Как найти модуль комплексного числа при умножении

Рис. 28.2. Сложение комплексных чисел.

Умножение комплексных чисел также имеет геометрический смысл; мы выясним его в следующем параграфе.

§ 29. Модуль и аргумент комплексного числа

Повторить: § 25: отбор чисел на круге.

В этом параграфе мы выясним геометрический смысл умножения комплексных чисел. Сначала — небольшая подготовка.

Расстояние на комплексной плоскости

от начала координат (точки O) до точки z

называется модулем комплексного числа z.

Модуль комплексного числа z обозначает-

ся |z|, как и модуль действительного числа.

Такое совпадение обозначений не приводит

к путанице, поскольку модуль действитель-

Рис. 29.1.

ного числа также равен расстоянию от со-

ответствующей точки на числовой оси до

точки O. Если z = a + bi, то, очевидно, |z| =

a2 + b2

(рис. 29.1).

Задача 29.1. Докажите, что для любых комплексных чисел z и w верно неравенство |z + w| 6 |z| + |w|.

Теперь соединим точку z с точкой O. Угол, образуемый полученным отрезком с действительной осью (точнее говоря, с поло-

169

а)

б)

Рис. 29.2.

жительным направлением действительной оси), называется аргументом числа z (рис. 29.2а). Этот угол принято выражать в радианах.

Если z = a + bi, |z| = r, аргумент z равен ϕ, то, очевидно,

a = r cos ϕ; b = r sin ϕ.

Стало быть, z = r cos ϕ + ir sin ϕ = r(cos ϕ + i sin ϕ).

Запись комплексного числа в виде r(cos ϕ + i sin ϕ), где r > 0, называется тригонометрической формой комплексного числа. В тригонометрической форме можно записать любое комплексное число, кроме нуля (аргумент нуля мы не определяем).

Запишем, например, втригонометрической форме число z = = −1 −i. Очевидно, |z| = 2, и из рис. 29.2б видно, что в качестве аргумента можно взять 5π/4:

−1 − i = 2 cos 54π + i sin 54π .

Впрочем, с тем же успехом можно было бы сказать, что аргумент −1 − i равен −34π : ведь равенство −1 − i = 2 cos −34π +

+i sin −34π также верно. Вообще, аргумент комплексного числа определен не однозначно, а с точностью до прибавления 2πn, где n — целое число. В качестве аргумента числа z можно взять любое число ϕ, для которого z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ).

170

Задача 29.2. Найдите аргументы следующих чисел, после чего за-

пишите эти числа в тригонометрической форме: а) i; б) −1; в)

3 + i; г)

3 − i; д) −(cos ϕ + i sin ϕ); е) cos ϕ − i sin ϕ.

Задача 29.3. Докажите, что

1

cos ϕ + i sin ϕ = cos ϕ − i sin ϕ.

Пусть теперь нам даны комплексные числа z1 = r1(cos ϕ1 + + i sin ϕ1) и z2 = r2(cos ϕ2 + i sin ϕ2). Давайте их перемножим:

z1z2 = r1(cos ϕ1 + i sin ϕ1)r2(cos ϕ2 + i sin ϕ2) =

=r1r2(cos ϕ1 + i sin ϕ1)(cos ϕ2 + i sin ϕ2) =

=r1r2(cos ϕ1 cos ϕ2 − sin ϕ1 sin ϕ2)+

+i(sin ϕ1 cos ϕ2 + cos ϕ1 sin ϕ2) =

=r1r2(cos(ϕ1 + ϕ2) + i sin(ϕ1 + ϕ2)).

(мы воспользовались формулами синуса и косинуса суммы). Как видите, если перейти к тригонометрической форме, то

умножение комплексных чисел запишется простой формулой:

r1(cos ϕ1 + i sin ϕ1)r2(cos ϕ2 + i sin ϕ2) =

= r1r2(cos(ϕ1 + ϕ2) + i sin(ϕ1 + ϕ2)).

Или словами:

При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Поскольку деление — действие, обратное к умножению, то:

При делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.

Итак, мы придали геометрический смысл умножению комплексных чисел, рассматриваемых как векторы на плоскости. На первый взгляд это противоречит сказанному в § 17, где мы говорили, что геометрически

171

определить умножение векторов на плоскости невозможно. Представьте себе, однако, что у нас даны два вектора и мы хотим их умножить «как комплексные числа»— тут же выяснится, что для того, чтобы сложить аргументы, надо сначала иметь ось, от которой эти аргументы отсчитывать, причем если выбрать «действительную ось» по-другому, то произведение изменится!

Рассматривая умножение комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, мы убедились, что при умножении комплексных чисел их модули перемножаются. Запишем это свойство комплексных чисел в виде формулы

Задача 29.4. Докажите формулу (29.1), исходя из определения умножения комплексных чисел.

Задача 29.5. а) Докажите, что |z| = z · z¯; б) выведите из этой формулы тождество (29.1).

Формулу (29.1) можно переписать и не используя комплексных чисел. В самом деле, если z = a1 + b1i и w = a2 + b2i, то, возводя (29.1) в квадрат, получаем такое тождество:

(a12 + b12)(a22 + b22) = (a1a2 − b1b2)2 + (a1b2 + b1a2)2.

(29.2)

Разумеется, это тождество легко проверить и непосредственно.

Задача 29.6. Докажите, что число

32858969712941053630927296788431704044342041015625 = 531 ·1325

является суммой квадратов двух целых чисел.

Задача 29.7. Докажите, что число

73734314159378042035384049570 = = 2 ·5 ·13 ·29 ·37 ·41 ·53 ·61 ·73 ·89 ·97 ·101 ·113 ·137 ·149 ·157 ·173

также является суммой квадратов двух целых чисел.

172

Указание. 2 = 12 + 12; 5 = 12 + 22. . .

Существует аналог тождества (29.2) для сумм четырех квадратов, показывающий, что произведение двух сумм четырех квадратов также равно сумме четырех квадратов:

(a21 + a22 + a23 + a24)(b21 + b22 + b23 + b24) =

=(a1b1 − a2b2 − a3b3 − a4b4)2 + (a1b2 + a2b1 + a3b4 − a4b3)2 +

+(a1b3 + a3b1 − a2b4 + a4b2)2 + (a1b4 + a4b1 + a2b3 − a3b2)2.

Задача 29.8. Докажите это тождество.

Имеется также аналог этих двух тождеств для сумм восьми квадратов, но на этом все и кончается: при n 6= 2, 4, 8 тождеств типа «произведение двух сумм n квадратов равно сумме n квадратов» не существует.

Теперь посмотрим, что вытекает из того, что аргументы комплексных чисел при умножении складываются.

Если возвести комплексное число в степень n, то есть умножить его на себя n раз, то его модуль возведется в степень n, а аргумент умножится на n:

(r(cos ϕ + i sin ϕ))n = rn(cos nϕ + i sin nϕ).

В частности, при r = 1 получится вот что:

(cos ϕ + i sin ϕ)n = cos nϕ + i sin nϕ.

Эта формула называется формулой Муавра.

Из формулы Муавра легко вывести формулы, выражающие cos nϕ и sin nϕ через cos ϕ и sin ϕ. Для этого надо в ее левой части раскрыть скобки и привести подобные. При n = 5, например, получится вот что:

(cos ϕ + i sin ϕ)5 = (cos5 ϕ − 10 cos3 ϕ sin2 ϕ + 5 cos ϕ sin4 ϕ) +

+i(5 cos4 ϕ sin ϕ − 10 cos2 ϕ sin3 ϕ + sin5 ϕ) =

=cos 5ϕ + i sin 5ϕ.

173

Так как выражения слева и справа равны, то равны по отдельности их вещественные и мнимые части, откуда:

cos 5ϕ = cos5 ϕ − 10 cos3 ϕ sin2 ϕ + 5 cos ϕ sin4 ϕ, sin 5ϕ = 5 cos4 ϕ sin ϕ − 10 cos2 ϕ sin3 ϕ + sin5 ϕ.

Чтобы получить такие формулы для произвольного n, надо раскрывать скобки в (cos ϕ + i sin ϕ)n, а для этого требуется общая формула для раскрытия скобок в выражении (a + b)n. Мы выпишем эту формулу, но не будем ее доказывать. Выглядит она так:

(a + b)n = an + nan−1b

+ n(n − 1)(n − 2) an−3 1 · 2 · 3

+

n(n − 1)

an−2b2 +

1 · 2

n(n − 1)(n − 2) . . . 2

b3 + . . . +

a1bn−1

+ bn.

1 · 2 · . . . (n − 1)

Иными словами, в правой части коэффициент при an−kbk равен

n(n − 1) . . . (n − k + 1) : в знаменателе стоит произведение первых

1 · 2 · · · · · k

k натуральных чисел, а в числителе — произведение k идущих подряд целых чисел в убывающем порядке, начиная с n. Хотя коэффициенты в нашей формуле записаны как дроби, на самом деле все они — целые числа.

Формула для (a+ b)n, которую мы выписали, называется формулой бинома Ньютона.

Задача 29.9. Проверьте формулу бинома Ньютона для n = 3, 4, 5.

Задача 29.10. а) Выпишите формулу бинома Ньютона для n = 6. б) Выпишите формулы для cos 6ϕ и sin 6ϕ.

Задача 29.11. Убедитесь, что в формуле бинома Ньютона коэффициент при abn−1 равен n.

Задача 29.12. Докажите, что в формуле бинома Ньютона коэффициенты при an−kbk и akbn−k равны (что и не удивительно: если левая часть тождества не меняется, когда меняешь местами a и b, то такой же должна быть и правая часть).

174

Другое приложение формулы Муавра — еще один вывод формулы для суммы косинусов или синусов углов, образующих арифметическую прогрессию (§ 22). В самом деле, пусть нам надо вычислить сумму

cos α + cos(α + β) + cos(α + 2β) + . . . + cos(α + nβ).

Рассмотрим комплексные числа a = cos α + i sin α, b = cos β + + i sin β. Тогда, очевидно, abk = cos(α + kβ) + i sin(α + kβ). Следовательно,

a + ab + ab2 + . . . + abn = (cos + cos(α + β) + . . . + cos(α + nβ)) + + i(α sin + sin(α + β) + . . . + sin(α + nβ)).

Однако правую часть можно вычислить по формуле для суммы геометрической прогрессии:

a + ab + ab2 + . . . + abn = a1 − bn+1 = 1 − b

= (cos α + i sin α) 1 − cos(n + 1)β − i sin(n + 1)β .

1 − cos α − i sin α

(Если вас смущает, что мы применяем эту формулу к комплексным числам, посмотрите в вашем школьном учебнике, как она доказывается, и убедитесь, что дословно то же доказательство годится и для комплексных чисел.)

Теперь осталось упростить выражение в правой части (для этого, как обычно при делении комплексных чисел, надо умножить числитель и знаменатель дроби на (1−cos α)+i sin α и выделить в полученном выражении действительную и мнимую части). Действительная часть будет равна cos α+ cos(α+ β)+ . . .+ cos(α+

+nβ), а мнимая часть будет равна sin α + sin(α + β) + . . . + sin(α +

+nβ).

Задача 29.13. Проведите эти выкладки и убедитесь, что ответы совпадают с полученными в § 22.

Раз с помощью тригонометрической формы комплексные числа удобно возводить в степень, естественно надеяться, что та же

175

тригонометрическая форма поможет и в выполнении обратной операции — извлечения корней из комплексных чисел. Покажем на примере, какие новые явления при этом возникают.

Давайте извлечем корень пятой степени из 32, то есть найдем число, которое, будучи возведенным в пятую степень, даст 32. Среди действительных чисел такое число одно — это число 2. Посмотрим, что будет, если рассматривать любые комплексные числа. Мы ищем такие числа z, что z5 = 32. Проще всего найти модуль числа z: если z5 = 32, то |z5| = |z|5 = 32 (при перемножении чисел модули перемножаются), откуда |z| = 2 (уж |z|-то — это обычное действительное число, так что тут никаких разночтений не будет). Осталось найти аргумент z. Для этого запишем z в тригонометрической форме: z = 2(cos ϕ + i sin ϕ). Тогда z5 = 32(cos 5ϕ + i sin 5ϕ), откуда 32(cos 5ϕ + i sin 5ϕ) = 32, cos 5ϕ + i sin 5ϕ = 1, что, в свою очередь, равносильно системе тригонометрических уравнений

(

cos 5ϕ = 1;

sin 5ϕ = 0.

Этой системе, очевидно, удовлетворяют в точности те и только те числа ϕ, для которых числу 5ϕ соответствует начало отсчета на тригонометрической окружности, то есть 5ϕ = 2kπ, или ϕ = 2πk/5 (k Z). Стало быть, решения уравнения z5 = 32 — это числа вида 2(cos 2πk/5 + i sin 2πk/5), где k Z. Не все эти числа различны: так как комплексные числа с аргументами, отличающимися на 2π, совпадают, то разные комплексные числа получаются только при k = 0, 1, 2, 3, 4, а дальше значения z будут повторяться. Итак, все корни уравнения z5 = 32 или, если угодно, все корни пятой степени из 32 таковы:

z1 = 2(cos 0 + i sin 0);

z2 = 2(cos 2π/5 + i sin 2π/5); z3 = 2(cos 4π/5 + i sin 4π/5); z4 = 2(cos 6π/5 + i sin 6π/5); z5 = 2(cos 8π/5 + i sin 8π/5);

176

Здесь z1 — это просто число 2, действитель-

ный корень уравнения z5 = 32. Прочие кор-

ни этого уравнения действительными уже

не являются. Если изобразить все корни

пятой степени из 32 на комплексной плос-

кости, то окажется, что они расположены

в вершинах правильного пятиугольника.

В наших рассуждениях не играло ника-

Рис. 29.3.

кой роли ни то, что мы извлекали корень

именно степени 5, ни то, что мы извлекали его из 32. На самом

деле для всякого

комплексного числа a = 0 существует ровно

n

6

n решений уравнения z

= a (эти решения называются корня-

ми степени n из a). При изображении на комплексной плоскости

корни степени n из a располагаются в вершинах правильного n-

угольника с центром в точке 0.

Задача 29.14. Найдите: а) все три кубических корня из i; б) все шесть корней степени 6 из 1 и изобразите их на комплексной плоскости.

Задача 29.15. а) Докажите, что произведение двух корней степени n из 1 — тоже корень степени n из 1.

б*) Пусть z1, z2, . . . , zn — все корни степени n из 1, k — целое число. Докажите, что

z1k + z2k +

· · ·

+ znk =

0,

если k не делится на n;

n,

если k делится на n.

Мы добавили к обычным вещественным числам число i для того, чтобы можно было извлекать квадратные корни из отрицательных чисел; при этом оказалось, что в комплексных числах можно решить любое квадратное уравнение. Замечательно, что и вообще любое алгебраическое уравнение имеет корень в комплексных числах: никаких новых чисел помимо i ради этого вводить не надо. Этот важный факт, который по традиции называют основной теоремой алгебры, доказал в конце 18 века великий немецкий математик К. Ф. Гаусс.

177

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #

Комплексные числа

Краткая теория


Комплексным числом

 называется
выражение вида

, где

 и

 
– действительные
числа, а символ

 удовлетворяет
условию

.

 Число

 называется
действительной частью комплексного
числа и обозначается

,

 –
мнимой частью и обозначается

,

 –
мнимой единицей.

Комплексные числа

 и

 называется
комплексно-сопряженными. Так, если

, то

.

Сложение, вычитание и умножение
комплексным чисел, заданных в алгебраической форме, выполняются по правилам
сложения, вычитания и умножения двучленов вида

 с заменой
каждый раз

 на

. Деление выполняется по формуле:

Геометрически комплексное число

 изображается
точкой

 на координатной
плоскости или радиус-вектором

 этой точки.

Тригонометрическая форма комплексного числа

 имеет вид:

где

 – модуль числа

;

 – его аргумент

 – величина угла
между положительным направлением оси

 и
радиусом-вектором

 (см. рисунок),
причем величина угла считается положительной, если отсчет ведется против
часовой стрелки, и отрицательной – если по часовой стрелке.

Величина угла

 определяется из
системы уравнений:

Значение

 (или

) обозначается

 и называется
главным.

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

Если

то

то есть при умножении комплексных
чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули перемножаются, аргументы
складываются, а при делении модули делятся, а аргументы вычитаются.
Геометрический умножение данного комплексного числа на другое комплексное
число, отличное от нуля, означает поворот радиус-вектора, изображающего данное
число, против часовой стрелки на угол, равный аргументу другого числа.
Аналогично деление означает поворот радиуса-вектора данного числа по часовой
стрелке на угол, равный аргументу другого числа, и деление этого вектора на
модуль другого числа.

При возведении в степень
используется формула Муавра

Все значения корня степени

 из комплексного
числа

 находятся по
формуле

Показательная форма комплексного числа

 имеет вид

, где

 – формула
Эйлера.

Действия над комплексными числами в показательной форме

Если

то

Если

то

Примеры решения задач


Задача 1

Даны комплексные числа

.
Вычислить

 

Решение

Последовательно вычисляем:

Окончательно получаем:

Ответ:


Задача 2

1) Записать число

 в
алгебраической форме;

2) изобразить его на
координатной плоскости;

3) записать число

 в
тригонометрической и показательной формах;

4) вычислить

;

5) найти все корни
уравнения

Решение

1) Запишем число

 в
алгебраической форме:

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

2) Изобразим число

 на
координатной плоскости:

3) Запишем
число

 в
тригонометрической и показательной формах

Модуль комплексного числа:

Вектор

 лежит в 4-й четверти. Аргумент комплексного
числа:

Комплексное число в тригонометрической форме:

Комплексное число в показательной форме:

4) Возведем
комплексное число в заданную степень:

5) Найдем корни
уравнения  

.

Получаем:

Тогда корни уравнения:


Задача 3

Даны три комплексных числа

,

 и

:

1) выполните действия в
алгебраической, тригонометрической и показательной формах;

2) найдите расстояние
между точками

 и

 на
комплексной плоскости.

Решение

1) Запишем числа в тригонометрической форме:

Вектор

  лежит в
2-й четверти

Число в показательной форме:  

Число в тригонометрической форме:

Вектор

  лежит в
4-й четверти

Число в показательной форме:  

Число в тригонометрической форме:

Вектор

  лежит в
3-й четверти

Число в показательной форме:  

Число в тригонометрической форме:

Выполним действия в алгебраической форме:

Выполним действия в тригонометрической форме:

Выполним действия в
показательной форме:

2) Найдем расстояние между
точками

 и

 на
комплексной плоскости:

Содержание:

Хроника возникновения комплексных чисел:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Исследование.

1) Подтвердите примерами справедливость следующих высказываний. Если высказывание ложно, то сделайте так, чтобы оно стало истинным.

  • а) Если а и b — натуральные числа, то корень уравнения х + а = b также является натуральным числом.
  • б) Если а и b -целые числа, то корень уравнения ах = b также является целым числом
  • в) Если а неотрицательное рациональное число, то корень уравнения х1 = а также является рациональным числом.
  • г) Если а неотрицательное действительное число, то корень уравнения х2 = а также является действительным числом.

2) Существует ли действительное число квадрат которого равен -1?

3)

  • а) Существуют ли действительные корни уравнения х2 = а при Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения
  • б) Можно ли решить эту задачу расширив множество действительных чисел?

4) Существует ли однозначное соответствие между множеством действительных чисел и множеством точек на числовой оси? А какие числа соответствуют точкам на координатной плоскости?

На множестве действительных чисел уравнение х2 = -1 не имеет решений. Значит, мы должны расширить множество действительных чисел так, чтобы корни этого уравнения входили в него. Для этого введём новое число и примем, что оно является корнем уравнения х2 + 1 = 0, т.е. Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения. Отсюда Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения. После этого, корнями уравнения х2 + 1 = 0 являются числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения. Число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения называется мнимой единицей.

Расширим множество действительных чисел так, чтобы в него входили все действительные числа и число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения, и были справедливы все свойства сложения и умножения. Для произвольных действительных чисел а и b введём «произведение» Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения и «сумму» Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения, и назовём комплексным числом следующее выражение Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения. Выражение вида Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения называется комплексным числом, где а и b — действительные числа, Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения мнимая единица.Комплексные числа можно обозначать через Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения и т.д.Например, Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения. Запись Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения называется алгебраической формой комплексного числа, а является действительной частью, b — мнимой частью комплексного числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения, и записывается так: Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения. При а = 0 получается число вида Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения. Эти числа называются чисто мнимыми числами. При а = 0, b = 0 комплексное число равно нулю и наоборот, если а + Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения = 0, то а = 0 и b = 0.

Следствие: для комплексных чисел а + Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения и с + Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения равенство

а + Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения = с + Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения справедливо тогда и только тогда, если а = с, b = d.

Пример. Из равенства Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения найдите х и у.

Решение: Из равенства действительных и мнимых частей получаем: х = 5

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения.

Суммой комплексных чисел Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения называется комплексное число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Действия над комплексными числами

Произведением комплексных чисел Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения и Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения называется число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения, т.е.

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Значит, два комплексных числа умножаются по правилу умножения многочленов при условии, что Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения.

Пример №1

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Рассмотрим частные случаи степеней мнимых единиц: Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Как видно, натуральные степени мнимой единицы Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения равны Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения, -1, —Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения‘, 1 и повторяются через каждые четыре шага, т.е.справедливо равенство Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Пример №2

Вычислите: а) Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения б) Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Решение: а) Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения б) Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения называется сопряжённым для числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения и обозначается как : Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения. Ясно, что если число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения является сопряжённым для числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения, то число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения является сопряжённым для числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения. Поэтому, числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения называются взаимно сопряжёнными комплексными числами. Действительные части взаимно сопряжённых чисел равны, а мнимые части являются противоположными числами.

Произведение взаимно сопряжённых комплексных чисел является действительным числом: Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения.

В частном случае, сопряжённым для действительного числа является само число, для мнимого — произведение числа и (-1).

Для каждого комплексного числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения существует противоположное число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения и Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения. Для каждого, отличного от нуля, комплексного числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения существует противоположное. Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Вычитание и частное комплексных чисел определяется равенствами:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Для нахождения отношения комплексных чисел, удобнее числитель и знаменатель умножить на число, сопряжённое для знаменателя .

Пример №3

Найдём разность и отношение чисел Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения.

Решение: Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Все свойства арифметических операций для действительных чисел, справедливы для комплексных чисел. Как следствие, получаем, что любые алгебраические тождества справедливы для множества комплексных чисел. Например, для комплексных чисел Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения и Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения справедливы тождества

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Квадратный корень комплексного числа

Число, квадрат которого равен Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения называется квадратным корнем комплексного числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения и обозначается как Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения.

Пример №4

Найдём квадратный корень комплексного числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Решение: Пусть Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения. Возведём обе части равенства в квадрат: Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Из равенства действительных и мнимых частей имеем:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда получаем решение (2; -1) и (-2; 1). Значит, Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Примечание: В отличии от действительных чисел, говоря о квадратном корне комплексного числа, имеется в виду каждое из двух значений, различающихся знаками. Корни квадратного уравнения Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения для множества комплексных чисел находится по тому же правилу, что и для действительных чисел. Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Пример №5

Решим уравнение Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения.

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Легко можно проверить, что также в силе остаётся и теорема Виета. Для квадратного уравнения с действительными коэффициентами комплексные корни являются сопряжёнными числами. Комплексное число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения задаётся парой действительных чисел (а; b) и эта пара соответствует определённым точкам на координатной плоскости. Поставим в соответствие числу Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения точку А (а; b) и обозначим её через Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения. Каждая точка на координатной плоскости изображает комплексное число и наоборот, каждое комплексное число на координатной плоскости, соответствует одной точке. Действительные числа располагаются на оси абсцисс, чисто мнимые числа на оси ординат. Поэтому ось абсцисс называется действительной осью, ось ординат — мнимой, а плоскость — комплексной плоскостью.

Пример:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Точки, соответствующие комплексно сопряжённым числам располагаются симметрично оси абсцисс.

Модуль и аргумент комплексного числа

Тригонометрическая форма комплексного числа

Пусть на комплексной плоскости комплексному числу Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения соответствует точка М(а; b). Обозначим расстояние ОМ через R, угол между лучом ОМ и положительным направлением оси абсцисс через Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения. Из Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения по теореме Пифагора имеем: Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда: Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Расстояние, от начала координат до точки соответствующей комплексному числу, называется модулем комплексного числа и обозначается как: Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения.

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Угол, образованный конечной стороной угла поворота луча ОМ,

называется аргументом Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения комплексного числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения.

Из Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения: Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Модуль числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения имеет единственное значение, а аргумент Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения находится с точностью Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения. То есть, если одно из значений аргумента равно Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения, то другое будет иметь вид Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения.

Для аргумента комплексного числа, обычно берётся угол принадлежащий промежутку [0; Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения).

Пример №6

Найдём модуль и аргумент комплексного числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Решение: Из того, чтоКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения следует,что Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

и принимая внимание, что угол Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения расположен в I четверти,

получим:Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Из формул Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения , Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения получаем: Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Тогда Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Для комплексного числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения называется тригонометрической формой комплексного числа.

В частном случае для модуля и аргумента числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения имеем:

Пример №7

Запишем комплексное число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

в тригонометрической форме.

Решение: Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Так как угол Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения принадлежит II четверги, то

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме

Найдём произведение комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения.

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Чтобы найти произведение комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, надо перемножить их модули и сложить их аргументы.

Пример:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Теперь найдём отношение Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Модуль отношение равен отношению модулей делимого и делителя, а аргумент равен разности аргументов делимого и делителя.

Пример:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Возвести число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения в степень с натуральным показателем n можно умножив n раз число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Модуль степени комплексного числа с натуральным показателем равен степени модуля основания, а аргумент равен аргументу основания умноженному на показатель степени n.

Пример:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Формулу Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения называют формулой Муавра. При помощи этой формулы можно найти синус и косинус n кратных углов через синус и косинус одинарных углов. Например, при n = 2 имеем:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Из равенства двух комплексных чисел имеем:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Аналогичным образом можно написать формулы для Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения.

Корень n-ой степени комплексного числа

Найдём значение выражения Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения.

Запишем в виде Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения и найдём корень n — ой степени

виде Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения.

Возведём каждую из двух сторон в n-ую степень:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Если два комплексных числа, заданных в тригонометрической форме равны, то их модули равны, а аргументы отличаются на Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения.

Это значит,Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом, Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда при Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения для первых Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения значений полученного числа равны значениям, полученным при Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения.

Обозначим корни Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения— ой степени единицы через Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Как видно, модули корней Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения-ой степени равны 1, аргументы отличаются друг от друга в Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения раз. То есть, эти числа расположены внутри единичной окружности, центр которой совпадает с началом координат, и соответствуют комплексным числам, являющимися вершинами правильного Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения-угольника.

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Корнем Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения-ой степени комплексного числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения называется такое число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения, что Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения. Если Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения, то для корня Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения-ой степени существуют Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения различных значений.

Запишем Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияв виде

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения .

Для Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения получим:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Из равенства двух комплексных чисел получим:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Значения при Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения отличаются от первых Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения значений на Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Поэтому, должно соблюдаться следующее:Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Формула корни n-ой степени комплексного числа

Если Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения, то

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Пример №8

Найдём все значения Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Решение: пусть Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

При Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

При Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

При Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Для чего нужны комплексные числа

Комплексные числа возникают в связи с задачей решения квадратных уравнений. Так, оставаясь в множестве действительных чисел, невозможно решить квадратное уравнение, дискриминант которого меньше нуля.

Комплексные числа необходимы в различных приложениях математики. В частности, теория функций комплексной переменной является действенным инструментом при использовании математических методов в различных областях науки.

Арифметические операции над комплексными числами

Комплексным числом называется выражение вида Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения где Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения— действительные числа, Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения — мнимая единица.

Число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения называется действительной частью числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения и обозначается Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения (от франц. reele — «действительный»), а число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения — мнимой частью числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения и обозначается Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения (от франц. imaginaire — «мнимый»), т.е. Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Действительное числоКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения является частным случаем комплексного Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения при Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Комплексные числа вида Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения не являющиеся действительными, т.е. при Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения называются мнимыми, а при Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения т.е. числа вида Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решениячисто мнимыми.

Числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияназываются сопряженными.

Два комплексных числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения называются равными, если равны их действительные и мнимые части, т.е. Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения еслиКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения В частности, Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения если Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Арифметические операции на множестве комплексных чисел определяются следующим образом.

1.Сложение (вычитание) комплексных чисел

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

2. Умножение комплексных чисел

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

В частности,

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

т.е. мнимая единица есть число, квадрат которого равен — 1.

3. Деление двух комплексных чисел

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Нетрудно убедиться в том, что все арифметические операции (16.1)-(16.3) над комплексными числами определяются естественным образом из правил сложения и умножения многочленов Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения если считать Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияНапример, произведение комплексных чисел (16.2) есть

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Пример №9

Даны комплексные числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Найти Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения (учли, что Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения).

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Умножая числитель и знаменатель на сопряженное делителю комплексное число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения, получим

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Если для геометрического изображения действительных чисел используются точки числовой прямой, то для изображения комплексных чисел служат точки координатной плоскости Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Плоскость называется комплексной, если каждому комплексному числу Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения ставится в соответствие точка плоскости Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения причем это соответствие взаимно однозначное (рис. 16.1).

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Оси Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения, на которых расположены действительные числаКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения и чисто мнимые числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияназываются соответственно действительной и мнимой осями.

Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа

С каждой точкой Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения комплексной плоскости связан радиус-вектор этой точки Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения, длина которого Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения называется модулем комплексного числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения и обозначается Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения (см. рис. 16.1):

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Угол Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения образованный радиусом-вектором Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения с осью Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения называется аргументом комплексного числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения и обозначается Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Из значений Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения выделяется главное значение Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения удовлетворяющее условию Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Например, Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Очевидно (см. рис. 16.1), что

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, комплексное числоКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения можно представить как

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Представление комплексного числа в виде (16.6), где Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияназывается тригонометрической формой комплексного числа.

Сформулируем некоторые свойства арифметических операций над комплексными числами.

1. При сложении (вычитании) комплексных чисел их радиусы-векторы складываются (вычитаются) по правилу параллелограмма.

На рис. 16.2 показаны радиусы-векторы комплексных чиселКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияих суммы Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения и разности Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

2. Модуль произведения (частного) двух комплексных чисел равен произ ведению (частному) модулей этих чисел, а его аргумент — сумме (разности) аргументов этих чисел, т.е.

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Геометрически умножение числаКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения означает изменение длины радиуса-вектора Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения раз и его поворот вокруг точки Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения против часовой стрелки на угол Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Пример №10

Комплексные числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения представить в тригонометрической форме и найти Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

По формуле (16.4) найдем модуль комплексного числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияа из соотношений (16.5) Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияполучим аргумент числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения (берем его главное значение): Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Аналогично Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения т.е. Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Теперь по формулам (16.7) и (16.8)

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Так как в соответствии с формулами (16.7) и (16.8) при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются, легко получить формулу возведения комплексного числа в натуральную степень Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения, известную как формула Муавра:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Пример №11

Найти Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

По формуле Муавра (16.9)

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Обратимся к извлечению корня из комплексного числа.

Пусть

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Тогда, используя определение корня и формулу Муавра (16.9), получим

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

или

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда следует, что

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Итак,Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

где Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

При Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решениязначения корня уже будут повторяться.

Таким образом, корень Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения-й степени из комплексного числа (не равного нулю) имеет Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения различных значений.

Пример №12

Найти Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

В примере 16.2 было получено

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

откуда получаем три значения корня

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

На комплексной плоскости найденные значения корня представляют равноотстоящие друг от друга точки Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения расположенные на окружности радиуса Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения (рис. 16.3). ►

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Связь между тригонометрическими и показательными функциями выражается формулой Эйлера.

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда следует показательная форма комплексного числа. Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

где Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

В заключение отметим, что в показательной форме, так же как и в тригонометрической, легко проводить операции умножения, деления, возведения в степень, извлечение корня из комплексных чисел.

Формы записи комплексного числа

Решение простейшего квадратного уравнения Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения невозможно в области вещественных чисел. Однако, если выполнить решение формально, то получим Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Определение: Выражение Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения называется мнимой единицей.

Определение: Комплексным числом называется выражение видаКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения где х,у

Определение: Приведенная форма записи комплексного числа называется алгебраической.

Определение: Два комплексных числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения называются равными, если равны их вещественные и мнимые части, т.е. Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Определение: Комплексное число называется нулевым, если вещественная и мнимая части равны нулю.

Определение: Комплексно-сопряженным к комплексному числу Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения называется комплексное число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Пример №13

Записать комплексно-сопряженное число к комплексному числу Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Согласно определению комплексно-сопряженного числа получаем Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Замечание: Двойное комплексное сопряжение приводит к исходному комплекс- ному числу, т.е. Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом невозможно в области вещественных чисел, так как нельзя извлекать корень четной степени из отрицательного числа на множестве действительных чисел. Однако это ограничение снимается в области комплексных чисел.

Пример №14

Решить квадратное уравнение Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Вычислим дискриминант уравнения Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения таким образом, Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Следовательно, Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Замечание: Решение квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом всегда состоит из комплексно-сопряженных корней.

Комплексное число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения изобретается на комплексной плоскости Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения в виде вектора, соединяющего начало координат с точкой М(х; у) (Рис. 2): Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Рис. 2. Изображение комплексного числа на комплексной плоскости.

Пример №15

Изобразить на комплексной плоскости число z = 2-3i (Рис. 3). Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Рис. 3. Изображение комплексного Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения на комплексной плоскости. Если перейти от декартовой системы координат к полярной системе отсчета, т.е. Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения то комплексное число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Определение: Полученная форма записи комплексного числа называется тригонометрической.

Обратный переход от полярной системы отсчета к декартовой системе координат осуществляется по формулам:Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияпри этом Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения является модулем, а Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияаргументом комплексного числа z .

Замечание: Аргумент комплексного числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения определяется в зависимости от знаков вещественной и мнимой частей:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Действия с комплексными числами

1. Для того чтобы сложить (найти разность) два комплексных числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения и Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения сложить (найти разность) отдельно действительные и мнимые части, Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Пример №16

Найти сумму и разность чисел Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Изобразить все числа на комплексной плоскости.

Решение:

Найдем сумму заданных комплексных чисел Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Вычислим разность данных чисел Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Изобразим заданные и полученные числа на комплексной плоскости (Рис. 4):

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Рис. 4. Изображение комплексных чисел на комплексной плоскости.

Замечание: Отметим, что Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

2. Для того чтобы найти произведение двух комплексных чисел Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения и Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения надо их перемножить, как два выражения с учетом того, что Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Замечание: Отметим, что Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Замечание: Произведение комплексных чисел в тригонометрической форме записи имеет вид Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Из полученной формулы видно, что модули комплексных чисел перемножаются, а аргументы складываются. Следовательно, n-ая степень любого комплексного числа будет иметь вид Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения При извлечении корня п -ой степени применяют формулу Муавра Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения где величина Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

3. Деление комплексного числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения на комплексное число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения осуществляется так Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Замечание: Деление этих чисел в тригонометрической форме записи имеет вид: Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения т.е. при делении комплексных чисел берут отношение модулей этих чисел, а из аргумента первого числа вычитают аргумент второго комплексного числа.

Показательная форма записи комплексного числа

Известно, что любую дифференцируемую функцию можно представить по формуле Тейлора-Маклорена (см. Лекцию № 22, Первый семестр), например, Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Последняя формула называется формулой Эйлера. Используя эту формулу,

запишем комплексное число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения в показательной форме: Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Отсюда видно, что при нахождении произведения и отношения комплексных чисел получаемКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Комплексные числа и арифметические операции

Как известно, под комплексным числом понимается выражение вида

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

где х и у — действительные числа, a i — мнимая единица.

Числа вида Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения отождествляются с действительными числами; в частности, Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения. Числа вида 0 + iy = iy называются чисто мнимыми.

Действительные числа х и у называются соответственно действительной и мнимой частями числа z и обозначаются следующим образом:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Под модулем комплексного числа z понимается неотрицательное число

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Сопряженным числом Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения к числу (1) называется комплексное число

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом,

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

На множестве комплексных чисел следующим образом определено отношение равенства двух чисел, а также операции сложения, вычитания, умножения и деления.

I. Пусть z1=x1+iy1 и z2=x2+iy2.Тогда

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияRez1 = Re z2, Im z1 = Im z2

В частности, z = 0 Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Re z = 0, Im z = 0.

II. z1±z2= (x1± x2) + i(y1 ± y2)-

Отсюда следует, что

Re (z1 ± z2) — Re z1 ± Re z2,

Im (z1 ± z2) — Imz1 ± 1mz2

III. z1z2 = (x1x2 — y1y2) + i(x1y2+x2y1).

Отсюда, в частности, получаем важное соотношение

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения=Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения=Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения+Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения=-1

Заметим, что правило умножения III получается формально путем умножения двучленов Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения + Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения и Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения +Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения с учетом (7).

Очевидно также, что для Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения имеем

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения=Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения=Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Легко проверить следующие свойства:

1)Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

  • Заказать решение задач по высшей математике

Комплексная плоскость

Рассмотрим плоскость с прямоугольной системой координат Оху. Каждому комплексному числу z = х + iy может быть поставлена в соответствие точка плоскости z(x, у) (рис. 161), причем это соответствие взаимно однозначно. Плоскость, на которой реализовано такое соответствие, называют комплексной плоскостью, и вместо комплексных чисел говорят о точках комплексной плоскости.

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

На оси Ох расположены действительные числа: z =Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения:, поэтому она называется действительной осью. На оси Оу расположены чисто мнимые числа z = 0 + iy = iy, она носит название мнимой оси.

Заметим, что г = |z| представляет собой расстояние точки г от начала координат.

С каждой точкой z связан радиус-вектор этой точки Oz; угол, образованный радиусом-вектором точки z с осью Ох, называется аргументом ф = Arg z этой точки. Здесь Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения. Для нулевой точки z = 0 аргумент произволен. Наименьшее по модулю значение Arg z называется главным значением его и обозначается через arg z:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Для аргумента ср имеем (рис. 161)

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

где Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Примеры: 1) arg 2 = 0; 2) arg (-1) = Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения; 3) arg i = Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения.

Модуль г и аргумент ф комплексного числа z можно рассматривать (рис. 161) как полярные координаты точки z. Отсюда получаем

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом, имеем тригонометрическую форму комплексного числа

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

где Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Теорема: При сложении комплексных чисел их радиусы-векторы складываются (по правилу параллелограмма).

Действительно, если число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения соответствует точке с координатами Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения, а число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения — точке с координатами Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения то числу Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения отвечает точка Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Так как (рис. 162) заштрихованные прямоугольные треугольники с катетами х2 и у2 равны между собой, то четырехугольник с вершинами 0, Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения есть параллелограмм. Следовательно, радиус-вектор точки Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения является суммой радиусов-векторов точек Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения и Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения.

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Следствие. Так как Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения есть длина вектора Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения, то

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Теорема: При вычитании комплексных чисел их радиусы-векторы вычитаются. Так как Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения, то Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения равен второй диагонали параллелограмма, построенного на векторах Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения(рис. 163), т. е. равен разности радиусов-векторов точек Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения.

Следствие. Расстояние между двумя точками Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения равно

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Теоремы о модуле и аргументе

Теорема: Модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей этих чисел, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей. Действительно, если

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

то имеем

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

и

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

где значения многозначной функции Arg, стоящие в левой и правой частях равенства (1), следует подбирать соответствующим образом. Это замечание надо иметь в виду и для дальнейшего.

Следствие. Модуль целой положительной степени комплексного числа равен такой же степени модуля этого числа, а аргумент степени равен аргументу числа, умноженному на показатель степени, т. е.

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

(Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения — целое положительное число).

Доказательство непосредственно вытекает из рассмотрения произведения равных сомножителей.

Пример №17

Построить точку Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

Имеем

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, при умножении на i вектор Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения поворачивается на прямой угол против хода часовой стрелки (рис. 164).

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Теорема: Модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей этих чисел, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя. Пусть

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Так как

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

то на основании теоремы 1 имеем

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

ОтсюдаКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Извлечение корня из комплексного числа

Пусть

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

где Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения. Тогда на основании имеем

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда получаем

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом,

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Заметим, что здесь под Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения понимается арифметическое значение корня.

Здесь в качестве числа k достаточно брать лишь значения Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения, так как при всех прочих значениях k получаются повторения уже найденных значений корня. Следовательно, окончательно имеем

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Из формулы (4) следует, что корень Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения-й степени из любого комплексного числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения=0 имеет точно л значений.

Пример №18

Найти Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Так как Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения, то на основании формулы (4) имеем

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Точки Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения представляют собой равноотстоящие друг от друга точки, расположенные на окружности радиуса Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения (рис. 165).

Понятие функции комплексной переменной

Пусть даны две комплексные плоскости Оху (плоскость г) и O’uv (плоскость w).

Определение: Если каждой точке z Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Е (Е — множество точек плоскости z) по некоторому закону f ставится в соответствие единственная точка w Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Е’ (Е’ — множество точек плоскости w), то говорят, что w есть функция от z (однозначная)

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

с областью определения Е, значения которой принадлежат множеству Е’ (рис. 166). Если множество значений функции f(z) исчерпывает все множество Е то Е’ называется множеством значений (областью изменения) функции f(z). В этом случае пишут

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Множества Е и Е’ можно изображать на одной комплексной плоскости.

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом, каждая комплексная функция реализует однозначное в одну сторону отображение одного множества на другое. Благодаря этому комплексные функции находят свое применение в таких науках, как гидродинамика и аэродинамика, так как с их помощью удобно описывать «историю» движения объема жидкости (или газа).

Раздел математики, изучающий свойства комплексных функций, носит название теории функций комплексной переменной.

Пример:

Во что переходит сектор Е

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

(рис. 167, а) при отображении Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Имеем

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Поэтому отображенная область E’ представляет собой полукруг (рис. 167, б).

Определение комплексных чисел

Определение комплексного числа и основные функции комплексной переменной

Определение 7.1. Множеством комплексных чисел Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения называется множество пар действительных чисел Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения на котором введены операции сложения и умножения следующим образом. Если Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения то Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Элементы множества Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения называются комплексными числами. Два комплексных числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения называются равными, если Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Операции сложения и умножения на множестве Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения обладают привычными свойствами (коммутативность сложения и умножения, ассоциативность сложения и умножения, дистрибутивность умножения относительно сложения).

Лемма 7.1. Для любых комплексных чисел Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения выполняются равенства

□ Докажем, например, свойство 4 (свойство 5 доказывается аналогично, свойства 1, 2, 3 очевидны).

Пусть Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Тогда

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Два последних комплексных числа совпадают. После раскрытия скобок оказывается, что оба они равны

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Определение 7.2. Комплексное число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения отождествляется с действительным числом а.

Это определение оправдывается тем, что установлено взаимно однозначное соответствие между множеством пар Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения и множеством действительных чисел, сохраняющее операции сложения и умножения:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Такое соответствие в высшей алгебре называется изоморфизмом.

Определение 7.3. Комплексное число (0,1) обозначается буквой Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Легко видеть, что Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения т.е. Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Далее, так как Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения то пару Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения можно записать в виде Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения В дальнейшем комплексное число так и будем записывать: Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения где Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Определения операций при этом запишутся так:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Иными словами, комплексные числа можно складывать и умножать, пользуясь известными законами сложения и умножения (лемма 7.1), имея в виду, что Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Определение 7.4. Разностью двух комплексных чисел Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения и Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения называется такое комплексное число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения что Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения(обозначается Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения). Частным двух комплексных чисел Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения (Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения) называется такое комплексное число z, что Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения (обозначается Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения).

Проверим, что эти операции однозначно определены.

□ Пусть Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Для разности имеем: Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения откуда Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияТогда Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Разность двух комплексных чисел Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения определяется однозначно: Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения т.е. вычитание можно осуществлять непосредственно.

Для частного имеем: Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения откуда Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Так как Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения то определитель этой системы Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения решая систему по правилу Крамера, получим: Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения   Частное двух комплексных чисел Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения определено однозначно:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Такое деление можно осуществлять непосредственно:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Комплексное число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения называется сопряжённым к числу Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Мы воспользовались тем, что Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Произведённые действия аналогичны домножению числителя и знаменателя дроби со знаменателем вида Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения где Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения на число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения сопряжённое к знаменателю (такие действия применяются для избавления от иррациональности в знаменателе).

Определение 7.5. Пусть Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения где Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Тогда числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения называются соответственно действительной и мнимой частью числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения                  (Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения). Комплексное число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения называется числом, сопряжённым к Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Действительное неотрицательное число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения называется модулем числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Лемма 7.2. Для любых комплексных чисел Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения имеют место следующие соотношения: 

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Доказать эти утверждения будет предложено самостоятельно в качестве упражнения.

Множество комплексных чисел Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения геометрически интерпретируется как множество точек плоскости (комплексная плоскость Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения). Если координаты точек заданы в прямоугольной системе координат 0, Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения (кратчайший поворот от Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения осуществляется против часовой стрелки), то комплексное число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения соответствует точке Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения с координатами Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Такое соответствие является взаимно однозначным. Точка Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения симметрична точке Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения относительно оси абсцисс, которая называется действительной осью, ось ординат называется мнимой осью. Расстояние от точки Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения до начала координат равно Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения (см. рис. 7.1).

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения
Аргументом числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения называется угол Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения поворота от положительного луча действительной оси к лучу Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения (против часовой стрелки). Этот угол определён с точностью до Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения и обозначается Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Аргумент нулевого комплексного числа не определён. Фактически мы ввели полярные координаты на комплексной плоскости: Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения При этом Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения и комплексное число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения можно записать в тригонометрической форме:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Записать в тригонометрической форме числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

□  1) Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

При записи комплексного числа в тригонометрической форме обычно берут одно фиксированное («наиболее простое») значение аргумента. Возьмём Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Тогда Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

2) Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Тогда Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения(Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения).

Комплексные числа, записанные в тригонометрической форме, удобно умножать и делить. При умножении модули чисел перемножаются, аргументы складываются. При делении модули делятся, аргументы вычитаются.

Лемма 7.3. Пусть Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Тогда

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

 Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Если Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения
Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения откуда следует, что Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Степень с целым показателем для комплексных чисел определяется так же, как и для действительных. Поэтому мы можем сформулировать

Следствие (формула Муавра). Если Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения то при любом целом Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения имеет место равенство

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Иными словами, при возведении комплексного числа в целую степень модуль числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Пример:

Применяя формулу Муавра, получить известные формулы тригонометрии для Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

□ Имеем: Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Возводя двучлен в куб, получим: Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения (мы воспользовались тем, что Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения). Приравнивая действительные и мнимые части двух равных выражений, имеем

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Определение 7.6. Пусть Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения — натуральное число, Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Корнем Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения степени из комплексного числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения называется комплексное число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения такое, что Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения (обозначение: Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения).

Лемма 7.4. Если Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения принимает единственное значение 0 при любом Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Если Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения то Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения принимает ровно Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения комплексных значений, имеющих одинаковый модуль Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения различных значений аргумента Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

□ Правая часть леммы очевидна, так как Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения и если Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения
Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Пусть теперь Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Комплексные числа, записанные в тригонометрической форме, равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а аргументы отличаются на Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения (пока значение Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения стояло только под знаком косинуса и синуса, неоднозначность определения Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения можно было не учитывать, если сравнивать сами углы — эту неоднозначность учитывать необходимо). Итак, Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения откуда Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения (арифметический корень Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения степени из положительного числа), Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

При замене Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения получим тот же угол, увеличенный на Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения поэтому существенно различные значения Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения дают лишь Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения значений Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения далее значения корня повторяются).    

Замечание. Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения значений Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения на комплексной плоскости соответствуют Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения точкам, лежащим в вершинах правильного Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения-угольника, вписанного в окружность радиуса Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения с центром в начале координат.

Пример №19

Найти все значения Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

□ 1) Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения поэтому Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Получим 3 значения: Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения (см. рис. 7.2).

Первое из них — арифметическое значение кубического корня из положительного числа 8.
Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения
2) Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения поэтому

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Получим 4 значения:
Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения
(см. рис. 7.3). Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения здесь — арифметическое значение корня 4-й степени из положительного числа 5.

3) Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения,  поэтому

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Получим 3 значения:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

(см. рис. 7.4).    ■

Определение 7.7. Пусть Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Тогда Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения определяется как комплексное число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Если Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения (при Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения получаем обычное действительное значение Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения). Отмстим, что Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения при любых Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Лемма 7.5. Для любых Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения имеют место равенства Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

□ Пусть Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Тогда

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Далее, так как Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения откуда следует второе утверждение леммы.    

Пример №20

Вычислить Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

□ Имеем: Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Так как при всех Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения выполняются равенства Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения
Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения, то функция комплексной переменной Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения имеет мнимый период Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Привычной взаимной однозначности отображения при помощи функции Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения уже нет.

Определение 7.8. Логарифмом комплексного числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения называется комплексное число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения такое, что Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения (обозначение: Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения).

Лемма 7.6. Если Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения не определен. Если Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения принимает бесконечно много значений, имеющих одинаковую действительную часть Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения (обычный натуральный логарифм положительного числа) и бесконечное число значений мнимой части Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

□ Первая часть леммы следует из того, что Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения при любых Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Пусть теперь Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Тогда Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения (откуда Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения), Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом, множество значений функции Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения есть вся комплексная плоскость, кроме точки 0.

Пример №21

Найти все значения Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Определение 7.9. Для любых Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения определим Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения так:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Если Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Поэтому

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Аналогично, Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Отметим также, что все известные формулы тригонометрии сохраняются для комплексных значений аргументов (при этом Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения).   Например, для всех Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Так как Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Легко видеть, что Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Косинус на действительной оси соответствует гиперболическому косинусу на мнимой оси и наоборот: аналогично для синусов. Поэтому формально все операции для тригонометрических и гиперболических функций проводятся одинаково с точностью до некоторых степеней числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения (если работать только с действительными числами, то всё будет происходить одинаково с точностью до степеней числа —1). Этим и объясняется сходство формул тригонометрии с соответствующими формулами для гиперболических функций, включая формулы для производных и разложения по формуле Тейлора.

Комплекснозначные функции действительной переменной

Рассмотрим функцию Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения такую, что Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Тогда при всех Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения можно рассмотреть Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Так как Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения можно интерпретировать как плоскость Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения, то комплекснозначная функция действительной переменной фактически есть двумерная вектор-функция, значения которой записываются как комплексные числа.

Определение 7.10. Комплекснозначная функция действительной переменной Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения называется непрерывной (дифференцируемой, непрерывно дифференцируемой, дважды дифференцируемой и т.д.) в точке или на промежутке, если таковыми же являются обе функции Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Для дифференцируемой функции по определению Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Для комплекснозначных функций сохраняются формулы производной суммы, произведения и частного.

Лемма 7.7. Если комплекснозначные функции действительной переменной Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения дифференцируемы в точке Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения то функции Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения также дифференцируемы в этой точке, причем

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

в точке Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения (в последнем случае нужно требовать, чтобы Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

□ Докажем лемму для случая производной произведения. Утверждение для производной суммы доказывается проще, а для производной частного — несколько сложнее, но, по сути дела, аналогично.

Пусть Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения функции Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения дифференцируемы в точке Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Тогда

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Функция Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения дифференцируема в точке Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения так как существуют и конечны все производные в последнем выражении. Далее,

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Легко видеть, что это выражение совпадает с Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Пример №22

Доказать, что при любом Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения имеет место равенство

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

т.е. привычная для действительных Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения формула сохраняется и при комплексных Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

□ Пусть Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Тогда Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

С другой стороны, Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

что совпадает с Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Отметим, что производная комплекснозначной функции берётся по действительной переменной. Принципиально иная ситуация возникает при рассмотрении комплекснозначных функций комплексной переменной и при дифференцировании их по комплексной переменной. Здесь имеют место совершенно неожиданные эффекты (например, если функция дифференцируема в окрестности точки, то она имеет производные всех порядков в этой окрестности), которые студенты обычно изучают на III курсе (курс ТФКП — теория функций комплексной переменной).

Многочлены

Функция комплексной переменной Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

где Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения называется многочленом степени Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения от переменной Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Многочлен степени 0 — это постоянная функция Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения где Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Нулевому многочлену не приписывается никакая степень (иногда удобно считать, что его степень равна Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения). Если все Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения, то говорят о многочлене с действительными коэффициентами (Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения или Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения по смыслу задачи). Если все Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения то говорят о многочлене с комплексными коэффициентами Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Если Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения — многочлен степени Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения то многочлен Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения можно разделить с остатком на Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

где Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Теорема 7.1 (Безу). Остаток от деления многочлена Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения на двучлен Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения равен Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

□ Из (7.1) имеем при Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Следствие. Многочлен Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения делится без остатка на Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения тогда и только тогда, когда число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения является корнем многочлена Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

□ Утверждение немедленно следует из теоремы Безу.

Таким образом, число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения является корнем многочлена Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения тогда и только тогда, когда Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения где степень многочлена Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения на единицу меньше степени Р.

Теорема 7.2 (основная теорема алгебры). Любой многочлен степени Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения с комплексными коэффициентами имеет комплексный корень.

В настоящее время мы не располагаем математическим аппаратом для доказательства этой теоремы, поэтому примем её без доказательства. Доказана она будет очень просто в курсе ТФКП (и даже двумя способами — как простое следствие из теоремы Лиувилля или теоремы Руше).

Теорема 7.3. Многочлен с комплексными коэффициентами

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

раскладывается в произведение линейных множителей

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

где Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения (среди чисел Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения возможно, есть равные).

□    По основной теореме алгебры Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения где Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения — многочлен степени Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Применяя такую же процедуру к Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения получим: Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения — многочлен степени Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения и т.д. В конце концов дойдём до многочлена степени 0.

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

где Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения (комплексная постоянная). Здесь Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения — комплексные числа, среди которых могут быть равные.

Если раскрыть скобки в правой части (7.2), то коэффициент при Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения будет равен С, т.е. Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Определение 7.11. Комплексное число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения называется корнем кратности Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения многочлена Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения степени Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения если Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения — многочлен такой, что Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения При Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения корень называется простым, при Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения— кратным.

Если Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения, то число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения не является корнем многочлена Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

В общем случае, учитывая кратность корней, многочлен Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения степени Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения раскладывается на линейные множители:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

где все комплексные числаКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения различны, корень Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения имеет кратность Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения, при этом степень многочлена равна Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Лемма 7.8. Пусть Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения (многочлен, сопряжённый к P). Число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения является корнем многочлена Р  кратности Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения тогда и только тогда, когда число а является корнем многочлена Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения той же кратности Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

 □ Так как Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения то утверждение достаточно доказать лишь в одну сторону. Пусть Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Тогда Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Так как Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения — любое комплексное число, то в последней записи можно заменить Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Получим

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Это и означает, что Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения — корень многочлена Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения кратности Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Следствие. Если Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения — многочлен с действительными коэффициентами, то числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения одновременно являются его корнями, причем кратности их совпадают (т.е. недействительные корни появляются «парочками» — взаимно сопряжённые корни одинаковой кратности).

□ Это очевидно из леммы 7.8, так как Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения — один и тот же многочлен.  

Теорема 7.4. Многочлен степени Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения с действительными коэффициентами Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения раскладывается в произведение линейных и неприводимых квадратичных множителей:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

□ По теореме 7.3 и лемме 7.8

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

где Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения — действительные корни многочлена Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения кратностей Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения соответственно, a Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения — оставшиеся корни (Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения имеют одинаковую кратность Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения). Очевидно, что степень многочлена равна Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения т.е. эта сумма равна Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Пусть Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Тогда Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Получили квадратный трёхчлен с действительными коэффициентами Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения который имеет отрицательный дискриминант Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Остаётся символически заменить Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения подчёркивая этим, что нас интересуют лишь действительные значения Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения и мы получим нужное равенство. 

Теорема 7.4 является примером утверждения, в формулировке которого отсутствуют комплексные числа (чисто действительное утверждение), а естественное доказательство его получается с выходом во множество комплексных чисел. Таких утверждений можно встретить немало в различных математических курсах и прикладных науках.

Кстати, квадратный трехчлен с комплексными коэффициентами имеет такой же вид разложения на линейные множители, как и квадратный трёхчлен с действительными корнями в элементарной алгебре:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Корни Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения — комплексные, и они обязательно существуют. Роль дискриминанта Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения сводится только к определению того, различны ли корни Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения или они совпадают (т.е. квадратный трёхчлен имеет один корень Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения кратности 2). Если Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения то квадратный трёхчлен имеет два различных простых корня, если Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения — один корень кратности 2. В самом деле, решая квадратное уравнение Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения методом выделения полного квадрата, получим, как и в элементарной алгебре:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Если Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения и уравнение имеет один корень Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения кратности 2 Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Если Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения то Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения (писать ± не имеет смысла, так как Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения и под Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения понимаются оба значения квадратного корня из ненулевого комплексного числа). Окончательно получим привычную формулу корней квадратного уравнения:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Пример №23

Решить уравнение Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Найдём оба значения Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Пусть Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Тогда Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Решая эту систему, получим: Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Полученное биквадратное уравнение Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения решается при помощи замены Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Квадратное уравнение Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения имеет корни Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Так как Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Получили два значения квадратного корня: Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Тогда корни данного уравнения равны

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Пример №24

Найти все значения Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения решая уравнение Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

□ Левая часть раскладывается на множители:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Поэтому один из корней равен 2. Квадратный трёхчлен Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения не имеет действительных корней Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения поэтому Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения имеет всего одно действительное значение 2. Найдём оставшиеся два комплексно-сопряжённых значения. Решаем квадратное уравнение Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения по формуле чётного коэффициента:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Во множестве комплексных чисел Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения имеет два значения Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения поэтому Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения имеет 3 комплексных значения: Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения (такой же результат был получен в примере 7.3 другим способом).    ■

Разложение правильной дроби в сумму простейших дробей

Мы будем рассматривать действительные дробно-рациональные функции Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения— многочлены степеней соответственно Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения где Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Дробь называется правильной, если Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения и неправильной, если Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Лемма 7.9. Если Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения правильная дробь и Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения —действительный корень многочлена Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения кратности Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения то

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

где Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения — многочлен, для которого Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения является корнем кратности Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения a Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения— такой многочлен, что дробь Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения является правильной.

□ Так как Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения — корень Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения кратности Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения то Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения где Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения — многочлен такой, что Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Рассмотрим число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения и многочлен Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения (это многочлен, так как Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения и числитель делится нацело на Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения).

Так как степень G меньше степени Q и степень Р меньше степени Q, то степень числителя последней дроби меньше степени Q; значит, степень Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения меньше степени Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения т.е. дробь Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения правильная. Далее, Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения откуда Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Утверждение леммы, очевидно, сохраняется, если все числа и многочлены считать комплексными.

Лемма 7.10. ПустьКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения — неприводимый квадратный трёхчлен, входящий в разложение многочлена Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения на множители в степени Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Тогда правильная дробь Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения представляется в виде

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

где Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения — многочлен, в разложение которого Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения входит в степени Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения — такой многочлен, что дробь Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения является правильной.

□ Пусть Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения где Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения и Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения комплексно-сопряжённые корни квадратного трёхчлена Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения — действительный многочлен такой, что Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Рассмотрим действительные числа А и В такие, что

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Такие числа А и В определены единственным образом, так как если Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения то равенство (7.3) перепишется так:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

и числа А, В находятся из системы Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения очевидно, имеющей единственное решение. Из (7.3) следует также, что Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения так как Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения — многочлены с действительными коэффициентами.

Рассмотрим многочлен Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения (это — многочлен, так как Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения значит, числитель делится нацело на Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения и на Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения следовательно, делится на Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения). Пусть степень Q равна Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Так как степень G не превосходит Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения то степень многочлена Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения не превосходит Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения т.е. меньше степени Q. Степень Р также меньше степени Q, поэтому степень числителя последней дроби меньше степени Q.

Значит, степень Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения меньше, чем Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения, т.е. меньше степени Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения и дробь Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияправильная. Далее,

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

откуда

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Последовательно выделяя из многочлена Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения линейные, а затем неприводимые квадратичные множители, и применяя соответственно леммы 7.9 и 7.10, получим разложение Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения в сумму правильных дробей вида

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

(здесь Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения — как разложение многочлена в теореме 7.4).

Все слагаемые последней суммы называются простейшими дробями. Все коэффициенты, обозначенные символом Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения, являются действительными числами (вообще говоря, различными). Всего их Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения штук. Можно доказать, что они определены единственным образом. Процесс выделения слагаемых по леммам 7.9 и 7.10 прекратится, когда в знаменателе останется ровно один множитель вида Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Но такая правильная дробь сама будет простейшей. Таким образом, доказана

Теорема 7.5. Любая правильная рациональная дробь с действительными коэффициентами раскладывается в сумму простейших дробей.

Пример №25

Разложить в сумму простейших дробей:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

а) Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Приводя к общему знаменателю, имеем: Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения При Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения получим Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения при Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения получим Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Окончательно имеем: Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

б)Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Приводя в общему знаменателю, имеем: Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения
Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения При Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения получим Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Приравнивая коэффициенты при Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения получим Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения т.е. Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Приравнивая свободные члены, получим Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения откуда Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Окончательно имеем

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

в) Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Приводя к общему знаменателю, имеем: Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Приравнивая коэффициенты при Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения получим: Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения откуда Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Окончательно имеем

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Вычисление комплексного числа

Определение 1.1. Многочленом (полиномом) степени n с действительными коэффициентами называется любое выражение вида
Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

где Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения
х – переменная.

Корнем многочлена (1.1) называется любое число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения такое, чтоКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Нетрудно заметить, что некоторые многочлены вообще не имеют
действительных корней, например: Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Расширим множество действительных чисел. Добавим к этому
множеству символ i , такой что Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения ( i называется мнимой единицей).
Тогда ±i – два корня уравнения Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения
 

Определение 1.2. Множеством комплексных чисел называется множество
Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Суммой двух комплексных чисел Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения называется число
Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения.
Произведением двух комплексных чисел Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения называется число
Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения
Для числа z= a +bi число а называется действительной частью,
число b – мнимой частью. Обозначения: Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Относительно операций «+» и « · » комплексные числа С обладают
такими же свойствами, как и действительные числа. Эти операции
коммутативны и ассоциативны; для них существуют обратные операции:
вычитание и деление (кроме деления на 0).

Пример №26

Найти Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения
 

Теорема 1.1 (основная теорема алгебры). Любое уравнение вида (1.2)
имеет решение во множестве С.
 

Пример №27

Решить уравнение
Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения
 

Определение 1.3. Для комплексного числа z =a +bi число z =a -bi называется комплексно-сопряженным, число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияназывается модулем z.

Если рассмотреть плоскость с декартовой системой координат ( O,x,y ) и на оси Ох отложить а – действительную часть z, а на оси Oy – b – мнимую часть z, то получим взаимно однозначное соответствие между множеством С всех
комплексных чисел и множеством точек плоскости.

Такая плоскость называется комплексной плоскостью, рис. 1.1.

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

При этом Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения – длина радиуса-вектора точки z.

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Определение 1.4. Аргументом комплексного числа z =a +bi  называется
угол Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения, который образует радиус-вектор точки z с положительным
направлением оси Ох Аргумент будем обозначать Argz . Аргумент
определен с точностью до 2 πn. При этом значение Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения называется
главным и обозначается argz.
 

Замечание. Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

При этом
Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения
Если Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения – аргумент z, то z представляется в виде Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

тригонометрическая форма комплексного числа.
 

Теорема 1.2. Пусть Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения
Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство
Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения 

Из формул (1.5) следует, в частности, что Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения – формула Муавра. (1.6)

Пример №28

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Представить числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения в тригонометрической форме.

Решение:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения
поэтому по формуле (1.3)
Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения
Тогда по формуле (1.4)
Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

поэтому по формуле (1.3)
Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Тогда Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Из формул (1.5), (1.6) видно, что аргумент Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения комплексного числа z при
умножении, делении, возведении в степень ведет себя как показатель
степени. Обозначим Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения – формула Эйлера. (1.7)

Тогда из теоремы 1.2 следует, что
Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Учитывая (1.7), формулу (1.4) для z можно переписать в виде Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияпоказательная форма комплексного числа.

Пример №29

Вычислить Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Согласно примеру 1.3 Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Поэтому

 Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Определение 1.5. Корнем n-й степени из числа z Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияC называется такое
число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения, что Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения, при этом обозначается Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения. Таким образом
Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Из формулы (1.8) видно что Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения корней n-й степени из числа z, при этом,
если Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения, то

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения
 

Пример №30

Найти Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

  • Координаты на прямой
  • Координаты на плоскости
  • Линейная функция
  • Квадратичная функция
  • Степенные ряды
  • Элементы матричного анализа
  • Уравнение линии
  • Функции нескольких переменных

Комплексные числа в тригонометрической
и показательной формах

Тригонометрическая форма комплексного числа

Каждому комплексному числу z=x+iy геометрически соответствует точка M(x,y) на плоскости Oxy. Но положение точки на плоскости, кроме декартовых координат (x,y), можно зафиксировать другой парой — ее полярных координат (r,varphi) в полярной системе (рис. 1.3,a).

Величина r является неотрицательной и для данной точки определяется единственным образом, а угол varphi может принимать бесчисленное множество значений (при этом zne0): если точке соответствует некоторое значение varphi_0, то ей также соответствуют значения varphi=varphi_0+2kpi,~ k=0,pm1,pm2,ldots. Например, если для точки z=-1-i (см. рис. 1.1) выбрать varphi_0=frac{5pi}{4}, то ей соответствует любое varphi=frac{5pi}{4}+2kpi,~ k=0,pm1,ldots, в частности varphi=-frac{3pi}{4} при k=-1. Если же выбрать varphi_0=-frac{3pi}{4}, то varphi=-frac{3pi}{4}+2kpi,~ k=0,pm1,ldots, а при k=1 получаем varphi=frac{5pi}{4}.

Положение точки на плоскости в полярных координатах

Используя связь декартовых и полярных координат точки Mcolon begin{cases} x=rcosvarphi,\ y=rsinvarphiend{cases} (рис. 1.3,б), из алгебраической формы записи комплексного числа z=x+iy получаем тригонометрическую форму:

z=r bigl(cosvarphi+isinvarphibigr).

(1.3)


Показательная форма комплексного числа

Если обозначить комплексное число z, у которого operatorname{Re}z= cosvarphi, а operatorname{Im}z=sinvarphi, через e^{i,varphi}, то есть cosvarphi+isinvarphi=e^{i,varphi}, то из (1.3) получим показательную форму записи комплексного числа:

z=r,e^{i,varphi}.

(1.4)

Равенство e^{i,varphi}= cosvarphi+isinvarphi называется формулой Эйлера.

Заметим, что геометрически задание комплексного числа z=(r,varphi) равносильно заданию вектора overrightarrow{OM}, длина которого равна r, то есть bigl|overrightarrow{OM}bigr|=r, а направление — под углом varphi к оси Ox (рис. 1.3,б).


Модуль комплексного числа

Число r — длина радиуса-вектора точки M(x,y) называется модулем комплексного числа z=x+iy. Обозначение: |z|=r.

Из рис. 1.3,б получаем формулу для нахождения модуля числа, заданного и алгебраической форме z=x+iycolon

|z|=sqrt{x^2+y^2},.

(1.5)

Геометрический смысл модуля комплексного числа

Очевидно, что |z|geqslant0 и |z|=0 только для числа z=0~(x=0,,y=0).

С помощью правила вычитания запишем модуль числа z=z_1-z_2, где z_1=x_1+iy_1 и z_2=x_2+iy_2,colon

bigl|z_1-z_2bigr|= sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2},.

А это, как известно, есть формула для расстояния между точками M_1(x_1,y_1) и M_2(x_2,y_2).

Таким образом, число |z_1-z_2| есть расстояние между точками z_1 и z_2 на комплексной плоскости.

Пример 1.13. Найти модули комплексных чисел:

bold{1)}~z_1=2,~z_2=-2+sqrt{3},;qquad bold{2)}~z_3=-2i,~ z_4=(2-sqrt{3})i,;qquad bold{3)}~ z_5=-1+2i,.

Решение


Аргумент комплексного числа

Полярный угол varphi точки M(x,y) называется аргументом комплексного числа z=x+iy. Обозначение: varphi=arg z.

В дальнейшем, если нет специальных оговорок, под arg z будем понимать значение varphi, удовлетворяющее условию -pi<varphileqslantpi. Так, для точки z=-1-i (см. рис. 1.1) arg z=-frac{3pi}{4}.

Формулу для нахождения аргумента комплексного числа z=x+iy, заданного в алгебраической форме, получаем, используя связь декартовых и полярных координат точки M(x,y) (см. рис. 1.3,б). Для точек, не лежащих на мнимой оси, т.е. для z, у которых xne0, получаем operatorname{tg}varphi= frac{y}{x}; для точек мнимой положительной полуоси, т.е. для z, у которых x=0,~ y>0, имеем varphi=frac{pi}{2}; для точек мнимой отрицательной полуоси, т.е. для z, у которых x=0,~ y<0, соответственно varphi=-frac{pi}{2}.

Аргумент числа z=0 — величина неопределенная.

Нахождение аргумента при xne0 сводится к решению тригонометрического уравнения operatorname{tg}varphi= frac{y}{x}. При y=0, т.е. когда z=x — число действительное, имеем varphi=0 при x>0 и varphi=pi при x<0. При yne0 решение уравнения зависит от четверти плоскости Oxy. Четверть, в которое расположена точка z, определяется по знакам operatorname{Re}z и operatorname{Im}z. В результате получаем:

Аргумент комплексного числа

arg z= begin{cases}operatorname{arctg}dfrac{y}{x},& x>0;\ pi+operatorname{arctg}dfrac{y}{x},& x<0,ygeqslant0;\ -pi+operatorname{arctg}dfrac{y}{x},& x<0,y<0;\ dfrac{pi}{2},& x=0,~y>0;\ -dfrac{pi}{2},& x=0,~y<0.end{cases}

(1.6)

При решении примеров удобно пользоваться схемой, которая изображена на рис. 1.5.

Пример 1.14. Найти аргументы чисел из примера 1.13.

Решение

Пример 1.15. Найти модуль и аргумент числа z=2-i.

Решение. Находим |z|=sqrt{2^2+(-1)^2}= sqrt{5}. Так как operatorname{Re}z=2>0,~ operatorname{Im}z=-1<0, т.е. точка расположена в четвертой четверти, то из равенства operatorname{tg}varphi=-frac{1}{2} получаем varphi= operatorname{arctg}!left(-frac{1}{2}right) (рис. 1.5).


Главное значение аргумента комплексного числа

Аргумент комплексного числа определяется неоднозначно. Это следует из неоднозначности задания величины угла varphi для данной точки, а также из тригонометрической формы записи комплексного числа и свойства периодичности функций sinvarphi и cosvarphi.

Всякий угол, отличающийся от arg z на слагаемое, кратное 2pi, обозначается operatorname{Arg}z и записывается равенством:

operatorname{Arg}z=arg z+2kpi,quad k=0,pm1,pm2,ldots,

(1.7)

где arg z — главное значение аргумента, -pi<arg zleqslantpi.

Комплексные числа с нулевыми вещественными и мнимыми частями

Пример 1.16. Записать arg z и operatorname{Arg}z для чисел z_1=1,~ z_2=-1,~ z_3=i,~ z_4=-i.

Решение. Числа z_1 и z_2 — действительные, расположены на действительной оси (рис. 1.6), поэтому

arg z_1=0,~~ operatorname{Arg}z_1=2kpi;qquad arg z_2=pi,~~ operatorname{Arg}z_2= pi+2kpi,quad k=0,pm1,pm2,ldots;

числа z_3 и z_4 — чисто мнимые, расположены на мнимой оси (рис. 1.6), поэтому

arg z_3=frac{pi}{2},~~ operatorname{Arg}z_3=frac{pi}{2}+2kpi;qquad arg z_4=-frac{pi}{2},~~ operatorname{Arg}z_4= -frac{pi}{2}+2kpi,quad k=0,pm1, pm2,ldots

Пример 1.17. Записать комплексные числа из примера 1.16:

а) в тригонометрической форме;

б) в показательной форме.

Решение

Модули всех чисел, очевидно, равны 1. Поэтому, используя решение предыдущего примера и формулы (1.3) и (1.4), получаем:

а) 1=cos2kpi+ isin2kpi;~~ -1=cos(pi+2kpi)+ isin(pi+2kpi);~~ k=0,pm1,pm2,ldots

i=cos!left(frac{pi}{2}+2kpiright)+ isin!left(frac{pi}{2}+2kpiright);quad -i=cos!left(-frac{pi}{2}+2kpiright)+ isin!left(-frac{pi}{2}+2kpiright);

б) 1=e^{2kpi i};~~ -1=e^{(pi+2kpi)i};~~ i=e^{left(frac{pi}{2}+2kpiright)i};~~ -i=e^{left(-frac{pi}{2}+2kpiright)i},~~ k=0,pm1,pm2,ldots.

Пример 1.18. Записать в тригонометрической форме числа z_1=-1-i,~ z_2=cosfrac{pi}{5}-isinfrac{pi}{5},~ z_3= ileft(cosfrac{pi}{5}-isinfrac{pi}{5}right).

Решение

Числа z_1 и z_2 записаны в алгебраической форме (заметим, что заданная запись числа z_2 не является тригонометрической формой записи (сравните с (1.3)). Находим модули чисел по формуле (1.5):

|z_1|= sqrt{(-1)^2+(-1)^2}= sqrt{2},,qquad |z_2|=sqrt{cos^2 frac{pi}{5}+ left(-sin frac{pi}{5}right)^2}=1.

Далее находим аргументы. Для числа z_1 имеем operatorname{tg}varphi=1 и, так как operatorname{Re}z_1<0,~ operatorname{Im}z_1<0 (точка расположена в третьей четверти), получаем arg z_1=-pi+frac{pi}{4}=-frac{3pi}{4} (см. рис. 1.5). Для числа z_2 имеем operatorname{tg}varphi=-operatorname{tg}frac{pi}{5}, или operatorname{tg}varphi= operatorname{tg}left(-frac{pi}{5}right), и, так как operatorname{Re}z_2>0,~ operatorname{Im}z_2<0 (точка расположена в четвертой четверти (см. рис. 1.5)), получаем arg z_2=-frac{pi}{5}.

Записываем числа z_1 и z_2 в тригонометрической форме

begin{gathered}z_1= sqrt{2} left[cosleft(-frac{3pi}{4}+2kpiright)+ isinleft(-frac{3pi}{4}+2kpiright)right];\[5pt] z_2= cosleft(-frac{pi}{5}+2kpiright)+ isinleft(-frac{pi}{5}+ 2kpiright)!,quad k=0,pm1,pm2,ldots end{gathered}

Заметим, что для числа z_2 решение можно найти иначе, а именно используя свойства тригонометрических функций: cosalpha=cos(-alpha),~ -sinalpha=sin(-alpha).

Число z_3 является произведением двух чисел. Выполнив умножение, получим алгебраическую форму записи (найдем operatorname{Re}z_3 и operatorname{Im}z_3): z_3=sin frac{pi}{5}+ icos frac{pi}{5}. Здесь, как и для числа z_2, при решении удобно использовать преобразования тригонометрических выражений, а именно sinfrac{pi}{5}= cos!left(frac{pi}{2}-frac{pi}{5}right)!,~ cosfrac{pi}{5}= sin!left(frac{pi}{2}-frac{pi}{5}right).

Рассуждая, как выше, найдем |z_3|=1,~ arg z_3=frac{pi}{2}-frac{pi}{5}= frac{3pi}{10}. Для числа z_3=sin frac{pi}{5}+ icos frac{pi}{5}, записанного в алгебраической форме, получаем тригонометрическую форму:

z_3= cos!left(frac{3pi}{10}+2kpiright)+ isin!left(frac{3pi}{10}+2kpiright)!,quad k=0,pm1,pm2,ldots


Равенство комплексных чисел в тригонометрической форме

Условия равенства комплексных чисел получаем, используя геометрический смысл модуля и аргумента комплексного числа, заданного в тригонометрической форме. Так, для чисел z_1=r_1(cosvarphi_1+ isinvarphi_1), z_2=r_2(cosvarphi_2+ isinvarphi_2), из условия z_1=z_2. очевидно, следует:

r_1=r_2;qquad varphi_1-varphi_2=2kpi,quad k=0,pm1,pm2,ldots

или

|z_1|=|z_2|,quad operatorname{Arg}z_1-operatorname{Arg}z_2= 2kpi,quad k=0,pm1,pm2,ldots

(1.8)

Аргументы равных комплексных чисел либо равны (в частности равны главные значения), либо отличаются на слагаемое, кратное 2pi.

Для пары сопряженных комплексных чисел z и overline{z} справедливы следующие равенства:

|overline{z}|= |z|,qquad argoverline{z}=-arg z,.

(1.9)


Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме

Зададим два комплексных числа в тригонометрической форме z_1=r_1(cosvarphi_1+ isinvarphi_1) и z_2=r_2(cosvarphi_2+isinvarphi_2) и перемножим их по правилу умножения двучленов:

begin{aligned}z_1cdot z_2&= r_1cdot r_2cdot (cosvarphi_1+ isinvarphi_1)cdot (cosvarphi_2+isinvarphi_2)=\ &= r_1cdot r_2 bigl(cosvarphi_1cosvarphi_2- sinvarphi_1 sinvarphi_2+ i(cosvarphi_1 sinvarphi_2+ sinvarphi_1 cosvarphi_2)bigr) end{aligned}

или

z_1cdot z_2= r_1cdot r_2cdot bigl(cos(varphi_1+varphi_2)+ isin(varphi_1+ varphi_2)bigr).

Получили новое число z, записанное в тригонометрической форме: z=r(cosvarphi+ isinvarphi), для которого r=r_1cdot r_2,~ varphi= varphi_1+ varphi_2.

Правило умножения. При умножении комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули перемножаются, а аргументы складываются:

|z_1cdot z_2|= |z_1|cdot |z_2|,qquad operatorname{Arg}(z_1cdot z_2)= arg z_1+arg z_2.

(1.10)

В результате умножения чисел может получиться аргумент произведения, не являющийся главным значением.

Пример 1.19. Найти модули и аргументы чисел:

bold{1)}~ z=-2i left(cosfrac{4pi}{7}- isinfrac{4pi}{7}right)!;qquad bold{2)}~ z=(1+i)(sqrt{3}-i).

Решение

Каждое из заданных чисел записано в виде произведения. Найдем модули и аргументы сомножителей и воспользуемся правилом (1.10) умножения чисел, заданных в тригонометрической форме:

bold{1)}quad z=z_1cdot z_2,quad z_1=-2i,quad z_2= cosfrac{4pi}{7}- isinfrac{4pi}{7}= cos!left(-frac{4pi}{7}right)+ isin!left(-frac{4pi}{7}right),.

Для чисел z_1 и z_2 находим модули и аргументы: |z_1|=2,~ arg z_1=-frac{pi}{2};~ |z_2|=1,~ arg z_2=-frac{4pi}{7}. Используя формулы (1.10), получаем

|z|=|z_1|cdot|z_2|=2,quad operatorname{Arg}z= arg z_1+arg z_2= -frac{pi}{2}-frac{4pi}{7};quad arg z= 2pi- frac{15pi}{14}= frac{13pi}{14}

б) z=z_1cdot z_2,~ z_1=1+i,~ z_2=sqrt{3}-i. Для числа z_1 имеем: |z_1|=sqrt{2},~ arg z_1=frac{pi}{4}; для числа z_2colon, |z_2|=2,~ operatorname{tg}varphi_2=-frac{1}{sqrt{3}}, и так как operatorname{Re}z_2>0,~ operatorname{Im}z_2<0 (точка расположена в четвертой четверти), то arg z_2=-frac{pi}{6}. Используя формулы (1.10), получаем |z|=2sqrt{2},~ arg z=frac{pi}{4}-frac{pi}{6}=frac{pi}{12}.

Заметим, что для решения этой задачи можно раскрыть скобки, записать каждое число в алгебраической форме, а затем найти |z| и arg z, используя формулы (1.5), (1.6).


Деление комплексных чисел в тригонометрической форме

Рассмотрим частное комплексных чисел frac{z_1}{z_2}, заданных в тригонометрической форме. Из определения частного z=frac{z_1}{z_2} имеем z_1=zcdot z_2 и, применяя к произведению правило умножения (формулы (1.10)), получаем r=frac{r_1}{r_2},~ varphi=varphi_1-varphi_2.

Правило деления. Модуль частного, полученного в результате деления чисел, заданных в тригонометрической форме, равен частному от деления модуля числителя на модуль знаменателя, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя:

left|frac{z_1}{z_2}right|= frac{|z_1|}{|z_2|},qquad operatorname{Arg}frac{z_1}{z_2}= arg z_1-arg z_2.

(1.11)

В результате деления чисел по формуле (1.11) может получиться аргумент честного, не являющийся главным значением.

Пример 1.20. Записать в тригонометрической форме комплексное число frac{1+i}{sqrt{3}-i}.

Решение. Обозначим z=frac{z_1}{z_2},~ z_1=1+i,~ z_2=sqrt{3}-i. Для чисел z_1 и z_2 находим модули и аргументы: |z_1|=sqrt{2},~ arg z_1=frac{pi}{4}; |z_2|=2,~ arg z_2=-frac{pi}{6} (см. пример 1.19). По формуле (1.11) получаем |z|=frac{|z_1|}{|z_2|}=frac{sqrt{2}}{2},~ arg z=arg z_1-arg z_2=frac{pi}{4}-left(-frac{pi}{6}right)= frac{5pi}{12} и

frac{1+i}{sqrt{3}-i}= frac{sqrt{2}}{2}left(cosleft(frac{5pi}{12}+2kpiright)+ isinleft(frac{5pi}{12}+2kpiright)right)!,~ k=0,pm1,pm2,ldots


Возведение в степень комплексного числа в тригонометрической форме

Из определения степени z^n и правила умножения чисел, записанных в тригонометрической форме (формула (1.10)), получаем

|z^n|=r^n,quad operatorname{Arg}z^n=nvarphi, где z=r(cosvarphi+ isinvarphi).

Правило возведения в степень. При возведении в степень комплексного числа в эту степень возводится модуль числа, а аргумент умножается на показатель степени:

|z^n|= |z|^n,qquad operatorname{Arg}z^n= narg z,.

(1.12)

Записывая число z^n в тригонометрической форме z^n= r^n(cos nvarphi+ isin nvarphi), получаем формулу возведения в степень:

bigl[r(cosvarphi+ isinvarphi)bigr]^n= r^n(cos nvarphi+ isin nvarphi).

(1.13)

При r=1 это равенство принимает вид и называется формула Муавра

(cosvarphi+ isinvarphi)^n= cos nvarphi+ isin nvarphi,.

(1.14)

Пример 1.21. Найти модуль и аргумент комплексного числа (1+i)^5.

Решение. Обозначим z=z_1^5,~ z_1=1+i. Находим модуль и аргумент числа z_1colon, |z_1|=sqrt{2},~ arg z_1=frac{pi}{4}. Поэтому |z|= (sqrt{2})^5 и operatorname{Arg}z=5arg z_1=frac{5pi}{4}. Так как по определению для главного значения аргумента выполняется условие -pi<arg zleqslantpi, то arg z= frac{5pi}{4}-2pi=-frac{3pi}{4}.

Пример 1.22. Записать в тригонометрической форме число (1+i)^5(sqrt{3}-i)^7.

Решение

Пример 1.23. Используя формулу Муавра, найти выражения для cos3varphi и sin3varphi через тригонометрические функции угла varphi.

Решение

Из формулы (1.14) при n=3 имеем (cosvarphi+ isinvarphi)^3= cos3varphi+isin3varphi. Возведем левую часть в степень, учитывая, что i^3=-i (см. пример 1.8):

begin{aligned}cos^3varphi+ i3cos^2varphisinvarphi- 3cosvarphi sin^2varphi+ i^3sin^3varphi&= cos3varphi+ isin3varphi,\ (cos^3varphi-3cosvarphisin^2varphi)+ i(3cos^2varphisinvarphi-sin^3varphi)&= cos3varphi+ isin3varphi.end{aligned}

Используя условие равенства комплексных чисел, получаем:

cos3varphi= cos^3varphi- 3cosvarphisin^2varphi,qquad sin3varphi= 3cos^2varphi sinvarphi- sin^3varphi.


Извлечение корня из комплексного числа в тригонометрической форме

Рассмотрим задачу извлечения корня из комплексного числа, заданного в показательной или тригонометрической форме z=r,e^{ivarphi}, или z=r(cosvarphi+ isinvarphi). Искомое число w=sqrt[LARGE{n}]{z} также запишем в показательной форме: w=rho,e^{ivarphi},~ rho=|w|,~ theta=arg w. Используя определение операции извлечения корня z=w^n и условия (1.8), получаем соотношения

rho^n=r,qquad ncdottheta= varphi+2kpi,quad k=0,pm1,pm2,ldots

или

rho= sqrt[LARGE{n}]{r},quad theta= frac{varphi+2kpi}{n},quad k=0,pm1,pm2,ldots

(1.15)

Правило извлечения корня. Чтобы извлечь корень из комплексного числа, нужно извлечь корень (арифметический) той же степени из модуля данного числа, а аргумент (operatorname{Arg}z) разделить на показатель корня:

bigl|sqrt[LARGE{n}]{z}bigr|= sqrt[LARGE{n}]{|z|},qquad operatorname{Arg}sqrt[LARGE{n}]{z}= frac{operatorname{Arg}z}{n},.

(1.16)

Теперь можно записать число w=sqrt[LARGE{n}]{z} в показательной форме:

sqrt[LARGE{n}]{z}= sqrt[LARGE{n}]{|z|}cdot exp frac{i operatorname{Arg}z}{n},.

Если записать это соотношение в тригонометрической форме, то, учитывая периодичность тригонометрических функций, нетрудно убедиться, что выражение sqrt[LARGE{n}]{z} принимает только n различных значений. Для их записи достаточно в формуле (1.15) взять n последовательных значений k, например k=0,1,2,ldots,n-1. В результате получаем формулу извлечения корня из комплексного числа в тригонометрической форме, где r=|z|,~ varphi=arg z:

sqrt[LARGE{n}]{z}= sqrt[LARGE{n}]{r} left(cos frac{varphi+2kpi}{n}+ isin frac{varphi+2kpi}{n}right)!,quad 0,1,2,ldots,n-1.

(1.17)


Значения корня комплексного числа

Замечания 1.1

1. Рассмотренная задача извлечения корня степени n из комплексного числа равносильна решению уравнения вида z^n-a=0, где, очевидно, z=sqrt[LARGE{n}]{a}.

Для решения уравнения нужно найти n значений sqrt[LARGE{n}]{a}, а для этого необходимо найти r=|a|,~ varphi=arg a и использовать формулу извлечения корня.

2. Исследование формулы (1.17) показывает, что все комплексные числа w_k,~ k=1,2,ldots,n (значения sqrt[LARGE{n}]{z}) имеют равные модули, т.е. геометрически расположены на окружности радиуса R=sqrt[LARGE{n}]{r},~ r=|z|. Аргументы двух последовательных чисел отличаются на frac{2pi}{n}, так как arg w_{k+1}-arg w_k= frac{2pi}{n}, т.е. каждое последующее значение w_{k+1} может быть получено из предыдущего w_k поворотом радиуса-вектора точки w_k на frac{2pi}{n}.В этом заключается геометрический смысл формулы (1.17), что можно сформулировать следующим образом.

Точки, соответствующие значениям sqrt[LARGE{n}]{z}, расположены в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность с центром в начале координат, радиус которой R= sqrt[LARGE{n}]{|z|}, причем аргумент одного из значений w_k равен frac{arg z}{n}= frac{varphi}{n} (рис. 1.7).


Алгоритм решения комплексных уравнений вида z^n-a=0

1. Найти модуль и аргумент числа acolon, r=|a|,~ varphi=arg a.
2. Записать формулу (1.17) при заданном значении ncolon, sqrt[LARGE{n}]{a}= sqrt[LARGE{n}]{r} left(cos frac{varphi+2kpi}{n}+ isin frac{varphi+2kpi}{n}right).
3. Выписать значения корней уравнения z_k, придавая значения k=0,1,2,ldots,n-1.

Пример 1.24. Решить уравнения: a) z^6-1=0; б) z^3-i=0.

Решение

Задача равносильна задаче нахождения всех значений корня из комплексного числа. Решаем в каждом случае по алгоритму.

а) Найдем z=sqrt[LARGE{6}]{1}.
1. Определим модуль и аргумент числа 1colon, r=1,~ varphi=0.
2. При полученных значениях r и varphi записываем формулу (1.17):

z= sqrt[LARGE{6}]{1}= sqrt[LARGE{6}]{1} left(cosfrac{2kpi}{6}+ isinfrac{2kpi}{6}right)!,qquad k=0,1,2,3,4,5.

Заметим, что справа стоит sqrt[LARGE{6}]{1} — арифметический корень, его единственное значение равно 1.

3. Придавая k последовательно значения от 0 до 5, выписываем решения уравнения:

begin{array}{ll}z_1= cos0+isin0=1,&qquad z_2=cos dfrac{pi}{3}+isindfrac{pi}{3}= dfrac{1}{2}+ i,dfrac{sqrt{3}}{2},\[7pt] z_3= cosdfrac{2pi}{3}+ isindfrac{2pi}{3}= -dfrac{1}{2}+ i,dfrac{sqrt{3}}{2},&qquad z_4=cospi+isinpi=-1,\[10pt] z_5= cosdfrac{4pi}{3}+ isindfrac{4pi}{3}= -dfrac{1}{2}-i,dfrac{sqrt{3}}{2},&qquad z_6= cosdfrac{5pi}{3}+ isindfrac{5pi}{3}= dfrac{1}{2}-i,dfrac{sqrt{3}}{2}.end{array}

Геометрически соответствующие точки расположены в вершинах правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиуса R=1, одна из точек (соответствует k=0) z_1=1. Строим шестиугольник (рис. 1.8,в). Отметим свойства корней этого уравнения с действительными коэффициентами — его комплексные корни являются попарно сопряженными: z_6= overline{z}_2,~ z_5= overline{z}_3,~ z_1 и z_4 — действительные числа.

б) Найдем z=sqrt[LARGE{3}]{i}.
1. Определим модуль и аргумент числа rcolon, r=|i|=1,~ varphi=arg i=frac{pi}{2}.
2. По формуле (1.17) имеем

sqrt[LARGE{3}]{i}= 1cdot left(cosfrac{frac{pi}{2}+2kpi}{3}+ isin frac{frac{pi}{2}+2kpi}{3}right)= cos!left(frac{pi}{6}+ frac{2}{3}kpiright)+ isin!left(frac{pi}{6}+ frac{2}{3}kpiright)!,quad k=0,1,2.

3. Выписываем корни z_1,,z_2,,z_3colon, z_1= frac{sqrt{3}}{2}+i frac{1}{2},~ z_2= -frac{sqrt{3}}{2}+i frac{1}{2},~ z_3=-i.

Геометрический смысл комплексных корней

Для геометрического представления решения уравнения достаточно изобразить одно значение, например z_1=cosfrac{pi}{6}+ isinfrac{pi}{6} (при k=0) — это точка окружности |z|=1, лежащая на луче varphi=frac{pi}{6}. После этого строим правильный треугольник, вписанный в окружность |z|=1 (рис. 1.8,б).

Пример 1.25. Найти корень уравнения z^4-1+i=0, для которого operatorname{Re}z<0,~ operatorname{Im}z>0.

Решение

Геометрическая интерпретация корней комплексного уравнения

Задача равносильна задаче нахождения z=sqrt[LARGE{4}]{1-i} при условие operatorname{Re}z<0,~ operatorname{Im}z>0.

1. Находим модуль и аргумент числа 1-icolon, r=|1-i|=sqrt{2},~ varphi=arg(1-i)=-frac{pi}{4}.

2. По формуле (1.17) имеем: z_{k+1}= sqrt[LARGE{4}]{1-i}= sqrt[LARGE{8}]{2}e^{left(-frac{pi}{16}+frac{2kpi}{4}right) i},~ k=0,1,2,3.

3. Для нахождения искомого решения нет необходимости выписывать все значения корня. Нужно выбрать значение k~(k=0,1,2,3), при котором выполняется условие frac{pi}{2}< arg zleqslantpi (соответствующая точка — точка второй четверти). Удобно при этом использовать чертеж (рис. 1.9).

Условию поставленной задачи удовлетворяет корень z_3 (при k=2): z_3= sqrt[LARGE{8}]{2}e^{left(pi-frac{pi}{16}right)i}= sqrt[LARGE{8}]{2}e^{frac{15pi}{16},i}.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как найти мультик фильм
  • Reallocated sectors count как исправить в victoria
  • Валентность как найти у трех веществ
  • Как найти apn на телефоне
  • Как найти жену в турции