Как найти модуль ускорения шарика

На прошлом уроке мы с вами говорили о первом законе Ньютона, где постулируется существование инерциальных систем отсчёта, в которых выполняется закон инерции. Давайте вспомним, что согласно закону инерции, скорость движения тела остаётся постоянной, если на него не действуют другие тела или их действия компенсируются.

Движение тела, которое происходит без действия на него других тел, называют движением по инерции. А свойство тел, проявляющееся в том, что скорость их движения остаётся неизменной до тех пор, пока на них не действуют другие тела, называется инертностью.

Опыты показывают, что чем больше время изменения скорости тела, тем оно более инертно.  В седьмом классе вы узнали, что мерой инертности тела является масса, единица измерения которой в системе СИ является килограмм.

— А как сравнить массы двух тел?

Конечно это можно сделать взвешиванием на рычажных или пружинных весах.

Во всех случаях весы — это прибор для определения массы тела по действующей на него силе тяжести. Для всех весов определение массы производится путём сравнения двух сил: силы притяжения к Земле взвешиваемого тела и силы притяжения к Земле эталона (гирь):

— А можно ли сравнить массы тел, не используя силы притяжения?

Ответим на этот вопрос, проведя такой опыт. Поставим на горизонтальную поверхность две тележки разной массы, способные катиться почти без трения. Будем разгонять тележки так, чтобы они ускорялись одинаково, не обгоняя и не отставая друг от друга.

Как видно из опыта, показания первого динамометра в три раза больше чем второго. Значит первую тележку в три раза труднее разогнать, чем вторую, то есть она в три раза более инертна. Такой опыт подтверждает, что масса тела является мерой его инертности.

Напомним ещё о двух практически важных свойствах массы:

·                   общая масса нескольких тел равна сумме их масс:

·                   масса однородного вещества, заключённого в объёме, пропорциональна этому объёму:

Теперь поговорим о взаимодействии тел. Как мы с вами знаем, в мире всё находится в непрерывном движении и изменении. Но, двигаясь, тела действуют друг на друга, то есть взаимодействуют. Взаимодействие, как и движение, является неотъемлемым свойством материи.

Чтобы получить первые представления о сущности этого понятия, рассмотрим такой пример. На экране вы видите тележку, с прикреплённой к ней стальной линейкой. Тележка находится в покое в инерциальной системе отсчёта, связанной со столом. Будет ли тележка двигаться, если линейка выпрямится?

Ответ на вопрос может дать эксперимент. Пережжём нить. Пластина резко выпрямляется, но тележка остаётся на прежнем месте.

Поставим по другую сторону согнутой линейки ещё одну такую же тележку.

После пережигания нити обе тележки приходят в движение и разъезжаются в разные стороны.

Из результатов эксперимента можно сделать вывод: для изменения скорости тележки понадобилось второе тело — вторая тележка. В движение пришли обе тележки, обе они стали двигаться относительно стола и обе подействовали друг на друга. Значит, действие одного тела на другое не может быть односторонним.

Для количественного описания действия одного тела на другое в механике вводится понятие «сила». Сила — одно из основных понятий динамики, ведь не случайно слово «динамика» происходит от греческого «динамис» — сила.

Сила — это физическая векторная величина, являющаяся количественной мерой воздействия одного тела на другое.

Единицей силы в СИ является ньютон:

Так как сила — величина векторная, то мы должны ясно представлять себе: к какой точке тела приложена сила; по какой линии и как она направлена; и каков модуль этой силы.

Если на тело действуют сразу несколько сил, то оно движется с ускорением, если их равнодействующая не равна нулю.

Вспомним, что равнодействующей называется сила, оказывающая такое же действие, как несколько сил совместно.

Так как в результате действия силы возникает ускорение, то логично предположить, что должна существовать некая количественная взаимосвязь между этими величинами.

Проведём простой опыт. К тележке, движущейся по гладкой горизонтальной поверхности с некоторой скоростью, приложим силу. Поскольку сила тяжести и сила упругости компенсируют друг друга, а сила сопротивления пренебрежимо мала, то приложенная нами сила равна результирующей всех приложенных к тележке сил. Если силу направить по скорости, то она будет разгонять тележку, если против скорости — тормозить её.

— А куда направлено ускорение тележки?

Из кинематики мы знаем, что при разгоне оно направлено по скорости, а при торможении — противоположно ей. Но в обоих случаях направления векторов ускорения и силы совпадают.

Проведённый опыт, как и множество других опытов с движущимися телами, показывает, что ускорение тела направлено по результирующей всех сил, приложенных к нему, при любом движении тела по любой траектории.

Теперь рассмотрим такой опыт. Положим на наклонную плоскость шарик, удерживаемый динамометром. На шар будут действовать сила тяжести, сила упругости плоскости (её ещё называют силой реакции опоры и обозначают буквой N), и сила упругости пружины динамометра. В состоянии покоя равнодействующая этих сил равна нулю.

Отпустим шарик. Он начнёт скатываться с некоторым ускорением. В этом опыте можно пренебречь силой трения качения и сопротивлением воздуха. Следовательно, результирующая сил, действующих на тележку, равна геометрической сумме сил тяжести и реакции опоры. Тогда из формулы следует, что модуль результирующей всех сил, приложенных к шарику при её движении, равен показаниям динамометра при её покое.

Продолжим опыт. Выясним, как зависит ускорение тележки от действующих на неё сил и от её массы. Для этого измерим время движения шарика и пройденный им путь.

Модуль ускорения шарика определим по формуле кинематики

Теперь, увеличивая угол наклона, будем увеличивать значение равнодействующей силы в два, три и четыре раза, и определять ускорение шарика для каждого случая.

Опыт показывает, что при увеличении модуля силы в два, три и четыре раза модуль ускорения увеличится тоже в два, три и четыре раза.

Следовательно, модуль ускорения тела прямо пропорционален модулю результирующей всех приложенных к нему сил:

Будем теперь проводить измерения для тел разных масс при одном и том же значении модуля силы. Постоянство силы будем поддерживать, регулируя наклон плоскости и контролируя её значение динамометром. Массу будем изменять, используя шарики из различных материалов, массы которых заранее известны. Как и в прошлом опыте, для каждого случая будем определять ускорение.

Из результатов опыта видно, что под действием одной и той же силы, тело в два, три, четыре раза большей массы приобретает в два, три, четыре раза меньшее ускорение.

Значит, модули ускорений, приобретаемых телами под действием одинаковых сил, обратно пропорциональны массам этих тел:

Полученные нами закономерности можно выразить одной формулой:

где k — это постоянный коэффициент, который зависит от выбора единицы силы.

Мы знаем, что единицей силы в СИ является один ньютон — эта сила, под действием которой тело массой один килограмм движется с ускорением один метр на секунду в квадрате. Поэтому в СИ коэффициент k = 1.

Таким образом, ускорение, приобретаемое телом под действием приложенных к нему сил, прямо пропорционально результирующей силе и обратно пропорционально массе тела.

Это основной закон динамики — второй закон Ньютона.

Формула, выражающая математическую запись второго закона Ньютона, подчёркивает, что сила является причиной, а ускорение — следствием. Поэтому эту формулу ещё называют уравнением движения тела.

Второй закон Ньютона — один из самых фундаментальных законов природы. Его называют основным законом динамики, так как он позволяет найти положение тела в любой момент времени, то есть решить основную задачу механики.

Отметим также то, что второй закон Ньютона выполняется только в инерциальных системах отсчёта.

Закрепления материала.

Сани массой сто килограмм тянут по горизонтальному участку пути, прикладывая силу под углом 60^о к горизонту. Модуль прикладываемой силы равен 400 Н, а модуль силы трения скольжения — 100 Н. Определите модуль ускорения движения саней.

Определите ускорение шарика при его движении по окружности

Цель работы: определение центростремительного ускорения шарика при его равномерном движении по окружности.

Оборудование: штатив с муфтой и лапкой, лента измерительная, циркуль, динамометр лабораторный, весы с разновесами, шарик на нити, кусочек пробки с отверстием, лист бумаги, линейка.

1. Приведем груз во вращение по нарисованной окружности радиуса R= 20 см. Измеряем радиус с точностью 1 см. Измерим время t, за которое тело совершит N=30 оборотов.

2. Определяем высоту конического маятника h по вертикали от центра шарика до точки подвеса. h=60,0 +- 1 см.

3.Оттягиваем горизонтально расположенным динамометром шарик на расстояние, равное радиусу окружности и измеряем модуль составляющей F1 F1= 0,12 Н, масса шарика m=30 г +- 1 г.

4.Результаты измерений заносим в таблицу.

5.Вычислим аn по формулам, приведенным в таблице.

6.Результат вычисления заносим в таблицу.

Вывод: сравнивая полученные три значения модуля центростремительного ускорения, убеждаемся, что они примерно одинаковы. Это подтверждает правильность наших измерений.

Лаб. 3

$F_y·x=2 Н· 0.045 м = 0.09$

Опыт	$N$	$t$	$T$	$a$	$ω$	$v$
$1$	$10$	$12.13$	$-$	$-$	$-$	$-$
$2$	$10$	$12.2$	$-$	$-$	$-$	$-$
$3$	$10$	$11.8$	$-$	$-$	$-$	$-$
$4$	$10$	$11.41$	$-$	$-$	$-$	$-$
$5$	$10$	$11.72$	$-$	$-$	$-$	$-$
Ср.	$10$	$11.85$	$1.18$	$4.25$	$0.63$	$0.09$

$Delta t_<случ_1>=|t_1-langle trangle|=|12.13-11.85|=0.28$

1. Как изменяется линейная скорость шарика при его движении по окружности, если модуль скорости $v = const$?

Линейная скорость характеризуется направлением и величиной (модулем). Модуль — величина постоянная, а направление при таком движении способно изменяться.

2. Как доказать соотношение $v = ωR$?

Так как $v = dfrac<1>$, связь циклической частоты с периодом и частой $2π = VT$, откуда $V = 2πR$. Связь линейной скорости и угловой $2πR = VT$, отсюда $V = dfrac<2πr>$. ($R$ — радиус описанной, $r$ — радиус вписанной).

3. Как зависит период обращения $T$ шарика от модуля его линейной скорости?

Чем выше показатель скорости, тем меньше показатель периода.

Выводы: научился определять период вращения, модули, центростремительного ускорения, угловую и линейную скорости при равномерном вращении тела и рассчитывать абсолютную и относительную погрешности прямых измерений промежутка времени движения тела.

Определите ускорение шарика при его движении по окружности, если за время $Δt = 1$ с он прошел $dfrac<1><6>$ длины окружности, имея постоянный модуль линейной скорости $v = 10$ м/с.

Физика. Информатика. Портфолио.

Нашёл ошибку!?

Кто здесь?

Сейчас на сайте 287 гостей и нет пользователей

Последние слова

• Timurasfdc

Информатика

Глобус

Статистика

• Пуск
• Физика 10
• Лабораторные работы
• № 01 Изучение движения тела по окружности

№ 01 Изучение движения тела по окружности

Лабораторная работа № 1

Тема: Изучение движения тела по окружности.

Цель работы: определение центростремительного ускорения шарика при его равномерном движении по окружности.

Оборудование:

• штатив с муфтой и лапкой;
• лента измерительная;
• циркуль;
• динамометр лабораторный;
• весы с разновесами;
• шарик на нити;
• кусочек пробки с отверстием;
• лист бумаги;
• линейка.

Теоретическая часть

Эксперименты проводятся с коническим маятником. Небольшой шарик движется по окружности радиусом R. При этом нить АВ, к которой прикреплен шарик, описывает поверхность прямого кругового конуса. На шарик действуют две силы: сила тяжести mg и натяжение нити F (смотри рис а). Они создают центростремительное ускорение а_n, направленное по радиусу к центру окружности. Модуль ускорения можно определить кинематически. Он равен:

a_n = ω 2 R = 4π 2 R/T 2

Для определения ускорения надо измерить радиус окружности R и период обращения шарика по окружности Т. Центростремительное (нормальное) ускорение можно определить также, используя законы динамики. Согласно второму закону Ньютона ma = mg + F. Разложим силу F на составляющие F₁ и F₂, направленные по радиусу к центру окружности и по вертикали вверх. Тогда второй закон Ньютона можно записать следующим образом:

Направление координатных осей выберем так, как показано на рисунке б. В проекции на ось O₁Y уравнение движения шарика примет вид: 0 = F₂ — mg. Отсюда F₂ = mg. Составляющая F₂ уравновешивает силу тяжести mg, действующую на шарик. Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось О₁Х: ma_n = F₁. Отсюда а_n = F₁/m. Модуль составляющей F₁ можно определить различными способами. Во-первых, это можно сделать пользуясь подобием треугольников ОАВ и FBF₁:

F₁/R = mg/h

Отсюда F₁ = mgR/h и a_n = gR/h.

Во-вторых, модуль составляющей F₁ можно непосредственно измерить динамометром. Для этого оттягиваем горизонтально расположенным динамометром шарик на расстояние, равное радиусу R окружности (рис. в), и определяем показание динамометра. При этом сила упругости пружины уравновешивает составляющую F₁. Сопоставим все три выражения для а_n:

и убедимся, что числовые значения центростремительного ускорения, полученные тремя способами, близки между собой.

В данной работе с наибольшей тщательностью следует измерять время. Для этого полезно отсчитывать возможно большее число N оборотов маятника, уменьшая тем самым относительную погрешность.

Взвешивать шарик с точностью, которую могут дать лабораторные весы, нет необходимости. Вполне достаточно взвешивать с точностью до 1 г. Высоту конуса и радиус окружности достаточно измерить с точностью до 1 см. При такой точности измерений относительные погрешности величин будут одного порядка.

Порядок выполнения работы.

1. Определяем массу шарика на весах с точностью до 1 г.

2. Нить продеваем сквозь отверстие в пробке и зажимаем пробку в лапке штатива (смотри рис. в).

3. Вычерчиваем на листе бумаги окружность, радиус которой около 20 см. Измеряем радиус с точностью до 1 см.

4. Штатив с маятником располагаем так, чтобы продолжение нити проходило через центр окружности.

5. Взяв нить пальцами у точки подвеса, вращаем маятник так, чтобы шарик описывал такую же окружность, как и начерченная на бумаге.

6. Отсчитываем время, за которое маятник совершает заданное число оборотов (к примеру, N = 50).

7. Определяем высоту конического маятника. Для этого измеряем расстояние по вертикали от центра шарика до точки подвеса (считаем h

l).

8. Находим модуль центростремительного ускорения по формулам:

a_n = 4π 2 R/T 2 и a_n = gR/h

9. Оттягиваем горизонтально расположенным динамометром шарик на расстояние, равное радиусу окружности, и измеряем модуль составляющей F₁. Затем вычисляем ускорение по формуле а_n = F₁/m.

10. Результаты измерений заносим в таблицу.

№ опыта	R	N	Δt	T = Δt/N	h	m	an = 4π 2 R/T 2	an = gR/h	an = F1/m
1

Сравнивая полученные три значения модуля центростремительного ускорения, убеждаемся, что они примерно одинаковы.

Содержание:

Гармонические колебания:

Некоторые движения, встречающиеся в быту, за равные промежутки времени повторяются. Такое движение называется периодическим движением. Часто встречается движение, при котором тело перемещается то в одну, то в другую сторону относительно равновесного состояния. Такое движение тела называется колебательным движением или просто колебанием.

Колебания, совершаемые телом, которое выведено из равновесного состояния в результате действия внутренних сил, называются собственными (свободными) колебаниями. Величина удаления от равновесного состояния колеблющегося тела называется его смещением (

Для наблюдения механических колебаний ознакомимся с колебаниями груза, закрепленного на конце пружины (рис. 5.1). На этом рисунке груз, закрепленный на пружине, сможет двигаться без трения с горизонтальным стержнем, так как силу тяжести шарика приводит в равновесие реакционная сила стержня.
Коэффициент упругости пружины – , а ее масса ничтожна мала и можно ее не учитывать. Считаем, что масса системы сосредоточена в грузе, а упругость в пружине.

Если груз, который находится в равновесии, потянем вправо на расстояние и отпустим, то под действием силы упругость, которая появляется в пружине, груз смещается в
сторону равновесного состояния.

С течением времени смещение груза уменьшается относительно , но скорость груза при этом увеличивается. Когда груз доходит до равновесного состояния, его смещение () равняется нулю и соответственно сила упругости равняется нулю. Но груз по инерции начинает двигаться в левую сторону. Модуль силы упругости, которая появляется в пружине, тоже растет. Однако из-за того, что сила упругости постоянно направлена против смещения груза, она начинает тормозить груз. В результате движение груза замедляется, и, в результате, прекращается. Теперь груз под воздействием эластической силы сжатой пружины начинает двигаться в сторону равновесного состояния.
Для определения закономерности изменения в течение времени системы, которая периодически совершает колебания, заполним воронку песком, подвесим на веревке, подложим бумагу под систему и раскачаем воронку. В ходе колебания начинаем равномерно вытягивать бумагу из-под системы. В результате мы увидим, что следы песка на бумаге образуют синусоиду. Из этого можно сделать следующий вывод: смещение периодически колеблющегося тела по истечении времени изменяется по закону синусов и косинусов. При этом самое большое значение смещения равняется амплитуде ():

здесь: – циклическая частота, зависящая от параметров колеблющихся систем, – начальная фаза, () фаза колебания с течением времени .
Из математики известно, что  поэтому формулу (5.2.) можно записать в виде

Колебания, в которых с течением времени параметры меняются по закону синуса или косинуса, называются гармоническими колебаниями. 

Значит, пружинный маятник, вышедший из равновесного состояния, совершает гармоническое колебание. Для того чтобы система совершала гармоническое колебание: 1) при выходе тела из равновесного состояния, для возвращения его в равновесное состояние должна появиться внутренняя сила; 2) колеблющееся тело должно обладать инертностью и на него не должны оказывать воздействие силы трения и сопротивления. Эти условия называется условиями проявления колебательных движений. 

Основные параметры гармонических колебаний

a) период колебания – время одного полного колебания:

)

б) частота колебания – количество колебаний, совершаемых за 1 секунду:

Единица
c) циклическая частота – количество колебаний за секунд:

С учетом формул (5.5) и (5.6) уравнение гармонических колебаний (5.2) можно записать в следующей форме.

Большинство величин, количественно описывающих гармонические колебания, смещения которых с течением времени меняются по закону синусов или косинусов (скорость, ускорение, кинетическая и потенциальная энергия), тоже гармонически меняются. 
Это подтверждается следующими графиками и уравнениями:

Пример решения задачи:

Точка совершает гармоническое колебательное движение. Максимальное смещение и скорость соответственно равны 0,05 м и 0,12 м/с. Найдите максимальное ускорение и скорость колебательного движения, а также ускорение точки в момент, когда смещение равно 0,03 м.

Дано:

Найти:

Формула и решение:

Гармонические колебания пружинного маятника

В 1985 году в городе Мехико произошла ужасная катастрофа, причина которой было землетрясение: 5526 человек погибли, 40 ООО человек ранены, 31000 человек остались без крова. Из проведенных затем исследований ученые выяснили, что главной причиной разрушений во время землетрясения является совпадение частоты свободных колебаний зданий с частотой вынужденных колебаний Земли. Поэтому при возведении новых зданий в сейсмически активной зоне необходимо, чтобы эти частоты не совпадали. Это даст возможность уменьшить последствия землетрясения. С этой целью важно знать, от чего зависят частота и период колебаний.

Одной из простейших колебательных систем, совершающих гармонические колебания, является пружинный маятник.

Пружинный маятник — это колебательная система, состоящая из пружины и закрепленного на ней тела. Колебания, возникающие в пружинном маятнике, являются гармоническими колебаниями:

Под гармоническими колебаниями подразумеваются колебания, возникающие под действием силы, прямо пропорциональной перемещению и направленной против направления перемещения.

Исследование колебаний пружинного маятника имеет большое практическое значение, например, при вычислении колебаний рессор автомобиля при езде; в исследовании воздействия колебаний на фундамент зданий и тяжелых станков, в определении эластичности ушных перепонок при диагностике лор-заболеваний. По этой причине изучение колебаний пружинного маятника является актуальной проблемой.

С целью уменьшения количества сил, действующих на колебательную систему, целесообразно использовать горизонтально расположенную колебательную систему пружина-шарик (d).

В этой системе действия силы тяжести и реакции опоры уравновешивают друг друга. При выведении шарика из состоянии равновесия, например, при растяжении пружины до положения сила упругости, возникающая в ней, сообщает шарику ускорение и приводит его в колебательное движение. По II закону Ньютона уравнение движения маятника можно записать так:

или

Формула (4.9) является уравнением свободных гармонических колебаний пружинного маятника.

Где  — масса шарика, закрепленного на пружине, — проекция ускорения шарика вдоль оси  — жесткость пружины, -удлинение пружины, равное амплитуде колебания. Для данной колебательной системы отношение — постоянная положительная величина (так как масса и жесткость не могут быть отрицательными). При сравнении уравнения колебаний (4.9) пружинного маятника с выражением для другого вида периодического движения — известным выражением центростремительного ускорения при равномерном движении по окружности получается, что отношение соответствует квадрату циклической частоты

или

Таким образом, уравнение движения пружинного маятника можно записать и так:

Уравнение (4.12) показывает, что колебания пружинного маятника с циклической частотой являются свободными гармоническими колебаниями. Из математики известно, что решением этого уравнения является:

Так как тригонометрическая функция является гармонической функцией, то и колебания пружинного маятника являются гармоническими колебаниями.

Здесь фаза колебания, — начальная фаза. Единица измерения фазы в СИ — радиан (1 рад). Фазу также можно измерять в градусах: Значение начальной фазы зависит от выбора начального момента времени. Начальный момент времени можно выбрить так, чтобы В этом случае формулу гармонических колебаний пружинного маятника можно записать так:

или

Из сравнения выражений (4.11) и (4.5) определяются величины, от которых зависят период и частота колебаний пружинного маятника: 

Из выражений (4.14) и (4.15) видно, что период и частота пружинного маятника зависят от жесткости пружины и массы груза, подвешенного к нему.

Гармонические колебания математического маятника

До наших дней дошла такая историческая информация: однажды в 1583 году итальянский ученый Г. Галилей, находясь в храме города Пиза, обратил внимание на колебательное движение люстры, подвешенной на длинном тросе. Он, сравнивая колебания люстры со своим пульсом, определил, что, несмотря на уменьшение амплитуды колебания, время, затрачиваемое на одно полное колебание (период колебания) люстры, не изменяется. Затем Галилей в результате многочисленных проведенных исследований, изменяя длину нитевого маятника, массу подвешенного к нему груза, высоту расположения маятника (по сравнению с уровнем моря), определил, от чего зависят период и частота колебаний маятника.

Гармонические колебания возникают также под действием силы тяжести. Это можно наблюдать с помощью математического маятника.

Математический маятник — это идеализированная колебательная система, состоящая из материальной точки, подвешенной на невесомой и нерастяжимой нити.

Для исследования колебаний математического маятника можно использовать систему, состоящую из тонкой длинной нити и шарика (b).

Сила тяжести действующая на шарик в положении равновесия маятника, уравновешивается силой натяжения нити Однако, если вывести маятник из состояния равновесия, сместив его на малый угол в сторону, то возникают две составляющие вектора силы тяжести -направленная вдоль нити и перпендикулярная нити Сила натяжения  и составляющая силы тяжести уравновешивают друг друга. Поэтому равнодействующая сила будет равна составляющей «пытающейся» вернуть тело в положение равновесия (см.: рис. b). Учитывая вышеуказанное и ссылаясь на II закон Ньютона, можно написать уравнение колебательного движения тела массой в проекциях на ось ОХ:

Приняв во внимание, что:

Для уравнения движения математического маятника получим:

Где  — длина математического маятника (нити),  — ускорение свободного падения, — амплитуда колебания.

Для данной колебательной системы отношение — постоянная положительная величина, потому что ускорение свободного падения и длина нити не могут быть отрицательными. Если сравнить уравнения (4.16) и (4.10), с легкостью можно увидеть, что отношение  также соответствует квадрату циклической частоты 

или

Таким образом, уравнение движения математического маятника можно записать и так:

Уравнение (4.19) показывает, что колебания математического маятника являются гармоническими колебаниями с циклической частотой со. Из математики вы знаете, что решением этого уравнения является нижеприведенная функция:

Так как эта функция является гармонической, то и колебания математического маятника являются гармоническими колебаниями.

Отсюда определяются величины, от которых зависят период и частота колебаний математического маятника:

Таким образом, период и частота колебаний математического маятника зависят от длины маятника и напряженности гравитационного поля в данной точке.

Скорость и ускорение при гармонических колебаниях

Вы уже знакомы с основными тригонометрическими функциями и умеете строить графики тригонометрических уравнений, описывающих гармонические колебания.

При гармонических колебаниях маятника его смещение изменяется по гармоническому закону, поэтому не трудно доказать, что его скорость и ускорение также изменяются по гармоническому закону. Предположим, что смещение изменяется по закону косинуса и начальная фаза равна нулю

Так как скорость является первой производной смещения (координат) по времени, то:

или

Как видно из выражения (4.23), скорость, изменяющаяся по гармоническому закону, опережает колебания смещения по фазе на (а).

Максимальное (амплитудное) значение скорости зависит от амплитуды, частоты и периода колебаний:

Так как ускорение является первой производной скорости по времени, то получим:

или

Как видим, колебания ускорения, изменяющегося по гармоническому закону, опережают колебания скорости по фазе на а колебания смещения на

 (см.: рис. а). Максимальное (амплитудное) значение ускорения зависит от амплитуды, частоты и периода колебаний:

Превращения энергии при гармонических колебаниях 

Теоретический материал

Потенциальная и кинетическая энергия свободных гармонических колебаний в замкнутой системе периодически превращаются друг в друга.

В таблице 4.4 дано сравнение превращений энергий в пружинном и математическом маятниках. Как видно из таблицы, потенциальная энергия колебательной системы в точке возвращения имеет максимальное значение:

Если же маятник находится в точке равновесия, потенциальная энергия минимальна:

Кинетическая энергия системы, наоборот, в точке возвращения минимальна а в точке равновесия максимальна: 

На рисунке (а) даны графики зависимости потенциальной и кинетической энергии при гармоническом колебательном движении от смещения.

Полная механическая энергия замкнутой колебательной системы в произвольный момент времени остается постоянной (трение не учитывается):

a) для пружинного маятника:

b) для математического маятника:

Если принять во внимание изменение смещения и скорости по гармоническому закону в формулах потенциальной и кинетической энергии колебательного движения, то станет очевидно, что при гармонических колебаниях эти энергии так же изменяются по гармоническому закону (b):  

Как было отмечено выше, полная энергия системы не изменяется по гармоническому закону:

• Полная энергия гармонических колебаний прямо пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.

Если же в системе существует сила трения, то его полная энергия не сохраняется — изменение полной механической энергии равно работе силы трения. В результате колебания затухают:

Превращения энергии при гармонических колебаниях

Механическая энергия системы равна сумме ее кинетической и потенциальной энергий. Кинетической энергией тело обладает вследствие своего движения, а потенциальная энергия определяется взаимодействием тела с другими телами или полями. Механическая энергия замкнутой системы, в которой не действуют силы трения (сопротивления), сохраняется.

Поскольку при колебаниях гармонического осциллятора силу трения не учитывают, то его механическая энергия сохраняется.

Рассмотрим превращения энергии при колебаниях математического маятника. Выберем систему отсчета таким образом, чтобы в положении равновесия его потенциальная энергия была равна нулю.

При отклонении маятника на угол а (рис. 7), соответствующий максимальному смещению от положения равновесия, потенциальная энергия максимальна, а кинетическая энергия равна нулю:

Рис. 7. Превращения энергии при колебаниях математического маятника
 

Поскольку при прохождении положения равновесия его потенциальная энергия равна нулю, то кинетическая энергия (а следовательно, и скорость) будет максимальна:

Из закона сохранения механической энергии следует (рис. 8), что

(1)

Отсюда найдем модуль максимальной скорости маятника:

    (2)

Высоту можно выразить через длину маятника l и амплитуду колебаний А.

Если колебания малые, то Из треугольника KCD на рисунке 8 находим

Отсюда

Подставив выражение для в формулу I (2), получим

Подставляя выражения для  и  в соотношение (1), находим

Таким образом, в положении равновесия потенциальная энергия полностью переходит в кинетическую, а в положениях максимального отклонения кинетическая энергия полностью переходит в потенциальную.

В любом промежуточном положении

Покажем, что аналогичные превращения энергии имеют место и для пружинного маятника (рис. 9). В крайних точках, когда координата груза принимает значение , модуль его скорости равен нулю (v = 0) и кинетическая энергия груза полностью переходит в потенциальную энергию деформированной пружины:

Таким образом, получаем, что механическая энергия гармонического осциллятора пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.

В положении равновесия, когда x = 0, вся энергия осциллятора переходит в кинетическую энергию груза:

где — модуль максимальной скорости груза при колебаниях.

В промежуточных точках полная механическая энергия

Отсюда можно вывести выражение для модуля скорости груза в точке с

координатой х:    

Так как

Энергия при гармонических колебаниях

Механическая энергия системы равна сумме ее кинетической и потенциальной энергии. Механическая энергия замкнутой системы, в которой не действуют силы трения (сопротивления), сохраняется.

Поскольку при колебаниях гармонического осциллятора силой трения пренебрегают, то его механическая энергия сохраняется. Рассмотрим превращения энергии при колебаниях математического маятника. Выберем систему отсчета таким образом, чтобы в положении равновесия его потенциальная энергия была равна нулю.

При отклонении маятника на угол  (рис. 10), соответствующий максимальному смещению от положения равновесия, потенциальная энергия максимальна, а кинетическая энергия равна нулю:

Поскольку при прохождении положения равновесия потенциальная энергия равна нулю  то из закона сохранения механической энергии следует (см. рис. 10), что  т. е. кинетическая энергия маятника (а следовательно, и скорость) рис. ю. Определение^иhmax будет максимальна:

Запишем закон сохранения механической энергии, подставив в него выражения для потенциальной и кинетической энергии:

Отсюда найдем модуль максимальной скорости маятника:

Высоту  можно выразить через длину  маятника и амплитуду  колебаний. Если колебания малые, то  Из  (см. рис. 10) находим:

или 

Подставив выражение (3) для  в формулу (2), получим:

Подставляя выражения (3) для  и (4) для  в соотношение (1), находим:

Таким образом, в положении равновесия потенциальная энергия полностью переходит в кинетическую, а в положениях максимального отклонения кинетическая энергия полностью переходит в потенциальную (рис. 11). В любом промежуточном положении

Покажем, что аналогичные превращения энергии имеют место и для пружинного маятника (рис. 12).

В крайних положениях, когда  модуль скорости маятника  и кинетическая энергия груза полностью переходит в потенциальную энергию деформированной пружины:

Таким образом, из соотношения (6) следует, что механическая энергия пружинного маятника пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.

В положении равновесия, когда  вся энергия пружинного маятника переходит в кинетическую энергию груза:

где  — модуль максимальной скорости груза при колебаниях.

В положениях между крайними точками полная энергия

С учетом выражений для координаты  и проекции скорости груза  а также для  находим его потенциальную энергию  и кинетическую энергию  в произвольный момент времени 

Тогда полная механическая энергия пружинного маятника в этот же. момент времени есть величина постоянная и равная:

Таким образом, начальное смещение  определяет начальную потенциальную, а начальная скорость  определяет начальную кинетическую энергию колеблющегося тела. При отсутствии в системе потерь энергии процесс колебаний сопровождается только переходом энергии из потенциальной в кинетическую и обратно.

Заметим, что частота периодических изменений кинетической (потенциальной) энергии колеблющегося тела в два раза больше частоты колебаний маятника. Действительно, дважды за период механическая энергия тела будет полностью превращаться в потенциальную (в двух крайних положениях маятника) и дважды за период — в кинетическую (при его прохождении через положение равновесия) (рис. 13).

Пример №1

Математический маятник при колебаниях от одного крайнего положения до другого смещается на расстояние  см и при прохождении положения равновесия достигает скорости, модуль которой  Определите период  колебании маятника.
Дано:

Решение

По закону сохранения механической энергии

Отсюда: 

Ответ: 

Пример №2

Груз массой  г находится на гладкой горизонтальной поверхности и закреплен на легкой пружине жесткостью  Его смешают на расстояние  см от положения равновесия и сообщают в направлении от положения равновесия скорость, модуль которой  Определите потенциальную  и кинетическую  энергию груза в начальный момент времени. Запишите кинематический закон движения груза.

Дано:

Решение Потенциальная энергия груза:

Кинетическая энергия груза:

Начальное смещение груза не является амплитудой, так как вместе с начальным отклонением грузу сообщили и скорость. Однако полная энергия может быть выражена через амплитуду колебаний:

Отсюда

Циклическая частота:

В начальный момент времени  координата груза  Отсюда начальная фаза:

Тогда закон гармонических колебаний имеет вид (рис. 14):

Ответ: