Как найти модуль средней линии трапеции

Уравнение средней линии

Как составить уравнение средней линии треугольника по координатам его вершин? Как записать уравнение средней линии трапеции?

Для решения этих задач используем свойства средней линии треугольника и средней линии трапеции.

Найти координаты середин двух сторон и составить уравнение прямой, проходящей через две найденные точки.

1) Написать уравнение прямой, содержащей среднюю линию треугольника с вершинами в точках A(-2;-4), B(1;6), C(7;0), пересекающей стороны AB и BC в точках M и N.

М — середина отрезка AB, N — середина BC.

Составим уравнение прямой MN, например, в виде y=kx+b:

Найти координату одной из точек средней линии и составить уравнение прямой, параллельной стороне треугольника.

— середина отрезка AB. Составим уравнение прямой AC:

Составим уравнение прямой MN как уравнение прямой, проходящей через точку M и параллельной прямой AC.

Угловой коэффициент прямой MN равен угловому коэффициенту прямой AC:

то есть уравнение прямой MN ищем в виде

Поскольку точка M принадлежит прямой, её координаты удовлетворяют этому уравнению. Отсюда находим значение b:

Таким образом, уравнение прямой MN

Аналогичные рассуждения применимы и при составлении уравнения средней линии трапеции.

Написать уравнение прямой, содержащей среднюю линию трапеции с вершинами в точках A(-2;1), B(1;5), C(4;-1), D(0;-3).

Сначала следует определить основания данной трапеции.

Составим уравнения сторон AD и BC. Если эти прямые параллельны, то AD и BC — основания трапеции. Если эти прямые не параллельны, то основания трапеции — AB и CD.

Значит, уравнение прямой AD: y= -2k-3.
B(1;5), C(4;-1),

Уравнение прямой BC: y= -2k+7.

Поскольку угловые коэффициенты прямых равны:

то AD ∥BC, то есть AD и BC являются основаниями трапеции ABCD. Значит AB и CD — боковые стороны. Найдём координаты точек M и N — середины AB и CD соответственно.

Составим уравнение прямой MN, M(-1/2;3), N(2;-2):

Уравнение AD — y= -2k-3, середина AB — M(-1/2;3). Составляем уравнение прямой MN, параллельной прямой AD.

Значит уравнение MN ищем в виде y= -2x+b.

Так как прямая проходит через точку M, её координаты удовлетворяют уравнению прямой:

Следовательно, уравнение средней линии трапеции ABCD имеет вид y=-2x+2 или 2x+y-2=0.

Все формулы средней линии трапеции

Трапеция это фигура, которая имеет четыре стороны, две из которых параллельны, а две другие, нет. Параллельные стороны называются — верхнее основание и нижнее основание. Две другие, называются боковыми сторонами.
Средняя линия трапеции — отрезок соединяющий середины боковых сторон и расположен параллельно к основаниям. Длина средней линии, равна полу сумме оснований.

1. Формула средней линии трапеции через основания

b — верхнее основание

a — нижнее основание

m — средняя линия

Формула средней линии, ( m ):

2. Формулы средней линии через основание, высоту и углы при нижнем основании

b — верхнее основание

a — нижнее основание

h — высота трапеции

m — средняя линия

Формулы средней линии трапеции, ( m ):

3. Формула средней линии трапеции через диагонали, высоту и угол между диагоналями

α , β — углы между диагоналями

d ₁ , d ₂ — диагонали трапеции

h — высота трапеции

m — средняя линия

Формулы средней линии трапеции , ( m ):

4. Формула средней линии трапеции через площадь и высоту

S — площадь трапеции

h — высота трапеции

m — средняя линия

Трапеция. Формулы, признаки и свойства трапеции

Параллельные стороны называются основами трапеции, а две другие боковыми сторонами

Так же, трапецией называется четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна, и стороны не равны между собой.

• Основы трапеции — параллельные стороны
• Боковые стороны — две другие стороны
• Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

• Равнобедренная трапеция — трапеция, у которой боковые стороны равны
• Прямоугольная трапеция — трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основам

Основные свойства трапеции

AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD

3. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:

BC : AD = OC : AO = OB : DO

d ₁ 2 + d ₂ 2 = 2 a b + c 2 + d 2

Сторона трапеции

Формулы определения длин сторон трапеции:

a = b + h · ( ctg α + ctg β )

b = a — h · ( ctg α + ctg β )

a = b + c· cos α + d· cos β

b = a — c· cos α — d· cos β

4. Формулы боковых сторон через высоту и углы при нижнем основании:

Средняя линия трапеции

Формулы определения длины средней линии трапеции:

1. Формула определения длины средней линии через длины оснований:

2. Формула определения длины средней линии через площадь и высоту:

Высота трапеции

Формулы определения длины высоты трапеции:

h = c· sin α = d· sin β

2. Формула высоты через диагонали и углы между ними:

h =	sin γ ·	d 1 d 2	=	sin δ ·	d 1 d 2
a + b	a + b

3. Формула высоты через диагонали, углы между ними и среднюю линию:

h =	sin γ ·	d 1 d 2	=	sin δ ·	d 1 d 2
2 m	2 m

4. Формула высоты трапеции через площадь и длины оснований:

5. Формула высоты трапеции через площадь и длину средней линии:

Диагонали трапеции

Формулы определения длины диагоналей трапеции:

d ₁ = √ a 2 + d 2 — 2 ad· cos β

d ₂ = √ a 2 + c 2 — 2 ac· cos β

2. Формулы диагоналей через четыре стороны:

d 1 =	√	d 2 + ab —	a ( d 2 — c 2 )
a — b

d 2 =	√	c 2 + ab —	a ( c 2 — d 2 )
a — b

d ₁ = √ h 2 + ( a — h · ctg β ) 2 = √ h 2 + ( b + h · ctg α ) 2

d ₂ = √ h 2 + ( a — h · ctg α ) 2 = √ h 2 + ( b + h · ctg β ) 2

d ₁ = √ c 2 + d 2 + 2 ab — d ₂ 2

d ₂ = √ c 2 + d 2 + 2 ab — d ₁ 2

Площадь трапеции

Формулы определения площади трапеции:

1. Формула площади через основания и высоту:

3. Формула площади через диагонали и угол между ними:

S =	d 1 d 2	· sin γ	=	d 1 d 2	· sin δ
2	2

4. Формула площади через четыре стороны:

S =	a + b	√	c 2 —	(	( a — b ) 2 + c 2 — d 2	)	2
2	2( a — b )

5. Формула Герона для трапеции

S =	a + b	√ ( p — a )( p — b )( p — a — c )( p — a — d )
| a — b |

где

p =	a + b + c + d	— полупериметр трапеции.
2

Периметр трапеции

Формула определения периметра трапеции:

1. Формула периметра через основания:

Окружность описанная вокруг трапеции

Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:

1. Формула радиуса через стороны и диагональ:

R =	a·c·d 1
4√ p ( p — a )( p — c )( p — d 1)

где

a — большее основание

Окружность вписанная в трапецию

Формула определения радиуса вписанной в трапецию окружности

1. Формула радиуса вписанной окружности через высоту:

Другие отрезки разносторонней трапеции

Формулы определения длин отрезков проходящих через трапецию:

1. Формула определения длин отрезков проходящих через трапецию:

KM = NL =	b	KN = ML =	a	TO = OQ =	a · b
2	2	a + b

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Средняя линия трапеции

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru.

И расскажем о том, что такое средняя линия этой геометрической фигуры.

Средняя линия – это.

Вообще, этот термин в геометрии весьма распространен.

Средняя линия – это отрезок, проходящий через противоположные стороны, и который делит их ровно на две одинаковых части.

Средняя линия есть практически у каждой геометрической фигуры. Например, у четырехугольников она выглядит вот так:

А вот так у треугольников:

И наконец, в случае трапеции изображение средней линии будет вот таким:

На данном рисунке показана трапеция ABCD. Если кто забыл, то у такой фигуры две противоположные грани расположены на параллельных прямых.

Они называются основаниями. А оставшиеся стороны, которые соответственно не параллельны друг другу, это боковые.

Так вот в нашем случае мы имеем среднюю линию EF, которая делит боковые стороны АВ и СD на две половинки. То есть:

AE = EB и СF = FD

Как найти среднюю линию трапеции (формула)

Есть одна главная формула, позволяющая рассчитать значение нашего отрезка.

Так, длина средней линии будет равна сумме оснований фигуры, поделенной на два. Или, другими словами, половине суммы оснований.

Возьмем для примера трапецию:

И тогда формула расчета будет выглядеть так:

Если есть желание доказать правдивость этой формулы, нужно несколько дорисовать нашу изначальную фигуру. А именно провести линию через В и L, а также продлить сторону АD. И сделать так, чтобы эти две линии пересеклись.

В итоге получится вот что:

Далее нас будут интересовать оба треугольника, которые получились. Это BLC и DLQ. Необходимо доказать, что они имеют равные размеры.

И это просто, так как у них одинаковы углы:

1. BLC и QLD – как вертикальные;
2. BCL и QDL – как лежащие накрест при имеющихся параллельных прямых и секущей.

Соответственно, если равны в треугольниках углы и стороны между ними, то и сами фигуры одинаковы.

А уже из этого следует, что ВL и LQ равны. А значит, КL является не только средней линией трапеции, но также и аналогичной линией для треугольника ABQ.

А дальше уже совсем просто, так как есть специальная формула для расчета средней линии треугольника. Она равна одной второй (половине) длины параллельной стороны:

Длина стороны AQ у нас равна AD + DQ (или ВС). И таким образом мы и получаем ту самую формулу расчета средней линии трапеции:

KL = ½ AQ = ½ (AD + DQ) = ½ (AD + ВС)

Как принято говорить в таких случаях – что и требовалось доказать.

Свойства средней линии трапеции

У средней линии трапеции есть три главных свойства:

1. Она параллельна основаниям трапеции;
2. Она равна полусумме оснований (та самая формула, о которой мы только что рассказывали);
3. Она разбивает исходную трапецию на две более маленькие по площади. Причем их площади имеют вполне конкретное соотношение друг к другу. А именно:

S1/S2 = (3BC + AD) / (BC + 3AD)

Эту формулу мы не будем доказывать. Просто поверьте, что так и есть на самом деле.

Вторая средняя линия

Внимательный читатель мог бы заметить, что мы рассказывали до этого только про одну среднюю линию. Ту, что лежит параллельно основаниям. Но ведь у этой геометрической фигуры, как и любого четырехугольника, таких отрезков должно быть два.

И действительно, у трапеции имеется вторая такая линия. И она уже делит на две равные части оба основания:

В нашем случае, это отрезок KL.

Интересно, что эту среднюю линию крайне мало изучают во время школьного обучения. И на экзаменах нет задач, с ней связанных. Хотя у нее есть несколько интересных свойств:

1. Диагонали трапеции и эта средняя линия пересекаются в одной точке;
2. Та прямая, частью которой эта линия является, пересекается в единой точке с теми прямыми, которые совпадают с боковыми сторонами;
3. В равнобокой трапеции (у которой боковые стороны идут под одним углом) средняя линия пересекает основания под углом в 90 градусов;
4. В точке, в которой пересекаются две средние линии, они делятся пополам.

Вот и все, что мы хотели рассказать о средних линиях в трапеции.

Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru

Эта статья относится к рубрикам:

Комментарии и отзывы (2)

Очень здорово, что здесь все так подробно описано со всеми рисунками и формулами, что сразу становится все понятно.

Кто же это такой умный придумал, опять небось древние греки? Они были великими мастерами в геометрии, а мне эта наука всегда тяжело давалась, особенно с доказательствами, ужас просто, но со средней линией трапеции я разобрался, наверное поумнел за эти годы.

Источник

Все формулы средней линии трапеции

Трапеция это фигура, которая имеет четыре стороны, две из которых параллельны, а две другие, нет. Параллельные стороны называются — верхнее основание и нижнее основание. Две другие, называются боковыми сторонами.
Средняя линия трапеции — отрезок соединяющий середины боковых сторон и расположен параллельно к основаниям. Длина средней линии, равна полу сумме оснований.

1. Формула средней линии трапеции через основания

b — верхнее основание

a — нижнее основание

m — средняя линия

Формула средней линии, ( m ):

2. Формулы средней линии через основание, высоту и углы при нижнем основании

b — верхнее основание

a — нижнее основание

h — высота трапеции

m — средняя линия

Формулы средней линии трапеции, ( m ):

3. Формула средней линии трапеции через диагонали, высоту и угол между диагоналями

α , β — углы между диагоналями

d ₁ , d ₂ — диагонали трапеции

h — высота трапеции

m — средняя линия

Формулы средней линии трапеции , ( m ):

4. Формула средней линии трапеции через площадь и высоту

S — площадь трапеции

h — высота трапеции

m — средняя линия

Источник

Что такое средняя линия трапеции

В данной публикации мы рассмотрим определение, свойства и признак средней линии трапеции, а также разберем пример решения задачи для лучшего понимания изложенного материала.

Определение средней линии трапеции

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется ее средней линией.

Свойства средней линии трапеции

Свойство 1

Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям и равняется их полусумме.

Для рисунка выше:

Свойство 2

Средняя линия трапеции делит пополам любой отрезок, концы которого лежат на основаниях данной трапеции.

Свойство 3

Средняя линия трапеции делит ее на две другие трапеции, площади которых соотносятся следующим образом (см. первый чертеж публикации):

Признак средней линии трапеции

Если отрезок, выходящий из середины боковой стороны трапеции, пересекает ее вторую боковую сторону и, при этом, параллелен основаниям фигуры, то он является средней линией этой трапеции.

Вторая средняя линия

Иногда дополнительно выделяют вторую среднюю линию трапеции – отрезок, соединяющий середины ее оснований. При этом следует помнить, что к ней не применимы Свойства 1-3 и Признак, рассмотренные выше.

Вторая средняя линия равнобедренной трапеции одновременно является ее высотой.

Пример задачи

Средняя линия трапеции равняется 25 см, а ее высота – 7 см. Найдите площадь фигуры.

Как мы знаем, площадь трапеции равняется полусумме оснований, умноженной на высоту h: S = (a+b) /₂ ⋅ h

В данном случае полусумма оснований – это и есть средняя линия. Обозначим ее буквой m. То есть m = (a+b) /₂.

Таким образом, S = m ⋅ h = 25 см ⋅ 7 см = 175 см 2 .

Источник

Как найти среднюю линию трапеции

Средняя линия трапеции – что это?

Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

Свойства

1. Параллельна обоим основаниям трапеции.
2. Вычисляется как половина суммы оснований.
3. Разбивает трапецию на две, площади которых соотносятся как (frac=frac<3,BC+AD>)

Как вычислить, основные формулы

Через основания

Где (a) – нижнее основание, (b) – верхнее, (m) – средняя линия.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Через основание, высоту и углы при нижнем основании

Где (a) – нижнее основание, (b) – верхнее, (m) – средняя линия, (h) – высота, (alpha,beta) – углы при нижнем основании.

Через диагонали, высоту и угол между диагоналями

Где (a) – нижнее основание, (b) – верхнее, (m) – средняя линия, (h) – высота, (alpha,beta) – углы между диагоналями, (d_1) , (d_2) – диагонали трапеции.

Через площадь и высоту

Где (h) – высота трапеции, (m) – средняя линия, (S) – площадь.

Примеры задач

Задача 1

Найдите площадь трапеции, если большее основание равно 18, меньшее 6, боковая сторона равна 7. Угол между боковой стороной и одним из оснований 150 градусов.

(angle ABC) и (angle BAH) односторонние (Rightarrow angle ABC+angle BAH;=;180^circ Rightarrow angle BAH;=;30^circ)

Рассмотрим (angle ABH)

Задача 2

Основания трапеции равны 4 и 10. Чему равен больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей?

Средняя линия трапеции ABCD так же является средней линией треугольников ABC и ACD т.к. проходит через середину одной стороны и параллельна основанию. Значит, из треугольника ACD x = 5.

Задача 3

ABCD – трапеция, BC = 2, AD = 3, PQ – средняя линия, BD и AC – диагонали. Найти MN.

Отрезок MN лежит на средней линии трапеции. Докажем: PM и NQ средние линии треугольников ABC и BCD, значит M и N середины соответственно AC и BD. Из треугольника ABC находим длину PM = 1, из треугольника BCD находим NQ = 1, следовательно MN = 2,5 — 1 — 1 = 0,5

Источник

Средняя линия трапеции

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru.

Мы снова затронем тему трапеций (что это?).

И расскажем о том, что такое средняя линия этой геометрической фигуры.

Средняя линия – это…

Вообще, этот термин в геометрии весьма распространен.

Средняя линия – это отрезок, проходящий через противоположные стороны, и который делит их ровно на две одинаковых части.

Средняя линия есть практически у каждой геометрической фигуры. Например, у четырехугольников она выглядит вот так:

А вот так у треугольников:

И наконец, в случае трапеции изображение средней линии будет вот таким:

На данном рисунке показана трапеция ABCD. Если кто забыл, то у такой фигуры две противоположные грани расположены на параллельных прямых.

Они называются основаниями. А оставшиеся стороны, которые соответственно не параллельны друг другу, это боковые.

Так вот в нашем случае мы имеем среднюю линию EF, которая делит боковые стороны АВ и СD на две половинки. То есть:

AE = EB и СF = FD

Как найти среднюю линию трапеции (формула)

Есть одна главная формула, позволяющая рассчитать значение нашего отрезка.

Так, длина средней линии будет равна сумме оснований фигуры, поделенной на два. Или, другими словами, половине суммы оснований.

Возьмем для примера трапецию:

И тогда формула расчета будет выглядеть так:

Если есть желание доказать правдивость этой формулы, нужно несколько дорисовать нашу изначальную фигуру. А именно провести линию через В и L, а также продлить сторону АD. И сделать так, чтобы эти две линии пересеклись.

В итоге получится вот что:

Далее нас будут интересовать оба треугольника, которые получились. Это BLC и DLQ. Необходимо доказать, что они имеют равные размеры.

И это просто, так как у них одинаковы углы:

1. BLC и QLD – как вертикальные;
2. BCL и QDL – как лежащие накрест при имеющихся параллельных прямых и секущей.

Соответственно, если равны в треугольниках углы и стороны между ними, то и сами фигуры одинаковы.

DLQ = BLC

А уже из этого следует, что ВL и LQ равны. А значит, КL является не только средней линией трапеции, но также и аналогичной линией для треугольника ABQ.

А дальше уже совсем просто, так как есть специальная формула для расчета средней линии треугольника. Она равна одной второй (половине) длины параллельной стороны:

KL = 1/2AQ

Длина стороны AQ у нас равна AD + DQ (или ВС). И таким образом мы и получаем ту самую формулу расчета средней линии трапеции:

KL = ½ AQ = ½ (AD + DQ) = ½ (AD + ВС)

Как принято говорить в таких случаях – что и требовалось доказать.

Свойства средней линии трапеции

У средней линии трапеции есть три главных свойства:

1. Она параллельна основаниям трапеции;
2. Она равна полусумме оснований (та самая формула, о которой мы только что рассказывали);
3. Она разбивает исходную трапецию на две более маленькие по площади. Причем их площади имеют вполне конкретное соотношение друг к другу. А именно:

   S1/S2 = (3BC + AD) / (BC + 3AD)

   Эту формулу мы не будем доказывать. Просто поверьте, что так и есть на самом деле.

Вторая средняя линия

Внимательный читатель мог бы заметить, что мы рассказывали до этого только про одну среднюю линию. Ту, что лежит параллельно основаниям. Но ведь у этой геометрической фигуры, как и любого четырехугольника, таких отрезков должно быть два.

И действительно, у трапеции имеется вторая такая линия. И она уже делит на две равные части оба основания:

В нашем случае, это отрезок KL.

Интересно, что эту среднюю линию крайне мало изучают во время школьного обучения. И на экзаменах нет задач, с ней связанных. Хотя у нее есть несколько интересных свойств:

1. Диагонали трапеции и эта средняя линия пересекаются в одной точке;
2. Та прямая, частью которой эта линия является, пересекается в единой точке с теми прямыми, которые совпадают с боковыми сторонами;
3. В равнобокой трапеции (у которой боковые стороны идут под одним углом) средняя линия пересекает основания под углом в 90 градусов;
4. В точке, в которой пересекаются две средние линии, они делятся пополам…

Вот и все, что мы хотели рассказать о средних линиях в трапеции.