Как найти модуль вектора перемещения по координатам - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Траектория (от позднелатинского trajectories – относящийся к перемещению) – это линия, по которой движется тело (материальная точка). Траектория движения может быть прямой (тело перемещается в одном направлении) и криволинейной, то есть механическое движение может быть прямолинейным и криволинейным.

Траектория прямолинейного движения в данной системе координат – это прямая линия. Например, можно считать, что траектория движения автомобиля по ровной дороге без поворотов является прямолинейной.

Криволинейное движение – это движение тел по окружности, эллипсу, параболе или гиперболе. Пример криволинейного движения – движение точки на колесе движущегося автомобиля или движение автомобиля в повороте.

Движение может быть сложным. Например, траектория движения тела в начале пути может быть прямолинейной, затем криволинейной. Например, автомобиль в начале пути движется по прямой дороге, а затем дорога начинает «петлять» и автомобиль начинает криволинейное движение.

Путь

Путь – это длина траектории. Путь является скалярной величиной и в международной системе единиц СИ измеряется в метрах (м). Расчёт пути выполняется во многих задачах по физике. Некоторые примеры будут рассмотрены далее в этом учебнике.

Вектор перемещения

Вектор перемещения (или просто перемещение) – это направленный отрезок прямой, соединяющий начальное положение тела с его последующим положением (рис. 1.1). Перемещение – величина векторная. Вектор перемещения направлен от начальной точки движения к конечной.

Модуль вектора перемещения (то есть длина отрезка, который соединяет начальную и конечную точки движения) может быть равен пройденному пути или быть меньше пройденного пути. Но никогда модуль вектора перемещения не может быть больше пройденного пути.

Модуль вектора перемещения равен пройденному пути, когда путь совпадает с траекторией (см. разделы Траектория и Путь), например, если из точки А в точку Б автомобиль перемещается по прямой дороге. Модуль вектора перемещения меньше пройденного пути, когда материальная точка движется по криволинейной траектории (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Вектор перемещения и пройденный путь.

На рис. 1.1:

Ещё пример. Если автомобиль проедет по кругу один раз, то получится, что точка начала движения совпадёт с точкой конца движения и тогда вектор перемещения будет равен нулю, а пройденный путь будет равен длине окружности. Таким образом, путь и перемещение – это два разных понятия.

Правило сложения векторов

Векторы перемещений складываются геометрически по правилу сложения векторов (правило треугольника или правило параллелограмма, см. рис. 1.2).

Рис. 1.2. Сложение векторов перемещений.

На рис 1.2 показаны правила сложения векторов S1 и S2:

а) Сложение по правилу треугольника
б) Сложение по правилу параллелограмма

Проекции вектора перемещения

При решении задач по физике часто используют проекции вектора перемещения на координатные оси. Проекции вектора перемещения на координатные оси могут быть выражены через разности координат его конца и начала. Например, если материальная точка переместилась из точки А в точку В, то при этом вектор перемещения (см.рис. 1.3).

Выберем ось ОХ так, чтобы вектор лежал с этой осью в одной плоскости. Опустим перпендикуляры из точек А и В (из начальной и конечной точек вектора перемещения) до пересечения с осью ОХ. Таким образом мы получим проекции точек А и В на ось Х. Обозначим проекции точек А и В соответственно А_x и В_x. Длина отрезка А_xВ_x на оси ОХ – это и есть проекция вектора перемещения на ось ОХ, то есть

S_x = A_xB_x

ВАЖНО!
Напоминаю для тех, кто не очень хорошо знает математику: не путайте вектор с проекцией вектора на какую-либо ось (например, S_x). Вектор всегда обозначается буквой или несколькими буквами, над которыми находится стрелка. В некоторых электронных документах стрелку не ставят, так как это может вызвать затруднения при создании электронного документа. В таких случаях ориентируйтесь на содержание статьи, где рядом с буквой может быть написано слово «вектор» или каким-либо другим способом вам указывают на то, что это именно вектор, а не просто отрезок.

Рис. 1.3. Проекция вектора перемещения.

Проекция вектора перемещения на ось ОХ равна разности координат конца и начала вектора, то есть

S_x = x – x₀

Аналогично определяются и записываются проекции вектора перемещения на оси OY и OZ:

S_y = y – y₀
S_z = z – z₀

Здесь x₀, y₀, z₀ — начальные координаты, или координаты начального положения тела (материальной точки); x, y, z — конечные координаты, или координаты последующего положения тела (материальной точки).

Проекция вектора перемещения считается положительной, если направление вектора и направление координатной оси совпадают (как на рис 1.3). Если направление вектора и направление координатной оси не совпадают (противоположны), то проекция вектора отрицательна (рис. 1.4).

Если вектор перемещения параллелен оси, то модуль его проекции равен модулю самого Вектора. Если вектор перемещения перпендикулярен оси, то модуль его проекции равен нулю (рис. 1.4).

Рис. 1.4. Модули проекции вектора перемещения.

Разность между последующим и начальным значениями какой-нибудь величины называется изменением этой величины. То есть проекция вектора перемещения на координатную ось равна изменению соответствующей координаты. Например, для случая, когда тело перемещается перпендикулярно оси Х (рис. 1.4) получается, что относительно оси Х тело НЕ ПЕРЕМЕЩАЕТСЯ. То есть перемещение тела по оси Х равно нулю.

Рассмотрим пример движения тела на плоскости. Начальное положение тела – точка А с координатами х₀ и у₀, то есть А(х₀, у₀). Конечное положение тела – точка В с координатами х и у, то есть В(х, у). Найдём модуль перемещения тела.

Из точек А и В опустим перпендикуляры на оси координат ОХ и OY (рис. 1.5).

Рис. 1.5. Движение тела на плоскости.

Определим проекции вектора перемещения на осях ОХ и OY:

S_x = x – x₀
S_y = y – y₀

На рис. 1.5 видно, что треугольник АВС – прямоугольный. Из этого следует, что при решении задачи может использоваться теорема Пифагора, с помощью которой можно найти модуль вектора перемещения, так как

АС = s_x
CB = s_y

По теореме Пифагора

S² = S_x² + S_y²

Откуда можно найти модуль вектора перемещения, то есть длину пути тела из точки А в точку В:

Ну и напоследок предлагаю вам закрепить полученные знания и рассчитать несколько примеров на ваше усмотрение. Для этого введите какие-либо цифры в поля координат и нажмите кнопку РАССЧИТАТЬ. Ваш браузер должен поддерживать выполнение сценариев (скриптов) JavaScript и выполнение сценариев должно быть разрешено в настройках вашего браузера, иначе расчет не будет выполнен. В вещественных числах целая и дробная части должны разделяться точкой, например, 10.5.

Источник

Как найти модуль вектора перемещения

В кинематике для нахождения различных величин используются математические методы. В частности, чтобы найти модуль вектора перемещения, нужно применить формулу из векторной алгебры. В ней фигурируют координаты точек начала и конца вектора, т.е. первоначального и итогового положения тела.

Инструкция

Во время движения материальное тело меняет свое положение в пространстве. Его траектория может быть прямой линией или произвольной, ее длина составляет путь тела, но не расстояние, на которое оно переместилось. Эти две величины совпадают только в случае прямолинейного движения.

Итак, пусть тело совершило некоторое перемещение из точки А (х0, у0) в точку В (х, у). Чтобы найти модуль вектора перемещения, нужно вычислить длину вектора АВ. Начертите координатные оси и нанесите на них известные точки начального и конечного положения тела А и В.

Проведите отрезок из точки А в точку В, укажите направление. Опустите проекции его концов на оси и нанесите на графике параллельные и равные им отрезки, проходящие через рассматриваемые точки. Вы увидите, что на рисунке обозначился прямоугольный треугольник с катетами-проекциями и гипотенузой-перемещением.

По теореме Пифагора найдите длину гипотенузы. Этот метод широко применяется в векторной алгебре и носит название правила треугольника. Для начала запишите длины катетов, они равны разностям между соответствующими абсциссами и ординатами точек А и В:
ABx = x – x0 – проекция вектора на ось Ох;
ABy = y – y0 – его проекция на ось Оу.

Определите перемещение |AB|:
|AB| = √(ABx² + ABy²) = ((x – x0)² + (y – y0)²).

Для трехмерного пространства добавьте в формулу третью координату – аппликату z:
|AB| = √(ABx² + ABy² + ABz²) = ((x – x0)² + (y – y0)² + (z – z0)²).

Полученную формулу можно применять для любой траектории и типа движения. При этом величина перемещения обладает важным свойством. Она всегда меньше либо равна длине пути, в общем случае ее линия не совпадает с кривой траектории. Проекции – величины математические, могут быть как больше, так и меньше нуля. Однако это не имеет значения, поскольку в расчете они участвуют в четной степени.

Источники:

модуль перемещения

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник

Как найти модуль перемещения тела (формула)?

Общая формула для всех видов движения по которой можно найти модуль перемещения выглядит так. s = x-x0, где х0 — начальная координата, х — координата через промежуток времени, за которое совершено перемещение.

Для более простых видов перемещения есть частные формулы.

Для равномерного прямолинейного движения x = x0 + vt, где м — скорость тела.

Для равноускоренного прямолинейного движения x = x0 + v0t + (a t^2)/2.

система выбрала этот ответ лучшим

Zolotynka
[551K]

6 месяцев назад

Прежде чем писать/запоминать формулу, давайте разберемся, что представляет собой само понятие перемещения тела — это разница между двумя положениями объекта. Далее: это векторная величина, потому что у нее также есть направление — от начальной позиции к финальной.

Формула перемещения выглядит следующим образом: Sx = x — x0.

Перемещение не обязательно всегда положительно, оно также может быть нулевым или отрицательным.

Знаете ответ?

Источник

Как найти модуль вектора перемещения

Определите перемещение |AB|:
|AB| = √(ABx² + ABy²) = ((x – x0)² + (y – y0)²).

Источник

Школьный курс физики содержит раздел «кинематика». Большинство задач этого раздела можно решить, рассматривая движение вдоль одной оси — одномерное движение. Его еще называют прямолинейным движением.

Для некоторых задач нужно рассматривать движение на плоскости – двумерный случай.

Вообще, движение тела может происходить:

вдоль оси – одномерный случай, ось часто именуют, как «Ox»;
на плоскости;
в трехмерном пространстве;

Здесь рассмотрим одномерный случай движения — движение тел вдоль оси.

Параметры, описывающие движение

Чтобы описать движение, используют:

перемещение тела;
время, в течение которого движение происходило;
скорость тела;
начальные и конечные координаты тела;
траекторию тела;

Траектория – линия, вдоль которой двигалось тело.

Траектория – скаляр, в СИ длину траектории измеряют в метрах.
Для криволинейного движения траектория будет отрезком кривой.
Если движение прямолинейное, траектория – отрезок прямой линии.

Перемещение тела – это вектор. Он соединяет точки, в которых тело находилось в начале и конце движения, направлен из начальной точки в конечную.
Модуль этого вектора – его длину, в СИ измеряют в метрах.

Может ли перемещение тела равняться нулю, при том, что траектория имеет какую-либо протяженность?
Да, такое может быть. Когда тело движется так, что в конце движения оно вернется в начальную точку, в которой находилось перед началом движения.
Если в завершении движения тело окажется на каком-то расстоянии от начальной точки, длина вектора перемещения будет положительной.

Примечания:

Модуль (длина) вектора не бывает отрицательным, он либо положительный, либо нулевой.
Когда тело движется по прямой и не меняет направление, длина траектории совпадает с длиной (модулем) перемещения.

Уравнение движения — описывает характер движения.

Оно содержит:

время движения,
начальную и конечную координаты тела и
его скорость.

Вместо координат тела уравнение движения может содержать перемещение.

Примечания:

Координаты тела, время движения и траектория – это скалярные величины.
А скорость тела, его ускорение и перемещение – это векторы.
Когда движение равномерное, скорость тела не меняется.
Скорость отвечает на вопрос: как быстро изменяется координата (или путь, перемещение).

Описанные параметры применяют и для равномерного и для неравномерного движения.

Прямолинейное движение вдоль оси

Рассмотрим движение по прямой, когда скорость тела не меняется. Это — равномерное прямолинейное движение.

На рисунке 1 представлено движение тела вдоль оси, назовем ее для определенности Ox:

Рис. 1. Перемещение – это разница между конечной и начальной координатами тела

Ось «Ox» на рисунке 1 обозначена большим символом «X».
Точка, в которой тело находилось в начале движения (x_{0} left( text{м} right)) — начальная координата тела;
В эту точку тело переместилось к концу движения (x left( text{м} right)) — конечная координата тела;
Расстояние между двумя точками (S left( text{м} right)) – это перемещение тела. Перемещение – это вектор.

Формула перемещения для одномерного случая

Для движения по оси (одномерный случай), длину перемещения находят так:
[ large boxed { S = left| x — x_{0} right| }]
Знак модуля нужен для того, чтобы длина перемещения оставалась положительной, даже, если движение происходит влево по оси, т. е. против направления оси Ox.
Сравним два случая движения тел. Первый – в положительном направлении оси Ox (рис 2а), второй – в направлении, противоположном оси (рис 2б).

Рис. 2. Перемещение вправо по оси – а) и влево по оси – б)

Чтобы найти длину вектора перемещения при движении в положительном направлении оси (рис. 2а), модуль раскрываем так:
[ S = left| x — x_{0} right| = x — x_{0} ]
Для движения в отрицательном направлении оси (рис. 2б), длина вектора перемещения выражается так:
[ S = left| x — x_{0} right| = — left( x — x_{0} right) = x_{0} — x ]
И в первом, и во втором случае, длина (модуль) вектора перемещения окажется положительной.

Скорость равномерного движения

В учебниках физики равномерному движению дают такое определение:
Движение равномерное, когда тело за одинаковые интервалы времени проходит равные расстояния.

Упростим формулировку:
Если каждую секунду тело проходит одинаковые расстояния – оно движется равномерно.

Слово «равномерное» состоит из двух частей.
Если разбить его на части, получим
«равно» — одинаковый, равный,
«мерное» — отмерять.
Или, другими словами: каждую секунду отмеряем одинаковые расстояния (рис. 2).

Рис. 3. Если тело проходит равные пути за одинаковые кусочки времени, движение будет равномерным

Для равномерного движения тела его

перемещение,
время движения и
скорость,

связаны соотношением:

[ left|vec{S} right| = left|vec{v} right|cdot t ]

Эта формула называется уравнением движения. Или, развернуто: «уравнение равномерного прямолинейного движения».

Где ( left|vec{S} right| ) — длина (модуль) вектора перемещения и, (left|vec{v} right|) — длина (модуль) вектора скорости.

Уравнение движения можно записать проще:

[ large boxed { S = v cdot t }]

(S left( text{м} right)) – расстояние, пройденное телом (перемещение).

(t left( c right)) – промежуток времени, в течение которого тело двигалось.

(v left( frac{text{м}}{c} right)) – скорость, с которой двигалось тело.

Разделив обе части уравнения ( S = v cdot t ) на интервал времени ( t ), получим выражение для скорости тела:

[ large boxed { frac{S}{t} = v }]

График уравнения равномерного движения

Вспомним, что перемещение является разностью конечных и начальных координат тела

( S = left| x — x_{0} right| )

Воспользуемся тем, что при движении вдоль положительного направления оси модуль можно раскрыть так:

( left| x — x_{0} right| = x — x_{0} )

Тогда уравнение движения перепишем так:

[ large boxed { x — x_{0} = v cdot t }]

Прибавим к обеим частям уравнения величину ( x_{0} ). Получим такую запись

[ large x = v cdot t + x_{0}]

Это уравнение задает на плоскости tOx линию. Ее график на осях «x» и «t» — это прямая линия.

Вспомним, что для прямой линии в математике применяют такой вид записи:

( y = k cdot x + b)

Сравним два уравнения:

[ begin{cases} x = vcdot t + x_{0}\ y = kcdot x + b end{cases} ]

Видно, что число ( x_{0}) – начальная координата тела, выполняет роль коэффициента (b).

А скорость тела ( v) – играет роль углового коэффициента (k).

Сравним графики линий (рис. 4), описанных соотношениями ( y = k cdot x + b) и ( x = v cdot t + x_{0})

Рис.4. При равномерном движении тела координата изменяется по линейному закону

Видно, что линия на рисунке 4а, располагается и слева и справа от вертикальной оси.

Линия же, описывающая движение тела, представленная на рисунке 4б, располагается только лишь в правой полуплоскости. Это не с проста. На горизонтальной оси рисунка 4б отложено время, а в левой полуплоскости время будет отрицательным. При решении задач физики мы считаем, что в начальный момент задачи время равно нулю. Поэтому, область отрицательного времени в физике нас не интересует.

Рассмотрим теперь на графике равномерное движение двух тел, обладающих разными скоростями (рис. 5). Движение тела 1 на рисунке описывает синяя линия, а тела 2 – красная.

Рис.5. Равномерное движение двух тел, обладающих разными скоростями. Скорость тела 1 (синий цвет) больше скорости тела 2 (линия красного цвета).

Два тела стартуют из точки ( x_{0}) и двигаются равномерно воль оси Ox. За промежуток времени ( Delta t) тело 1, проходит больший путь, чем тело 2.

Примечание: Чем сильнее на графике x(t) прямая линия прижимается к вертикали, тем больше скорость, с которой движется тело!

Как отмечалось выше, тело может двигаться не только в положительном направлении вдоль оси, но и в отрицательном направлении.

На следующем рисунке представлены случаи движения тела в положительном (рис. 6а) и, в отрицательном (рис. 6б) направлениях оси Ox.

Когда скорость направлена по оси (рис. 6а) — координата «x» увеличивается,

а когда против оси (рис. 6б) — координата «x» уменьшается.

Перемещение тела в положительном направлении оси – а) и в отрицательном направлении по оси Ox – б)

На рисунке рядом с прямыми x(t) приведены уравнения движения. Когда скорость направлена против оси (рис. 6б), перед ней записывают знак «минус».

Угол (alpha) на рисунке связан со знаком скорости. Если скорость направлена по оси (рис. 6а), то угол будет острым. А если скорость направлена против оси (рис. 6б) – угол тупой.

Примечание: Скорость – это вектор. Когда вектор направлен против оси, его проекция на эту ось будет отрицательной. Читайте тут о проекциях векторов. Длина любого вектора – это положительная величина.

Как по графику перемещения определить скорость

Пользуясь графиком функций S(t), или x(t) равномерного движения можно определить скорость, с которой движется тело.

Примечания:

График S(t) называют так: «зависимость перемещения S от времени t», или кратко — график перемещения от времени.
А график x(t) — так: «зависимость координаты x от времени t», или кратко — график координат от времени.

Скорость находим за четыре шага (рис. 7):

Выбираем две точки на линии, описывающей движение и определяем их координаты;
Находим разность вертикальных координат;
После находим разность координат по горизонтали;
Делим «вертикаль» на «горизонталь»

Полученное число и будет скоростью тела.

Примечания:

Когда просят найти скорость, обычно имеют ввиду, что нужно найти модуль вектора скорости.
Скорость в системе СИ измеряют в метрах, деленных на секунду.

Обращаем внимание на то, в каких единицах на осях измерены расстояние S и время t. Если нужно, переводим расстояние в метры, а время — в секунды, чтобы получить скорость в правильных единицах измерения.

Рис.7. Две точки 1 и 2 выбраны для того, чтобы по графику x(t) найти скорость равномерного прямолинейного движения тела

Рассмотрим рисунок 7.

На рисунке первая точка имеет координаты ( left( t_{1} ; x_{1} right) ),

координаты второй точки: ( left( t_{2} ; x_{2} right) ).

Разницы между координатами находим, руководствуясь принципом («конечная» — «начальная») по формулам

( Delta t = t_{2} — t_{1} )

( Delta x = x_{2} — x_{1} )

Скорость вычислим из соотношения

[ v = frac{Delta x}{Delta t}]

Читайте далее о том, как переводить скорость из километров в час в метры в секунду и о равнопеременном движении

Источник