До сих пор мы рассматривали только прямолинейное равномерное движение. При этом точечные тела двигались в выбранной системе отсчета либо в положительном, либо в отрицательном направлении оси координат X. Мы установили, что в зависимости от направления движения тела, например, за промежуток времени от момента t1 до момента t2 изменение координаты тела (x2 — x1) может быть положительным, отрицательным или равным нулю (если x2 = x1).
Изменение координаты x2 — x1 принято обозначать символом Δx12 (читается «дельта икс один, два»). Эта запись означает, что за промежуток времени от момента t1 до момента t2 изменение координаты тела Δx12 = x2 — x1. Таким образом, если тело двигалось в положительном направлении оси X выбранной системы координат (x2 > x1), то Δx12 > 0. Если же движение происходило в отрицательном направлении оси X (x21), то Δx12
Результат движения удобно определять с помощью векторной величины. Такой векторной величиной является перемещение.
Перемещением точки за промежуток времени называют направленный отрезок прямой, начало которого совпадает с начальным положением точки, а конец – с конечным положением точки.
Как и любую векторную величину, перемещение характеризуют модулем и направлением.
Записывать вектор перемещения точки за промежуток времени от t1 до t2 мы будем следующим способом: Δx12.
Поясним сказанное на примере. Пусть некоторая точка A (точечное чело) движется в положительном направлении оси X и за промежуток времени от t1 до t2 перемещается из точки с координатой x1 в точку с большей координатой x2 (рис. 44). В этом случае вектор перемещения направлен в положительном направлении оси X, а его модуль равен изменению координаты за рассматриваемый промежуток времени: Δx12 = x2 — x1 = (5 — 2) м = 3 м.
На рис. 45 изображено точечное тело В, которое движется в отрицательном направлении оси X. За промежуток времени от t1 до t2 оно перемещается из точки с большей координатой x1 в точку с меньшей координатой x2. В результате изменение координаты точки B за рассматриваемый промежуток времени Δx12 = x2 — x1 = (2 — 5) м = -3 м. Вектор перемещения в этом случае будет направлен в отрицательном направлении оси X, а его модуль |Δx12| равен 3 м. Из рассмотренных примеров можно сделать следующие выводы.
Направление перемещения при прямолинейном движении в одном направлении совпадает с направлением движения.
Модуль вектора перемещения равен модулю изменения координаты тела за рассматриваемый промежуток времени.
В повседневной жизни для описания конечного результата движения используют понятие «путь». Обычно путь обозначают символом S.
Путь – это все расстояние, пройденное точечным телом за рассматриваемый промежуток времени.
Как и любое расстояние, путь – величина неотрицательная. Например, путь, пройденный точкой A в рассмотренном примере (см. рис. 44), равен трем метрам. Путь, пройденный точкой B, также равен трем метрам.
В рассмотренных примерах (см. рис. 44 и 45) тело все время двигалось в каком-либо одном направлении. Поэтому пройденный им путь равен модулю изменения координаты тела и модулю перемещения: s12 = |Δx12|.
Если тело двигалось все время в одном направлении, то пройденный им путь равен модулю перемещения и модулю изменения координаты.
Ситуация изменится, если тело в течение рассматриваемого промежутка времени изменяет направление движения.
На рис. 46 изображено, как двигалось точечное тело с момента t0 = 0 до момента t2 = 7 с. До момента t1 = 4 с движение происходило равномерно в положительном направлении оси X. В результате чего изменение координаты Δx01 = x1 — x0 = (11 — 3) м = -8 м. После этого тело стало двигаться в отрицательном направлении оси X до момента t2 = 7 с. При этом изменение его координаты Δx12 = x2 — x1 = (5 — 11) м = -6 м. График этого движения приведен на рис. 47.
Определим изменение координаты и перемещение тела за промежуток времени от t0 = 0 до t2 = 7 с. В соответствии с определением изменение координаты Δx02 = x2 — x0 = 2 м > 0. Поэтому перемещение Δx02 направлено в положительном направлении оси Х, а его модуль равен 2 м.
Теперь определим путь, который прошло тело за тот же промежуток времени от t0 = 0 до t2 = 7 с. Сначала тело прошло 8 м в одном направлении (что соответствует модулю изменения координаты Δx01), а затем 6 м в обратном направлении (эта величина соответствует модулю изменения координаты Δx12). Значит, всего тело прошло 8 + 6 = 14 (м). По определению пути за промежуток времени от t0 до t2 тело прошло путь s02 = 14 м.
Разобранный пример позволяет сделать вывод:
В случае, когда тело в течение рассматриваемого промежутка времени меняет направление своего движения, путь (все пройденное телом расстояние) больше и модуля перемещения тела, и модуля изменения координаты тела.
Теперь представьте себе, что тело после момента времени t2 = 7 с продолжило свое движение в отрицательном направлении оси X до момента t3 = 8 с в соответствии с законом, изображенным на рис. 47 пунктирной линией. В результате в момент времени t3 = 8 с координата тела стала равна x3 = 3 м. Нетрудно определить, что в этом случае перемещение тела за промежуток времени от t0 до t3 с равно Δx13 = 0.
Ясно, что если нам известно только перемещение тела за время его движения, то мы не можем сказать как двигалось тело в течение этого времени. Например, если бы о теле было известно только, что его начальная и конечная координаты равны, то мы сказали бы, что за время движения перемещение этого тела равно нулю. Сказать что-либо более конкретное о характере движения этого тела было бы нельзя. Тело могло при таких условиях вообще стоять на месте в течение всего промежутка времени.
Перемещение тела за некоторый промежуток времени зависит только от начальной и конечной координат тела и не зависит от того, как двигалось тело в течение этого промежутка времени.
Итоги
Перемещением точки за промежуток времени называют направленный отрезок прямой, начало которого совпадает с начальным положением точки, а конец – с конечным положением точки.
Перемещение точечного тела определяется только конечной и начальной координатами тела и не зависит от того, как двигалось тело в течение рассматриваемого промежутка времени.
Путь – все расстояние, пройденное точечным телом за рассматриваемый промежуток времени.
Если тело в процессе движения не меняло направления движения, то пройденный этим телом путь равен модулю его перемещения.
Если тело в течение рассматриваемого промежутка времени меняло направление своего движения, путь больше и молуля перемещения тела, и модуля изменения координаты тела.
Путь всегда величина неотрицательная. Он равен нулю только в том случае, если в течение всего рассматриваемого промежутка времени тело покоилось (стояло на месте).
Вопросы
- Что такое перемещение? От чего оно зависит?
- Что такое путь? От чего он зависит?
- Чем путь отличается от перемещения и изменения координаты за один и тот же промежуток времени, в течение которого тело двигалось прямолинейно, не изменяя направления движения?
Упражнения
- Используя закон движения в графической форме, представленный на рис. 47, опишите характер движения тела (направление, скорость) в разные промежутки времени: от t0 до t1, от t1 до t2, от t2 до t3.
- Собачка Протон выбежала из дома в момент времени t0 = 0, а затем по команде своего хозяина в момент времени t4 = 4 с бросилась обратно. Зная, что Протон все время бежал по прямой и модуль его скорости |v| = 4 м/с, определите графическим способом: а) изменение координаты и путь Протона за промежуток времени от t0 = 0 до t6 = 6 с; б) путь Протона за промежуток времени от t2 = 2 с до t5 = 5 с.
Точечное тело начинает прямолинейное движение вдоль оси OX. На рисунке показана зависимость проекции скорости Vx этого тела от времени t. Чему равен модуль изменения координаты этого тела за третью секунду движения?
Спрятать решение
Решение.
Из графика видно, что тело движется равноускоренно после t = 2 c. Однако, скорость тела меняет свой знак при t = 2,5 c, следовательно, тело будет двигаться в противоположную сторону. Перемещение равно площади фигуры под графиком. Таким образом, за третью секунду тело переместится на некоторое расстояние вдоль оси OX, а затем пройдет обратно такое же расстояние. Модуль изменения координаты тела будет равен нулю.
Ответ: 0.
Путь и перемещение, теория и онлайн калькуляторы
Путь и перемещение
При своем движении материальная точка описывает некоторую линию, которую называют ее траекторией движения. Траектория может быть прямой линией, а может представлять собой кривую.
Путь
Определение
Путь — длина участка траектории, который прошла материальная точка за рассматриваемый отрезок времени. Путь — это скалярная величина.
При прямолинейном движении в одном направлении пройденный путь ($Delta s$) равен модулю изменения координаты тела. Так, если тело двигалось по оси X, то путь можно найти как:
[Delta s=left|x_2-x_1right|left(1right),]
где $x_1$ — координата начального положения тела; $x_2$ — конечная координата тела.
Его можно вычислить, если известен модуль скорости ($v=v_x$):
[Delta s=vt left(2right),]
где $t$ — время движения тела.
Графиком, который отображает зависимость пути от времени при равномерном прямолинейном движении, является прямая (рис.1). С увеличением величины скорости увеличивается угол наклона прямой относительно оси времени.
Если по графику $Delta s(t)$ необходимо найти путь, который проделало тело за время $t_1$, то из точки $t_1$ на оси времени проводят перпендикуляр до пересечения с графиком $Delta s(t)$. Затем из точки пересечения восстанавливают перпендикуляр к оси $Delta s$. На пересечении оси и перпендикуляра получают точку ${Delta s}_1$, которая соответствует пройденному пути за время от $t=0 c$ до $t_1$.
Путь не бывает меньше нуля и не может уменьшаться при движении тела.
Перемещение
Определение
Перемещением называют вектор, который проводят из начального положения движущейся материальной точки в ее конечное положение:
[Delta overline{r}=overline{r }left(t+Delta tright)-overline{r }left(tright)left(3right).]
Вектор перемещения численно равен расстоянию между конечной и начальной точками и направлен от начальной точки к конечной.
Приращение радиус-вектора материальной точки — это перемещение ($Delta overline{r}$).
В декартовой системе координат радиус-вектор точки представляют в виде:
[overline{r }left(tright)=xleft(tright)overline{i}+yleft(tright)overline{j}+zleft(tright)overline{k}left(4right),]
где $overline{i}$, $overline{j}$,$ overline{k}$ — единичные орты осей X,Y,Z. Тогда $Delta overline{r}$ равен:
[Delta overline{r}=left[xleft(t+Delta tright)-xleft(tright)right]overline{i}+left[yleft(t+?tright)-yleft(tright)right]overline{j}+left[zleft(t+?tright)-zleft(tright)right]overline{k}left(5right).]
При прямолинейном движении вектор перемещения совпадает с соответствующим участком траектории и длина вектора перемещения равна пройденному точкой пути:
[left|Delta overline{r}right|=Delta s left(6right).]
Длину вектора перемещения (как и любого вектора) можно обозначать как $left|Delta overline{r}right|$ или просто $Delta r$ (без указания стрелки).
Если тело совершает несколько перемещений, то их можно складывать по правилам сложения векторов:
[Delta overline{r}=Delta {overline{r}}_1+Delta {overline{r}}_2+dots left(7right).]
Если направление движения тела изменяется, то модуль вектора перемещения не равен пройденному телом пути.
Примеры задач на путь и перемещение
Пример 1
Задание: Мяч бросили вертикально вверх от поверхности Земли. Он долетел до высоты 20 м. и упал на Землю. Чему равен путь, который прошел мяч, каков модуль перемещения?
Решение: Сделаем рисунок.
В нашей задаче мяч движется прямолинейно сначала вверх, затем вниз. Так как путь — длина траектории, то получается, что мяч дважды прошел расстояние h, следовательно:
[Delta s=2h.]
Перемещение — направленный отрезок, соединяющий начальную точку и конечную при движении тела, но тело начало движение из той же точки, в которую вернулось, следовательно, перемещение мяча равно нулю:
[Delta r=0.]
Ответ: $ Путь Delta s=2h$. Перемещение $Delta r=0$
Пример 2
Задание: В начальный момент времени тело находилось в точке с координатами $(x_0=3;; y_0=1)$(см). Через некоторый промежуток времени оно переместилось в точку координаты которой ($x=2;;y=4$) (см). Каковы проекции вектора перемещения на оси X и Y?
Решение: Сделаем рисунок.
Радиус — вектор начальной точки запишем как:
[{overline{r }}_0left(tright)=x_0left(tright)overline{i}+y_0left(tright)overline{j}=3overline{i}+1overline{j}left(2.1right).]
Радиус — вектор конечной точки имеет вид:
[overline{r}left(tright)=xleft(tright)overline{i}+yleft(tright)overline{j}=2overline{i}+4overline{j}left(2.2right).]
Вектор перемещения представим как:
[Delta overline{r}=left[xleft(tright)-x_0left(tright)right]overline{i}+left[уleft(tright)-у_0left(tright)right]overline{j}=left[2-3right]+left[1-4right]overline{j}=-1overline{i}+3overline{j}(2.3).]
Из формулы видим, что:
[Delta r_x=-1;;Delta r_y=3. ]
Ответ: $Delta r_x=-1;;Delta r_y=3 $
Читать дальше: равнодействующая всех сил.
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Вектор дельта r это
В кинематике существуют три способа аналитического описания движения материальной точки в пространстве. Рассмотрим их, ограничившись случаем движения материальной точки на плоскости, что позволит нам при выборе системы отсчёта задавать лишь две координатные оси.
1. Векторный способ.
В этом способе положение материальной точки `A` задаётся с помощью так называемого радиус-вектора `vecr`, который представляет собой вектор, проведённый из точки `O`, соответствующей началу отсчёта выбранной системы координат, в интересующую нас точку `A` (рис. 1). В процессе движения материальной точки её радиус-вектор может изменяться как по модулю, так и по направлению, являясь функцией времени `vecr=vecr(t)`.
Геометрическое место концов радиус-вектора `vecr(t)` называют траекторией точки `A`.
В известном смысле траектория движения представляет собой след (явный или воображаемый), который «оставляет за собой» точка `A` после прохождения той или иной области пространства. Понятно, что геометрическая форма траектории зависит от выбора системы отсчёта, относительно которой ведётся наблюдение за движением точки.
Пусть в процессе движения по некоторой траектории в выбранной системе отсчёта за промежуток времени `Delta t` тело (точка `A`) переместилось из начального положения `1` с радиус-вектором `vec r_1` в конечное положение `2` с радиус-вектором `vec r_2` (рис. 2). Приращение `Deltavec r` радиус-вектора тела в таком случае равно: `Deltavec r = vec r_2- vec r_1`.
Вектор `Deltavec r`, соединяющий начальное и конечное положения тела, называют перемещением тела.
Отношение `Delta vec r//Delta t` называют средней скоростью (средним вектором скорости) `vec v_»cp»` тела за время `Delta t`:
`vecv_»cp»=(Deltavecr)/(Delta t)` (1)
Вектор `vecv_»cp»` коллинеарен и сонаправлен с вектором `Deltavec r`, так как отличается от последнего лишь скалярным неотрицательным множителем `1//Delta t`.
Предложенное определение средней скорости справедливо для любых значений `Delta t`, кроме `Delta t=0`. Однако ничто не мешает брать промежуток времени `Delta t` сколь угодно малым, но отличным от нуля.
Для точного описания движения вводят понятие мгновенной скорости, то есть скорости в конкретный момент времени `t` или в конкретной точке траектории. С этой целью промежуток времени `Delta t` устремляют к нулю. Вместе с ним будет стремиться к нулю и перемещение `Delta vec r`. При этом отношение `Deltavec r//Delta t` стремится к определённому значению, не зависящему от `Delta t`.
Величина, к которой стремится отношение `Deltavec r//Delta t` при стремлении `Delta t` к нулю, называется мгновенной скоростью`vec v`:
`vec v =(Delta vec r)/(Delta t)` при `Delta t -> 0`.
Теперь заметим, что чем меньше `Delta t`, тем ближе направление `Deltavec r` к направлению касательной к траектории в данной точке. Следовательно, вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории в данной точке в сторону движения тела.
В дальнейшем там, где это не повлечёт недоразумений, мы будем опускать прилагательное «мгновенная» и говорить просто о скорости `vec v` тела (материальной точки).
Движение тела принято характеризовать также ускорением, по которому судят об изменении скорости в процессе движения. Его определяют через отношение приращения вектора скорости `Delta vec v` тела к промежутку времени `Delta t`, в течение которого это приращение произошло.
Ускорением `veca` тела называется величина, к которой стремится отношение `Delta vec v//Delta t` при стремлении к нулю знаменателя `Delta t`:
`vec a =(Delta vec v)/(Delta t)` при `Delta t -> 0` (2)
При уменьшении `Delta t` ориентация вектора`Delta vec v` будет приближаться к определённому направлению, которое принимается за направление вектора ускорения `vec a`. Заметим, что ускорение направлено в сторону малого приращения скорости, а не в сторону самой скорости!
Напомним, что в системе СИ единицами длины, скорости и ускорения являются соответственно метр (м), метр в секунду (`»м»//»с»`) и метр на секунду в квадрате ( `»м»//»с»^2`).
2. Координатный способ.
В этом способе положение материальной точки `A` на плоскости в произвольный момент времени `t` определяется двумя координатами `x` и `y`, которые представляют собой проекции радиус-вектора $$ overrightarrow$$тела на оси `Ox` и `Oy` соответственно (рис. 3). При движении тела его координаты изменяются со временем, т. е. являются функциями `t`: $$ x=xleft(tright)$$ и $$ y=yleft(tright)$$. Если эти функции известны, то они определяют положение тела на плоскости в любой момент времени. В свою очередь, вектор скорости $$ overrightarrow$$ можно спроецировать на оси координат и определить таким образом скорости $$ _$$ и $$ _$$ изменения координат тела (рис. 4). В самом деле $$ _$$ и $$ _$$ будут равны значениям, к которым стремятся соответственно отношения `Delta x//Delta t` и `Delta y//Delta t` при стремлении к нулю промежутка времени `Delta t`.
3. Естественный (или траекторный) способ.
Этот способ применяют тогда, когда траектория материальной точки известна заранее. На заданной траектории `LM` (рис. 5) выбирают начало отсчёта – неподвижную точку `O`, а положение движущейся материальной точки `A` определяют при помощи так называемой дуговой координаты `l`, которая представляет собой расстояние вдоль траектории от выбранного начала отсчёта `O` до точки `A`. При этом положительное направление отсчёта координаты `l` выбирают произвольно, по соображениям удобства, например так, как показано стрелкой на рис. 5.
Движение тела определено, если известны его траектория, начало отсчёта `O`, положительное направление отсчёта дуговой координаты `l` и зависимость $$ lleft(tright)$$.
Следующие два важных механических понятия – это пройденный путь и средняя путевая скорость.
По определению, путь `Delta S` — это длина участка траектории, пройденного телом за промежуток времени `Delta t`.
Ясно, что пройденный путь – величина скалярная и неотрицательная, а потому его нельзя сравнивать с перемещением `Delta vec r`, представляющим собой вектор. Сравнивать можно только путь `Delta S` и модуль перемещения `
|Delta vecr|`. Очевидно, что `Delta S >=|Deltavec r|`.
Средней путевой скоростью `v_»cp»` тела называют отношение пути `Delta S` к промежутку времени `Delta t`, в течение которого этот путь был пройден:
`v_»cp»=(Delta S)/(Delta t)` (3)
Определённая ранее средняя скорость `v_»cp»` (см. формулу (1)) и средняя путевая скорость отличаются друг от друга так же, как `Deltavec r` отличается от `Delta S`, но при этом важно понимать, что обе средние скорости имеют смысл только тогда, когда указан промежуток времени усреднения `Delta t`. Само слово «средняя» означает усреднение по времени.
Городской троллейбус утром вышел на маршрут, а через 8часов, проехав в общей сложности `72` км, возвратился в парк и занял своё обычное место на стоянке. Какова средняя скорость `vec v_»cp»` и средняя путевая скорость `v_»cp»` троллейбуса?
Поскольку начальное и конечное положения троллейбуса совпадают, то его перемещение `Delta vecr` равно нулю: `Deltavecr=0`, следовательно, `vecv_»ср»=Deltavecr//Deltat=0` и `|vecv_»ср»|=0`. Но средняя путевая скорость троллейбуса не равна нулю:
`v_»cp»=(Delta S)/(Delta t)=(72 «км»)/(8 «ч»)=9 «км»//»ч»`.
Путь и перемещение
При своем движении материальная точка описывает некоторую линию, которую называют ее траекторией движения. Траектория может быть прямой линией, а может представлять собой кривую.
Путь — длина участка траектории, который прошла материальная точка за рассматриваемый отрезок времени. Путь — это скалярная величина.
При прямолинейном движении в одном направлении пройденный путь ($Delta s$) равен модулю изменения координаты тела. Так, если тело двигалось по оси X, то путь можно найти как:
где $x_1$ — координата начального положения тела; $x_2$ — конечная координата тела.
Его можно вычислить, если известен модуль скорости ($v=v_x$):
[Delta s=vt left(2right),]
где $t$ — время движения тела.
Графиком, который отображает зависимость пути от времени при равномерном прямолинейном движении, является прямая (рис.1). С увеличением величины скорости увеличивается угол наклона прямой относительно оси времени.
Если по графику $Delta s(t)$ необходимо найти путь, который проделало тело за время $t_1$, то из точки $t_1$ на оси времени проводят перпендикуляр до пересечения с графиком $Delta s(t)$. Затем из точки пересечения восстанавливают перпендикуляр к оси $Delta s$. На пересечении оси и перпендикуляра получают точку $<Delta s>_1$, которая соответствует пройденному пути за время от $t=0 c$ до $t_1$.
Путь не бывает меньше нуля и не может уменьшаться при движении тела.
Перемещение
Перемещением называют вектор, который проводят из начального положения движущейся материальной точки в ее конечное положение:
[Delta overline=overlineleft(t+Delta tright)-overlineleft(tright)left(3right).]
Вектор перемещения численно равен расстоянию между конечной и начальной точками и направлен от начальной точки к конечной.
Приращение радиус-вектора материальной точки — это перемещение ($Delta overline$).
В декартовой системе координат радиус-вектор точки представляют в виде:
где $overline$, $overline$,$ overline$ — единичные орты осей X,Y,Z. Тогда $Delta overline$ равен:
[Delta overline=left[xleft(t+Delta tright)-xleft(tright)right]overline+left[yleft(t+?tright)-yleft(tright)right]overline+left[zleft(t+?tright)-zleft(tright)right]overlineleft(5right).]
При прямолинейном движении вектор перемещения совпадает с соответствующим участком траектории и длина вектора перемещения равна пройденному точкой пути:
[left|Delta overlineright|=Delta s left(6right).]
Длину вектора перемещения (как и любого вектора) можно обозначать как $left|Delta overlineright|$ или просто $Delta r$ (без указания стрелки).
Если тело совершает несколько перемещений, то их можно складывать по правилам сложения векторов:
Если направление движения тела изменяется, то модуль вектора перемещения не равен пройденному телом пути.
Примеры задач на путь и перемещение
Задание: Мяч бросили вертикально вверх от поверхности Земли. Он долетел до высоты 20 м. и упал на Землю. Чему равен путь, который прошел мяч, каков модуль перемещения?
Решение: Сделаем рисунок.
В нашей задаче мяч движется прямолинейно сначала вверх, затем вниз. Так как путь — длина траектории, то получается, что мяч дважды прошел расстояние h, следовательно:
Перемещение — направленный отрезок, соединяющий начальную точку и конечную при движении тела, но тело начало движение из той же точки, в которую вернулось, следовательно, перемещение мяча равно нулю:
Ответ: $ Путь Delta s=2h$. Перемещение $Delta r=0$
Задание: В начальный момент времени тело находилось в точке с координатами $(x_0=3;; y_0=1)$(см). Через некоторый промежуток времени оно переместилось в точку координаты которой ($x=2;;y=4$) (см). Каковы проекции вектора перемещения на оси X и Y?
Решение: Сделаем рисунок.
Радиус — вектор начальной точки запишем как:
Радиус — вектор конечной точки имеет вид:
Вектор перемещения представим как:
Из формулы видим, что:
[Delta r_x=-1;;Delta r_y=3. ]
Ответ: $Delta r_x=-1;;Delta r_y=3 $
Перемещение. Перемещение точки
Понятие перемещения имеет важнейшее значение в кинематике.
Мы будем рассматривать перемещение точки.
Зададим положение точки с помощью радиус-вектора.
Вектор перемещения равен приращению радиус-вектора.
на картинке дельта «эр» – это и есть вектор перемещения.
По правилу сложения векторов имеем:
а это значит, что вектор перемещения равно приращению радиус-вектора.
http://www.webmath.ru/poleznoe/fizika/fizika_88_put_i_peremeshhenie.php
Содержание материала
- Изменение координат материальной точки во время движения
- Видео
- Закон сложения скоростей
- Перемещение и путь
- Прямолинейное равноускоренное движение
- Уравнение движения и формула конечной скорости
- Проецирование векторов
- Перемещение
- Изменение радиус-вектора материальной точки во время движения
Изменение координат материальной точки во время движения
Изменение координат материальной точки во время движения может быть, как положительным, так и отрицательным. Например, предположим, что муравей, двигаясь по показанной на рисунке траектории, попадает из точки М в точку N (d). Так как координата муравья по оси X увеличивается 
то изменение координаты по этой оси будет положительным: 
Координата же муравья по оси У уменьшается 
поэтому изменение его координаты по этой оси будет отрицательным: 
Закон сложения скоростей
Пусть имеются две системы отсчёта. Одна из них связана с неподвижным телом отсчёта 
. Эту систему отсчёта обозначим 
и будем называть неподвижной. Вторая система отсчёта, обозначаемая 
, связана с телом отсчёта 
, которое движется относительно тела 
со скоростью 
. Эту систему отсчёта называем движущейся. Дополнительно предполагаем, что координатные оси системы 
перемещаются параллельно самим себе (нет вращения системы координат), так что вектор 
можно считать скоростью движущейся системы относительно неподвижной.
Неподвижная система отсчёта 
обычно связана с землёй. Если поезд плавно едет по рельсам со скоростью 
, это система отсчёта, связанная с вагоном поезда, будет движущейся системой отсчёта 
.
Заметим, что скорость любой точки вагона (кроме вращающихся колёс!) равна 
. Если муха неподвижно сидит в некоторой точке вагона, то относительно земли муха движется со скоростью 
. Муха переносится вагоном, и потому скорость 
движущейся системы относительно неподвижной называется переносной скоростью.
Предположим теперь, что муха поползла по вагону. Скорость мухи относительно вагона (то есть в движущейся системе 
) обозначается 
и называется относительной скоростью. Скорость мухи относительно земли (то есть в неподвижной системе 
) обозначается 
и называется абсолютной скоростью.
Выясним, как связаны друг с другом эти три скорости — абсолютная, относительная и переносная. На рис. 4 муха обозначена точкой 
.Далее: 
— радиус-вектор точки 
в неподвижной системе 
; 
— радиус-вектор точки 
в движущейся системе 
; 
— радиус-вектор тела отсчёта 
в неподвижной системе 
.
 |
| Рисунок 4. |
Как видно из рисунка,
Дифференцируя это равенство, получим:
(3)
(производная суммы равна сумме производных не только для случая скалярных функций, но и для векторов тоже). Производная 
есть скорость точки 
в системе 
, то есть абсолютная скорость:
.
Аналогично, производная 
есть скорость точки 
в системе 
, то есть относительная скорость:
А что такое 
? Это скорость точки 
в неподвижной системе, то есть — переносная скорость 
движущейся системы относительно неподвижной:
В результате из (3) получаем:
Закон сложения скоростей. Скорость точки относительно неподвижной системы отсчёта равна векторной сумме скорости движущейся системы и скорости точки относительно движущейся системы. Иными словами, абсолютная скорость есть сумма переносной и относительной скоростей.
Таким образом, если муха ползёт по движущемуся вагону, то скорость мухи относительно земли равна векторной сумме скорости вагона и скорости мухи относительно вагона. Интуитивно очевидный результат!
Видео
Перемещение и путь
Тело переместилось из точки А в точку Б. При этом перемещение тела – отрезок, соединяющий данные точки напрямую – векторная величина. Путь, пройденный телом – длина его траектории. Очевидно, перемещение и путь не стоит путать. Модуль вектора перемещения и длина пути совпадают лишь в случае прямолинейного движения.
В системе СИ перемещение и длина пути измеряются в метрах.
Перемещение равно разнице радиус-векторов в начальный и конечный моменты времени. Другими словами, это приращение радиус вектора.
Прямолинейное равноускоренное движение
Чтобы разобраться с тем, что за тип движения в этом заголовке, нужно ввести новое понятие — ускорение.
Ускорение — векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости. В международной системе единиц СИ измеряется в метрах, деленных на секунду в квадрате.
СИ — международная система единиц. «Перевести в СИ» означает перевод всех величин в метры, килограммы, секунды и другие единицы измерения без приставок. Исключение — килограмм с приставкой «кило».
Итак, равноускоренное прямолинейное движение — это движение с ускорением по прямой линии. Движение, при котором скорость тела меняется на равную величину за равные промежутки времени.
Уравнение движения и формула конечной скорости
Основная задача механики не поменялась по ходу текста — определение положения тела относительно других тел в данный момент времени. У равноускоренного движения в уравнении появляется ускорение.
Уравнение движения для равноускоренного движения
x(t) = x + v0xt + axt2/2
x(t) — искомая координата в момент времени t [м] x — начальная координата [м] v0x — начальная скорость тела в [м/с] t — время [с] ax — ускорение [м/с2]
Для этого процесса также важно уметь находить конечную скорость — решать задачки так проще. Конечная скорость находится по формуле:
Формула конечной скорости
— конечная скорость тела [м/с] — начальная скорость тела [м/с] — время [с] — ускорение [м/с2]
Задача
Найдите местоположение автобуса, который разогнался до скорости 60 км/ч за 3 минуты, через 0,5 часа после начала движения из начала координат.
Решение:
Сначала найдем ускорение автобуса. Его можно выразить из формулы конечной скорости:
Так как автобус двигался с места, . Значит
Время дано в минутах, переведем в часы, чтобы соотносилось с единицами измерения скорости.
3 минуты = 3/60 часа = 1/20 часа = 0,05 часа
Подставим значения: a = v/t = 60/0,05 = 1200 км/ч2 Теперь возьмем уравнение движения. x(t) = x + v0xt + axt2/2
Начальная координата равна нулю, начальная скорость, как мы уже выяснили — тоже. Значит уравнение примет вид:
Ускорение мы только что нашли, а вот время будет равно не 3 минутам, а 0,5 часа, так как нас просят найти координату в этот момент времени.
Подставим циферки: км
Ответ: через полчаса координата автобуса будет равна 150 км.
Проецирование векторов
Векторное описание движения полезно, так как на одном чертеже всегда можно изобразить много разнообразных векторов и получить перед глазами наглядную «картину» движения.
Однако всякий раз использовать линейку и транспортир, чтобы производить действия с векторами, очень трудоёмко. Поэтому эти действия сводят к действиям с положительными и отрицательными числами — проекциями векторов.
Если вектор сонаправлен с осью, то его проекция равна длине вектора. А если вектор противоположно направлен оси — проекция численно равна длине вектора, но отрицательна. Если вектор перпендикулярен — его проекция равна нулю.
Скорость может определяться по вектору перемещения и пути, только это будут две разные характеристики.
Скорость — это векторная физическая величина, которая характеризует быстроту перемещения, а средняя путевая скорость — это отношение длины пути ко времени, за которое путь был пройден.
Скорость
— скорость [м/с] — перемещение [м] — время [с]
Средняя путевая скорость
V ср.путевая = S/t
V ср.путевая — средняя путевая скорость [м/с] S — путь [м] t — время [с]
В чем разница между перемещением и путем?
Перемещение — это вектор, проведенный из начальной точки в конечную, а путь — это длина траектории.
Задача
Найдите, с какой средней путевой скоростью должен двигаться автомобиль, если расстояние от Санкт-Петербурга до Великого Новгорода в 210 километров ему нужно пройти за 2,5 часа. Ответ дайте в км/ч.
Решение:
Возьмем формулу средней путевой скорости V ср.путевая = S/t
Подставим значения: V ср.путевая = 210/2,5 = 84 км/ч
Ответ: автомобиль будет двигаться со средней путевой скоростью равной 84 км/ч
Уроки физики в онлайн-школе Skysmart не менее увлекательны, чем наши статьи!
Перемещение
Определение
Перемещением называют вектор, который проводят из начального положения движущейся материальной точки в ее конечное положение: [Delta overline{r}=overline{r }left(t+Delta tright)-overline{r }left(tright)left(3right).]
Вектор перемещения численно равен расстоянию между конечной и начальной точками и направлен от начальной точки к конечной.
Приращение радиус-вектора материальной точки — это перемещение ($Delta overline{r}$).
В декартовой системе координат радиус-вектор точки представляют в виде:
где $overline{i}$, $overline{j}$,$ overline{k}$ — единичные орты осей X,Y,Z. Тогда $Delta overline{r}$ равен:
При прямолинейном движении вектор перемещения совпадает с соответствующим участком траектории и длина вектора перемещения равна пройденному точкой пути:
Длину вектора перемещения (как и любого вектора) можно обозначать как $left|Delta overline{r}right|$ или просто $Delta r$ (без указания стрелки).
Если тело совершает несколько перемещений, то их можно складывать по правилам сложения векторов:
Если направление движения тела изменяется, то модуль вектора перемещения не равен пройденному телом пути.
Изменение радиус-вектора материальной точки во время движения
На следующем рисунке представлены радиус-векторы 
и 
начального и конечного положения, материальной точки (муравья) соответственно (е). Вектор 
соединяющий концы этих радиус-векторов 
называют перемещением данной материальной точки за промежуток времени 
Согласно правилу сложения векторов: 
Из последнего выражения получается, 
или 
где 
— перемещение материальной точки.
Перемещение — это направленный отрезок прямой, соединяющий начальное положение движущейся материальной точки с ее конечным положением. Перемещение — векторная величина.
Векторная величина — это величина, определяемая, кроме числового значения (модуля), также и направлением.
К вектору перемещения, как векторной величине, можно применить известные действия над векторами — сложение и вычитание векторов, определение результирующего вектора методом треугольника и параллелограмма.
Единицей измерения перемещения, как и пути, в СИ является метр, однако, перемещение имеет отличающийся физический смысл: перемещение показывает, на какое расстояние и в каком направлении изменилось начальное положение материальной точки за данный промежуток времени.
Внимание! Только при прямолинейном движении без изменения направлении, модуль перемещения равен пройденному пути, во всех остальных случаях (при изменении направления прямолинейного движения, криволинейном движении) пройденный путь больше модуля перемещения (е).
Материальная точка прошла расстояние 
от точки М до точки N по прямой линии. В этом случае пройденный путь равен модулю перемещения: 
Материальная точка прошла расстояние 
от точки М до точки N по прямой линии, а затем по этой же линии вернулась назад в точку 
В этом случае материальная точка прошла путь, равный 
а модуль перемещения равен нулю:
Если при движении материальной точки на плоскости известны его начальные координаты и вектор перемещения, то можно определить координаты конечного положения точки. Например, предположим, что материальная точка совершила перемещение 
Опуская перпендикуляры на оси ОХ и OY из начала и конца этого вектора, получаем проекции перемещения 
и 
(h). Как видно из рисунка, эти проекции равны разности начальных и конечных координат материальной точки:
