Как найти модуль сдвига

46.Основные
механические свойства. Модуль сдвига

Механические
свойства материалов,

 совокупность
показателей, характеризующих сопротивление
материала воз действующей на него
нагрузке, его способность деформироваться
при этом, а также особенности его
поведения в процессе разрушения. В
соответствии с этим М. с. м. измеряют
напряжениями (обычно
в кгс/мм² или Мн/м²), деформациями
(в %), удельной работой деформации и
разрушения (обычно
в кгс×м/см² или Мдж/м²), скоростью
развития процесса разрушения при
статической или повторной нагрузке
(чаще всего в мм за
1 сек или
за 1000 циклов повторений нагрузки, мм/кцикл). М.
с. м. определяются при механических
испытаниях образцов различной формы.

В
общем случае материалы в конструкциях
могут подвергаться самым различным по
характеру нагрузкам (рис.
1):
работать нарастяжение,
сжатие, изгиб, кручение,
срез и т. д. или подвергаться совместному
действию нескольких видов нагрузки,
например растяжению и изгибу. Также
разнообразны условия эксплуатации
материалов и по температуре, окружающей
среде, скорости приложения нагрузки и
закону её изменения во времени. В
соответствии с этим имеется много
показателей М. с. м. и много методов
механических испытаний. Для металлов
и конструкционных пластмасс наиболее
распространены испытания на
растяжение, твёрдость,
ударный изгиб; хрупкие конструкционные
материалы (например, керамику,
металлокерамику) часто испытывают на
сжатие и статический изгиб; механические
свойства композиционных материалов
важно оценивать, кроме того, при
испытаниях на сдвиг.

Диаграмма
деформации. Приложенная
к образцу нагрузка вызывает его деформацию.
Соотношения между нагрузкой и деформацией
описываются т. н. диаграммой деформации
(рис.
2).
Вначале деформация образца (при
растяжении — приращение длины Dl )
пропорциональна возрастающей нагрузке Р,
затем в точке n эта
пропорциональность нарушается, однако
для увеличения деформации необходимо
дальнейшее повышение нагрузки Р;
при Dl >
Dl_в деформация
развивается без приложения усилия
извне, при постепенно падающей нагрузке.
Вид диаграммы деформации не меняется,
если по оси ординат откладывать
напряжение

а
по оси абсцисс — относительное удлинение

(F₀ и l₀ —
соответственно начальная площадь
поперечного сечения и расчётная длина
образца).

Сопротивление
материалов измеряется напряжениями,
характеризующими нагрузку, приходящуюся
на единицу площади поперечного сечения
образца

в кгс/мм². Напряжение

при
котором нарушается пропорциональный
нагрузке рост деформации, называется
пределом пропорциональности. При
нагрузкеР < Р_n разгрузка
образца приводит к исчезновению
деформации, возникшей в нём под действием
приложенного усилия; такая деформация
называется упругой. Небольшое превышение
нагрузки относительно Р_n может
не изменить характера деформации —
она по-прежнему сохранит упругий
характер. Наибольшая нагрузка, которую
выдерживает образец без появления
остаточной пластической деформации
при разгрузке, определяет предел
упругости материала:

У
конструкционных неметаллический
материалов (пластмассы, резины)
приложенная нагрузка может вызвать
упругую, высокоэластическую и остаточную
деформации. В отличие от упругой,
высокоэластическая деформация исчезает
не сразу после разгрузки, а с течением
времени. Высокопрочные армированные
полимеры (стеклопластики, углепластики
и др.) разрушаются при удлинении 1—3%.
На последних стадиях нагружения у
некоторых армированных полимеров
появляется высокоэластическая
деформация. Высокоэластический модуль
ниже модуля упругости, поэтому диаграмма
деформации в этом случае имеет тенденцию
отклоняться к оси абсцисс.

Упругие
свойства. В
упругой области напряжение и деформация
связаны коэффициентом пропорциональности.
При растяжении s = Еd, где Е —
т. н. модуль нормальной упругости,
численно равный тангенсу угла наклона
прямолинейного участка кривой s = s(d) к
оси деформации (рис.
2).
При испытании на растяжение цилиндрического
или плоского образца одноосному (s₁>0;
(s₂ =
s₃ =
0) напряжённому состоянию соответствует
трёхосное деформированное состояние
(приращение длины в направлении действия
приложенных сил и уменьшение линейных
размеров в двух других взаимно
перпендикулярных направлениях): d₁>0;
d₂ =
d₃ <
0. Соотношение между поперечной и
продольной деформацией (коэффициент
Пуассона)

в
пределах упругости для основных
конструкционных материалов колеблется
в довольно узких пределах (0,27—0,3 для
сталей, 0,3—0,33 для алюминиевых сплавов).
Коэффициент Пуассона является одной
из основных расчётных характеристик.
Зная m и Е,
можно расчётным путём определить и
модуль сдвига

и
модуль объёмной упругости

Для
определения Е,
G,
и m пользуются тензометрами.

Сопротивление
пластической деформации. При
нагрузках Р > Р_в наряду
со всё возрастающей упругой деформацией
появляется заметная необратимая, не
исчезающая при разгрузке пластическая
деформация. Напряжение, при котором
остаточная относительная деформация
(при растяжении — удлинение) достигает
заданной величины (по ГОСТ — 0,2 %),
называется условным пределом текучести
и обозначается

Практически
точность современных методов испытания
такова, что s_п и
s_е определяют
с заданными допусками соответственно
на отклонение от закона пропорциональности
[увеличение ctg(90 — a) на 25—50 %] и на величину
остаточной деформации (0,003—0,05 %) и
говорят об условных пределах
пропорциональности и упругости. Кривая
растяжения конструкционных металлов
может иметь максимум (точка в на рис.
2)
или обрываться при достижении наибольшей
нагрузки Р_в’.
Отношение

характеризует
временное сопротивление (предел
прочности) материала. При наличии
максимума на кривой растяжения в области
нагрузок, лежащих на кривой левее в,
образец деформируется равномерно по
всей расчётной длине l₀,
постепенно уменьшаясь в диаметре, но
сохраняя начальную цилиндрическую или
призматическую форму. При пластической
деформации металлы упрочняются, поэтому,
несмотря на уменьшение сечения образца,
для дальнейшей деформации требуется
прикладывать всё возрастающую нагрузку.
s_в,
как и условные s_0,2,
s_n и
s_е,
характеризует сопротивление металлов
пластической деформации. На участке
диаграммы деформации правее в форма
растягиваемого образца изменяется:
наступает период сосредоточенной
деформации, выражающейся в появлении
«шейки». Уменьшение сечения в шейке
«обгоняет» упрочнение металлов,
что и обусловливает падение внешней
нагрузки на участке Р_в —
P_k.

У
многих конструкционных материалов
сопротивление пластической деформации
в упруго-пластической области при
растяжении и сжатии практически
одинаково. Для некоторых металлов и
сплавов (например, магниевые сплавы,
высокопрочные стали) характерны заметные
различия по этой характеристике при
растяжении и сжатии. Сопротивление
пластической деформации особенно часто
(при контроле качества продукции,
стандартности режимов термической
обработки и в др. случаях) оценивается
по результатам испытаний на твёрдость
путём вдавливания твёрдого наконечника
в форме шарика (твёрдость по Бринеллю
или Роквеллу), конуса (твёрдость по
Роквеллу) или пирамиды (твёрдость по
Виккерсу). Испытания на твёрдость не
требуют нарушения целостности детали
и потому являются самым массовым
средством контроля механических
свойств. Твёрдость по Бринеллю (HB) при
вдавливании шарика диаметром D под
нагрузкой Р характеризует
среднее сжимающее напряжение, условно
вычисляемое на единицу поверхности
шарового отпечатка диаметром d:

Характеристики
пластичности. Пластичность
при растяжении конструкционных
материалов оценивается удлинением

или
сужением

при
сжатии — укорочением

(где h₀ и h_k —
начальная и конечная высота образца),
при кручении — предельным углом
закручивания рабочей части образца
Q,рад или
относительным сдвигом g = Qr (где r —
радиус образца). Конечная ордината
диаграммы деформации (точка k на рис.
2)
характеризует сопротивление разрушению
металла S_k,
которое определяется

(F_k —
фактическая площадь в месте разрыва).

Модуль
сдвига-величина,
характеризующая деформацию сдвига. 
Модуль
сдвига равен отношению касательного
напряжения к величине угла сдвига.
В начальной
части диаграмма сдвига (на рисунке)
линейная, т.е. угол сдвига  пропорционален
касательному напряжению .
Закон пропорциональности, называемый
законом Гука при сдвиге, может быть
записан:

 где
коэффициент пропорциональности G называется
модулем сдвига сдвига или модулем
упругости 2-го рода. Он характеризует
сопротивление материала упругим
деформациям и является его упругой
постоянной. 

Модуль упругой деформации

Определение и модуль упругой деформации

Деформация в твердом теле называется упругой, если она пропадает после того, как нагрузку с тела сняли.

В общем случае модуль упругости (E) определяют как

где – напряжение; – относительная деформация. Надо помнить, что данное определение справедливо для линейного отрезка диаграммы напряжений, то есть когда деформацию можно считать упругой. На данном участке диаграммы величина E определена тангенсом угла наклона прямолинейного участка диаграммы.

В зависимости от типа деформации, направления действия деформирующей силы различают несколько модулей упругости. Наиболее часто используемые:

1. модуль Юнга;
2. модуль сдвига;
3. модуль объемной упругости;
4. коэффициент Пуассона и др.

Модуль Юнга

Модуль Юнга используют при характеристике деформация растяжения (сжатия) упругого тела, при этом деформирующая сила действует по оси тела. Модуль Юнга чаще всего определяют используя закон Гука:

Модуль Юнга, равен напряжению, появляющемуся в стержне, если его относительное удлинение равно единице (или при двойном удлинении длины тела). На практике кроме резины при упругой деформации двойного удлинения невозможно достичь, тело рвется.

Коэффициент упругости и модуль Юнга связаны как:

где – длина тела до деформации; S – площадь поперечного сечения.

Единицей измерения модуля Юнга служит паскаль.

Модуль сдвига

При помощи модуля сдвига (G) характеризуют способность тела оказывать сопротивление изменению формы тела (при этом объем сохраняется). Находят модуль сдвига как:

– абсолютный сдвиг слоев параллельных по отношению друг к другу; h — расстояние между слоями; F – сила, вызывающая сдвиг, параллельная сдвигающимся слоям тела.

Если вещество является однородным и изотропным, то модуль сдвига связан с модулем Юнга выражением:

где – коэффициент Пуассона для материала, который зависит от природы вещества. Иногда обозначается буквой .

Модуль объемной упругости

Модуль объемной упругости (модуль объемного сжатия) (K) – отражает способность тела к изменению объема при действии объемного напряжения, которое одинаково по всем направлениям. Его определяют выражением:

где V – объем тела; p – давление, оказываемое на тело.

Если тело является изотропным, то:

Примеры решения задач