Как найти модуль вектора физика

2.1. Теорема Пифагора

Прямоугольный треугольник — треугольник, в котором один из углов прямой (то есть равен 90°). Сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой. Стороны, образующие прямой угол, называются катетами (см. рис.).

Для любого прямоугольного треугольника справедлива теорема Пифагора:

Гипотенузу можно найти по формуле:

Катет можно найти по формуле:

2.2 Как найти и из прямоугольного треугольника?

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c. Обозначим через α угол, лежащий напротив катета a (см. рис.).

Тогда, катет a — противолежащий катет для угла α (лежит напротив угла); катет b — прилежащий катет (непосредственно образует угол).

Синус угла α — отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Косинус угла α — отношение прилежащего катета к гипотенузе:

Тангенсом угла α — отношение противолежащего катета к прилежащему:

2.3 Как найти проекции вектора, если известен его модуль и направление?

1) Опускаем перпендикуляры на ось Ox и ось Oy;

2) Проекции равны:

3) Правило знаков.

Пусть даны вектор и ось Ox. Из начала и конца вектора опустим перпендикуляры на ось Ox. Пусть A и B — основания этих перпендикуляров (см. рис.).

Проекция вектора на ось Ox (Oy) равна длине отрезка AB, взятой со знаком плюс, если угол φ между вектором и осью Ox (Oy) является острым, и взятой соответственно со знаком минус, если φ тупой (или развернутый). Если угол φ прямой, то

То есть:

Получаем:

2.4 Как найти проекции вектора, если известны координаты начала и конца вектора?

Пусть и ) — координаты начала и конца вектора соответственно. Тогда проекции

2.5 Как найти модуль вектора, если известны его проекции на оси?

Если известны проекции вектора и на оси координат, то модуль вектора легко найти по формуле:

2.6 Как найти модуль вектора, если известны координаты конца и начала вектора?

Пусть и  — координаты начала и конца вектора соответственно. Тогда модуль вектора находится по формуле:

2.7 Теорема косинусов.

Для треугольника со сторонами a, b и c, углом α справедлива теорема:

2.8 Как сложить вектора, направленные вдоль одной прямой?

Пусть даны вектора и имеющие одинаковое направление. Для нахождения вектора помещаем начало вектора в конец вектора и соединяем начало вектора с концом вектора (см. рис.).

Из рисунка видно, что модуль вектора равен:

2.9 Как вычитать вектора, направленные вдоль одной прямой?

Пусть даны вектора и имеющие одинаковое направление. Для нахождения вектора помещаем начало вектора  в конец вектора и соединяем начало вектора с концом вектора (см. рис.). Вектор  — это вектор, длина которого равна длине вектора , но имеет противоположное направление.

Из рисунка видно, что модуль вектора равен:

2.10 Как сложить вектора, направленные под прямым углом друг к другу?

Пусть даны вектора и имеющие одинаковое направление. Для нахождения вектора помещаем начало вектора в конец вектора и соединяем начало вектора с концом вектора (см. рис.).

Из рисунка видно, что модуль вектора равен:

2.11 Как вычитать вектора, направленные под прямым углом друг к другу?

Пусть даны вектора и имеющие одинаковое направление. Для нахождения вектора помещаем начало вектора в конец вектора и соединяем начало вектора с концом вектора (см. рис.). Вектор  — это вектор, длина которого равна длине вектора но имеет противоположное направление.

Из рисунка видно, что модуль вектора равен:

2.12 Как сложить вектора, направленные под углом α друг к другу?

Пусть даны вектора и , имеющие одинаковое направление. Для нахождения вектора помещаем начало вектора в конец вектора и соединяем начало вектора с концом вектора (см. рис.).

По теореме косинусов, получаем:

2.13 Как вычитать вектора, направленные под прямым углом друг к другу?

Пусть даны вектора и имеющие одинаковое направление. Для нахождения вектора помещаем начало вектора в конец вектора и соединяем начало вектора с концом вектора (см. рис.). Вектор  — это вектор, длина которого равна длине вектора , но имеет противоположное направление.

По теореме косинусов, получаем:

2.14 Площадь треугольника.

Площадь любого треугольника можно найти по формуле

2.15 Площадь прямоугольника.

Площадь любого прямоугольника можно найти по формуле

2.16 Площадь трапеции.

Площадь любой трапеции можно найти по формуле

2.17 Длина окружности.

Длина окружности равна:

2.18 Длина дуги.

Длина дуги:

Траектория (от позднелатинского trajectories – относящийся к перемещению) – это линия, по которой движется тело (материальная точка). Траектория движения может быть прямой (тело перемещается в одном направлении) и криволинейной, то есть механическое движение может быть прямолинейным и криволинейным.

Траектория прямолинейного движения в данной системе координат – это прямая линия. Например, можно считать, что траектория движения автомобиля по ровной дороге без поворотов является прямолинейной.

Криволинейное движение – это движение тел по окружности, эллипсу, параболе или гиперболе. Пример криволинейного движения – движение точки на колесе движущегося автомобиля или движение автомобиля в повороте.

Движение может быть сложным. Например, траектория движения тела в начале пути может быть прямолинейной, затем криволинейной. Например, автомобиль в начале пути движется по прямой дороге, а затем дорога начинает «петлять» и автомобиль начинает криволинейное движение.

Путь

Путь – это длина траектории. Путь является скалярной величиной и в международной системе единиц СИ измеряется в метрах (м). Расчёт пути выполняется во многих задачах по физике. Некоторые примеры будут рассмотрены далее в этом учебнике.

Вектор перемещения

Вектор перемещения (или просто перемещение) – это направленный отрезок прямой, соединяющий начальное положение тела с его последующим положением (рис. 1.1). Перемещение – величина векторная. Вектор перемещения направлен от начальной точки движения к конечной.

Модуль вектора перемещения (то есть длина отрезка, который соединяет начальную и конечную точки движения) может быть равен пройденному пути или быть меньше пройденного пути. Но никогда модуль вектора перемещения не может быть больше пройденного пути.

Модуль вектора перемещения равен пройденному пути, когда путь совпадает с траекторией (см. разделы Траектория и Путь), например, если из точки А в точку Б автомобиль перемещается по прямой дороге. Модуль вектора перемещения меньше пройденного пути, когда материальная точка движется по криволинейной траектории (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Вектор перемещения и пройденный путь.

На рис. 1.1:

Ещё пример. Если автомобиль проедет по кругу один раз, то получится, что точка начала движения совпадёт с точкой конца движения и тогда вектор перемещения будет равен нулю, а пройденный путь будет равен длине окружности. Таким образом, путь и перемещение – это два разных понятия.

Правило сложения векторов

Векторы перемещений складываются геометрически по правилу сложения векторов (правило треугольника или правило параллелограмма, см. рис. 1.2).

Рис. 1.2. Сложение векторов перемещений.

На рис 1.2 показаны правила сложения векторов S1 и S2:

а) Сложение по правилу треугольника
б) Сложение по правилу параллелограмма

Проекции вектора перемещения

При решении задач по физике часто используют проекции вектора перемещения на координатные оси. Проекции вектора перемещения на координатные оси могут быть выражены через разности координат его конца и начала. Например, если материальная точка переместилась из точки А в точку В, то при этом вектор перемещения  (см.рис. 1.3).

Выберем ось ОХ так, чтобы вектор лежал с этой осью в одной плоскости. Опустим перпендикуляры из точек А и В (из начальной и конечной точек вектора перемещения) до пересечения с осью ОХ. Таким образом мы получим проекции точек А и В на ось Х. Обозначим проекции точек А и В соответственно А_x и В_x. Длина отрезка А_xВ_x на оси ОХ – это и есть проекция вектора перемещения на ось ОХ, то есть

Sx = AxBx

ВАЖНО!
Напоминаю для тех, кто не очень хорошо знает математику: не путайте вектор с проекцией вектора на какую-либо ось (например, S_x). Вектор всегда обозначается буквой или несколькими буквами, над которыми находится стрелка. В некоторых электронных документах стрелку не ставят, так как это может вызвать затруднения при создании электронного документа. В таких случаях ориентируйтесь на содержание статьи, где рядом с буквой может быть написано слово «вектор» или каким-либо другим способом вам указывают на то, что это именно вектор, а не просто отрезок.

Рис. 1.3. Проекция вектора перемещения.

Проекция вектора перемещения на ось ОХ равна разности координат конца и начала вектора, то есть

Sx = x – x0

Аналогично определяются и записываются проекции вектора перемещения на оси OY и OZ:

Sy = y – y0
Sz = z – z0

Здесь x₀, y₀, z₀ — начальные координаты, или координаты начального положения тела (материальной точки); x, y, z — конечные координаты, или координаты последующего положения тела (материальной точки).

Проекция вектора перемещения считается положительной, если направление вектора и направление координатной оси совпадают (как на рис 1.3). Если направление вектора и направление координатной оси не совпадают (противоположны), то проекция вектора отрицательна (рис. 1.4).

Если вектор перемещения параллелен оси, то модуль его проекции равен модулю самого Вектора. Если вектор перемещения перпендикулярен оси, то модуль его проекции равен нулю (рис. 1.4).

Рис. 1.4. Модули проекции вектора перемещения.

Разность между последующим и начальным значениями какой-нибудь величины называется изменением этой величины. То есть проекция вектора перемещения на координатную ось равна изменению соответствующей координаты. Например, для случая, когда тело перемещается перпендикулярно оси Х (рис. 1.4) получается, что относительно оси Х тело НЕ ПЕРЕМЕЩАЕТСЯ. То есть перемещение тела по оси Х равно нулю.

Рассмотрим пример движения тела на плоскости. Начальное положение тела – точка А с координатами х₀ и у₀, то есть А(х₀, у₀). Конечное положение тела – точка В с координатами х и у, то есть В(х, у). Найдём модуль перемещения тела.

Из точек А и В опустим перпендикуляры на оси координат ОХ и OY (рис. 1.5).

Рис. 1.5. Движение тела на плоскости.

Определим проекции вектора перемещения на осях ОХ и OY:

Sx = x – x0
Sy = y – y0

На рис. 1.5 видно, что треугольник АВС – прямоугольный. Из этого следует, что при решении задачи может использоваться теорема Пифагора, с помощью которой можно найти модуль вектора перемещения, так как

АС = sx
CB = sy

По теореме Пифагора

S2 = Sx2 + Sy2

Откуда можно найти модуль вектора перемещения, то есть длину пути тела из точки А в точку В:

Ну и напоследок предлагаю вам закрепить полученные знания и рассчитать несколько примеров на ваше усмотрение. Для этого введите какие-либо цифры в поля координат и нажмите кнопку РАССЧИТАТЬ. Ваш браузер должен поддерживать выполнение сценариев (скриптов) JavaScript и выполнение сценариев должно быть разрешено в настройках вашего браузера, иначе расчет не будет выполнен. В вещественных числах целая и дробная части должны разделяться точкой, например, 10.5.

Закрепленный вектор — упорядоченная пара точек (направленный отрезок, имеющий начало и конец).

Обозначать можем следующими способами: (overrightarrow{AB}), где (A) — начало, а (B) — конец вектора или просто (vec{a}).

Длина вектора — расстояние между началом и концом вектора.

Длина векторов обозначается следующим образом: (|vec{a}|) или (|overrightarrow{AB}|).

Если задана прямоугольная система координат, и координаты начала и конца вектора заданы в ней парами (A=(x_1,y_1)) и (B=(x_2,y_2)) соответственно, тогда координаты вектора можно задать [overrightarrow{AB}={,x_2-x_1, y_2-y_1,}]

Тогда длина вектора (overrightarrow{AB}) задается формулой

[|overrightarrow{AB}|=sqrt{(x_2-x_1)^2-(y_2-y_1)^2}]

Проекцией вектора на какую-либо ось называется длина отрезка между проекциями начала и конца вектора на эту ось, взятая со знаком <<(displaystyle +)>> или <<(displaystyle -)>>.

Например, проекцией вектора (overrightarrow {AB}) на ось можно считать отрезок (displaystyle A’B’), взятый со знаком <<+>>.

Рассмотрим ситуацию, когда брусок движется по наклонной плоскости:

Исходя из рисунка мы можем записать II закон Ньютона в векторной форме: [vec{F}_text{тр}+mvec{g}+vec{N}=mvec{a}]

Запишем теперь проекции на оси:

[OY:-mgcosalpha+N=0] [OX:-F_text{тр}+mgsinalpha=ma]

Посмотрим, как получили два вышеприведенных равенства. Направим оси, как на рисунке, тогда по оси (OY) ускорение и сила трения на тело не действуют, так как они направлены перпендикулярно этой оси, а проекции сил, перпендикулярных оси, равны нулю.

Сила реакции опоры направлена по оси (OY), значит, возьмем ее положительную проекцию.

Также рассмотрим силу тяжести, вектор которой НЕ КОЛЛИНЕАРЕН осям координат, разложим его на два составляющие (см. рисунок сбоку) и возьмем синюю линию, являющуюся проекцией силы тяжести на ось (OY). Из простых геометрических соображений видим, что она равна (-mgcosalpha).

Аналогично действуем для оси (OX).

Сложение векторов можно производить по правилу треугольника или по правилу параллелограмма, рассмотрим на примере.

Даны векторы (vec{a}) и (vec{b}), по правилу треугольника мы можем получить сумму (vec{a}+vec{b}), совместив конец вектора (vec{a}) с началом вектора (vec{b}).

Даны векторы (vec{a}) и (vec{b}), по правилу параллелограмма мы можем получить сумму (vec{a}+vec{b}), совместив начало вектора (vec{a}) с началом вектора (vec{b}).

Умножение вектора на число.

Рассмотрим различные варианты произведения вектора (vec{a}) на какое-то вещественное число (lambda):

1) (lambda=0)

[vec{a}cdot0=vec{0}]

При умножении на нулевое число получается нулевой вектор (вектор нулевой длины);

2) (lambda>0)

При умножении на положительное число получается вектор, сонапаравленный исходному вектору (происходит просто “удлинение” или “укорачивание” нашего вектора, направление не меняется);

3) (lambda<0)

При умножении на отрицательное число получается вектор, противоположно направленный исходному вектору (происходит “разворот”  вектора на 180 градусов и изменение его длины одновременно).

Скалярное произведение

Скалярным произведением векторов называют число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Обозначение скалярного произведения векторов (vec{a}) и (vec{b}) имеет вид ((vec{a},vec{b})=|vec{a}|cdot|vec{b}|cdotcosBig(widehat{vec{a},vec{b}}Big))

Физический смысл скалярного произведения

Работу (A) тела, перемещаемого из точки (M) в (N) с постоянной силой (vec{F}), можно найти как произведение длин векторов (vec{F}) и (overrightarrow{MN}) с косинусом угла между ними, значит работа равна скалярному произведению векторов силы и перемещения:

[A=Big(vec{F},overrightarrow{MN}Big)]

Обновлено: 28.05.2023

Магнитное поле действует с некоторой силой на проводник с током, а точнее на все элементы этого проводника.

В 1820 г. А. А м п е р сумел установить выражение для силы, действующей на отдельный элемент тока.

Позднее в память о заслугах А. Ампера выражение для магнитной силы, действующей на проводник с током со стороны магнитного поля, назвали законом Ампера.

Модуль вектора магнитной индукции

От чего зависит сила, действующая на проводник с током в магнитном поле?
Пусть свободно подвешенный горизонтально проводник находится в поле постоянного подковообразного магнита.

Поле магнита сосредоточено в основном между его полюсами, поэтому магнитная сила действует практически только на часть проводника длиной , расположенную между полюсами.
Сила направлена горизонтально, перпендикулярно проводнику и линиям магнитной индукции.

Сила достигает максимального значения _m, когда вектор магнитной индукции перпендикулярен проводнику.

Модуль вектора магнитной индукции определяется отношением максимальной силы, действующей со стороны магнитного поля на отрезок проводника с током, к произведению силы тока на длину этого отрезка:

Итак, в каждой точке магнитного поля можно определить направление вектора магнитной индукции и его модуль, если измерить силу, действующую на отрезок проводника с током.

Модуль силы Ампера.

В общем случае вектор магнитной индукции ожет составлять угол α с направлением отрезка проводника с током (с направлением тока).
Вектор магнитной индукции можно разложить на две составляющие.

Модуль силы зависит лишь от модуля составляющей вектора , перпендикулярной проводнику, т. е. от В_⊥ = В sin α, и не зависит от составляющей В, направленной вдоль проводника.

Закон Ампера для силы, действующей на участок проводника с током в магнитном поле:

F = I | | Δl sin α

Модуль силы Ампера равен произведению силы тока, модуля вектора магнитной индукции, длины отрезка проводника и синуса угла между направлениями вектора магнитной индукции и элемента тока.

Направление силы Ампера.

Направление силы Ампера определяется правилом левой руки:

Если левую руку расположить так, чтобы перпендикулярная проводнику составляющая вектора магнитной индукции входила в ладонь, а четыре вытянутых пальца были направлены по направлению тока, то отогнутый на 90° большой палец укажет направление силы, действующей на отрезок проводника.

Единица магнитной индукции.

За единицу модуля вектора магнитной индукции можно принять магнитную индукцию однородного поля, в котором на отрезок проводника длиной 1 м при силе тока в нем 1 А действует со стороны поля максимальная сила F_m = 1 Н.

Единица магнитной индукции равна

Единица магнитной индукции получила название тесла (Тл) в честь сербского ученого-электротехника Н. Тесла (1856—1943).

Магнитное поле. Физика, учебник для 11 класса — Класс!ная физика

– это длина направленного отрезка , который определяет вектор (рис. 1).

, то его модуль равен корню квадратному из суммы квадратов координат:

Примеры нахождения модуля векторов

Задание	Найти модуль вектора
Решение	Модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов координат, то есть для данного вектора имеем:

Тогда модуль этого вектора

Длина направленного отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора AB .

Для обозначения длины вектора используются две вертикальные линии слева и справа | AB |.

Основное соотношение. Длина вектора | a | в прямоугольных декартовых координатах равна квадратному корню из суммы квадратов его координат.

Формулы длины вектора

Формула длины вектора для плоских задач

В случае плоской задачи модуль вектора a = < a_x ; a_y > можно найти воспользовавшись следующей формулой:

Формула длины вектора для пространственных задач

В случае пространственной задачи модуль вектора a = < a_x ; a_y ; a_z > можно найти воспользовавшись следующей формулой:

Формула длины n -мерного вектора

В случае n -мерного пространства модуль вектора a = < a ₁ ; a ₂; . ; a_n > можно найти воспользовавшись следующей формулой:

Примеры задач на вычисление длины вектора

Примеры вычисления длины вектора для плоских задачи

Решение: | a | = √ 2 2 + 4 2 = √ 4 + 16 = √ 20 = 2√ 5 .

Решение: | a | = √ 3 2 + (-4) 2 = √ 9 + 16 = √ 25 = 5.

Примеры вычисления длины вектора для пространственных задачи

Решение: | a | = √ 2 2 + 4 2 + 4 2 = √ 4 + 16 + 16 = √ 36 = 6.

Решение: | a | = √ (-1) 2 + 0 2 + (-3) 2 = √ 1 + 0 + 9 = √ 10 .

Примеры вычисления длины вектора для пространств с размерностью большей 3

Решение: | a | = √ 1 2 + (-3) 2 + 3 2 + (-1) 2 = √ 1 + 9 + 9 + 1 = √ 20 = 2√ 5

Решение: | a | = √ 2 2 + 4 2 + 4 2 + 6 2 + 2 2 = √ 4 + 16 + 16 + 36 + 4 = √ 76 = 2√ 19 .

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Абсолютная величина, известная так же, как модуль, это всегда некое неотрицательное число, чье определение всегда зависит от типа числа. Символически модуль обозначается как: | x |.

Сила и модуль силы

В процессе изучения физики приходится сталкиваться с различными явлениями, рассчитывать скорость, силу и многие другие параметры. Не менее важно понять какими методами, и в каких единицах делаются расчеты по характеристикам этих явлений. Одна из физических величин это сила. Сила представляет собой величину, которая способна показать меру воздействия на тело посредством другого тела или со стороны полей. Взаимодействие образуется за счет тех полей, которые создаются самими телами в случае контакта. Всего различают четыре вида взаимодействия: слабое, сильное, гравитационное, электромагнитное. Сила обозначается буквой F от латинского слова fortis, что в переводе означает сильный.

Что такое модуль силы?

Сила является векторной величиной, это значит, что она обладает, так как направлением, так и модулем. Не так часто встречается случай, когда на тело воздействует одна единственная величина, чаще всего их несколько. В таком случае речь о равнодействующей силы, которая формируется за счет суммирования всех сил, влияющие на тело одновременно. Стоит отметить, что параметр равнодействующая сила является искусственным и создан только для удобства проведения расчетов.

Но что же это модуль силы? Модуль является абсолютной величиной. Это такая величина, которая отражается числом с плюсом во всех случаях. Другими словами характеристики какого-то процесса или явления выражены конкретными числами. Каждая сила характеризуется направлением и величиной, эта величина и есть модуль, вот что это модуль силы.

Модуль равнодействующих двух сил определяется по формулам:

• F=F1 + F2 (в случае сил с одинаковым направлением)
• F=F1 — F2 (силы с разным направлением)

Для модуля равнодействующих нескольких сил все намного сложнее. Для начала надо вводить систему координат, записать и высчитать проекции сил, потом использовать теорему Пифагоры.

Исаак Ньютон внес серьезный вклад в работу над различными видами сил. В связи с этим в качестве единицы измерения силы применяется Н (Ньютон).

Что это модуль скорости?

Каждое тело в процессе перемещения развивает энную скорость, которая характеризуется двумя параметрами: направление и модуль. Что же это модуль скорости? Это число, обозначающее, насколько быстро перемещается тело. Сама скорость является вектором. У нее есть все свойства вектора перемещения, так как выражается посредством него и обладает всеми свойствами данного вектора.

Для определения модуля скорости необходимо учитывать закон движения со всеми своими правилами. Вычисление модуля скорости может осуществляться посредством графика движения. Если недостаточно понятно, что это модуль скорости тела можно использовать одно из понятий: скалярная величина и алгебраическая скорость. Скорость как вектор это величина с направлением и численным значением, при этих условиях модуль скорости тела это не что иное, как длина этого вектора.

Чаще всего речь о прямолинейном движении в рамках координат (x;t). В таком случае для определения данного параметра подойдет формула:

v = S/t = (x — x0)/t.

Это значит, что необходимо нужно отнять начальную координату от конечной координаты. Полученный результат нужно разделить на то время, за которое имело место изменение координаты.

Пример определения модуля скорости одного тела относительно другого на основе задачи: два тела перемещаются со скоростью 8 и 6 м/с. Направление их движения перпендикулярное друг другу. Поэтапное решение осуществляется таким образом:

1. Вычисляется скорость v₂₁ на базе закона сложения скоростей v₂ = v₂₁ + v₁, а значит v₂₁ = v₂ – v₁.
2. Определяется модуль скорости тела согласно теореме Пифагора.

Модуль импульса и модуль оси

Импульс представляет собой векторную величину, чье направление идентично направлению вектора скорости. Он может поменяться только в том случае, если произойдет изменение скорости под воздействием какой-то силы. Но что это модуль импульса и как он рассчитывается? Модуль импульса определяется согласно произведению массы тела на скорость. Его можно легко вычислить, если есть данные по скорости и по массе.

Что это модуль оси? Разъяснение данного понятия, может быть сделана на основе определения понятия ось. Ось представляет собой прямую с заданным направлением. В каком-то роде можно сказать, что это нечто иное, как вектор с величиной модуля, которая тянется к бесконечности. Это и есть модуль оси. Для обозначения оси можно использовать любую букву: t, Z, Y, X и т.д. На ней определяется точка О, известная как начало отсчета. Все расстояния до других точек определяются относительно нее. Для того чтобы сделать проекцию точки на ось, нужно провести перпендикулярную прямую через эту точку на саму ось. В таком случае проекция этой точки, сама точка.

Читайте также:

  

• Средства физической культуры в регулировании психоэмоционального и функционального состояния кратко

  

• Осязание это кратко в биологии

  

• Жизненная позиция пушкина кратко

  

• Конфликт путина и навального кратко

  

• Спор чаадаева и пушкина кратко

В очередной раз меня попросили решить пару задачек по физике, и я вдруг обнаружил, что не могу решить их с ходу. Немного погуглив, я обнаружил, что сайты в топе выдачи содержат сканы одного и того же учебника и не описывают конкретных примеров решений задачи о том, как найти вектор скорости и ускорения материальной точки. По-этому я решил поделиться с миром примером своего решения.

Траектория движения материальной точки через радиус-вектор

Подзабыв этот раздел математики, в моей памяти уравнения движения материальной точки всегда представлялись при помощи знакомой всем нам зависимости y(x) , и взглянув на текст задачи, я немного опешил когда увидел векторы. Оказалось, что существует представление траектории материальной точки при помощи радиус-вектора – вектора, задающего положение точки в пространстве относительно некоторой заранее фиксированной точки, называемой началом координат.

Формула траектория движения материальной точки помимо радиус-вектора описывается так же ортами – единичными векторами i, j , k в нашем случае совпадающими с осями системы координат. И, наконец, рассмотрим пример уравнения траектории материальной точки (в двумерном пространстве):

Что интересного в данном примере? Траектория движения точки задается синусами и косинусами, как вы думаете, как будет выглядеть график в всем нам знакомом представлении y(x) ? “Наверное какой-то жуткий”, подумали вы, но все не так сложно как кажется! Попробуем построить траекторию движения материальной точки y(x), если она движется по представленному выше закону:

Здесь я заметил квадрат косинуса, если вы в каком-нибудь примере видите квадрат синуса или косинуса, это значит что нужно применять основное тригонометрическое тождество, что я и сделал (вторая формула) и преобразовал формулу координаты y, чтобы вместо синуса подставить в нее формулу изменения x:

В итоге жуткий закон движения точки оказался обычной параболой, ветви которой направлены вниз. Надеюсь, вы поняли примерный алгоритм построения зависимости y(x) из представления движения через радиус-вектор. Теперь перейдем к нашему главному вопросу: как же найти вектор скорости и ускорения материальной точки, а так же их модули.

Вектор скорости материальной точки

Всем известно, что скорость материальной точки – это величина пройденного пути точкой за единицу времени, то есть производная от формулы закона движения. Чтобы найти вектор скорости нужно взять производную по времени. Давайте рассмотрим конкретный пример нахождения вектора скорости.

Пример нахождения вектора скорости

Имеем закон перемещения материальной точки:

Теперь нужно взять производную от этого многочлена, если вы забыли как это делается, то вот вам таблица производных различных функций. В итоге вектор скорости будет иметь следующий вид:

Все оказалось проще, чем вы думали, теперь найдем вектор ускорения материальной точки по тому же самому закону, представленному выше.

Как найти вектор ускорения материальной точки

Вектор ускорения точки это векторная величина, характеризующая изменение с течением времени модуля и направления скорости точки. Чтобы найти вектор ускорения материальной точки в нашем примере, нужно взять производную, но уже от формулы вектора скорости, представленной чуть выше:

Модуль вектора скорости точки

Теперь найдем модуль вектора скорости материальной точки. Как вы знаете из 9-го класса, модуль вектора – это его длина, в прямоугольных декартовых координатах равна квадратному корню из суммы квадратов его координат. И откуда же из полученного нами выше вектора скорости взять его координаты спросите вы? Все очень просто:

Теперь достаточно только подставить время, указанное в задаче и получить конкретное числовое значение.

Модуль вектора ускорения

Как вы поняли из написанного выше (и из 9-го класса), нахождение модуля вектора ускорения происходит тем же образом, что и модуля вектора скорости: извлекаем корень квадратный из суммы квадратов координат вектора, все просто! Ну и вот вам, конечно же, пример:

Как вы видите, ускорение материальной точки по заданному выше закону не зависит от времени и имеет постоянную величину и направление.

Еще примеры решений задачи нахождения вектора скорости и ускорения

А вот тут вы можете найти примеры решения и других задач по физике на тему “механика твердых тел”. А для тех, кто не совсем понял как найти вектор скорости и ускорения, вот вам еще парочка примеров из сети без всяких лишних объяснений, надеюсь, они вам помогут.

Если у вас возникли какие-нибудь вопросы, вы можете задать их в комментариях.