Как найти модуль ускорения тела по окружности

Ускорение точки при ее движении по окружности в физике — формулы и определения с примерами

Вернемся теперь к нашей задаче — найти ускорение, с которым тело движется по окружности с постоянной по модулю скоростью.

Ускорение, как известно, определяется по формуле

$vec{a} = frac{ vec{v} — vec{v}_{0} }{t}$,

где $vec{v}_{0}$ — скорость тела в некоторый начальный момент времени, а $vec{v}$ — его скорость через промежуток времени $t$. В нашем случае модули скоростей $vec{v}$ и $vec{v}_{0}$ равны друг другу.

рис. 1

Предположим, что тело движется по окружности радиусом $r$ и что в некоторый момент времени оно находится в точке $A$ (рис. 1).

Чему равно ускорение в этой точке? Скорость $vec{v}_{0}$ в этой точке направлена по касательной к окружности в точке $A$. Через $t$ с тело оказывается в точке $B$, и скорость его $vec{v}$ теперь направлена по касательной к окружности в точке $B$. По модулю скорости $vec{v}$ и $vec{v}_{0}$ равны (длины стрелок $vec{v}$ и $vec{v}_{0}$ одинаковы).

Мы хотим найти ускорение в точке $A$ окружности (мгновенное ускорение). Поэтому точки $A$ и $B$ мы должны взять близкими друг к другу, настолько близкими, чтобы дуга $AB$ как бы стянулась в точку.

Выясним сначала, как направлено это ускорение.

рис. 2

Проведем из центра $O$ окружности радиусы к точкам $A$ и $B$. Радиус окружности перпендикулярен к касательной в точке касания, следовательно, радиусы $OA$ и $OB$ перпендикулярны векторам $vec{v}_{0}$ и $vec{v}$. Чтобы узнать направление вектора ускорения, нужно найти вектор, равный разности векторов $vec{v}$ и $vec{v}_{0}$. Его направление — это и есть направление вектора ускорения. Как производят вычитание векторов, мы уже знаем (см. «Действия над векторами: вычитание векторов»). Чтобы найти разность $vec{v} — vec{v}_{0}$, векторы $vec{v}$ и $vec{v}_{0}$, расположим так, чтобы они исходили из одной точки (рис. 2), и соединим их концы, направив стрелку от вычитаемого к уменьшаемому (от конца вектора $vec{v}_{0}$ к концу вектора $vec{v}$). Вектор $vec{CD}$ и есть разность векторов $vec{v} — vec{v}_{0}$. Следовательно, вдоль вектора $vec{CD}$ направлено ускорение. Что можно сказать об этом направлении?

Треугольник $ADC$ (см. рис. 2) равнобедренный. Угол при вершине $A$ равен углу $phi$ между радиусами $OA$ и $OB$ (рис. 1), так как они образованы взаимно перпендикулярными сторонами. Точки $A$ и $B$ расположены близко друг к другу, поэтому угол $phi$ очень мал (близок к нулю). Каждый из углов при основании треугольника $ADC$ близок к прямому, так как сумма углов треугольника равна двум прямым. Это означает, что вектор $vec{CD} = vec{v} — vec{v}_{0}$ перпендикулярен вектору скорости. Значит, и ускорение перпендикулярно скорости. Но скорость направлена по касательной к окружности в течке $A$, а касательная перпендикулярна радиусу. Значит, и ускорение направлено по радиусу к центру окружности. Его поэтому называют центростремительным ускорением.

При равномерном движении тела по окружности ускорение в любой ее течке перпендикулярно скорости движения и направлено к центру окружности.

рис. 3

Эта интересная особенность ускорения при движении по окружности с постоянней по модулю скоростью показана на рисунке 3.

Найдем теперь модуль центростремительного ускорения. Для этого нужно найти, чему равно абсолютное значение величины $frac{ vec{v} — vec{v}_{0} }{t}$. Из рисунка 2 видно, что модуль разности векторов $| vec{v} — vec{v}_{0} |$ равен длине отрезка $CD$. Так как угол $phi$ очень мал, то отрезок $CD$ мало отличается от дуги $CD$ окружности (показанной пунктиром) с центром в течке $A$. Радиус этой окружности $r$ численно равен $v$ ($r = v$). Но, как мы знаем (см. § 24), длина такой дуги равна $r phi = v phi$. Следовательно, $| vec{v} — vec{v}_{0} | = CD = v phi$. Абсолютное значение ускорения $| vec{a} |$ равно $frac{| vec{v} — vec{v}_{0} |}{t} = frac{v phi}{t}$. Но $frac{ phi }{t }$ — это угловая скорость $omega$. Поэтому

$| vec{a} | = |v omega |$.

Ускорение тела, движущемся по окружности, равно произведению его линейной скорости и угловой cкорости поворота радиуса, проведенного к телу.

Формулу для центростремительного ускорения удобнее представить в таком виде, чтобы в нее входила величина радиуса окружности, по которой движется тело. Так как угловая н линейная скорости связаны соотношением $v = omega r$ ($r$ — радиус окружности), то, подставив это выражение в формулу $| vec{a} | = | v omega |$, получим:

$| vec{a} | = | omega r omega | = omega^{2} r$.

Но $omega = frac{v}{r}$, поэтому формулу для центростремительного ускорения можно записать еще и так:

$| vec{a} | = v frac{v}{r} = frac{v^{2} }{r}$.

При равномерном движении по окружности тело движется с ускорением, которое направлено по радиусу к центру окружности и модуль которого определяется выражением $| vec{a} | = omega^{2}r$, или $| vec{a} |= frac{v^{2} }{r}$.

Следовательно, верно и обратное: если известно, что скорость тела равна $v$ и ускорение тела во всех точках перпендикулярно вектору его скорости и по абсолютному значению равно $| vec{a} |$, то можно утверждать, что такое тело движется по окружности, радиус которой $r$ определяется формулой

$r = frac{v^{2} }{| vec{a} |}$.

Значит, если нам известны начальная скорость тела и абсолютное значение его центростремительного ускорения, мы можем изобразить окружность, по которой тело будет двигаться, и найти его положение в любой момент времени (начальное положение тела должно быть, конечно, известно). Тем самым будет решена основная задача механики.

Напомним, что ускорение при равномерном движении по окружности нас интересует потому, что всякое движение по криволинейной траектории представляет собой движение по дугам окружностей различных радиусов.

рис. 4

Теперь мы можем сказать, что при равномерном движении в любой точке криволинейной траектории тело движется с ускорением, направленным к центру той окружности, частью которой является данная траектория вблизи этой точки. Численное же значение ускорения зависит от скорости тела в этой точке и от радиуса соответствующей окружности. На рисунке 4 показана некоторая сложная траектория и указаны векторы центростремительного ускорения в различных точках траектории.

Физика, 10 класс

Урок 04.Равномерное движение точки по окружности

Перечень вопросов, рассматриваемых на уроке:

1. Равномерное движение точки по окружности и его характеристики.
2. Центростремительное ускорение.

Глоссарий по теме

Криволинейное движение – это движение по дугам окружностей разных радиусов.

Ускорение – это векторная величина, равная отношению изменения скорости к промежутку времени, в течение которого это изменение произошло, при ∆t → 0

Равномерное движение точки по окружности — движение точки с постоянной по модулю скоростью (ν = const) по траектории, представляющей собой окружность.

Ключевые слова

Криволинейное движение; движение по окружности; скорость; радиус кривизны; изменение скорости; центростремительное ускорение.

Основная и дополнительная литература по теме урока:

Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б., Сотский Н.Н. Физика.10 класс. Учебник для общеобразовательных организаций М.: Просвещение, 2016. С.55-56

Марон Е.А., Марон А.Е. Сборник качественных задач по физике. М., Просвещение, 2006

Рымкевич А.П. Сборник задач по физике. 10-11 класс.-М.:Дрофа,2009.-С.20-22

Открытые электронные ресурсы:

http://kvant.mccme.ru/1986/11/kinematika_vrashchatelnogo_dvi.htm

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Мы уже знакомы с равноускоренным движением. Как же меняются скорость и ускорение при криволинейном движении? Сегодня рассмотрим равномерное движение по окружности, узнаем, что такое центростремительное ускорение.

Если траектория движения тела прямая линия, то движение прямолинейное; если траектория кривая линия – криволинейное движение. Напомним, что траектория – это линия, вдоль которой двигалось тело.

При изучении равноускоренного движения мы заметили, что в некоторых случаях тело движется по прямой, например свободное падение тел, а в некоторых по кривой – тело, брошенное под углом к горизонту.

Рассмотрим движение тела, брошенного под углом к горизонту. Траекторией является парабола.

Возьмем разные точки на линии и нарисуем векторы скорости . Вектор скорости направлен по касательной, а ускорение свободного падения направлен вниз.

Векторы и не лежат на одной прямой, угол между ними не равен нулю.

Это естественно, так как, если ускорение образует угол со скоростью, то изменение скорости направлено не так, как скорость. Это приводит к изменению направления скорости. Изменение скорости направлено как ускорение. Скорость через некоторый промежуток времени образует некоторый угол с Итак, сформулируем первый вывод: если угол между векторами скорости и ускорения не равен нулю, то движение будет криволинейным.

2.Может ли быть движение одновременно равномерным и криволинейным? Да, например, движение по окружности.

Равномерное движение точки по окружности — это движение точки с постоянной по модулю скоростью (v = const) по траектории, представляющей собой окружность. Но, скорость – это векторная величина, а для векторной величины одинаково важны и модуль, и направление. Т.к. при движении по окружности скорость всегда направлена по касательной к траектории движения, то по направлению она изменяется. Если есть изменение скорости (точнее её направления), значит, есть ускорение

Сформулируем второй важный вывод: любое криволинейное движение является движением с ускорением, потому что меняется направление вектора скорости.

Решим задачу: найдем ускорение тела, равномерно движущегося по окружности.

Рассмотрим равномерное движение тела по окружности с центром в точке О. В какой-то момент времени, скорость тела в точке А была_.

Модули скоростей равны:

но вектора скоростей не равны.

Поэтому построим вектор для тела, движущегося по окружности. Перенесем вектор в начало вектораи найдем разность векторов.

направлен в сторону.

Вспомним, что векторнаправлен по касательной_, а касательная перпендикулярна радиусу окружности. Проведем радиусы к обеим точкам и обозначим угол между ними через ?.

Что можно сказать об угле между векторами ? Он равен малому углу, как углы с взаимно перпендикулярными сторонами.

Рассмотрим равнобедренный треугольник со сторонами , . Углы у основания равны.

Если угол φ стремится к нулю, то углы у основания совпадут и станут равными 90⁰

Вектор будет перпендикулярен вектору в пределе_, а значит вектор ускорения тоже перпендикулярен т.е направлен по радиусу к центру окружности. Поэтому часто его называют центростремительным ускорением

Теперь следующая задача: как найти модуль вектора ускорения. Давайте рассмотрим два треугольника: треугольник, образованный векторами и треугольник, образованный радиусами и хордой. У этих треугольников углы при вершинах равны, они равнобедренные. Треугольники подобны и, следовательно, выполняются соотношения подобия.

Промежуток времени мал, поэтому очень мал и угол при вершине, в пределе он стремится к нулю. Тогда можно сказать, что длина хорды s равна длине дуги АВ при

Длина дуги АВ это путь, пройденный точкой от А до В,

тогда запишем:

Умножим наи получим:

В левой части мы получили отношение изменения скорости за некоторый промежуток времени к этому промежутку времени т.е. ускорение:

Равномерное движение точки по окружности является движением с переменным ускорением и переменной скоростью. Модули скорости и ускорения остаются постоянными

1. Криволинейное движение — это движение по дугам окружностей разных радиусов.

А если меняется радиус, то меняется и центростремительное ускорение. Чем меньше радиус, тем больше ускорение при одинаковой скорости.

Всегда при равномерном криволинейном движении вектор ускорения перпендикулярен вектору скорости, поэтому центростремительное ускорение иногда называют нормальным ускорением, от слова нормаль, т.е. перпендикуляр.

Основные выводы:

— движение криволинейное, так как траекторией является окружность;

— движение равномерное, так как модуль скорости не меняется;

— вектор скорости направлен по касательной к окружности;

-вектор ускорения направлен к центру окружности;

— модуль центростремительного ускорения равен:

Примеры и разбор решения заданий

1. Велосипедист движется по закруглению дороги радиусом 50 м со скоростью 36 км/ч. С каким ускорением он проходит закругление?

При движении по окружности линейная скорость и центростремительное ускорение связаны соотношением

где R = 50 м; υ= км/ч = 10 м/с.

Тогда a_c = (10 м/с)² / 50 м = 2 м/с².

Ответ: 2 м/с²

2. Две материальные точки движутся по окружностям радиусами R₁ = 10 см и R₂ = 30 см с одинаковыми скоростями 0,20 м/с. Во сколько раз отличаются их центростремительные ускорения?

Дано:

R₁ =10см = 0,10 м

R₂ = 30см = 0,30 м

Найти —

Задано два объекта:

1) материальная точка, которая движется по окружности R₁;

2) материальная точка, которая движется по окружности R₂.

При движении по окружности центростремительное ускорение и линейная скорость связаны соотношением

Для тела 1 уравнение (1) примет вид:

для тела 2:

Тогда

Центростремительное ускорение тела (2) меньше ускорения тела (1) в 3 раза.

Равномерное движение по окружности.

Автор — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ: движение по окружности с постоянной по модулю скоростью, центростремительное ускорение.

Равномерное движение по окружности — это достаточно простой пример движения с вектором ускорения, зависящим от времени.

Пусть точка вращается по окружности радиуса . Скорость точки постоянна по модулю и равна . Скорость называется линейной скоростью точки.

Период обращения — это время одного полного оборота. Для периода имеем очевидную формулу:

. (1)

Частота обращения — это величина, обратная периоду:

.

Частота показывает, сколько полных оборотов точка совершает за секунду. Измеряется частота в об/с (обороты в секунду).

Пусть, например, . Это означает, что за время точка совершает один полный
оборот. Частота при этом получается равна: об/с; за секунду точка совершает 10 полных оборотов.

Угловая скорость.

Рассмотрим равномерное вращение точки в декартовой системе координат. Поместим начало координат в центре окружности (рис. 1).

Рис. 1. Равномерное движение по окружности

Пусть — начальное положение точки; иными словами, при точка имела координаты . Пусть за время точка повернулась на угол и заняла положение .

Отношение угла поворота ко времени называется угловой скоростью вращения точки:

. (2)

Угол , как правило, измеряется в радианах, поэтому угловая скорость измеряется в рад/с. За время, равное периоду вращения, точка поворачивается на угол . Поэтому

. (3)

Сопоставляя формулы (1) и (3), получаем связь линейной и угловой скоростей:

. (4)

Закон движения.

Найдём теперь зависимость координат вращающейся точки от времени. Видим из рис. 1, что

.

Но из формулы (2) имеем: . Следовательно,

. (5)

Формулы (5) являются решением основной задачи механики для равномерного движения точки по окружности.

Центростремительное ускорение.

Теперь нас интересует ускорение вращающейся точки. Его можно найти, дважды продифференцировав соотношения (5):

С учётом формул (5) имеем:

(6)

Полученные формулы (6) можно записать в виде одного векторного равенства:

(7)

где — радиус-вектор вращающейся точки.

Мы видим, что вектор ускорения направлен противоположно радиус-вектору, т. е. к центру окружности (см. рис. 1). Поэтому ускорение точки, равномерно движущейся по окружности, называется центростремительным.

Кроме того, из формулы (7) мы получаем выражение для модуля центростремительного ускорения:

(8)

Выразим угловую скорость из (4)

и подставим в (8). Получим ещё одну формулу для центростремительного ускорения:

.