Как найти модуль зет

Заказать задачи по любым предметам можно здесь от 10 минут

Модуль и аргумент комплексного числа

Пусть задано комплексное число $ z = a+bi $.

Формула

Модуль комплексного числа равен корню квадратному из суммы квадратов мнимой и действительной части и находится по формуле: $$ |z| = sqrt{a^2 + b^2} $$

Если комплексное число состоит только из действительной части $ z = a $, то его модуль равен $ |z| = |a| $.

Стоит заметить, что модуль комплексных чисел всегда неотрицательный $ |z| ge 0 $ и равен нулю $ |z| = 0 $, только в случае $ z = 0 $.

Формула

Аргумент комплексного числа обозначается $ varphi = arg z $ и зависит от полуплоскости, в которой лежат числа $a,b$: $ a > 0 $, тогда $ varphi = arctg frac{b}{a} $ $ a < 0, b ge 0 $, тогда $ varphi = pi + arctg frac{b}{a} $ $ a < 0, b < 0 $, тогда $ varphi = -pi + arctg frac{b}{a} $ $ a = 0, b > 0 $, тогда $varphi = frac{pi}{2}$ $ a = 0, b < 0 $, тогда $varphi = -frac{pi}{2}$

Пример 1

Найти модуль и аргумент комплексного числа $ z = 3 — 4i $.

Решение

Комплексное число состоит из действительной и мнимой части: $$ a = Re z = 3 $$ $$ b = Im z = -4 $$ Применяя формулу вычисления модуля получаем: $$ |z| = sqrt{a^2 + b^2} = sqrt{3^2 + (-4)^2} = sqrt{9+16} = 5 $$ Теперь вычисляем аргумент. Так как $a = 3 > 0$, то получаем аргумент: $$varphi = arctg frac{b}{a} = arctg frac{-4}{3} = -arctg frac{4}{3}.$$

Ответ

$$ |z| = 5, varphi = -arctg frac{4}{3} $$

Пример 2

Найти модуль и аргумент комплексного числа $ z = 3i $

Решение

В данном случае отсутствует действительная часть, а вернее она равна нулю: $$ a = Re z = 0 $$ Мнимая часть комплексного числа равна: $$ b = Im z = 3 $$ Вычисляем модуль по уже известной формуле: $$ |z| = sqrt{a^2 + b^2} = sqrt{0^2 + 3^2} = sqrt{9} = 3 $$ А вот аргумент здесь попадает под правило при $a = 0, b>0$ и значит равен $$varphi = frac{pi}{2}.$$

Ответ

$$ |z| = 3, varphi = frac{pi}{2} $$

Пример 3

Найти модуль и аргумент комплексного числа $$ z = 1+sqrt{3}i $$

Решение

Выписываем действительную и мнимую часть: $$ a = 1 $$ $$ b = sqrt{3} $$ Так как $ a > 0 $, то аргумент равен $$ varphi = arctg frac{sqrt{3}}{1} = arctg sqrt{3} = frac{pi}{3} $$ Находим модуль извлекая квадратный корень из суммы квадратов действительной и мнимой части: $$|z| = sqrt{1^2 + (sqrt{3})^2} = sqrt{1+3}=2.$$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ varphi = frac{pi}{3}, |z| = 2 $$

Пример 4

Найти аргумент комплексного числа $$ z = -1 + sqrt{3}i $$

Решение

Действительная часть $$ a = Re z = -1 $$ Мнимая часть $$ b = Im z = sqrt{3} $$ Так как $ a < 0 $ и $ b > 0 $, то пользуемся второй формулой: $$ varphi = arg z = pi + arctg frac{sqrt{3}}{-1} = pi + arctg (-sqrt{3}) = $$ $$ = pi — arctg(sqrt{3}) = pi — frac{pi}{3} = frac{2pi}{3}. $$

Ответ

$$ varphi = frac{2pi}{3} $$

Аргументом комплексного числа z называется угол φ в радианах радиус-вектора точки,
соответствующей данному комплексному числу и обозначается Arg(z) = φ

Из определения следуют следующие формулы:

Для числа z = 0 аргумент не определен.

Главным значением аргумента называется такое значение φ, что .
Обозначается: arg(z).

Свойства аргумента:

Модулем комплексного числа z = x + iy называется вещественное число |z| равное:

Для любых комплексных чисел z, z₁, z₂ имеют место следующие свойства модуля:

для пары комплексных чисел z1 и z2 модуль их разности |z1 − z2| равен расстоянию между соответствующими точками комплексной плоскости.

Определение.
Модулем
комплексного числа
называется длина вектора, изображающего
это число, и обозначается
.

Модуль
числа z
= x
+ iy
определяется однозначно и может быть
найден по формуле
=

.

Нетрудно
видеть, что z
∙
=

и
.

Если
z
= 0 , то
.

Определение.
Аргументом
комплексного числа
z
≠ 0 называется любой угол ,
отсчитываемый от положительного луча
оси ОХ до радиус-вектора z.
Этот угол считается положительным, если
отсчет производится против часовой
стрелки, и отрицательным – в противоположном
случае. Для числа z
= 0 аргумент не определен.

В
отличие от модуля, аргумент комплексного
числа определяется неоднозначно.

Пример
6.1 Найти
аргумент комплексного числа 1 + i.

Решение.

Аргументами
числа 1 + i
являются углы

(рисунок 4),

(рисунок 5),

(рисунок 6) и, вообще, любой из углов.

,
k

Z.

Рисунок
4 Рисунок 5
Рисунок
6

Все
множество аргументов числа z
обозначается Arg
z,
(фр. Ar-gument
– аргумент). Такое значение 

Arg
z,
которое принадлежит промежутку –
< 
≤ 
либо 0 ≤ 
< 2
и называется главным
аргументом.
Он обозначается arg
z
и определяется однозначно

Arg
z = arg z + 2k,
k 
Z,
– 
< arg z ≤ .

Упражнения

7 Отметить на
плоскости точки, изображающие следующие
комплексные числа:

а)
2i
– 3; б)
;
в)
–6 + 2i;

г)
–2 – 2i; д)
(1 – i)⁴;
е)

.

8 Найти модуль и
аргумент комплексного числа:

а)
–
;
б)
;
в) 3 – 2;

г)
(i + 1)(i – 2); д)

.

§ 7 Тригонометрическая (полярная) форма

комплексного
числа

Модуль

и аргумент 
комплексного числа z
= x
+ iy
≠ 0 – это, по существу, полярные координаты
(r;
)
точки М(х; у) – рису- нок 7.

Используя
связь между декартовыми и полярными
координатами точки М (рисунок

,

можно
любое комплексное число z
≠ 0 представить в виде:

z
= x + iy = r ∙ cos 
+ ir ∙ sin 
= r(cos 
+ i sin ).

Рисунок
7 Рисунок 8

Запись
z
= r(cos

+ i
sin
)
называется тригонометрической
или полярной
формой
комплексного числа.

Чтобы
записать число z
= x
+ iy
≠ 0 в тригонометрической форме, следует
найти его модуль по формуле

и один из аргументов, решив систему
.

Аргумент
комплексного числа можно определить
из соотношения
,
являющегося следствием последней
системы. Откуда 

.

Однако
не все решения этого соотношения являются
решением системы. Напомним, что период
функции y
= tg
x равен .
При с 
R
одно из решений уравнения tg

= c,
удовлетворяющее условию
,
обозначается arctg
c.
Таким образом, в промежутке (– ;
]
имеются два угла, тангенсы которых равны

.
Для определения четверти, в которой
лежит угол ,
нужно еще учесть знаки х, у – координат
точки z:

1. если
   точка z
   лежит в I
   и IV
   четверти, x
   > 0, то

 =
arg
z
=
(рисунок 9);

2)
если точка z
лежит во II
четверти, т.е. x
< 0, y
> 0, то
и
arg
z
=
(рисунок 10);

3)
Если точка z
лежит в III
четверти, т.е. x
< 0, y
< 0, то

и

(рисунок
11).

Рисунок 9
Рисунок 10

Рисунок 11

Для главного
аргумента справедливы формулы:

Пример
7.1 Записать
числа в тригонометрической форме:

1)
z = 4 + 4i.

Решение.

x
= 4, y
= 4 (I
четверть);
.

Так
как arg
z
=

,
то

z
= 4 + 4i =

2)
z =
–
i.

Решение.

x
=,
y
= –1 (IVчетверть);

Так
как x
> 0, 
= arg
z
= arctg

=

Поэтому

– i
= 2

3)
z = – 2 –
i.

Решение.

x
= –2, y = –

(III четверть);

Так
как x
< 0 и y
< 0, 
= arg
z
= –

–2
–
i
=

4)
z = –+
i.

Решение.

x
= –,
y
= 1 (II
четверть);

.
Так как x
< 0, y
> 0,

 =
arg z =

–+
i =

5)
z = 5.

Решение.

Так
как число z
= 5 действительное и 5 > 0, то


= 0.

6)
z = –.

Решение.

,

= 
(так как –<
0).

).

7)
z = 3i.

Решение.

Так
как число z
= 3i
– мнимое (х = 0, у = 3), причем y
= Im
z
=

=
3 > 0, то
,

= arg
z
=.

z = –i.

Решение.

x
= 0, y = –<
0;
,

= arg
z
= –
.

9)
z = cos
– isin
.

Решение.

Данная
запись числа не является тригонометрической.
Это чис-ло записано в алгебраической
форме, где

, у = –
.

Искомая
запись имеет вид z
= cos

+ isin
.

;

;
arg z = –.

–

Данное представление
могло быть получено, учитывая чет-ность
функции y = cos x и нечетность функции y =
sin x.

10)
z = –

Решение.

,
поэтому искомая запись имеет вид: z
= cos 
+ i sin .

Так
как
,
то –

– sin

Соседние файлы в папке КЧ

• #
• #

Определение 1

Длина радиус-вектора, который изображает заданное комплексное число $z=a+bi$, называется модулем данного комплексного числа.

«Модуль и аргумент комплексного числа» 👇