Векторы. Операции с векторами.
Векторы. Операции с векторами.
Математические или физические величины могут быть представлены как скалярными величинами (численным значением), так и векторными величинами (величиной и направлением в пространстве).
Вектор представляет собой направленный отрезок прямой, для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая — концом. Таким образом, в векторе присутствует две составляющих – это его длина и направление.
Рис.1. Изображение вектора на чертеже.
При работе с векторами часто вводят некоторую декартову систему координат в которой определяют координаты вектора, раскладывая его по базисным векторам:
— для вектора, расположенного в пространстве координат (x,y) и выходящего из начала координат
— для вектора, расположенного в пространстве координат (x,y,z) и выходящего из начала координат
Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной, а для обозначения длины вектора (его абсолютной величины) пользуются символом модуля.
Векторы расположенные либо на одной прямой, либо на параллельных прямых называются коллинеарными. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. Среди коллинеарных векторов различают одинаково направленные (сонаправленные) и противоположно направленные векторы. Векторы называются компланарными, если они лежат либо на одной плоскости, либо на прямых, параллельных одной и той же плоскости.
1.Длина вектора (модуль вектора)
Длина вектора определяет его скалярное значение и зависит от его координат, но не зависит от его направления. Длина вектора (или модуль вектора) вычисляется через арифметический квадратный корень из суммы квадратов координат (компонент) вектора (используется правило вычисления гипотенузы в прямоугольном треугольнике, где сам вектор становится гипотенузой).
Через координаты модуль вектора вычисляется следующим образом:
— для вектора, расположенного в пространстве координат (x,y) и выходящего из начала координат
— для вектора, расположенного в пространстве координат (x,y,z) и выходящего из начала координат, формула будет аналогична формуле диагонали прямоугольного параллелепипеда, так как вектор в пространстве принимает такое же положение относительно осей координат.
2. Угол между векторами
Углом между двумя векторами, отложенными от одной точки, называется кратчайший угол, на который нужно повернуть один из векторов вокруг своего начала до положения второго вектора. Угол между векторами определяется с использованием выражения для определения скалярного произведения векторов
Таким образом, косинус угла между векторами равен отношению скалярного произведения к произведению длин или модулей векторов. Данной формулой можно пользоваться в случае, если известны длины векторов и их скалярное произведение, либо векторы заданы координатами в прямоугольной системе координат на плоскости или в пространстве в виде: и .
Если векторы A и B заданы в трехмерном пространстве и координаты каждого из них заданы в виде: и , то угол между векторами определяется по следующему выражению:
Следует отметить, что угол между векторами и можно также определить применяя теорему косинусов для треугольника: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
где AB, OA, OB – соответствующая сторона треугольника.
Рис.2. Теорема косинусов для треугольника
Применительно к векторным исчислением данная формула перепишется следующим образом:
Таким образом, угол между векторами и определяется по следующему выражению:
где и — модуль (длина) вектора, а — модуль (длина) вектора, который определяется из разности двух векторов. Неизвестные входящие в уравнение определяются по координатам векторов и .
3.Сложение векторов
Сложение двух векторов и (сумма двух векторов) — это операция вычисления вектора , все элементы которого равны попарной сумме соответствующих элементов векторов и . В случае если вектора заданы в прямоугольной системе координат сумму векторов и можно найти по следующей формуле:
В графическом виде, сложение двух свободных векторов можно осуществлять как по правилу треугольника, так и по правилу параллелограмма.
Рис.3. Сложение двух векторов
Сложение двух скользящих векторов определено лишь в случае, когда прямые, на которых они расположены, пересекаются. Сложение двух фиксированных векторов определено лишь в случае, когда они имеют общее начало.
Правило треугольника.
Для сложения двух векторов и по правилу треугольника оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора.
Модуль (длину) вектора суммы определяют по теореме косинусов:
где — угол между векторами, когда начало одного совпадает с концом другого.
Правило параллелограмма.
Для сложения двух векторов и по правилу параллелограмма оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы их начала совпадали. Тогда вектор суммы задаётся диагональю построенного на них параллелограмма, исходящей из их общего начала.
Модуль (длину) вектора суммы определяют по теореме косинусов:
где — угол между векторами выходящими из одной точки.
Как видно, в зависимости от того какой угол выбирается, изменяется знак перед косинусом угла в формуле для определения модуля (длины) вектора суммы.
4.Разность векторов
Разность векторов и (вычитание векторов) — это операция вычисления вектора , все элементы которого равны попарной разности соответствующих элементов векторов и . В случае если вектора заданы в прямоугольной системе координат разность векторов и можно найти по следующей формуле:
В графическом виде, разностью векторов и называется сумма вектора и вектора противоположного вектору , т.е.
Рис.4. Разность двух свободных векторов
Разность двух свободных векторов в графическом виде может быть определена как по правилу треугольника, так и по правилу параллелограмма. Модуль (длина) вектора разности определяется по теореме косинусов. В зависимости от используемого угла в формуле изменяется знак перед косинусом (рассматривалось ранее).
5.Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение векторов и обозначается одним из следующих обозначений или или и определяется по формуле:
где- длины векторов и соответственно, а — косинус угла между векторами.
Рис.5. Скалярное произведение двух векторов
Скалярное произведение также можно вычислить через координаты векторов в прямоугольной системе координат на плоскости или в пространстве.
Скалярным произведением двух векторов на плоскости или в трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат называется сумма произведений соответствующих координат векторов и .
Таким образом, для векторов и на плоскости в прямоугольной декартовой системе координат формула для вычисления скалярного произведения имеет следующий вид:
Для трехмерного пространства формула для вычисления скалярного произведения векторов и имеет следующий вид:
Свойства скалярного произведения.
1.Свойство коммутативности скалярного произведения
2.Свойство дистрибутивности скалярного произведения
3.Сочетательное свойство скалярного произведения (ассоциативность)
где — произвольное действительное число.
Следует отметить, что в случае:
— если скалярное произведение положительно, следовательно, угол между векторами – острый (менее 90 градусов);
— если скалярное произведение отрицательно, следовательно, угол между векторами – тупой (больше 90 градусов);
— если скалярное произведение равно 0, следовательно, вектора являются ортогональными (которые лежат перпендикулярно друг к другу);
— если скалярное произведение равно произведению длин векторов, следовательно, данные векторы коллинеарные между собой (параллельные).
6.Векторное произведение векторов
Векторным произведением двух векторов и называется вектор для которого выполняются следующие условия:
1. вектор ортогонален (перпендикулярен) плоскости векторов и ;
2. направление вектора определяется по правилу правой руки (вектор направлен так, что из конца вектора кратчайший поворот от вектора к вектору виден происходящим против часовой стрелки);
Рис.6. Нахождение направления векторного произведения с помощью правила правой руки.
3. длина вектора равняется площади параллелограмма, образованного векторами, и может быть определена из выражения, равного произведению длин умножаемых векторов на синус угла между ними.
Векторное произведение векторов и обозначается следующим образом (или ), а длина (модуль) векторного произведения определяется по формуле:
где- длины векторов и соответственно, а — синус угла между векторами.
Векторное произведение векторов отличается от скалярного произведения тем, что оно представляет собой не просто число, а вектор, имеющий свое собственное направление (направление обуславливает трехмерность системы). Таким образом, векторное произведение векторов по определению возможно только в трехмерном пространстве, где у каждого вектора указаны три координаты (i,j,k). Векторное произведение не обладает свойствами коммутативности в отличие от скалярного произведения векторов.
Рис.7. Векторное произведение двух векторов
Векторное произведение также можно вычислить через координаты векторов в прямоугольной системе координат в пространстве.
Свойства векторного произведения.
1.Свойство антикоммутативности векторного произведения
2.Свойство дистрибутивности векторного произведения
3.Сочетательное свойство векторного произведения (ассоциативность)
где — произвольное действительное число.
Следует отметить, что в случае:
— если векторное произведение равно 0, следовательно, вектора являются коллинеарными (вектора параллельны друг другу);
— если векторное произведение равно произведению длин векторов, следовательно, вектора являются ортогональными (которые лежат перпендикулярно друг к другу).
Для того, чтобы добавить Ваш комментарий к статье, пожалуйста, зарегистрируйтесь на сайте.
Как найти модуль вектора
Формула
Чтобы найти модуль вектора, заданного своими координатами, нужно найти его длину, то есть извлечь корень из суммы квадратов его координат. Если вектор задан на плоскости и имеет координаты $bar=left(a_ ; a_right)$, то его модуль вычисляется по формуле
То есть модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов координат.
Если вектор задан в пространстве координатами , то его модуль вычисляется по формуле
Примеры вычисления модуля вектора
Задание. Найти модуль вектора $bar=(-1 ; 1)$
Решение. Для нахождения модуля вектора, заданного на плоскости воспользуемся формулой:
Ответ. $|bar|=sqrt<2>$
Задание. В пространстве заданны точки $A(2 ;-4 ; 1)$ и $B(-2 ; 0 ; 3)$. Найти модуль вектора $overline$
Решение. Найдем координаты вектора $overline$. Для этого из координат конца (точки $B$ ) вычтем соответствующие координаты начала (точки $A$ ):
Далее для нахождения модуля вектора $overline$ воспользуемся формулой:
Подставляя координаты вектора $overline$, получим:
Ответ. $|overrightarrow|=6$
Модуль вектора. Длина вектора.
Определение длины вектора
Для обозначения длины вектора используются две вертикальные линии слева и справа | AB |.
Формулы длины вектора
Формула длины вектора для плоских задач
В случае плоской задачи модуль вектора a = < ax ; ay > можно найти воспользовавшись следующей формулой:
Формула длины вектора для пространственных задач
В случае пространственной задачи модуль вектора a = < ax ; ay ; az > можно найти воспользовавшись следующей формулой:
Формула длины n -мерного вектора
В случае n -мерного пространства модуль вектора a = < a 1 ; a 2; . ; an > можно найти воспользовавшись следующей формулой:
| | a | = ( | n | ai 2 ) 1/2 |
| Σ | ||
| i =1 |
Примеры задач на вычисление длины вектора
Примеры вычисления длины вектора для плоских задачи
Решение: | a | = √ 2 2 + 4 2 = √ 4 + 16 = √ 20 = 2√ 5 .
Решение: | a | = √ 3 2 + (-4) 2 = √ 9 + 16 = √ 25 = 5.
Примеры вычисления длины вектора для пространственных задачи
Решение: | a | = √ 2 2 + 4 2 + 4 2 = √ 4 + 16 + 16 = √ 36 = 6.
Решение: | a | = √ (-1) 2 + 0 2 + (-3) 2 = √ 1 + 0 + 9 = √ 10 .
Примеры вычисления длины вектора для пространств с размерностью большей 3
Решение: | a | = √ 1 2 + (-3) 2 + 3 2 + (-1) 2 = √ 1 + 9 + 9 + 1 = √ 20 = 2√ 5
Решение: | a | = √ 2 2 + 4 2 + 4 2 + 6 2 + 2 2 = √ 4 + 16 + 16 + 36 + 4 = √ 76 = 2√ 19 .
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
http://www.webmath.ru/poleznoe/formules_13_5.php
http://ru.onlinemschool.com/math/library/vector/length/
Модуль вектора
Формула
Чтобы найти модуль вектора по координатам нужно извлечь квадратный корень из суммы квадратов его координат, то есть найти длину вектора.
Если вектор задан на плоскости в виде $ overline{a} = (x;y) $, то вычисляется модуль по формуле: $$ |overline{a}|=sqrt{x^2+y^2} $$
В случае, когда вектор задан в пространстве тремя координатами $ overline{a}= (x;y;z) $, то модуль находится по формуле: $$ |overline{a}|=sqrt{x^2+y^2+z^2} $$
Для нахождения модуля вектора нам понадобится знать:
- Координаты вектора
- Формулы
Примеры решений
| Пример |
| Найти модуль вектора $ overline{a} = (3;4;0) $ |
| Решение |
|
Зная координаты мы первым делом определяем на плоскости или в пространстве задана задача. В нашем случае координат у вектора три, поэтому в пространстве (было бы две координаты, то на плоскости). Используем вторую формулу для пространственной задачи: $$ |overline{a}|=sqrt{x^2+y^2+z^2} $$ Подставляя в формулу в место $ x,y,z $ числа из задания получаем модуль: $$ |overline{a}|=sqrt{3^2+4^2+0^2} = sqrt{9+16+0} = sqrt{25}=5 $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ |overline{a}|= sqrt{25}=5 $$ |
Содержание:
- Формула
- Примеры вычисления модуля вектора
Формула
Чтобы найти модуль вектора, заданного своими координатами, нужно найти его длину, то есть извлечь корень из суммы
квадратов его координат. Если вектор задан на плоскости и имеет координаты $bar{a}=left(a_{x} ; a_{y}right)$, то его модуль вычисляется по формуле
$$|bar{a}|=sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}$$
То есть модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов координат.
Если вектор задан в пространстве координатами
, то его модуль вычисляется по формуле
$$bar{a}=left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}right)$$
Примеры вычисления модуля вектора
Пример
Задание. Найти модуль вектора $bar{a}=(-1 ; 1)$
Решение. Для нахождения модуля вектора, заданного на плоскости воспользуемся формулой:
$$|bar{a}|=sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}$$
Подставляя в неё координаты заданного вектора, будем иметь:
$$|bar{a}|=sqrt{(-1)^{2}+1^{2}}=sqrt{1+1}=sqrt{2}$$
Ответ. $|bar{a}|=sqrt{2}$
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. В пространстве заданны точки
$A(2 ;-4 ; 1)$ и $B(-2 ; 0 ; 3)$. Найти модуль вектора
$overline{A B}$
Решение. Найдем координаты вектора $overline{A B}$. Для этого из координат конца
(точки $B$ ) вычтем соответствующие координаты начала (точки
$A$ ):
$$overline{A B}=(-2-2 ; 0-(-4) ; 3-1)=(-4 ; 4 ; 2)$$
Далее для нахождения модуля вектора $overline{A B}$ воспользуемся формулой:
$|overline{a}|=sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}$
Подставляя координаты вектора $overline{A B}$, получим:
$$|overrightarrow{A B}|=sqrt{(-4)^{2}+4^{2}+2^{2}}=sqrt{16+16+4}=sqrt{36}=6$$
Ответ. $|overrightarrow{A B}|=6$
Читать дальше: как найти координаты вектора.
Как определить модуль вектора
Объектами векторной алгебры являются отрезки прямой, имеющие направление и длину, называемую модулем. Чтобы определить модуль вектора, следует извлечь квадратный корень из величины, представляющей собой сумму квадратов его проекций на координатные оси.
Инструкция
Векторы характеризуются двумя основными свойствами: длиной и направлением. Длина вектора называется модулем или нормой и представляет собой скалярное значение, расстояние от точки начала до точки конца. Оба свойства применяются для графического изображения различных величин или действий, например, физических сил, движения элементарных частиц и пр.
Местоположение вектора в двухмерном или трехмерном пространстве не влияет на его свойства. Если перенести его в другое место, то изменятся лишь координаты его концов, однако модуль и направление останутся прежними. Эта независимость позволяет использовать средства векторной алгебры в различных вычислениях, например, определения углов между пространственными прямыми и плоскостями.
Каждый вектор можно задать координатами его концов. Рассмотрим для начала двухмерное пространство: пусть начало вектора находится в точке А (1, -3), а конец – в точке В (4, -5). Чтобы найти их проекции, опустите перпендикуляры на ось абсцисс и ординат.
Определите проекции самого вектора, которые можно вычислить по формуле:АВх = (xb — xa) = 3;ABy = (yb — ya) = -2, где:ABx и ABy – проекции вектора на оси Ох и Оу;xa и xb – абсциссы точек А и В;ya и yb – соответствующие ординаты.
В графическом изображении вы увидите прямоугольный треугольник, образованный катетами с длинами, равными проекциям вектора. Гипотенузой треугольника является величина, которую нужно вычислить, т.е. модуль вектора. Примените теорему Пифагора:|АВ|² = ABx² + ABy² → |AB| = √((xb — xa)² + (yb – ya)²) = √13.
Очевидно, что для трехмерного пространства формула усложняется путем добавления третьей координаты – аппликат zb и za для концов вектора:|AB| = √((xb — xa)² + (yb – ya)² + (zb — za)²).
Пусть в рассмотренном примере za = 3, zb = 8, тогда:zb – za = 5;|AB| = √(9 + 4 + 25) = √38.
Видео по теме
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Длина направленного отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной, или модулем, вектора.
Из теоремы Пифагора следует, что в треугольнике (ABC) длина отрезка (AB), которая является модулем вектора
AB→
, равна
AC2+CB2
, и, следовательно, модуль (длина) вектора
AB→
рассчитывается по формуле
AB→=x2+y2
.
Пример:
вычисли длину вектора
AB→=5;3
.
Расстояние между двумя точками
Как известно, координаты вектора можно определить, если даны координаты начальной и конечной точек вектора
Ax1;y1
и
Bx2;y2
.
Если
x=x2−x1
,
y=y2−y1
и
AB→=x2+y2
, то вместо (x) и (y) можно поставить их выражения.
Новую формулу называют не только формулой длины вектора, но и формулой расстояния между двумя точками с заданными координатамиAB=x2−x12+y2−y12.
Так как выражения в скобках в квадрате, то справедливо, что
.
То есть, не важна последовательность координат в разности.
Обрати внимание!
Если даны координаты начальной и конечной точек вектора
Ax1;y1
и
Bx2;y2
, то
AB→x2−x1;y2−y1
.
Обязательно из координат конечной точки надо вычитать координаты начальной точки!
Но при определении длины вектора в формуле последовательность координат не имеет значения:
AB→=x2−x12+y2−y12=x1−x22+y1−y22
.