Как найти модуль разности координат точек - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Расстояние между точками на координатной прямой

Расстояние между двумя точками на координатной прямой равно модулю разности их координат.

Формула расстояния между точками на координатной прямой:

AB = |a — b|,

где A и B — это произвольные точки, расстояние между которыми надо найти, то есть, найти длину отрезка AB, a и b — координаты точек.

Выражение |a — b| можно заменить выражением |b — a|, так как a — b и b — a являются противоположными числами и их модули равны.

Следовательно, чтобы найти расстояние между точками координатной прямой надо из координаты одной точки вычесть координату другой точки.

Пример 1. Найти расстояние между точками L(-3) и M(5), отмеченными на координатной прямой.

Решение. Чтобы найти расстояние между точками L и M надо из координаты точки L вычесть координату точки M или наоборот, а в качестве ответа взять модуль полученного результата:

|-3 — 5| = |-8| = 8

или

|5 — (-3)| = |5 + 3| = 8.

Ответ. Расстояние между точками L и M равно 8.

Пример 2. Найдите координаты середины отрезка AB, если A(-5) и B(5).

Решение. Обозначим середину отрезка точкой C. Так как C — середина отрезка AB, то |AC| = |CB|. Значит, чтобы найти координату точки C, надо сначала вычислить длину отрезка AB и разделить её на 2, то есть, на две равные части AC и CB:

AB = |-5 — 5| = |-10| = 10;

10 : 2 = 5, значит |AC| = |CB| = 5.

Как видно из чертежа, чтобы найти координату середины отрезка, надо половину длины отрезка либо прибавить к точке с наименьшей координатой, либо отнять от точки с наибольшей координатой:

-5 + 5 = 0

или

5 — 5 = 0.

Ответ. Координата середины отрезка C(0).

Пример 3. Найдите координату точки C, которая является серединой отрезка с концами в точках A(7) и B(25).

Решение.

AB = |7 — 25| = |-18| = 18;

AC = CB = 18 : 2 = 9;

7 + 9 = 16

или

25 — 9 = 16.

Ответ. Координата точки C — 16.

Источник

Расстояние от точки до точки: формулы, примеры, решения

В данной статье рассмотрим способы определить расстояние от точки до точки теоретически и на примере конкретных задач. И для начала введем некоторые определения.

Расстояние между точками – это длина отрезка, их соединяющего, в имеющемся масштабе. Задать масштаб необходимо, чтобы иметь для измерения единицу длины. Потому в основном задача нахождения расстояния между точками решается при использовании их координат на координатной прямой, в координатной плоскости или трехмерном пространстве.

Расстояние между точками на координатной прямой

Исходные данные: координатная прямая O x и лежащая на ней произвольная точка А . Любой точке прямой присуще одно действительное число: пусть для точки А это будет некое число х A , оно же – координата точки А .

В целом можно говорить о том, что оценка длины некого отрезка происходит в сравнении с отрезком, принятым за единицу длины в заданном масштабе.

Если точке А соответствует целое действительное число, отложив последовательно от точки О до точки по прямой О А отрезки – единицы длины, мы можем определить длину отрезка O A по итоговому количеству отложенных единичных отрезков.

К примеру, точке А соответствует число 3 – чтобы попасть в нее из точки О , необходимо будет отложить три единичных отрезка. Если точка А имеет координату — 4 – единичные отрезки откладываются аналогичным образом, но в другом, отрицательном направлении. Таким образом в первом случае, расстояние О А равно 3 ; во втором случае О А = 4 .

Если точка A имеет в качестве координаты рациональное число, то от начала отсчета (точка О ) мы откладываем целое число единичных отрезков, а затем его необходимую часть. Но геометрически не всегда возможно произвести измерение. К примеру, затруднительным представляется отложить на координатной прямой дробь 4 111 .

Вышеуказанным способом отложить на прямой иррациональное число и вовсе невозможно. К примеру, когда координата точки А равна 11 . В таком случае возможно обратиться к абстракции: если заданная координата точки А больше нуля, то O A = x A (число принимается за расстояние); если координата меньше нуля, то O A = — x A . В общем, эти утверждения справедливы для любого действительного числа x A .

Резюмируя: расстояние от начала отсчета до точки, которой соответствует действительное число на координатной прямой, равно:

0, если точка совпадает с началом координат;

x A , если x A > 0 ;

— x A , если x A 0 .

При этом очевидно, что сама длина отрезка не может быть отрицательной, поэтому, используя знак модуля, запишем расстояние от точки O до точки A с координатой x A : O A = x A

Верным будет утверждение: расстояние от одной точки до другой будет равно модулю разности координат. Т.е. для точек A и B , лежащих на одной координатной прямой при любом их расположении и имеющих соответственно координаты x A и x B : A B = x B — x A .

Расстояние между точками на плоскости

Исходные данные: точки A и B , лежащие на плоскости в прямоугольной системе координат O x y с заданными координатами: A ( x A , y A ) и B ( x B , y B ) .

Проведем через точки А и B перпендикуляры к осям координат O x и O y и получим в результате точки проекции: A x , A y , B x , B y . Исходя из расположения точек А и B далее возможны следующие варианты:

— если точки А и В совпадают, то расстояние между ними равно нулю;

— если точки А и В лежат на прямой, перпендикулярной оси O x (оси абсцисс), то точки и совпадают, а | А В | = | А y B y | . Поскольку, расстояние между точками равно модулю разности их координат, то A y B y = y B — y A , а, следовательно A B = A y B y = y B — y A .

— если точки A и B лежат на прямой, перпендикулярной оси O y (оси ординат) – по аналогии с предыдущим пунктом: A B = A x B x = x B — x A

— если точки A и B не лежат на прямой, перпендикулярной одной из координатных осей, найдем расстояние между ними, выведя формулу расчета:

Мы видим, что треугольник А В С является прямоугольным по построению. При этом A C = A x B x и B C = A y B y . Используя теорему Пифагора, составим равенство: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 , а затем преобразуем его: A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B — x A 2 + y B — y A 2 = ( x B — x A ) 2 + ( y B — y A ) 2

Сформируем вывод из полученного результата: расстояние от точки А до точки В на плоскости определяется расчётом по формуле с использованием координат этих точек

A B = ( x B — x A ) 2 + ( y B — y A ) 2

Полученная формула также подтверждает ранее сформированные утверждения для случаев совпадения точек или ситуаций, когда точки лежат на прямых, перпендикулярных осям. Так, для случая совпадения точек A и B будет верно равенство: A B = ( x B — x A ) 2 + ( y B — y A ) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

Для ситуации, когда точки A и B лежат на прямой, перпендикулярной оси абсцисс:

A B = ( x B — x A ) 2 + ( y B — y A ) 2 = 0 2 + ( y B — y A ) 2 = y B — y A

Для случая, когда точки A и B лежат на прямой, перпендикулярной оси ординат:

A B = ( x B — x A ) 2 + ( y B — y A ) 2 = ( x B — x A ) 2 + 0 2 = x B — x A

Расстояние между точками в пространстве

Исходные данные: прямоугольная система координат O x y z с лежащими на ней произвольными точками с заданными координатами A ( x A , y A , z A ) и B ( x B , y B , z B ) . Необходимо определить расстояние между этими точками.

Рассмотрим общий случай, когда точки A и B не лежат в плоскости, параллельной одной из координатных плоскостей. Проведем через точки A и B плоскости, перпендикулярные координатным осям, и получим соответствующие точки проекций: A x , A y , A z , B x , B y , B z

Расстояние между точками A и B являет собой диагональ полученного в результате построения параллелепипеда. Согласно построению измерения этого параллелепипеда: A x B x , A y B y и A z B z

Из курса геометрии известно, что квадрат диагонали параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений. Исходя из этого утверждения получим равенство: A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

Используя полученные ранее выводы, запишем следующее:

A x B x = x B — x A , A y B y = y B — y A , A z B z = z B — z A

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B — x A 2 + y B — y A 2 + z B — z A 2 = = ( x B — x A ) 2 + ( y B — y A ) 2 + z B — z A 2

Итоговая формула для определения расстояния между точками в пространстве будет выглядеть следующим образом:

A B = x B — x A 2 + y B — y A 2 + ( z B — z A ) 2

Полученная формула действительна также для случаев, когда:

— лежат на одной координатной оси или прямой, параллельной одной из координатных осей.

Примеры решения задач на нахождение расстояния между точками

Исходные данные: задана координатная прямая и точки, лежащие на ней с заданными координатами A ( 1 — 2 ) и B ( 11 + 2 ) . Необходимо найти расстояние от точки начала отсчета O до точки A и между точками A и B .

Решение

Расстояние от точки начала отсчета до точки равно модулю координаты этой точки, соответственно O A = 1 — 2 = 2 — 1
Расстояние между точками A и B определим как модуль разности координат этих точек: A B = 11 + 2 — ( 1 — 2 ) = 10 + 2 2

Ответ: O A = 2 — 1 , A B = 10 + 2 2

Исходные данные: задана прямоугольная система координат и две точки, лежащие на ней A ( 1 , — 1 ) и B ( λ + 1 , 3 ) . λ – некоторое действительное число. Необходимо найти все значения этого числа, при которых расстояние А В будет равно 5 .

Решение

Чтобы найти расстояние между точками A и B , необходимо использовать формулу A B = ( x B — x A ) 2 + y B — y A 2

Подставив реальные значения координат, получим: A B = ( λ + 1 — 1 ) 2 + ( 3 — ( — 1 ) ) 2 = λ 2 + 16

А также используем имеющееся условие, что А В = 5 и тогда будет верным равенство:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

Ответ: А В = 5 , если λ = ± 3 .

Исходные данные: задано трехмерное пространство в прямоугольной системе координат O x y z и лежащие в нем точки A ( 1 , 2 , 3 ) и B — 7 , — 2 , 4 .

Решение

Для решения задачи используем формулу A B = x B — x A 2 + y B — y A 2 + ( z B — z A ) 2

Подставив реальные значения, получим: A B = ( — 7 — 1 ) 2 + ( — 2 — 2 ) 2 + ( 4 — 3 ) 2 = 81 = 9

Векторы в пространстве и метод координат

Существует два способа решения задач по стереометрии

Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.

Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.

Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.

Система координат в пространстве

Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.

Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.

Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:

Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.

Длина вектора в пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора.

Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:

Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма

Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы и .

Произведение вектора на число:

Скалярное произведение векторов:

Косинус угла между векторами:

Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.

1. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и K — середины ребер соответственно A₁B₁ и B₁C₁. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:

Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.

Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами и . Для этого нужны их координаты.

Запишем координаты векторов:

и найдем косинус угла между векторами и :

2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.

Координаты точек A, B и C найти легко:

Из прямоугольного треугольника AOS найдем

Координаты вершины пирамиды:

Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.

Найдем координаты векторов и

и угол между ними:

Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму:

3. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A₁B₁. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC₁

Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.

Запишем координаты точек:

Точка D — середина A₁B₁. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.

Найдем координаты векторов и , а затем угол между ними:

Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.

Плоскость в пространстве задается уравнением:

Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.

Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.

Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

Покажем, как это делается.

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).

Уравнение плоскости выглядит так:

Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.

То есть A + C + D = 0.

Аналогично для точки K:

Получили систему из трех уравнений:

В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.

Пусть, например, D = −2. Тогда:

Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:

Решив систему, получим:

Уравнение плоскости MNK имеет вид:

Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:

Вектор — это нормаль к плоскости MNK.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку имеет вид:

Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:

Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.

Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.

Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.

4. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и F — середины ребер соответственно A₁B₁ и A₁D₁. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD₁.

Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD₁ пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD₁.

Сначала — нормаль к плоскости BDD₁. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D₁ в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD₁ — это диагональное сечение куба. Вектор перпендикулярен этой плоскости.

Итак, первый вектор нормали у нас уже есть:

Напишем уравнение плоскости AEF.

Берем уравнение плоскости и по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.

Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.

Уравнение плоскости AEF:

Нормаль к плоскости AEF:

Найдем угол между плоскостями:

5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA₁B₁C₁D₁ — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA₁D₁D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D, если расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно √3.

Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике»

Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать «параллелепипед».

Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?

«Расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно √3». Прямые A₁C₁ и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A₁C₁ и BD — это, очевидно, OO₁, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O₁ — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO₁ и равен высоте параллелепипеда.

Плоскость AA₁ D₁ D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор или, еще проще, вектор .

Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B₁D — значит, B₁D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B₁ и D известны:

Координаты вектора — тоже:

Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:

Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле

Получим:

Ответ:

Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.

Пусть — вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), — нормаль к плоскости α.

Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:

6. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка E — середина ребра A₁B₁. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD₁.

Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат

Находим координаты вектора .

Нужно ли нам уравнение плоскости BDD₁? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор .

Найдем угол между прямой и плоскостью:

Ответ:

Расстояние от точки M с координатами x₀, y₀ и z₀ до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:

7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA₁B₁C₁D₁ лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = , AD = . Высота параллелепипеда AA₁ = . Найдите расстояние от точки A до плоскости A₁DB.

Построим чертеж и выпишем координаты точек:

Запишем уравнение плоскости A₁DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A₁, D и B в уравнение A_x + B_e + C_z + D

Решим эту систему. Выберем

Тогда

Уравнение плоскости A₁DB имеет вид:

Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A₁DB:

В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.

Длина вектора Расстояние между двумя точками в пространстве

Длина вектора в пространстве

Длиной (или модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора.

Длина вектора a выражается через его координаты следующей формулой:

Пример
Длина вектора $aleft < < — 2,3,sqrt 3 >right>$ равна

Расстояние между двумя точками в пространстве

Расстояние d между точками в пространстве A₁1;y₁;z₁>, A₂2;y₂;z₂> представляется формулой

Пример
Расстояние между точками A₁ и A₂

Насколько публикация полезна?

Нажмите на звезду, чтобы оценить!

Средняя оценка 4.3 / 5. Количество оценок: 8

Оценок пока нет. Поставьте оценку первым.

3 комментария

найти расстояние между точками с(-2;1;-2) д (-1;2;1) м (-1;0;2) н (1;-1;2) найти 3 вектора сд — 2 вектора мн

источники:

http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/vektory-v-prostranstve-i-metod-koordinat/

Длина вектора Расстояние между двумя точками в пространстве

Источник

Мы уже научились складывать числа с разными знаками, а теперь нам предстоит узнать, как происходит нахождение разности между числами с разными знаками и какой дополнительный смысл это несет.

Не забудем и проанализировать, какими могут получится результаты вычитания.

До этого мы всегда вычитали из положительного числа другое положительное число, причем меньшее или равное ему.

Сейчас рассмотрим еще два случая:

вычитание из положительного числа числа, большего, чем оно само
вычитание из положительного числа отрицательного числа

Правило: чтобы вычесть из положительного числа другое положительное число, которое больше его, необходимо из вычитаемого вычесть уменьшаемое и к результату приписать знак «минус».

Пример:

Вычтем из 6-ти 8

В данном случае вычитаемое больше уменьшаемого, значит, вычитаем из него уменьшаемое:

(mathbf{8-6=2})

И приписываем к результату «минус», получаем:

(mathbf{6-8=-2})

Как видите, ничего сложного. В жизни такие действия встречаются также достаточно часто.

Например, 19 декабря температура равнялась 4-м градусам выше нуля, но за сутки опустилась на 9 градусов. Чему равняется температура 20-го декабря?

В данном случае нам надо вычесть из 4-х 9.

Вычитаемое больше уменьшаемого, значит, будем действовать по описанному выше алгоритму.

Вычитаем из 9-ти 4, получаем 5.

Теперь приписываем «—», получаем, что (mathbf{4-9=-5})

Значит, 20-го декабря температура равнялась (mathbf{-5})-ти градусам.

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

В случае финансовых расчетов мы можем вычесть больше, чем имеем. Человек может потратить больше денег, чем у него имеется, — в таком случае он окажется должен. На его счету может быть отрицательное число средств — в таком случае он должен (например, банку) модуль от этого числа.

Пример:

У Василия было на счету 15 тысяч рублей, и он потратил на новый телефон 20 тысяч. Чтобы посчитать, сколько денег у него останется на счету, мы должны вычесть из первого числа второе.

Опять же, вычитаемое больше уменьшаемого, значит, мы должны из вычитаемого вычесть уменьшаемое, а затем приписать «-».

Получаем: (mathbf{15-20=-5})

Ответ: -5 тысяч рублей будет у Василия на счету.

Теперь будем вычитать из положительных чисел отрицательные числа.

Правило: чтобы вычесть из положительного числа отрицательное, необходимо сложить их модули.

Пример:

Вычтем из 11-и -3

Складываем их модули и получаем:

(mathbf{11-(-3)=14})

Как видите, вычитание отрицательного числа эквивалентно прибавлению положительного числа, обратного этому отрицательному.

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Начнем с вычитания из отрицательного числа положительного числа. Мы делали это ранее с помощью координатной прямой. А сейчас научимся это делать, не используя ее.

Правило: чтобы вычесть из отрицательного числа положительное число, надо

Посчитать модули этих чисел
Сложить их
Приписать «минус» к результату сложения

Пример:

Вычтем из (mathbf{-3}) (mathbf{4})

1) Находим модули:

(mathbf{mid-3mid=3})

(mathbf{mid4mid=4})

2) Складываем найденные модули:

(mathbf{3+4=7})

3) Приписываем минус, полученное число и будет ответом:

(mathbf{-3-4=-7})

Процесс взятия модуля достаточно несложный, поэтому зачастую решение можно не расписывать по действиям.

Процесс нахождения разности двух отрицательных чисел также не сложен и в целом сводится к сложению чисел с разными знаками.

Как мы уже сказали, вычесть отрицательное число — это то же самое, что и прибавить положительное с тем же модулем, что и у отрицательного.

Поэтому тут могут быть разные подходы:

Вычтем из (mathbf{-5}) (mathbf{-2})

Можно применить свойство, указанное выше, и смотреть на это, как на сложение чисел с разными знаками.

(mathbf{-5-(-2)=-5+2})

В таком случае, как мы помним, нужно взять модули слагаемых, из большего вычесть меньший и к результату приписать знак слагаемого с наибольшим модулем.

В нашем случае модуль больше у (mathbf{-5}), так что (mathbf{-5+2=-3})

Посмотрим еще на такое свойство:

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Если мы хотим прибавить отрицательное число, то достаточно вычесть положительное число с тем же модулем, что и у отрицательного числа.

Выше мы получили сумму отрицательного числа и положительного.

Перейдем к вычитанию из одного положительного числа другого положительного.

Посмотрим на том же примере, снова вычитая из (mathbf{-5}) (mathbf{-2}).

(mathbf{-5-(-2)=-5+2=2+(-5)=2-5=-3})

Первое равенство ((mathbf{-5-(-2)=-5+2})) происходит, так как вычитание отрицательного числа можно превратить в прибавление положительного.

При переходе через второе равенство ((mathbf{-5+2=2+(-5)})) мы просто меняем местами слагаемые.

В третьем равенстве ((mathbf{2+(-5)=2-5})) мы пользуемся только что введенным свойством.

И четвертый переход ((mathbf{2-5=-3})) — считаем разность двух положительных чисел, как делали это в первой части урока.

Нужно отметить, что теперь мы умеем превращать вычитание в прибавление (вычитание это прибавление числа с противоположным знаком того же модуля). И тогда при желании можно вообще не говорить отдельно про вычитание, сводя его к сложению.

Примеры:

(mathbf{5-2=5+(-2)})

(mathbf{234-(-132)-98=234+132+(-98)})

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Рассмотрим геометрический смысл разности: она показывает, как соотносятся точки на координатной прямой.

Если точки не равны, то модуль разности координат покажет нам расстояние между ними, а знак — в какую сторону от одной точки идти до другой.

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Пример:

Пусть будет точка А с координатой -2 и точка В с координатой 3

Разность равна (mathbf{-2-3=-5})

Значит расстояние между точками равно 5-ти (модулю разности).

А знак «минус» говорит о том, что точка А лежит ближе по направлению, чем точка В (в данном случае левее).

Сформулируем правила:

1) Если разность координат двух точек больше нуля, значит, первая точка лежит дальше по направлению, чем вторая точка.

2) Если разность координат двух точек равна нулю, то точки совпадают

3) Если разность координат двух точек меньше нуля, значит, первая точка лежит ближе по направлению, чем вторая точка.

Если вернемся к картинке и посчитаем разность между координатами точек В и А, именно в таком порядке, то заметим, что она равна 5-ти, что подтверждает то, что точка В лежит дальше по направлению, чем точка А.

Если же посчитаем разность координат точки В, то есть вычтем из 3-х 3, мы получим 0, что подтверждает то, что это одна точка.

Иногда, еще до того, как мы начнем считать разность двух чисел, нам может захотеться знать знак результата.

Сформулируем общее правило:

1) Если уменьшаемое больше вычитаемого, то разность будет положительной

2) Если уменьшаемое равно вычитаемому, то разность будет равна нулю

3) Если уменьшаемое меньше вычитаемого, то разность будет отрицательной

Посмотрим на примерах и убедимся, что это действительно так.

Пример, когда уменьшаемое больше вычитаемого.

Случай, когда оба числа больше нуля тривиален. Вы с ним хорошо знакомы, поэтому интересней поговорить про случай, когда оба числа отрицательны.

Например, вычтем из (mathbf{-11})-ти (mathbf{-15})

В данном случае уменьшаемое больше вычитаемого (так как они оба отрицательные и модуль уменьшаемого меньше).

Используя правила, получаем:

(mathbf{-11-(-15)=-11+15=15-11=4})

Получилось положительное число, как мы и ожидали.

Это происходит из-за природы вычитания: разность показывает сколько надо прибавить к вычитаемому, чтобы получить уменьшаемое.

В самом деле, если мы прибавим к (mathbf{-15})-ти 4, то мы получим (mathbf{-11})

Именно поэтому, если уменьшаемое больше вычитаемого, чтобы из вычитаемого получить уменьшаемое, нужно будет прибавлять положительное число, а значит, и разность будет положительной.

Пример, когда уменьшаемое равно вычитаемому.

Здесь все также вполне тривиально: числа и так не различаются, значит, разность будет равна нулю.

Аналогия с координатной прямой здесь также говорит о том, что разность будет равняться нулю, ведь ненулевого отрезка между точками не будет.

Пример, когда уменьшаемое меньше вычитаемого.

Вычтем из 5-ти 15, получаем -10, число отрицательное, как и должно было получиться.

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

В этом и предыдущих уроках мы нередко обращались к аналогии с градусником или ртутным термометром.

Оказывается, этот прибор слабо менялся с начала XVIII века, а первые приборы для измерения температуры появились еще раньше.

Есть разные версии на тему того, кто именно являлся изобретателем первого термометра. Один из вероятных изобретателей — Галилей, но в его трудах не было сказано про термометр, про это только позже говорили его ученики.

В 1561-м году родился Итальянский врач Санторио. Помимо непосредственно исцеления людей, он любил наблюдать и проводить на себе опыты. Для того, чтобы опыт был содержательным, надо было как-то измерять показатели тела. Так был создан прибор для измерения силы пульсации артерий, весы для человека и, по одной из версий, термометр. Выглядело его устройство немного странно: вместо привычной узкой трубки — извилистая. Хотя и с некоторыми проблемами, но его устройство работало.

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

А проблемы были. Если использовали воду, то она замерзала и могла разбить трубку. Так ученые пришли к необходимости использовать винный спирт или другие спиртосодержащие жидкости, которые не замерзают при таких незначительных температурах.

В результате экспериментов с конструкциями появилась запаянная с одного конца трубка, наполненная ртутью. Теперь низкая температура не разрушала устройство, а давление не изменяло показатели.

Первую единую шкалу придумал немецкий физик Габриэль Фаренгейт в 1723 году.

Точку нуля он выставил как температуру состава снега и нашатыря или поваренной соли.

Точку в 32 градуса он выставил, как «начинающееся замерзание воды».

Есть в этой шкале и что-то человеческое: 96 градусов по Фаренгейту (96ºF) соответствуют температуре здорового человека.

Эту систему до сих пор используют в США, поэтому не стоит сильно удивляться непривычным цифрам, которые иногда можно услышать в сериалах и фильмах.

Почти привычную нам систему придумал шведский ученый Цельсий в 1742 году.

Он установил 0 в точке закипания воды, а 100 — в точке плавления льда.

Позже ее «перевернули» и теперь мы знаем, что лед плавится при 0 градусах Цельсия (ºC), а вода кипит при 100ºC.

Сегодня обычные термометры постепенно отходят в прошлое, уступая свое место приложениям в телефоне, а опасные ртутные градусники заменяют более удобными и безопасными электронными, но в свое время это изобретение позволило сильно продвинуть науку вперед и улучшить жизнь людей.

Как найти расстояние между точками на окружности

Содержание

Расстояние между точками на координатной прямой
Расстояние между точками на плоскости
Расстояние между точками в пространстве
Примеры решения задач на нахождение расстояния между точками
Содержание
Общие определения
Касательная к окружности
Углы в окружности
Вписанная окружность
Описанная окружность
Теорема Птолемея

Имеем окружность (радиус не имеет значения, например 1), на которой расположены некие точки, полученные при пересечении этой окружности лучом, исходящим из центра окружности под произвольным углом. Как реализовать алгоритм нахождения ближайшей из точек А, В, С, Д и тд N (доступных по варианту) к точке X, являющейся известной заранее. Пробовал по формуле нахождения минимальной хорды и минимального угла — получаю неверный результат. Реализовать мне это нужно в Excel.

Alex Nikush: Итак, решение я нашел: =МИН(ABS(ЕСЛИ($C$2:$C$4-$E$2 19 Ноября в 15:42 и в 19:10 .

«Шапка» табл.1 (Объект/Луч/Субъект/Код) — A1:D1

Данные табл.1 A2:C6

«Шапка» табл.2 (Субъект/Код/Луч) — A9:C9

Данные табл.2 A10:C15

В D2 формула массива:

Протянуть формулу по строкам (D2:D6)

Формула тяжелая, облегчение возможно, но нужно «щупать» живой файл.

Без файла Excel воспроизведение решения трудоемкое.

Расстояние между точками на координатной прямой

0, если точка совпадает с началом координат;

x A , если x A > 0 ;

— x A , если x A 0 .

Расстояние между точками на плоскости

— если точки А и В совпадают, то расстояние между ними равно нулю;

A B = ( x B — x A ) 2 + ( y B — y A ) 2

Для ситуации, когда точки A и B лежат на прямой, перпендикулярной оси абсцисс:

A B = ( x B — x A ) 2 + ( y B — y A ) 2 = 0 2 + ( y B — y A ) 2 = y B — y A

Для случая, когда точки A и B лежат на прямой, перпендикулярной оси ординат:

A B = ( x B — x A ) 2 + ( y B — y A ) 2 = ( x B — x A ) 2 + 0 2 = x B — x A

Расстояние между точками в пространстве

Используя полученные ранее выводы, запишем следующее:

A x B x = x B — x A , A y B y = y B — y A , A z B z = z B — z A

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B — x A 2 + y B — y A 2 + z B — z A 2 = = ( x B — x A ) 2 + ( y B — y A ) 2 + z B — z A 2

A B = x B — x A 2 + y B — y A 2 + ( z B — z A ) 2

Полученная формула действительна также для случаев, когда:

— лежат на одной координатной оси или прямой, параллельной одной из координатных осей.

Примеры решения задач на нахождение расстояния между точками

Решение

Расстояние от точки начала отсчета до точки равно модулю координаты этой точки, соответственно O A = 1 — 2 = 2 — 1
Расстояние между точками A и B определим как модуль разности координат этих точек: A B = 11 + 2 — ( 1 — 2 ) = 10 + 2 2

Ответ: O A = 2 — 1 , A B = 10 + 2 2

Решение

Чтобы найти расстояние между точками A и B , необходимо использовать формулу A B = ( x B — x A ) 2 + y B — y A 2

Подставив реальные значения координат, получим: A B = ( λ + 1 — 1 ) 2 + ( 3 — ( — 1 ) ) 2 = λ 2 + 16

А также используем имеющееся условие, что А В = 5 и тогда будет верным равенство:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

Ответ: А В = 5 , если λ = ± 3 .

Решение

Для решения задачи используем формулу A B = x B — x A 2 + y B — y A 2 + ( z B — z A ) 2

Подставив реальные значения, получим: A B = ( — 7 — 1 ) 2 + ( — 2 — 2 ) 2 + ( 4 — 3 ) 2 = 81 = 9

Сначала разберемся в отличии между кругом и окружностью. Чтобы увидеть эту разницу, достаточно рассмотреть, чем являются обе фигуры. Это бесчисленное количество точек плоскости, располагающиеся на равном расстоянии от единственной центральной точки. Но, если круг состоит и из внутреннего пространства, то окружности оно не принадлежит. Получается, что круг это и окружность, ограничивающая его (о-кру(г)жность), и бесчисленное число точек, что внутри окружности.

Содержание

Общие определения

Окружность — это множество точек, которое располагается на одинаковом расстоянии от ее центра, представленного точкой.

Для любой точки L , лежащей на окружности, действует равенство OL=R . (Длина отрезка OL равняется радиусу окружности).

Отрезок, который соединяет две точки окружности, является ее хордой.

Хорда, проходящая прямо через центр окружности, является диаметром этой окружности (D) . Диаметр можно вычислить по формуле: D=2R

Длина окружности вычисляется по формуле: C=2pi R

Площадь круга: S=pi R^

Дугой окружности называется та ее часть, которая располагается между двух ее точек. Эти две точки и определяют две дуги окружности. Хорда CD стягивает две дуги: CMD и CLD . Одинаковые хорды стягивают одинаковые дуги.

Центральным углом называется такой угол, который находится между двух радиусов.

Длину дуги можно найти по формуле:

Используя градусную меру: CD = frac<pi R alpha ^<circ>><180^<circ>>
Используя радианную меру: CD = alpha R

Диаметр, что перпендикулярен хорде, делит хорду и стянутые ею дуги пополам.

В случае, если хорды AB и CD окружности имеют пересечение в точке N , то произведения отрезков хорд, разделенные точкой N , равны между собой.

ANcdot NB = CN cdot ND

Касательная к окружности

Касательной к окружности принято называть прямую, у которой имеется одна общая точка с окружностью.

Если же у прямой есть две общие точки, ее называют секущей.

Если провести радиус в точку касания, он будет перпендикулярен касательной к окружности.

Проведем две касательные из этой точки к нашей окружности. Получится, что отрезки касательных сравняются один с другим, а центр окружности расположится на биссектрисе угла с вершиной в этой точке.

Теперь к окружности из нашей точки проведем касательную и секущую. Получим, что квадрат длины отрезка касательной будет равен произведению всего отрезка секущей на его внешнюю часть.

Можно сделать вывод: произведение целого отрезка первой секущей на его внешнюю часть равняется произведению целого отрезка второй секущей на его внешнюю часть.

AC cdot BC = EC cdot DC

Углы в окружности

Градусные меры центрального угла и дуги, на которую тот опирается, равны.

angle COD = cup CD = alpha ^

Вписанный угол — это угол, вершина которого находится на окружности, а стороны содержат хорды.

Вычислить его можно, узнав величину дуги, так как он равен половине этой дуги.

angle AOB = 2 angle ADB

Опирающийся на диаметр, вписанный угол, прямой.

angle CBD = angle CED = angle CAD = 90^

Вписанные углы, которые опираются на одну дугу, тождественны.

angle ADB = angle AEB = angle AFB

Опирающиеся на одну хорду вписанные углы тождественны или их сумма равняется 180^ <circ>.

angle ADB + angle AKB = 180^

angle ADB = angle AEB = angle AFB

На одной окружности находятся вершины треугольников с тождественными углами и заданным основанием.

Угол с вершиной внутри окружности и расположенный между двумя хордами тождественен половине суммы угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри данного и вертикального углов.

angle DMC = angle ADM + angle DAM = frac<1> <2>left ( cup DmC + cup AlB
ight )

Угол с вершиной вне окружности и расположенный между двумя секущими тождественен половине разности угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри угла.

angle M = angle CBD — angle ACB = frac<1> <2>left ( cup DmC — cup AlB
ight )

Вписанная окружность

Вписанная окружность — это окружность, касающаяся сторон многоугольника.

В точке, где пересекаются биссектрисы углов многоугольника, располагается ее центр.

Окружность может быть вписанной не в каждый многоугольник.

Площадь многоугольника с вписанной окружностью находится по формуле:

p — полупериметр многоугольника,

r — радиус вписанной окружности.

Отсюда следует, что радиус вписанной окружности равен:

Суммы длин противоположных сторон будут тождественны, если окружность вписана в выпуклый четырехугольник. И наоборот: в выпуклый четырехугольник вписывается окружность, если в нем суммы длин противоположных сторон тождественны.

В любой из треугольников возможно вписать окружность. Только одну единственную. В точке, где пересекаются биссектрисы внутренних углов фигуры, будет лежать центр этой вписанной окружности.

Радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:

Описанная окружность

Если окружность проходит через каждую вершину многоугольника, то такую окружность принято называть описанной около многоугольника.

В точке пересечения серединных перпендикуляров сторон этой фигуры будет находиться центр описанной окружности.

Радиус можно найти, вычислив его как радиус окружности, которая описана около треугольника, определенного любыми 3 -мя вершинами многоугольника.

Есть следующее условие: окружность возможно описать около четырехугольника только, если сумма его противоположных углов равна 180^ < circ>.

angle A + angle C = angle B + angle D = 180^

Около любого треугольника можно описать окружность, причем одну-единственную. Центр такой окружности будет расположен в точке, где пересекаются серединные перпендикуляры сторон треугольника.

Радиус описанной окружности можно вычислить по формулам:

a , b , c — длины сторон треугольника,

S — площадь треугольника.

Теорема Птолемея

Под конец, рассмотрим теорему Птолемея.

Теорема Птолемея гласит, что произведение диагоналей тождественно сумме произведений противоположных сторон вписанного четырехугольника.

Источник

Расстояние между точками на координатной прямой

Расстояние от точки до точки: формулы, примеры, решения

Расстояние между точками на координатной прямой

Расстояние между точками на плоскости

Расстояние между точками в пространстве

Примеры решения задач на нахождение расстояния между точками

Векторы в пространстве и метод координат

Система координат в пространстве

Плоскость в пространстве задается уравнением:

Длина вектора Расстояние между двумя точками в пространстве

Длина вектора в пространстве

Расстояние между двумя точками в пространстве

3 комментария

Читайте также

Как найти расстояние между точками на окружности

Расстояние между точками на координатной прямой

Расстояние между точками на плоскости

Расстояние между точками в пространстве

Примеры решения задач на нахождение расстояния между точками

Содержание

Общие определения

Касательная к окружности

Углы в окружности

Вписанная окружность

Описанная окружность

Теорема Птолемея