Как найти модуль любого числа

Определение модуля числа

Алгебра дает четкое определение модуля числа. Модуль числа в математике — это расстояние от начала отсчёта до точки координатной прямой, соответствующей этому числу.

Если мы возьмем некоторое число «a» и изобразим его на координатной прямой точкой A — расстояние от точки A до начала отсчёта (то есть до нуля) длина отрезка OA будет называться модулем числа «a».

Знак модуля: |a| = OA.

Разберем на примере:

Точка В, которая соответствует числу −3, находится на расстоянии 3 единичных отрезков от точки O (то есть от начала отсчёта). Значит, длина отрезка OB равна 3 единицам.

Число 3 (длину отрезка OB) называют модулем числа −3.

Обозначение модуля: |−3| = 3 (читают: «модуль числа минус три равен трём»).

Точка С, которая соответствует числу +4, находится на расстоянии четырех единичных отрезков от начала отсчёта, то есть длина отрезка OС равна четырем единицам.

Число 4 называют модулем числа +4 и обозначают так: |+4| = 4.

Также можно опустить плюс и записать значение, как |4| = 4.

Онлайн-курсы математики для детей помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Свойства модуля числа

Давайте рассмотрим семь основных свойств модуля. Независимо от того, в какой класс перешел ребенок — эти правила пригодятся всегда.

1. Модуль числа — это расстояние, а расстояние не может быть отрицательным. Поэтому и модуль числа не бывает отрицательным:

• |a| > 0 

2. Модуль положительного числа равен самому числу.

• |a| = a, если a > 0

3. Модуль отрицательного числа равен противоположному числу.

• |−a| = a

4. Модуль нуля равен нулю.

• |0| = 0, если a = 0

5. Противоположные числа имеют равные модули.

• |−a| = |a| = a

6. Модуль произведения равен произведению модулей этих чисел.

• |a b| = |a| |b|, когда

a · b = 0

или

−(a · b), когда a · b < 0

7. Модуль частного равен частному от деления модуля числа числителя на модуль числа знаменателя: 

Геометрическая интерпретация модуля

Как мы уже знаем, модуль числа — это расстояние от нуля до данного числа. То есть расстояние от точки −5 до нуля равно 5.

Нарисуем числовую прямую и отобразим это на ней.

Эта геометрическая интерпретация используется для решения уравнений и неравенств с модулем. Давайте рассмотрим на примерах.

Решим уравнение: |х| = 5.

Мы видим, что на числовой прямой есть две точки, расстояние от которых до нуля равно 5. Это точки 5 и −5. Значит, уравнение имеет два решения: x = 5 и x = −5.

Расстояние от точки a до точки b равно расстоянию от точки b до точки a, тогда |a — b| = |b — a|.

Уравнение имеет два решения: −1 и 7. Мы из 3 вычли 4 — и это один ответ, а также к 3 мы прибавили 4 — и это второй ответ.

Решим неравенство: |a + 7| < 4.

Эту запись читаем так: расстояние от точки a до точки −7 меньше четырех. Отмечаем на числовой прямой точки, удовлетворяющие этому условию:

Ответ в данном случае будет таким: (−11; −3).

Решим неравенство: |10 − x| ≥ 7.

Расстояние от точки 10 до точки x больше или равно семи. Отметим эти точки на числовой прямой.

Ответ: (−∞; 3] [17, +∞).

График функции

График функции равен y = |х|.

Для x > 0 имеем y = x. 

Для x < 0 имеем y = −x. В результате получаем:

Этот график можно использовать при решении уравнений и неравенств.

Корень из квадрата

По определению арифметического квадратного корня √a² — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен a² . 

Оно равно a при а > 0 и −а, при а < 0 , т. е. как раз |a|.

Модуль рационального числа

Как найти модуль рационального числа — это расстояние от начала отсчёта до точки координатной прямой, которая соответствует этому числу.

Модуль рационального числа, примеры:

|-3,5| = 3,5

|2,27| = 2,27

Модуль числа — теория и решение задач

Модуль числа – это такая забавная концепция в математике, с пониманием которой у многих людей возникают трудности 🙂

А между тем она проста как апельсин. Но, чтобы ее понять, давай сначала разберемся, зачем и кому он нужен.

Вот смотри…

Ситуация первая

В жизни, часто встречаются ситуации, где отрицательные числа не имеют никакого практического смысла.

Например, мы не можем проехать на машине «минус 70 километров» (мы проедем 70 километров, не важно, в каком направлении), как и не можем купить «минус 5 кг апельсинов». Эти значения всегда должны быть положительными.

Именно для обозначения таких ситуаций математики придумали специальный термин – модуль или абсолютная величина.

Ситуация вторая

Ты покупаешь пакет чипсов «Lay’s». На пакете написано, что он весит 100 грамм. Но, если ты начнешь взвешивать пакеты, вряд ли они будут весить ровно 100 грамм. Какой-то из них будет весить 101 грамм, а какой-то 99.

И что, можно идти судиться с компанией «Lay’s», если они тебе недовесили?

Нет. Потому что  «Lay’s» устанавливает допуск и говорит, что пакет будет весить 100 грамм, плюс-минус 1 грамм. Вот это «плюс-минус» – это и есть модуль.

Ситуация третья

В жизни вообще не бывает 100% точных величин. Всегда есть вот такие допуски. В зарплате, например: «Я согласен работать за 250 тыс рублей в месяц, плюс-минус 20 тыс!» 20 тысяч – это и есть модуль.

А вообще для простоты запомни, что модуль это расстояние от точки отсчета в любую сторону.

Ну вот, ты уже почти все знаешь. Давай теперь подробнее…

Модуль числа — коротко о главном

Определение модуля:

Модуль (абсолютная величина) числа ( displaystyle x) — это само число ( displaystyle x), если ( displaystyle xge 0), и число ( displaystyle -x), если ( displaystyle x<0):

( displaystyle left| x right|=left{ begin{array}{l}x, xge 0\-x, x<0end{array} right.)

Свойства модуля:

• Модуль числа есть число неотрицательное: ( left| x right|ge 0,text{ }left| x right|=0Leftrightarrow x=0);
• Модули противоположных чисел равны: ( left| -x right|=left| x right|);
• Модуль произведения двух (и более) чисел равен произведению их модулей: ( left| xcdot yright|=left| x right|cdot left|yright|);
• Модуль частного двух чисел равен частному их модулей: ( displaystyle left| frac{x}{y} right|=frac{left| x right|}{left| y right|},text{ y}ne text{0});
• Модуль суммы чисел всегда меньше или равен сумме модулей этих чисел:( left| x+y right|le left| x right|+left| y right|);
• Постоянный положительный множитель можно выносить за знак модуля: ( left| cx right|=ccdot left| x right|) при ( displaystyle c>0);
• Квадрат модуля числа равен квадрату этого числа: ( {{left| x right|}^{2}}={{x}^{2}}).

Кстати, в продолжение этой темы у нас есть отличная статья: «Уравнения с модулем«. Когда прочитаешь эту статью, обязательно ознакомься и со второй.

И просто чтобы ты знал, модуль часто попадается при решении квадратных уравнений или иррациональных.

Что же такое модуль числа?

Представь, что это ты.

Предположим, что ты стоишь на месте и можешь двигаться как вперёд, так и назад. Обозначим точку отправления ( 0).

Итак, ты делаешь ( 3) шага вперёд и оказываешься в точке с координатой ( 3).

Это означает, что ты удалился от места, где стоял на (3) шага (( 3) единичных отрезка).

То есть, расстояние от начала движения до точки, где ты в итоге оказался, равно ( 3).

Но ведь ты же можешь двигаться и назад!

Если от отправной точки с координатой ( 0) сделать ( 3) шага в обратную сторону, то окажешься в точке с координатой ( -3).

Какое расстояние было пройдено в первом и во втором случае?

Конечно же, расстояние, пройденное в первом и во втором случае, будет одинаковым и равным трем, ведь обе точки (( 3) и ( -3)), в которых ты оказался одинаково удалены от точки, из которой было начато движение (( 0)).

Таким образом, мы приблизились к понятию модуля.

Получается, что модуль показывает расстояние от любой точки на координатном отрезке до точки начала координат.

Так, модулем числа ( 5) будет ( 5). Модуль числа ( -5) также равен ( 5).

Потому что расстояние не может быть отрицательным! Модуль – это абсолютная величина.

Обозначается модуль просто:

( |mathbf{a}|,) (( a) — любое число).

Итак, найдём модуль числа ( 3) и ( -3):

( left| mathbf{3} right|=mathbf{3})

( left| -mathbf{3} right|=mathbf{3}.)

Основные свойства модуля

Первое свойство модуля

Модуль не может быть выражен отрицательным числом ( |mathbf{a}|text{ }ge text{ }mathbf{0})

То есть, если ( mathbf{a}) – число положительное, то его модуль будет равен этому же числу.

Если ( mathbf{a}text{ }>text{ }mathbf{0},) то ( displaystyle left| a right|=a).

Если ( a) – отрицательное число, то его модуль равен противоположному числу.

Если ( atext{ }<text{ }mathbf{0},) то ( |mathbf{a}|text{ }=text{ }-mathbf{a})

А если ( a=0)? Ну, конечно! Его модуль также равен ( 0):

Если ( a=0), то ( |mathbf{a}|=mathbf{a}), или ( displaystyle left| 0 right|=0).

Из этого следует, что модули противоположных чисел равны, то есть:

( left| -4 right|text{ }=text{ }left| 4 right|text{ }=text{ }4;)

( left| -7 right|text{ }=text{ }left| 7 right|text{ }=text{ }7.)

А теперь потренируйся:

• ( left| 9 right|text{ }=text{ }?;)
• ( left| -3 right|text{ }=text{ }?;)
• ( left| 16 right|text{ }=text{ }?;)
•  ( left| 8 right|text{ }=text{ }?;)
• ( left| -17 right|text{ }=text{ }?.)

Ответы: 9; 3; 16; 8; 17.

Довольно легко, правда? А если перед тобой вот такое число: ( left| 2-sqrt{5} right|=?)

Как быть здесь? Как раскрыть модуль в этом случае? Действуем по тому же сценарию.

Сначала определяем знак выражения под знаком модуля, а потом раскрываем модуль:

• если значение выражения больше нуля, то просто выносим его из-под знака модуля,
• если же выражение меньше нуля, то выносим его из-под знака модуля, меняя при этом знак, как делали это ранее в примерах.

Ну что, попробуем? Оценим ( 2-sqrt{5}):

( 2<sqrt{5}) (Забыл, что такое корень? Бегом повторять!)

Если ( 2<sqrt{5}), то какой знак имеет ( 2-sqrt{5})? Ну конечно, ( 2-sqrt{5}<0)!

А, значит, знак модуля раскрываем, меняя знак у выражения:

( left| 2-sqrt{5} right|=-left( 2-sqrt{5} right)=-2+sqrt{5}=sqrt{5}-2)

Разобрался? Тогда попробуй сам:

• ( left| sqrt{3}-1 right|=?)
• ( left| 3-sqrt{7} right|=?)
• ( left| 2-sqrt{7} right|=?)
• ( left| sqrt{13}-4 right|=?)

Ответы:

( sqrt{3}-1; 3-sqrt{7}; sqrt{7}-2; 4-sqrt{13.})

Какими же ещё свойствами обладает модуль?

Во-первых, если нам нужно перемножить числа внутри знака модуля, мы спокойно можем перемножить модули этих чисел.

То есть: ( |acdot bleft| text{ }=text{ } right|aleft| cdot right|b|)

Выражаясь математическим языком, модуль произведения чисел равен произведению модулей этих чисел.

Например:

( left| mathbf{5}cdot mathbf{7} right|text{ }=text{ }left| mathbf{5} right|cdot left| mathbf{7} right|text{ }=text{ }mathbf{5}cdot mathbf{7}text{ }=text{ }mathbf{35};)

( left| mathbf{3}cdot left( -mathbf{2} right) right|text{ }=text{ }left| mathbf{3} right|cdot left| -mathbf{2} right|text{ }=text{ }mathbf{3}cdot mathbf{2}text{ }=text{ }mathbf{6}.)

А что, если нам нужно разделить два числа (выражения) под знаком модуля? Да то же, что и с умножением! Разобьем на два отдельных числа (выражения) под знаком модуля:

( displaystyle |frac{a}{b}|=frac{|a|}{|b|}) при условии, что ( mathbf{b}ne mathbf{0}) (так как на ноль делить нельзя).

Еще одно свойство модуля…

Модуль суммы чисел всегда меньше или равен сумме модулей этих чисел.

( |a+bleft| text{ }le text{ } right|aleft| + right|b|)

Почему так? Всё очень просто! Как мы помним, модуль всегда положителен. Но под знаком модуля может находиться любое число: как положительное, так и отрицательное.

Допустим, что числа ( a) и ( b) оба положительные. Тогда левое выражение будет равно правому выражению. Рассмотрим на примере:

( left| mathbf{3}+mathbf{7} right|text{ }=text{ }left| mathbf{10} right|text{ }=text{ }mathbf{10})

( left| mathbf{3} right|+left| mathbf{7} right|text{ }=text{ }mathbf{3}+mathbf{7}text{ }=text{ }mathbf{10})

Выражения также равны, если оба числа отрицательны:

( displaystyle |-3+(-7)|~=~|-3-7|~)( displaystyle=|-10|=10)

( |-mathbf{3}left| + right|-mathbf{7}|text{ }=text{ }mathbf{3}+mathbf{7}text{ }=text{ }mathbf{10})

Если же под знаком модуля одно число отрицательное, а другое положительно, левое выражение всегда окажется меньше правого:

( left| -mathbf{3}+mathbf{7} right|text{ }=text{ }left| mathbf{4} right|text{ }=text{ }mathbf{4})

( |-mathbf{3}left| + right|mathbf{7}|text{ }=text{ }mathbf{3}+mathbf{7}text{ }=text{ }mathbf{10})

или

( left| mathbf{3}+left( -mathbf{7} right) right|text{ }=text{ }left| -mathbf{4} right|text{ }=text{ }mathbf{4})

( left| mathbf{3} right|+left| -mathbf{7} right|text{ }=text{ }mathbf{3}+mathbf{7}text{ }=text{ }mathbf{10})

( mathbf{4}<mathbf{10})

Рассмотрим еще парочку полезных свойств модуля

Что если перед нами такое выражение:

( left| 7x right|)

Что мы можем сделать с этим выражением?

Значение x нам неизвестно, но зато мы уже знаем, что ( |acdot bleft| text{ }=text{ } right|aleft| cdot right|b|), а значит ( left| 7x right|=left| 7 right|cdot left| x right|). Число ( 7) больше нуля, а значит можно просто записать:

( left| 7x right|=left| 7 right|cdot left| x right|=7left| x right|)

Вот мы и пришли к другому свойству, которое в общем виде можно представить так:

( left| cx right|=ccdot left| x right|,) при ( c>0)

А чему равно такое выражение:

( {{left| x right|}^{2}}=?)

Итак, нам необходимо определить знак под модулем. А надо ли здесь определять знак?

Конечно, нет, если помнишь, что любое число в квадрате всегда больше нуля! Если не помнишь, смотри тему степень и ее свойства.

И что же получается? А вот что:

( {{left| x right|}^{2}}={{x}^{2}})

Здорово, да? Довольно удобно. А теперь конкретный пример для закрепления:

( {{left| 5 right|}^{2}}={{5}^{2}}=25)

( {{left| -5 right|}^{2}}=?)

Ну, и почему сомнения? Действуем смело!

( {{left| -5 right|}^{2}}={{5}^{2}}=25)

Во всем разобрался? Тогда вперед тренироваться на примерах!

Тренировка на примерах

1. Найдите значение выражения ( |xleft| text{ }+text{ } right|y|), если ( x=text{ }-7,5text{ },y=text{ }12.)

2. У каких чисел модуль равен ( 5)?

3. Найдите значение выражений:

а) ( |3|text{ }+text{ }|-9|;)

б) ( |-5|text{ }-text{ }|6|;)

в) ( |15left| cdot right|-3|;)

г) ( displaystyle frac{|8|}{|-2|}).

Если не все пока ясно и есть затруднения в решениях, то давай разбираться:

Решение 1:

Итак, подставим значения ( x) и ( y) в выражение ( |mathbf{x}left| text{ }-text{ } right|mathbf{y}|.) Получим:

( |-7,5|text{ }+text{ }|12|text{ }=7,5text{ }+text{ }12text{ }=text{ }19,5.)

Решение 2:

Как мы помним, противоположные числа по модулю равны. Значит, значение модуля, равное ( 5) имеют два числа: ( 5) и ( -5).

Решение 3:

а) ( |3|text{ }+text{ }|-9|=text{ }3+9=text{ }12;)
б) ( |-5|-text{ }left| 6 right|text{ }=text{ }5-6=text{ }-1;)
в) ( |15left| cdot right|-3|text{ }=text{ }15cdot 3=text{ }45;)
г) ( frac{|8|}{|-2|}=frac{8}{2}=4.)

Все уловил? Тогда пора перейти к более сложному!

Решение более сложных примеров

Попробуем упростить выражение ( left| sqrt{3}-2 right|+left| sqrt{3}+5 right|)

Решение:

Итак, мы помним, что значение модуля не может быть меньше нуля. Если под знаком модуля число положительное, то мы просто можем отбросить знак: модуль числа будет равен этому числу.

Но если под знаком модуля отрицательное число, то значение модуля равно противоположному числу (то есть числу, взятому со знаком «–»).

Для того, чтобы найти модуль любого выражения, для начала нужно выяснить, положительное ли значение оно принимает, или отрицательное.

( displaystyle sqrt{3} approx 1,7). Получается, значение первого выражения под модулем ( displaystyle sqrt{3}-2approx 1,7-2approx -0,3text{ }).

( -0,3<0), следовательно, выражение под знаком модуля отрицательно. Второе выражение под знаком модуля всегда положительно, так как мы складываем два положительных числа.

Итак, значение первого выражения под знаком модуля отрицательно, второго – положительно:

Это значит, раскрывая знак модуля первого выражения, мы должны взять это выражение со знаком «–». Вот так:

Модуль числа и его свойства (строгие определения и доказательства)

Модуль (абсолютная величина) числа ( x) — это само число ( x), если ( xge 0), и число ( -x), если ( x<0):

( left| x right|=left{ begin{array}{l}x,text{ }xge 0\-x,text{ }x<0end{array} right.)

Например: ( left| 4 right|=4;text{ }left| 0 right|=0;text{ }left| -3 right|=-left( -3 right)=3.)

Пример:

Упростите выражение ( left| sqrt{5}-3 right|+left| sqrt{5}+1 right|).

Решение:

( sqrt{5}-3<0Rightarrow left| sqrt{5}-3 right|=-left( sqrt{5}-3 right)=3-sqrt{5};)

( sqrt{5}+1>0Rightarrow left| sqrt{5}+1 right|=sqrt{5}+1;)

( left| sqrt{5}-3 right|+left| sqrt{5}+1 right|=3-sqrt{5}+sqrt{5}+1=4.)

Основные свойства модуля (итог)

Для всех ( x,yin mathbb{R}):

• ( left| x right|ge 0,text{ }left| x right|=0Leftrightarrow x=0;)
• ( left| -x right|=left| x right|;)
• ( left| xcdot y right|=left| x right|cdot left| y right|;)
• ( left| frac{x}{y} right|=frac{left| x right|}{left| y right|},text{ y}ne text{0};)
• ( left| x+y right|le left| x right|+left| y right|)
• ( left| cx right|=ccdot left| x right|, при text{ }c>0)
• ( {{left| x right|}^{2}}={{x}^{2}})

Докажите свойство модуля: ( left| x+y right|le left| x right|+left| y right|)

Доказательство:

Предположим, что существуют такие ( x;yin mathbb{R}), что ( left| x+y right|>left| x right|+left| y right|.) Возведем левую и правую части неравенства в квадрат (это можно сделать, т.к. обе части неравенства всегда неотрицательны):

( displaystyle begin{array}{l}left| x+y right|>left| x right|+left| y right|Leftrightarrow \{{left( x+y right)}^{2}}>{{left( left| x right|+left| y right| right)}^{2}}Leftrightarrow \{{x}^{2}}+2xy+{{y}^{2}}>{{x}^{2}}+2cdot left| x right|cdot left| y right|+{{y}^{2}}Leftrightarrow \xy>left| x right|cdot left| y right|Leftrightarrow \xy>left| xy right|,end{array})

а это противоречит определению модуля.

Следовательно, таких ( x;yin mathbb{R}) не существует, а значит, при всех ( x,text{ }yin mathbb{R}) выполняется неравенство ( left| x+y right|le left| x right|+left| y right|.)

А теперь самостоятельно…

Докажите свойство модуля: ( left| cx right|=ccdot left| x right|, при text{ }c>0)

Воспользуемся свойством №3: ( left| ccdot x right|=left| c right|cdot left| x right|), а поскольку ( c>0text{ }Rightarrow text{ }left| c right|=c), тогда

( left| cx right|=ccdot left| x right|), ч.т.д.

Упростите выражение ( left| frac{31}{8}-sqrt{15} right|+left| frac{15}{4}-sqrt{15} right|)

Чтобы упростить, нужно раскрыть модули. А чтобы раскрыть модули, нужно узнать, положительны или отрицательны выражения под модулем:

Подготовка к ЕГЭ на 90+ в мини-группах

Алексей Шевчук — ведущий мини-групп

математика, информатика, физика

+7 (905) 541-39-06 — WhatsApp/Телеграм для записи

alexei.shevchuk@youclever.org — email для записи

• тысячи учеников, поступивших в лучшие ВУЗы страны
• автор понятного всем учебника по математике ЮКлэва (с сотнями благодарных отзывов);
• закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
• репетиторский стаж — c 2003 года;
• в 2021 году сдал ЕГЭ (математика 100 баллов, физика 100 баллов, информатика 98 баллов — как обычно дурацкая ошибка:);
• отзыв на Профи.ру: «Рейтинг: 4,87 из 5. Очень хвалят. Такую отметку получают опытные специалисты с лучшими отзывами».

На этой странице вы узнаете

• Как перевернуть график модуля?
• Одной ногой тут, другой там: к какому промежутку относить граничные точки?
• Может ли решением квадратного неравенства быть любое число, если дискриминант меньше 0? 

Модуль числа — это великая математическая мудрость, которая показывает дружбу и соперничество противоположных знаков: минуса и плюса. О том, что держит число в рамках, узнаем в статье.  

Модуль 

Мы легко можем найти расстояние от точки до точки, достаточно просто измерить его линейкой. Но можно ли найти расстояние от 0 до любого числа? 

Представим, что наш дом находится посередине между школой и магазином. И до школы, и до магазина 500 метров, но они стоят по разные стороны от дома. 

Расположим их на координатной прямой. Поскольку и школа, и магазин располагаются на одинаковом расстоянии, то от дома до них мы будем идти 500 метров. Но на координатной прямой до школы мы пройдем −500 метров, поскольку движемся против направления оси, а до магазина 500 метров. 

Будет ли являться полученный результат противоречием? Нет, поскольку когда мы ищем расстояние, нам неважно направление движения и знак. В математике существует специальное определение — это модуль, или абсолютная величина. 

Модуль — расстояние от любой точки на координатной прямой до начала координат. 

Поскольку на координатной прямой мы можем отложить расстояние в две стороны, то такое расстояние можно найти и с отрицательными точками, и с положительными. Расстояние измеряет длину отрезка, то есть оно всегда будет положительно. 

Можно сказать, что от любого числа модуль берет только цифры, а на знаки не обращает внимания. Например, |−8| = 8 и |8| = 8. 

Может возникнуть вопрос: куда исчезает минус? Чтобы избавиться от минуса, достаточно умножить число на −1: (-8) * (-1) = 8. Значит, модуль просто умножает число на -1. 

Отсюда получается, что модулем числа а называют выражение:

Возьмем два случая: a = 8 и a = -8. Для первого получаем |8| = 8, а для второго |-8| = -(-8) = 8, то есть определение выполняется. 

Можно ли взять модуль функции? Да. Модулем произвольной функции называют выражение:

Свойства модуля

Модуль, как и все понятия в математике, обладает своими свойствами. 

Свойство 1. |a| >= 0. 

Как мы уже говорили, модуль всегда будет положительным числом, поскольку он не обращает внимания на знак числа. 

Свойство 2. |a| = |-a|. 

Это свойство также подтверждает рассуждения выше. Модули противоположных чисел, то есть чисел с разными знаками, равны. 

Свойство 3. |a| >= a. 

Если число а будет положительным, например, 5, то неравенство |5| >= 5 (rightarrow) 5 >= 5  выполняется, поскольку знак неравенства нестрогий. 

Если число а будет отрицательным, например, -5, то неравенство |-5| >= -5 (rightarrow) 5 >= -5  выполняется, поскольку положительное число всегда больше отрицательного. 

Свойство 4. |a * b| = |a| * |b|. 

Пусть a = 5, b = -2, тогда |5 * (-2) | = |-10| = 10, и |5| * |-2| = 5 * 2 = 10, то есть выражения равны между собой. 

Свойство 5. (|frac{a}{b}| = frac{|a|}{|b|}). 

Рассуждения такие же, как и в предыдущем свойстве. Пусть a = 10, b = -5, тогда (|frac{10}{(-5)}| = |-2| = 2 и frac{|10|}{|-5|} = frac{10}{5} = 2). 

Свойство 6. |a + b| <= |a| + |b|.

Почему появилось неравенство, а не уравнение, как в предыдущих двух свойствах? Разберем два примера. 

Пусть a = 1, b = 2, тогда |1 + 2| = |3| = 3 и |1| + |2| = 1 + 2 = 3 — неравенство выполняется, поскольку знак нестрогий.

Но если a = -1, b = 2, тогда |-1 +2| = |1| = 1 и |-1| + |2| = 1 + 2 = 3, откуда получаем 1 < 3. 

Свойство 7. (sqrt{a^2} = |a|). 

Докажем это свойство. Пусть (sqrt{a^2} = x), тогда x₀, поскольку квадратный «Корень» не может быть отрицательным. Возведем полученное уравнение в квадрат: a² = x² 
a² — x² = 0
(a — x)(a + x) = 0

Из уравнения x = a,  из-за ограничений на x получаем a >= 0.

И x = -a,  из-за ограничений на x получаем a < 0. 

То есть получается выражение модуля. 

Свойство 8. |a|² = a².

Поскольку и модуль, и квадрат числа дают положительный результат, модуль в квадрате можно заменить просто квадратом числа. 

График модуля

Как изобразить функцию с модулем? Для начала разберемся, что делает модуль с графиком функции. 

Рассмотрим функцию y = x — это прямая. При этом у может быть и положительным, и отрицательным. 

Занесем х под знак модуля: y = |x|. Теперь у может быть только положительным. Что происходит с частью графика, которая лежит ниже оси х? Она зеркально отражается. В итоге мы получаем галочку: 

Модуль отражает любой график относительно оси х. 

Что будет, если перед х будет стоять коэффициент? Построим графики: 

Галочка будет сужаться и расширяться. Причем чем больше коэффициент перед х, тем ýже будет галочка. 

Попробуем добавить слагаемое к подмодульному выражению. 

График модуля будет двигаться вдоль оси х. Причем:

• если мы прибавляем число, то график сдвигается влево;
• если мы вычитаем число, то график сдвигается вправо. 

Добавим число к модулю, а не подмодульному выражению:

График будет двигаться вдоль оси у. 

Уравнения с модулем

1. Возьмем уравнение вида |f(x)| = a. Поскольку модуль не может быть отрицательным, то и а  не может быть отрицательным. Получаем следующий переход:

Пример 1. Решите уравнение |4x + 5| = 7. 

Решение. В уравнении f(x) = 4x + 5, a = 7. Воспользуемся переходом:

Из первого уравнения x = 0,5, а из второго уравнения x = -3. 

Ответ: 0,5: -3. 

2. В уравнениях и неравенствах можно встретить два разных модуля. Как быть в этом случае? 

Пример 2. Решите уравнение |x — 2| — |x + 2| = 4x — 5.

Решение. Найдем, в каких точках модули будут равны 0. Для этого подмодульное выражение также должно быть равно 0:

x — 2 = 0 (rightarrow) x = 2
x + 2 = 0 (rightarrow) x = -2

Нарисуем числовую прямую с этими точками: 

У нас получилось три промежутка: 

• (-(infty);-2)
• [-2;2)
• [2;+(infty))

Обратим внимание, какие знаки имеет первый модуль на промежутках: x — 2 > 0 при x > 2. Следовательно, на первых двух промежутках модуль будет отрицательным, а на третьем положительным. Расставим его знаки красным цветом. 

Проанализируем второй модуль: x + 2 > 0 (rightarrow) x>-2. Получается, подмодульное выражение будет положительно на втором и третьем промежутке, и отрицательным на первом промежутке. Расставим его знаки синим цветом. 

Теперь мы можем рассмотреть уравнение на всех трех промежутках. Однако для этого обязательно ввести ограничения: полученные точки должны принадлежать только этому промежутку, поскольку на следующем модули будут раскрываться уже по-другому. 

2. Рассмотрим первый промежуток: x<-2. Оба модуля раскрываются с отрицательным знаком, и мы получаем следующее уравнение:

-(x — 2) — (-(x + 2)) = 4x — 5
-x + 2 + x + 2 = 4x — 5
4 = 4x — 5
4x = 9
x = 2,25

Точка не удовлетворяет ограничению, поскольку не лежит в промежутке (-(infty);-2):

Рассмотрим второй промежуток: [-2;2). Первый модуль раскрывается с минусом, а второй с плюсом:

-(x — 2) — (x + 2) = 4x — 5
-x + 2 — x — 2 = 4x — 5
-2x = 4x — 5
6x = 5
(x = frac{5}{6})

Эта точка лежит в заданном промежутке и является решением уравнения. 

Рассмотрим третий промежуток [2;+(infty)). Оба модуля раскрываются со знаком плюс, мы получаем уравнение:

(x — 2) — (x + 2) = 4x — 5
x — 2 — x — 2 = 4x — 5
-4 = 4x — 5
4x = 1

x = 0,25 — эта точка не лежит в промежутке, то есть не является решением уравнения. 

Решением уравнения будет только (x = frac{5}{6}). 

Ответ: (frac{5}{6})

3. Уравнения вида |f(x)| = g(x)

Поскольку вместо функций могут стоять любые выражения, раскрыть модуль можно двумя способами. Выбор одного из них зависит от того, какая функция проще: f(x) или g(x). 

Как можно раскрыть модуль?

• Можно раскрыть его в зависимости от знаков подмодульного выражения: если подмодульное выражение отрицательное, то модуль раскрывается с минусом, если положительное, то с плюсом. 
• Можно возвести уравнение в квадрат. Но здесь необходимо ввести ограничения на g(x) — поскольку функция равна модулю, она не может быть отрицательной. 

Для удобства можно пользоваться следующей схемой: 

Пример 3. Решите уравнение |8 — x| = x² — 5x + 11.

Решение. Заметим, что подмодульное выражение значительно проще функции справа, в этом случае удобнее будет раскрыть модуль. Получаем совокупность двух систем: 

Рассмотрим первую систему.

8 — x >= 0 (rightarrow) x <= 8

Решим уравнение:

8 — x = x² — 5x + 11
x² — 4x + 3 = 0
D = 16 — 12 = 4
(x_1 = frac{4 + 2}{2} = 3)
(x_2 = frac{4 — 2}{2} = 1)

Оба корня уравнения удовлетворяют условию x <= 8, значит, решением системы будут 1 и 3. 

Рассмотрим вторую систему. 

8 — x < 0 (rightarrow) x > 8

Решим уравнение: 

8 — x = -x² + 5x — 11
x² — 6x + 19 = 0
D = 36 — 76 = -40 — при отрицательном дискриминанте решения уравнений нет. 

Решением всего уравнения будут x = 1 и x = 3. 

Ответ: 1, 3

4. Разберем еще один тип уравнений, когда модуль равен модулю. Неужели придется рассматривать целых 4 случая раскрытия модуля? Нет, достаточно будет возвести в квадрат обе части уравнения. Таким образом, мы получаем следующий переход: 

Пример 4. Решите уравнение |x — 2| = |2x + 8|.

Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат. Для этого воспользуемся свойством 8.

(x — 2)² = (2x + ²
(x — 2)² — (2x + ² = 0

Воспользуемся формулой сокращенного умножения:

((x — 2) — (2x + 8))((x — 2) + (2x + = 0

Если произведение множителей равно 0, то каждый множитель равен 0. Тогда:

x — 2 — (2x + = 0 (rightarrow) x — 2 = 2x + 8
x — 2 + (2x + = 0 (rightarrow) x — 2 = -(2x +

Получаем совокупность: 

Решим первое уравнение совокупности:

x — 2 = 2x + 8
x = -10

Решим второе уравнение совокупности:

x — 2 = -2x — 8
3x = -6
x = -2

Решением уравнения будут x = -10 и x = -2

Ответ: -2, -10

Неравенства с модулем

Разобравшись, как решаются уравнения с модулем, можно приступать к неравенствам. 

Пример 5. Решите неравенство x² — |3x — 7| + 7 >= 0. 

Решение. Найдем, при каких значениях х модуль равен 0. Получаем 3x = 7 (rightarrow) (x = frac{7}{3}). 

Определим, с какими знаками модуль будет раскрываться на каждом промежутке. 

Осталось рассмотреть неравенство на двух промежутках. 

1. (x leq frac{7}{3}), тогда
x² — (-(3x — 7)) + 7 >= 0
x² + 3x — 7 + 7 >= 0
x² + 3x >= 0
x(x + 3) >= 0

Решим это неравенство «Методом интервалов». Сразу учтем ограничение (x leq frac{7}{3}). 

Получаем, что решением неравенства на заданном промежутке будет (x in (-infty; -3] U[0; frac{7}{3}]). 

2. (x > frac{7}{3}), тогда 
x² — 3x + 7 + 7 >= 0
x² — 3x + 14 >= 0
x² — 3x + 14 = 0
D = 9 — 56 = -47 — корней на заданном отрезке не будет. 

Однако не стоит забывать про ограничение (x > frac{7}{3}). Накладывая его, получаем решение ((frac{7}{3}; + infty)). 

Осталось только объединить полученные на промежутках решения: 

Получаем, что (x in (-infty;- 3] U [0; +infty)).

Ответ: (x in (-infty;- 3] U [0; +infty))

Рассмотрим неравенства вида |f(x)| > a и |f(x)| < a, где а — некоторое число и a >= 0. Модуль можно раскрыть двумя способами и получить два неравенства. Но будет это совокупность или система?

Это зависит от знака. Разберем случай |f(x)| > a. Заметим, что строгость знака может быть любой. Тогда модуль раскрывается как: 

f(x) > a и -f(x) > a (rightarrow) f(x) < -a. 

Отметим эти промежутки на числовой прямой:

В ответе должны оказаться оба промежутка — их нужно объединить. В этом случае модуль раскрывается в совокупности. 

Рассмотрим случай |f(x)| < a, здесь строгость знака также может быть любой. Раскроем модуль: f(x) < 0 и -f(x) < a (rightarrow) f(x) > -a. На числовой прямой это будет выглядеть следующим образом: 

В в ответе должен оказаться промежуток от —а до а. Следовательно, необходимо воспользоваться системой, чтобы “отсечь” лишние промежутки. 

Можно ли обойтись в этом случае без раскрытия модуля? Да, но необходимо возвести неравенство в квадрат. 

|f(x)| ⋁ a | (uparrow) 2 — вместо ⋁ может стоять любой знак неравенства. 
f²(x) ⋁ a²
f²(x) — a² ⋁ 0

Воспользуемся формулой сокращенного умножения:

(f(x) — a)(f(x) + a) ⋁ 0

Однако стоит помнить, что обе части неравенства можно возвести в квадрат только в том случае, если они неотрицательны. То есть обязательно должно выполняться условие a0. 

Мы получили равносильный переход. Но существуют ли равносильные переходы, если вместо числа а стоит другая функция или даже модуль? Да. Они выводятся таким же способом, как и переход для неравенства с числом. Получаем еще два равносильных перехода:

• |f(x)| ⋁ g(x) (rightarrow) (f(x) — g(x))(f(x) + g(x)) ⋁ 0  

g(x) обязательно должно быть неотрицательным, чтобы можно было возвести неравенства в квадрат. 

• |f(x)| ⋁ |g(x)| (rightarrow) (f(x) — g(x))(f(x) + g(x)) ⋁ 0

Разберем на примере, как можно использовать равносильный переход. Для этого возьмем то же неравенство, что и в примере 5, но решим его по-другому. 

Пример 6. Решите неравенство x² — |3x — 7| + 7 >= 0. 

Решение. Перенесем модуль в другую часть неравенства:

|3x — 7| <= x² + 7. Модуль всегда неотрицателен. Правая часть неравенства неотрицательна, поскольку число в квадрате всегда положительно. 

Повторим действия, чтобы прийти к равносильному переходу:

(3x — 7)² <= (x²+7)²
(3x-7)² — (x² + 7)² <= 0
(3x — 7 — (x² + 7))(3x — 7 + x² + 7) <= 0
(3x — 7 — x² — 7)(3x + x²) <= 0
(-x² + 3x — 14) * x(3 + x) <= 0
-(x² — 3x + 14) * x(3 + x) <= 0
(x² — 3x + 14) * x(3 + x) <= 0

Рассмотрим первую скобку:

x² — 3x + 14 = 0

D = 9 — 56 = -47 — корней нет. Выражение всегда будет положительно, то есть на него можно разделить все неравенство. Получаем:

x(3 + x) <= 0

Тогда (x in (-infty;- 3] U [0; +infty))

Ответ: (x in (-infty;- 3] U [0; +infty))

При решении можно сразу использовать равносильный переход, не расписывая его. 

Итак, неравенства с модулем можно решить двумя способами: раскрывать модуль и воспользоваться равносильным переходом. Выбор способа зависит от личных предпочтений и удобства решения.

Фактчек

• Модуль — расстояние от любой точки на координатной прямой до начала координат. Модуль обозначается двумя вертикальными черточками: |a| = a и |-a| = a. 
• Модулем числа называют выражение: 

• График модуля представляет собой “галочку”, которая лежит выше оси х. Модуль отражает график любой функции зеркально оси х так, что значения у всегда больше 0. 
• Модуль можно раскрыть двумя способами. Этим свойством можно пользоваться при решении уравнений с модулем. 
• При решении неравенств с модулем можно раскрывать его, либо воспользоваться равносильным переходом, если в неравенстве выполняются все условия для него. 

Проверь себя

Задание 1. 
Чему равно выражение |-16 * 2|?

1. 32
2. −32
3. −16
4. 16

Задание 2. 
Какой график имеет функция y = |x|?

1. Парабола
2. Гипербола
3. Прямая
4. Галочка

Задание 3. 
Решите уравнение |x| = -3. 

1. 3
2. −3
3. Решений нет
4. 3 и −3 

Задание 4. 
Решите уравнение |x + 2| = 15. 

1. −13
2. 17
3. 13 и -17
4. Решений нет 

Задание 5.
Какой равносильный переход можно использовать для неравенства вида |f(x) |⋁ |g(x)|?

1. f(x) ⋁ g(x)
2. f(x) ⋀ g(x)
3. f²(x) — 2 * f(x) * g(x) + g²(x) ⋁ 0
4. (f(x) — g(x))(f(x) + g(x)) ⋁ 0 

Ответы: 1. — 1 2. — 4 3. — 3 4. — 3 5. — 4

Модуль числа (абсолютная величина)  что это такое простыми словами?

Модуль числа (абсолютная величина) — обозначает то, как далеко число находится от ноля.

Например:

Модуль числа 1 равен 1; модуль числа -1 равен 1;

Модуль числа 2 равен 2; модуль числа -2 равен 2;

Модуль числа 3 равен 3; модуль числа -3 равен 3;

Модуль числа 4 равен 4; модуль числа -4 равен 4;

Модуль числа 5 равен 5; модуль числа -5 равен 5;

Модуль числа 6 равен 6; модуль числа -6 равен 6.

Никаких отрицательных значений!

На практике, модуль числа означает, что нужно убрать отрицательный знак перед числом и думать о числе как о положительном.

Обозначение модуля числа (символ модуля)

Чтобы показать, что нам нужен модуль числа, мы ставим знак «|» с обеих сторон. Например: |−7| = 7; |8| = 8; |−10| = 10;

Иногда модуль (абсолютное значение) также записывается как abs(), например: abs(-11) = 11.

Как найти модуль числа?

Если число a > 0, то |a| = a

Если число a < 0, то |- a| = a

Если число a = 0, то |0| = 0