Модуль вектора
Формула
Чтобы найти модуль вектора по координатам нужно извлечь квадратный корень из суммы квадратов его координат, то есть найти длину вектора.
Если вектор задан на плоскости в виде $ overline{a} = (x;y) $, то вычисляется модуль по формуле: $$ |overline{a}|=sqrt{x^2+y^2} $$
В случае, когда вектор задан в пространстве тремя координатами $ overline{a}= (x;y;z) $, то модуль находится по формуле: $$ |overline{a}|=sqrt{x^2+y^2+z^2} $$
Для нахождения модуля вектора нам понадобится знать:
- Координаты вектора
- Формулы
Примеры решений
| Пример |
| Найти модуль вектора $ overline{a} = (3;4;0) $ |
| Решение |
|
Зная координаты мы первым делом определяем на плоскости или в пространстве задана задача. В нашем случае координат у вектора три, поэтому в пространстве (было бы две координаты, то на плоскости). Используем вторую формулу для пространственной задачи: $$ |overline{a}|=sqrt{x^2+y^2+z^2} $$ Подставляя в формулу в место $ x,y,z $ числа из задания получаем модуль: $$ |overline{a}|=sqrt{3^2+4^2+0^2} = sqrt{9+16+0} = sqrt{25}=5 $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ |overline{a}|= sqrt{25}=5 $$ |
Содержание:
- Формула
- Примеры вычисления модуля вектора
Формула
Чтобы найти модуль вектора, заданного своими координатами, нужно найти его длину, то есть извлечь корень из суммы
квадратов его координат. Если вектор задан на плоскости и имеет координаты $bar{a}=left(a_{x} ; a_{y}right)$, то его модуль вычисляется по формуле
$$|bar{a}|=sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}$$
То есть модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов координат.
Если вектор задан в пространстве координатами
, то его модуль вычисляется по формуле
$$bar{a}=left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}right)$$
Примеры вычисления модуля вектора
Пример
Задание. Найти модуль вектора $bar{a}=(-1 ; 1)$
Решение. Для нахождения модуля вектора, заданного на плоскости воспользуемся формулой:
$$|bar{a}|=sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}$$
Подставляя в неё координаты заданного вектора, будем иметь:
$$|bar{a}|=sqrt{(-1)^{2}+1^{2}}=sqrt{1+1}=sqrt{2}$$
Ответ. $|bar{a}|=sqrt{2}$
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. В пространстве заданны точки
$A(2 ;-4 ; 1)$ и $B(-2 ; 0 ; 3)$. Найти модуль вектора
$overline{A B}$
Решение. Найдем координаты вектора $overline{A B}$. Для этого из координат конца
(точки $B$ ) вычтем соответствующие координаты начала (точки
$A$ ):
$$overline{A B}=(-2-2 ; 0-(-4) ; 3-1)=(-4 ; 4 ; 2)$$
Далее для нахождения модуля вектора $overline{A B}$ воспользуемся формулой:
$|overline{a}|=sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}$
Подставляя координаты вектора $overline{A B}$, получим:
$$|overrightarrow{A B}|=sqrt{(-4)^{2}+4^{2}+2^{2}}=sqrt{16+16+4}=sqrt{36}=6$$
Ответ. $|overrightarrow{A B}|=6$
Читать дальше: как найти координаты вектора.
Длина направленного отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной, или модулем, вектора.
Из теоремы Пифагора следует, что в треугольнике (ABC) длина отрезка (AB), которая является модулем вектора
AB→
, равна
AC2+CB2
, и, следовательно, модуль (длина) вектора
AB→
рассчитывается по формуле
AB→=x2+y2
.
Пример:
вычисли длину вектора
AB→=5;3
.
Расстояние между двумя точками
Как известно, координаты вектора можно определить, если даны координаты начальной и конечной точек вектора
Ax1;y1
и
Bx2;y2
.
Если
x=x2−x1
,
y=y2−y1
и
AB→=x2+y2
, то вместо (x) и (y) можно поставить их выражения.
Новую формулу называют не только формулой длины вектора, но и формулой расстояния между двумя точками с заданными координатамиAB=x2−x12+y2−y12.
Так как выражения в скобках в квадрате, то справедливо, что
.
То есть, не важна последовательность координат в разности.
Обрати внимание!
Если даны координаты начальной и конечной точек вектора
Ax1;y1
и
Bx2;y2
, то
AB→x2−x1;y2−y1
.
Обязательно из координат конечной точки надо вычитать координаты начальной точки!
Но при определении длины вектора в формуле последовательность координат не имеет значения:
AB→=x2−x12+y2−y12=x1−x22+y1−y22
.
© 2011-2023 Довжик Михаил
Копирование материалов запрещено.
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Если Вы хотите связаться со мной, имеете вопросы, предложения или хотите помочь развивать сайт OnlineMSchool пишите мне support@onlinemschool.com
Вектором является направленный отрезок. Длина этого отрезка является длиной вектора.
Длина вектора b⃗vec{b} обозначается ∣b⃗∣.left | vec{b} right |. Модуль числа имеет аналогичное обозначение и длина вектора часто называется модулем вектора.
Длина нулевого вектора равна нулю.
Нахождение длины вектора по его координатам
Длина вектора, который задан своими координатами, – это квадратный корень из суммы квадратов его координат.
Для того чтобы найти длину вектора, заданного своими координатами, нужно извлечь квадратный корень из суммы квадратов его координат.
- Для вектора b⃗=(bx;by),vec{b}=(b_{x};b_{y}), заданного на плоскости, длина вычисляется по формуле ∣b⃗∣left |vec{b} right|=bx2+by2sqrt {b_{x}^{2}+b_{y}^{2}}.
- Для вектора b⃗=(bx;by;bz),vec{b}=(b_{x};b_{y};b_{z}), заданного в пространстве, длина вычисляется по формуле ∣b⃗∣=bx2+by2+bz2left | vec{b} right |=sqrt {b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2}}.
Пример 1
Найти длину вектора b⃗=(6;−4).vec{b}=(6;-4).
Вектор задан на плоскости, поэтому воспользуемся первой формулой: ∣b⃗∣=bx2+by2left | vec{b} right |=sqrt {b_{x}^{2}+b_{y}^{2}}.
Подставим координаты вектора b⃗vec{b} в формулу, получим: ∣b⃗∣=62+(−4)2=36+16=52=213left | vec{b} right |=sqrt {6^{2}+(-4)^{2}}=sqrt {36+16}=sqrt {52}=2sqrt {13}.
Ответ: 2132sqrt {13}.
Пример 2
Найти длину вектора d⃗=(1;3;5).vec{d}=(1;3;5).
Вектор задан в пространстве, поэтому воспользуемся второй формулой:
∣d⃗∣=dx2+dy2+dz2left | vec{d} right |=sqrt {d_{x}^{2}+d_{y}^{2}+d_{z}^{2}}.
Подставим координаты вектора d⃗vec{d} в формулу, получим:
∣d⃗∣=12+32+52=1+9+25=35left | vec{d} right |=sqrt {1^{2}+3^{2}+5^{2}}=sqrt {1+9+25}=sqrt {35}.
Нахождение длины вектора по координатам точек его начала и конца
Для нахождения длины вектора CD⃗vec{CD}, где C(cx;cy)C(c_{x};c_{y}) и D(dx;dy)D(d_{x};d_{y}) существует определенная последовательность действий:
- Найти координаты вектора CD⃗vec{CD} по формуле: ∣CD⃗∣=(dx−cx;dy−cy)left | vec{CD} right |=(d_{x}-c_{x};d_{y}-c_{y}).
- Найти длину вектора по его координатам по формуле: ∣CD⃗∣=(dx−cx)2+(dy−cy)2left | vec{CD} right |=sqrt {(d_{x}-c_{x})^{2}+(d_{y}-c_{y})^{2}}.
Аналогично находится длина вектора CD⃗,vec{CD}, заданного в пространстве, где C(cx;cy;cz)C(c_{x};c_{y};c_{z}) и D(dx;dy;dz)D(d_{x};d_{y};d_{z}):
- Найти координаты вектора CD⃗vec{CD} по формуле: CD⃗=(dx−cx;dy−cy;dz−cz).vec{CD}=(d_{x}-c_{x};d_{y}-c_{y};d_{z}-c_{z}).
- Найти длину вектора по его координатам по формуле: ∣CD⃗∣=(dx−cx)2+(dy−cy)2+(dz−cz)2left | vec{CD} right |=sqrt {(d_{x}-c_{x})^{2}+(d_{y}-c_{y})^{2}+(d_{z}-c_{z})^{2}}.
Пример 1
На плоскости заданы точки E(−1;3)иK(3;−4)E(-1;3) и K(3;-4). Найти длину вектора EK⃗.vec{EK}.
Найдем координаты вектора EK⃗.vec{EK}. Для этого из координат конца вычтем координаты начала, получим:
EK⃗=(3−(−1);−4−3)=(3+1;−4−3)=(4;−7).vec{EK}=(3-(-1);-4-3)=(3+1;-4-3)=(4;-7).
Воспользуемся формулой ∣b⃗∣=bx2+by2left | vec{b} right |=sqrt {b_{x}^{2}+b_{y}^{2}} для нахождения длины вектора, получим:
∣EK⃗∣=42+(−7)2left | vec{EK} right |=sqrt {4^{2}+(-7)^{2}}=16+49sqrt {16+49}=65sqrt {65}.
Пример 2
В пространстве заданы точки C(1;2;3)C(1;2;3) и D(3;4;5).D(3;4;5). Найти длину вектора CD⃗.vec{CD}.
Найдем координаты вектора CD⃗.vec{CD}. Для этого из координат конца вычтем координаты начала, получим: CD⃗=(3−1;4−2;5−3)=(2;2;2).vec{CD}=(3-1;4-2;5-3)=(2;2;2).
Воспользуемся формулой ∣b⃗∣=bx2+by2+bz2left | vec{b} right |=sqrt {b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2}} для нахождения длины вектора, получим: ∣b⃗∣=22+22+22=4+4+4=12=23left | vec{b} right |=sqrt {2^{2}+2^{2}+2^{2}}=sqrt {4+4+4}=sqrt {12}=2sqrt 3.
Нахождение длины вектора по теореме косинусов
Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
Для треугольника со сторонами a,b,ca, b, c и углами α,βalpha, beta и γ,gamma, противолежащими этим сторонам соответственно, справедливы равенства:
b=a2+c2−2a⋅c⋅cos(β),b=a^{2}+c^{2}-2acdot ccdot cos (beta), a=b2+c2−2b⋅c⋅cos(α),a=b^{2}+c^{2}-2bcdot ccdot cos (alpha), c=a2+b2−2a⋅b⋅cos(γ).c=a^{2}+b^{2}-2acdot bcdot cos (gamma).
Аналогично поступают и с векторами. Рассмотрим пример.
Пример 1
Длины векторов KL⃗vec{KL} и KM⃗vec{KM} равны соответственно 2 и 4, а угол между ними равен π4.frac{pi }{4}. Вычислите длину вектора LM⃗.vec{LM}.
Длина вектора LM⃗vec{LM} равна длине стороны LMLM в треугольнике LMKLMK. Также нам известны стороны KLKL и KMKM треугольника LMKLMK. Они равны длинам соответствующих векторов. Нам известен угол между векторами. Найдем сторону LMLM треугольника △KLM.triangle KLM.
LM2=KL2+KM2−2KL⋅KM⋅cos∠LKM.LM^2=KL^2+KM^2-2KLcdot KMcdot cos angle LKM.
LM2=22+42−2⋅2⋅4⋅cosπ4=4+16−82=20−82.LM^2=2^2+4^2-2cdot 2cdot4cdot cos frac{pi }{4}=4+16-8sqrt{2}=20-8sqrt{2}.
LM=20−82.LM=sqrt{20-8sqrt{2}}.
∣LM⃗∣=20−82.|vec{LM}|=sqrt{20-8sqrt{2}}.