На этой странице вы узнаете
- Как перевернуть график модуля?
- Одной ногой тут, другой там: к какому промежутку относить граничные точки?
- Может ли решением квадратного неравенства быть любое число, если дискриминант меньше 0?
Модуль числа — это великая математическая мудрость, которая показывает дружбу и соперничество противоположных знаков: минуса и плюса. О том, что держит число в рамках, узнаем в статье.
Модуль
Мы легко можем найти расстояние от точки до точки, достаточно просто измерить его линейкой. Но можно ли найти расстояние от 0 до любого числа?
Представим, что наш дом находится посередине между школой и магазином. И до школы, и до магазина 500 метров, но они стоят по разные стороны от дома.
Расположим их на координатной прямой. Поскольку и школа, и магазин располагаются на одинаковом расстоянии, то от дома до них мы будем идти 500 метров. Но на координатной прямой до школы мы пройдем −500 метров, поскольку движемся против направления оси, а до магазина 500 метров.
Будет ли являться полученный результат противоречием? Нет, поскольку когда мы ищем расстояние, нам неважно направление движения и знак. В математике существует специальное определение — это модуль, или абсолютная величина.
Модуль — расстояние от любой точки на координатной прямой до начала координат.
Поскольку на координатной прямой мы можем отложить расстояние в две стороны, то такое расстояние можно найти и с отрицательными точками, и с положительными. Расстояние измеряет длину отрезка, то есть оно всегда будет положительно.
Можно сказать, что от любого числа модуль берет только цифры, а на знаки не обращает внимания. Например, |−8| = 8 и |8| = 8.
Может возникнуть вопрос: куда исчезает минус? Чтобы избавиться от минуса, достаточно умножить число на −1: (-8) * (-1) = 8. Значит, модуль просто умножает число на -1.
Отсюда получается, что модулем числа а называют выражение:
Возьмем два случая: a = 8 и a = -8. Для первого получаем |8| = 8, а для второго |-8| = -(-8) = 8, то есть определение выполняется.
Можно ли взять модуль функции? Да. Модулем произвольной функции называют выражение:
Свойства модуля
Модуль, как и все понятия в математике, обладает своими свойствами.
Свойство 1. |a| >= 0.
Как мы уже говорили, модуль всегда будет положительным числом, поскольку он не обращает внимания на знак числа.
Свойство 2. |a| = |-a|.
Это свойство также подтверждает рассуждения выше. Модули противоположных чисел, то есть чисел с разными знаками, равны.
Свойство 3. |a| >= a.
Если число а будет положительным, например, 5, то неравенство |5| >= 5 (rightarrow) 5 >= 5 выполняется, поскольку знак неравенства нестрогий.
Если число а будет отрицательным, например, -5, то неравенство |-5| >= -5 (rightarrow) 5 >= -5 выполняется, поскольку положительное число всегда больше отрицательного.
Свойство 4. |a * b| = |a| * |b|.
Пусть a = 5, b = -2, тогда |5 * (-2) | = |-10| = 10, и |5| * |-2| = 5 * 2 = 10, то есть выражения равны между собой.
Свойство 5. (|frac{a}{b}| = frac{|a|}{|b|}).
Рассуждения такие же, как и в предыдущем свойстве. Пусть a = 10, b = -5, тогда (|frac{10}{(-5)}| = |-2| = 2 и frac{|10|}{|-5|} = frac{10}{5} = 2).
Свойство 6. |a + b| <= |a| + |b|.
Почему появилось неравенство, а не уравнение, как в предыдущих двух свойствах? Разберем два примера.
Пусть a = 1, b = 2, тогда |1 + 2| = |3| = 3 и |1| + |2| = 1 + 2 = 3 — неравенство выполняется, поскольку знак нестрогий.
Но если a = -1, b = 2, тогда |-1 +2| = |1| = 1 и |-1| + |2| = 1 + 2 = 3, откуда получаем 1 < 3.
Свойство 7. (sqrt{a^2} = |a|).
Докажем это свойство. Пусть (sqrt{a^2} = x), тогда x0, поскольку квадратный «Корень» не может быть отрицательным. Возведем полученное уравнение в квадрат: a2 = x2
a2 — x2 = 0
(a — x)(a + x) = 0
Из уравнения x = a, из-за ограничений на x получаем a >= 0.
И x = -a, из-за ограничений на x получаем a < 0.
То есть получается выражение модуля.
Свойство 8. |a|2 = a2.
Поскольку и модуль, и квадрат числа дают положительный результат, модуль в квадрате можно заменить просто квадратом числа.
График модуля
Как изобразить функцию с модулем? Для начала разберемся, что делает модуль с графиком функции.
Рассмотрим функцию y = x — это прямая. При этом у может быть и положительным, и отрицательным.
Занесем х под знак модуля: y = |x|. Теперь у может быть только положительным. Что происходит с частью графика, которая лежит ниже оси х? Она зеркально отражается. В итоге мы получаем галочку:
Модуль отражает любой график относительно оси х.
Что будет, если перед х будет стоять коэффициент? Построим графики:
Галочка будет сужаться и расширяться. Причем чем больше коэффициент перед х, тем ýже будет галочка.
Попробуем добавить слагаемое к подмодульному выражению.
График модуля будет двигаться вдоль оси х. Причем:
- если мы прибавляем число, то график сдвигается влево;
- если мы вычитаем число, то график сдвигается вправо.
Добавим число к модулю, а не подмодульному выражению:
График будет двигаться вдоль оси у.
Для этого достаточно добавить перед модулем минус. Важно, чтобы минус стоял именно перед модулем, а не внутри него. Тогда график будет отзеркален относительно оси х и лежать только ниже нее.
Это легко проследить с помощью уравнений: если y = -|x|, то, при x = 3 получаем:
y = -|3| = -3
Уравнения с модулем
1. Возьмем уравнение вида |f(x)| = a. Поскольку модуль не может быть отрицательным, то и а не может быть отрицательным. Получаем следующий переход:
Пример 1. Решите уравнение |4x + 5| = 7.
Решение. В уравнении f(x) = 4x + 5, a = 7. Воспользуемся переходом:
Из первого уравнения x = 0,5, а из второго уравнения x = -3.
Ответ: 0,5: -3.
2. В уравнениях и неравенствах можно встретить два разных модуля. Как быть в этом случае?
Шаг 1. Находим нули подмодульных выражений.
Шаг 2. Чертим числовую прямую и ищем знаки на промежутках для каждого модуля. Если подмодульное выражение отрицательно на промежутке, то ставится минус, если положительно — ставится плюс.
Шаг 3. Для каждого промежутка раскрываем модули. Если подмодульное выражение на промежутке отрицательно, то модуль раскрывается со знаком минус. Если положительно — модуль раскрывается со знаком плюс. Важно: полученные корни должны принадлежать промежуткам, на которых раскрывается модуль, иначе они не будут решениями уравнения.
Шаг 4. Записать все полученные корни в ответ.
Пример 2. Решите уравнение |x — 2| — |x + 2| = 4x — 5.
Решение. Найдем, в каких точках модули будут равны 0. Для этого подмодульное выражение также должно быть равно 0:
x — 2 = 0 (rightarrow) x = 2
x + 2 = 0 (rightarrow) x = -2
Нарисуем числовую прямую с этими точками:
У нас получилось три промежутка:
- (-(infty);-2)
- [-2;2)
- [2;+(infty))
Обратим внимание, какие знаки имеет первый модуль на промежутках: x — 2 > 0 при x > 2. Следовательно, на первых двух промежутках модуль будет отрицательным, а на третьем положительным. Расставим его знаки красным цветом.
Проанализируем второй модуль: x + 2 > 0 (rightarrow) x>-2. Получается, подмодульное выражение будет положительно на втором и третьем промежутке, и отрицательным на первом промежутке. Расставим его знаки синим цветом.
Теперь мы можем рассмотреть уравнение на всех трех промежутках. Однако для этого обязательно ввести ограничения: полученные точки должны принадлежать только этому промежутку, поскольку на следующем модули будут раскрываться уже по-другому.
2. Рассмотрим первый промежуток: x<-2. Оба модуля раскрываются с отрицательным знаком, и мы получаем следующее уравнение:
-(x — 2) — (-(x + 2)) = 4x — 5
-x + 2 + x + 2 = 4x — 5
4 = 4x — 5
4x = 9
x = 2,25
Точка не удовлетворяет ограничению, поскольку не лежит в промежутке (-(infty);-2):
Рассмотрим второй промежуток: [-2;2). Первый модуль раскрывается с минусом, а второй с плюсом:
-(x — 2) — (x + 2) = 4x — 5
-x + 2 — x — 2 = 4x — 5
-2x = 4x — 5
6x = 5
(x = frac{5}{6})
Эта точка лежит в заданном промежутке и является решением уравнения.
Рассмотрим третий промежуток [2;+(infty)). Оба модуля раскрываются со знаком плюс, мы получаем уравнение:
(x — 2) — (x + 2) = 4x — 5
x — 2 — x — 2 = 4x — 5
-4 = 4x — 5
4x = 1
x = 0,25 — эта точка не лежит в промежутке, то есть не является решением уравнения.
Решением уравнения будет только (x = frac{5}{6}).
Ответ: (frac{5}{6})
Разбивая прямую на промежутки, может возникнуть вопрос: а что делать с точками, в которых модуль равен 0? Их обязательно нужно проверять. Можно сделать это как отдельно, подставив точки в уравнение, так и сразу включить их в условие раскрытия модуля.
Если точки включаются в условие раскрытия модуля, то достаточно включить их только в один из двух промежутков. Включать их в два промежутка нецелесообразно: одна и та же точка будет проверяться дважды.
3. Уравнения вида |f(x)| = g(x)
Поскольку вместо функций могут стоять любые выражения, раскрыть модуль можно двумя способами. Выбор одного из них зависит от того, какая функция проще: f(x) или g(x).
Как можно раскрыть модуль?
- Можно раскрыть его в зависимости от знаков подмодульного выражения: если подмодульное выражение отрицательное, то модуль раскрывается с минусом, если положительное, то с плюсом.
- Можно возвести уравнение в квадрат. Но здесь необходимо ввести ограничения на g(x) — поскольку функция равна модулю, она не может быть отрицательной.
Для удобства можно пользоваться следующей схемой:
Пример 3. Решите уравнение |8 — x| = x2 — 5x + 11.
Решение. Заметим, что подмодульное выражение значительно проще функции справа, в этом случае удобнее будет раскрыть модуль. Получаем совокупность двух систем:
Рассмотрим первую систему.
8 — x >= 0 (rightarrow) x <= 8
Решим уравнение:
8 — x = x2 — 5x + 11
x2 — 4x + 3 = 0
D = 16 — 12 = 4
(x_1 = frac{4 + 2}{2} = 3)
(x_2 = frac{4 — 2}{2} = 1)
Оба корня уравнения удовлетворяют условию x <= 8, значит, решением системы будут 1 и 3.
Рассмотрим вторую систему.
8 — x < 0 (rightarrow) x > 8
Решим уравнение:
8 — x = -x2 + 5x — 11
x2 — 6x + 19 = 0
D = 36 — 76 = -40 — при отрицательном дискриминанте решения уравнений нет.
Решением всего уравнения будут x = 1 и x = 3.
Ответ: 1, 3
4. Разберем еще один тип уравнений, когда модуль равен модулю. Неужели придется рассматривать целых 4 случая раскрытия модуля? Нет, достаточно будет возвести в квадрат обе части уравнения. Таким образом, мы получаем следующий переход:
Пример 4. Решите уравнение |x — 2| = |2x + 8|.
Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат. Для этого воспользуемся свойством 8.
(x — 2)2 = (2x + 
2
(x — 2)2 — (2x + 2 = 0
Воспользуемся формулой сокращенного умножения:
((x — 2) — (2x + 8))((x — 2) + (2x + = 0
Если произведение множителей равно 0, то каждый множитель равен 0. Тогда:
x — 2 — (2x + = 0 (rightarrow) x — 2 = 2x + 8
x — 2 + (2x + = 0 (rightarrow) x — 2 = -(2x +
Получаем совокупность:
Решим первое уравнение совокупности:
x — 2 = 2x + 8
x = -10
Решим второе уравнение совокупности:
x — 2 = -2x — 8
3x = -6
x = -2
Решением уравнения будут x = -10 и x = -2
Ответ: -2, -10
Неравенства с модулем
Разобравшись, как решаются уравнения с модулем, можно приступать к неравенствам.
Пример 5. Решите неравенство x2 — |3x — 7| + 7 >= 0.
Решение. Найдем, при каких значениях х модуль равен 0. Получаем 3x = 7 (rightarrow) (x = frac{7}{3}).
Определим, с какими знаками модуль будет раскрываться на каждом промежутке.
Осталось рассмотреть неравенство на двух промежутках.
1. (x leq frac{7}{3}), тогда
x2 — (-(3x — 7)) + 7 >= 0
x2 + 3x — 7 + 7 >= 0
x2 + 3x >= 0
x(x + 3) >= 0
Решим это неравенство «Методом интервалов». Сразу учтем ограничение (x leq frac{7}{3}).
Получаем, что решением неравенства на заданном промежутке будет (x in (-infty; -3] U[0; frac{7}{3}]).
2. (x > frac{7}{3}), тогда
x2 — 3x + 7 + 7 >= 0
x2 — 3x + 14 >= 0
x2 — 3x + 14 = 0
D = 9 — 56 = -47 — корней на заданном отрезке не будет.
Вспомним, что корни квадратного уравнения — это точки пересечения параболы и оси х. Если парабола не пересекает ось х, то неизбежно лежит выше или ниже ее. Поскольку в нашем случае ветви параболы направлены вверх, мы можем нарисовать ее примерный график.
Так как парабола задается функцией y = x2 — 3x + 14, то неравенство будет выполняться при всех y >= 0. Парабола целиком попадает в эту область, а решением неравенства будет любое х.
Однако не стоит забывать про ограничение (x > frac{7}{3}). Накладывая его, получаем решение ((frac{7}{3}; + infty)).
Осталось только объединить полученные на промежутках решения:
Получаем, что (x in (-infty;- 3] U [0; +infty)).
Ответ: (x in (-infty;- 3] U [0; +infty))
Рассмотрим неравенства вида |f(x)| > a и |f(x)| < a, где а — некоторое число и a >= 0. Модуль можно раскрыть двумя способами и получить два неравенства. Но будет это совокупность или система?
Это зависит от знака. Разберем случай |f(x)| > a. Заметим, что строгость знака может быть любой. Тогда модуль раскрывается как:
f(x) > a и -f(x) > a (rightarrow) f(x) < -a.
Отметим эти промежутки на числовой прямой:
В ответе должны оказаться оба промежутка — их нужно объединить. В этом случае модуль раскрывается в совокупности.
Рассмотрим случай |f(x)| < a, здесь строгость знака также может быть любой. Раскроем модуль: f(x) < 0 и -f(x) < a (rightarrow) f(x) > -a. На числовой прямой это будет выглядеть следующим образом:
В в ответе должен оказаться промежуток от —а до а. Следовательно, необходимо воспользоваться системой, чтобы “отсечь” лишние промежутки.
Можно ли обойтись в этом случае без раскрытия модуля? Да, но необходимо возвести неравенство в квадрат.
|f(x)| ⋁ a | (uparrow) 2 — вместо ⋁ может стоять любой знак неравенства.
f2(x) ⋁ a2
f2(x) — a2 ⋁ 0
Воспользуемся формулой сокращенного умножения:
(f(x) — a)(f(x) + a) ⋁ 0
Однако стоит помнить, что обе части неравенства можно возвести в квадрат только в том случае, если они неотрицательны. То есть обязательно должно выполняться условие a0.
Мы получили равносильный переход. Но существуют ли равносильные переходы, если вместо числа а стоит другая функция или даже модуль? Да. Они выводятся таким же способом, как и переход для неравенства с числом. Получаем еще два равносильных перехода:
- |f(x)| ⋁ g(x) (rightarrow) (f(x) — g(x))(f(x) + g(x)) ⋁ 0
g(x) обязательно должно быть неотрицательным, чтобы можно было возвести неравенства в квадрат.
- |f(x)| ⋁ |g(x)| (rightarrow) (f(x) — g(x))(f(x) + g(x)) ⋁ 0
Разберем на примере, как можно использовать равносильный переход. Для этого возьмем то же неравенство, что и в примере 5, но решим его по-другому.
Пример 6. Решите неравенство x2 — |3x — 7| + 7 >= 0.
Решение. Перенесем модуль в другую часть неравенства:
|3x — 7| <= x2 + 7. Модуль всегда неотрицателен. Правая часть неравенства неотрицательна, поскольку число в квадрате всегда положительно.
Повторим действия, чтобы прийти к равносильному переходу:
(3x — 7)2 <= (x2+7)2
(3x-7)2 — (x2 + 7)2 <= 0
(3x — 7 — (x2 + 7))(3x — 7 + x2 + 7) <= 0
(3x — 7 — x2 — 7)(3x + x2) <= 0
(-x2 + 3x — 14) * x(3 + x) <= 0
-(x2 — 3x + 14) * x(3 + x) <= 0
(x2 — 3x + 14) * x(3 + x) <= 0
Рассмотрим первую скобку:
x2 — 3x + 14 = 0
D = 9 — 56 = -47 — корней нет. Выражение всегда будет положительно, то есть на него можно разделить все неравенство. Получаем:
x(3 + x) <= 0
Тогда (x in (-infty;- 3] U [0; +infty))
Ответ: (x in (-infty;- 3] U [0; +infty))
При решении можно сразу использовать равносильный переход, не расписывая его.
Итак, неравенства с модулем можно решить двумя способами: раскрывать модуль и воспользоваться равносильным переходом. Выбор способа зависит от личных предпочтений и удобства решения.
Фактчек
- Модуль — расстояние от любой точки на координатной прямой до начала координат. Модуль обозначается двумя вертикальными черточками: |a| = a и |-a| = a.
- Модулем числа называют выражение:
- График модуля представляет собой “галочку”, которая лежит выше оси х. Модуль отражает график любой функции зеркально оси х так, что значения у всегда больше 0.
- Модуль можно раскрыть двумя способами. Этим свойством можно пользоваться при решении уравнений с модулем.
- При решении неравенств с модулем можно раскрывать его, либо воспользоваться равносильным переходом, если в неравенстве выполняются все условия для него.
Проверь себя
Задание 1.
Чему равно выражение |-16 * 2|?
- 32
- −32
- −16
- 16
Задание 2.
Какой график имеет функция y = |x|?
- Парабола
- Гипербола
- Прямая
- Галочка
Задание 3.
Решите уравнение |x| = -3.
- 3
- −3
- Решений нет
- 3 и −3
Задание 4.
Решите уравнение |x + 2| = 15.
- −13
- 17
- 13 и -17
- Решений нет
Задание 5.
Какой равносильный переход можно использовать для неравенства вида |f(x) |⋁ |g(x)|?
- f(x) ⋁ g(x)
- f(x) ⋀ g(x)
- f2(x) — 2 * f(x) * g(x) + g2(x) ⋁ 0
- (f(x) — g(x))(f(x) + g(x)) ⋁ 0
Ответы: 1. — 1 2. — 4 3. — 3 4. — 3 5. — 4
Если (x) — неотрицательное число, то его модуль равен самому числу (x), то есть (|x|=x).
Если (x) — отрицательное число, то его модуль равен противоположному для (x) числу, то есть (|x|=-x).
Получаем:
x=x,если x≥0−x,если x<0
.
Например,
4=4;−4=−(−4)=4;−4.7=−(−4.7)=4.7;7−2=7−2(так как7−2>0).
Геометрический смысл модуля
Геометрическая модель множества действительных чисел
ℝ
— координатная прямая. Точки (a) и (b) на координатной прямой соответствуют действительным числам (a) и (b). Расстояние между точками (a) и (b) обозначим
ρ
((a, b)) (букву
ρ
греческого алфавита читаем «ро»). Это расстояние равно (b — a), если (b > a),
оно равно (a — b), если (a > b), и, наконец,
оно равно нулю, если (a = b).
Для всех трёх случаев справедлива формула:
ρa,b=a−b
.
Пример:
Уравнение задано в аналитическом виде
x−5=3
. С позиции геометрического смысла модуля на координатной прямой необходимо определить точки (x), для которых выполняется условие
ρ(x;5)=3
(точки (x) должны быть удалены от точки (5) на расстояние, равное (3)). Этому условию удовлетворяют точки (2) и (8).
Следовательно, уравнение имеет два корня: (2) и (8).
Обратите внимание на картинку.
Для того чтобы узнать тему нашего урока, попробуйте отгадать ребус.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
На этом уроке разберемся, что называют модулем числа, раскроем его геометрический смысл, рассмотрим основные свойства модуля, научимся находить модуль числа и применять эти знания при решении задач.
В переводе с латинского «модуль» (modulus) означает мера, размер.
Считается, что данный термин впервые ввел в пользование английский философ и математик Роджер Котс, друг и ученик Исаака Ньютона.
Многие ученые использовали в своих научных трудах понятие модуль, однако символьное обозначение он приобрел только в конце XIX века.
В 1841 году выдающийся немецкий ученый Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс ввел символьное обозначение модуля числа, которое используют и применяют по сегодняшний день.
В некоторых случаях вместо «модуль числа» говорят: «абсолютная величина», но надо понимать, что это тождественно равные понятия.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
В математике модуль имеет несколько значений. Разберем, что в математике называют модулем числа (абсолютной величиной).
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Рассмотрим понятие модуль с геометрической точки зрения.
Вам уже известно, что на координатной прямой мы отмечаем действительные числа, а каждому действительному числу на этой прямой соответствует определенная точка и наоборот, каждой точке на координатной прямой соответствует действительное число.
Точка задается некоторым расстоянием от начала координат.
Длина отрезка от начала координат до точки вмещает в себя определенное количество единичных отрезков координатной прямой.
Длина такого отрезка всегда неотрицательная величина.
Рассмотрим пример:
Два мяча катнули по одной прямой. Первый мяч откатился вправо от исходной точки на 4 м, второй мяч влево от исходной точки на 6 м.
Изобразим координатную прямую и отметим на ней координаты точек остановки этих двух мячей.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Точка О— это исходная точка мячей- точка начала отсчета.
Единичный отрезок координатной прямой равен 1 деление- 1 метр.
Вправо откладываем координату первого мяча А (+4)
Влево откладываем координату второго мяча В (-6)
Расстояние от точки А до начала отсчета 4 единичных отрезка.
Длина ОА = 4 единичных отрезка.
Расстояние от точки В до начала отсчета 6 единичных отрезков.
Длина ОВ = 6 единичных отрезков.
Расстояние ОА и ОВ называют абсолютной величиной, модулем числа, они всегда положительны.
Таким образом, модулем числа называют расстояние на координатной прямой от начала отсчета до заданной точки (выраженной в единичных отрезках).
Обозначается модуль двумя вертикальными чертами слева и справа от числа | |.
Запись |A| читается как «Модуль А» или «Модуль числа А».
Пример 1
|7|— модуль числа 7
Изобразим координатную прямую, отметим на ней точку с координатой 7
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Зная определение модуля числа, мы можем утверждать, что |7| — это расстояние от точки с координатой 7 до точки начала отсчета О, что составляет 7 единичных отрезков.
Значит, модуль числа 7 равен самому числу 7
|7| = 7
Пример 2
|-5| — модуль числа (-5)
Изобразим координатную прямую, отметим на ней точку с координатой (-5).
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Зная определение модуля числа, мы можем утверждать, что от точки с координатой (-5) до точки начала отсчета О помещается 5 единичных отрезков.
5 единичных отрезков — это и есть расстояние от точки с координатой (-5) до точки начала отсчета (модуль числа).
Значит, модуль числа (-5) равен 5
|-5| = 5
Пример 3
|-1|— модуль числа (-1)
В расстояние от точки с координатой (-1) до точки начала отсчета помещается только один единичный отрезок этой прямой, поэтому модуль (-1) равен 1.
|-1| = 1
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Рассмотрим некоторые свойства модуля числа.
1. Модуль нуля равен нулю
Так как от нуля до начала отсчета нет никакого расстояния (0 единичных отрезков), модуль нуля и есть нуль.
|0| = 0
2. Модуль числа всегда число неотрицательное (т.е. положительное или нуль)
Модуль положителен, так как по определению модуль — это расстояние, а расстояние всегда является положительным числом.
Приведем пример:
Мяч катнули вдоль прямой на расстояние, равное 3 м вправо, мяч ударился о стену и покатился вдоль прямой в обратном направлении на 3 м и остановился.
Изобразим на координатной прямой координаты точек в момент каждой остановки мяча.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Точка О на координатной прямой- это точка откуда катнули мяч- точка начала отсчета.
Единичный отрезок координатной прямой равен 1 деление- 1метр.
Точка А с координатой А (+3) — момент удара мяча о стенку.
Точка В с координатой В (0) — совпадает с точкой отсчета.
Можно ли утверждать, что мяч не преодолевал никакого расстояния, оставаясь в исходной точке в состоянии покоя, ведь в конечном счете мяч оказался в точке 0 м (от точки ноль до начала отсчета О не помещается ни одного единичного отрезка)? Конечно же, нет!
Путь мяча был бы равен нулю, если бы его вообще никуда не пинали, и он оставался в состоянии покоя в точке О.
Но мы должны понимать, что путь (расстояние), которое преодолел мяч, состоит из 3 единичных отрезков в правую сторону и 3 единичных отрезков в левую сторону; сложив все единичные отрезки, получим:
3 единичных отрезка + 3 единичных отрезка = 6 единичных отрезков
6 единичных отрезков = 6 м
Для определения пути мы складывали только числовое значение без учета направления. Это числовое значение и есть модуль числа.
Таким образом, можно сказать, что любое число состоит из знака и абсолютного значения (модуля).
Поэтому, чтобы найти модуль числа, нужно записать это число без учета знака.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
3. Модули противоположных чисел равны
Рассмотрим на примере данное утверждение:
Пусть модуль х равен 4, получим равенство |x| = 4
Отметим на координатной прямой точки, которые удовлетворяют этому равенству:
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Точка О — начало отсчета координатной прямой х.
Модул ь- это расстояние от начала отсчета до точки в единичных отрезках, равное в данном случае четырем.
Откладываем 4 единичных отрезка вправо, получаем точку с координатой 4
Но такое же количество единичных отрезков можно отложить влево, тогда получим точку с координатой (-4)
Получим на координатной прямой две точки, которые удовлетворяют условию |x| = 4
В данном примере значение х может быть равным:
х = 4
х = —4
Числа 4 и —4 отличаются только знаками, поэтому смело можем сказать, что это противоположные числа.
На координатной прямой противоположные числа, хоть и по разные стороны от точки начала отсчета, но находятся на равных расстояниях от этой точки, т.е. по модулю равны.
4. Модуль произведения двух чисел равен произведению модулей этих чисел
В буквенном выражении это можно записать так:
(mathbf{|a cdot b| = |a| cdot |b|})
Пример: (mathbf{|5 cdot 6| = |5| cdot |6| = 5 cdot 6 = 30})
5. Квадрат модуля числа равен квадрату этого числа
(mathbf{|a|^2 = a^2 })
Пример:
(mathbf{|10|^2 = 10^2 = 100 })
(mathbf{|-2|^2 = 2^2 = 4})
6. Модуль частного двух чисел равен частному их модулей
(mathbf{Bigl| frac{x}{y}Bigr| = frac{|x|}{|y|} , y neq 0})(так как на нуль делить нельзя).
Пример:
(mathbf{Bigl| frac{8}{2}Bigr| = frac{|8|}{|2|}= frac{8}{2} = 4 })
(mathbf{Bigl| -frac{8}{2}Bigr| = frac{|-8|}{|2|}= frac{8}{2} = 4 })
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Рассмотрим несколько примеров таких задач.
Задача 1
Запишите все числа, имеющие модуль 142.
Решение:
Представим координатную прямую с началом отсчета в точке О
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Нам известно, что модуль числа — это расстояние (количество единичных отрезков) от нуля до какой-либо точки.
142 единичных отрезка мы можем отложить на координатной прямой вправо и получим точку с координатой 142.
Также 142 единичных отрезка мы можем отложить влево от нуля, в этом случае получаем точку с координатой 142.
На координатной прямой находятся два числа, которые имеют модуль 142, а расстояние до этих точек содержат по 142 единичных отрезка.
|142| = 142
|-142| = 142
Ответ: числа 142 и —142 имеют модуль 142
Задача 2
Расположите числа —15; —1; 4; 7 в порядке возрастания модулей.
Решение:
Надо понимать, что в порядке возрастания будем располагать не сами числа —15; —1; 4; 7, а их модули.
Для этого найдем модули каждого из них:
|-15| = 15
|-1| = 1
|4| = 4
|7| = 7
Модули чисел получились: 15, 1, 4, 7
Расположим эти числа в порядке возрастания (от самого маленького к самому большому):
1, 4, 7, 15.
Получаем такую последовательность равенств,
|-1| = 1
|4| = 4
|7| = 7
|-15| = 15
Следовательно, числа в порядке возрастания их модулей должны располагаться так: -1, 4, 7, -15
Ответ: —1, 4, 7, —15
Задача 3
На координатной прямой отметили две точки -73 и 68. Модуль какого числа больше?
Решение:
Представим, что на координатной прямой на определенном расстоянии от точки О (налала отсчета) отмечены две точки.
Слева от точки начала отсчета расположена точка с координатой -73
Справа от точки начала отсчета расположена точка с координатой 68
Нам известно, что модуль — это расстояние от заданной точки до точки начала отсчета, выраженное в единичных отрезках.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Расстояние от точки О до точки с координатой -73 содержит больше единичных отрезков, чем расстояние от точки О до точки с координатой 68 (т.е. координата точки -73 находится дальше от начала координат, чем точка с координатой 68).
Значит, модуль числа -73 больше модуля числа 68
|-73| = 73
|68| = 68
73 > 68, а это значит:
|-73| > |68|
Ответ: |-73| > |68|
Задача 4
На координатной прямой точка А отмечена левее точки начала отсчета на 2 единицы и точка В — правее от точки начала отсчета на 6 единиц.
Чему равны координаты этих точек?
Чему равен модуль каждой координаты?
Решение:
Построим координатную прямую, за начала отсчета примем точку О
Единичный отрезок равен 1 деление- 1 единица.
На координатной прямой отметим точки А и В
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Точка А имеет координату A (-2), так как она отодвинута влево от точки О на расстояние в два единичных отрезка.
Точка В имеет координату В (6), так как она отодвинута вправо от точки О на расстояние в шесть единичных отрезков.
Получили точки с координатами A (-2) и В (6)
Модуль-это расстояние в единичных отрезках от заданной точки до начала отсчета.
Таким образом:
Модуль —2 равен 2
|-2| = 2
Модуль 6 равен 6
|6| = 6
Ответ: Модули координат точек A (-2) и В (6) равны 2 и 6 соответственно.
Наверное, вы уже заметили, что значение координат может быть положительным и отрицательным, а модули только положительными.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается
только за счет дохода от рекламы.
Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.
на главную
Модуль числа
Поддержать сайт
Обозначим на
координатной прямой две точки, которые соответствуют числам
«−4» и 2.
Точка «A», соответствующая числу «−4»,
находится на расстоянии
4 единичных отрезков от точки 0
(начала отсчёта), то есть длина отрезка «OA»
равна 4 единицам.
Число 4 (длина отрезка «OA») называют модулем
числа «−4».
Обозначают модуль числа так: |−4| = 4
Читают символы выше следующим образом: «модуль числа
минус четыре равен четырём».
Точка «B», соответствующая
числу «+2», находится на расстоянии двух единичных отрезков от начала отсчёта,
то есть длина отрезка «OB» равна двум единицам.
Число 2 называют модулем числа
«+2» и записывают:
|+2| = 2 или |2| = 2.
Если взять некоторое число «a» и изобразить его
точкой «A» на координатной прямой, то
расстояние от точки «A» до начала отсчёта
(другими словами длина отрезка «OA») и будет называться
модулем числа «a».
|a| = OA
Запомните!
Модулем рационального числа называют расстояние от
начала отсчёта до точки координатной прямой, соответствующей этому числу.
Так как расстояние (длина отрезка) может выражаться только положительным числом или нулём, можно сказать,
что модуль числа не может быть отрицательным.
Запишем свойства модуля с помощью буквенных выражений, рассмотрев все возможные случаи.
- Модуль положительного числа равен самому числу.
|a| = a, если a > 0 - Модуль отрицательного числа равен противоположному числу.
|−a| = a, если a < 0 - Модуль нуля равен нулю.
|0| = 0, если a = 0 - Противоположные числа имеют равные модули.
|−a| = |a| = a
Примеры модулей рациональных чисел:
- |−4,8| = 4,8
- |5| = 5
- |0| = 0
- |− | =
Ваши комментарии
Важно!
Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи
«ВКонтакте».
Оставить комментарий:
18 января 2016 в 17:47
Евгения Плотникова
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Евгения Плотникова
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Модуль координаты точки равен 1)2;2)4;3)3.Вопрос.Какую координату может иметь точка.
0
Спасибо
Ответить
19 сентября 2016 в 10:45
Ответ для Евгения Плотникова
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
Знак моддуля, означает, что под ним может скрываться как отрицательное, так и положительное значение. Следовательно:
1) 2;2
-2;2
-2;-2
2;-2
2) 4;0
-4;0
0;4
0;-4
3) 3;0
-3;0
0;3
0;-3
подробнее здесь.
0
Спасибо
Ответить
17 января 2016 в 18:05
Заира Надырова
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Заира Надырова
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
а) Что можно сказать о числе х, если известно, что модуль х=х?
б)модуль х=?х
0
Спасибо
Ответить
21 января 2016 в 16:18
Ответ для Заира Надырова
Сергей Фадеев
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 6
Сергей Фадеев
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 6
то что х=х больше х
0
Спасибо
Ответить
Модуль числа
- Модуль на координатной прямой
- Свойства абсолютной величины
Модуль числа обозначается двумя вертикальными чертами, между которыми заключается число:
|-7| — модуль числа -7.
Модуль числа — это абсолютная величина числа. Абсолютная величина — это неотрицательное число, удовлетворяющее условиям:
|x| = x, если x ⩾ 0;
|x| = —x, если x < 0.
Следовательно, модуль числа – это положительное число или нуль.
Модуль на координатной прямой
Модуль числа — это расстояние от начальной точки до соответствующей точки на координатной прямой. Рассмотрим координатную прямую с точками A и B:
Точка A соответствует числу -5
, которое находится в пяти единичных отрезках от начальной точки, то есть длина отрезка AO равна 5. Так как модуль равен расстоянию от начала координат до точки, то модуль числа -5 равен 5, это можно записать так:
|-5| = 5.
Точка B соответствует числу 4,5
, значит длина отрезка OB равна 4,5. Следовательно, модуль числа 4,5 равен 4,5:
|4,5| = 4,5.
Точка O соответствует числу 0
и является начальной точкой, следовательно, модулем нуля будет нуль:
|0| = 0.
Следует иметь ввиду, что чем дальше от нуля точка, изображающая данное число, тем больше модуль этого числа.
Свойства абсолютной величины
Абсолютной величиной нуля является число нуль.
Модулем положительного числа называется само это число.
Пример:
|+2| = 2; |+35| = 35 и т. д.
Модулем отрицательного числа называется противоположное ему числу.
Пример:
|-10| = 10,
потому что -(-10) = 10.
Модули противоположных чисел равны.
Пример:
|+7| = |-7| = 7, |-5| = |+5| = 5.