в тригонометрической
и показательной формах

Тригонометрическая форма комплексного числа

Каждому комплексному числу z=x+iy геометрически соответствует точка M(x,y) на плоскости Oxy . Но положение точки на плоскости, кроме декартовых координат (x,y) , можно зафиксировать другой парой — ее полярных координат (r,varphi) в полярной системе (рис. 1.3,a).

Величина является неотрицательной и для данной точки определяется единственным образом, а угол varphi может принимать бесчисленное множество значений (при этом zne0 ): если точке соответствует некоторое значение varphi_0 , то ей также соответствуют значения varphi=varphi_0+2kpi,~ k=0,pm1,pm2,ldots . Например, если для точки z=-1-i (см. рис. 1.1) выбрать $varphi_0=frac{5pi}{4}$ , то ей соответствует любое $varphi=frac{5pi}{4}+2kpi,~ k=0,pm1,ldots$ , в частности $varphi=-frac{3pi}{4}$ при k=-1 . Если же выбрать $varphi_0=-frac{3pi}{4}$ , то $varphi=-frac{3pi}{4}+2kpi,~ k=0,pm1,ldots$ , а при k=1 получаем $varphi=frac{5pi}{4}$ .

Положение точки на плоскости в полярных координатах

Используя связь декартовых и полярных координат точки $Mcolon begin{cases} x=rcosvarphi,\ y=rsinvarphiend{cases}$ (рис. 1.3,б), из алгебраической формы записи комплексного числа z=x+iy получаем тригонометрическую форму:

z=r bigl(cosvarphi+isinvarphibigr).

(1.3)

Показательная форма комплексного числа

Если обозначить комплексное число , у которого operatorname{Re}z= cosvarphi , а operatorname{Im}z=sinvarphi , через $e^{i,varphi}$ , то есть $cosvarphi+isinvarphi=e^{i,varphi}$ , то из (1.3) получим показательную форму записи комплексного числа:

$z=r,e^{i,varphi}.$

(1.4)

Равенство $e^{i,varphi}= cosvarphi+isinvarphi$ называется формулой Эйлера.

Заметим, что геометрически задание комплексного числа z=(r,varphi) равносильно заданию вектора overrightarrow{OM} , длина которого равна , то есть bigl|overrightarrow{OM}bigr|=r , а направление — под углом varphi к оси (рис. 1.3,б).

Модуль комплексного числа

Число — длина радиуса-вектора точки M(x,y) называется модулем комплексного числа z=x+iy . Обозначение: |z|=r .

Из рис. 1.3,б получаем формулу для нахождения модуля числа, заданного и алгебраической форме z=x+iycolon

$|z|=sqrt{x^2+y^2},.$

(1.5)

Геометрический смысл модуля комплексного числа

Очевидно, что |z|geqslant0 и |z|=0 только для числа z=0~(x=0,,y=0) .

С помощью правила вычитания запишем модуль числа z=z_1-z_2 , где z_1=x_1+iy_1 и z_2=x_2+iy_2,colon

$bigl|z_1-z_2bigr|= sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2},.$

А это, как известно, есть формула для расстояния между точками M_1(x_1,y_1) и M_2(x_2,y_2) .

Таким образом, число |z_1-z_2| есть расстояние между точками z_1 и z_2 на комплексной плоскости.

Пример 1.13. Найти модули комплексных чисел:

$bold{1)}~z_1=2,~z_2=-2+sqrt{3},;qquad bold{2)}~z_3=-2i,~ z_4=(2-sqrt{3})i,;qquad bold{3)}~ z_5=-1+2i,.$

Решение

Аргумент комплексного числа

Полярный угол varphi точки M(x,y) называется аргументом комплексного числа z=x+iy . Обозначение: varphi=arg z .

В дальнейшем, если нет специальных оговорок, под arg z будем понимать значение varphi , удовлетворяющее условию -pi<varphileqslantpi . Так, для точки z=-1-i (см. рис. 1.1) $arg z=-frac{3pi}{4}$ .

Формулу для нахождения аргумента комплексного числа z=x+iy , заданного в алгебраической форме, получаем, используя связь декартовых и полярных координат точки M(x,y) (см. рис. 1.3,б). Для точек, не лежащих на мнимой оси, т.е. для , у которых xne0 , получаем $operatorname{tg}varphi= frac{y}{x}$ ; для точек мнимой положительной полуоси, т.е. для , у которых x=0,~ y>0 , имеем $varphi=frac{pi}{2}$ ; для точек мнимой отрицательной полуоси, т.е. для , у которых x=0,~ y<0 , соответственно $varphi=-frac{pi}{2}$ .

Аргумент числа z=0 — величина неопределенная.

Нахождение аргумента при xne0 сводится к решению тригонометрического уравнения $operatorname{tg}varphi= frac{y}{x}$ . При y=0 , т.е. когда z=x — число действительное, имеем varphi=0 при x>0 и varphi=pi при x<0 . При yne0 решение уравнения зависит от четверти плоскости Oxy . Четверть, в которое расположена точка , определяется по знакам operatorname{Re}z и operatorname{Im}z . В результате получаем:

Аргумент комплексного числа

$arg z= begin{cases}operatorname{arctg}dfrac{y}{x},& x>0;\ pi+operatorname{arctg}dfrac{y}{x},& x<0,ygeqslant0;\ -pi+operatorname{arctg}dfrac{y}{x},& x<0,y<0;\ dfrac{pi}{2},& x=0,~y>0;\ -dfrac{pi}{2},& x=0,~y<0.end{cases}$

(1.6)

При решении примеров удобно пользоваться схемой, которая изображена на рис. 1.5.

Пример 1.14. Найти аргументы чисел из примера 1.13.

Решение

Пример 1.15. Найти модуль и аргумент числа z=2-i .

Решение. Находим $|z|=sqrt{2^2+(-1)^2}= sqrt{5}$ . Так как operatorname{Re}z=2>0,~ operatorname{Im}z=-1<0 , т.е. точка расположена в четвертой четверти, то из равенства $operatorname{tg}varphi=-frac{1}{2}$ получаем $varphi= operatorname{arctg}!left(-frac{1}{2}right)$ (рис. 1.5).

Главное значение аргумента комплексного числа

Аргумент комплексного числа определяется неоднозначно. Это следует из неоднозначности задания величины угла varphi для данной точки, а также из тригонометрической формы записи комплексного числа и свойства периодичности функций sinvarphi и cosvarphi .

Всякий угол, отличающийся от arg z на слагаемое, кратное 2pi , обозначается operatorname{Arg}z и записывается равенством:

operatorname{Arg}z=arg z+2kpi,quad k=0,pm1,pm2,ldots,

(1.7)

где arg z — главное значение аргумента, -pi<arg zleqslantpi .

Комплексные числа с нулевыми вещественными и мнимыми частями

Пример 1.16. Записать arg z и operatorname{Arg}z для чисел z_1=1,~ z_2=-1,~ z_3=i,~ z_4=-i .

Решение. Числа z_1 и z_2 — действительные, расположены на действительной оси (рис. 1.6), поэтому

$arg z_1=0,~~ operatorname{Arg}z_1=2kpi;qquad arg z_2=pi,~~ operatorname{Arg}z_2= pi+2kpi,quad k=0,pm1,pm2,ldots;$

числа z_3 и z_4 — чисто мнимые, расположены на мнимой оси (рис. 1.6), поэтому

$arg z_3=frac{pi}{2},~~ operatorname{Arg}z_3=frac{pi}{2}+2kpi;qquad arg z_4=-frac{pi}{2},~~ operatorname{Arg}z_4= -frac{pi}{2}+2kpi,quad k=0,pm1, pm2,ldots$

Пример 1.17. Записать комплексные числа из примера 1.16:

а) в тригонометрической форме;

б) в показательной форме.

Решение

Модули всех чисел, очевидно, равны 1. Поэтому, используя решение предыдущего примера и формулы (1.3) и (1.4), получаем:

а) 1=cos2kpi+ isin2kpi;~~ -1=cos(pi+2kpi)+ isin(pi+2kpi);~~ k=0,pm1,pm2,ldots

$i=cos!left(frac{pi}{2}+2kpiright)+ isin!left(frac{pi}{2}+2kpiright);quad -i=cos!left(-frac{pi}{2}+2kpiright)+ isin!left(-frac{pi}{2}+2kpiright);$

б) $1=e^{2kpi i};~~ -1=e^{(pi+2kpi)i};~~ i=e^{left(frac{pi}{2}+2kpiright)i};~~ -i=e^{left(-frac{pi}{2}+2kpiright)i},~~ k=0,pm1,pm2,ldots$ .

Пример 1.18. Записать в тригонометрической форме числа $z_1=-1-i,~ z_2=cosfrac{pi}{5}-isinfrac{pi}{5},~ z_3= ileft(cosfrac{pi}{5}-isinfrac{pi}{5}right)$ .

Решение

Числа z_1 и z_2 записаны в алгебраической форме (заметим, что заданная запись числа z_2 не является тригонометрической формой записи (сравните с (1.3)). Находим модули чисел по формуле (1.5):

$|z_1|= sqrt{(-1)^2+(-1)^2}= sqrt{2},,qquad |z_2|=sqrt{cos^2 frac{pi}{5}+ left(-sin frac{pi}{5}right)^2}=1.$

Далее находим аргументы. Для числа z_1 имеем operatorname{tg}varphi=1 и, так как $operatorname{Re}z_1<0,~ operatorname{Im}z_1<0$ (точка расположена в третьей четверти), получаем $arg z_1=-pi+frac{pi}{4}=-frac{3pi}{4}$ (см. рис. 1.5). Для числа z_2 имеем $operatorname{tg}varphi=-operatorname{tg}frac{pi}{5}$ , или $operatorname{tg}varphi= operatorname{tg}left(-frac{pi}{5}right)$ , и, так как $operatorname{Re}z_2>0,~ operatorname{Im}z_2<0$ (точка расположена в четвертой четверти (см. рис. 1.5)), получаем $arg z_2=-frac{pi}{5}$ .

Записываем числа z_1 и z_2 в тригонометрической форме

$begin{gathered}z_1= sqrt{2} left[cosleft(-frac{3pi}{4}+2kpiright)+ isinleft(-frac{3pi}{4}+2kpiright)right];\[5pt] z_2= cosleft(-frac{pi}{5}+2kpiright)+ isinleft(-frac{pi}{5}+ 2kpiright)!,quad k=0,pm1,pm2,ldots end{gathered}$

Заметим, что для числа z_2 решение можно найти иначе, а именно используя свойства тригонометрических функций: cosalpha=cos(-alpha),~ -sinalpha=sin(-alpha) .

Число z_3 является произведением двух чисел. Выполнив умножение, получим алгебраическую форму записи (найдем $operatorname{Re}z_3$ и $operatorname{Im}z_3$ ): $z_3=sin frac{pi}{5}+ icos frac{pi}{5}$ . Здесь, как и для числа z_2 , при решении удобно использовать преобразования тригонометрических выражений, а именно $sinfrac{pi}{5}= cos!left(frac{pi}{2}-frac{pi}{5}right)!,~ cosfrac{pi}{5}= sin!left(frac{pi}{2}-frac{pi}{5}right)$ .

Рассуждая, как выше, найдем $|z_3|=1,~ arg z_3=frac{pi}{2}-frac{pi}{5}= frac{3pi}{10}$ . Для числа $z_3=sin frac{pi}{5}+ icos frac{pi}{5}$ , записанного в алгебраической форме, получаем тригонометрическую форму:

$z_3= cos!left(frac{3pi}{10}+2kpiright)+ isin!left(frac{3pi}{10}+2kpiright)!,quad k=0,pm1,pm2,ldots$

Равенство комплексных чисел в тригонометрической форме

Условия равенства комплексных чисел получаем, используя геометрический смысл модуля и аргумента комплексного числа, заданного в тригонометрической форме. Так, для чисел z_1=r_1(cosvarphi_1+ isinvarphi_1), z_2=r_2(cosvarphi_2+ isinvarphi_2), из условия z_1=z_2 . очевидно, следует:

r_1=r_2;qquad varphi_1-varphi_2=2kpi,quad k=0,pm1,pm2,ldots

или

$|z_1|=|z_2|,quad operatorname{Arg}z_1-operatorname{Arg}z_2= 2kpi,quad k=0,pm1,pm2,ldots$

(1.8)

Аргументы равных комплексных чисел либо равны (в частности равны главные значения), либо отличаются на слагаемое, кратное 2pi .

Для пары сопряженных комплексных чисел и overline{z} справедливы следующие равенства:

|overline{z}|= |z|,qquad argoverline{z}=-arg z,.

(1.9)

Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме

Зададим два комплексных числа в тригонометрической форме z_1=r_1(cosvarphi_1+ isinvarphi_1) и z_2=r_2(cosvarphi_2+isinvarphi_2) и перемножим их по правилу умножения двучленов:

$begin{aligned}z_1cdot z_2&= r_1cdot r_2cdot (cosvarphi_1+ isinvarphi_1)cdot (cosvarphi_2+isinvarphi_2)=\ &= r_1cdot r_2 bigl(cosvarphi_1cosvarphi_2- sinvarphi_1 sinvarphi_2+ i(cosvarphi_1 sinvarphi_2+ sinvarphi_1 cosvarphi_2)bigr) end{aligned}$

или

z_1cdot z_2= r_1cdot r_2cdot bigl(cos(varphi_1+varphi_2)+ isin(varphi_1+ varphi_2)bigr).

Получили новое число , записанное в тригонометрической форме: z=r(cosvarphi+ isinvarphi) , для которого r=r_1cdot r_2,~ varphi= varphi_1+ varphi_2 .

Правило умножения. При умножении комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули перемножаются, а аргументы складываются:

$|z_1cdot z_2|= |z_1|cdot |z_2|,qquad operatorname{Arg}(z_1cdot z_2)= arg z_1+arg z_2.$

(1.10)

В результате умножения чисел может получиться аргумент произведения, не являющийся главным значением.

Пример 1.19. Найти модули и аргументы чисел:

$bold{1)}~ z=-2i left(cosfrac{4pi}{7}- isinfrac{4pi}{7}right)!;qquad bold{2)}~ z=(1+i)(sqrt{3}-i).$

Решение

Каждое из заданных чисел записано в виде произведения. Найдем модули и аргументы сомножителей и воспользуемся правилом (1.10) умножения чисел, заданных в тригонометрической форме:

$bold{1)}quad z=z_1cdot z_2,quad z_1=-2i,quad z_2= cosfrac{4pi}{7}- isinfrac{4pi}{7}= cos!left(-frac{4pi}{7}right)+ isin!left(-frac{4pi}{7}right),.$

Для чисел z_1 и z_2 находим модули и аргументы: $|z_1|=2,~ arg z_1=-frac{pi}{2};~ |z_2|=1,~ arg z_2=-frac{4pi}{7}$ . Используя формулы (1.10), получаем

$|z|=|z_1|cdot|z_2|=2,quad operatorname{Arg}z= arg z_1+arg z_2= -frac{pi}{2}-frac{4pi}{7};quad arg z= 2pi- frac{15pi}{14}= frac{13pi}{14}$

б) $z=z_1cdot z_2,~ z_1=1+i,~ z_2=sqrt{3}-i$ . Для числа z_1 имеем: $|z_1|=sqrt{2},~ arg z_1=frac{pi}{4}$ ; для числа $z_2colon, |z_2|=2,~ operatorname{tg}varphi_2=-frac{1}{sqrt{3}}$ , и так как $operatorname{Re}z_2>0,~ operatorname{Im}z_2<0$ (точка расположена в четвертой четверти), то $arg z_2=-frac{pi}{6}$ . Используя формулы (1.10), получаем $|z|=2sqrt{2},~ arg z=frac{pi}{4}-frac{pi}{6}=frac{pi}{12}$ .

Заметим, что для решения этой задачи можно раскрыть скобки, записать каждое число в алгебраической форме, а затем найти |z| и arg z , используя формулы (1.5), (1.6).

Деление комплексных чисел в тригонометрической форме

Рассмотрим частное комплексных чисел $frac{z_1}{z_2}$ , заданных в тригонометрической форме. Из определения частного $z=frac{z_1}{z_2}$ имеем z_1=zcdot z_2 и, применяя к произведению правило умножения (формулы (1.10)), получаем $r=frac{r_1}{r_2},~ varphi=varphi_1-varphi_2$ .

Правило деления. Модуль частного, полученного в результате деления чисел, заданных в тригонометрической форме, равен частному от деления модуля числителя на модуль знаменателя, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя:

$left|frac{z_1}{z_2}right|= frac{|z_1|}{|z_2|},qquad operatorname{Arg}frac{z_1}{z_2}= arg z_1-arg z_2.$

(1.11)

В результате деления чисел по формуле (1.11) может получиться аргумент честного, не являющийся главным значением.

Пример 1.20. Записать в тригонометрической форме комплексное число $frac{1+i}{sqrt{3}-i}$ .

Решение. Обозначим $z=frac{z_1}{z_2},~ z_1=1+i,~ z_2=sqrt{3}-i$ . Для чисел z_1 и z_2 находим модули и аргументы: $|z_1|=sqrt{2},~ arg z_1=frac{pi}{4};$ $|z_2|=2,~ arg z_2=-frac{pi}{6}$ (см. пример 1.19). По формуле (1.11) получаем $|z|=frac{|z_1|}{|z_2|}=frac{sqrt{2}}{2},~ arg z=arg z_1-arg z_2=frac{pi}{4}-left(-frac{pi}{6}right)= frac{5pi}{12}$ и

$frac{1+i}{sqrt{3}-i}= frac{sqrt{2}}{2}left(cosleft(frac{5pi}{12}+2kpiright)+ isinleft(frac{5pi}{12}+2kpiright)right)!,~ k=0,pm1,pm2,ldots$

Возведение в степень комплексного числа в тригонометрической форме

Из определения степени z^n и правила умножения чисел, записанных в тригонометрической форме (формула (1.10)), получаем

$|z^n|=r^n,quad operatorname{Arg}z^n=nvarphi$ , где z=r(cosvarphi+ isinvarphi) .

Правило возведения в степень. При возведении в степень комплексного числа в эту степень возводится модуль числа, а аргумент умножается на показатель степени:

$|z^n|= |z|^n,qquad operatorname{Arg}z^n= narg z,.$

(1.12)

Записывая число z^n в тригонометрической форме z^n= r^n(cos nvarphi+ isin nvarphi) , получаем формулу возведения в степень:

bigl[r(cosvarphi+ isinvarphi)bigr]^n= r^n(cos nvarphi+ isin nvarphi).

(1.13)

При r=1 это равенство принимает вид и называется формула Муавра

(cosvarphi+ isinvarphi)^n= cos nvarphi+ isin nvarphi,.

(1.14)

Пример 1.21. Найти модуль и аргумент комплексного числа (1+i)^5 .

Решение. Обозначим z=z_1^5,~ z_1=1+i . Находим модуль и аргумент числа $z_1colon, |z_1|=sqrt{2},~ arg z_1=frac{pi}{4}$ . Поэтому $|z|= (sqrt{2})^5$ и $operatorname{Arg}z=5arg z_1=frac{5pi}{4}$ . Так как по определению для главного значения аргумента выполняется условие -pi<arg zleqslantpi , то $arg z= frac{5pi}{4}-2pi=-frac{3pi}{4}$ .

Пример 1.22. Записать в тригонометрической форме число $(1+i)^5(sqrt{3}-i)^7$ .

Решение

Пример 1.23. Используя формулу Муавра, найти выражения для cos3varphi и sin3varphi через тригонометрические функции угла varphi .

Решение

Из формулы (1.14) при n=3 имеем (cosvarphi+ isinvarphi)^3= cos3varphi+isin3varphi . Возведем левую часть в степень, учитывая, что i^3=-i (см. пример 1.8):

$begin{aligned}cos^3varphi+ i3cos^2varphisinvarphi- 3cosvarphi sin^2varphi+ i^3sin^3varphi&= cos3varphi+ isin3varphi,\ (cos^3varphi-3cosvarphisin^2varphi)+ i(3cos^2varphisinvarphi-sin^3varphi)&= cos3varphi+ isin3varphi.end{aligned}$

Используя условие равенства комплексных чисел, получаем:

cos3varphi= cos^3varphi- 3cosvarphisin^2varphi,qquad sin3varphi= 3cos^2varphi sinvarphi- sin^3varphi.

Извлечение корня из комплексного числа в тригонометрической форме

Рассмотрим задачу извлечения корня из комплексного числа, заданного в показательной или тригонометрической форме $z=r,e^{ivarphi}$ , или z=r(cosvarphi+ isinvarphi) . Искомое число w=sqrt[LARGE{n}]{z} также запишем в показательной форме: $w=rho,e^{ivarphi},~ rho=|w|,~ theta=arg w$ . Используя определение операции извлечения корня z=w^n и условия (1.8), получаем соотношения

rho^n=r,qquad ncdottheta= varphi+2kpi,quad k=0,pm1,pm2,ldots

или

$rho= sqrt[LARGE{n}]{r},quad theta= frac{varphi+2kpi}{n},quad k=0,pm1,pm2,ldots$

(1.15)

Правило извлечения корня. Чтобы извлечь корень из комплексного числа, нужно извлечь корень (арифметический) той же степени из модуля данного числа, а аргумент (operatorname{Arg}z) разделить на показатель корня:

$bigl|sqrt[LARGE{n}]{z}bigr|= sqrt[LARGE{n}]{|z|},qquad operatorname{Arg}sqrt[LARGE{n}]{z}= frac{operatorname{Arg}z}{n},.$

(1.16)

Теперь можно записать число w=sqrt[LARGE{n}]{z} в показательной форме:

$sqrt[LARGE{n}]{z}= sqrt[LARGE{n}]{|z|}cdot exp frac{i operatorname{Arg}z}{n},.$

Если записать это соотношение в тригонометрической форме, то, учитывая периодичность тригонометрических функций, нетрудно убедиться, что выражение sqrt[LARGE{n}]{z} принимает только различных значений. Для их записи достаточно в формуле (1.15) взять последовательных значений , например k=0,1,2,ldots,n-1 . В результате получаем формулу извлечения корня из комплексного числа в тригонометрической форме, где r=|z|,~ varphi=arg z :

$sqrt[LARGE{n}]{z}= sqrt[LARGE{n}]{r} left(cos frac{varphi+2kpi}{n}+ isin frac{varphi+2kpi}{n}right)!,quad 0,1,2,ldots,n-1.$

(1.17)

Значения корня комплексного числа

Замечания 1.1

1. Рассмотренная задача извлечения корня степени из комплексного числа равносильна решению уравнения вида z^n-a=0 , где, очевидно, z=sqrt[LARGE{n}]{a} .

Для решения уравнения нужно найти значений sqrt[LARGE{n}]{a} , а для этого необходимо найти r=|a|,~ varphi=arg a и использовать формулу извлечения корня.

2. Исследование формулы (1.17) показывает, что все комплексные числа w_k,~ k=1,2,ldots,n (значения sqrt[LARGE{n}]{z} ) имеют равные модули, т.е. геометрически расположены на окружности радиуса R=sqrt[LARGE{n}]{r},~ r=|z| . Аргументы двух последовательных чисел отличаются на $frac{2pi}{n}$ , так как $arg w_{k+1}-arg w_k= frac{2pi}{n}$ , т.е. каждое последующее значение $w_{k+1}$ может быть получено из предыдущего w_k поворотом радиуса-вектора точки w_k на $frac{2pi}{n}$ .В этом заключается геометрический смысл формулы (1.17), что можно сформулировать следующим образом.

Точки, соответствующие значениям sqrt[LARGE{n}]{z} , расположены в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность с центром в начале координат, радиус которой R= sqrt[LARGE{n}]{|z|} , причем аргумент одного из значений w_k равен $frac{arg z}{n}= frac{varphi}{n}$ (рис. 1.7).

Алгоритм решения комплексных уравнений вида z^n-a=0

1. Найти модуль и аргумент числа acolon, r=|a|,~ varphi=arg a .
2. Записать формулу (1.17) при заданном значении $ncolon, sqrt[LARGE{n}]{a}= sqrt[LARGE{n}]{r} left(cos frac{varphi+2kpi}{n}+ isin frac{varphi+2kpi}{n}right)$ .
3. Выписать значения корней уравнения z_k , придавая значения k=0,1,2,ldots,n-1 .

Пример 1.24. Решить уравнения: a) z^6-1=0 ; б) z^3-i=0 .

Решение

Задача равносильна задаче нахождения всех значений корня из комплексного числа. Решаем в каждом случае по алгоритму.

а) Найдем z=sqrt[LARGE{6}]{1} .
1. Определим модуль и аргумент числа 1colon, r=1,~ varphi=0 .
2. При полученных значениях и varphi записываем формулу (1.17):

$z= sqrt[LARGE{6}]{1}= sqrt[LARGE{6}]{1} left(cosfrac{2kpi}{6}+ isinfrac{2kpi}{6}right)!,qquad k=0,1,2,3,4,5.$

Заметим, что справа стоит sqrt[LARGE{6}]{1} — арифметический корень, его единственное значение равно 1.

3. Придавая последовательно значения от 0 до 5, выписываем решения уравнения:

$begin{array}{ll}z_1= cos0+isin0=1,&qquad z_2=cos dfrac{pi}{3}+isindfrac{pi}{3}= dfrac{1}{2}+ i,dfrac{sqrt{3}}{2},\[7pt] z_3= cosdfrac{2pi}{3}+ isindfrac{2pi}{3}= -dfrac{1}{2}+ i,dfrac{sqrt{3}}{2},&qquad z_4=cospi+isinpi=-1,\[10pt] z_5= cosdfrac{4pi}{3}+ isindfrac{4pi}{3}= -dfrac{1}{2}-i,dfrac{sqrt{3}}{2},&qquad z_6= cosdfrac{5pi}{3}+ isindfrac{5pi}{3}= dfrac{1}{2}-i,dfrac{sqrt{3}}{2}.end{array}$

Геометрически соответствующие точки расположены в вершинах правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиуса R=1 , одна из точек (соответствует k=0 ) z_1=1 . Строим шестиугольник (рис. 1.8,в). Отметим свойства корней этого уравнения с действительными коэффициентами — его комплексные корни являются попарно сопряженными: $z_6= overline{z}_2,~ z_5= overline{z}_3,~ z_1$ и z_4 — действительные числа.

б) Найдем z=sqrt[LARGE{3}]{i} .
1. Определим модуль и аргумент числа $rcolon, r=|i|=1,~ varphi=arg i=frac{pi}{2}$ .
2. По формуле (1.17) имеем

$sqrt[LARGE{3}]{i}= 1cdot left(cosfrac{frac{pi}{2}+2kpi}{3}+ isin frac{frac{pi}{2}+2kpi}{3}right)= cos!left(frac{pi}{6}+ frac{2}{3}kpiright)+ isin!left(frac{pi}{6}+ frac{2}{3}kpiright)!,quad k=0,1,2.$

3. Выписываем корни $z_1,,z_2,,z_3colon, z_1= frac{sqrt{3}}{2}+i frac{1}{2},~ z_2= -frac{sqrt{3}}{2}+i frac{1}{2},~ z_3=-i$ .

Геометрический смысл комплексных корней

Для геометрического представления решения уравнения достаточно изобразить одно значение, например $z_1=cosfrac{pi}{6}+ isinfrac{pi}{6}$ (при k=0 ) — это точка окружности |z|=1 , лежащая на луче $varphi=frac{pi}{6}$ . После этого строим правильный треугольник, вписанный в окружность |z|=1 (рис. 1.8,б).

Пример 1.25. Найти корень уравнения z^4-1+i=0 , для которого operatorname{Re}z<0,~ operatorname{Im}z>0 .

Решение

Геометрическая интерпретация корней комплексного уравнения

Задача равносильна задаче нахождения z=sqrt[LARGE{4}]{1-i} при условие operatorname{Re}z<0,~ operatorname{Im}z>0 .

1. Находим модуль и аргумент числа $1-icolon, r=|1-i|=sqrt{2},~ varphi=arg(1-i)=-frac{pi}{4}$ .

2. По формуле (1.17) имеем: $z_{k+1}= sqrt[LARGE{4}]{1-i}= sqrt[LARGE{8}]{2}e^{left(-frac{pi}{16}+frac{2kpi}{4}right) i},~ k=0,1,2,3$ .

3. Для нахождения искомого решения нет необходимости выписывать все значения корня. Нужно выбрать значение k~(k=0,1,2,3) , при котором выполняется условие $frac{pi}{2}< arg zleqslantpi$ (соответствующая точка — точка второй четверти). Удобно при этом использовать чертеж (рис. 1.9).

Условию поставленной задачи удовлетворяет корень z_3 (при k=2 ): $z_3= sqrt[LARGE{8}]{2}e^{left(pi-frac{pi}{16}right)i}= sqrt[LARGE{8}]{2}e^{frac{15pi}{16},i}$ .

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Модуль и аргумент комплексного числа

§ 7 Тригонометрическая (полярная) форма

Что такое комплексное число

Что такое модуль комплексного числа

Что такое аргумент комплексного числа

Как вывести формулу модуля

Примеры решения задач

Комплексные числа в тригонометрическойи показательной формах

Тригонометрическая форма комплексного числа

Показательная форма комплексного числа

Модуль комплексного числа

Аргумент комплексного числа

Главное значение аргумента комплексного числа

Равенство комплексных чисел в тригонометрической форме

Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме

Деление комплексных чисел в тригонометрической форме

Возведение в степень комплексного числа в тригонометрической форме

Извлечение корня из комплексного числа в тригонометрической форме

Алгоритм решения комплексных уравнений вида z^n-a=0

Комплексные числа в тригонометрической
и показательной формах