Как найти модуль циркуляции векторного поля

Примеры решений задач по теории поля

В этом разделе вы найдете готовые задания разного типа по векторному анализу (теории поля):

Примеры: базовые понятия теории поля

Задача 1. Проверить, что поле $f=(3x+y^2)i+2xy j$ потенциально и восстановить потенциал.

Задача 2. Найти дивергенцию и ротор векторного поля $overline{a}=(3x-y) overline{i}+(6z+5x) overline{k}$

Задача 3. Дано скалярное поле $u(x,y,z)$ и векторное поле $overline{a}(x,y,z)$. Найти $grad u$, $div overline{a}$, $rot overline{a}$ в точке $M(1;5;-2)$.

$$u=frac{sqrt{x}}{y}-frac{yz}{x+sqrt{y}}, quad
overline{a}=yzoverline{i} +xzoverline{j} +xyoverline{k}$$

Задача 4. Вычислить потенциальную функцию векторного поля

$$overline{a}=left( frac{x}{y}+ycos x right)overline{i} +left(-frac{x^2}{2y^2}+sin xright)overline{j}.$$

Поток поля через поверхность

Задача 5. Найти поток векторного поля $overline{a}=2x overline{i}+y overline{j}-2z overline{k}$ через часть плоскости $P: 2x+y/2+z=1$, расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью $Oz$).

Задача 6. Найти поток векторного поля $overline{a}$ через часть поверхности $S$, вырезаемую плоскостями $P_1, P_2$ (нормаль внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями).

$$ overline{a}=(x^3+xy^2)overline{i}+(y^3+x^2y)overline{j}+z^2overline{k},\
S: x^2+y^2=1, P_1^ z=0; P_2: z=3$$

Задача 7. Найти поток векторного поля $overline{a}$ через замкнутую поверхность $S$ (нормаль внешняя).

$$ overline{a}=xoverline{i}+zoverline{j}-yoverline{k},\
S: z=4-2(x^2+y^2), z=2(x^2+y^2).$$

Задача 8. Найти поток векторного поля $overline{a}=x^3overline{i}+y^3overline{j}+z^3overline{k}$ через замкнутую поверхность $S: x^2+y^2+z^2=1$ (нормаль внешняя).

Задача 9. Найти поток векторного поля $overline{a}$ через часть плоскости $S$, вырезанную плоскостью $P: z=1$ непосредственно и с помощью формулы Гаусса-Остроградского (нормаль внешняя к замкнутой поверхности).

$$overline{a}=(x+xy^2) overline{i} + (y-yx^2)overline{j}+(z-3)overline{k}, quad S: x^2+y^2=z^2 (z geq 0).$$

Циркуляция векторного поля

Задача 10. Найти модуль циркуляции векторного поля $overline{a}=xyoverline{i}+yzoverline{j}+zxoverline{k}$ вдоль контура

$$x^2+y^2=9, x+y+z=1.$$

Задача 11. Найдите циркуляцию вектора $overline{a}=(x^2-y) overline{i}+ xoverline{j}+ overline{k}$ по контуру

$$x^2+y^2=1;\
z=1$$

с помощью формулы Стокса и непосредственно (положительным направлением обхода контура считать то, при котором точка перемещается по часовой стрелке, если смотреть из начала координат).

Задача 12. Найти циркуляцию вектора $F$ вдоль ориентированного контура $L$.
$$ overline{F} = (3x-1) overline{i}+ (y-x+z)overline{j}+4z overline{k}, $$
$L$ — контур треугольника $ABCA$, где $A,B,C$ точки пересечения плоскости $2x-y-2z+2=0$ соответственно с осями координат $Ox, Oy, Oz$.

Работа векторного поля

Задача 13. Найдите работу векторного поля $A=(2xy-y; x^2+x)$ по перемещению материальной точки вдоль окружности $x^2+y^2=4$ из $M (2; 0)$ в $К(-2; 0)$.

Задача 14. Вычислить работу векторного поля силы $overline{F} = xz overline{i} -overline{j}+y overline{k}$ при движении материальной точки по пути $L: x^2+y^2+z^2=4$, $z=1 (y ge 0)$ от точки $M(sqrt(3);0;1)$ до точки $N(-sqrt(3);0;1)$.

Типовой расчет по теории поля

Задание 15.
А) Найти поток векторного поля $F$ через внешнюю поверхность пирамиды, отсекаемой плоскостью $(p)$ двумя способами: непосредственно и по формуле Гаусса-Остроградского.
Б) Найти циркуляцию вектора $F$ по контуру треугольника двумя способами: по определению и по формуле Стокса.

$$ overline{F} = z overline{i}+ (x+y)overline{j}+y overline{k}, quad (p): 2x+y+2z=2. $$

Помощь с решением заданий

Если вам нужна помощь с решением задач и контрольных по этой и другим темам математического анализа, обращайтесь в МатБюро. Стоимость подробной консультации от 150 рублей, оформление производится в Word, срок от 1 дня.

Полезные ссылки

• Учебник с примерами онлайн по теории поля
• Функции нескольких переменных — задачи с решениями

Пусть
F
i
j
k
– векторное поле, заданное в некоторой
области

,
и функции

,

,

– непрерывно дифференцируемые в области

.
Пусть L
– гладкая кривая, расположенная в
области

.

Криволинейный
интеграл

(4)

называется
работой
векторного поля F
вдоль
кривой L.

В
случае если L
– замкнутая кривая, то криволинейный
интеграл (4) называется циркуляцией
векторного поля F
вдоль кривой L.

Таким
образом, циркуляция поля F
равна:

Ц
.

В
случае когда векторное поле F

– плоское, его циркуляция вдоль замкнутой
кривой L
задается интегралом:

Ц
.

Формула
Стокса

Теорема
(Стокс).
Пусть

– гладкая ориентируемая поверхность,
а L
– замкнутая гладкая кривая, являющаяся
границей поверхности

.
Пусть n

– единичная нормаль к поверхности

,
задающая одну из ее сторон. Пусть
векторное поле F

– непрерывно дифференцируемо на

и L.
Тогда

(5)

причем
направление обхода контура L
выбрано так, что при взгляде с конца
вектора n оно происходит против часовой
стрелки.

Левый
интеграл в формуле (5) представляет собой
циркуляцию векторного поля F
вдоль контура L,
а правый – поток ротора этого поля через
поверхность

.
Поэтому формулу Стокса удобно записывать
в векторной форме:

rot
F·n

(rot
F)<sub>n


,</sub>

т.е.
поток ротора векторного поля F
через ориентированную поверхность

равен циркуляции поля F
вдоль контура L
этой поверхности (проходимого в
положительном направлении).

В
случае, когда векторное поле F

– плоское, формула Стокса принимает
вид формулы Грина:

.

Формулу
Стокса применяют для вычисления
циркуляции векторного поля. Однако
следует помнить, что для того, чтобы
можно было применить формулу Стокса к
контуру

,
необходимо, чтобы область

,
в которой лежит

была поверхностно односвязной.

Область

называется поверхностно
односвязной,
если для любого замкнутого контура

,
найдется поверхность

,
границей которого является контур L.

Пример
1.
Найти циркуляцию плоского векторного
поля F

по замкнутой кривой L
в положительном направлении:

1. F
   ,
   L
   – окружность, задаваемая уравнением

;

1. F
   ,
   L
   – контур треугольника
   ,
   где
   ,

   
   ,

   
   .

Решение.
а) Запишем параметрические уравнения
окружности:

,

,

.
Находим

,

.

Тогда
циркуляция поля F
вдоль кривой L
будет равна:

Ц

.

б)
Первый
способ.

Контур
L
есть объединение отрезков

,

и

.
Поэтому циркуляция поля F
вдоль кривой L
будет равна:

Ц
.

Вычислим
каждый из интегралов. Вдоль отрезка

имеем

и, стало быть,

.
Следовательно,

.

Вдоль
отрезка

имеем

и

.
Поэтому

.

И
вдоль отрезка

имеем

и

.
Следовательно,

Таким
образом, циркуляция поля F
вдоль контура L
будет равна: Ц

Второй
способ.

Вычислим
циркуляцию, применив формулу Грина:

Ц
,

где
областью D
является треугольник

.
В нашем случае

,

.
Следовательно,

,

.
Тогда циркуляция поля F
вдоль контура L
будет равна

Ц
.

Пример
2.
Вычислить циркуляцию пространственного
векторного поля F
i
j
k
вдоль эллипса L,
получающегося пересечением цилиндра

с плоскостью

(при взгляде с положительного направления
оси

обход контура L
совершается против часовой стрелки).

Первый
способ.

Запишем
параметрические уравнения эллипса:

,

,

.
При изменении параметра

от

до

получаем требуемое направление обхода
контура L.
Вычислим теперь циркуляцию:

Ц

.

Второй
способ.

Вычислим
циркуляцию, применив формулу Стокса,
причем в качестве поверхности

,
ограничиваемой кривой L,
выберем часть плоскости

,
лежащей внутри цилиндра

.
Единичную нормаль к плоскости выберем
так, чтобы, глядя с ее конца, направление
обхода контура L
проходило против часовой стрелки. Такой
единичной нормалью будет вектор n
.
По формулу Стокса имеем:

Ц
rot
F·n

_.

Вычисление
последнего интеграла сведем вычислению
двойного интеграла по области

,
являющейся проекцией поверхности

на плоскость

.
Этой областью будет круг

.
Поскольку

,
то окончательно получаем:

Ц=
.

Контрольные
вопросы:

1. Дайте
   определение работы векторного поля
   F
   вдоль кривой
   L.

2. Дайте
   определение циркуляции векторного
   поля F
   вдоль кривой
   L.

3. Приведите
   формулу Стокса.

4. Дайте
   определение поверхностно односвязной
   области.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Задача 1. Найдите циркуляцию векторного поля вдоль контура Г: , , лежащего в плоскости , в положительном направлении относительно орта K.

Решение. Способ 1. Контуром интегрирования Г является АВА: половина окружности радиуса 1 с центром в начале координат и отрезок прямой .

По формуле Стокса имеем

За поверхность S, ограниченную контуром Г, примем полукруг образованный сечением кругового цилиндра плоскостью .

Следовательно,

Ответ: .

Способ 2. Можно было решать по определению.

Циркуляция векторного поля вдоль контура Г определяется формулой линейного интеграла вдоль замкнутой линии Г:

Дуга АВ является частью окружности

Вычисляем

Получаем:

Окончательно,

Ответ: .

Задача 2. Найдите поток векторного поля через замкнутую поверхность , , в направлении внешней нормали.

Решение. Поверхностью является пирамида V, образованная плоскостью и координатными плоскостями.

Проекция поверхности на плоскость XOY есть треугольник D, ограниченный прямыми , ,

Так как поверхность замкнутая, то можем воспользоваться формулой Остроградского-Гаусса:

Ответ: .

< Предыдущая		Следующая >

Помощь с решением заданий

Если вам нужна помощь с решением задач и контрольных по этой и другим темам математического анализа, обращайтесь в МатБюро. Стоимость подробной консультации от 150 рублей , оформление производится в Word, срок от 1 дня.

Циркуляцию векторного поля вдоль окружности

        Вариант 1     Вариант 2     Вариант 3     Вариант 4     Вариант 5     Вариант 6

        Вариант 7     Вариант 8     Вариант 9     Вариант 10     Вариант 11     Вариант 12

    Вариант 13     Вариант 14     Вариант 15     Вариант 16     Вариант 17     Вариант 18

    Вариант 19     Вариант 20     Вариант 21     Вариант 22     Вариант 23     Вариант 24

    Вариант 25     Вариант 26     Вариант 27     Вариант 28     Вариант 29     Вариант 30

        12.14 Найти модуль циркуляции векторного поля    
вдоль контура
   

Решение

        Согласно формуле Стокса:

.
        Здесь         — участок поверхности, ограниченный контуром         ,         — единичный вектор нормали к данной поверхности.

        Найдём ротор векторного поля

        Тогда интеграл запишется

        Здесь         — направляющие косинусы нормали к поверхности или координаты единичного вектора нормали.
        Из общего уравнения плоскости запишем координаты нормального вектора       .
        Находим длину нормального вектора
.
        Тогда направляющие косинусы
.

        Элемент поверхности
.

        Проекцией поверхности         на плоскость         является круг

        Этот круг имеет центр в начале координат и радиус        .

        Площадь данного круга
.
        Переходя от поверхностного интеграла к двойному, получим

.

        Тогда модуль циркуляции       .
        Ответ: Модуль циркуляции равен      .

Циркуляция векторного поля. Ротор вектора. Теорема Стокса

Содержание:

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Пусть в некоторой области G задано непрерывное векторное поле а ) к и замкнутый ориентированный контур L. Определение 1. Циркуляцией вектора а по замкнутому контуру L называется криволинейный интеграл 2-го рода от оектора а по контуру L Здесь dr — вектор, длина которого равна дифференциалу дуги L, а направление совпадаете направлением касательной к L, оп- Рис. 31 ределяемымориентацией контура (рис. 31); символ f означает, что интеграл берется по зам1«угому контуру L. ь

Пример 1. вычислить циркуляцию векторного поля вдоль эллипса L: По определению циркуляции имеем Параметрические уравнения данного эллипса имеют вид: , и, значит, . Подставляя эти выражения в формулу (2), найдем Циркуляция векторного поля. Ротор вектора Теорема Стокса Ротор (вихрь) векторного поля Инвариантное определение ротора поля Физический смысл ротора поля Правила вычисления ротора 8.1.

Ротор (вихрь) векторного поля Рассмотрим поле вектора Р, Q, R которого непрерывны и имеют непрерывные частные производные первого порядка по всем своим аргументам. Огределенив 2. Ротором вектора »(М) называется вектор, обозначаемый символом rot а и определяемый равенством или, в символической, удобной для запоминания форме, Этот определитель раскрывают по элементам первой строки, при этом операции умножения элементов второй строки на элементы третьей строки понимаются как операции дифференцирования, например,

Определение 3. Если в некоторой области G имеем rot а = 0, то поле вектора а в области G называете я безвихревым. Пример 2. Найти ротор вектора 4 Согласно формуле (3) имеем Так как rot а — вектор, то мы можем рассматривать векторное поле — поле ротора вектора а. Предполагая, что координаты вектора а имеют непрерывные частные производные второго порядка, вычислим дивергенцию вектора rot а. Получим Таким образом, поле вектора rot а соленоида л ьно.

Теорема 7 (Стокса). Циркуляция вектора а вдоль ориентированного замкнутого контура L равна потоку ротора этого вектора через любую поверхность Е, натянутую на контур L, При этом предполагается, что координаты вектора а имеют непрерывные частные производные в некоторой области G пространства, содержащей поверхность Е, и что ориентация орта нормали п° к поверхности ЕС G согласована с ориентацией контура L так, что из конца нормши обход контура в заданном направлении виден совершающимся против часовой стрелки.

Учитывая, что , и пользуясь определением ротора (3), перепишем формулу (4) в следующем виде: Рассмотрим сначала случай, когда гладкая поверхность Е и ее контур L однозначно проектируются на область D плоскости хОу и ее границу — контур А соответственно (рис. 32). Ориентация контура L порождает определенную ориентацию контура А. Для определенности будем считать, что контур L ориентирован так, что поверхность Е остается слева, так что веетор нормали п к поверхности Е составдя етсосью Oz острый угол 7 (cos 7 >0).

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пусть — уравнение поверхности Е и функция ф(х>у) непрерывна и имеет непрерывные частные производные gf и ^ в замкнутой области D.

Рассмотрим интеграл Линия L лежит на поверхности Е. Поэтому, пользуясь уравнением этой поверхности , мы можем заменить г под знаком интеграла на ^(ж, у). Координаты перемсннойточки кривой А равны координатам соответствующей точки на кривой L, а потому интегрирование по L можно заменить интегрированием по А, Применим к интегралу, стоящему справа, формулу Грина.

Имеем Перейдем теперь от интеграла по области D к интегралу по поверхности Е. Так как dS = cos 7 • da, то из формулы (8) получим, что Вектор нормали п° к поверхности Е определяется выражением к. Отсюда видно, что . Поэтому равенсгво (9) можно переписать так: Считая Е гладкой поверхностью, однозначно проектирующейся на все три координатные плоскости, аналогично убеждаемся в справедливости формул Циркуляция векторного поля.

Ротор вектора Теорема Стокса Ротор (вихрь) векторного поля Инвариантное определение ротора поля Физический смысл ротора поля Правила вычисления ротора Складывая равенства почленно, получим формулу Стокса (5), или, короче, Замечание 1. Мы показали, что поле вектора rote — соленоидальное, и потому поток вектора rota не зависит от вида поверхности Е, натянутой на контур L. Замечание 2. Формула (4) выведена в предположении, что поверхность £ однозначно проектируется на все три координатные плоскости. Бели это условие не выполнено, то разбиваем £ на частя так, чтобы каждая часть указанному условию удовлетворяла, а затем пользуемся аддитивностью интегралов.

Пример 3:

Вычислить циркуляцию вектора по линии 1) пользуясь определением; 2) по теореме Стокса. 4 1) Зададим линию L параметрически: Тогда 2) Найдем rota: Натянем на контур L кусок плосхости Тогда . Инвариантное определение ротора поля Из теоремы Стокса можно получить инвариантное определение ротора поля, не связанное с выбором системы координат. Теорема 8.

Проекция ротора а на любое направление не зависит от выбора системы координат и равна поверхностной плотности циркуляции вектора а по контуру площадки, перпендикулярной этому направлению, Здесь (Е) — плоская площадка, перпендикулярная вектору л; 5 — площадь этой площадки; L — контур площадки, ориентированный так, чтобы обход контура был виден из конца вектора п против хода часовой стрелки; (Е) М означает, что площадка (Е) стягивается к точке М, в которой рассматривается вектор rot а, причем вектор нормали п к этой площадке остается все время одним и тем же (рис. 33). 4

Применим сначала к циркуляции (a,dr) вектора а теорему Стокса, а затем к полученному двойному интегралу — теорему о среднем значении: откуда (скалярное произведение берется в некоторой средней точке Мф площадки (Е)). Пристягивании площадки (Е) кточке М средняяточка Л/ср тоже стремится кточ-ке М и, в силу предполагаемой непрерывности частных производных от координат вектора а (а значит, и непрерывности rot а), мы получаем Поскольку проекция вектора rot а на произвольное направление не зависитотвы-бора системы координат,то и сам вектор rota инвариантен относительно этого выбора.

Отсюда получаем следующее инвариантное определение ротора поля: ротор поля есть вектор, длина которого равна наибольшей поверхностной плотности циркуляции в данной точке, направленный перпендикулярно той площадке, на которой эта наибольшая плотность циркуляции достигается; при этом ориентация вектора rota согласуется с ориентацией контура, при которой циркуляция положительна, по правилу правого винта. 8.3.

Физический смысл ротора поля Пустьтвердое

тело вращается вокруг неподвижной оси I с угловой скоростью и. Не нарушая общности, можно считать, что ось I совпадает с осью Oz (рис. 34). Пусть М(г) — изучаемая точка тела, где Вектор угловой скорости в нашем случае равен из = wk, вычислим вектор v линейной скорости точки М, Отсюда Циркуляция векторного поля. Ротор вектора Теорема Стокса Ротор (вихрь) векторного поля Инвариантное определение ротора поля Физический смысл ротора поля.

Правила вычисления ротора

Итак, вихрь поля скоростей вращающегося твердого тела одинаков во всех точках поля, параллелен оси вращения и равен удвоенной угловой скорости вращения. 8.4. Правила вычисления ротора 1. Ротор постоянного вектора с равен нулевому вектору, 2. Ротор обладает свойством линейности постоянные числа. 3. Ротор произведения скалярной функции и<М) на векторную а(М) вычисляется по формуле

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.