Как найти модуль момента силы трения

Когда решают любые задачи по физике, в которых имеются движущиеся объекты, то всегда говорят о силах трения. Их либо учитывают, либо ими пренебрегают, но факт их присутствия ни у кого не вызывает сомнения. В данной статье рассмотрим, что такое момент сил трения, а также приведем проблемы, для устранения которых воспользуемся полученными знаниями.

Сила трения и ее природа

Каждый понимает, что если одно тело движется по поверхности другого совершенно любым способом (скользит, катится), то всегда существует некоторая сила, которая препятствует этому перемещению. Она называется динамической силой трения. Причина ее возникновения связана с тем фактом, что любые тела имеют микроскопические шероховатости на своих поверхностях. Когда соприкасаются два объекта, то их шероховатости начинают взаимодействовать друг с другом. Это взаимодействие носит как механический характер (пик попадает во впадину), так и происходит на уровне атомов (дипольные притяжения, ван-дер-ваальсовые и другие).

Вам будет интересно:Чжугэ Лян: биография, личная жизнь, исследовательская деятельность

Когда соприкасаемые тела находятся в покое, то, чтобы привести их в движение относительно друг друга, необходимо приложить усилие, которое больше такового для поддержания скольжения этих тел друг по другу с постоянной скоростью. Поэтому помимо динамической также рассматривают статическую силу трения.

Свойства силы трения и формулы для ее вычисления

Вам будет интересно:Голландская Ост-Индская компания: основатель, история, деятельность, банкротство

В школьном курсе физики говорится, что впервые законы трения изложил французский физик Гийом Амонтон в XVII веке. На самом деле это явление стал изучать еще в конце XV века Леонардо да Винчи, рассматривая движущийся предмет по гладкой поверхности.

Свойства трения могут быть кратко изложены следующим образом:

• сила трения всегда действует против направления перемещения тела;
• ее величина прямо пропорциональна реакции опоры;
• она не зависит от площади контакта;
• она не зависит от скорости перемещения (для небольших скоростей).

Эти особенности рассматриваемого явления позволяют ввести следующую математическую формулу для силы трения:

F = μ*N, где N — реакция опоры, μ — коэффициент пропорциональности.

Значение коэффициента μ зависит исключительно от свойств поверхностей, которые трутся друг о друга. Таблица значений для некоторых поверхностей приведена ниже.

Для трения покоя формула используется та же самая, что приведена выше, однако значения коэффициентов μ для тех же поверхностей будут совершенно иные (они больше по величине, чем для скольжения).

Особый случай представляет трение качения, когда одно тело катится (не скользит) по поверхности другого. Для силы в этом случае применяют формулу:

F = f*N/R.

Здесь R — радиус колеса, f- коэффициент качения, который согласно формуле имеет размерность длины, что его отличает от безразмерного μ.

Момент силы

Перед тем как отвечать на вопрос, как определить момент сил трения, необходимо рассмотреть само физическое понятие. Под моментом силы M понимают физическую величину, которая определяется как произведение плеча на значение силы F, приложенной к нему. Ниже приведен рисунок.

Здесь мы видим, что приложение F к плечу d, которое равно длине гаечного ключа, создает крутящий момент, приводящий к откручиванию зеленой гайки.

Таким образом, для момента силы справедлива формула:

M = d*F.

Заметим, что природа силы F не имеет никакого значения: она может быть электрической, гравитационной или вызванной трением. То есть определение момента силы трения будет тем же самым, что приведено в начале пункта, и записанная формула для M остается справедливой.

Когда появляется момент сил, вызванный трением?

Эта ситуация возникает, когда выполняются три главных условия:

• Во-первых, должна иметь место вращающаяся система вокруг некоторой оси. Например, это может быть колесо, движущееся по асфальту, или крутящаяся на оси горизонтально расположенная музыкальная пластинка патефона.
• Во-вторых, должно существовать трение между вращающейся системой и некоторой средой. В примерах выше: на колесо действует трение качения при его взаимодействии с поверхностью асфальта; если положить музыкальную пластинку на стол и раскрутить ее, то она будет испытывать трение скольжения о поверхность стола.
• В-третьих, возникающая сила трения должна действовать не на ось вращения, а на крутящиеся элементы системы. Если сила имеет центральный характер, то есть действует на ось, то плечо равно нулю, поэтому она не будет создавать момента.

Как найти момент силы трения?

Чтобы решить эту задачу, необходимо сначала определить, на какие вращающиеся элементы действует сила трения. Затем следует найти расстояние от этих элементов до оси вращения и определить, чему равна сила трения, действующая на каждый элемент. После этого необходимо выполнить умножение расстояний ri на соответствующие величины Fi и сложить полученные результаты. В итоге суммарный момент сил трения вращения вычисляется по формуле:

M = ∑nri*Fi.

Здесь n — количество сил трения, возникающих в системе вращения.

Любопытно отметить, что хотя M — это величина векторная, поэтому при сложении моментов в скалярной форме следует учитывать ее направление. Трение всегда действует против направления вращения, поэтому каждый момент Mi=ri*Fi будет иметь один и тот же знак.

Далее решим две задачи, где используем рассмотренные формулы.

Вращение диска болгарки

Известно, что когда диск болгарки радиусом 5 см режет металл, то он вращается с постоянной скоростью. Необходимо определить, какой момент сил создает электромотор прибора, если сила трения о металл диска равна 0,5 кН.

Поскольку диск вращается с постоянной скоростью, то сумма всех моментов сил, которые на него действуют, равна нулю. В данном случае мы имеем всего 2 момента: от электромотора и от силы трения. Поскольку они действуют в разных направлениях, то можно записать формулу:

M1 — M2 = 0 => M1 = M2.

Поскольку трение действует только в точке соприкосновения диска болгарки с металлом, то есть на расстоянии r от оси вращения, то ее момент силы равен:

M2 = r*F=5*10-2*500 = 25 Н*м.

Поскольку электромотор создает такой же по модулю момент, получаем ответ: 25 Н*м.

Качение деревянного диска

Имеется диск из дерева, его радиус r равен 0,5 метра. Этот диск начинают катить по деревянной поверхности. Необходимо рассчитать, какое расстояние способен он преодолеть, если начальная скорость вращения его ω составляла 5 рад/с.

Кинетическая энергия вращающегося тела равна:

E = I*ω2/2.

Здесь I — момент инерции. Сила трения качения будет приводить к замедлению движения диска. Работу, совершаемую ей, можно вычислить по следующей формуле:

A = M*θ.

Здесь θ — угол в радианах, на который сможет повернуться диск в процессе своего движения. Тело будет катиться до тех пор, пока вся его кинетическая энергия не расходуется на работу трения, то есть можно приравнять выписанные формулы:

I*ω2/2 = M*θ.

Момент инерции диска I равен m*r2/2. Чтобы вычислить момент M силы трения F, следует заметить, что она действует вдоль края диска в точке его соприкосновения с деревянной поверхностью, то есть M = r*F. В свою очередь F = f*mg/r (сила реакции опоры N равна весу диска mg). Подставляя все эти формулы в последнее равенство, получим:

m*r2*ω2/4 = r*f*mg/r*θ => θ=r2*ω2/(4*f*g).

Поскольку пройденное диском расстояние L связано с углом θ выражением L=r*θ, то получаем конечное равенство:

L=r3*ω2/(4*f*g).

Значение f можно посмотреть в таблице для коэффициентов трения качения. Для пары дерево-дерево он равен 1,5*10-3 м. Подставляем все величины, получаем:

L=0,53*52/(4*1,5*10-3*9,81) ≈ 53,1 м.

Для подтверждения правильности полученной конечной формулы можно проверить, что получаются единицы измерения длины.

Момент сил трения качения

Определим для подвижного цилиндра
момент, тормозящий вращательное движение
тела. Рассматривая данный момент
относительно оси вращающегося колеса
(например, колеса автомобиля), находим,
что он равен произведению тормозного
усилия на оси на радиус колеса.
Относительно точки контакта движущегося
тела с землей момент будет равен
произведению внешней силы, уравновешивающей
силу трения, на радиус колеса (рис.
2):

.

С другой стороны, момент трения равен
моменту прижимающей силы 
 на
плечо, длина которого равна коэффициенту
трения качения f:

где

• 
   —
  момент силы трения в [Н] · [м];

• R — радиус тела качения;

• P — внешняя сила;

• F_t — сила трения качения;

• f — коэффициент трения качения в
  [м].

Коэффициент трения качения

Из выписанного выше уравнения следует,
что коэффициент трения качения может
быть определен как отношение момента
трения качения M_t к прижимной
силе N:

Графическая интерпретация коэффициента
трения качения f дана на рис. 3
и 4.

Коэффициент трения качения имеет
следующие физические интерпретации:

• Если тело находится в покое и внешняя
  сила отсутствует, то реакция опоры
  лежит на той же линии, что и прижимающая
  сила. Когда тело катится, то из условия
  равновесия следует, что нормальная
  составляющая реакции опоры параллельна
  и противонаправлена прижимающей силе,
  но не лежит с ней на одной линии.
  Коэффициент трения качения равен
  расстоянию между прямыми, вдоль которых
  действуют прижимающая сила и нормальная
  составляющая реакции опоры (рис. 4).

• Движение катящегося тела без
  проскальзывания можно рассматривать
  как поворот вокруг мгновенной оси
  вращения (на рис. 4 — точка
  приложения вектора 
  ),
  которая для абсолютно твёрдых тел
  совпадает с основанием перпендикуляра,
  опущенного из центра круга на опору.
  Для случая реальных (деформирующихся
  под нагрузкой) материалов мгновенный
  центр вращения смещён в направлении
  качения тела, а величина смещения равна
  значению коэффициента трения качения.

Билет 16.

Система материальных точек. Внутренние
и внешние силы. Закон сохранения импульса
изолированной системы.

В любой системе частиц имеется одна
замечательная точка, называемая центром
масс, которая обладает рядом интересных
и важных свойств. Ее положение относительно
начала данной системы координат
характеризуется радиус-вектором 
,
определяемым как

(2.10)

где 
 –
масса и радиус-вектор 
-й
частицы, 
 –
масса всей системы, 
 –
полное число частиц в системе. Если
взять производную по времени от обеих
частей уравнения и умножить обе части
на 
,
то получится:

Или

,

где 
 –
скорость движения центра масс системы.
Таким образом, импульс системы материальных
точек равен произведению массы системы
на скорость ее центра масс:

.

(2.11)

Отсюда следует, что центр масс системы
материальных точек движется как
материальная точка, масса которой равна
суммарной массе всей системы, а действующая
сила – геометрической сумме всех внешних
сил, действующих на все точки системы. Этот
результат называется теоремой о движении
центра масс системы материальных точек.
Уравнение (2.11) по форме совпадает с
основным уравнением динамики материальной
точки и является его обобщением на
систему материальных точек: ускорение
системы как целого прямо пропорционально
результирующей всех внешних сил и
обратно пропорционально суммарной
массе системы.

Если система замкнута, то 
 и
уравнение (2.11) переходит в 
,
следовательно, 
.
Таким образом, центр масс замкнутой
системы движется прямолинейно и
равномерно или покоится.

Внутренние силы – это силы взаимодействия
между частицами системы тел.

Внешние силы – это силы, обусловленные
действием других тел, не входящих в
систему.

По способу приложения они могут быть
сосредоточенными и распределенными.
Сосредоточенные внешние силы действуют
на тело через очень маленькие площадки
и с достаточной степенью точности могут
считаться приложенными в точке. По
характеру действия внешние силы делятся
на постоянные и переменные.

Импульс системы может изменяться под
действием только внешних сил. Импульс
замкнутой системы частиц остается
постоянным. Закон сохранения импульса
изолированной системы:

Изолированная система – система,
состоящая из некоторого количества
тел, изолированных от всех остальных
тел и образующих механическую систему,
т.е. на эти тела не действуют внешние
силы, и сами эти тела взаимодействуют
друг с другом.

При этом импульсы отдельных частиц или
частей замкнутой системы могут меняться
со временем. Однако эти изменения всегда
происходят так, что приращение импульса
одной части системы равно убыли импульса
оставшейся части системы.

Внутренние силы – силы, с которыми
взаимодействуют тела, составляющие
механическую систему.

— сила, действующая со стороны тела

на

,

— антисимметричная матрица

Импульс изолированной системы сохраняется.
Импульсы системы тела – постоянны, если
внешние силы отсутствуют.

Билет 17.

Работа силы. Связь работы и энергии.
Мощность. Закон сохранения механической
энергии. Превращение энергии из одного
вида в другой. Примеры. Кинетическая
энергия поступательного движения.
Потенциальная энергия упругого
деформированного тела.

Работа силы.

,

Мощность
— величина, характеризующая скорость
совершения работы, называется. Мощность
численно равна отношению 
 к
промежутку времени 
 за
который она совершается.

или
в общем случае

,

Подставляя
значение 
 получим

Частный случай мощности при вращательном
движении:

M — момент силы, 
 —
угловая скорость, n — частота вращения
(число оборотов в минуту, об/мин).

Если тела, составляющие замкнутую
механическую систему, взаимодействуют
между собой только посредством сил
тяготения и упругости, то работа этих
сил равна изменению потенциальной
энергии тел, взятому с
противоположным знаком: 

A = –(Eр2 – Eр1).

По теореме о кинетической энергии эта
работа равна изменению кинетической
энергии тел:

Следовательно 

или

Ek1 + Ep1 = Ek2 + Ep2.

Сумма кинетической и потенциальной
энергии тел, составляющих замкнутую
систему и взаимодействующих между собой
посредством сил тяготения и сил упругости,
остается неизменной.

Это утверждение выражает закон
сохранения энергии в механических
процессах. Он является следствием
законов Ньютона. Сумму E = E_k + E_p называют полной
механической энергией. Закон сохранения
механической энергии выполняется только
тогда, когда тела в замкнутой системе
взаимодействуют между собой консервативными
силами, то есть силами, для которых можно
ввести понятие потенциальной энергии.

Рассмотрим
случай, когда материальная точка движется
из точки 1 в точку 2 под действием
приложенных к ней сил (рис.4.4.)

Причем
силы, действующие на материальную точку,
могут иметь разную природу, т.е. могут
быть консервативными и неконсервативными.
Уравнение движения в этом случае
запишется в виде

(4.6)

где 

Перепишем
(4.6) в виде

(4.7)

Умножим
скалярно уравнение (4.7) на 
 и
проинтегрируем от точки1 до точки 2,
получим:

(4.8)

Учитываем
то, что 
 ,
и интеграл в правой части выражения
(4.8) представляет собой работу всех сил,
на участке 1-2, можно записать:

(4.9)

Величина

(4.10)

называется
кинетической энергией материальной
точки. Таким образом, кинетическая
энергия материальной точки – это
энергия, которой обладает эта точка
вследствие своего движения.

Из
полученного выражения (4.9) следует, что
работа всех сил, действующих на
материальную точку на участке траектории
1-2 равна изменению ее кинетической
энергии на этом участке.

Физическая величина, равная половине
произведения коэффициента жесткости
на квадрат абсолютной деформации,
называется потенциальной энергией
упруго деформированного тела:  

Билет 18.

Потенциальная энергия в однородном
поле силы тяжести.

Потенциальная
энергия — это энергия, обусловленная
взаимным расположением тел и характером
их взаимодействия. При соответствующих
условиях возможно изменение потенциальной
энергии, за счет чего совершается
работа. Для поднятия тела массой m на
высоту 
 необходимо
совершить работу против сил тяготения
Р:

,

знак
минус перед интегралом, т.к. сила Р
направлена в сторону противоположную
изменению h.

Проинтегрируем
это выражение:

Эта
энергия пойдет на увеличение энергии
замкнутой системы тело — Земля т.е.
численно равна

Считая
поверхности Земли 
,
получим

Эта
энергия 
системы
тело — Земля и является потенциальной
энергией тела, поднятого на высоту h:

Билет 19.

Абсолютно
упругий и абсолютно неупругий удары
(столкновения) Превращение энергии в
процессе столкновения. Законы сохранения
импульса и энергии. Связь между скоростями
соударяющихся тел до и после удара.
Убыль механической энергии в неупругом
ударе.

Ударом (или столкновением)
принято называть кратковременное
взаимодействие тел, в результате которого
их скорости испытывают значительные
изменения

Абсолютно неупругим ударом называют
такое ударное взаимодействие, при
котором тела соединяются (слипаются)
друг с другом и движутся дальше как одно
тело.

При абсолютно неупругом ударе механическая
энергия не сохраняется. Она частично
или полностью переходит во внутреннюю
энергию тел (нагревание).

Примером абсолютно неупругого удара
может служить попадание пули (или
снаряда) в баллистический маятник.
Маятник представляет собой ящик с песком
массой M, подвешенный на веревках.
Пуля массой m, летящая горизонтально
со скоростью 
 попадает
в ящик и застревает в нем. По отклонению
маятника можно определить скорость
пули.

Обозначим скорость ящика с застрявшей
в нем пулей через 
.Тогда
по закону сохранения импульса 

При застревании пули в песке произошла
потеря механической энергии: 

Отношение M / (M + m) – доля
кинетической энергии пули, перешедшая
во внутреннюю энергию системы: 

Эта формула применима не только к
баллистическому маятнику, но и к любому
неупругому соударению двух тел с разными
массами.

При m << M 
 почти
вся кинетическая энергия пули переходит
во внутреннюю энергию. При m = M 
 –
во внутреннюю энергию переходит половина
первоначальной кинетической энергии.
Наконец, при неупругом соударении
движущегося тела большой массы с
неподвижным телом малой массы (m >> М)
отношение 

Дальнейшее движение маятника можно
рассчитать с помощью закона сохранения
механической энергии: 

где h – максимальная высота подъема
маятника. Из этих соотношений следует: 

Абсолютно упругим ударом называется
столкновение, при котором сохраняется
механическая энергия системы тел.

Во многих случаях столкновения атомов,
молекул и элементарных частиц подчиняются
законам абсолютно упругого удара.

При абсолютно упругом ударе наряду с
законом сохранения импульса выполняется
закон сохранения механической энергии.

Простым примером абсолютно упругого
столкновения может быть центральный
удар двух бильярдных шаров, один из
которых до столкновения находился в
состоянии покоя (рис. 1.21.2).

Центральным ударом шаров называют
соударение, при котором скорости шаров
до и после удара направлены по линии
центров.

В общем случае массы m₁ и m₂ соударяющихся
шаров могут быть неодинаковыми. По
закону сохранения механической энергии 

Здесь υ₁ – скорость первого
шара до столкновения, скорость второго
шара υ₂ = 0, u₁ и u₂ –
скорости шаров после столкновения.
Закон сохранения импульса для проекций
скоростей на координатную ось, направленную
по скорости движения первого шара до
удара, записывается в виде: 

m1υ1 = m1u1 + m2u2.

Мы получили систему из двух уравнений.
Эту систему можно решить и найти
неизвестные скорости u₁ и u₂ шаров
после столкновения: 

В частном случае, когда оба шара имеют
одинаковые массы (m₁ = m₂),
первый шар после соударения останавливается
(u₁ = 0), а второй движется со
скоростью u₂ = υ₁,
т. е. шары обмениваются скоростями
(и, следовательно, импульсами).

Если бы до соударения второй шар также
имел ненулевую скорость (υ₂ ≠ 0),
то эту задачу можно было бы легко свести
к предыдущей с помощью перехода в новую
систему отсчета, которая движется
равномерно и прямолинейно со
скоростьюυ₂ относительно
«неподвижной» системы. В этой системе
второй шар до соударения покоится, а
первый по закону сложения скоростей
имеет скорость υ₁‘ = υ₁ – υ₂.
Определив по приведенным выше формулам
скорости u₁ и u₂ шаров
после соударения в новой системе, нужно
сделать обратный переход к «неподвижной»
системе.

Таким образом, пользуясь законами
сохранения механической энергии и
импульса, можно определить скорости
шаров после столкновения, если известны
их скорости до столкновения.

Центральный (лобовой) удар очень редко
реализуется на практике, особенно если
речь идет о столкновениях атомов или
молекул. При нецентральном упругом
соударении скорости частиц (шаров) до
и после столкновения не направлены по
одной прямой.

Частным случаем нецентрального упругого
удара может служить соударение двух
бильярдных шаров одинаковой массы, один
из которых до соударения был неподвижен,
а скорость второго была направлена не
по линии центров шаров (рис. 1.21.3).

После нецентрального соударения
шары разлетаются под некоторым углом
друг к другу. Для определения
скоростей 
 и 
 после
удара нужно знать положение линии
центров в момент удара или прицельное
расстояние d (рис. 1.21.3), т. е.
расстояние между двумя линиями,
проведенными через центры шаров
параллельно вектору скорости 
 налетающего
шара. Если массы шаров одинаковы, то
векторы скоростей 
 и 
 шаров
после упругого соударения всегда
направлены перпендикулярно друг к
другу. Это легко показать, применяя
законы сохранения импульса и энергии.
При m₁ = m₂ = m эти
законы принимают вид: 

Первое из этих равенств означает, что
векторы скоростей 
, 
 и 
 образуют
треугольник (диаграмма импульсов), а
второе – что для этого треугольника
справедлива теорема Пифагора, т. е.
он прямоугольный. Угол между
катетами 
 и 
 равен 90°.

Билет 20.

Понятие абсолютно твердого тела.
Поступательное, вращательное и
плоско-параллельное движение твердого
тела. Связь между угловой и линейной
скоростями твердого тела.

Твердое тело (абсолютно твердое тело)
– это тело, которое ни при каких условиях
не может деформироваться; в абсолютно
твердом теле при всех условиях расстояние
между точками остается постоянным.

Поступательное движение твердого тела
– движение, при котором линия, соединяющая
любые две точки тела, сохраняет неизменное
направление в пространстве. При
поступательном движении любая линия
переносится параллельно самой себе,
т.е. смещение всех точек тела одинаково.
Поэтому при поступательном движении
все точки твердого тела обладают
одинаковыми линейными скоростями и
одинаковыми линейными ускорениями.

Вращательное движение – движение, при
котором траекторией всех точек являются
концентрические окружности с центрами
на одной прямой, называемой осью вращения.
Концентрические окружности – окружности,
у которых один центр.При вращательно
движении все точки данного тела обладают
одинаковыми угловыми скоростями и
одинаковыми угловыми ускорениями.

Линейные скорости вращающегося тела
одинаковы: чем дальше от оси вращения
отстоит точка, тем большей линейной
скоростью она обладает.

Плоскопараллельное движение – движение,
при котором любая точка твердого тела
во время движения остается в одной из
параллельных плоскостей.

Связь между линейной и угловой скоростями:

Билет 21.

Центр инерции твердого тела. Связь
координат и масс твердого тела в системе
координат, связанной с центром масс
(лемма о центре масс). Координаты центра
инерции. Закон движение центра инерции
твердого тела.

Если укрепить тело в центре тяжести, то
оно будет находиться в равновесии при
любом положении тела, т.е. сумма моментов
сил тяжести всех частиц тела относительно
любой горизонтальной оси, проходящей
через центр тяжести, будет равна нулю.

— лемма о центре масс

Если повернуть тело относительное оси

на

по
часовой стрелке, то ось

займет положение

,
и плечом силы тяжести относительно

будет являться

,
т.е

— саму произведения центра масс тела на
его радиус-вектор.

,
(

— скорость движения системы отсчета
относительно другой.)

а)

(масса
всей системы на скорость центра масс)

б)

ex – external – внешний

in – internal – внутренний

Центр инерции твердого тела движется
так, как если бы к нему были приложены
все внешние силы и масса, всего тела
была бы сосредоточена в центре масс.

Билет 22.

Момент силы. Закон динамики вращения
тела вокруг неподвижной оси (уравнение
вращательного движения). Момент инерции.

,

,

=0

— уравнение вращательного движения

— момент инерции

Момент инерции зависит не только от
величины массы тела, но и от распределения
масс относительно оси.

Уравнение вращательного движения
является аналогом II-го
закона Ньютона. Что бы вызвать
поступательное движение точки, нужно
приложить силу; чтобы получить вращательное
движение тела, необходимо приложить
момент силы. Так же как сила вызывает
линейное ускорение, так и момент силы
вызывает появление углового ускорения.
Коэффициентами в этих уравнениях
является масса и момент инерции. Значит,
масса является мерой инерции для
поступательного движения, а момент
инерции является мерой инерции для
вращательного движения.

Билет 23.

Момент импульса. Уравнение моментов
(относительно оси). Закон сохранения
момента импульса.

— момент импульса точки относительно
оси

— момент импульса тела относительно оси

— уравнение моментов (относительно оси)

Если

Закон сохранения момента импульса:

Момент импульса твердого тела остается
постоянным, если суммарный момент
внешних сил равен нулю.

Билет 24.

Момент импульса и момент силы
относительно точки. Уравнение моментов
(относительно точки).

Связь моментов относительно точки и
моментов относительно оси:

Момент силы, относительно оси есть
проекция момента силы относительно
точки на эту ось; при этом полюс должен
лежать на оси вращения. Такая же связь
существует между моментом относительно
точки и моментом относительно оси.

Получим уравнение моментов относительно
точки в случае плоского движения.

на

слева

{левая часть}=

— уравнение моментов относительно точки.

Билет 25.

Кинетическая энергия вращающегося
тела. Работа по повороту вращающегося
тела.

Кинетическая энергия тела, движущегося
произвольным образом, равна сумме
кинетических энергий всех n материальных
точек па которые это тело можно разбить:
.
Если тело вращается вокруг неподвижной
оси с угловой скоростью 
, то
линейная скорость i-ой точки равна 
,
где 
,
— расстояние от этой точки до оси вращения.
Следовательно.

,
где 
 —
момент инерции тела относительно оси
вращения. В общем случае движение
твердого тела можно представить в виде
суммы двух движений — поступательного
со скоростью, равной скорости 
 центра
инерции тела, и вращения с угловой
скоростью
 вокруг
мгновенной оси, проходящей через центр
инерции. При этом выражение для
кинетической энергии тела преобразуется
к виду

,
где 
 —
момент инерции тела относительно
мгновенной оси вращения, проходящей
через центр инерции.

Работа по повороту твердого тела.

Рассмотрим действие внешней силы 
,
приложенной к точке массой 
.
За время 
 элементарная
масса 
 проходит
путь 
 Работа
силы 
 на
этом пути определяется проекцией силы
на направление перемещения, которая
очевидно, равна тангенциальной
составляющей 
 силы.

Но 
 равна
модулю момента 
 силы 
 относительно
оси вращения. Работа 
,
и будет положительна, если 
 имеет
такое же направление, как и 
 отрицательное,
если направление векторов 
 и 
 противоположны.
С учетом, что 

Работа всех сил, приложенных к телу

Полная работа

1.

2.

— дуга

Билет 26.

Аналогия между поступательным движением
материальной точки и вращательным
движением твердого тела.

Поступательное относительно точки	Вращательное движение твердого тела
S,	-угол
2. , ,
3.	-от-но точки, -от-но оси
4.
5.m
6.	-точки от-но точки, F-тела от-но оси. — точки от-но оси
7.
8.
9.
10.

Билет 27.

Момент инерции. Вычисление моментов
инерции тел ( на примере моментов инерции
цилиндра, кольца, тонкого кольца, стержня
и шара)

Чтобы найти момент инерции тела, надо
просуммировать момент инерции всех
материальных точек, составляющих данное
тело

В
общем случае, если тело сплошное, оно
представляет собой совокупность
множества точек с бесконечно малыми
массами 
,
и моменты инерции тела определяется
интегралом

где 
—
расстояние от элемента 
 до
оси вращения.

Распределение массы в пределах тела
можно охарактеризовать с помощью

плотности

где
m — масса однородного тела, V — его объем.
Для тела с неравномерно распределенной
массой это выражение дает среднюю
плотность.

.
Плотность в данной точке в этом случае
определяется следующим образом

и тогда

Пределы интегрирования зависят от формы
и размеров тела Интегрирование уравнения
(5.5) наиболее просто осуществить для тех
случаев, когда ось вращения проходит
через центр тяжести тела. Рассмотрим
результаты интегрирования для простейших
(геометрически правильных) форм твердого
тела, масса которого равномерно
распределена по объему.

Момент инерции полого цилиндра с тонкими
стенками, радиуса R.

Для полого цилиндра с тонкими стенками

Сплошной однородный диск. Ось вращения
является осью диска радиуса 
.
и массы m с плотностью 
Высота
диска h. Внутри диска на расстоянии
вырежем пустотелый цилиндр с толщиной
стенки 
 и
массой
.
Для него

Весь диск можно разбить на бесконечное
множество цилиндров, а затем просуммировать:

Момент инерции шара относительно оси,
проходящей через центр тяжести.

Момент инерции стержня длиной L и
массой m относительно оси, проходящей:

а) через центр стержня — 

б) через начало стержня — 

Билет 28.

Момент инерции. Теорема Гюйгенса-Штейнера.

Теорема Гюйгенса-Штейнера. Момент
инерции тела относительно произвольной
оси равен сумме момента инерции тела
относительно оси, проходящей через
центр масс и параллельной данной оси,
плюс произведение массы тела на квадрат
расстояния между осями:

 —
известный момент инерции относительно
известной оси,

 —
искомый момент инерции,

 —
масса тела,

 —
расстояние между осями (известной и
относительно которой необходимо найти
момент инерции)

Чтобы найти момент инерции тела, надо
просуммировать момент инерции всех
материальных точек, составляющих данное
тело

В
общем случае, если тело сплошное, оно
представляет собой совокупность
множества точек с бесконечно малыми
массами 
,
и моменты инерции тела определяется
интегралом

где 
—
расстояние от элемента 
 до
оси вращения.

Распределение массы в пределах тела
можно охарактеризовать с помощью

плотности

где
m — масса однородного тела, V — его объем.
Для тела с неравномерно распределенной
массой это выражение дает среднюю
плотность.

.
Плотность в данной точке в этом случае
определяется следующим образом

и тогда

Пределы интегрирования зависят от формы
и размеров тела Интегрирование уравнения
наиболее просто осуществить для тех
случаев, когда ось вращения проходит
через центр тяжести тела.

Билет 29.

Момент импульса относительно точки.
Связь между импульсом относительно
точки и угловой скорость вращения
твердого тела. Тензор инерции.

Моментом импульса материальной точки
относитель­но неподвижной точки О
называется физи­ческая величина,
определяемая векторным произведением:

∆
=
=

Тензор инерции

Тензором называют упорядоченную
совокупность чисел, называемых
компонентами тензора и зависящих от
выбора системы координат.

Размерность тензора называется
рангом.(количество индексов у
компонентов)оэтому вектор является
тензором первого ранга, а матрица
второго.

симметричная

Покажем, что элементами главной диагонали
являются моменты инерции относительно
координатных осей.

расстояние
от А до осин

момент
инерции относительно О_z

Билет 30.

Теорема о главных осях. Диагонализация
тензора инерции. Главные моменты инерции
твердого тела.

Для любого тела и любой точки О существует
3 взаимно перпендикулярных направления,
при вращении вокруг которых вектор
момента импульса сонаправлен с вектором
угловой скорости.

Такие направления называются главными
осями и для них

, λ-скаляр

1)

Система линейных однородных уравнений

=0






=
=

Расписывая систему уравнений

и домнажая уравнение этой системы на
компоненты вектора

, после сложения получим:



Диагонализации тензора инерции.

Базис системы координат:

—
единичные вектора вдоль главных
направлений





-главные
моменты инерции

Если

,
то имеется бесконечное количество
главных осей, лежащих в плоскости
нормальной к

.

Билет 31.

Связь момента инерции твердого тела
относительно произвольной оси, проходящей
через центр масс, с тензором инерции
относительно системы координат, связанных
с центром масс.

—
момент импульса относительно центра
масс

-проекция

на ось
(момент
импульса относительно оси)



Билет 32.

Гироскопы. Гироскоп под действием сил
(приближенная теория). Прецессия
гироскопа. Гироскопические силы.
Нутации.

Гироскопом называют любое быстро
вращающееся симметричное тело, ось
которого может менять свое направление
в пространстве.

При
закреплении в кардановом подвесе
гироскоп можно рассматривать как
симмитричное твердое тело, закрепленное
в центре масс. Ось гироскопа может занять
любое положение в пространстве.

Свойства гироскопа (2 основных):

1. Устойчивость положения оси гироскопа
   относительно малых воздействий;

2. Безынертность воздействия
   моментов внешних сил (момент силы
   создает не ускорение, а скорость
   вращения оси гироскопа).

,

,
если N мал, то

Свободным называется гироскоп, к которому
приложен внешний момент сил. Свободный
гироскоп не изменят направления своей
оси, если ось вращения совпадает с
геометрической осью гироскопа (т.е. не
прецессирует).

Прецессией называется вращение оси
гироскопа в горизонтальной плоскости
под действием момента внешней силы.

Нутацией называется вращающая ось
гироскопа в вертикальной плоскости
(«нырки» при вращении).

Гироскопические
силы — силы, зависящие от
скоростей и обладающие тем свойством,
что сумма их работ (или мощностей) при
любом перемещении системы, на которую
действуют эти силы, равна нулю. Если

—
гироскопические силы, то для них

или

где 
 —
радиусы-векторы точек приложения
сил, 
 —
скорости этих точек. Хотя гироскопические
силы, как зависящие от скоростей, не
являются потенциальными, но на систему,
на которую кроме потенциальных сил
действуют ещё и гироскопические, тоже
распространяется закон сохранения
механической энергии.

Примерами гироскопических сил
являются сила
Кориолиса

 материальной
точки с массой m,
движущейся со скоростью 
 по
отношению к подвижной (неинерциальной)
системе отсчёта (
—
угловая скорость этой системы отсчёта),
и сила Лоренца 
,
действующая на заряженную частицу
с зарядом е,
движущуюся со скоростью v в
магнитном поле (B –
магнитная индукция, с — скорость
света). Каждая из этих сил
направлена перпендикулярно скорости,
поэтому их работа или мощность при любом
перемещении точки (частицы) равна нулю.

,

,

Билет 33.

Законы Кеплера. Закон всемирного
тяготения. Опыт Кавендиша.

Первый закон Кеплера (закон эллипсов)

Каждая планета Солнечной
системы обращается
по эллипсу,
в одном из фокусов которого находится Солнце.

Форма эллипса и степень его сходства с
окружностью характеризуется отношением 
,
где c — расстояние от центра эллипса
до его фокуса (половина межфокусного
расстояния), a — большая
полуось.
Величина e называется эксцентриситетом эллипса.
При c = 0 и e = 0 эллипс
превращается в окружность.

Второй закон Кеплера (закон площадей)

Каждая планета движется в плоскости,
проходящей через центр Солнца, причём
за равные промежутки времени радиус-вектор,
соединяющий Солнце и планету, описывает
равные площади. Применительное к нашей
Солнечной системе, с этим законом связаны
два понятия: перигелий —
ближайшая к Солнцу точка орбиты,
и афелий —
наиболее удалённая точка орбиты. Таким
образом, из второго закона Кеплера
следует, что планета движется вокруг
Солнца неравномерно, имея в перигелии
большую линейную скорость, чем в афелии.
Каждый год в начале января Земля, проходя
через перигелий, движется быстрее,
поэтому видимое перемещение Солнца
по эклиптике к
востоку также происходит быстрее, чем
в среднем за год. В начале июля Земля,
проходя афелий, движется медленнее,
поэтому и перемещение Солнца по эклиптике
замедляется. Закон площадей указывает,
что сила, управляющая орбитальным
движением планет, направлена к Солнцу.

Доказательство второго закона Кеплера. По
определению угловой
момент 
 точечной
частицы с массой m и
скоростью 
 записывается
в виде:

.где 
 —
радиус-вектор частицы а 
 —
импульс частицы. Площадь, заметаемая
радиус-вектором 
 за
время dt из геометрических соображений
равна 
,
где θ представляет собой угол
между направлениями 
 и 
.
По определению

В результате мы имеем
.Продифференцируем
обе части уравнения по времени
поскольку
векторное произведение параллельных
векторов равно нулю. Заметим, что F всегда
параллелен r, поскольку сила радиальная,
и p всегда параллелен v по
определению. Таким образом можно
утверждать, что 
,
а следовательно и пропорциональная ей
скорость заметания площади 
 —
константа.

Квадраты периодов обращения планет
вокруг Солнца относятся как кубы больших
полуосей орбит
планет. Справедливо не только для
планет, но и для их спутников.

,
где T₁ и T₂ — периоды
обращения двух планет вокруг Солнца,
а a₁ и a₂ — длины
больших полуосей их орбит.

Ньютон установил,
что гравитационное
притяжение планеты
определенной массы зависит только от
расстояния до неё, а не от других свойств,
таких, как состав или температура. Он
показал также, что третий закон Кеплера
не совсем точен — в действительности
в него входит и масса планеты: 
,
где M — масса Солнца, а m₁ и m₂ —
массы планет.

Поскольку движение и масса оказались
связаны, эту комбинацию гармонического
закона Кеплера и закона тяготения
Ньютона используют для определения
массы планет и спутников, если известны
их орбиты и орбитальные периоды.

Космическая
скорость (первая v₁, вторая v₂, третья v₃ и четвёртая v₄) —
это минимальная скорость, при которой
какое-либо тело в свободном движении с
поверхности небесного тела сможет:

• v₁ —
  стать спутником небесного
  тела (то есть способность
  вращаться по орбите вокруг НТ и не
  падать на поверхность НТ).

• v₂ —
  преодолеть гравитационное
  притяжение небесного
  тела.

• v₃ —
  покинуть звёздную
  систему, преодолев
  притяжение звезды.

• v₄ —
  покинуть галактику.

Закон всемирного тяготения. Сила
гравитационного притяжения между двумя
материальными точками массы m₁ и m₂,
разделёнными расстоянием R,
пропорциональна обеим массам и обратно
пропорциональна квадрату расстояния
между ними — то есть

:

Здесь G — гравитационная
постоянная, равная 
 м³/(кг
с²).

Опыт Кавендиша. Установка представляет
собой деревянное коромысло с прикреплёнными
к его концам небольшими свинцовыми
шарами диаметром 5 см и массой 775 г.
Оно подвешено на нити из посеребрённой
меди длиной 1 м. К шарам подносят шары
большего размера диаметром 20 см и
массой 49,5 кг, сделанные также из
свинца. В результате действия гравитационных
сил коромысло закручивается на некий
угол. Жёсткость нити была такой, что
коромысло делало одно колебание за 15
минут. Угол поворота коромысла определялся
с помощью луча света, пущенного на
зеркальце на коромысле, и отражённого
в микроскоп. Зная упругие свойства нити,
а также угол поворота коромысла, можно
вычислить гравитационную
постоянную. Для предотвращения
конвекционных потоков установка была
заключена в ветрозащитную камеру. Угол
отклонения измерялся при помощи
телескопа. Заподозрив в качестве причины
закручивания нити магнитное взаимодейстивие
железного стержня и свинцовых шаров,
Кавендиш заменил стержень медным,
получив те же результаты.
 Г.
Кавендиш получил значение G=6,754×10⁻¹¹

Билет 10 . Кинетическая энергия вращающегося
тела. Работа по повороту твердого тела.

Кинетическая энергия тела, движущегося
произвольным образом, равна сумме
кинетических энергий всех n материальных
точек па которые это тело можно разбить:
.
Если тело вращается вокруг неподвижной
оси с угловой скоростью 
, то
линейная скорость i-ой точки равна 
,
где 
,
— расстояние от этой точки до оси вращения.
Следовательно.

,
где 
 —
момент инерции тела относительно оси
вращения. В общем случае движение
твердого тела можно представить в виде
суммы двух движений — поступательного
со скоростью, равной скорости 
 центра
инерции тела, и вращения с угловой
скоростью
 вокруг
мгновенной оси, проходящей через центр
инерции. При этом выражение для
кинетической энергии тела преобразуется
к виду

,
где 
 —
момент инерции тела относительно
мгновенной оси вращения, проходящей
через центр инерции.

Работа по повороту твердого тела.

Рассмотрим действие внешней силы 
,
приложенной к точке массой 
.
За время 
 элементарная
масса 
 проходит
путь 
 Работа
силы 
 на
этом пути определяется проекцией силы
на направление перемещения, которая
очевидно, равна тангенциальной
составляющей 
 силы.

Но 
 равна
модулю момента 
 силы 
 относительно
оси вращения. Работа 
,
и будет положительна, если 
 имеет
такое же направление, как и 
 отрицательное,
если направление векторов 
 и 
 противоположны.
С учетом, что 

Работа всех сил, приложенных к телу

Полная работа

Билет 34.

Гармонические колебания. Колебания
математического маятника и груза на
пружине. Уравнения колебаний и их
решения. Изменение смещения, скорости,
ускорения и энергии в процессе колебаний.

Функция

называется периодической, если для
любого

выполняется
соответствие

,
где t – период функции.

В периодическом явлении (процессе)
изменение какой-либо величины повторяется
в том же виде через определенное время,
называемым периодом колебаний.

Гармонические колебания представляют
собой периодический процесс, в котором
изменения наблюдаемой величины происходит
по закону синуса или косинуса.

,
где

— амплитуда (максимальное смещение);

— круговая (циклическая) частота

;

— начальная фаза;

— смещение из положения равновесия.

,

Математическим маятником называется
небольшое тело, подвешенное на нити,
при условии, что нить является невесомой
и нерастяжимой, а тело можно считать
материальной точкой.

,

—
уравнение колебаний,

—
уравнение гармонического осциллятора

,

2)

При уменьшении угла положение

приближается к положению оси

и поэтому, ввиду малости угла, проекции
возвращающей силы на эти направления
становятся одинаковы.

длина
дуги =

Билет 35.

Физический маятник. Уравнение колебаний
и его решение. Приведенная длина
физического маятника.

Физический маятник – достаточно тяжелое
тело, которое может совершать колебания
вокруг горизонта оси, проходящей выше
центра тяжести.

— возвращающий момент

Приведенной длинной физического маятника
называют длину математического маятника,
который совершает колебания с той же
частотой, что и физический.

— приведенная длина

Ц
ентр
качения физического маятника – точка,
расположенная на расстоянии приведенной
длины от точки подвеса до линии,
соединяющей точку подвеса и центр
тяжести.

— центр тяжести

Билет 36.

Физический маятник. Обратимость точки
подвеса и центра качаний.

Физическим маятником называется
достаточно тяжелое тело, которое может
совершать колебания вокруг горизонтальной
оси, проходящей выше центра тяжести.

Центром качаний физического маятника
называется точка, расположенная на
расстоянии приведенной длины от точки
подвеса по линии, соединяющей точку
подвеса и центр тяжести.

Теорема об обратимости точки подвеса
и центра качания.

Если ось вращения поместить в центр
качаний, то маятник будет совершать
колебания с той же частотой (т.е. новый
центр качаний будет совпадать со старой
точкой подвеса)

Докажем, что

(1)

=>

(2)

(2)=>(1)

Билет 37.

Затухающие собственные колебания.
Уравнение колебаний и его решение.
Зависимость амплитуды колебаний от
времени. Условный период затухающих
колебаний. Коэффициент затухания и
логарифмический декремент затухания.

Собственными колебаниями называются
колебания системы, выведенной из
положения равновесия и предоставленной
самой себе.

Затухающими называются колебания, у
которых амплитуда уменьшается с течением
времени.

Пружинный маятник:

, h-коэф. силы трения

Решение:

-коэффициент
затухания

-время
релаксации, это время за которое амплитуда
колебаний уменьшается в е раз.

,

Декремент

логарифмический
декремент затухания

=>

Билет 38.

Вынужденные колебания. Резонанс.
Амплитудно-частотная и фазо-частотная
характеристики. Резонансная частота

Вынужденными называются колебания,
которые происходят под действием внешней
периодической силы.

,
где

—
возвращающая сила,

—
сила трения,

—
периодическая сила

,
β=

—
коэффициент затухания

Следовательно, коэффициент
затухания β есть физическая
величина, обратная времени, в
течение которого амплитуда уменьшается
в е раз.

Время релаксации τ – время, в
течение которого амплитуда А уменьшается
в e раз.

Предположим, что возникающее под
действием силы установившиеся вынужденные
колебания системы также являются
гармоническими: 
 (7.22)
причем их циклическая частота равна
циклической частоте ω вынуждающей силы.

Явление резкого
возрастания амплитуды вынужденных
колебаний при приближении вынуждающей
частоты ω к частоте собственных колебаний
системы 
 называется
резонансом.

Для того, чтобы
полученное уравнение было справедливо
для всех времен, необходимо, чтобы
коэффициенты при

и

были тождественно равны 0.

—
резонансная частота. p обозначает
то значение циклической частоты ω
вынуждающей силы, при котором 

С увеличением коэффициента затухания
ω явление резонанса проявляется все
слабее, и, наконец при 
 исчезает
совсем.

Резонансом называется резкое увеличение
амплитуды вынужденных колебаний при
приближении частоты вынуждающей силы
и частоте собственных колебаний системы.

—
вынуждающая сила.

Явление резонанса используется для
усиления колебаний, например,
электромагнитных. Однако при конструировании
различных машин и сооружений необходимо
учитывать даже самую небольшую
периодическую силу с тем, чтобы
предотвратить нежелательные последствия
резонанса.

X(t)=В cos
(Ѡt+ϕ)
ϕ-разность фаз между
колебаниями силы F и
смещением F(t)

При низких частотах колебания смещений
x(t) происходят
в фазе с колебаниями вынужденные силы,
при резонансе отстают на пи пополам.
При высоких частотах протекают в
противофазе с колебаниями вынужденные
силы.

Билет 39.

Колебания связанных систем. Собственная,
парциальная и нормальные частоты.
Синфазные и антифазные колебания.
Биения. Теоретический анализ биений.

Если между колебательными системами
имеется связь, через которую они
воздействуют друг на друга — связанная
система.

Системы с одной степенью свободы, на
которые можно расчленить связанную
систему, называются парциальными.
Частота парциальных колебаний будет
больше собственной частоты, т.к.
возвращающая к положению равновесия
сила состоит из двух слагаемых:
составляющая силы тяжести и упругой
силы деформированной пружины.

Биениями называются колебания с
амплитудой, меняющейся по периодическому
закону.

Амплитуда гармонических колебаний
постоянна, поэтому биения не являются
гармоническими колебаниями. Биения в
системе возникают при сложении 2-х
гармонических колебаний одинакового
направления, которые мало отличаются
друг от друга по частоте. Биения
возникают от того, что один из двух
сигналов постоянно отстаёт от другого
по фазе и
в те моменты, когда колебания происходят
синфазно, суммарный сигнал оказывается
усилен, а в те моменты, когда два сигнала
оказываются в противофазе, они взаимно
гасят друг друга. Эти моменты периодически
сменяют друг друга по мере того как
нарастает отставание. Биения звука можно
слышать при настройке струнного
музыкального инструмента по камертону.
Если частота струны незначительно
отличается от частоты камертона, то
слышно, что звук пульсирует — это и
есть биения. Струну нужно подтягивать
или ослаблять так, чтобы частота биений
уменьшалась. При совпадении высоты
звука с эталонным биения полностью
исчезают. Биения звука также можно
услышать при игре на музыкальных
инструментах, например пианино или
гитаре, когда различной высоты звуки
создают интервалы и многозвучия.
(аккорды).

Гармонические колебания, возникающие
в связанной системе, называются
нормальными колебаниями, а соответствующие
частоты называются нормальными частотами.
Система с двумя степенями свободы
обладает двумя начальными колебаниями:
синфазными и антифазными. Биения в
связанной системе возникают как результат
сложениями нормальных частот.

Частота синфазных колебаний Ѡ_С
равна частоте собственных колебаний
Ѡ₀ ,т.к. при синфазных колебаниях
связь не деформируется. Частота антифазных
колебаний Ѡ_А больше частоты
синфазных колебаний, т.к. пружина,
связывающая маятник, деформируется

Частота биений Ѡ_Б=Ѡ_А-Ѡ_С

Синфазность —
совпадение по фазе двух или нескольких
периодических колебаний.
Опираясь на более общее понятие
когерентности, С. можно определить как
частный случай когерентности, при
котором разность фаз
колебаний постоянна и
равна нулю [на рис. 1 см.синфазные гармонические
колебания, описываемые функциями
вида
 где
A_1,2 — амплитуды,
 —
круговая (циклическая) частота, Т —
период колебаний,
 —
начальная фаза; эти колебания синфазные,
если , где п = 0, 1, 2, …; на рис.
2- синфазные
 колебания
взаимно перпендикулярных векторов
напряжённостей электрических и магнитных
полей]. 

Рис. 1.

Примеры синфазных колебаний: 1) колебания
всех точек стоячей
волны; они происходят с
различными отклонениями от нулевого
положения, но в одинаковой фазе (в то
время как в бегущей
волне, наоборот, колебания
всех точек происходят е одинаковыми
отклонениями, но в различных фазах);

Антифазные – это колебания маятников,
происходящие в противофазе с большей
из нормальных частот ω2.

Нормальные колебания
— собственные
(свободные) гармонические колебания
линейных систем с постоянными параметрами,
в которых отсутствуют как потери энергии,
так и приток ее извне. Каждое нормальное
колебание характеризуется определенным
значением частоты, с которой колеблются
все элементы системы, и формой —
распределением амплитуд и фаз. Число
степени свободы —
это совокупность независимых координат
перемещения и/или вращения, полностью
определяющая движение и/или положение
тела или системы тел нормальных
колебаний равно числу колебательных
степеней свободы системы. 

Билет 40.

Преобразования Галилея. Принцип
относительности Галилея. Инварианты
преобразований Галилея. Специальный
принцип относительности. Постулаты
специальной теории относительности.
Преобразования Лоренца (без вывода).
Инварианты преобразований Лоренца.

Преобразования Галилея —
преобразования координат и времени при
переходе от одной инерциальной
системы отсчета (ИСО) к
другой.

Принцип относительности Галилея:

Во всех инерциальных системах отсчета
законы Ньютона имеют одинаковую форму;
инерциальные или галилеевы системы
равноправны с точки зрения ньютоновской
динамики.

—

преобразования Галилея

,

Инвариантами при некоторых
преобразованиях называются величины,
не меняющиеся при этих преобразованиях.

Инварианты преобразований Галилея.

1. Расстояние между двумя
   точками;

2. Относительная скорость
   (относительно друг друга) ;

3. Так как силы зависят от
   относительного расположения тел или
   от их относительных скоростей, то силы
   являются инвариантами;

4. Поскольку, потенциальная
   энергия зависит только от расстояния
   между телами, то она инвариант;

5. Второй закон Ньютона
   является инвариантом, сила и ускорение
   являются инвариантами, поэтому масса
   – инвариант.

Импульс и кинетическая
энергия не являются инвариантами.

Специальный принцип относительности:

Все инерциальные системы равноправны
(не только относительно ньютовской
динамики, а относительно все законов
природы, в частности законов
электромагнетизма)

Постулат о постоянстве
скорости света:

Скорость света в пустоте
не зависит от движения источника.

Преобразования Лоренца:

Билет 44.

Продольные и поперечные волны. Волновое
уравнение. Интерференция волн. Эффект
Доплера.

Продольными называются волны, в которых
частицы среды совершают колебания вдоль
направления распространения волны
(пример: звуковая волна)

Поперечными называются волны, в которых
частицы среды движутся поперек направления
распространения волны (например: волна
вдоль натянутой струны).

Волновой поверхностью (волновым фронтом)
называется поверхность равной фазой.

В зависимости от типа волнового фронта
различают сферические и плоские волны.

Пример сферической волны: звуковая
волна в однородной изотропной среде,
распространяющейся во всех направлениях
одинаково; волновым фронтом является
сфера с центром в источнике колебаний.

Пример плоской волны: волны,
распространяющиеся вдоль оси трубы от
колеблющегося поршня, волны сгущений
и раздражений; волновым фронтом является
плоскость, перпендикулярная оси трубы.

Волновое уравнение

1) Адиабатический процесс (Q=0)

Уравнение адиабаты

,

— коэффициент Пуассона, показатель
адиабаты

2)

,

,

3)

—
скорость света в среде

,

— равновесная плотность,

— изменение



Трение скольжения и трение качения

П.Ф.Севрюков,
СКрИПКРО, г. Ставрополь

Трение скольжения и трение качения

Если к твёрдому телу, покоящемуся на
шероховатой горизонтальной поверхности,
приложить горизонтальную силу F, то
действие этой силы вызовет появление силы
сцепления F_cц = –F,
представляющей собой силу противодействия
смещению тела со стороны поверхности. Благодаря
сцеплению тело остаётся в покое при изменении
модуля силы F от нуля до некоторого
значения F_max. Это означает, что модуль
силы сцепления тоже изменяется от нуля до F_сц
max в момент начала движения. Как показывает
опыт, |F_max| пропорционален
модулю силы нормального давления |N|
со стороны плоскости: F_max = f_сц
• N. Коэффициент f_сц является
безразмерной величиной и называется
коэффициентом сцепления. Этот коэффициент
зависит от физических свойств соприкасающихся
поверхностей и определяется экспериментально.
Его величина для материалов, используемых в
технике, обычно меньше единицы. Таким образом,
всегда выполняется условие а направление силы сцепления
противоположно направлению того движения,
которое возникло бы под действием приложенных
сил при отсутствии сцепления.

При скольжении тела по шероховатой
поверхности к нему приложена сила трения
скольжения. Направление этой силы,
противодействующей скольжению, противоположно
вектору скорости тела. Модуль силы трения
скольжения пропорционален модулю силы
нормального давления N: F_ск = f_ск
• N. Коэффициент пропорциональности f_ск
называется коэффициентом трения скольжения и
определяется опытным путём. Этот коэффициент
является также безразмерной величиной и зависит
от материалов, состояния и свойств трущихся
поверхностей (так, коэффициент трения скольжения
между двумя деревянными брусками зависит от
того, вдоль или поперёк волокна эти бруски
перемещаются относительно друг друга;
существенно облегчает скольжение наличие
смазки, но при этом уже нельзя говорить о
скольжении одного тела по другому), а также от
давления и скорости относительного движения
тела. Экспериментально установлено, что f_ск
< f_сц.

Сила реакции R реальной
(шероховатой) поверхности в отличие от идеальной
(гладкой) имеет две составляющие: силу
нормального давления (нормальную реакцию) N
и силу сцепления F_cц (или силу
трения F_ск при движении тела).

Угол _cц,
образованный силой реакции шероховатой
поверхности с нормалью к этой поверхности в
предельном состоянии покоя, т.е. при F_cц
= F_max, называется углом сцепления. Через
mg здесь и далее обозначается сила
тяжести. Тангенс угла сцепления равен
коэффициенту сцепления:

tg_cц
= = f_cц,
или _cц = arctg f_cц.

Угол, тангенс которого равен
коэффициенту трения скольжения, называется
углом трения.

Угол сцепления можно определить
опытным путём с помощью очень простого прибора.
Он представляет собой наклонную плоскость, угол
наклона которой можно измерить (для расчётов
достаточно знать длину наклонной плоскости и
высоту подъёма её верхнего конца). Поднимая один
конец плоскости и измеряя угол её наклона в
момент, когда тело начнёт скользить по плоскости,
мы получаем значение угла сцепления _cц.

Конус с вершиной в точке касания тел
(поверхность, на которой находится тело, может
быть и криволинейной), образующая которого
составляет угол сцепления с нормалью к
поверхности тел, называется конусом сцепления.
Поверхность конуса сцепления представляет собой
геометрическое место максимальных сил реакции
опорной поверхности при заданной нормальной
составляющей N. Действительно,
максимальная сила реакции поверхности может
занимать различные положения на поверхности
этого конуса, в зависимости от направления силы F,
стремящейся сдвинуть тело. Пространство внутри
конуса представляет собой совокупность
возможных положений сил реакции опорной
поверхности в состоянии покоя.

Статья подготовлена при поддержке учебного центра «НП МАЭБ». Если вы решили приобрести качественные знания в области подъемных механизмов, то оптимальным решением станет обратиться в учебный центр «НП МАЭБ». На сайте, расположенном по адресу www.maeb.ru, вы сможете, не отходя от экрана монитора, записаться на курсы в области промышленной безопасности. Более подробную информацию о ценах и акциях действующих на данный момент вы сможете найти на сайте www.maeb.ru.

Пусть к покоящемуся телу, помимо силы
реакции опоры, приложены силы (в том числе и сила
тяжести), линия действия равнодействующей Р
которых лежит внутри конуса сцепления. Эти силы
не приведут тело в движение, т.к. сила Р
будет уравновешена силой реакции поверхности.

Рассмотрим цилиндрический каток,
покоящийся на горизонтальной плоскости. На каток
действуют две взаимно уравновешивающие силы:
сила тяжести mg и нормальная
реакция плоскости N = –mg.
Если под действием горизонтальной силы F,
приложенной к центру катка С, он катится по
плоскости без скольжения, то силы mg
и N образуют пару сил,
препятствующую качению катка. Возникновение
этой пары сил обусловлено неабсолютной
твёрдостью материалов катка и опорной плоскости.
Под действием силы давления катка происходит
деформация соприкасающихся поверхностей, и
каток соприкасается с плоскостью не по линии, а
по некоторой малой площадке. В этом случае
обозначенная на рисунке сила реакции N
является нормальной составляющей
равнодействующей сил реакции, распределённых по
этой площадке. Её линия действия оказывается
сдвинутой в сторону движения катка на некоторое
расстояние от
линии действия силы mg, так что
нормальная реакция плоскости N и
сила тяжести катка mg образуют пару
сил сопротивления качению с плечом . Момент этой пары сил
называется моментом сопротивления качению. Его
величина равна произведению модуля силы
нормальной реакции на плечо пары , называемое
коэффициентом трения качения: М_сопр = N.

Коэффициент трения качения выражается в единицах
длины. Его значения (в 10^–5 м) для некоторых
пар материалов приведены ниже:

Мягкая сталь по мягкой
стали…………………………….. 5
Стальной бандаж по стальному рельсу………………… 50
Дерево по стали……………………………………………….
30–40
Дерево по дереву……………………………………………..
50–60

Определим наименьшую горизонтальную
силу F, приложенную к центру
цилиндрического катка радиуса R,
находящегося на горизонтальной плоскости,
которая может вывести каток из состояния покоя.
Чтобы каток начал катиться, момент силы F
относительно точки опоры катка должен быть
больше момента сопротивления (момент силы
сцепления F_сц, приложенной в
точке опоры, равен нулю), т.е. FR > N, откуда F > . Так как в
рассматриваемом случае N = mg, то

 

Это выражение показывает, что модуль
силы F, приводящей цилиндрический
каток в движение, обратно пропорционален радиусу
катка R. (Поэтому, как правило, круглое тело
катить легче, чем волочить. – Ред.) Если действие
силы F прекращается, качение
замедляется вплоть до полной остановки
вследствие действия пары сил сопротивления.

Довольно часто можно встретить в
литературе (в том числе и в школьных учебниках)
термин «сила трения качения». Эта величина
введена по аналогии с силой трения скольжения.
Объясним её появление. Пусть под действием силы F
происходит качение так, что центр катка С
переместился на расстояние s. Работа момента
сил сопротивления M при этом равна А = М, где – угол поворота тела в
радианах. В нашем случае тело вращается по
часовой стрелке, а пара сил стремится развернуть
тело в противоположном направлении, поэтому пара
сил совершает отрицательную работу.

Если центр катка переместилcя на
расстояние s, то каток при этом повернулся на
угол тогда
работа, совершаемая моментом сил сопротивления:

По аналогии с силой трения скольжения
(тело скользит по горизонтальной поверхности, А_тр=
–F_скs = –f_скmgs), все
символы, стоящие между «минусом» и буквой s,
объединяют как «силу трения качения» При этом и учащиеся, и
даже учителя забывают о том, что коэффициент
трения скольжения является величиной
безразмерной, а коэффициент трения качения имеет
размерность длины. На вопрос «Если по одной и той
же поверхности тело сначала прокатить, а потом
протащить, то какой из коэффициентов трения –
скольжения или качения – будет больше?» редко
можно получить ответ, что величины, имеющие
разные размерности, сравнивать нельзя! Ведь
никакому здравомыслящему человеку не придёт в
голову мысль сравнивать 5 мин и 7 см.

---

КОММЕНТАРИЙ РЕДАКЦИИ. В статье вводятся
термины, не употребляемые в школьных учебниках и,
на наш взгляд, не вносящие большой ясности в
понимание вопроса. Так, введённую П.Ф.Севрюковым
силу трения сцепления обычно называют силой
трения покоя, а коэффициент сцепления –
коэффициентом трения покоя. Далее, при
обсуждении трения качения говорится, что
реальное тело, катящееся по плоскости,
соприкасается с ней не по одной линии, а по
некоторой площадке. В статье К.Ю.Богданова «Всё о
силе трения» (см. № 21/05) приводится рисунок, из
которого ясно, что эта малая площадка
ориентирована под некоторым отнюдь не
постоянным углом к рассматриваемой плоскости,
так что и результирующая сила её нормальной
реакции также составляет некоторый угол с этой
плоскостью. П.Ф.Севрюков совершенно правильно
рассматривает её вертикальную составляющую. Но
ведь можно рассматривать и горизонтальную – и
тогда сравнивать коэффициент трения скольжения
с коэффициентом трения качения вполне допустимо:
они оба – безразмерные величины.

Определения

Трение — вариант взаимодействия двух тел. Оно возникает при движении одного тела по поверхности другого. При этом тела действуют друг на друга с силой, которая называется силой трения. Сила трения имеет электромагнитную природу.

Сила трения — сила, возникающая между телами при их движении или при попытке их сдвинуть. Обозначается как F_тр. Единица измерения — Н (Ньютон).

Трение бывает сухим и жидким. В школьном курсе физике изучается сухое трение.

Виды сухого трения:

1. трение скольжения;
2. трение качения;
3. трение покоя.

Трение скольжения

Трение скольжения — трение, возникающее при скольжении одного тела по поверхности другого. Сила трения скольжения направлена противоположно направлению движения тела: F_тр↑↓v.

Сила трения скольжения определяется формулой:

μ — коэффициент трения, N — сила реакции опоры, F_давл. — сила нормального давления

Сила реакции опоры и сила нормального давления — равные по модулю, но противоположные по направлению силы. Если тело не перемещается с ускорением относительно оси ОУ, модули силы реакции опоры и силы нормального давления равны модулю силы тяжести, действующей на это тело.

Силу трения скольжения зависит от степени неровности (шероховатости) поверхности. Поэтому ее можно легко менять.

Чтобы увеличить силу трения скольжения, нужно сделать поверхность тела более шероховатой. Так, чтобы зимой автомобили не скользили по голому льду, автомобилисты используют зимние шины. От летних они отличаются глубоким протектором и наличием шипов, создающих дополнительную неровность.

Чтобы уменьшить силу трения скольжения, нужно сделать поверхность более ровной. Ее можно отшлифовать или смазать. Так, чтобы лыжи скользили по снегу лучше, их смазывают специальными мазями или парафинами.

Полезные факты

• Если тело движется по гладкой поверхности, сила трения между ними отсутствует.
• Сила трения скольжения не зависит от площади соприкосновения тел.
• Сила трения качения обычно в несколько раз меньше силы трения скольжения. Поэтому тяжелые грузы перемещают не волоком, а с помощью тележек на колесах.

Пример №1. Конькобежец массой 70 кг скользит по льду. Какова сила трения, действующая на конькобежца, если коэффициент трения скольжения коньков по льду равен 0,002?

Сила реакции опоры по модулю равна силе тяжести, действующей на конькобежца. Отсюда:

Трение покоя

Трение покоя возникает при попытке сдвинуть предмет с места. Трение покоя противоположно направлено приложенной к телу силе (в сторону возможного движения).

Сила трения покоя всегда больше нуля, но всегда меньше силы трения скольжения:

0 < F_тр.пок. < F_{тр. ск.}

Способы определения вида силы трения, возникающей между телами, и ее модуля:

• Когда к телу прикладывается сила F , модуль которой меньше силы трения скольжения, возникает сила трения покоя. Тело продолжает покоиться. При этом модуль силы трения покоя равен модулю прикладываемой к телу силы. Если F < F_{тр. ск.}, F_тр.пок. = F.
• Когда к телу прикладывается сила, модуль которой равен силе трения скольжения или превышает ее, возникает сила трения скольжения. Тело при этом начинает двигаться. Сила трения определяется формулой силы трения скольжения. Если F ≥ F_{тр. ск.}, F_тр. = F_тр.ск.

Графически это можно изобразить так:

Пример №2. На горизонтальном полу стоит ящик массой 20 кг. Коэффициент трения между полом и ящиком равен 0,3. К ящику в горизонтальном направлении прикладывают силу 36 Н. Какова сила трения между ящиком и полом?

Чтобы определить вид трения, возникающего между ящиком и полом, нужно найти силу трения скольжения и сравнить с ней приложенную к ящику силу.

Сила, приложенная к ящику, меньше силы трения скольжения. Значит, между ящиком и полом возникает сила трения покоя. Модуль силы трения покоя равен модулю приложенной силы:

F_тр.пок. = F = 36 (Н).

Описание движения тел с учетом сил трения

Тело может двигаться по горизонтальной, наклонной или вертикальной плоскости. Оно может покоиться, двигаться равномерно или с ускорением, а сила тяги, под действием которой движется тело, может быть направлена, как в сторону движения тела, так и под углом к плоскости. Поэтому применение законов Ньютона к каждому из случаев имеет свои особенности.

Движение тела по горизонтальной плоскости

Равноускоренное движение по горизонтали, сила тяги параллельная плоскости
	Второй закон Ньютона в векторной форме: mg + N + Fт + Fтр = ma Проекция на ось ОХ: Fт – Fтр = ma Проекция на ось ОУ: N – mg = 0
Равнозамедленное движение по горизонтали, сила тяги параллельная плоскости
	Второй закон Ньютона в векторной форме: mg + N + Fт + Fтр = ma Проекция на ось ОХ: – Fтр = –ma Проекция на ось ОУ: N – mg = 0
Ускоренное движение по горизонтали, сила тяги направлена под углом к горизонту (вверх)
	Второй закон Ньютона в векторной форме: mg + N + Fт + Fтр = ma Проекция на ось ОХ: Fтcosα – Fтр = ma Проекция на ось ОУ: Fтsinα + N – mg = 0
Ускоренное движение по горизонтали, сила тяги направлена под углом к горизонту (вниз)
	Второй закон Ньютона в векторной форме: mg + N + Fт + Fтр = ma Проекция на ось ОХ: Fтcosα – Fтр = ma Проекция на ось ОУ: N – Fтsinα – mg = 0

Внимание! В случаях, когда сила тяги F_т направлена под углом к плоскости движения, сила реакции опоры не равна силе тяжести: N ≠ mg.

Пример №3. Брусок массой 1 кг движется равноускоренно по горизонтальной поверхности под действием силы 10 Н, как показано на рисунке. Коэффициент трения скольжения равен 0,4, а угол наклона α — 30 градусов. Чему равен модуль силы трения?

Сила трения равна произведению коэффициента трения скольжения на силу реакции опоры:

F_тр = μN

Проекция сил на ось ОУ выглядит так:

N – F_тsinα – mg = 0

Отсюда силы реакции опоры равна:

N = F_тsinα + mg

Подставим ее в формулу для вычисления силы трения и получим:

F_тр = μN = μ (F_тsinα + mg) = 0,4(10∙0,5 + 1∙10) = 6 (Н)

Движение тела по вертикальной плоскости

Тело прижали к вертикальной плоскости и удерживают
	Второй закон Ньютона в векторной форме: mg + N + Fт + Fтр = ma Проекция на ось ОХ: N – F = 0 Проекция на ось ОУ: Fт.п. – mg = 0
Тело поднимается под действием силы тяги, направленной под углом к вертикали
	Второй закон Ньютона в векторной форме: mg + N + Fт + Fтр = ma Проекция на ось ОХ: N – Fтsinα = 0 Проекция на ось ОУ: Fтcosα – Fтр – mg = 0

Пример №4. Груз массой 50 кг удерживают на вертикальной плоскости, коэффициент трения которой равен 0,4. Определить, какую силу нужно приложить, чтобы груз оставался в состоянии покоя.

Проекция на ось ОХ:

N – F = 0

Отсюда следует, что сила должна быть равна силе реакции опоры.

Проекция на ось ОУ:

F_т.п. – mg = 0

Перепишем, выразив силу трения через силу реакции опоры:

μN – mg = 0

Отсюда выразим силу реакции опоры:

Следовательно:

Движение тела по наклонной плоскости

Движение вниз без трения
	Второй закон Ньютона в векторной форме:
mg + N = ma
Проекция на ось ОХ:
mg sinα = ma
Проекция на ось ОУ:
N – mg cosα = 0
Тело покоится на наклонной плоскости
	Второй закон Ньютона в векторной форме:
mg + N + Fтр = ma
Проекция на ось ОХ:
mg sinα – Fтр.п. = 0
Проекция на ось ОУ:
N – mg cosα = 0
Тело удерживают на наклонной плоскости
	Второй закон Ньютона в векторной форме:
mg + N + F + Fтр = ma
Проекция на ось ОХ:
F + Fтр. – mg sinα = ma
Проекция на ось ОУ:
N – mg cosα = 0
Равноускоренное движение вверх с учетом силы трения
	Второй закон Ньютона в векторной форме:
mg + N + Fт + Fтр = ma
Проекция на ось ОХ:
Fт – mg sinα – Fтр. = ma
Проекция на ось ОУ:
N – mg cosα = 0
Равномерное движение вверх с учетом силы трения
	Второй закон Ньютона в векторной форме:
mg + N + F + Fтр = ma
Проекция на ось ОХ:
Fт – mg sinα – Fтр. = 0
Проекция на ось ОУ:
N – mg cosα = 0

Пример №5. Брусок массой 200 г покоится на наклонной плоскости. Коэффициент трения между поверхностью бруска и плоскостью равен 0,6. Определите величину силы трения, если угол наклона плоскости к горизонту равен 30 градусам.

Переведем массу в килограммы: 200 г = 0,2 кг.

Проекция сил, действующих на тело, на ось ОХ:

mg sinα – F_тр.п. = 0

Отсюда сила трения равна:

F_тр.п. = mg sin α

Подставляем известные данные и вычисляем:

F_тр.п. = 0,2∙10∙sin30^o = 2∙0,5 = 1 (Н)

Полезная информация

Алиса Никитина | Просмотров: 14.5k