Как найти модуль числа формула - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Модуль числа — теория и решение задач

Модуль числа – это такая забавная концепция в математике, с пониманием которой у многих людей возникают трудности 🙂

А между тем она проста как апельсин. Но, чтобы ее понять, давай сначала разберемся, зачем и кому он нужен.

Вот смотри…

Ситуация первая

В жизни, часто встречаются ситуации, где отрицательные числа не имеют никакого практического смысла.

Например, мы не можем проехать на машине «минус 70 километров» (мы проедем 70 километров, не важно, в каком направлении), как и не можем купить «минус 5 кг апельсинов». Эти значения всегда должны быть положительными.

Именно для обозначения таких ситуаций математики придумали специальный термин – модуль или абсолютная величина.

Ситуация вторая

Ты покупаешь пакет чипсов «Lay’s». На пакете написано, что он весит 100 грамм. Но, если ты начнешь взвешивать пакеты, вряд ли они будут весить ровно 100 грамм. Какой-то из них будет весить 101 грамм, а какой-то 99.

И что, можно идти судиться с компанией «Lay’s», если они тебе недовесили?

Нет. Потому что «Lay’s» устанавливает допуск и говорит, что пакет будет весить 100 грамм, плюс-минус 1 грамм. Вот это «плюс-минус» – это и есть модуль.

Ситуация третья

В жизни вообще не бывает 100% точных величин. Всегда есть вот такие допуски. В зарплате, например: «Я согласен работать за 250 тыс рублей в месяц, плюс-минус 20 тыс!» 20 тысяч – это и есть модуль.

А вообще для простоты запомни, что модуль это расстояние от точки отсчета в любую сторону.

Ну вот, ты уже почти все знаешь. Давай теперь подробнее…

Модуль числа — коротко о главном

Определение модуля:

Модуль (абсолютная величина) числа ( displaystyle x) — это само число ( displaystyle x), если ( displaystyle xge 0), и число ( displaystyle -x), если ( displaystyle x<0):

( displaystyle left| x right|=left{ begin{array}{l}x, xge 0\-x, x<0end{array} right.)

Свойства модуля:

Модуль числа есть число неотрицательное: ( left| x right|ge 0,text{ }left| x right|=0Leftrightarrow x=0);
Модули противоположных чисел равны: ( left| -x right|=left| x right|);
Модуль произведения двух (и более) чисел равен произведению их модулей: ( left| xcdot yright|=left| x right|cdot left|yright|);
Модуль частного двух чисел равен частному их модулей: ( displaystyle left| frac{x}{y} right|=frac{left| x right|}{left| y right|},text{ y}ne text{0});
Модуль суммы чисел всегда меньше или равен сумме модулей этих чисел:( left| x+y right|le left| x right|+left| y right|);
Постоянный положительный множитель можно выносить за знак модуля: ( left| cx right|=ccdot left| x right|) при ( displaystyle c>0);
Квадрат модуля числа равен квадрату этого числа: ( {{left| x right|}^{2}}={{x}^{2}}).

Кстати, в продолжение этой темы у нас есть отличная статья: «Уравнения с модулем«. Когда прочитаешь эту статью, обязательно ознакомься и со второй.

И просто чтобы ты знал, модуль часто попадается при решении квадратных уравнений или иррациональных.

Что же такое модуль числа?

Представь, что это ты.

Предположим, что ты стоишь на месте и можешь двигаться как вперёд, так и назад. Обозначим точку отправления ( 0).

Итак, ты делаешь ( 3) шага вперёд и оказываешься в точке с координатой ( 3).

Это означает, что ты удалился от места, где стоял на (3) шага (( 3) единичных отрезка).

То есть, расстояние от начала движения до точки, где ты в итоге оказался, равно ( 3).

Но ведь ты же можешь двигаться и назад!

Если от отправной точки с координатой ( 0) сделать ( 3) шага в обратную сторону, то окажешься в точке с координатой ( -3).

Какое расстояние было пройдено в первом и во втором случае?

Конечно же, расстояние, пройденное в первом и во втором случае, будет одинаковым и равным трем, ведь обе точки (( 3) и ( -3)), в которых ты оказался одинаково удалены от точки, из которой было начато движение (( 0)).

Таким образом, мы приблизились к понятию модуля.

Получается, что модуль показывает расстояние от любой точки на координатном отрезке до точки начала координат.

Так, модулем числа ( 5) будет ( 5). Модуль числа ( -5) также равен ( 5).

Потому что расстояние не может быть отрицательным! Модуль – это абсолютная величина.

Обозначается модуль просто:

( |mathbf{a}|,) (( a) — любое число).

Итак, найдём модуль числа ( 3) и ( -3):

( left| mathbf{3} right|=mathbf{3})

( left| -mathbf{3} right|=mathbf{3}.)

Основные свойства модуля

Первое свойство модуля

Модуль не может быть выражен отрицательным числом ( |mathbf{a}|text{ }ge text{ }mathbf{0})

То есть, если ( mathbf{a}) – число положительное, то его модуль будет равен этому же числу.

Если ( mathbf{a}text{ }>text{ }mathbf{0},) то ( displaystyle left| a right|=a).

Если ( a) – отрицательное число, то его модуль равен противоположному числу.

Если ( atext{ }<text{ }mathbf{0},) то ( |mathbf{a}|text{ }=text{ }-mathbf{a})

А если ( a=0)? Ну, конечно! Его модуль также равен ( 0):

Если ( a=0), то ( |mathbf{a}|=mathbf{a}), или ( displaystyle left| 0 right|=0).

Из этого следует, что модули противоположных чисел равны, то есть:

( left| -4 right|text{ }=text{ }left| 4 right|text{ }=text{ }4;)

( left| -7 right|text{ }=text{ }left| 7 right|text{ }=text{ }7.)

А теперь потренируйся:

( left| 9 right|text{ }=text{ }?;)
( left| -3 right|text{ }=text{ }?;)
( left| 16 right|text{ }=text{ }?;)
( left| 8 right|text{ }=text{ }?;)
( left| -17 right|text{ }=text{ }?.)

Ответы: 9; 3; 16; 8; 17.

Довольно легко, правда? А если перед тобой вот такое число: ( left| 2-sqrt{5} right|=?)

Как быть здесь? Как раскрыть модуль в этом случае? Действуем по тому же сценарию.

Сначала определяем знак выражения под знаком модуля, а потом раскрываем модуль:

если значение выражения больше нуля, то просто выносим его из-под знака модуля,
если же выражение меньше нуля, то выносим его из-под знака модуля, меняя при этом знак, как делали это ранее в примерах.

Ну что, попробуем? Оценим ( 2-sqrt{5}):

( 2<sqrt{5}) (Забыл, что такое корень? Бегом повторять!)

Если ( 2<sqrt{5}), то какой знак имеет ( 2-sqrt{5})? Ну конечно, ( 2-sqrt{5}<0)!

А, значит, знак модуля раскрываем, меняя знак у выражения:

( left| 2-sqrt{5} right|=-left( 2-sqrt{5} right)=-2+sqrt{5}=sqrt{5}-2)

Разобрался? Тогда попробуй сам:

( left| sqrt{3}-1 right|=?)
( left| 3-sqrt{7} right|=?)
( left| 2-sqrt{7} right|=?)
( left| sqrt{13}-4 right|=?)

Ответы:

( sqrt{3}-1; 3-sqrt{7}; sqrt{7}-2; 4-sqrt{13.})

Какими же ещё свойствами обладает модуль?

Во-первых, если нам нужно перемножить числа внутри знака модуля, мы спокойно можем перемножить модули этих чисел.

То есть: ( |acdot bleft| text{ }=text{ } right|aleft| cdot right|b|)

Выражаясь математическим языком, модуль произведения чисел равен произведению модулей этих чисел.

Например:

( left| mathbf{5}cdot mathbf{7} right|text{ }=text{ }left| mathbf{5} right|cdot left| mathbf{7} right|text{ }=text{ }mathbf{5}cdot mathbf{7}text{ }=text{ }mathbf{35};)

( left| mathbf{3}cdot left( -mathbf{2} right) right|text{ }=text{ }left| mathbf{3} right|cdot left| -mathbf{2} right|text{ }=text{ }mathbf{3}cdot mathbf{2}text{ }=text{ }mathbf{6}.)

А что, если нам нужно разделить два числа (выражения) под знаком модуля? Да то же, что и с умножением! Разобьем на два отдельных числа (выражения) под знаком модуля:

( displaystyle |frac{a}{b}|=frac{|a|}{|b|}) при условии, что ( mathbf{b}ne mathbf{0}) (так как на ноль делить нельзя).

Еще одно свойство модуля…

Модуль суммы чисел всегда меньше или равен сумме модулей этих чисел.

( |a+bleft| text{ }le text{ } right|aleft| + right|b|)

Почему так? Всё очень просто! Как мы помним, модуль всегда положителен. Но под знаком модуля может находиться любое число: как положительное, так и отрицательное.

Допустим, что числа ( a) и ( b) оба положительные. Тогда левое выражение будет равно правому выражению. Рассмотрим на примере:

( left| mathbf{3}+mathbf{7} right|text{ }=text{ }left| mathbf{10} right|text{ }=text{ }mathbf{10})

( left| mathbf{3} right|+left| mathbf{7} right|text{ }=text{ }mathbf{3}+mathbf{7}text{ }=text{ }mathbf{10})

Выражения также равны, если оба числа отрицательны:

( displaystyle |-3+(-7)|~=~|-3-7|~)( displaystyle=|-10|=10)

( |-mathbf{3}left| + right|-mathbf{7}|text{ }=text{ }mathbf{3}+mathbf{7}text{ }=text{ }mathbf{10})

Если же под знаком модуля одно число отрицательное, а другое положительно, левое выражение всегда окажется меньше правого:

( left| -mathbf{3}+mathbf{7} right|text{ }=text{ }left| mathbf{4} right|text{ }=text{ }mathbf{4})

( |-mathbf{3}left| + right|mathbf{7}|text{ }=text{ }mathbf{3}+mathbf{7}text{ }=text{ }mathbf{10})

или

( left| mathbf{3}+left( -mathbf{7} right) right|text{ }=text{ }left| -mathbf{4} right|text{ }=text{ }mathbf{4})

( left| mathbf{3} right|+left| -mathbf{7} right|text{ }=text{ }mathbf{3}+mathbf{7}text{ }=text{ }mathbf{10})

( mathbf{4}<mathbf{10})

Рассмотрим еще парочку полезных свойств модуля

Что если перед нами такое выражение:

( left| 7x right|)

Что мы можем сделать с этим выражением?

Значение x нам неизвестно, но зато мы уже знаем, что ( |acdot bleft| text{ }=text{ } right|aleft| cdot right|b|), а значит ( left| 7x right|=left| 7 right|cdot left| x right|). Число ( 7) больше нуля, а значит можно просто записать:

Вот мы и пришли к другому свойству, которое в общем виде можно представить так:

( left| cx right|=ccdot left| x right|,) при ( c>0)

А чему равно такое выражение:

( {{left| x right|}^{2}}=?)

Итак, нам необходимо определить знак под модулем. А надо ли здесь определять знак?

Конечно, нет, если помнишь, что любое число в квадрате всегда больше нуля! Если не помнишь, смотри тему степень и ее свойства.

И что же получается? А вот что:

( {{left| x right|}^{2}}={{x}^{2}})

Здорово, да? Довольно удобно. А теперь конкретный пример для закрепления:

( {{left| 5 right|}^{2}}={{5}^{2}}=25)

( {{left| -5 right|}^{2}}=?)

Ну, и почему сомнения? Действуем смело!

( {{left| -5 right|}^{2}}={{5}^{2}}=25)

Во всем разобрался? Тогда вперед тренироваться на примерах!

Тренировка на примерах

1. Найдите значение выражения ( |xleft| text{ }+text{ } right|y|), если ( x=text{ }-7,5text{ },y=text{ }12.)

2. У каких чисел модуль равен ( 5)?

3. Найдите значение выражений:

а) ( |3|text{ }+text{ }|-9|;)

б) ( |-5|text{ }-text{ }|6|;)

в) ( |15left| cdot right|-3|;)

г) ( displaystyle frac{|8|}{|-2|}).

Если не все пока ясно и есть затруднения в решениях, то давай разбираться:

Решение 1:

Итак, подставим значения ( x) и ( y) в выражение ( |mathbf{x}left| text{ }-text{ } right|mathbf{y}|.) Получим:

( |-7,5|text{ }+text{ }|12|text{ }=7,5text{ }+text{ }12text{ }=text{ }19,5.)

Решение 2:

Как мы помним, противоположные числа по модулю равны. Значит, значение модуля, равное ( 5) имеют два числа: ( 5) и ( -5).

Решение 3:

а) ( |3|text{ }+text{ }|-9|=text{ }3+9=text{ }12;)
б) ( |-5|-text{ }left| 6 right|text{ }=text{ }5-6=text{ }-1;)
в) ( |15left| cdot right|-3|text{ }=text{ }15cdot 3=text{ }45;)
г) ( frac{|8|}{|-2|}=frac{8}{2}=4.)

Все уловил? Тогда пора перейти к более сложному!

Решение более сложных примеров

Попробуем упростить выражение ( left| sqrt{3}-2 right|+left| sqrt{3}+5 right|)

Решение:

Итак, мы помним, что значение модуля не может быть меньше нуля. Если под знаком модуля число положительное, то мы просто можем отбросить знак: модуль числа будет равен этому числу.

Но если под знаком модуля отрицательное число, то значение модуля равно противоположному числу (то есть числу, взятому со знаком «–»).

Для того, чтобы найти модуль любого выражения, для начала нужно выяснить, положительное ли значение оно принимает, или отрицательное.

( displaystyle sqrt{3} approx 1,7). Получается, значение первого выражения под модулем ( displaystyle sqrt{3}-2approx 1,7-2approx -0,3text{ }).

( -0,3<0), следовательно, выражение под знаком модуля отрицательно. Второе выражение под знаком модуля всегда положительно, так как мы складываем два положительных числа.

Итак, значение первого выражения под знаком модуля отрицательно, второго – положительно:

Это значит, раскрывая знак модуля первого выражения, мы должны взять это выражение со знаком «–». Вот так:

Модуль числа и его свойства (строгие определения и доказательства)

Модуль (абсолютная величина) числа ( x) — это само число ( x), если ( xge 0), и число ( -x), если ( x<0):

( left| x right|=left{ begin{array}{l}x,text{ }xge 0\-x,text{ }x<0end{array} right.)

Например: ( left| 4 right|=4;text{ }left| 0 right|=0;text{ }left| -3 right|=-left( -3 right)=3.)

Пример:

Упростите выражение ( left| sqrt{5}-3 right|+left| sqrt{5}+1 right|).

Решение:

( sqrt{5}-3<0Rightarrow left| sqrt{5}-3 right|=-left( sqrt{5}-3 right)=3-sqrt{5};)

( sqrt{5}+1>0Rightarrow left| sqrt{5}+1 right|=sqrt{5}+1;)

( left| sqrt{5}-3 right|+left| sqrt{5}+1 right|=3-sqrt{5}+sqrt{5}+1=4.)

Основные свойства модуля (итог)

Для всех ( x,yin mathbb{R}):

( left| x right|ge 0,text{ }left| x right|=0Leftrightarrow x=0;)
( left| -x right|=left| x right|;)
( left| xcdot y right|=left| x right|cdot left| y right|;)
( left| frac{x}{y} right|=frac{left| x right|}{left| y right|},text{ y}ne text{0};)
( left| x+y right|le left| x right|+left| y right|)
( left| cx right|=ccdot left| x right|, при text{ }c>0)
( {{left| x right|}^{2}}={{x}^{2}})

Докажите свойство модуля: ( left| x+y right|le left| x right|+left| y right|)

Доказательство:

Предположим, что существуют такие ( x;yin mathbb{R}), что ( left| x+y right|>left| x right|+left| y right|.) Возведем левую и правую части неравенства в квадрат (это можно сделать, т.к. обе части неравенства всегда неотрицательны):

( displaystyle begin{array}{l}left| x+y right|>left| x right|+left| y right|Leftrightarrow \{{left( x+y right)}^{2}}>{{left( left| x right|+left| y right| right)}^{2}}Leftrightarrow \{{x}^{2}}+2xy+{{y}^{2}}>{{x}^{2}}+2cdot left| x right|cdot left| y right|+{{y}^{2}}Leftrightarrow \xy>left| x right|cdot left| y right|Leftrightarrow \xy>left| xy right|,end{array})

а это противоречит определению модуля.

Следовательно, таких ( x;yin mathbb{R}) не существует, а значит, при всех ( x,text{ }yin mathbb{R}) выполняется неравенство ( left| x+y right|le left| x right|+left| y right|.)

А теперь самостоятельно…

Докажите свойство модуля: ( left| cx right|=ccdot left| x right|, при text{ }c>0)

Воспользуемся свойством №3: ( left| ccdot x right|=left| c right|cdot left| x right|), а поскольку ( c>0text{ }Rightarrow text{ }left| c right|=c), тогда

( left| cx right|=ccdot left| x right|), ч.т.д.

Упростите выражение ( left| frac{31}{8}-sqrt{15} right|+left| frac{15}{4}-sqrt{15} right|)

Чтобы упростить, нужно раскрыть модули. А чтобы раскрыть модули, нужно узнать, положительны или отрицательны выражения под модулем:

Подготовка к ЕГЭ на 90+ в мини-группах

Алексей Шевчук — ведущий мини-групп

математика, информатика, физика

+7 (905) 541-39-06 — WhatsApp/Телеграм для записи

alexei.shevchuk@youclever.org — email для записи

тысячи учеников, поступивших в лучшие ВУЗы страны
автор понятного всем учебника по математике ЮКлэва (с сотнями благодарных отзывов);
закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
репетиторский стаж — c 2003 года;
в 2021 году сдал ЕГЭ (математика 100 баллов, физика 100 баллов, информатика 98 баллов — как обычно дурацкая ошибка:);
отзыв на Профи.ру: «Рейтинг: 4,87 из 5. Очень хвалят. Такую отметку получают опытные специалисты с лучшими отзывами».

Источник

Модуль числа, формула

Что называется модулем числа?

Определение

Модулем числа a называется промежуток от начала координат до точки A(a).

Обозначается как: | a |

Пример

| 1,8 | = 1,8;

| 2,3 | = 2,3;

| -4,5 | = 4,5;

| -5,4 | = 5,4;

| -55,3 | = | 55,3 | = 55,3 > 0;

| -73,7 | = | 73,7 | = 73,7 > 0.

Пример на числовой прямой

Правило

Точка B со значением -3 расположена в трех единичных отрезках от начала (O), соответственно отрезок OB равен 3.

В данном случае 3 является модулем числа -3, записывают как | -3 | = 3.

Точка C со значением 7 расположена в семи единичных отрезках от начала (O), соответственно отрезок OC равен 7.

В данном случае 7 является модулем числа +7, записывают как | +7 | = 7.

Пример

| 3 | = 3;

| -3 | = 3;

| 7 | = 7;

| 0 | = 0.

Источник

Модуль — это математическая операция, которая превращает отрицательные числа в положительные. Обозначается при помощи двух вертикальных черточек: (|…|).
Проще всего понять, что делает функция модуля, на примерах:

Пример 1
$$|-2|=2;$$
$$|-123|=123;$$
$$|-35453443|=35453443;$$
$$|-4,56|=4,56;$$
$$left|-frac{2}{7}right|=frac{2}{7};$$

Посмотрите на примеры: если взять модуль из любого отрицательного числа, вы всегда будете получать положительное.

А что, если взять модуль из положительного числа? Оказывается, не будет ничего: какое число было, такое оно и останется. Модулем от положительного числа будет то же самое положительное число:

Пример 2
$$|5|=5;$$
$$left|frac{5}{6}right|=frac{5}{6};$$

Так как модуль всегда равен положительному числу, он сам по себе тоже всегда положителен. Значение модуля не может быть отрицательным.

Кстати, модуль от ноля будет просто ноль:

$$|0|=0;$$

В общем виде определение модуля числа можно записать в виде формул:

$$ |a|=
left[
begin{gathered}
a, qquad a geq 0, \
-a, qquad a lt 0.
end{gathered}
right.$$

Глядя на это определение, у вас может возникнуть вопрос: почему (|a|=-a ;при ; a le 0)? Все очень просто, если (a) отрицательное, то как превратить отрицательное число в положительное? Правильно, поставить перед ним еще минус (минус на минус дает плюс), именно это мы и сделали.

Вот и все, теперь вы знаете, что такое модуль от числа. Зачем же нужна такая странная математическая операция, которая только и умеет, что превращать отрицательные числа в положительные?

Модуль широко используется для обозначения, например, абсолютного значения величин. В физике знаки плюса и минуса нужны для указания направления. Например, знак минус перед скоростью означает, что тело движется в одну сторону, а знак плюс — в другую. Если же вам нужно просто значение величины скорости, без указания направления, то используется модуль.

Кроме алгебраического, полезно еще знать и геометрическое определение модуля. Представьте, что автомобиль переместился из начальной координаты (x_1) в конечную координату (x_2) (См. Рис.1).

Тогда расстояние, которое проехал автомобиль будет равно разности координат:
$$S=x_2-x_1;$$
А что, если автомобиль ехал влево, и конечная координата будет меньше начальной? Тогда расстояние, которое он проехал, будет отрицательным? Такого быть не может, расстояние всегда положительно. Поэтому в такой ситуации ставят знак модуля, чтобы расстояние было положительным независимо от того, какая координата больше, начальная или конечная:
$$S=|x_2-x_1|;$$

Таким образом, модуль с геометрической точки зрения — это расстояние между двумя точками на числовой прямой.

Например:
(S=|2-5|=|-3|=3) — это расстояние между точками с координатами (5) и (2) на числовой прямой;
(S=|7-0|=|7|=7) — расстояние между точками с координатами (7) и (0).

Глядя на последний пример, можно сделать вывод, что модуль от числа (a) — это расстояние от точки с координатой (a) до нуля.

Рассмотрим теперь разные интересные примеры на вычисления модуля:

Пример 3
$$|3-12|=|-9|=0;$$
$$|2*(-3)|=|-6|=6;$$
$$|0|=0;$$
$$|-2*(-5)|=|10|=10;$$
$$|7|^2=7^2=49;$$
$$|-3|^2=3^2=9;$$
$$|-5|^3=5^3=125;$$

Иррациональные примеры с модулем:

Пример 4

Раскрыть модуль:

$$|2-sqrt{3}|=?$$

Под знаком модуля тут стоит иррациональное выражение (иррациональное, потому что есть корень, который без помощи калькулятора мы не можем посчитать). Но зато мы можем оценить примерно, чему равен (sqrt{3}approx1,73). Кто не помнит, что такое квадратный корень и как считать их приблизительное значение загляните сюда. Оценим знак подмодульного выражения:

$$2-sqrt{3} = 2-1,73 >0;$$

Выражение под модулем будет положительным, поэтому модуль можно просто убрать:

$$|2-sqrt{3}|=2-sqrt{3};$$

Пример 5

Раскрыть модуль:

$$|sqrt{8}-4|=?$$

Оценим знак выражения под модулем.

$$sqrt{8}=sqrt{4*2}=2sqrt{2}approx 2*1,4=2,8;$$
$$sqrt{8}-4 approx 2,8-4=-1,2<0;$$

Подмодульное выражение получилось отрицательным, значит модуль должен превратить его в положительное. Это можно осуществить при помощи знака минус: берем все выражение под модулем в скобки и ставим перед ними минус:

$$|sqrt{8}-4|=-(sqrt{8}-4)=-sqrt{8}+4=4-sqrt{8};$$

Пример 6

Найдите значение выражения:

$$|a|+|b|=? quad при quad a=1-sqrt{2}; ; b=3-sqrt{2};$$

Оценим значения (a) и (b):

$$1-sqrt{2} approx 1-1,4=-0,4<0;$$
$$3-sqrt{2} approx 3-1,7=1,3>0;$$

Подставим значения (a) и (b) в исходное выражение, при этом первый модуль будет раскрываться со знаком минус, а второй с плюсом:

$$|a|+|b|=|1-sqrt{2}|+|3-sqrt{2}|=-(1-sqrt{2})+3—sqrt{2}=-1+sqrt{2}+3-sqrt{2}=2;$$
Ответ: (|a|+|b|=2.)

Свойства модуля

Модуль от произведения двух множителей равен произведению модулей от этих множителей:

$$|a*b|=|a|*|b|;$$

Пример 7
$$|2*3|=|2|*|3|=2*3=6;$$
$$|4*(-5)|=|4|*|-5|=4*5=20;$$

Модуль от частного двух чисел равен частному их модулей:

$$left|frac{a}{b}right|=frac{|a|}{|b|};$$

Пример 8
$$left|frac{6}{-3}right|=frac{|6|}{|-3|}=frac{6}{3}=2;$$
$$left|frac{-18}{-9}right|=frac{|-18|}{|-9|}=frac{18}{9}=2;$$

Можно выносить константу (число (a geq 0)) из-под знака модуля:
$$|a*f(x)|=a*|f(x)|;$$

Эта формула может быть полезна, когда под модулем стоит некоторая переменная или выражение, зависящее от переменной. В таком случае знак переменной мы не знаем, а вот если под модулем еще есть числа, то их можно вынести за знак модуля:

Пример 9
$$|3*x|=3*|x|;$$

Модуль в степени
Если возвести модуль в четную степень, то знак модуля можно убрать. Четная степень сама по себе превращает любое число или выражение в положительное, поэтому модуль теряет свой смысл:

$$|x|^2=x^2;$$
$$|x|^6=x^6;$$

Если же возводить в нечетную степень, то знак модуля ни в коем случае убирать нельзя. Будьте внимательны.

$$|x|^3=|x^3|;$$

Модуль суммы двух чисел будет меньше или равен суммы модулей этих чисел:

$$|a+b| leq |a|+|b|;$$

Если немного подумать, эта формула логична: числа (a) и (b) могут быть как положительными, так и отрицательными, если, например, они имеют разные знаки, то при их сложении под знаком модуля они будут вычитаться. А если сложить модули этих чисел по-отдельности, то никакого вычитания не будет — всегда будет сложение. Если же числа (a) и (b) одного знака, то левая часть неравенства будет равна правой. Посмотрим на примерах, так станет понятнее:

(a>0, quad b<0:)
$$|5-2| leq |5|+|-2|;$$
$$3 leq 5+2;$$
$$3 leq 7;$$

(a>0, quad b>0:)
$$|6+4| leq |6|+|4|;$$
$$10 leq 6+4;$$
$$10=10;$$

(a<0, quad b<0;)
$$|-7-2| leq |-7|+|-2|;$$
$$|-9| leq 7+2;$$
$$9 = 9;$$

Разобрали все возможные случаи, и во всех случаях формула верна.

Запишем свойства модуля в одном месте:

$$ |a|=begin{cases}
a, qquad a geq 0, \
-a, qquad a le 0.
end{cases}$$
$$|0|=0;$$
$$|x| geq 0;$$
$$|-a|=|a|;$$
$$|a*b|=|a|*|b|;$$
$$left|frac{a}{b}right|=frac{|a|}{|b|};$$
$$|a*x|=a*|x|, ; a ge 0;$$
$$|x|^2=x^2;$$
$$|x|^3=x^3;$$
$$|a+b| geq |a|+|b|;$$

График похож на галочку, симметричную относительно оси (y). Именно это и делает модуль: симметрично отображает график, в данном случае, относительно вертикальной оси. Ось (y) служит как будто зеркалом, в котором отражается правая часть графика. Почему так? Все просто: модуль, стоящий у (x), превращает любые отрицательные (x) в положительные, поэтому функция (y=|x|) при отрицательных значениях (x) будет иметь точно такие же значения, что и при положительных, отсюда и симметрия.

Источник

Как найти модуль числа

Модуль числа n представляет собой количество единичных отрезков от начала координат до точки n. Причем не важно, в какую сторону будет отсчитываться это расстояние – вправо или влево от нуля.

Модуль числа также принято называть абсолютной величиной этого числа. Он обозначается короткими вертикальными линиями, проведенными слева и справа от числа. Например, модуль числа 15 записывается следующим образом: |15|.

Помните, что модуль может быть только положительным числом или нулем. Модуль положительного числа равен самому числу. Модуль нуля равен нулю. То есть для любого числа n, которое больше либо равно нулю, будет справедлива следующая формула |n| = n. Например, |15| = 15, то есть модуль числа 15 равен 15-ти.

Модулем отрицательного числа будет то же число, но с противоположным знаком. То есть для любого числа n, которое меньше нуля, будет справедлива формула |n| =-n. Например, |-28| = 28. Модуль числа -28 равен 28-ми.

Можно находить модули не только для целых, но и для дробных чисел. Причем в отношении дробных чисел действуют те же правила. Например, |0,25| = 25, то есть модуль числа 0,25 будет равен 0,25. А |-¾| = ¾, то есть модуль числа -¾ будет равен ¾.

При работе с модулями полезно знать, что модули противоположных чисел всегда равны друг другу, то есть |n| =|-n|. Это является основным свойством модулей. Например, |10| = |-10|. Модуль числа 10 равен 10-ти, точно так же, как модуль числа -10.Кроме того, |a — b| = |b — a|, так как расстояние от точки a до точки b и расстояние от b до a равны друг другу. Например, |25 — 5| = |5 — 25|, то есть |20| = |- 20|.

Источник

Инструкция

Если модуль представлен в виде непрерывной функции, то значение ее аргумента может быть как положительным, так и отрицательным: |х| = х, х ≥ 0; |х| = — х, х

Модуль нуля равен нулю, а модуль любого положительного числа – ему самому. Если аргумент отрицательный, то после раскрытия скобок его знак меняется с минуса на плюс. На основании этого вытекает вывод, что модули противоположных чисел равны: |-х| = |х| = х.

Модуль комплексного числа находится по формуле: |a| = √b ² + c ², а |a + b| ≤ |a| + |b|. Если в аргументе присутствует в виде множителя целое положительное число, то его можно вынести за знак скобки, например: |4*b| = 4*|b|.

Отрицательным модуль быть не может, поэтому любое отрицательное число преобразуется в положительное: |-x| = x, |-2| = 2, |-1/7| = 1/7, |-2,5| = 2,5.

Если аргумент представлен в виде сложного числа, то для удобства вычислений допускается изменение порядка членов выражения, заключенного в прямоугольные скобки: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1, поскольку (2-3) меньше нуля.

Возведенный в степень аргумент одновременно находится под знаком корня того же порядка – он решается при помощи модуля: √a² = |a| = ±a.

Если перед вами задача, в которой не указано условие раскрытия скобок модуля, то избавляться от них не нужно – это и будет конечный результат. А если требуется их раскрыть, то необходимо указать знак ±. Например, нужно найти значение выражения √(2 * (4-b)) ². Его решение выглядит следующим образом: √(2 * (4-b)) ² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Поскольку знак выражения 4-b неизвестен, то его нужно оставить в скобках. Если добавить дополнительное условие, например, |4-b| > 0, то в итоге получится 2 * |4-b| = 2 *(4 — b). В качестве неизвестного элемента также может быть задано конкретное число, которое следует принимать во внимание, т.к. оно будет влиять на знак выражения.

Источник