Цель урока: дать понятие напряжённости электрического поля и ее
определения в любой точке поля.
Задачи урока:
- формирование понятия напряжённости электрического поля; дать понятие о
линиях напряжённости и графическое представление электрического поля; - научить учащихся применять формулу E=kq/r2 в решении
несложных задач на расчёт напряжённости.
Электрическое поле – это особая форма материи, о существовании которой можно
судить только по ее действию. Экспериментально доказано, что существуют два рода
зарядов, вокруг которых существуют электрические поля, характеризующиеся
силовыми линиями.
Графически изображая поле, следует помнить, что линии напряженности
электрического поля:
- нигде не пересекаются друг с другом;
- имеют начало на положительном заряде (или в бесконечности) и конец на
отрицательном (или в бесконечности), т. е. являются незамкнутыми линиями; - между зарядами нигде не прерываются.
Рис.1
Силовые линии положительного заряда:
Рис.2
Силовые линии отрицательного заряда:
Рис.3
Силовые линии одноименных взаимодействующих зарядов:
Рис.4
Силовые линии разноименных взаимодействующих зарядов:
Рис.5
Силовой характеристикой электрического поля является напряженность, которая
обозначается буквой Е и имеет единицы измерения
или
.
Напряженность является векторной величиной, так как определяется отношением силы
Кулона к величине единичного положительного заряда
В результате преобразования формулы закона Кулона и формулы напряженности
имеем зависимость напряженности поля от расстояния, на котором она определяется
относительно данного заряда
где: k – коэффициент пропорциональности, значение которого зависит от
выбора единиц электрического заряда.
В системе СИ
Н·м2/Кл2,
где ε0 – электрическая
постоянная, равная 8,85·10-12 Кл2/Н·м2;
q – электрический заряд (Кл);
r – расстояние от заряда до точки в которой определяется напряженность.
Направление вектора напряженности совпадает с направлением силы Кулона.
Электрическое поле, напряженность которого одинакова во всех точках
пространства, называется однородным. В ограниченной области пространства
электрическое поле можно считать приблизительно однородным, если напряженность
поля внутри этой области меняется незначительно.
Общая напряженность поля нескольких взаимодействующих зарядов будет равна
геометрической сумме векторов напряженности, в чем и заключается принцип
суперпозиции полей:
Рассмотрим несколько случаев определения напряженности.
1. Пусть взаимодействуют два разноименных заряда. Поместим точечный
положительный заряд между ними, тогда в данной точке будут действовать два
вектора напряженности, направленные в одну сторону:
Е31 – напряженность точечного заряда 3 со стороны заряда 1;
Е32 – напряженность точечного заряда 3 со стороны заряда 2.
Согласно принципу суперпозиции полей общая напряженность поля в данной точке
равна геометрической сумме векторов напряженности Е31 и Е32.
Напряженность в данной точке определяется по формуле:
Е = kq1/x2 + kq2/(r – x)2
где: r – расстояние между первым и вторым зарядом;
х – расстояние между первым и точечным зарядом.
Рис.6
2. Рассмотрим случай, когда необходимо найти напряженность в точке удаленной
на расстояние а от второго заряда. Если учесть, что поле первого заряда больше,
чем поле второго заряда, то напряженность в данной точке поля равна
геометрической разности напряженности Е31 и Е32.
Формула напряженности в данной точке равна:
Е = kq1/(r + a)2 – kq2/a2
Где: r – расстояние между взаимодействующими зарядами;
а – расстояние между вторым и точечным зарядом.
Рис.7
3. Рассмотрим пример, когда необходимо определить напряженность поля в
некоторой удаленности и от первого и от второго заряда, в данном случае на
расстоянии r от первого и на расстоянии bот второго заряда. Так как одноименные
заряды отталкиваются , а разноименные притягиваются, имеем два вектора
напряженности исходящие из одной точки, то для их сложения можно применить метод
противоположному углу параллелограмма будет являться суммарным вектором
напряженности. Алгебраическую сумму векторов находим из теоремы Пифагора:
Е = (Е312 +Е322)1/2
Следовательно:
Е = ((kq1/r2 )2 + (kq2/b2)2)1/2
Рис.8
Исходя из данной работы, следует, что напряженность в любой точке поля можно
определить, зная величины взаимодействующих зарядов, расстояние от каждого
заряда до данной точки и электрическую постоянную.
4. Закрепление темы.
Проверочная работа.
Вариант № 1.
1. Продолжить фразу: “электростатика – это …
2. Продолжить фразу: электрическое поле – это ….
3. Как направлены силовые линии напряженности данного заряда?
4. Определить знаки зарядов:
5. Указать вектор напряженности.
6. Определить напряженность в точке В исходя из суперпозиции полей.
| Своя оценка работы | Оценка работы другим учеником |
Вариант № 2.
1. Продолжить фразу: “электростатика – это …
2. Продолжить фразу: напряженностью называется …
3. Как направлены силовые линии напряженности данного заряда?
4. Определить заряды.
5. Указать вектор напряженности.
6. Определить напряженность в точке В исходя из суперпозиции полей.
| Своя оценка работы | Оценка работы другим учеником |
Задачи на дом:
1. Два заряда q1 = +3·10-7 Кл и q2 = −2·10-7
Кл находятся в вакууме на расстоянии 0,2 м друг от друга. Определите
напряженность поля в точке С, расположенной на линии, соединяющей заряды, на
расстоянии 0,05 м вправо от заряда q2.
2. В некоторой точке поля на заряд 5·10-9 Кл действует сила 3·10-4
Н. Найти напряженность поля в этой точке и определите величину заряда,
создающего поле, если точка удалена от него на 0,1 м.
Содержание:
- Определение и формула напряженности электрического поля
- Принцип суперпозиции напряженностей электрических полей
- Напряженность поля в диэлектрике
- Напряженность поля точечного заряда
- Связь напряженности и потенциала
- Единицы измерения напряженности электрического поля
- Примеры решения задач
Определение и формула напряженности электрического поля
Определение
Вектор напряженности $bar{E}$ – это силовая характеристика электрического поля. В некоторой точке поля, напряженность равна
силе, с которой поле действует на единичный положительный заряд, размещенный в указанной точке, при этом направление силы и напряженности
совпадают. Математическое определение напряженности записывается так:
$$bar{E}=frac{bar{F}}{q}$$
где $bar{F}$ – сила, с которой электрическое поле действует на
неподвижный, «пробный», точечный заряд q, который размещают в рассматриваемой точке поля. При этом считают, что «пробный» заряд
мал на столько, что не искажает исследуемого поля.
Если поле является электростатическим, то его напряженность от времени не зависит.
Если электрическое поле является однородным, то его напряженность во всех точках поля одинакова.
Графически электрические поля можно изображать при помощи силовых линий. Силовыми линиями (линиями напряженности) называют
линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора напряженности в этой точке поля.
Принцип суперпозиции напряженностей электрических полей
Если поле создано несколькими электрическими полями, то напряженность результирующего поля равна векторной сумме напряженностей отдельных полей:
$$bar{E}=sum_{i=1}^{n} bar{E}_{i}(2)$$
Допустим, что поле создается системой точечных зарядов и их распределение непрерывно, тогда результирующая напряженность находится как:
$$bar{E}=int d bar{E}(3)$$
интегрирование в выражении (3) проводят по всей области распределения заряда.
Напряженность поля в диэлектрике
Напряженность поля $bar{E}$ в диэлектрике равна векторной сумме
напряженностей полей, создаваемых свободными зарядами $bar{E}_0$ и
связанными (поляризационными зарядами) $bar{E}_p$:
$$bar{E}=bar{E}_{0}+bar{E}_{p}(4)$$
В том случае, если вещество, которое окружает свободные заряды однородный и изотропный диэлектрик, то напряженность
$bar{E}$ равна:
$$bar{E}=frac{bar{E}_{0}}{varepsilon}(5)$$
где $varepsilon$ – относительная диэлектрическая проницаемость вещества в исследуемой точке
поля. Выражение (5) обозначает то, что при заданном распределении зарядов напряженность электростатического поля в однородном изотропном
диэлектрике меньше, чем в вакууме в $varepsilon$ раз.
Напряженность поля точечного заряда
Напряженность поля точечного заряда q равна:
$$bar{E}=frac{1}{4 pi varepsilon varepsilon_{0}} frac{q}{r^{3}} bar{r}(6)$$
где $varepsilon_{0}=8,85 cdot 10^{-12}$ Ф/м (система СИ) — электрическая постоянная.
Связь напряженности и потенциала
В общем случае напряженность электрического поля связана с потенциалом как:
$$bar{E}=-operatorname{grad} varphi-frac{partial bar{A}}{partial t}(7)$$
где $varphi$ – скалярный потенциал,
$bar{a}$ – векторный потенциал.
Для стационарных полей выражение (7) трансформируется в формулу:
$$bar{E}=-operatorname{grad} varphi(8)$$
Единицы измерения напряженности электрического поля
Основной единицей измерения напряженности электрического поля в системе СИ является: [E]=В/м(Н/Кл)
Примеры решения задач
Пример
Задание. Каков модуль вектора напряженности электрического поля
$bar{E}$ в точке, которая определена радиус- вектором
$bar{r}_{2}=7 bar{i}+3 bar{j}$ (в метрах), если электрическое поле создает положительный точечный
заряд (q=1Кл), который лежит в плоскости XOY и его положение задает радиус вектор
$bar{r}_{1}=bar{i}-5 bar{j}$, (в метрах)?
Решение. Модуль напряжения электростатического поля, которое создает точечный заряд, определяется формулой:
$$E=frac{1}{4 pi varepsilon varepsilon_{0}} frac{q}{r^{2}}(1.1)$$
r- расстояние от заряда, создающего поле до точки в которой ищем поле.
$$bar{r}=bar{r}_{2}-bar{r}_{1}=6 bar{i}-8 bar{j}(1.2)$$
Из формулы (1.2) следует, что модуль $bar{r}$ равен:
$$r=|bar{r}|=sqrt{36+64}=10(mathrm{~m})$$
Подставим в (1.1) исходные данные и полученное расстояние r, имеем:
$$E=9 cdot 10^{9} frac{1}{100}=9 cdot 10^{7}left(frac{B}{m}right)$$
Ответ. $E=9 cdot 10^{7}left(frac{B}{m}right)$
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Запишите выражение для напряженности поля в точке, которая определена радиус – вектором
$bar{r}$, если поле создается зарядом, который распределен по объему V с плотностью
$rho=rho(r)$ .
Решение. Сделаем рисунок.
Проведем разбиение объема V на малые области с объемами
$Delta V_{i}$ заряды этих объемов
$Delta q_{i}$, тогда напряженность поля точечного заряда в точке А (рис.1) будет равна:
$$bar{E}_{i A}=frac{1}{4 pi varepsilon_{0}} frac{Delta q_{i}}{left|bar{r}^{prime}-bar{r}_{i}right|^{3}}left(bar{r}^{prime}-bar{r}_{i}right)(2.1)$$
Для того чтобы найти поле, которое создает все тело в точке А, используем принцип суперпозиции:
$$bar{E}_{A}=sum_{i=1}^{N} bar{E}_{i A}=frac{1}{4 pi varepsilon_{0}} sum_{i=1}^{N} frac{Delta q_{i}}{left|bar{r}^{prime}-bar{r}_{i}right|^{3}}left(bar{r}^{prime}-bar{r}_{i}right)(2.2)$$
где N – число элементарных объемов, на которые разбивается объем V.
Плотность распределения заряда можно выразить как:
$rholeft(bar{r}_{i}right)=frac{Delta q_{i}}{Delta V_{i}}(2.3)$
Из выражения (2.3) получим:
$Delta q_{i}=rholeft(bar{r}_{i}right) Delta V_{i}(2.4)$
Подставим выражение для элементарного заряда в формулу (2.2), имеем:
$$bar{E}_{A}=frac{1}{4 pi varepsilon_{0}} sum_{i=1}^{N} frac{rholeft(bar{r}_{i}right) Delta V_{i}}{left|bar{r}^{prime}-bar{r}_{i}right|^{3}}left(bar{r}^{prime}-bar{r}_{i}right)(2.5)$$
Так ка распределение зарядов задано непрерывное, то если устремить
$Delta V_i$ к нулю, то можно перейти от суммирования к интегрированию, тогда:
$$bar{E}_{A}=frac{1}{4 pi varepsilon_{0}} int_{V} frac{rho(bar{r})}{left|bar{r}^{prime}-bar{r}right|^{3}}left(bar{r}^{prime}-bar{r}right) d V$$
Ответ. $bar{E}_{A}=frac{1}{4 pi varepsilon_{0}} int_{V} frac{rho(bar{r})}{left|bar{r}^{prime}-bar{r}right|^{3}}left(bar{r}^{prime}-bar{r}right) d V$
Читать дальше: Формула пути.
5.Электростатика
Закон Кулона
1.Заряженные тела взаимодействуют. В природе существует два вида зарядов, их условно называют положительными и отрицательными. Заряды одного знака (одноименные) отталкиваются, заряды противоположных знаков (разноименные) притягиваются. Единица измерения зарядов в системе СИ – кулон (обозначается
«Кл»).
2.В природе существует минимально возможный заряд. Его называют
элементарным и обозначают e. Численное значение элементарного заряда e ≈ 1,6 10–19 Кл, Заряд электрона qэлектр = –e, заряд протона qпротона = +e. Все заряды
вприроде кратны элементарному заряду.
3.В электрически изолированной системе алгебраическая сумма зарядов остается неизменной. Например, если соединить два одинаковых металлических шарика с зарядами q1 = 5 нКл = 5 10–9 Кл и q2 = – 1 нКл, то заряды распределятся
между шариками поровну и заряд q каждого из шариков станет равным
q= (q1 + q2 ) / 2 = 2 нКл .
4.Заряд называется точечным, если его геометрические размеры значительно меньше расстояний, на которых изучается действие этого заряда на другие заряды.
5.Закон Кулона определяет величину силы электрического взаимодействия двух неподвижных точечных зарядов q1 и q2, расположенных на расстоянии r друг от друга (рис.1)
|
G |
G |
k | q | | q |
2 |
| |
||
|
F =| F |
|=| F |
|= |
1 |
. |
||
|
12 |
21 |
r 2 |
||||
Здесь F12 — сила, действующая на первый заряд со стороны второго, F21 — сила,
действующая на второй заряд со стороны первого, k ≈9 109 Н м2/Кл2 – постоянная в законе Кулона. В системе СИ эту постоянную принято записывать в виде
k = 4πε1 0 ,
где ε0 ≈8,85 10−12 Ф/м – электрическая постоянная.
1
Рис.1
6. Сила взаимодействия двух точечных зарядов не зависит от наличия вблизи этих зарядов других заряженных тел. Это утверждение называют принципом суперпозиции.
Вектор напряженности электрического поля
1. Поместим вблизи неподвижного заряженного тела (или нескольких тел) точечный заряд q. Будем считать, что величина заряда q настолько мала, что он не вызывает перемещение зарядов в других телах (такой заряд называют пробным).
Со стороны заряженного тела на неподвижный пробный заряд q будет действовать сила F . В соответствии с законом Кулона и принципом суперпозиции сила F будет пропорциональна величине заряда q. Это означает, что, если величину пробного заряда увеличить, например в 2 раза, то величина силы F возрастет тоже в 2 раза, если знак заряда q сменить на противоположный, то и сила сменит направление на противоположное. Такую пропорциональность можно выразить формулой
F = qE .
Вектор E называется вектором напряженности электрического поля. Этот вектор зависит от распределения зарядов в телах, создающих электрическое поле, и
от положения точки, в которой указанным способом определен вектор E . Можно сказать, что вектор напряженности электрического поля равен силе, действующей на единичный положительный заряд, помещенный в данную точку пространства.
Определение EG = FG / q можно обобщить и на случай переменных (зависящих от времени) полей.
2. Вычислим вектор напряженности электрического поля, созданного неподвижным точечным зарядом Q. Выберем некоторую точку A, расположенную на расстоянии r от точечного заряда Q . Чтобы определить вектор напряженности в этой точке, мысленно поместим в нее положительный пробный заряд q. На
2
пробный заряд со стороны точечного заряда Q будет действовать сила притяжения или отталкивания в зависимости от знака заряда Q. Величина этой силы равна
F = k | Q | q . r 2
Следовательно, модуль вектора напряженности электрического поля, созданного неподвижным точечным зарядом Q в точке A, удаленной от него на расстояние r, равен
E = k r| Q2 | .
Вектор EG начинается в точке A и направлен от заряда Q, если Q > 0 , и к заряду Q,
если Q < 0 .
3.Если электрическое поле создается несколькими точечными зарядами, то вектор напряженности в произвольной точке можно найти при помощи принципа суперпозиции полей.
4.Силовой линией (линией вектора E ) называют геометрическую линию,
касательная к которой в каждой точке совпадает с вектором E в этой точке.
Иными словами, вектор E направлен по касательной к силовой линии в каждой ее точке. Силовой линии приписывают направление — вдоль вектора E . Картина силовых линий является наглядным образом силового поля, дает представление о пространственной структуре поля, его источниках, позволяет определять направление вектора напряженности в любой точке.
5.Однородным электрическим полем называют поле, вектор E которого одинаков (по величине и направлению) во всех точках. Такое поле создает, например, равномерно заряженная плоскость в точках, расположенных достаточно близко от этой плоскости.
6.Поле однородно заряженного по поверхности шара равно нулю внутри шара,
авне шара совпадает с полем точечного заряда Q, расположенного в центре шара:
|
k | Q | |
при r > R |
|
|
, |
||
|
E = r 2 |
||
|
при r < R |
||
|
0 |
где Q – заряд шара, R – его радиус, r – расстояние от центра шара до точки, в
которой определяется вектор E .
3
7. В диэлектриках поле ослабляется. Например, точечный заряд или однородно заряженный по поверхности шар, погруженные в масло, создают электрическое поле
E = kε|rQ2 | ,
где r – расстояние от точечного заряда или центра шара до точки, в которой определяется вектор напряженности, ε — диэлектрическая проницаемость масла. Диэлектрическая проницаемость зависит от свойств вещества. Диэлектрическая проницаемость вакуума ε = 1, диэлектрическая проницаемость воздуха очень близка к единице (при решении задач обычно ее считают равной 1), для иных газообразных, жидких и твердых диэлектриков ε > 1.
8. При равновесии зарядов (если нет их упорядоченного движения) напряженность электрического поля внутри проводников равна нулю.
Работа в электрическом поле. Разность потенциалов.
1. Поле неподвижных зарядов (электростатическое поле) обладает важным свойством: работа сил электростатического поля по перемещению пробного заряда из некоторой точки 1 в точку 2 не зависит от формы траектории, а определяется только положениями начальной и конечной точек. Поля, обладающие таким свойством, называются консервативными. Свойство консервативности позволяет определить так называемую разность потенциалов для двух любых точек поля.
Разность потенциалов ϕ1 −ϕ2 в точках 1 и 2 равна отношению работы A12 сил поля по перемещению пробного зарядаq из точки 1 в точку 2 квеличинеэтого заряда:
ϕ1 — ϕ2 = Aq12 .
Такое определение разности потенциалов имеет смысл только потому, что работа не зависит от формы траектории, а определяется положениями начальной и конечной точек траекторий. В системе СИ разность потенциалов измеряется в вольтах: 1В = Дж/Кл.
Конденсаторы
1. Конденсатор состоит из двух проводников (их называют обкладками), отделенных один от другого слоем диэлектрика (рис.2), причем заряд одной
4
обкладки Q, а другой –Q. Заряд положительной обкладки Q называют зарядом конденсатора.
2. Можно показать, что разность потенциалов ϕ1 −ϕ2 между обкладками пропорциональна величине заряда Q, то есть, если, например, заряд Q увеличить в 2 раза, то и разность потенциалов увеличится в 2 раза.
ε
ε S
ϕ1 ϕ2
d
Рис.2 Рис.3
Такую пропорциональность можно выразить формулой
Q = C(ϕ1 — ϕ2 ) ,
где C — коэффициент пропорциональности между зарядом конденсатора и разностью потенциалов между его обкладками. Этот коэффициент называют электроемкостью или просто емкостью конденсатора. Емкость зависит от геометрических размеров обкладок, их взаимного расположения и диэлектрической проницаемости среды. Разность потенциалов называют также напряжением, которое обозначают U. Тогда
Q = CU .
3. Плоский конденсатор представляет собой две плоские проводящие пластины, расположенные параллельно друг другу на расстоянии d (рис.3). Это расстояние предполагается малым по сравнению с линейными размерами пластин. Площадь каждой пластины (обкладки конденсатора) равна S, заряд одной пластины Q, а другой –Q.
На некотором расстоянии от краев поле между пластинами можно считать однородным. Поэтому ϕ1 — ϕ2 = Ed , или
U = Ed .
Емкость плоского конденсатора определяется формулой
C = εεd0 S ,
5
где ε0 =8,85 10–12 Ф/м – электрическая постоянная, ε — диэлектрическая проницаемость диэлектрика между обкладками. Из этой формулы видно, что для получения конденсатора большой емкости нужно увеличивать площадь обкладок и уменьшать расстояние между ними. Наличие между обкладками диэлектрика с большой диэлектрической проницаемостью ε также приводит к увеличению емкости. Роль диэлектрика между обкладками состоит не только в повышении диэлектрической проницаемости. Важно также, что хорошие диэлектрики могут выдерживать высокое электрическое поле, не допуская пробоя между обкладками.
В системе СИ емкость измеряют в фарадах. Плоский конденсатор в одну фараду имел бы гигантские размеры. Площадь каждой пластины была бы примерно равна 100 км2 при расстоянии между ними 1 мм. Конденсаторы широко используются в технике, в частности, для накопления зарядов.
4. Если обкладки заряженного конденсатора замкнуть металлическим проводником, то в проводнике возникнет электрический ток и конденсатор разрядится. При протекании тока в проводнике выделится определенное количество теплоты, а это означает, что заряженный конденсатор обладает энергией. Можно показать, что энергия любого заряженного конденсатора (не обязательно плоского) определяется формулой
W = 12 CU 2 .
Учитывая, что Q = CU , формулу для энергии можно переписать также в виде
W= Q2 = QU .
2C 2
6
Сергей Сергеевич Соев
Эксперт по предмету «Физика»
Задать вопрос автору статьи
В соответствии с теорией близкодействия, взаимодействия между заряженными телами, которые удалены друг от друга, осуществляется посредством полей (электромагнитных), создаваемых этими телами в окружающем их пространстве. Если поля создаются неподвижными частицами (телами), то поле является электростатическим. Если поле не изменяется во времени, то его называют стационарным. Электростатическое поле является стационарным. Это поле — частный случай электромагнитного поля. Силовой характеристикой электрического поля служит вектор напряженности, который можно определить как:
где $overrightarrow{F}$- сила, действующая со стороны поля на неподвижный заряд q, который называют иногда «пробным». При этом необходимо, чтобы «пробный» заряд был мал, чтобы не искажал поле, напряженность которого с его помощью измеряют. Из уравнения (1) видно, что напряженность совпадает по направлению с силой, с которой поле действует на единичный положительный «пробный заряд».
Напряженность электростатического поля не зависит от времени. Если напряженность во всех точках поля одинакова, то поле называют однородным. В противном случае поле неоднородно.
Силовые линии
Для графического изображения электростатических полей используют понятие силовых линий.
Определение
Силовыми линиями или линиями напряженности поля, называются линии, касательные к которым в каждой точке поля совпадают с направлениями векторов напряженности в этих точках.
Силовые линии электростатического поля являются разомкнутыми. Они начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных. Иногда они могут уходить в бесконечность или приходить из бесконечности. Силовые линии поля не пересекаются.
Вектор напряженности электрического поля подчиняется принципу суперпозиции, а именно:
[overrightarrow{E}=sumlimits^n_{i=1}{{overrightarrow{E}}_i(2)}.]
Результирующий вектор напряженности поля может быть найден как векторная сумма напряженностей составляющих его «отдельных» полей. Если заряд распределен непрерывно (нет необходимости учитывать дискретность), то суммарная напряженность поля найдется как:
[overrightarrow{E}=int{doverrightarrow{E}} left(3right).]
В уравнении (3) интегрирование проводят по области распределения зарядов. Если заряды распределены по линии ($tau =frac{dq }{dl}$ -линейная плотность распределения заряда), то интегрирование в (3) проводят по линии. Если заряды распределены по поверхности и поверхностная плотность распределения $sigma=frac{dq }{dS}$, то интегрируют по поверхности. Интегрирование проводят по объему, если имеют дело с объемным распределением заряда: $rho =frac{dq }{dV}$, где $rho $ — объемная плотность распределения заряда.
Напряженность поля
«Вектор напряженности электрического поля» 👇
Напряжённость поля в диэлектрике равна векторной сумме напряженностей полей, которые создают свободные заряды ($overrightarrow{E_0}$) и связанные заряды ($overrightarrow{E_p}$):
[overrightarrow{E}=overrightarrow{E_0}+overrightarrow{E_p}left(4right).]
Очень часто в примерах мы сталкиваемся с тем, что диэлектрик является изотропным. В таком случае, напряжённость поля может быть записана как:
[overrightarrow{E}=frac{overrightarrow{E_0}}{varepsilon } left(5right),]
где $varepsilon $- относительная диэлектрическая проницаемость среды в рассматриваемой точке поля. Таким образом, из (5) очевидно, что однородном в изотропном диэлектрике напряженность электрического поля в $varepsilon $ раз меньше, чем в вакууме.
Напряженность электростатического поля системы точечных зарядов равна:
[overrightarrow{E}=frac{1}{4pi {varepsilon }_0}sumlimits^n_{i=1}{frac{q_i}{varepsilon r^3_i}}overrightarrow{r_i} left(6right).]
В системе СГС напряженность поля точечного заряда в вакууме равна:
[overrightarrow{E}=frac{qoverrightarrow{r}}{r^3}left(7right).]
Пример 1
Задание: Заряд равномерно распределен по четверти окружности радиуса R с линейной плотностью $tau $. Найти напряженность поля в точке (А), которая была бы центром окружности.
Решение:
Рис. 1
Выделим на заряженной части окружности элементарный участок ($dl$), который будет создавать элемент поля в точке А, для него запишем выражение для напряженности (будем использовать систему СГС), в таком случае выражение для $doverrightarrow{E}$ имеет вид:
[doverrightarrow{E}=frac{dq}{R^3}frac{overrightarrow{R}}{R} left(1.1right).]
Проекция вектора $doverrightarrow{E}$ на ось OX имеет вид:
[{dE}_x=dEcosvarphi =frac{dqcosvarphi }{R^2}left(1.2right).]
Выразим dq через линейную плотность заряда $tau $:
[dq=tau dl=tau cdot 2pi RdR left(1.3right).]
Используя (1.3) преобразуем (1.2), получим:
[{dE}_x=frac{2pi Rtau dRcosvarphi }{R^2}=frac{2pi tau dRcosvarphi }{R}=frac{tau cosvarphi dvarphi }{R} left(1.4right),]
где $2pi dR=dvarphi $.
Найдем полную проекцию $E_x$, интегрированием выражения (1.4) по $dvarphi $, где угол изменяется $0le varphi le 2pi $.
[E_x=intlimits^{2pi }_0{frac{tau cosvarphi d varphi }{R}}=frac{tau }{R}intlimits^{2 pi}_0{cosvarphi d varphi=}frac{tau}{R}left({left.sinvarphi right|}^{2pi }_0right)=frac{tau }{R} left(1.5right).]
Займемся проекцией вектора напряженности на ос OY, по аналогии без особых пояснений запишем:
[{dE}_y=dEsinvarphi =frac{tau }{R}sinvarphi d varphi left(1.6right).]
Интегрируем выражение (1.6), угол изменяется $frac{pi }{2}le varphi le 0$, получаем:
[E_y=intlimits^0_{frac{pi }{2}}{frac{tau }{R}sinvarphi dvarphi =frac{tau }{R}intlimits^0_{frac{pi }{2}}{sinvarphi dvarphi =- frac{tau }{R}} }{left.cosvarphi right|}^0_{frac{pi }{2}}=- frac{tau }{R} left(1.7right).]
Найдем модуль вектора напряженности в точке А, используя теорему Пифагора:
[E=sqrt{{E_x}^2+{E_y}^2}=sqrt{{left(frac{tau }{R}right)}^2+{left(-frac{tau }{R}right)}^2}=frac{tau }{R}sqrt{2}]
Ответ: Напряженность поля в точке (А) равна $E=frac{tau }{R}sqrt{2}.$
Пример 2
Задание: Найдите напряженность электростатического поля равномерно заряженной полусферы, радиус которой равен R. Поверхностная плотность заряда равна $sigma$.
Решение:
Рис. 2
Выделим на поверхности заряженной сферы элементарный заряд $dq$, который расположен на элементе площади $dS.$ В сферических координатах $dS$ равен:
[dS=R^2sintheta dtheta dvarphi left(2.1right),]
где $0le varphi le 2pi , 0le theta le frac{pi }{2}.$
Запишем выражение для элементарной напряженности поля точечного заряда в системе СИ:
[doverrightarrow{E}=frac{dq}{{4pi {varepsilon }_0R}^3}frac{overrightarrow{R}}{R} left(2.2right).]
Проектируем вектор напряженности на ось OX, получим:
[{dE}_x=frac{dqcostheta }{4 pi varepsilon_0R^2}left(2.3right).]
Элементарный заряд выразим через поверхностную плотность заряда, получим:
[dq=sigma dS left(2.4right).]
Подставляем (2.4) в (2.3), используем (2.1) интегрируем, получаем:
[E_x=frac{sigma R^2}{4pi {varepsilon }_0R^2}intlimits^{2pi }_0{dvarphi intlimits^{frac{pi }{2}}_0{costheta }}sintheta dtheta =frac{sigma}{4pi {varepsilon }_0}left(2pi cdot frac{1}{2}right)=frac{sigma}{4{varepsilon }_0}.]
Легко получить, что $E_Y=0.$
Следовательно, $E=E_x.$
Ответ: Напряженность поля полусферы заряженной по поверхности в ее центре равна $E=frac{sigma}{4{varepsilon }_0}.$
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
Потенциал поля создаваемого некоторой системой зарядов, зависит от координат по закону ф=a(x^2+y^2)-bz^2, где a=5 В/м^2, b=10 В/м^2.
Найдите модуль вектора напряженности поля в точке с координатами (1; 1; 1). Координаты указаны в метрах.
Оцените сложность задачи:
0 голосов, средняя сложность: 0.0000
Решения задачи
Потенциал поля создаваемого некоторой системой зарядов, зависит от координат по закону φ=a(x^2+y^2)-bz^2, где a=5 В/м^2, b=10 В/м^2. Найдите модуль вектора напряженности поля в точке с координатами (1; 1; 1). Координаты указаны в метрах.
Вектор напряженности электрического поля в каждой точке силовой линии направлен по касательной к ней
$ |vect{E}| = φ’ = a(2x+2y)-b2z =5(2×1+2×1)-10×2×1=0 $
Ответ:
$ |vect{E}|=0 $
Чтобы предложить решение пожалуйста войдите или зарегистрируйтесь