Как найти модуль комплексного числа при умножении - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Рис. 28.2. Сложение комплексных чисел.

Умножение комплексных чисел также имеет геометрический смысл; мы выясним его в следующем параграфе.

§ 29. Модуль и аргумент комплексного числа

Повторить: § 25: отбор чисел на круге.

В этом параграфе мы выясним геометрический смысл умножения комплексных чисел. Сначала — небольшая подготовка.

Расстояние на комплексной плоскости
от начала координат (точки O) до точки z

называется модулем комплексного числа z.
Модуль комплексного числа z обозначает-
ся \|z\|, как и модуль действительного числа.

Такое совпадение обозначений не приводит

к путанице, поскольку модуль действитель-			Рис. 29.1.
ного числа также равен расстоянию от со-

ответствующей точки на числовой оси до	√
точки O. Если z = a + bi, то, очевидно, \|z\| =	a2 + b2	(рис. 29.1).

Задача 29.1. Докажите, что для любых комплексных чисел z и w верно неравенство |z + w| 6 |z| + |w|.

Теперь соединим точку z с точкой O. Угол, образуемый полученным отрезком с действительной осью (точнее говоря, с поло-

169









а)		б)

	Рис. 29.2.

жительным направлением действительной оси), называется аргументом числа z (рис. 29.2а). Этот угол принято выражать в радианах.

Если z = a + bi, |z| = r, аргумент z равен ϕ, то, очевидно,

a = r cos ϕ; b = r sin ϕ.

Стало быть, z = r cos ϕ + ir sin ϕ = r(cos ϕ + i sin ϕ).

Запись комплексного числа в виде r(cos ϕ + i sin ϕ), где r > 0, называется тригонометрической формой комплексного числа. В тригонометрической форме можно записать любое комплексное число, кроме нуля (аргумент нуля мы не определяем).

Запишем, например, в√тригонометрической форме число z = = −1 −i. Очевидно, |z| = 2, и из рис. 29.2б видно, что в качестве аргумента можно взять 5π/4:

−1 − i = 2 cos 54π + i sin 54π .

Впрочем, с тем же успехом можно было бы сказать, что аргумент −1 − i равен −34π : ведь равенство −1 − i = √2 cos −34π +

+i sin −34π также верно. Вообще, аргумент комплексного числа определен не однозначно, а с точностью до прибавления 2πn, где n — целое число. В качестве аргумента числа z можно взять любое число ϕ, для которого z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ).

170

Задача 29.2. Найдите аргументы следующих чисел, после чего за-

пишите эти числа в тригонометрической форме: а) i; б) −1; в)
√		√
3 + i; г)	3 − i; д) −(cos ϕ + i sin ϕ); е) cos ϕ − i sin ϕ.

Задача 29.3. Докажите, что

cos ϕ + i sin ϕ = cos ϕ − i sin ϕ.

Пусть теперь нам даны комплексные числа z1 = r1(cos ϕ1 + + i sin ϕ1) и z2 = r2(cos ϕ2 + i sin ϕ2). Давайте их перемножим:

z1z2 = r1(cos ϕ1 + i sin ϕ1)r2(cos ϕ2 + i sin ϕ2) =

=r1r2(cos ϕ1 + i sin ϕ1)(cos ϕ2 + i sin ϕ2) =

=r1r2(cos ϕ1 cos ϕ2 − sin ϕ1 sin ϕ2)+

+i(sin ϕ1 cos ϕ2 + cos ϕ1 sin ϕ2) =

=r1r2(cos(ϕ1 + ϕ2) + i sin(ϕ1 + ϕ2)).

(мы воспользовались формулами синуса и косинуса суммы). Как видите, если перейти к тригонометрической форме, то

умножение комплексных чисел запишется простой формулой:

r1(cos ϕ1 + i sin ϕ1)r2(cos ϕ2 + i sin ϕ2) =

= r1r2(cos(ϕ1 + ϕ2) + i sin(ϕ1 + ϕ2)).

Или словами:

При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Поскольку деление — действие, обратное к умножению, то:

При делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.

Итак, мы придали геометрический смысл умножению комплексных чисел, рассматриваемых как векторы на плоскости. На первый взгляд это противоречит сказанному в § 17, где мы говорили, что геометрически

171

определить умножение векторов на плоскости невозможно. Представьте себе, однако, что у нас даны два вектора и мы хотим их умножить «как комплексные числа»— тут же выяснится, что для того, чтобы сложить аргументы, надо сначала иметь ось, от которой эти аргументы отсчитывать, причем если выбрать «действительную ось» по-другому, то произведение изменится!

Рассматривая умножение комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, мы убедились, что при умножении комплексных чисел их модули перемножаются. Запишем это свойство комплексных чисел в виде формулы

Задача 29.4. Докажите формулу (29.1), исходя из определения умножения комплексных чисел.

Задача 29.5. а) Докажите, что |z| = z · z¯; б) выведите из этой формулы тождество (29.1).

Формулу (29.1) можно переписать и не используя комплексных чисел. В самом деле, если z = a1 + b1i и w = a2 + b2i, то, возводя (29.1) в квадрат, получаем такое тождество:

(a12 + b12)(a22 + b22) = (a1a2 − b1b2)2 + (a1b2 + b1a2)2.

(29.2)

Разумеется, это тождество легко проверить и непосредственно.

Задача 29.6. Докажите, что число

32858969712941053630927296788431704044342041015625 = 531 ·1325

является суммой квадратов двух целых чисел.

Задача 29.7. Докажите, что число

73734314159378042035384049570 = = 2 ·5 ·13 ·29 ·37 ·41 ·53 ·61 ·73 ·89 ·97 ·101 ·113 ·137 ·149 ·157 ·173

также является суммой квадратов двух целых чисел.

172

Указание. 2 = 12 + 12; 5 = 12 + 22. . .

Существует аналог тождества (29.2) для сумм четырех квадратов, показывающий, что произведение двух сумм четырех квадратов также равно сумме четырех квадратов:

(a21 + a22 + a23 + a24)(b21 + b22 + b23 + b24) =

=(a1b1 − a2b2 − a3b3 − a4b4)2 + (a1b2 + a2b1 + a3b4 − a4b3)2 +

+(a1b3 + a3b1 − a2b4 + a4b2)2 + (a1b4 + a4b1 + a2b3 − a3b2)2.

Задача 29.8. Докажите это тождество.

Имеется также аналог этих двух тождеств для сумм восьми квадратов, но на этом все и кончается: при n 6= 2, 4, 8 тождеств типа «произведение двух сумм n квадратов равно сумме n квадратов» не существует.

Теперь посмотрим, что вытекает из того, что аргументы комплексных чисел при умножении складываются.

Если возвести комплексное число в степень n, то есть умножить его на себя n раз, то его модуль возведется в степень n, а аргумент умножится на n:

(r(cos ϕ + i sin ϕ))n = rn(cos nϕ + i sin nϕ).

В частности, при r = 1 получится вот что:

(cos ϕ + i sin ϕ)n = cos nϕ + i sin nϕ.

Эта формула называется формулой Муавра.

Из формулы Муавра легко вывести формулы, выражающие cos nϕ и sin nϕ через cos ϕ и sin ϕ. Для этого надо в ее левой части раскрыть скобки и привести подобные. При n = 5, например, получится вот что:

(cos ϕ + i sin ϕ)5 = (cos5 ϕ − 10 cos3 ϕ sin2 ϕ + 5 cos ϕ sin4 ϕ) +

+i(5 cos4 ϕ sin ϕ − 10 cos2 ϕ sin3 ϕ + sin5 ϕ) =

=cos 5ϕ + i sin 5ϕ.

173

Так как выражения слева и справа равны, то равны по отдельности их вещественные и мнимые части, откуда:

cos 5ϕ = cos5 ϕ − 10 cos3 ϕ sin2 ϕ + 5 cos ϕ sin4 ϕ, sin 5ϕ = 5 cos4 ϕ sin ϕ − 10 cos2 ϕ sin3 ϕ + sin5 ϕ.

Чтобы получить такие формулы для произвольного n, надо раскрывать скобки в (cos ϕ + i sin ϕ)n, а для этого требуется общая формула для раскрытия скобок в выражении (a + b)n. Мы выпишем эту формулу, но не будем ее доказывать. Выглядит она так:

(a + b)n = an + nan−1b

+ n(n − 1)(n − 2) an−3 1 · 2 · 3


+	n(n − 1)	an−2b2 +
1 · 2	n(n − 1)(n − 2) . . . 2
b3 + . . . +	a1bn−1	+ bn.
			1 · 2 · . . . (n − 1)

Иными словами, в правой части коэффициент при an−kbk равен

n(n − 1) . . . (n − k + 1) : в знаменателе стоит произведение первых

1 · 2 · · · · · k

k натуральных чисел, а в числителе — произведение k идущих подряд целых чисел в убывающем порядке, начиная с n. Хотя коэффициенты в нашей формуле записаны как дроби, на самом деле все они — целые числа.

Формула для (a+ b)n, которую мы выписали, называется формулой бинома Ньютона.

Задача 29.9. Проверьте формулу бинома Ньютона для n = 3, 4, 5.

Задача 29.10. а) Выпишите формулу бинома Ньютона для n = 6. б) Выпишите формулы для cos 6ϕ и sin 6ϕ.

Задача 29.11. Убедитесь, что в формуле бинома Ньютона коэффициент при abn−1 равен n.

Задача 29.12. Докажите, что в формуле бинома Ньютона коэффициенты при an−kbk и akbn−k равны (что и не удивительно: если левая часть тождества не меняется, когда меняешь местами a и b, то такой же должна быть и правая часть).

174

Другое приложение формулы Муавра — еще один вывод формулы для суммы косинусов или синусов углов, образующих арифметическую прогрессию (§ 22). В самом деле, пусть нам надо вычислить сумму

cos α + cos(α + β) + cos(α + 2β) + . . . + cos(α + nβ).

Рассмотрим комплексные числа a = cos α + i sin α, b = cos β + + i sin β. Тогда, очевидно, abk = cos(α + kβ) + i sin(α + kβ). Следовательно,

a + ab + ab2 + . . . + abn = (cos + cos(α + β) + . . . + cos(α + nβ)) + + i(α sin + sin(α + β) + . . . + sin(α + nβ)).

Однако правую часть можно вычислить по формуле для суммы геометрической прогрессии:

a + ab + ab2 + . . . + abn = a1 − bn+1 = 1 − b

= (cos α + i sin α) 1 − cos(n + 1)β − i sin(n + 1)β .

1 − cos α − i sin α

(Если вас смущает, что мы применяем эту формулу к комплексным числам, посмотрите в вашем школьном учебнике, как она доказывается, и убедитесь, что дословно то же доказательство годится и для комплексных чисел.)

Теперь осталось упростить выражение в правой части (для этого, как обычно при делении комплексных чисел, надо умножить числитель и знаменатель дроби на (1−cos α)+i sin α и выделить в полученном выражении действительную и мнимую части). Действительная часть будет равна cos α+ cos(α+ β)+ . . .+ cos(α+

+nβ), а мнимая часть будет равна sin α + sin(α + β) + . . . + sin(α +

+nβ).

Задача 29.13. Проведите эти выкладки и убедитесь, что ответы совпадают с полученными в § 22.

Раз с помощью тригонометрической формы комплексные числа удобно возводить в степень, естественно надеяться, что та же

175

тригонометрическая форма поможет и в выполнении обратной операции — извлечения корней из комплексных чисел. Покажем на примере, какие новые явления при этом возникают.

Давайте извлечем корень пятой степени из 32, то есть найдем число, которое, будучи возведенным в пятую степень, даст 32. Среди действительных чисел такое число одно — это число 2. Посмотрим, что будет, если рассматривать любые комплексные числа. Мы ищем такие числа z, что z5 = 32. Проще всего найти модуль числа z: если z5 = 32, то |z5| = |z|5 = 32 (при перемножении чисел модули перемножаются), откуда |z| = 2 (уж |z|-то — это обычное действительное число, так что тут никаких разночтений не будет). Осталось найти аргумент z. Для этого запишем z в тригонометрической форме: z = 2(cos ϕ + i sin ϕ). Тогда z5 = 32(cos 5ϕ + i sin 5ϕ), откуда 32(cos 5ϕ + i sin 5ϕ) = 32, cos 5ϕ + i sin 5ϕ = 1, что, в свою очередь, равносильно системе тригонометрических уравнений

(

cos 5ϕ = 1;

sin 5ϕ = 0.

Этой системе, очевидно, удовлетворяют в точности те и только те числа ϕ, для которых числу 5ϕ соответствует начало отсчета на тригонометрической окружности, то есть 5ϕ = 2kπ, или ϕ = 2πk/5 (k Z). Стало быть, решения уравнения z5 = 32 — это числа вида 2(cos 2πk/5 + i sin 2πk/5), где k Z. Не все эти числа различны: так как комплексные числа с аргументами, отличающимися на 2π, совпадают, то разные комплексные числа получаются только при k = 0, 1, 2, 3, 4, а дальше значения z будут повторяться. Итак, все корни уравнения z5 = 32 или, если угодно, все корни пятой степени из 32 таковы:

z1 = 2(cos 0 + i sin 0);

z2 = 2(cos 2π/5 + i sin 2π/5); z3 = 2(cos 4π/5 + i sin 4π/5); z4 = 2(cos 6π/5 + i sin 6π/5); z5 = 2(cos 8π/5 + i sin 8π/5);

176

Здесь z1 — это просто число 2, действитель-
ный корень уравнения z5 = 32. Прочие кор-
ни этого уравнения действительными уже

не являются. Если изобразить все корни
пятой степени из 32 на комплексной плос-

кости, то окажется, что они расположены

в вершинах правильного пятиугольника.

В наших рассуждениях не играло ника-	Рис. 29.3.
кой роли ни то, что мы извлекали корень

именно степени 5, ни то, что мы извлекали его из 32. На самом
деле для всякого	комплексного числа a = 0 существует ровно
	n	6
n решений уравнения z		= a (эти решения называются корня-
ми степени n из a). При изображении на комплексной плоскости
корни степени n из a располагаются в вершинах правильного n-
угольника с центром в точке 0.

Задача 29.14. Найдите: а) все три кубических корня из i; б) все шесть корней степени 6 из 1 и изобразите их на комплексной плоскости.

Задача 29.15. а) Докажите, что произведение двух корней степени n из 1 — тоже корень степени n из 1.

б*) Пусть z1, z2, . . . , zn — все корни степени n из 1, k — целое число. Докажите, что

z1k + z2k +	· · ·	+ znk =	0,	если k не делится на n;
		n,	если k делится на n.

Мы добавили к обычным вещественным числам число i для того, чтобы можно было извлекать квадратные корни из отрицательных чисел; при этом оказалось, что в комплексных числах можно решить любое квадратное уравнение. Замечательно, что и вообще любое алгебраическое уравнение имеет корень в комплексных числах: никаких новых чисел помимо i ради этого вводить не надо. Этот важный факт, который по традиции называют основной теоремой алгебры, доказал в конце 18 века великий немецкий математик К. Ф. Гаусс.

177

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Комплексные числа

Краткая теория

Комплексным числом

называется
выражение вида

, где

– действительные
числа, а символ

удовлетворяет
условию

Число

называется
действительной частью комплексного
числа и обозначается

–
мнимой частью и обозначается

–
мнимой единицей.

Комплексные числа

называется
комплексно-сопряженными. Так, если

, то

Сложение, вычитание и умножение
комплексным чисел, заданных в алгебраической форме, выполняются по правилам
сложения, вычитания и умножения двучленов вида

с заменой
каждый раз

на

. Деление выполняется по формуле:

Геометрически комплексное число

изображается
точкой

на координатной
плоскости или радиус-вектором

этой точки.

Тригонометрическая форма комплексного числа

имеет вид:

где

– модуль числа

;

– его аргумент

– величина угла
между положительным направлением оси

и
радиусом-вектором

(см. рисунок),
причем величина угла считается положительной, если отсчет ведется против
часовой стрелки, и отрицательной – если по часовой стрелке.

Величина угла

определяется из
системы уравнений:

Значение

(или

) обозначается

и называется
главным.

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

Если

то

то есть при умножении комплексных
чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули перемножаются, аргументы
складываются, а при делении модули делятся, а аргументы вычитаются.
Геометрический умножение данного комплексного числа на другое комплексное
число, отличное от нуля, означает поворот радиус-вектора, изображающего данное
число, против часовой стрелки на угол, равный аргументу другого числа.
Аналогично деление означает поворот радиуса-вектора данного числа по часовой
стрелке на угол, равный аргументу другого числа, и деление этого вектора на
модуль другого числа.

При возведении в степень
используется формула Муавра

Все значения корня степени

из комплексного
числа

находятся по
формуле

Показательная форма комплексного числа

имеет вид

, где

– формула
Эйлера.

Действия над комплексными числами в показательной форме

Если

то

Если

то

Примеры решения задач

Задача 1

Даны комплексные числа

.
Вычислить

Решение

Последовательно вычисляем:

Окончательно получаем:

Ответ:

Задача 2

1) Записать число

в
алгебраической форме;

2) изобразить его на
координатной плоскости;

3) записать число

в
тригонометрической и показательной формах;

4) вычислить

;

5) найти все корни
уравнения

Решение

1) Запишем число

в
алгебраической форме:

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

2) Изобразим число

на
координатной плоскости:

3) Запишем
число

в
тригонометрической и показательной формах

Модуль комплексного числа:

Вектор

лежит в 4-й четверти. Аргумент комплексного
числа:

Комплексное число в тригонометрической форме:

Комплексное число в показательной форме:

4) Возведем
комплексное число в заданную степень:

5) Найдем корни
уравнения

Получаем:

Тогда корни уравнения:

Задача 3

Даны три комплексных числа

1) выполните действия в
алгебраической, тригонометрической и показательной формах;

2) найдите расстояние
между точками

на
комплексной плоскости.

Решение

1) Запишем числа в тригонометрической форме:

Вектор

лежит в
2-й четверти

Число в показательной форме:

Число в тригонометрической форме:

Вектор

лежит в
4-й четверти

Число в показательной форме:

Число в тригонометрической форме:

Вектор

лежит в
3-й четверти

Число в показательной форме:

Число в тригонометрической форме:

Выполним действия в алгебраической форме:

Выполним действия в тригонометрической форме:

Выполним действия в
показательной форме:

2) Найдем расстояние между
точками

на
комплексной плоскости:

Источник

Содержание:

Хроника возникновения комплексных чисел:

Исследование.

1) Подтвердите примерами справедливость следующих высказываний. Если высказывание ложно, то сделайте так, чтобы оно стало истинным.

а) Если а и b — натуральные числа, то корень уравнения х + а = b также является натуральным числом.
б) Если а и b -целые числа, то корень уравнения ах = b также является целым числом
в) Если а неотрицательное рациональное число, то корень уравнения х₁ = а также является рациональным числом.
г) Если а неотрицательное действительное число, то корень уравнения х₂ = а также является действительным числом.

2) Существует ли действительное число квадрат которого равен -1?

а) Существуют ли действительные корни уравнения х₂ = а при
б) Можно ли решить эту задачу расширив множество действительных чисел?

4) Существует ли однозначное соответствие между множеством действительных чисел и множеством точек на числовой оси? А какие числа соответствуют точкам на координатной плоскости?

На множестве действительных чисел уравнение х₂ = -1 не имеет решений. Значит, мы должны расширить множество действительных чисел так, чтобы корни этого уравнения входили в него. Для этого введём новое число и примем, что оно является корнем уравнения х₂ + 1 = 0, т.е. . Отсюда . После этого, корнями уравнения х₂ + 1 = 0 являются числа . Число называется мнимой единицей.

Расширим множество действительных чисел так, чтобы в него входили все действительные числа и число , и были справедливы все свойства сложения и умножения. Для произвольных действительных чисел а и b введём «произведение» и «сумму» , и назовём комплексным числом следующее выражение . Выражение вида называется комплексным числом, где а и b — действительные числа, мнимая единица.Комплексные числа можно обозначать через и т.д.Например, . Запись называется алгебраической формой комплексного числа, а является действительной частью, b — мнимой частью комплексного числа , и записывается так: . При а = 0 получается число вида . Эти числа называются чисто мнимыми числами. При а = 0, b = 0 комплексное число равно нулю и наоборот, если а + = 0, то а = 0 и b = 0.

Следствие: для комплексных чисел а + и с + равенство

а + = с + справедливо тогда и только тогда, если а = с, b = d.

Пример. Из равенства найдите х и у.

Решение: Из равенства действительных и мнимых частей получаем: х = 5

Суммой комплексных чисел называется комплексное число

Действия над комплексными числами

Произведением комплексных чисел и называется число , т.е.

Значит, два комплексных числа умножаются по правилу умножения многочленов при условии, что .

Пример №1

Рассмотрим частные случаи степеней мнимых единиц:

Как видно, натуральные степени мнимой единицы равны , -1, —‘, 1 и повторяются через каждые четыре шага, т.е.справедливо равенство

Пример №2

Вычислите: а) б)

Решение: а) б)

Число называется сопряжённым для числа и обозначается как : . Ясно, что если число является сопряжённым для числа , то число является сопряжённым для числа . Поэтому, числа называются взаимно сопряжёнными комплексными числами. Действительные части взаимно сопряжённых чисел равны, а мнимые части являются противоположными числами.

Произведение взаимно сопряжённых комплексных чисел является действительным числом: .

В частном случае, сопряжённым для действительного числа является само число, для мнимого — произведение числа и (-1).

Для каждого комплексного числа существует противоположное число и . Для каждого, отличного от нуля, комплексного числа существует противоположное.

Вычитание и частное комплексных чисел определяется равенствами:

Для нахождения отношения комплексных чисел, удобнее числитель и знаменатель умножить на число, сопряжённое для знаменателя .

Пример №3

Найдём разность и отношение чисел .

Решение:

Все свойства арифметических операций для действительных чисел, справедливы для комплексных чисел. Как следствие, получаем, что любые алгебраические тождества справедливы для множества комплексных чисел. Например, для комплексных чисел и справедливы тождества

Квадратный корень комплексного числа

Число, квадрат которого равен называется квадратным корнем комплексного числа и обозначается как .

Пример №4

Найдём квадратный корень комплексного числа

Решение: Пусть . Возведём обе части равенства в квадрат:

Из равенства действительных и мнимых частей имеем:

Отсюда получаем решение (2; -1) и (-2; 1). Значит,

Примечание: В отличии от действительных чисел, говоря о квадратном корне комплексного числа, имеется в виду каждое из двух значений, различающихся знаками. Корни квадратного уравнения для множества комплексных чисел находится по тому же правилу, что и для действительных чисел.

Пример №5

Решим уравнение .

Решение:

Легко можно проверить, что также в силе остаётся и теорема Виета. Для квадратного уравнения с действительными коэффициентами комплексные корни являются сопряжёнными числами. Комплексное число задаётся парой действительных чисел (а; b) и эта пара соответствует определённым точкам на координатной плоскости. Поставим в соответствие числу точку А (а; b) и обозначим её через . Каждая точка на координатной плоскости изображает комплексное число и наоборот, каждое комплексное число на координатной плоскости, соответствует одной точке. Действительные числа располагаются на оси абсцисс, чисто мнимые числа на оси ординат. Поэтому ось абсцисс называется действительной осью, ось ординат — мнимой, а плоскость — комплексной плоскостью.

Пример:

Точки, соответствующие комплексно сопряжённым числам располагаются симметрично оси абсцисс.

Модуль и аргумент комплексного числа

Тригонометрическая форма комплексного числа

Пусть на комплексной плоскости комплексному числу соответствует точка М(а; b). Обозначим расстояние ОМ через R, угол между лучом ОМ и положительным направлением оси абсцисс через . Из по теореме Пифагора имеем:

Отсюда:

Расстояние, от начала координат до точки соответствующей комплексному числу, называется модулем комплексного числа и обозначается как: .

Угол, образованный конечной стороной угла поворота луча ОМ,

называется аргументом комплексного числа .

Из :

Модуль числа имеет единственное значение, а аргумент находится с точностью . То есть, если одно из значений аргумента равно , то другое будет иметь вид .

Для аргумента комплексного числа, обычно берётся угол принадлежащий промежутку [0; ).

Пример №6

Найдём модуль и аргумент комплексного числа

Решение: Из того, что следует,что

и принимая внимание, что угол расположен в I четверти,

получим:

Из формул , получаем:

Тогда

Для комплексного числа число называется тригонометрической формой комплексного числа.

В частном случае для модуля и аргумента числа имеем:

Пример №7

Запишем комплексное число

в тригонометрической форме.

Решение:

Так как угол принадлежит II четверги, то

Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме

Найдём произведение комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме .

Чтобы найти произведение комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, надо перемножить их модули и сложить их аргументы.

Пример:

Теперь найдём отношение

Модуль отношение равен отношению модулей делимого и делителя, а аргумент равен разности аргументов делимого и делителя.

Пример:

Возвести число в степень с натуральным показателем n можно умножив n раз число

Модуль степени комплексного числа с натуральным показателем равен степени модуля основания, а аргумент равен аргументу основания умноженному на показатель степени n.

Пример:

Формулу называют формулой Муавра. При помощи этой формулы можно найти синус и косинус n кратных углов через синус и косинус одинарных углов. Например, при n = 2 имеем:

Отсюда

Из равенства двух комплексных чисел имеем:

Аналогичным образом можно написать формулы для .

Корень n-ой степени комплексного числа

Найдём значение выражения .

Запишем в виде и найдём корень n — ой степени

виде .

Возведём каждую из двух сторон в n-ую степень:

Если два комплексных числа, заданных в тригонометрической форме равны, то их модули равны, а аргументы отличаются на .

Это значит,

Таким образом,

Отсюда при для первых значений полученного числа равны значениям, полученным при .

Обозначим корни — ой степени единицы через

Как видно, модули корней -ой степени равны 1, аргументы отличаются друг от друга в раз. То есть, эти числа расположены внутри единичной окружности, центр которой совпадает с началом координат, и соответствуют комплексным числам, являющимися вершинами правильного -угольника.

Корнем -ой степени комплексного числа называется такое число , что . Если , то для корня -ой степени существуют различных значений.

Запишем в виде

Для получим:

Из равенства двух комплексных чисел получим:

Значения при отличаются от первых значений на

Поэтому, должно соблюдаться следующее:

Формула корни n-ой степени комплексного числа

Если , то

Пример №8

Найдём все значения

Решение: пусть

Отсюда

При

Для чего нужны комплексные числа

Комплексные числа возникают в связи с задачей решения квадратных уравнений. Так, оставаясь в множестве действительных чисел, невозможно решить квадратное уравнение, дискриминант которого меньше нуля.

Комплексные числа необходимы в различных приложениях математики. В частности, теория функций комплексной переменной является действенным инструментом при использовании математических методов в различных областях науки.

Арифметические операции над комплексными числами

Комплексным числом называется выражение вида где — действительные числа, — мнимая единица.

Число называется действительной частью числа и обозначается (от франц. reele — «действительный»), а число — мнимой частью числа и обозначается (от франц. imaginaire — «мнимый»), т.е.

Действительное число является частным случаем комплексного при Комплексные числа вида не являющиеся действительными, т.е. при называются мнимыми, а при т.е. числа вида — чисто мнимыми.

Числа называются сопряженными.

Два комплексных числа называются равными, если равны их действительные и мнимые части, т.е. если В частности, если

Арифметические операции на множестве комплексных чисел определяются следующим образом.

1.Сложение (вычитание) комплексных чисел

2. Умножение комплексных чисел

В частности,

т.е. мнимая единица есть число, квадрат которого равен — 1.

3. Деление двух комплексных чисел

Нетрудно убедиться в том, что все арифметические операции (16.1)-(16.3) над комплексными числами определяются естественным образом из правил сложения и умножения многочленов если считать Например, произведение комплексных чисел (16.2) есть

Пример №9

Даны комплексные числа

Найти

Решение:

(учли, что ).

Умножая числитель и знаменатель на сопряженное делителю комплексное число , получим

Если для геометрического изображения действительных чисел используются точки числовой прямой, то для изображения комплексных чисел служат точки координатной плоскости

Плоскость называется комплексной, если каждому комплексному числу ставится в соответствие точка плоскости причем это соответствие взаимно однозначное (рис. 16.1).

Оси , на которых расположены действительные числа и чисто мнимые числа называются соответственно действительной и мнимой осями.

Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа

С каждой точкой комплексной плоскости связан радиус-вектор этой точки , длина которого называется модулем комплексного числа и обозначается (см. рис. 16.1):

Угол образованный радиусом-вектором с осью называется аргументом комплексного числа и обозначается Из значений выделяется главное значение удовлетворяющее условию Например,

Очевидно (см. рис. 16.1), что

Следовательно, комплексное число можно представить как

Представление комплексного числа в виде (16.6), где называется тригонометрической формой комплексного числа.

Сформулируем некоторые свойства арифметических операций над комплексными числами.

1. При сложении (вычитании) комплексных чисел их радиусы-векторы складываются (вычитаются) по правилу параллелограмма.

На рис. 16.2 показаны радиусы-векторы комплексных чиселих суммы и разности

2. Модуль произведения (частного) двух комплексных чисел равен произ ведению (частному) модулей этих чисел, а его аргумент — сумме (разности) аргументов этих чисел, т.е.

Геометрически умножение числа означает изменение длины радиуса-вектора раз и его поворот вокруг точки против часовой стрелки на угол

Пример №10

Комплексные числа представить в тригонометрической форме и найти

Решение:

По формуле (16.4) найдем модуль комплексного числа а из соотношений (16.5)

получим аргумент числа (берем его главное значение):

Аналогично т.е.

Теперь по формулам (16.7) и (16.8)

Так как в соответствии с формулами (16.7) и (16.8) при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются, легко получить формулу возведения комплексного числа в натуральную степень , известную как формула Муавра:

Пример №11

Найти

Решение:

По формуле Муавра (16.9)

Обратимся к извлечению корня из комплексного числа.

Пусть

Тогда, используя определение корня и формулу Муавра (16.9), получим

или

Отсюда следует, что

Итак,

где

При значения корня уже будут повторяться.

Таким образом, корень -й степени из комплексного числа (не равного нулю) имеет различных значений.

Пример №12

Найти

Решение:

В примере 16.2 было получено

откуда получаем три значения корня

На комплексной плоскости найденные значения корня представляют равноотстоящие друг от друга точки расположенные на окружности радиуса (рис. 16.3). ►

Связь между тригонометрическими и показательными функциями выражается формулой Эйлера.

Отсюда следует показательная форма комплексного числа.

где

В заключение отметим, что в показательной форме, так же как и в тригонометрической, легко проводить операции умножения, деления, возведения в степень, извлечение корня из комплексных чисел.

Формы записи комплексного числа

Решение простейшего квадратного уравнения невозможно в области вещественных чисел. Однако, если выполнить решение формально, то получим

Определение: Выражение называется мнимой единицей.

Определение: Комплексным числом называется выражение вида где х,у

Определение: Приведенная форма записи комплексного числа называется алгебраической.

Определение: Два комплексных числа называются равными, если равны их вещественные и мнимые части, т.е.

Определение: Комплексное число называется нулевым, если вещественная и мнимая части равны нулю.

Определение: Комплексно-сопряженным к комплексному числу называется комплексное число

Пример №13

Записать комплексно-сопряженное число к комплексному числу

Решение:

Согласно определению комплексно-сопряженного числа получаем

Замечание: Двойное комплексное сопряжение приводит к исходному комплекс- ному числу, т.е.

Решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом невозможно в области вещественных чисел, так как нельзя извлекать корень четной степени из отрицательного числа на множестве действительных чисел. Однако это ограничение снимается в области комплексных чисел.

Пример №14

Решить квадратное уравнение

Решение:

Вычислим дискриминант уравнения таким образом, Следовательно,

Замечание: Решение квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом всегда состоит из комплексно-сопряженных корней.

Комплексное число изобретается на комплексной плоскости в виде вектора, соединяющего начало координат с точкой М(х; у) (Рис. 2):

Рис. 2. Изображение комплексного числа на комплексной плоскости.

Пример №15

Изобразить на комплексной плоскости число z = 2-3i (Рис. 3).

Решение:

Рис. 3. Изображение комплексного на комплексной плоскости. Если перейти от декартовой системы координат к полярной системе отсчета, т.е. то комплексное число

Определение: Полученная форма записи комплексного числа называется тригонометрической.

Обратный переход от полярной системы отсчета к декартовой системе координат осуществляется по формулам:при этом является модулем, а — аргументом комплексного числа z .

Замечание: Аргумент комплексного числа определяется в зависимости от знаков вещественной и мнимой частей:

Действия с комплексными числами

1. Для того чтобы сложить (найти разность) два комплексных числа и сложить (найти разность) отдельно действительные и мнимые части,

Пример №16

Найти сумму и разность чисел Изобразить все числа на комплексной плоскости.

Решение:

Найдем сумму заданных комплексных чисел Вычислим разность данных чисел Изобразим заданные и полученные числа на комплексной плоскости (Рис. 4):

Рис. 4. Изображение комплексных чисел на комплексной плоскости.

Замечание: Отметим, что

2. Для того чтобы найти произведение двух комплексных чисел и надо их перемножить, как два выражения с учетом того, что

Замечание: Отметим, что

Замечание: Произведение комплексных чисел в тригонометрической форме записи имеет вид Из полученной формулы видно, что модули комплексных чисел перемножаются, а аргументы складываются. Следовательно, n-ая степень любого комплексного числа будет иметь вид При извлечении корня п -ой степени применяют формулу Муавра где величина

3. Деление комплексного числа на комплексное число осуществляется так

Замечание: Деление этих чисел в тригонометрической форме записи имеет вид: т.е. при делении комплексных чисел берут отношение модулей этих чисел, а из аргумента первого числа вычитают аргумент второго комплексного числа.

Показательная форма записи комплексного числа

Известно, что любую дифференцируемую функцию можно представить по формуле Тейлора-Маклорена (см. Лекцию № 22, Первый семестр), например,

Последняя формула называется формулой Эйлера. Используя эту формулу,

запишем комплексное число в показательной форме: Отсюда видно, что при нахождении произведения и отношения комплексных чисел получаем

Комплексные числа и арифметические операции

Как известно, под комплексным числом понимается выражение вида

где х и у — действительные числа, a i — мнимая единица.

Числа вида отождествляются с действительными числами; в частности, . Числа вида 0 + iy = iy называются чисто мнимыми.

Действительные числа х и у называются соответственно действительной и мнимой частями числа z и обозначаются следующим образом:

Под модулем комплексного числа z понимается неотрицательное число

Сопряженным числом к числу (1) называется комплексное число

Таким образом,

На множестве комплексных чисел следующим образом определено отношение равенства двух чисел, а также операции сложения, вычитания, умножения и деления.

I. Пусть z₁=x₁+iy₁ и z₂=x₂+iy₂.Тогда

Rez₁ = Re z₂, Im z₁ = Im z₂

В частности, z = 0 Re z = 0, Im z = 0.

II. z₁±z₂= (x₁± x₂) + i(y₁ ± y₂)-

Отсюда следует, что

Re (z₁ ± z₂) — Re z₁ ± Re z₂,

Im (z₁ ± z₂) — Imz₁ ± 1mz₂

III. z₁z₂ = (x₁x₂ — y₁y₂) + i(x₁y₂+x₂y₁).

Отсюда, в частности, получаем важное соотношение

==+=-1

Заметим, что правило умножения III получается формально путем умножения двучленов + и + с учетом (7).

Очевидно также, что для имеем

Легко проверить следующие свойства:

Заказать решение задач по высшей математике

Комплексная плоскость

Рассмотрим плоскость с прямоугольной системой координат Оху. Каждому комплексному числу z = х + iy может быть поставлена в соответствие точка плоскости z(x, у) (рис. 161), причем это соответствие взаимно однозначно. Плоскость, на которой реализовано такое соответствие, называют комплексной плоскостью, и вместо комплексных чисел говорят о точках комплексной плоскости.

На оси Ох расположены действительные числа: z =:, поэтому она называется действительной осью. На оси Оу расположены чисто мнимые числа z = 0 + iy = iy, она носит название мнимой оси.

Заметим, что г = |z| представляет собой расстояние точки г от начала координат.

С каждой точкой z связан радиус-вектор этой точки Oz; угол, образованный радиусом-вектором точки z с осью Ох, называется аргументом ф = Arg z этой точки. Здесь . Для нулевой точки z = 0 аргумент произволен. Наименьшее по модулю значение Arg z называется главным значением его и обозначается через arg z:

Для аргумента ср имеем (рис. 161)

где

Примеры: 1) arg 2 = 0; 2) arg (-1) = ; 3) arg i = .

Модуль г и аргумент ф комплексного числа z можно рассматривать (рис. 161) как полярные координаты точки z. Отсюда получаем

Таким образом, имеем тригонометрическую форму комплексного числа

где

Теорема: При сложении комплексных чисел их радиусы-векторы складываются (по правилу параллелограмма).

Действительно, если число соответствует точке с координатами , а число — точке с координатами то числу отвечает точка Так как (рис. 162) заштрихованные прямоугольные треугольники с катетами х₂ и у₂ равны между собой, то четырехугольник с вершинами 0, есть параллелограмм. Следовательно, радиус-вектор точки является суммой радиусов-векторов точек и .

Следствие. Так как есть длина вектора , то

Теорема: При вычитании комплексных чисел их радиусы-векторы вычитаются. Так как , то равен второй диагонали параллелограмма, построенного на векторах (рис. 163), т. е. равен разности радиусов-векторов точек .

Следствие. Расстояние между двумя точками равно

Теоремы о модуле и аргументе

Теорема: Модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей этих чисел, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей. Действительно, если

то имеем

Отсюда

где значения многозначной функции Arg, стоящие в левой и правой частях равенства (1), следует подбирать соответствующим образом. Это замечание надо иметь в виду и для дальнейшего.

Следствие. Модуль целой положительной степени комплексного числа равен такой же степени модуля этого числа, а аргумент степени равен аргументу числа, умноженному на показатель степени, т. е.

( — целое положительное число).

Доказательство непосредственно вытекает из рассмотрения произведения равных сомножителей.

Пример №17

Построить точку .

Решение:

Имеем

Следовательно, при умножении на i вектор поворачивается на прямой угол против хода часовой стрелки (рис. 164).

Теорема: Модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей этих чисел, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя. Пусть

Так как

то на основании теоремы 1 имеем

Отсюда

Извлечение корня из комплексного числа

Пусть

где . Тогда на основании имеем

Отсюда получаем

Таким образом,

Заметим, что здесь под понимается арифметическое значение корня.

Здесь в качестве числа k достаточно брать лишь значения , так как при всех прочих значениях k получаются повторения уже найденных значений корня. Следовательно, окончательно имеем

Из формулы (4) следует, что корень -й степени из любого комплексного числа =0 имеет точно л значений.

Пример №18

Найти

Решение:

Так как , то на основании формулы (4) имеем

Отсюда

Точки представляют собой равноотстоящие друг от друга точки, расположенные на окружности радиуса (рис. 165).

Понятие функции комплексной переменной

Пусть даны две комплексные плоскости Оху (плоскость г) и O’uv (плоскость w).

Определение: Если каждой точке z Е (Е — множество точек плоскости z) по некоторому закону f ставится в соответствие единственная точка w Е’ (Е’ — множество точек плоскости w), то говорят, что w есть функция от z (однозначная)

с областью определения Е, значения которой принадлежат множеству Е’ (рис. 166). Если множество значений функции f(z) исчерпывает все множество Е то Е’ называется множеством значений (областью изменения) функции f(z). В этом случае пишут

Множества Е и Е’ можно изображать на одной комплексной плоскости.

Таким образом, каждая комплексная функция реализует однозначное в одну сторону отображение одного множества на другое. Благодаря этому комплексные функции находят свое применение в таких науках, как гидродинамика и аэродинамика, так как с их помощью удобно описывать «историю» движения объема жидкости (или газа).

Раздел математики, изучающий свойства комплексных функций, носит название теории функций комплексной переменной.

Пример:

Во что переходит сектор Е

(рис. 167, а) при отображении

Решение:

Имеем

Поэтому отображенная область E’ представляет собой полукруг (рис. 167, б).

Определение комплексных чисел

Определение комплексного числа и основные функции комплексной переменной

Определение 7.1. Множеством комплексных чисел называется множество пар действительных чисел на котором введены операции сложения и умножения следующим образом. Если то Элементы множества называются комплексными числами. Два комплексных числа называются равными, если

Операции сложения и умножения на множестве обладают привычными свойствами (коммутативность сложения и умножения, ассоциативность сложения и умножения, дистрибутивность умножения относительно сложения).

Лемма 7.1. Для любых комплексных чисел выполняются равенства

□ Докажем, например, свойство 4 (свойство 5 доказывается аналогично, свойства 1, 2, 3 очевидны).

Пусть Тогда

Два последних комплексных числа совпадают. После раскрытия скобок оказывается, что оба они равны

■

Определение 7.2. Комплексное число отождествляется с действительным числом а.

Это определение оправдывается тем, что установлено взаимно однозначное соответствие между множеством пар и множеством действительных чисел, сохраняющее операции сложения и умножения:

Такое соответствие в высшей алгебре называется изоморфизмом.

Определение 7.3. Комплексное число (0,1) обозначается буквой

Легко видеть, что т.е.

Далее, так как то пару можно записать в виде В дальнейшем комплексное число так и будем записывать: где Определения операций при этом запишутся так:

Иными словами, комплексные числа можно складывать и умножать, пользуясь известными законами сложения и умножения (лемма 7.1), имея в виду, что

Определение 7.4. Разностью двух комплексных чисел и называется такое комплексное число что (обозначается ). Частным двух комплексных чисел () называется такое комплексное число z, что (обозначается ).

Проверим, что эти операции однозначно определены.

□ Пусть Для разности имеем: откуда Тогда Разность двух комплексных чисел определяется однозначно: т.е. вычитание можно осуществлять непосредственно.

Для частного имеем: откуда Так как то определитель этой системы решая систему по правилу Крамера, получим: Частное двух комплексных чисел определено однозначно:

Такое деление можно осуществлять непосредственно:

Комплексное число называется сопряжённым к числу Мы воспользовались тем, что Произведённые действия аналогичны домножению числителя и знаменателя дроби со знаменателем вида где на число сопряжённое к знаменателю (такие действия применяются для избавления от иррациональности в знаменателе).

Определение 7.5. Пусть где Тогда числа называются соответственно действительной и мнимой частью числа (). Комплексное число называется числом, сопряжённым к Действительное неотрицательное число называется модулем числа

Лемма 7.2. Для любых комплексных чисел имеют место следующие соотношения:

Доказать эти утверждения будет предложено самостоятельно в качестве упражнения.

Множество комплексных чисел геометрически интерпретируется как множество точек плоскости (комплексная плоскость ). Если координаты точек заданы в прямоугольной системе координат 0, (кратчайший поворот от осуществляется против часовой стрелки), то комплексное число соответствует точке с координатами Такое соответствие является взаимно однозначным. Точка симметрична точке относительно оси абсцисс, которая называется действительной осью, ось ординат называется мнимой осью. Расстояние от точки до начала координат равно (см. рис. 7.1).

Аргументом числа называется угол поворота от положительного луча действительной оси к лучу (против часовой стрелки). Этот угол определён с точностью до и обозначается Аргумент нулевого комплексного числа не определён. Фактически мы ввели полярные координаты на комплексной плоскости: При этом и комплексное число можно записать в тригонометрической форме:

Пример:

Записать в тригонометрической форме числа

□ 1)

При записи комплексного числа в тригонометрической форме обычно берут одно фиксированное («наиболее простое») значение аргумента. Возьмём Тогда

2) Тогда ().

Комплексные числа, записанные в тригонометрической форме, удобно умножать и делить. При умножении модули чисел перемножаются, аргументы складываются. При делении модули делятся, аргументы вычитаются.

Лемма 7.3. Пусть Тогда

Если
откуда следует, что

Степень с целым показателем для комплексных чисел определяется так же, как и для действительных. Поэтому мы можем сформулировать

Следствие (формула Муавра). Если то при любом целом имеет место равенство

Иными словами, при возведении комплексного числа в целую степень модуль числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Пример:

Применяя формулу Муавра, получить известные формулы тригонометрии для

□ Имеем: Возводя двучлен в куб, получим: (мы воспользовались тем, что ). Приравнивая действительные и мнимые части двух равных выражений, имеем

Определение 7.6. Пусть — натуральное число, Корнем степени из комплексного числа называется комплексное число такое, что (обозначение: ).

Лемма 7.4. Если принимает единственное значение 0 при любом Если то принимает ровно комплексных значений, имеющих одинаковый модуль различных значений аргумента

□ Правая часть леммы очевидна, так как и если
Пусть теперь Комплексные числа, записанные в тригонометрической форме, равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а аргументы отличаются на (пока значение стояло только под знаком косинуса и синуса, неоднозначность определения можно было не учитывать, если сравнивать сами углы — эту неоднозначность учитывать необходимо). Итак, откуда (арифметический корень степени из положительного числа),

При замене получим тот же угол, увеличенный на поэтому существенно различные значения дают лишь значений далее значения корня повторяются).

Замечание. значений на комплексной плоскости соответствуют точкам, лежащим в вершинах правильного -угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат.

Пример №19

Найти все значения

□ 1) поэтому Получим 3 значения: (см. рис. 7.2).

Первое из них — арифметическое значение кубического корня из положительного числа 8.

2) поэтому

Получим 4 значения:

(см. рис. 7.3). здесь — арифметическое значение корня 4-й степени из положительного числа 5.

3) , поэтому

Получим 3 значения:

(см. рис. 7.4). ■

Определение 7.7. Пусть Тогда определяется как комплексное число

Если (при получаем обычное действительное значение ). Отмстим, что при любых

Лемма 7.5. Для любых имеют место равенства

□ Пусть Тогда

Далее, так как откуда следует второе утверждение леммы.

Пример №20

Вычислить

□ Имеем:

Так как при всех выполняются равенства
, то функция комплексной переменной имеет мнимый период Привычной взаимной однозначности отображения при помощи функции уже нет.

Определение 7.8. Логарифмом комплексного числа называется комплексное число такое, что (обозначение: ).

Лемма 7.6. Если не определен. Если принимает бесконечно много значений, имеющих одинаковую действительную часть (обычный натуральный логарифм положительного числа) и бесконечное число значений мнимой части

□ Первая часть леммы следует из того, что при любых Пусть теперь Тогда (откуда ),

Таким образом, множество значений функции есть вся комплексная плоскость, кроме точки 0.

Пример №21

Найти все значения

Определение 7.9. Для любых определим так:

Если

Поэтому

Аналогично,

Отметим также, что все известные формулы тригонометрии сохраняются для комплексных значений аргументов (при этом ). Например, для всех

Так как

Легко видеть, что Косинус на действительной оси соответствует гиперболическому косинусу на мнимой оси и наоборот: аналогично для синусов. Поэтому формально все операции для тригонометрических и гиперболических функций проводятся одинаково с точностью до некоторых степеней числа (если работать только с действительными числами, то всё будет происходить одинаково с точностью до степеней числа —1). Этим и объясняется сходство формул тригонометрии с соответствующими формулами для гиперболических функций, включая формулы для производных и разложения по формуле Тейлора.

Комплекснозначные функции действительной переменной

Рассмотрим функцию такую, что Тогда при всех можно рассмотреть

Так как можно интерпретировать как плоскость , то комплекснозначная функция действительной переменной фактически есть двумерная вектор-функция, значения которой записываются как комплексные числа.

Определение 7.10. Комплекснозначная функция действительной переменной называется непрерывной (дифференцируемой, непрерывно дифференцируемой, дважды дифференцируемой и т.д.) в точке или на промежутке, если таковыми же являются обе функции Для дифференцируемой функции по определению

Для комплекснозначных функций сохраняются формулы производной суммы, произведения и частного.

Лемма 7.7. Если комплекснозначные функции действительной переменной дифференцируемы в точке то функции также дифференцируемы в этой точке, причем

в точке (в последнем случае нужно требовать, чтобы

□ Докажем лемму для случая производной произведения. Утверждение для производной суммы доказывается проще, а для производной частного — несколько сложнее, но, по сути дела, аналогично.

Пусть функции дифференцируемы в точке Тогда

Функция дифференцируема в точке так как существуют и конечны все производные в последнем выражении. Далее,

Легко видеть, что это выражение совпадает с

Пример №22

Доказать, что при любом имеет место равенство

т.е. привычная для действительных формула сохраняется и при комплексных

□ Пусть

Тогда

С другой стороны,

что совпадает с

Отметим, что производная комплекснозначной функции берётся по действительной переменной. Принципиально иная ситуация возникает при рассмотрении комплекснозначных функций комплексной переменной и при дифференцировании их по комплексной переменной. Здесь имеют место совершенно неожиданные эффекты (например, если функция дифференцируема в окрестности точки, то она имеет производные всех порядков в этой окрестности), которые студенты обычно изучают на III курсе (курс ТФКП — теория функций комплексной переменной).

Многочлены

Функция комплексной переменной

где называется многочленом степени от переменной Многочлен степени 0 — это постоянная функция где Нулевому многочлену не приписывается никакая степень (иногда удобно считать, что его степень равна ). Если все , то говорят о многочлене с действительными коэффициентами ( или по смыслу задачи). Если все то говорят о многочлене с комплексными коэффициентами

Если — многочлен степени то многочлен можно разделить с остатком на

где

Теорема 7.1 (Безу). Остаток от деления многочлена на двучлен равен

□ Из (7.1) имеем при

Следствие. Многочлен делится без остатка на тогда и только тогда, когда число является корнем многочлена

□ Утверждение немедленно следует из теоремы Безу.

Таким образом, число является корнем многочлена тогда и только тогда, когда где степень многочлена на единицу меньше степени Р.

Теорема 7.2 (основная теорема алгебры). Любой многочлен степени с комплексными коэффициентами имеет комплексный корень.

В настоящее время мы не располагаем математическим аппаратом для доказательства этой теоремы, поэтому примем её без доказательства. Доказана она будет очень просто в курсе ТФКП (и даже двумя способами — как простое следствие из теоремы Лиувилля или теоремы Руше).

Теорема 7.3. Многочлен с комплексными коэффициентами

раскладывается в произведение линейных множителей

где (среди чисел возможно, есть равные).

□ По основной теореме алгебры где — многочлен степени Применяя такую же процедуру к получим: — многочлен степени и т.д. В конце концов дойдём до многочлена степени 0.

где (комплексная постоянная). Здесь — комплексные числа, среди которых могут быть равные.

Если раскрыть скобки в правой части (7.2), то коэффициент при будет равен С, т.е.

Определение 7.11. Комплексное число называется корнем кратности многочлена степени если — многочлен такой, что При корень называется простым, при — кратным.

Если , то число не является корнем многочлена

В общем случае, учитывая кратность корней, многочлен степени раскладывается на линейные множители:

где все комплексные числа различны, корень имеет кратность , при этом степень многочлена равна

Лемма 7.8. Пусть (многочлен, сопряжённый к P). Число является корнем многочлена Р кратности тогда и только тогда, когда число а является корнем многочлена той же кратности

□ Так как то утверждение достаточно доказать лишь в одну сторону. Пусть Тогда

Так как — любое комплексное число, то в последней записи можно заменить Получим

Это и означает, что — корень многочлена кратности

Следствие. Если — многочлен с действительными коэффициентами, то числа одновременно являются его корнями, причем кратности их совпадают (т.е. недействительные корни появляются «парочками» — взаимно сопряжённые корни одинаковой кратности).

□ Это очевидно из леммы 7.8, так как — один и тот же многочлен.

Теорема 7.4. Многочлен степени с действительными коэффициентами раскладывается в произведение линейных и неприводимых квадратичных множителей:

□ По теореме 7.3 и лемме 7.8

где — действительные корни многочлена кратностей соответственно, a — оставшиеся корни ( имеют одинаковую кратность ). Очевидно, что степень многочлена равна т.е. эта сумма равна

Пусть Тогда

Получили квадратный трёхчлен с действительными коэффициентами который имеет отрицательный дискриминант Остаётся символически заменить подчёркивая этим, что нас интересуют лишь действительные значения и мы получим нужное равенство.

Теорема 7.4 является примером утверждения, в формулировке которого отсутствуют комплексные числа (чисто действительное утверждение), а естественное доказательство его получается с выходом во множество комплексных чисел. Таких утверждений можно встретить немало в различных математических курсах и прикладных науках.

Кстати, квадратный трехчлен с комплексными коэффициентами имеет такой же вид разложения на линейные множители, как и квадратный трёхчлен с действительными корнями в элементарной алгебре:

Корни — комплексные, и они обязательно существуют. Роль дискриминанта сводится только к определению того, различны ли корни или они совпадают (т.е. квадратный трёхчлен имеет один корень кратности 2). Если то квадратный трёхчлен имеет два различных простых корня, если — один корень кратности 2. В самом деле, решая квадратное уравнение методом выделения полного квадрата, получим, как и в элементарной алгебре:

Если и уравнение имеет один корень кратности 2 Если то (писать ± не имеет смысла, так как и под понимаются оба значения квадратного корня из ненулевого комплексного числа). Окончательно получим привычную формулу корней квадратного уравнения:

Пример №23

Решить уравнение

□ Найдём оба значения Пусть Тогда Решая эту систему, получим: Полученное биквадратное уравнение решается при помощи замены Квадратное уравнение имеет корни Так как Получили два значения квадратного корня: Тогда корни данного уравнения равны

Пример №24

Найти все значения решая уравнение

□ Левая часть раскладывается на множители:

Поэтому один из корней равен 2. Квадратный трёхчлен не имеет действительных корней поэтому имеет всего одно действительное значение 2. Найдём оставшиеся два комплексно-сопряжённых значения. Решаем квадратное уравнение по формуле чётного коэффициента:

Во множестве комплексных чисел имеет два значения поэтому имеет 3 комплексных значения: (такой же результат был получен в примере 7.3 другим способом). ■

Разложение правильной дроби в сумму простейших дробей

Мы будем рассматривать действительные дробно-рациональные функции — многочлены степеней соответственно где Дробь называется правильной, если и неправильной, если

Лемма 7.9. Если правильная дробь и —действительный корень многочлена кратности то

где — многочлен, для которого является корнем кратности a — такой многочлен, что дробь является правильной.

□ Так как — корень кратности то где — многочлен такой, что Рассмотрим число и многочлен (это многочлен, так как и числитель делится нацело на ).

Так как степень G меньше степени Q и степень Р меньше степени Q, то степень числителя последней дроби меньше степени Q; значит, степень меньше степени т.е. дробь правильная. Далее, откуда

Утверждение леммы, очевидно, сохраняется, если все числа и многочлены считать комплексными.

Лемма 7.10. Пусть — неприводимый квадратный трёхчлен, входящий в разложение многочлена на множители в степени Тогда правильная дробь представляется в виде

где — многочлен, в разложение которого входит в степени — такой многочлен, что дробь является правильной.

□ Пусть где и комплексно-сопряжённые корни квадратного трёхчлена — действительный многочлен такой, что Рассмотрим действительные числа А и В такие, что

Такие числа А и В определены единственным образом, так как если то равенство (7.3) перепишется так:

и числа А, В находятся из системы очевидно, имеющей единственное решение. Из (7.3) следует также, что так как — многочлены с действительными коэффициентами.

Рассмотрим многочлен (это — многочлен, так как значит, числитель делится нацело на и на следовательно, делится на ). Пусть степень Q равна Так как степень G не превосходит то степень многочлена не превосходит т.е. меньше степени Q. Степень Р также меньше степени Q, поэтому степень числителя последней дроби меньше степени Q.

Значит, степень меньше, чем , т.е. меньше степени и дробь правильная. Далее,

откуда

Последовательно выделяя из многочлена линейные, а затем неприводимые квадратичные множители, и применяя соответственно леммы 7.9 и 7.10, получим разложение в сумму правильных дробей вида

(здесь

— как разложение многочлена в теореме 7.4).

Все слагаемые последней суммы называются простейшими дробями. Все коэффициенты, обозначенные символом , являются действительными числами (вообще говоря, различными). Всего их штук. Можно доказать, что они определены единственным образом. Процесс выделения слагаемых по леммам 7.9 и 7.10 прекратится, когда в знаменателе останется ровно один множитель вида Но такая правильная дробь сама будет простейшей. Таким образом, доказана

Теорема 7.5. Любая правильная рациональная дробь с действительными коэффициентами раскладывается в сумму простейших дробей.

Пример №25

Разложить в сумму простейших дробей:

а) Приводя к общему знаменателю, имеем: При получим при получим Окончательно имеем:

б) Приводя в общему знаменателю, имеем:
При получим Приравнивая коэффициенты при получим т.е. Приравнивая свободные члены, получим откуда Окончательно имеем

в)

Приводя к общему знаменателю, имеем: Приравнивая коэффициенты при получим: откуда Окончательно имеем

Вычисление комплексного числа

Определение 1.1. Многочленом (полиномом) степени n с действительными коэффициентами называется любое выражение вида

где
х – переменная.

Корнем многочлена (1.1) называется любое число такое, что

Нетрудно заметить, что некоторые многочлены вообще не имеют
действительных корней, например:

Расширим множество действительных чисел. Добавим к этому
множеству символ i , такой что ( i называется мнимой единицей).
Тогда ±i – два корня уравнения

Определение 1.2. Множеством комплексных чисел называется множество

Суммой двух комплексных чисел называется число
.
Произведением двух комплексных чисел называется число

Для числа z= a +bi число а называется действительной частью,
число b – мнимой частью. Обозначения:

Относительно операций «+» и « · » комплексные числа С обладают
такими же свойствами, как и действительные числа. Эти операции
коммутативны и ассоциативны; для них существуют обратные операции:
вычитание и деление (кроме деления на 0).

Пример №26

Найти

Решение:

Теорема 1.1 (основная теорема алгебры). Любое уравнение вида (1.2)
имеет решение во множестве С.

Пример №27

Решить уравнение

Решение:

Определение 1.3. Для комплексного числа z =a +bi число z =a -bi называется комплексно-сопряженным, число называется модулем z.

Если рассмотреть плоскость с декартовой системой координат ( O,x,y ) и на оси Ох отложить а – действительную часть z, а на оси Oy – b – мнимую часть z, то получим взаимно однозначное соответствие между множеством С всех
комплексных чисел и множеством точек плоскости.

Такая плоскость называется комплексной плоскостью, рис. 1.1.

При этом – длина радиуса-вектора точки z.

Определение 1.4. Аргументом комплексного числа z =a +bi называется
угол , который образует радиус-вектор точки z с положительным
направлением оси Ох Аргумент будем обозначать Argz . Аргумент
определен с точностью до 2 πn. При этом значение называется
главным и обозначается argz.

Замечание.

При этом

Если – аргумент z, то z представляется в виде

тригонометрическая форма комплексного числа.

Теорема 1.2. Пусть

Доказательство

Из формул (1.5) следует, в частности, что – формула Муавра. (1.6)

Пример №28

Представить числа в тригонометрической форме.

Решение:

поэтому по формуле (1.3)

Тогда по формуле (1.4)

поэтому по формуле (1.3)

Тогда

Из формул (1.5), (1.6) видно, что аргумент комплексного числа z при
умножении, делении, возведении в степень ведет себя как показатель
степени. Обозначим – формула Эйлера. (1.7)

Тогда из теоремы 1.2 следует, что

Учитывая (1.7), формулу (1.4) для z можно переписать в виде показательная форма комплексного числа.

Пример №29

Вычислить

Решение:

Согласно примеру 1.3

Поэтому

Определение 1.5. Корнем n-й степени из числа z C называется такое
число , что , при этом обозначается . Таким образом

Из формулы (1.8) видно что корней n-й степени из числа z, при этом,
если , то

Пример №30

Найти

Решение:

Координаты на прямой
Координаты на плоскости
Линейная функция
Квадратичная функция
Степенные ряды
Элементы матричного анализа
Уравнение линии
Функции нескольких переменных

Источник

Комплексные числа в тригонометрической
и показательной формах

Тригонометрическая форма комплексного числа

Каждому комплексному числу z=x+iy геометрически соответствует точка M(x,y) на плоскости Oxy . Но положение точки на плоскости, кроме декартовых координат (x,y) , можно зафиксировать другой парой — ее полярных координат (r,varphi) в полярной системе (рис. 1.3,a).

Величина является неотрицательной и для данной точки определяется единственным образом, а угол varphi может принимать бесчисленное множество значений (при этом zne0 ): если точке соответствует некоторое значение varphi_0 , то ей также соответствуют значения varphi=varphi_0+2kpi,~ k=0,pm1,pm2,ldots . Например, если для точки z=-1-i (см. рис. 1.1) выбрать $varphi_0=frac{5pi}{4}$ , то ей соответствует любое $varphi=frac{5pi}{4}+2kpi,~ k=0,pm1,ldots$ , в частности $varphi=-frac{3pi}{4}$ при k=-1 . Если же выбрать $varphi_0=-frac{3pi}{4}$ , то $varphi=-frac{3pi}{4}+2kpi,~ k=0,pm1,ldots$ , а при k=1 получаем $varphi=frac{5pi}{4}$ .

Положение точки на плоскости в полярных координатах

Используя связь декартовых и полярных координат точки $Mcolon begin{cases} x=rcosvarphi,\ y=rsinvarphiend{cases}$ (рис. 1.3,б), из алгебраической формы записи комплексного числа z=x+iy получаем тригонометрическую форму:

z=r bigl(cosvarphi+isinvarphibigr).

(1.3)

Показательная форма комплексного числа

Если обозначить комплексное число , у которого operatorname{Re}z= cosvarphi , а operatorname{Im}z=sinvarphi , через $e^{i,varphi}$ , то есть $cosvarphi+isinvarphi=e^{i,varphi}$ , то из (1.3) получим показательную форму записи комплексного числа:

$z=r,e^{i,varphi}.$

(1.4)

Равенство $e^{i,varphi}= cosvarphi+isinvarphi$ называется формулой Эйлера.

Заметим, что геометрически задание комплексного числа z=(r,varphi) равносильно заданию вектора overrightarrow{OM} , длина которого равна , то есть bigl|overrightarrow{OM}bigr|=r , а направление — под углом varphi к оси (рис. 1.3,б).

Модуль комплексного числа

Число — длина радиуса-вектора точки M(x,y) называется модулем комплексного числа z=x+iy . Обозначение: |z|=r .

Из рис. 1.3,б получаем формулу для нахождения модуля числа, заданного и алгебраической форме z=x+iycolon

$|z|=sqrt{x^2+y^2},.$

(1.5)

Геометрический смысл модуля комплексного числа

Очевидно, что |z|geqslant0 и |z|=0 только для числа z=0~(x=0,,y=0) .

С помощью правила вычитания запишем модуль числа z=z_1-z_2 , где z_1=x_1+iy_1 и z_2=x_2+iy_2,colon

$bigl|z_1-z_2bigr|= sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2},.$

А это, как известно, есть формула для расстояния между точками M_1(x_1,y_1) и M_2(x_2,y_2) .

Таким образом, число |z_1-z_2| есть расстояние между точками z_1 и z_2 на комплексной плоскости.

Пример 1.13. Найти модули комплексных чисел:

$bold{1)}~z_1=2,~z_2=-2+sqrt{3},;qquad bold{2)}~z_3=-2i,~ z_4=(2-sqrt{3})i,;qquad bold{3)}~ z_5=-1+2i,.$

Решение

Аргумент комплексного числа

Полярный угол varphi точки M(x,y) называется аргументом комплексного числа z=x+iy . Обозначение: varphi=arg z .

В дальнейшем, если нет специальных оговорок, под arg z будем понимать значение varphi , удовлетворяющее условию -pi<varphileqslantpi . Так, для точки z=-1-i (см. рис. 1.1) $arg z=-frac{3pi}{4}$ .

Формулу для нахождения аргумента комплексного числа z=x+iy , заданного в алгебраической форме, получаем, используя связь декартовых и полярных координат точки M(x,y) (см. рис. 1.3,б). Для точек, не лежащих на мнимой оси, т.е. для , у которых xne0 , получаем $operatorname{tg}varphi= frac{y}{x}$ ; для точек мнимой положительной полуоси, т.е. для , у которых x=0,~ y>0 , имеем $varphi=frac{pi}{2}$ ; для точек мнимой отрицательной полуоси, т.е. для , у которых x=0,~ y<0 , соответственно $varphi=-frac{pi}{2}$ .

Аргумент числа z=0 — величина неопределенная.

Нахождение аргумента при xne0 сводится к решению тригонометрического уравнения $operatorname{tg}varphi= frac{y}{x}$ . При y=0 , т.е. когда z=x — число действительное, имеем varphi=0 при x>0 и varphi=pi при x<0 . При yne0 решение уравнения зависит от четверти плоскости Oxy . Четверть, в которое расположена точка , определяется по знакам operatorname{Re}z и operatorname{Im}z . В результате получаем:

Аргумент комплексного числа

$arg z= begin{cases}operatorname{arctg}dfrac{y}{x},& x>0;\ pi+operatorname{arctg}dfrac{y}{x},& x<0,ygeqslant0;\ -pi+operatorname{arctg}dfrac{y}{x},& x<0,y<0;\ dfrac{pi}{2},& x=0,~y>0;\ -dfrac{pi}{2},& x=0,~y<0.end{cases}$

(1.6)

При решении примеров удобно пользоваться схемой, которая изображена на рис. 1.5.

Пример 1.14. Найти аргументы чисел из примера 1.13.

Решение

Пример 1.15. Найти модуль и аргумент числа z=2-i .

Решение. Находим $|z|=sqrt{2^2+(-1)^2}= sqrt{5}$ . Так как operatorname{Re}z=2>0,~ operatorname{Im}z=-1<0 , т.е. точка расположена в четвертой четверти, то из равенства $operatorname{tg}varphi=-frac{1}{2}$ получаем $varphi= operatorname{arctg}!left(-frac{1}{2}right)$ (рис. 1.5).

Главное значение аргумента комплексного числа

Аргумент комплексного числа определяется неоднозначно. Это следует из неоднозначности задания величины угла varphi для данной точки, а также из тригонометрической формы записи комплексного числа и свойства периодичности функций sinvarphi и cosvarphi .

Всякий угол, отличающийся от arg z на слагаемое, кратное 2pi , обозначается operatorname{Arg}z и записывается равенством:

operatorname{Arg}z=arg z+2kpi,quad k=0,pm1,pm2,ldots,

(1.7)

где arg z — главное значение аргумента, -pi<arg zleqslantpi .

Комплексные числа с нулевыми вещественными и мнимыми частями

Пример 1.16. Записать arg z и operatorname{Arg}z для чисел z_1=1,~ z_2=-1,~ z_3=i,~ z_4=-i .

Решение. Числа z_1 и z_2 — действительные, расположены на действительной оси (рис. 1.6), поэтому

$arg z_1=0,~~ operatorname{Arg}z_1=2kpi;qquad arg z_2=pi,~~ operatorname{Arg}z_2= pi+2kpi,quad k=0,pm1,pm2,ldots;$

числа z_3 и z_4 — чисто мнимые, расположены на мнимой оси (рис. 1.6), поэтому

$arg z_3=frac{pi}{2},~~ operatorname{Arg}z_3=frac{pi}{2}+2kpi;qquad arg z_4=-frac{pi}{2},~~ operatorname{Arg}z_4= -frac{pi}{2}+2kpi,quad k=0,pm1, pm2,ldots$

Пример 1.17. Записать комплексные числа из примера 1.16:

а) в тригонометрической форме;

б) в показательной форме.

Решение

Модули всех чисел, очевидно, равны 1. Поэтому, используя решение предыдущего примера и формулы (1.3) и (1.4), получаем:

а) 1=cos2kpi+ isin2kpi;~~ -1=cos(pi+2kpi)+ isin(pi+2kpi);~~ k=0,pm1,pm2,ldots

$i=cos!left(frac{pi}{2}+2kpiright)+ isin!left(frac{pi}{2}+2kpiright);quad -i=cos!left(-frac{pi}{2}+2kpiright)+ isin!left(-frac{pi}{2}+2kpiright);$

б) $1=e^{2kpi i};~~ -1=e^{(pi+2kpi)i};~~ i=e^{left(frac{pi}{2}+2kpiright)i};~~ -i=e^{left(-frac{pi}{2}+2kpiright)i},~~ k=0,pm1,pm2,ldots$ .

Пример 1.18. Записать в тригонометрической форме числа $z_1=-1-i,~ z_2=cosfrac{pi}{5}-isinfrac{pi}{5},~ z_3= ileft(cosfrac{pi}{5}-isinfrac{pi}{5}right)$ .

Решение

Числа z_1 и z_2 записаны в алгебраической форме (заметим, что заданная запись числа z_2 не является тригонометрической формой записи (сравните с (1.3)). Находим модули чисел по формуле (1.5):

$|z_1|= sqrt{(-1)^2+(-1)^2}= sqrt{2},,qquad |z_2|=sqrt{cos^2 frac{pi}{5}+ left(-sin frac{pi}{5}right)^2}=1.$

Далее находим аргументы. Для числа z_1 имеем operatorname{tg}varphi=1 и, так как $operatorname{Re}z_1<0,~ operatorname{Im}z_1<0$ (точка расположена в третьей четверти), получаем $arg z_1=-pi+frac{pi}{4}=-frac{3pi}{4}$ (см. рис. 1.5). Для числа z_2 имеем $operatorname{tg}varphi=-operatorname{tg}frac{pi}{5}$ , или $operatorname{tg}varphi= operatorname{tg}left(-frac{pi}{5}right)$ , и, так как $operatorname{Re}z_2>0,~ operatorname{Im}z_2<0$ (точка расположена в четвертой четверти (см. рис. 1.5)), получаем $arg z_2=-frac{pi}{5}$ .

Записываем числа z_1 и z_2 в тригонометрической форме

$begin{gathered}z_1= sqrt{2} left[cosleft(-frac{3pi}{4}+2kpiright)+ isinleft(-frac{3pi}{4}+2kpiright)right];\[5pt] z_2= cosleft(-frac{pi}{5}+2kpiright)+ isinleft(-frac{pi}{5}+ 2kpiright)!,quad k=0,pm1,pm2,ldots end{gathered}$

Заметим, что для числа z_2 решение можно найти иначе, а именно используя свойства тригонометрических функций: cosalpha=cos(-alpha),~ -sinalpha=sin(-alpha) .

Число z_3 является произведением двух чисел. Выполнив умножение, получим алгебраическую форму записи (найдем $operatorname{Re}z_3$ и $operatorname{Im}z_3$ ): $z_3=sin frac{pi}{5}+ icos frac{pi}{5}$ . Здесь, как и для числа z_2 , при решении удобно использовать преобразования тригонометрических выражений, а именно $sinfrac{pi}{5}= cos!left(frac{pi}{2}-frac{pi}{5}right)!,~ cosfrac{pi}{5}= sin!left(frac{pi}{2}-frac{pi}{5}right)$ .

Рассуждая, как выше, найдем $|z_3|=1,~ arg z_3=frac{pi}{2}-frac{pi}{5}= frac{3pi}{10}$ . Для числа $z_3=sin frac{pi}{5}+ icos frac{pi}{5}$ , записанного в алгебраической форме, получаем тригонометрическую форму:

$z_3= cos!left(frac{3pi}{10}+2kpiright)+ isin!left(frac{3pi}{10}+2kpiright)!,quad k=0,pm1,pm2,ldots$

Равенство комплексных чисел в тригонометрической форме

Условия равенства комплексных чисел получаем, используя геометрический смысл модуля и аргумента комплексного числа, заданного в тригонометрической форме. Так, для чисел z_1=r_1(cosvarphi_1+ isinvarphi_1), z_2=r_2(cosvarphi_2+ isinvarphi_2), из условия z_1=z_2 . очевидно, следует:

r_1=r_2;qquad varphi_1-varphi_2=2kpi,quad k=0,pm1,pm2,ldots

или

$|z_1|=|z_2|,quad operatorname{Arg}z_1-operatorname{Arg}z_2= 2kpi,quad k=0,pm1,pm2,ldots$

(1.8)

Аргументы равных комплексных чисел либо равны (в частности равны главные значения), либо отличаются на слагаемое, кратное 2pi .

Для пары сопряженных комплексных чисел и overline{z} справедливы следующие равенства:

|overline{z}|= |z|,qquad argoverline{z}=-arg z,.

(1.9)

Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме

Зададим два комплексных числа в тригонометрической форме z_1=r_1(cosvarphi_1+ isinvarphi_1) и z_2=r_2(cosvarphi_2+isinvarphi_2) и перемножим их по правилу умножения двучленов:

$begin{aligned}z_1cdot z_2&= r_1cdot r_2cdot (cosvarphi_1+ isinvarphi_1)cdot (cosvarphi_2+isinvarphi_2)=\ &= r_1cdot r_2 bigl(cosvarphi_1cosvarphi_2- sinvarphi_1 sinvarphi_2+ i(cosvarphi_1 sinvarphi_2+ sinvarphi_1 cosvarphi_2)bigr) end{aligned}$

или

z_1cdot z_2= r_1cdot r_2cdot bigl(cos(varphi_1+varphi_2)+ isin(varphi_1+ varphi_2)bigr).

Получили новое число , записанное в тригонометрической форме: z=r(cosvarphi+ isinvarphi) , для которого r=r_1cdot r_2,~ varphi= varphi_1+ varphi_2 .

Правило умножения. При умножении комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули перемножаются, а аргументы складываются:

$|z_1cdot z_2|= |z_1|cdot |z_2|,qquad operatorname{Arg}(z_1cdot z_2)= arg z_1+arg z_2.$

(1.10)

В результате умножения чисел может получиться аргумент произведения, не являющийся главным значением.

Пример 1.19. Найти модули и аргументы чисел:

$bold{1)}~ z=-2i left(cosfrac{4pi}{7}- isinfrac{4pi}{7}right)!;qquad bold{2)}~ z=(1+i)(sqrt{3}-i).$

Решение

Каждое из заданных чисел записано в виде произведения. Найдем модули и аргументы сомножителей и воспользуемся правилом (1.10) умножения чисел, заданных в тригонометрической форме:

$bold{1)}quad z=z_1cdot z_2,quad z_1=-2i,quad z_2= cosfrac{4pi}{7}- isinfrac{4pi}{7}= cos!left(-frac{4pi}{7}right)+ isin!left(-frac{4pi}{7}right),.$

Для чисел z_1 и z_2 находим модули и аргументы: $|z_1|=2,~ arg z_1=-frac{pi}{2};~ |z_2|=1,~ arg z_2=-frac{4pi}{7}$ . Используя формулы (1.10), получаем

$|z|=|z_1|cdot|z_2|=2,quad operatorname{Arg}z= arg z_1+arg z_2= -frac{pi}{2}-frac{4pi}{7};quad arg z= 2pi- frac{15pi}{14}= frac{13pi}{14}$

б) $z=z_1cdot z_2,~ z_1=1+i,~ z_2=sqrt{3}-i$ . Для числа z_1 имеем: $|z_1|=sqrt{2},~ arg z_1=frac{pi}{4}$ ; для числа $z_2colon, |z_2|=2,~ operatorname{tg}varphi_2=-frac{1}{sqrt{3}}$ , и так как $operatorname{Re}z_2>0,~ operatorname{Im}z_2<0$ (точка расположена в четвертой четверти), то $arg z_2=-frac{pi}{6}$ . Используя формулы (1.10), получаем $|z|=2sqrt{2},~ arg z=frac{pi}{4}-frac{pi}{6}=frac{pi}{12}$ .

Заметим, что для решения этой задачи можно раскрыть скобки, записать каждое число в алгебраической форме, а затем найти |z| и arg z , используя формулы (1.5), (1.6).

Деление комплексных чисел в тригонометрической форме

Рассмотрим частное комплексных чисел $frac{z_1}{z_2}$ , заданных в тригонометрической форме. Из определения частного $z=frac{z_1}{z_2}$ имеем z_1=zcdot z_2 и, применяя к произведению правило умножения (формулы (1.10)), получаем $r=frac{r_1}{r_2},~ varphi=varphi_1-varphi_2$ .

Правило деления. Модуль частного, полученного в результате деления чисел, заданных в тригонометрической форме, равен частному от деления модуля числителя на модуль знаменателя, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя:

$left|frac{z_1}{z_2}right|= frac{|z_1|}{|z_2|},qquad operatorname{Arg}frac{z_1}{z_2}= arg z_1-arg z_2.$

(1.11)

В результате деления чисел по формуле (1.11) может получиться аргумент честного, не являющийся главным значением.

Пример 1.20. Записать в тригонометрической форме комплексное число $frac{1+i}{sqrt{3}-i}$ .

Решение. Обозначим $z=frac{z_1}{z_2},~ z_1=1+i,~ z_2=sqrt{3}-i$ . Для чисел z_1 и z_2 находим модули и аргументы: $|z_1|=sqrt{2},~ arg z_1=frac{pi}{4};$ $|z_2|=2,~ arg z_2=-frac{pi}{6}$ (см. пример 1.19). По формуле (1.11) получаем $|z|=frac{|z_1|}{|z_2|}=frac{sqrt{2}}{2},~ arg z=arg z_1-arg z_2=frac{pi}{4}-left(-frac{pi}{6}right)= frac{5pi}{12}$ и

$frac{1+i}{sqrt{3}-i}= frac{sqrt{2}}{2}left(cosleft(frac{5pi}{12}+2kpiright)+ isinleft(frac{5pi}{12}+2kpiright)right)!,~ k=0,pm1,pm2,ldots$

Возведение в степень комплексного числа в тригонометрической форме

Из определения степени z^n и правила умножения чисел, записанных в тригонометрической форме (формула (1.10)), получаем

$|z^n|=r^n,quad operatorname{Arg}z^n=nvarphi$ , где z=r(cosvarphi+ isinvarphi) .

Правило возведения в степень. При возведении в степень комплексного числа в эту степень возводится модуль числа, а аргумент умножается на показатель степени:

$|z^n|= |z|^n,qquad operatorname{Arg}z^n= narg z,.$

(1.12)

Записывая число z^n в тригонометрической форме z^n= r^n(cos nvarphi+ isin nvarphi) , получаем формулу возведения в степень:

bigl[r(cosvarphi+ isinvarphi)bigr]^n= r^n(cos nvarphi+ isin nvarphi).

(1.13)

При r=1 это равенство принимает вид и называется формула Муавра

(cosvarphi+ isinvarphi)^n= cos nvarphi+ isin nvarphi,.

(1.14)

Пример 1.21. Найти модуль и аргумент комплексного числа (1+i)^5 .

Решение. Обозначим z=z_1^5,~ z_1=1+i . Находим модуль и аргумент числа $z_1colon, |z_1|=sqrt{2},~ arg z_1=frac{pi}{4}$ . Поэтому $|z|= (sqrt{2})^5$ и $operatorname{Arg}z=5arg z_1=frac{5pi}{4}$ . Так как по определению для главного значения аргумента выполняется условие -pi<arg zleqslantpi , то $arg z= frac{5pi}{4}-2pi=-frac{3pi}{4}$ .

Пример 1.22. Записать в тригонометрической форме число $(1+i)^5(sqrt{3}-i)^7$ .

Решение

Пример 1.23. Используя формулу Муавра, найти выражения для cos3varphi и sin3varphi через тригонометрические функции угла varphi .

Решение

Из формулы (1.14) при n=3 имеем (cosvarphi+ isinvarphi)^3= cos3varphi+isin3varphi . Возведем левую часть в степень, учитывая, что i^3=-i (см. пример 1.8):

$begin{aligned}cos^3varphi+ i3cos^2varphisinvarphi- 3cosvarphi sin^2varphi+ i^3sin^3varphi&= cos3varphi+ isin3varphi,\ (cos^3varphi-3cosvarphisin^2varphi)+ i(3cos^2varphisinvarphi-sin^3varphi)&= cos3varphi+ isin3varphi.end{aligned}$

Используя условие равенства комплексных чисел, получаем:

cos3varphi= cos^3varphi- 3cosvarphisin^2varphi,qquad sin3varphi= 3cos^2varphi sinvarphi- sin^3varphi.

Извлечение корня из комплексного числа в тригонометрической форме

Рассмотрим задачу извлечения корня из комплексного числа, заданного в показательной или тригонометрической форме $z=r,e^{ivarphi}$ , или z=r(cosvarphi+ isinvarphi) . Искомое число w=sqrt[LARGE{n}]{z} также запишем в показательной форме: $w=rho,e^{ivarphi},~ rho=|w|,~ theta=arg w$ . Используя определение операции извлечения корня z=w^n и условия (1.8), получаем соотношения

rho^n=r,qquad ncdottheta= varphi+2kpi,quad k=0,pm1,pm2,ldots

или

$rho= sqrt[LARGE{n}]{r},quad theta= frac{varphi+2kpi}{n},quad k=0,pm1,pm2,ldots$

(1.15)

Правило извлечения корня. Чтобы извлечь корень из комплексного числа, нужно извлечь корень (арифметический) той же степени из модуля данного числа, а аргумент (operatorname{Arg}z) разделить на показатель корня:

$bigl|sqrt[LARGE{n}]{z}bigr|= sqrt[LARGE{n}]{|z|},qquad operatorname{Arg}sqrt[LARGE{n}]{z}= frac{operatorname{Arg}z}{n},.$

(1.16)

Теперь можно записать число w=sqrt[LARGE{n}]{z} в показательной форме:

$sqrt[LARGE{n}]{z}= sqrt[LARGE{n}]{|z|}cdot exp frac{i operatorname{Arg}z}{n},.$

Если записать это соотношение в тригонометрической форме, то, учитывая периодичность тригонометрических функций, нетрудно убедиться, что выражение sqrt[LARGE{n}]{z} принимает только различных значений. Для их записи достаточно в формуле (1.15) взять последовательных значений , например k=0,1,2,ldots,n-1 . В результате получаем формулу извлечения корня из комплексного числа в тригонометрической форме, где r=|z|,~ varphi=arg z :

$sqrt[LARGE{n}]{z}= sqrt[LARGE{n}]{r} left(cos frac{varphi+2kpi}{n}+ isin frac{varphi+2kpi}{n}right)!,quad 0,1,2,ldots,n-1.$

(1.17)

Значения корня комплексного числа

Замечания 1.1

1. Рассмотренная задача извлечения корня степени из комплексного числа равносильна решению уравнения вида z^n-a=0 , где, очевидно, z=sqrt[LARGE{n}]{a} .

Для решения уравнения нужно найти значений sqrt[LARGE{n}]{a} , а для этого необходимо найти r=|a|,~ varphi=arg a и использовать формулу извлечения корня.

2. Исследование формулы (1.17) показывает, что все комплексные числа w_k,~ k=1,2,ldots,n (значения sqrt[LARGE{n}]{z} ) имеют равные модули, т.е. геометрически расположены на окружности радиуса R=sqrt[LARGE{n}]{r},~ r=|z| . Аргументы двух последовательных чисел отличаются на $frac{2pi}{n}$ , так как $arg w_{k+1}-arg w_k= frac{2pi}{n}$ , т.е. каждое последующее значение $w_{k+1}$ может быть получено из предыдущего w_k поворотом радиуса-вектора точки w_k на $frac{2pi}{n}$ .В этом заключается геометрический смысл формулы (1.17), что можно сформулировать следующим образом.

Точки, соответствующие значениям sqrt[LARGE{n}]{z} , расположены в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность с центром в начале координат, радиус которой R= sqrt[LARGE{n}]{|z|} , причем аргумент одного из значений w_k равен $frac{arg z}{n}= frac{varphi}{n}$ (рис. 1.7).

Алгоритм решения комплексных уравнений вида z^n-a=0

1. Найти модуль и аргумент числа acolon, r=|a|,~ varphi=arg a .
2. Записать формулу (1.17) при заданном значении $ncolon, sqrt[LARGE{n}]{a}= sqrt[LARGE{n}]{r} left(cos frac{varphi+2kpi}{n}+ isin frac{varphi+2kpi}{n}right)$ .
3. Выписать значения корней уравнения z_k , придавая значения k=0,1,2,ldots,n-1 .

Пример 1.24. Решить уравнения: a) z^6-1=0 ; б) z^3-i=0 .

Решение

Задача равносильна задаче нахождения всех значений корня из комплексного числа. Решаем в каждом случае по алгоритму.

а) Найдем z=sqrt[LARGE{6}]{1} .
1. Определим модуль и аргумент числа 1colon, r=1,~ varphi=0 .
2. При полученных значениях и varphi записываем формулу (1.17):

$z= sqrt[LARGE{6}]{1}= sqrt[LARGE{6}]{1} left(cosfrac{2kpi}{6}+ isinfrac{2kpi}{6}right)!,qquad k=0,1,2,3,4,5.$

Заметим, что справа стоит sqrt[LARGE{6}]{1} — арифметический корень, его единственное значение равно 1.

3. Придавая последовательно значения от 0 до 5, выписываем решения уравнения:

$begin{array}{ll}z_1= cos0+isin0=1,&qquad z_2=cos dfrac{pi}{3}+isindfrac{pi}{3}= dfrac{1}{2}+ i,dfrac{sqrt{3}}{2},\[7pt] z_3= cosdfrac{2pi}{3}+ isindfrac{2pi}{3}= -dfrac{1}{2}+ i,dfrac{sqrt{3}}{2},&qquad z_4=cospi+isinpi=-1,\[10pt] z_5= cosdfrac{4pi}{3}+ isindfrac{4pi}{3}= -dfrac{1}{2}-i,dfrac{sqrt{3}}{2},&qquad z_6= cosdfrac{5pi}{3}+ isindfrac{5pi}{3}= dfrac{1}{2}-i,dfrac{sqrt{3}}{2}.end{array}$

Геометрически соответствующие точки расположены в вершинах правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиуса R=1 , одна из точек (соответствует k=0 ) z_1=1 . Строим шестиугольник (рис. 1.8,в). Отметим свойства корней этого уравнения с действительными коэффициентами — его комплексные корни являются попарно сопряженными: $z_6= overline{z}_2,~ z_5= overline{z}_3,~ z_1$ и z_4 — действительные числа.

б) Найдем z=sqrt[LARGE{3}]{i} .
1. Определим модуль и аргумент числа $rcolon, r=|i|=1,~ varphi=arg i=frac{pi}{2}$ .
2. По формуле (1.17) имеем

$sqrt[LARGE{3}]{i}= 1cdot left(cosfrac{frac{pi}{2}+2kpi}{3}+ isin frac{frac{pi}{2}+2kpi}{3}right)= cos!left(frac{pi}{6}+ frac{2}{3}kpiright)+ isin!left(frac{pi}{6}+ frac{2}{3}kpiright)!,quad k=0,1,2.$

3. Выписываем корни $z_1,,z_2,,z_3colon, z_1= frac{sqrt{3}}{2}+i frac{1}{2},~ z_2= -frac{sqrt{3}}{2}+i frac{1}{2},~ z_3=-i$ .

Геометрический смысл комплексных корней

Для геометрического представления решения уравнения достаточно изобразить одно значение, например $z_1=cosfrac{pi}{6}+ isinfrac{pi}{6}$ (при k=0 ) — это точка окружности |z|=1 , лежащая на луче $varphi=frac{pi}{6}$ . После этого строим правильный треугольник, вписанный в окружность |z|=1 (рис. 1.8,б).

Пример 1.25. Найти корень уравнения z^4-1+i=0 , для которого operatorname{Re}z<0,~ operatorname{Im}z>0 .

Решение

Геометрическая интерпретация корней комплексного уравнения

Задача равносильна задаче нахождения z=sqrt[LARGE{4}]{1-i} при условие operatorname{Re}z<0,~ operatorname{Im}z>0 .

1. Находим модуль и аргумент числа $1-icolon, r=|1-i|=sqrt{2},~ varphi=arg(1-i)=-frac{pi}{4}$ .

2. По формуле (1.17) имеем: $z_{k+1}= sqrt[LARGE{4}]{1-i}= sqrt[LARGE{8}]{2}e^{left(-frac{pi}{16}+frac{2kpi}{4}right) i},~ k=0,1,2,3$ .

3. Для нахождения искомого решения нет необходимости выписывать все значения корня. Нужно выбрать значение k~(k=0,1,2,3) , при котором выполняется условие $frac{pi}{2}< arg zleqslantpi$ (соответствующая точка — точка второй четверти). Удобно при этом использовать чертеж (рис. 1.9).

Условию поставленной задачи удовлетворяет корень z_3 (при k=2 ): $z_3= sqrt[LARGE{8}]{2}e^{left(pi-frac{pi}{16}right)i}= sqrt[LARGE{8}]{2}e^{frac{15pi}{16},i}$ .

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

§ 29. Модуль и аргумент комплексного числа

Комплексные числа

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

Действия над комплексными числами в показательной форме

Примеры решения задач

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Действия над комплексными числами

Пример №1

Пример №2

Пример №3

Квадратный корень комплексного числа

Пример №4

Пример №5

Модуль и аргумент комплексного числа

Тригонометрическая форма комплексного числа

Пример №6

Пример №7

Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме

Корень n-ой степени комплексного числа

Формула корни n-ой степени комплексного числа

Пример №8

Для чего нужны комплексные числа

Арифметические операции над комплексными числами

Пример №9

Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа

Пример №10

Пример №11

Пример №12

Формы записи комплексного числа

Пример №13

Пример №14

Пример №15

Действия с комплексными числами

Пример №16

Показательная форма записи комплексного числа

Комплексные числа и арифметические операции

Комплексная плоскость

Теоремы о модуле и аргументе

Пример №17

Извлечение корня из комплексного числа

Пример №18

Понятие функции комплексной переменной

Определение комплексных чисел

Пример №19

Пример №20

Пример №21

Комплекснозначные функции действительной переменной

Пример №22

Многочлены

Пример №23

Пример №24

Разложение правильной дроби в сумму простейших дробей

Пример №25

Вычисление комплексного числа

Пример №26

Пример №27

Пример №28

Пример №29

Пример №30

Комплексные числа в тригонометрическойи показательной формах

Тригонометрическая форма комплексного числа

Показательная форма комплексного числа

Модуль комплексного числа

Аргумент комплексного числа

Главное значение аргумента комплексного числа

Равенство комплексных чисел в тригонометрической форме

Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме

Деление комплексных чисел в тригонометрической форме

Возведение в степень комплексного числа в тригонометрической форме

Извлечение корня из комплексного числа в тригонометрической форме

Алгоритм решения комплексных уравнений вида z^n-a=0

Комплексные числа в тригонометрической
и показательной формах