Как найти модуль мгновенной скорости


Download Article


Download Article

Velocity is defined as the speed of an object in a given direction.[1]
In many common situations, to find velocity, we use the equation v = s/t, where v equals velocity, s equals the total displacement from the object’s starting position, and t equals the time elapsed. However, this technically only gives the object’s average velocity over its path. Using calculus, it’s possible to calculate an object’s velocity at any moment along its path. This is called instantaneous velocity and it is defined by the equation v = (ds)/(dt), or, in other words, the derivative of the object’s average velocity equation.[2]

  1. Image titled Calculate Instantaneous Velocity Step 1

    1

    Start with an equation for velocity in terms of displacement. To get an object’s instantaneous velocity, first we have to have an equation that tells us its position (in terms of displacement) at a certain point in time. This means the equation must have the variable s on one side by itself and t on the other (but not necessarily by itself), like this:

    s = -1.5t2 + 10t + 4

    • In this equation, the variables are:
      Displacement = s . The distance the object has traveled from its starting position.[3]
      For example, if an object goes 10 meters forward and 7 meters backward, its total displacement is 10 — 7 = 3 meters (not 10 + 7 = 17 meters).
      Time = t . Self explanatory. Typically measured in seconds.
  2. Image titled Calculate Instantaneous Velocity Step 2

    2

    Take the equation’s derivative. The derivative of an equation is just a different equation that tells you its slope at any given point in time. To find the derivative of your displacement formula, differentiate the function with this general rule for finding derivatives: If y = a*xn, Derivative = a*n*xn-1.This rule is applied to every term on the «t» side of the equation.[4]

    • In other words, start by going through the «t» side of your equation from left to right. Every time you reach a «t», subtract 1 from the exponent and multiply the entire term by the original exponent. Any constant terms (terms which don’t contain «t») will disappear because they be multiplied by 0. This process isn’t actually as hard as it sounds — let’s derive the equation in the step above as an example:

      s = -1.5t2 + 10t + 4
      (2)-1.5t(2-1) + (1)10t1 — 1 + (0)4t0
      -3t1 + 10t0
      -3t + 10

    Advertisement

  3. Image titled Calculate Instantaneous Velocity Step 3

    3

    Replace «s» with «ds/dt.» To show that our new equation is a derivative of the first one, we replace «s» with the notation «ds/dt». Technically, this notation means «the derivative of s with respect to t.» A simpler way to think of this is just that ds/dt is just the slope of any given point in the first equation. For example, to find the slope of the line made by s = -1.5t2 + 10t + 4 at t = 5, we would just plug «5» into t in its derivative.

    • In our running example, our finished equation should now look like this:

      ds/dt = -3t + 10

  4. Image titled Calculate Instantaneous Velocity Step 4

    4

    Plug in a t value for your new equation to find instantaneous velocity.[5]
    Now that you have your derivative equation, finding the instantaneous velocity at any point in time is easy. All you need to do is pick a value for t and plug it into your derivative equation. For example, if we want to find the instantaneous velocity at t = 5, we would just substitute «5» for t in the derivative ds/dt = -3 + 10. Then, we’d just solve the equation like this:

    ds/dt = -3t + 10
    ds/dt = -3(5) + 10
    ds/dt = -15 + 10 = -5 meters/second

    • Note that we use the label «meters/second» above. Since we’re dealing with displacement in terms of meters and time in terms of seconds and velocity in general is just displacement over time, this label is appropriate.
  5. Advertisement

  1. Image titled Calculate Instantaneous Velocity Step 5

    1

    Graph your object’s displacement over time. In the section above, we mentioned that derivatives are just formulas that let us find the slope at any point for the equation you take the derivative for.[6]
    In fact, if you represent an object’s displacement with a line on a graph, the slope of the line at any given point is equal to the object’s instantaneous velocity at that point.[7]

    • To graph an object’s displacement, use the x axis to represent time and the y axis to represent displacement. Then, just plot points by plugging values for t into your displacement equation, getting s values for your answers, and marking the t,s (x,y) points on the graph.
    • Note that the graph can extend below the x axis. If the line representing your object’s motion drops below the x axis, this represents your object moving behind where it started. Generally, your graph won’t extend behind the y axis — we don’t often measure velocity for objects moving backward in time!
  2. Image titled Calculate Instantaneous Velocity Step 6

    2

    Choose one point P and a point Q that is near it on the line. To find a line’s slope at a single point P, we use a trick called «taking a limit.» Taking a limit involves taking two points (P, plus Q, a point near it) on the curved line and finding the slope of the line linking them over and over again as the distance between P and Q gets smaller.

    • Let’s say that our displacement line contains the points (1,3) and (4,7). In this case, if we want to find the slope at (1,3), we can set (1,3) = P and (4,7) = Q.
  3. Image titled Calculate Instantaneous Velocity Step 7

    3

    Find the slope between P and Q. The slope between P and Q is the difference in y-values for P and Q over the difference in x-values for P and Q. In other words, H = (yQ — yP)/(xQ — xP), where H is the slope between the two points. In our example, the slope between P and Q is:

    H = (yQ — yP)/(xQ — xP)
    H = (7 — 3)/(4 — 1)
    H = (4)/(3) = 1.33

  4. Image titled Calculate Instantaneous Velocity Step 8

    4

    Repeat several times, moving Q nearer to P. Your goal here is to make the distance between P and Q smaller and smaller until it gets close to a single point. The smaller the distance between P and Q gets, the closer the slope of your tiny line segments will be to the slope at point P. Let’s do this a few times for our example equation, using the points (2,4.8), (1.5,3.95), and (1.25,3.49) for Q and our original point of (1,3) for P:

    Q = (2,4.8): H = (4.8 — 3)/(2 — 1)
    H = (1.8)/(1) = 1.8

    Q = (1.5,3.95): H = (3.95 — 3)/(1.5 — 1)
    H = (.95)/(.5) = 1.9

    Q = (1.25,3.49): H = (3.49 — 3)/(1.25 — 1)
    H = (.49)/(.25) = 1.96

  5. Image titled Calculate Instantaneous Velocity Step 9

    5

    Estimate the slope for an infinitely small interval on the line. As Q gets closer and closer to P, H will get closer and closer to the slope at point P. Eventually, at an infinitely small interval, H will equal the slope at P. Because we aren’t able to measure or calculate an infinitely small interval, we just estimate the slope at P once it’s clear from the points we’ve tried.[8]

    • In our example, as we moved Q closer to P, we got values of 1.8, 1.9, and 1.96 for H. Since these numbers appear to be approaching 2, we can say that 2 is a good estimate for the slope at P.
    • Remember that the slope at a given point on a line is equal to the derivative of the line’s equation at that point. Since our line is showing our object’s displacement over time and, as we saw in the section above, an object’s instantaneous velocity is the derivative of its displacement at a given point, we can also say that 2 meters/second is a good estimate for the instantaneous velocity at t = 1.
  6. Advertisement

  1. Image titled Calculate Instantaneous Velocity Step 10

    1

    Find the instantaneous velocity at t = 4 given the displacement equation s = 5t3 — 3t2 + 2t + 9. This is just like our example in the first section, except that we’re dealing with a cubic equation rather than a quadratic equation, so we can solve it in the same way.

    • First, we’ll take our equation’s derivative:

      s = 5t3 — 3t2 + 2t + 9
      s = (3)5t(3 — 1) — (2)3t(2 — 1) + (1)2t(1 — 1) + (0)9t0 — 1
      15t(2) — 6t(1) + 2t(0)
      15t(2) — 6t + 2

    • Then, we’ll plug in our value for t (4):

      s = 15t(2) — 6t + 2
      15(4)(2) — 6(4) + 2
      15(16) — 6(4) + 2
      240 — 24 + 2 = 218 meters/second

  2. Image titled Calculate Instantaneous Velocity Step 11

    2

    Use graphical estimation to find the instantaneous velocity at (1,3) for the displacement equation s = 4t2 — t. For this problem, we’ll use (1,3) as our P point, but we’ll have to find a few other points near it to use as our Q points. Then, it’s just a matter of finding our H values and making an estimation.

    • First, let’s find Q points at t = 2, 1.5, 1.1 and 1.01.

      s = 4t2 — t

      t = 2: s = 4(2)2 — (2)
      4(4) — 2 = 16 — 2 = 14, so Q = (2,14)

      t = 1.5: s = 4(1.5)2 — (1.5)
      4(2.25) — 1.5 = 9 — 1.5 = 7.5, so Q = (1.5,7.5)

      t = 1.1: s = 4(1.1)2 — (1.1)
      4(1.21) — 1.1 = 4.84 — 1.1 = 3.74, so Q = (1.1,3.74)

      t = 1.01: s = 4(1.01)2 — (1.01)
      4(1.0201) — 1.01 = 4.0804 — 1.01 = 3.0704, so Q = (1.01,3.0704)

    • Next, let’s get our H values:

      Q = (2,14): H = (14 — 3)/(2 — 1)
      H = (11)/(1) = 11

      Q = (1.5,7.5): H = (7.5 — 3)/(1.5 — 1)
      H = (4.5)/(.5) = 9

      Q = (1.1,3.74): H = (3.74 — 3)/(1.1 — 1)
      H = (.74)/(.1) = 7.3

      Q = (1.01,3.0704): H = (3.0704 — 3)/(1.01 — 1)
      H = (.0704)/(.01) = 7.04

    • Since our H values seem to be getting very close to 7, we can say that 7 meters/second is a good estimate for the instantaneous velocity at (1,3).
  3. Advertisement

Add New Question

  • Question

    What is the difference between instantaneous and average velocity?

    Community Answer

    Instantaneous is at that moment, whereas average is the mean of the entire time span.

  • Question

    How do I calculate instantaneous acceleration?

    Community Answer

    Instantaneous acceleration can be considered as the value of the derivative of the instantaneous velocity. For example:

    s = 5(t^3) — 3(t^2) + 2t + 9
    v = 15(t^2) — 6t + 2
    a = 30t — 6

    If we want to know the instantaneous acceleration at t = 4, then a(4) = 30 * 4 — 6 = 114 m/(s^2)

  • Question

    When is instantaneous velocity and average velocity the same?

    Community Answer

    Instantaneous velocity tells you the velocity of an object at a single moment in time. If the object is moving with a constant velocity, then the average velocity and instantaneous velocity will be the same. In all situations, they are not likely to be the same.

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

Advertisement

Video

  • To find acceleration (the change in velocity over time), use the method in part one to get a derivative equation for your displacement function. Then, take another derivative, this time of your derivative equation. This will give you an equation for finding acceleration at a given time — all you have to do is plug in your value for time.

  • The equation which relates Y (displacement) to X (time) might be really simple, like, for instance, Y= 6x + 3. In this case the slope is constant and it is not necessary to find a derivative to find the slope, which is, following the Y = mx + b basic model for linear graphs, 6.

  • Displacement is like distance but it has a set direction, this makes displacement a vector and speed a scalar. Displacement can be negative while distance will only be positive.

Thanks for submitting a tip for review!

Advertisement

References

About This Article

Article SummaryX

To calculate instantaneous velocity, start with an equation for velocity in terms of displacement, which should have an «s» on one side for displacement and a «t» on the other for time. Then, take the equation’s derivative and replace the «s» with the notation «ds» over «dt.» Finally, plug in a «t» value and solve the equation to find the instantaneous velocity at any point in time. To learn how to estimate instantaneous velocity graphically, scroll down!

Did this summary help you?

Thanks to all authors for creating a page that has been read 1,050,963 times.

Did this article help you?

Определение

Скорость — это термин, который характеризует изменение заданной координаты в движении.

В ситуации, когда координаты изменяют свое положение относительно оси, следовательно, их материальная точка будет находится в процессе движения.

Средняя скорость — это величина векторного типа, которая имеет определенное числовое равенство относительно перемещения совершаемого  в конкретную единицу времени, и направлена совместно я с векторным  перемещением.

Средняя скорость – довольно простое понятие в разделе кинематика.

Определение

Следовательно, средняя скорость – это конкретная величина, которая равна отношению пройденного пути, к величине времени, за которое данный путь пройден телом.

[v_{mathrm{cp}}=frac{S}{t}]

Основные моменты, на которые следует уделить внимание при определении средней скорости:

  • Необходимое время, которое учитывается, когда тело в процессе движения может делать кратковременные остановки;
  • Определение правильной величины средней скорость тела, которое начинает движение в пункте А и оканчивает его в пункте В. Но в процессе движения, может повернуть несколько раз обратно, а затем снова продолжает движение в заданном направлении, двигаясь в пункт В.

Модуль для определения средней скорости движения вычисляется по следующей формуле: V=s/t.

Определение

Мгновенная скорость — это некий числовой предел, к которому стремится показатель средней скорости.

Мгновенная скорость, как правило, характеризует заданное движение точки в конкретный и определенный момент времени.

Для любой категории характерно бесконечное количество точек. Потому что каждый временной интервал включает в себя бесконечное количество мгновений.

Когда сам временной интервал стремится к нулевому значению, то он автоматически преобразуется в мгновение.

Формула

Мгновение скорости можно определить по следующей формуле: v=s/Δt
где:
v – скорость мгновения, м/с
s – движение, перемещение тела, м ( если Δt→0 )
Δt – временной интервал, который стремится к нулевому значению, с.

Стоит отметить, что мгновенная скорость – это величина, которая изображена как вектор. Она равняется отношению движения к временному интервалу. А именно: промежуток времени, за который данное перемещение происходит, при условии, что временной интервал стремится к нулевому значению.

Временной интервал движения тела –  это всегда скляр с положительным значением. Поэтому мгновенная скорость и ее векторное значение,  всегда сонаправлено с перемещением, которое имеет значение стремящееся к нулю.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Направление и перемещение действия средней и мгновенной скорости относительно координатной оси

Средняя скорость всегда направлена вместе с перемещением:

Направление средней скорости

Для мгновенной скорости характерно движение в конкретный момент времени.

Направление векторной скорости, которая обозначается как: υ расположено по касательной, относительно криволинейной траектории.

Так как непрерывное малое перемещение однозначно совпадает с бесконечно малым элементом траектории.

Направление средней скорости 1

Примеры решения задач по определению мгновенной и средней скорости

Пример №1:

Имеет ли способность мгновенная скорость, изменять свое значение только относительно направления, при этом не меняя модульную величину.

Используя основные термины и формулы, решим данную задачу. При решении необходимо рассмотреть пример:

  • Движение тела происходит по криволинейной траектории. На ней необходимо обозначить начальный и конечный пункты, а именно: точки А и В.
  • Далее нужно обозначить основное направление мгновенной скорости в заданных ранее точках.
  • Следует помнить, что мгновенная скорость имеет направление относительно касательной по траектории.
  • Расстояние и скорость имеют одинаковые значения  по модулю и, следовательно, равны 5 м/с.

[left|vec{V}_{A}right|=left|vec{V}_{B}right|=5 frac{м}{c}]

Пример 1

Следующее равенство вида: [vec{V}_{A}=vec{V}_{B}] будет неверным. Так как скорость – является векторной величиной. Поэтому очень важно задать не только числовое значение, но направление по которому будет осуществляться движение.

В случае, когда [vec{V}_{A}=vec{V}_{B}] можно составить равенство следующего вида:[vec{V}_{A}-vec{V}_{B}=0] однако определив вектор разности значений [Delta vec{V}], можно сделать вывод, что его значение не равно нулевому.

Следовательно, [vec{V}_{A} neq vec{V}_{B}], другими словами мгновенная скорость может быть равна нулевому значению и быть равной по модулю. Однако, при этом различаться по основному направлению движения.

Пример №2:

Возможно ли изменение по модульному значению мгновенной скорости, но при этом направление остается неизменным.

Алгоритм решения:

движения мгновенной скорости

Рассмотрев рисунок, который приведен выше, можно сделать вывод, что:

  • в точке А и в точке В направление движения мгновенной скорости одинаково;
  • рассматриваемое тело, которое осуществляет   движение, делает это   с равным ускорением, следовательно:

[vec{V}_{A}=vec{V}_{B}]


Загрузить PDF


Загрузить PDF

Скорость — это быстрота перемещения объекта в заданном направлении. [1]
В общих целях нахождение скорости объекта (v) — простая задача: нужно разделить перемещение (s) в течение определенного времени (s) на это время (t), то есть воспользоваться формулой v = s/t. Однако таким способом получают среднюю скорость тела. Используя некоторые вычисления, можно найти скорость тела в любой точке пути. Такая скорость называется мгновенной скоростью и вычисляется по формуле v = (ds)/(dt), то есть представляет собой производную от формулы для вычисления средней скорости тела.[2]

  1. Изображение с названием Calculate Instantaneous Velocity Step 1

    1

    Начните с уравнения. Для вычисления мгновенной скорости необходимо знать уравнение, описывающее перемещение тела (его позицию в определенный момент времени),[3]
    то есть такое уравнение, на одной стороне которого находится s (перемещение тела), а на другой стороне — члены с переменной t (время).[4]
    Например:

    s = -1.5t2 + 10t + 4

    • В этом уравнении:
      Перемещение = s. Перемещение — пройденный объектом путь. Например, если тело переместилось на 10 м вперед и на 7 м назад, то общее перемещение тела равно 10 — 7 = 3 м (а на 10 + 7 = 17 м).
      Время = t. Обычно измеряется в секундах.
  2. Изображение с названием Calculate Instantaneous Velocity Step 2

    2

    Вычислите производную уравнения. Чтобы найти мгновенную скорость тела, чьи перемещения описываются приведенным выше уравнением, нужно вычислить производную этого уравнения. Производная — это уравнение, позволяющее вычислить наклон графика в любой точке (в любой момент времени). Чтобы найти производную, продифференцируйте функцию следующим образом: если y = a*xn, то производная = a*n*xn-1. Это правило применяется к каждому члену многочлена.

    • Другими словами, производная каждого члена с переменной t равна произведению множителя (стоящему перед переменной) и степени переменной, умноженному на переменную в степени, равную исходной степени минус 1. Свободный член (член без переменной, то есть число) исчезает, потому что умножается на 0. В нашем примере:

      s = -1.5t2 + 10t + 4
      (2)-1.5t(2-1) + (1)10t1 — 1 + (0)4t0
      -3t1 + 10t0
      -3t + 10

  3. Изображение с названием Calculate Instantaneous Velocity Step 3

    3

    Замените «s» на «ds/dt», чтобы показать, что новое уравнение — это производная от исходного уравнения (то есть производная s от t). Производная — это наклон графика в определенной точке (в определенный момент времени). Например, чтобы найти наклон линии, описываемой функцией s = -1.5t2 + 10t + 4 при t = 5, просто подставьте 5 в уравнение производной.

    • В нашем примере уравнение производной должно выглядеть следующим образом:

      ds/dt = -3t + 10

  4. Изображение с названием Calculate Instantaneous Velocity Step 4

    4

    В уравнение производной подставьте соответствующее значение t, чтобы найти мгновенную скорость в определенный момент времени.[5]
    Например, если вы хотите найти мгновенную скорость при t = 5, просто подставьте 5 (вместо t) в уравнение производной ds/dt = -3 + 10. Затем решите уравнение:

    ds/dt = -3t + 10
    ds/dt = -3(5) + 10
    ds/dt = -15 + 10 = -5 м/с

    • Обратите внимание на единицу измерения мгновенной скорости: м/с. Так как нам дано значение перемещения в метрах, а время — в секундах, и скорость равна отношению перемещения ко времени, то единица измерения м/с — правильная.

    Реклама

  1. Изображение с названием Calculate Instantaneous Velocity Step 5

    1

    Постройте график перемещения тела. В предыдущей главе вы вычисляли мгновенную скорость по формуле (уравнению производной, позволяющему найти наклон графика в определенной точке).[6]
    Построив график перемещения тела, вы можете найти его наклон в любой точке, а следовательно определить мгновенную скорость в определенный момент времени.

    • По оси Y откладывайте перемещение, а по оси X — время. Координаты точек (x,у) получите через подстановку различных значений t в исходное уравнение перемещение и вычисления соответствующих значений s.
    • График может опускаться ниже оси X. Если график перемещения тела опускается ниже оси X, то это значит, что тело движется в обратном направлении от точки начала движения. Как правило, график не распространяется за ось Y (отрицательные значения x) — мы не измеряем скорости объектов, движущихся назад во времени!
  2. Изображение с названием Calculate Instantaneous Velocity Step 6

    2

    Выберите на графике (кривой) точку P и близкую к ней точку Q. Чтобы найти наклон графика в точке P, используем понятие предела. Предел — состояние, при котором величина секущей, проведенной через 2 точки P и Q, лежащих на кривой, стремится к нулю.

    • Например, рассмотрим точки P(1,3) и Q(4,7) и вычислим мгновенную скорость в точке P.
  3. Изображение с названием Calculate Instantaneous Velocity Step 7

    3

    Найдите наклон отрезка PQ. Наклон отрезка PQ равен отношению разницы значений координат «у» точек P и Q к разнице значений координат «х» точек P и Q. Другими словами, H = (yQ — yP)/(xQ — xP), где H — наклон отрезка PQ. В нашем примере наклон отрезка PQ равен:

    H = (yQ — yP)/(xQ — xP)
    H = (7 — 3)/(4 — 1)
    H = (4)/(3) = 1.33

  4. Изображение с названием Calculate Instantaneous Velocity Step 8

    4

    Повторите процесс несколько раз, приближая точку Q к точке P. Чем меньше расстояние между двумя точками, тем ближе значение наклона полученных отрезков к наклону графика в точке P. В нашем примере проделаем вычисления для точки Q с координатами (2,4.8), (1.5,3.95) и (1.25,3.49) (координаты точки P остаются прежними):

    Q = (2,4.8): H = (4.8 — 3)/(2 — 1)
    H = (1.8)/(1) = 1.8

    Q = (1.5,3.95): H = (3.95 — 3)/(1.5 — 1)
    H = (.95)/(.5) = 1.9

    Q = (1.25,3.49): H = (3.49 — 3)/(1.25 — 1)
    H = (.49)/(.25) = 1.96

  5. Изображение с названием Calculate Instantaneous Velocity Step 9

    5

    Чем меньше расстояние между точками P и Q, тем ближе значение H к наклону графика в точке P При предельно малом расстоянии между точками P и Q, значение H будет равно наклону графика в точке P Так как мы не можем измерить или вычислить предельно малое расстояние между двумя точками, графический способ дает оценочное значение наклона графика в точке Р.

    • В нашем примере при приближении Q к P мы получили следующие значения H: 1.8; 1.9 и 1.96. Так как эти числа стремятся к 2, то можно сказать, что наклон графика в точке P равен 2.
    • Помните, что наклон графика в данной точке равен производной функции (по которой построен этот график) в этой точке. График отображает перемещение тела с течением времени и, как отмечалось в предыдущем разделе, мгновенная скорость тела равна производной от уравнения перемещения этого тела. Таким образом, можно заявить, что при t = 2 мгновенная скорость равна 2 м/с (это оценочное значение).

    Реклама

  1. Изображение с названием Calculate Instantaneous Velocity Step 10

    1

    Вычислите мгновенную скорость при t = 4, если перемещение тела описывается уравнением s = 5t3 — 3t2 + 2t + 9. Этот пример похож на задачу из первого раздела с той лишь разницей, что здесь дано уравнение третьего порядка (а не второго).

    • Сначала вычислим производную этого уравнения:

      s = 5t3 — 3t2 + 2t + 9
      s = (3)5t(3 — 1) — (2)3t(2 — 1) + (1)2t(1 — 1) + (0)9t0 — 1
      15t(2) — 6t(1) + 2t(0)
      15t(2) — 6t + 2

    • Теперь подставим в уравнение производной значение t = 4:

      s = 15t(2) — 6t + 2
      15(4)(2) — 6(4) + 2
      15(16) — 6(4) + 2
      240 — 24 + 2 = 22 м/с

  2. Изображение с названием Calculate Instantaneous Velocity Step 11

    2

    Оценим значение мгновенной скорости в точке с координатами (1,3) на графике функции s = 4t2 — t. В этом случае точка P имеет координаты (1,3) и необходимо найти несколько координат точки Q, лежащий близко к точке P. Затем вычислим H и найдем оценочные значения мгновенной скорости.

    • Сначала найдем координаты Q при t = 2, 1.5, 1.1 и 1.01.

      s = 4t2 — t

      t = 2: s = 4(2)2 — (2)
      4(4) — 2 = 16 — 2 = 14, so Q = (2,14)

      t = 1.5: s = 4(1.5)2 — (1.5)
      4(2.25) — 1.5 = 9 — 1.5 = 7.5, so Q = (1.5,7.5)

      t = 1.1: s = 4(1.1)2 — (1.1)
      4(1.21) — 1.1 = 4.84 — 1.1 = 3.74, so Q = (1.1,3.74)

      t = 1.01: s = 4(1.01)2 — (1.01)
      4(1.0201) — 1.01 = 4.0804 — 1.01 = 3.0704, so Q = (1.01,3.0704)

    • Теперь вычислим H:

      Q = (2,14): H = (14 — 3)/(2 — 1)
      H = (11)/(1) = 11

      Q = (1.5,7.5): H = (7.5 — 3)/(1.5 — 1)
      H = (4.5)/(.5) = 9

      Q = (1.1,3.74): H = (3.74 — 3)/(1.1 — 1)
      H = (.74)/(.1) = 7.3

      Q = (1.01,3.0704): H = (3.0704 — 3)/(1.01 — 1)
      H = (.0704)/(.01) = 7.04

    • Так как полученные значения H стремятся к 7, то можно сказать, что мгновенная скорость тела в точке (1,3) равна 7 м/с (оценочное значение).

    Реклама

Советы

  • Чтобы найти ускорение (изменение скорости с течением времени), используйте метод из первой части, чтобы получить производную функции перемещения. Затем возьмите еще раз производную от полученной производной. Это даст вам уравнение для нахождения ускорения в данный момент времени — все, что вам нужно сделать, это подставить значение для времени.
  • Уравнение, описывающее зависимость у (перемещение) от x (время), может быть очень простым, например: у = 6x + 3. В этом случае наклон является постоянным и не надо брать производную, чтобы его найти. Согласно теории линейных графиков, их наклон равен коэффициенту при переменной x, то есть в нашем примере =6.
  • Перемещение подобно расстоянию, но оно имеет определенное направление, что делает его векторной величиной. Перемещение может быть отрицательным, в то время как расстояние будет только положительным.

Реклама

Об этой статье

Эту страницу просматривали 83 497 раз.

Была ли эта статья полезной?

Уменьшая
неограниченно промежуток времени t,
за который произошло перемещение м. т.
в пространстве в пределе, когда t

0, получим мгновенную скорость, т. е.

(15)

Вектор
мгновенной скорости равен пределу
отношения приращения радиус-вектора
м. т. к тому промежутку времени, за которое
это приращение произошло, когда
t

0 или равен первой производной
радиус-вектора по времени.

Вектор
мгновенной скорости в данный момент
времени направлен по касательной к
траектории в данной точке (рис. 9).

Действительно,
при t

0, когда точка М2
приближается к М1,
хорда (секущая)
,
сближается с длиной отрезка дугиs
и в пределе s
=
,
а секущая переходит в касательную. Это
наглядно подтверждается опытами.
Например, искры при заточке инструмента
всегда направлены по касательной к
точильному кругу. Поскольку, скорость
– величина векторная, то модуль ее

.

В
некоторых типах ускорителей (например,
циклотронах и др.) частицы многократно
движутся по замкнутой траектории без
остановки. Следовательно, в любой точке
траектории модуль вектора мгновенной
скорости должен отличаться от нуля. Это
заключение подтверждается не только
уравнением (15), но и согласуется с понятием
средней скалярной скорости (формула
11). Если в уравнении (11) перейти к пределу
при t

0, то придется рассматривать такие малые
участки пути на траектории s,
которые не отличаются от модуля
элементарного вектора перемещения
.
Тогда на основании уравнения (11) можно
получить значение мгновенной скалярной
скорости

совпадающее
с модулем вектора мгновенной скорости

,

так
как r
= s
при t

0.

Одно
уравнение вектора мгновенной скорости
(15) можно заменить эквивалентной системой
трех скалярных уравнений, проекций
вектора скорости на оси координат

vx
= dx/dt, vy
=
dy/dt, vz
=
dz/dt. (16)

Вектор
мгновенной скорости связан с его
проекциями на оси координат выражением

,
(17)

где

– единичные векторы, направленные вдоль
осей Х, У,Z
соответственно.

По модулю

.
(18)

Таким
образом, вектор скорости характеризует
быстроту изменения перемещения в
пространстве по величине и направлению
с течением времени. Скорость – функция
времени.

1.12. Среднее ускорение

При движении тел
скорость в общем случае может изменяться
как по величине, так и по направлению.

Рис.
10

Примерами
такого движения являются движение
Солнечной системы вокруг центра нашей
Галактики или движение поезда при
торможении и т. д. Равномерное движение
м. т. по окружности является примером,
когда ее скорость изменяется по
направлению, оставаясь постоянной по
величине. Если м. т. движется по некоторой
траектории, изменяя величину и направление
скорости, то для характеристики ее
движения уже недостаточно знать
перемещение и скорость, нужно знать еще
и быстроту изменения скорости, т. е.
ускорение.

Пусть
м. т. в некоторый момент времени t1
находится в пункте М1
и движется со скоростью
,
а в момент времени t2
– в пункте М2
– со скоростью
(рис. 10).

Перенесем
вектор
параллельно самому себе в точку М1
так, чтобы совпали начала векторов
и.

Тогда
разность векторов
иесть вектор изменения (приращения)
скорости за промежуток времениt
= t2
– t1,
т. е.

.
(19)

Вектор среднего
ускорения равен отношению вектора
изменения скорости к промежутку времени,
за которое это изменение произошло.

Следовательно,

.
(20)

Вектор
среднего ускорения совпадает с
направлением вектора изменения скорости
и, направлен внутрь кривизны траектории.

Одному
векторному уравнению (1.20) соответствует
система из трех скалярных уравнений
для проекций вектора среднего ускорения
на оси координат

(21)

Модуль вектора
среднего ускорения

.
(22)

За
единицу измерения ускорения в СИ принят
метр на секунду в квадрате.

В прошлой статье мы немножко разобрались с тем, что такое механика  и зачем она нужна. Мы уже знаем, что такое система отсчета,  относительность движения и материальная точка. Что ж, пора двигаться дальше!  Здесь мы рассмотрим основные понятия кинематики, соберем вместе самые полезные формулы по основам кинематики  и приведем практический пример решения задачи.

Присоединяйтесь к нам в телеграм и получайте ежедневную рассылку с полезной информацией по актуальным студенческим вопросам.

Траектория, радиус-вектор, закон движения тела

Кинематикой занимался еще Аристотель. Правда, тогда это не называлось кинематикой. Затем очень большой вклад  в развитие механики, и кинематики в частности, внес Галилео Галилей, изучавший свободное падение и инерцию тел.

Итак, кинематика решает вопрос: как тело движется. Причины, по которым оно пришло в движение, ее не интересуют. Кинематике не важно, сама поехала машина, или ее толкнул гигантский динозавр. Абсолютно все равно.

Сейчас мы будем рассматривать самую простую кинематику – кинематику точки. Представим, что тело (материальная точка) движется. Не важно, что это за тело, все равно мы рассматриваем его, как материальную точку. Может быть, это НЛО в небе, а может быть, бумажный самолетик, который мы запустили из окна. А еще лучше, пусть это будет новая машина, на которой мы едем в путешествие. Перемещаясь из точки А в точку Б, наша точка описывает воображаемую линию, которая называется траекторией движения. Другое определение траектории – годограф радиус вектора, то есть линия, которую описывает конец радиус-вектора материальной точки при движении.

Радиус-вектор – вектор, задающий положение точки в пространстве.

Для того, чтобы узнать положение тела в пространстве в любой момент времени, нужно знать закон движения тела – зависимость координат  (или радиус-вектора точки) от времени.

Перемещение и путь

Тело переместилось из точки А в точку Б. При этом перемещение тела – отрезок, соединяющий данные точки напрямую – векторная величина. Путь, пройденный телом – длина его траектории. Очевидно, перемещение и путь не стоит путать. Модуль вектора перемещения и длина пути совпадают лишь в случае прямолинейного движения.

Перемещение и путь

 

В системе СИ перемещение и длина пути измеряются в метрах.

Перемещение равно разнице радиус-векторов в начальный и конечный моменты времени. Другими словами, это приращение радиус вектора.

Скорость и ускорение

Средняя скорость – векторная физическая величина, равная отношению вектора перемещения к промежутку времени, за которое оно произошло

Скорость и ускорение

А теперь представим, что промежуток времени уменьшается, уменьшается, и становится совсем коротким, стремится к нулю. В таком случае о средней скорости говорить на приходится, скорость становится мгновенной. Те, кто помнит основы математического анализа, тут же поймут, что в дальнейшем нам не обойтись без производной.

Мгновенная скорость – векторная физическая величина, равная производной  от радиус вектора по времени. Мгновенная скорость всегда направлена по касательной к траектории.

Мгновенная скорость формула

В системе СИ скорость измеряется в метрах в секунду

Если тело движется не равномерно и прямолинейно, то у него есть не только скорость, но и ускорение.

Ускорение (или мгновенное ускорение) – векторная физическая величина, вторая производная от радиус-вектора по времени, и, соответственно, первая производная от мгновенной скорости

Мгновенное ускорение формула

Ускорение показывает, как быстро изменяется скорость тела. В случае прямолинейного движения, направления векторов скорости и ускорения совпадают. В случае же криволинейного движения, вектор ускорения можно разложить на две составляющие: ускорение тангенциальное, и ускорение нормальное.

Тангенциальное ускорение показывает, как быстро изменяется скорость тела по модулю и направлено по касательной к траектории

Тангенциальное ускорение формула

Нормальное же ускорение характеризует быстроту изменения скорости по направлению. Векторы нормального и тангенциального ускорения взаимно перпендикулярны, а вектор нормального ускорения направлен к центру окружности, по которой движется точка.

Нормальное ускорение как найти

Здесь R – радиус окружности, по которой движется тело.

Векторы нормального, тангенциального и полного ускорения

 

Закон равноускоренного движения

Рассмотрим далее закон равноускоренного движения, то есть движения с постоянным ускорением. Будем рассматривать простейший случай, когда тело движется вдоль оси x.

Закон равноускоренного движения

Здесь  — x нулевое- начальная координата. v нулевое — начальная скорость. Продифференцируем по времени, и получим скорость

Закон равноускоренного движения

Производная по скорости от времени даст значение ускорения a, которое является константой.

Пример решения задачи

Теперь, когда мы рассмотрели физические основы кинематики, пора закрепить знания на практике и решить какую-нибудь задачу. Причем, чем быстрее, тем лучше.

Кстати! Для всех наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Решим такую задачу: точка движется по окружности радиусом 4 метра. Закон ее движения выражается уравнением S=A+Bt^2. А=8м, В=-2м/с^2. В какой момент времени нормальное ускорение точки равно 9 м/с^2? Найти скорость, тангенциальное и полное ускорение точки для этого момента времени.

Решение: мы знаем, что для того, чтобы найти скорость нужно взять первую производную по времени от закона движения, а нормальное ускорение равняется частному квадрата скорости и радиуса окружности, по которой точка движется. Вооружившись этими знаниями, найдем искомые величины.

Кинематика пример решения задачи

Нужна помощь в решении задач? Профессиональный студенческий сервис готов оказать ее.

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как составить договор на покупки новой квартиры
  • Как найти почту по имейлу
  • Как найти амплитуда свободных колебаний тела
  • Как найти свойства драйверов
  • Как найти стоимость промежуточного продукта формула